Hur tänker några elever i grundskolan kring tal i bråkform

41  Download (0)

Full text

(1)

1 Fakulteten för lärande och samhälle Vidareutbildning av lärare

Examensarbete

15 högskolepoäng, grundnivå

Hur tänker några elever i grundskolan

kring tal i bråkform?

How do some pupils in elementary school think about fractions?

Rawaa Al shaheen

Examen, poäng:15 hp Handledare: Ange handledare

Datum för slutseminarium: 2019-02-07

Examinator: Peter Bengtsson Handledare: Per-Eskil Persson.

(2)

2

Förord

Jag vill börja med att tacka eleverna som deltog i min undersökning och alla som ställt upp för mig i skolan- min arbetsledning och kollegor för att underlätta genomförandet av min

undersökning. Därmed ger jag ett stort TACK till min handledare Per- Eskil Persson som har stöttat mig och gett mig goda råd och tips under mitt arbetes gång. Sist men inte minst vill jag tacka min familj för deras positiva stöttning under arbetet.

(3)

3

Abstract

Syftet med denna undersökning är att undersöka vilka svårigheter och missuppfattningar som kan finnas hos några elever i grundskolan, och hur de tänker kring tal i bråkform. I min undersökning utgår jag från följande frågor: Hur resonerar eleverna när de löser en uppgift med tal i bråkform? Vilka missuppfattningar kan man upptäcka när eleverna löser uppgifterna om tal i bråkform?

För att se vilka svårigheter eleverna har inom området bråk har jag gjort individuella

intervjuer med 4 elever som går i skolår 7. Under intervjuerna fick de svara på ett arbetsblad som innehåller olika uppgifter kring bråk. Uppgifterna i elevbladet baserades på mina undersökningsfrågor. Jag har sett genom intervjuerna och elevbladen att eleverna har olika svårigheter och missuppfattningar kring tal i bråkform.

Nyckelord

(4)
(5)

5

Innehåll:

1 Inledning 7

2. Syfte och frågeställningar 8 2. 1 Syfte 8 2. 2 Frågeställningar 8 3. Teoretisk bakgrund 9 3. 1. Begrepp 9 3.1.1. Bråk och rationella tal 9 3.1.2. Minsta Gemensamma Nämnare (MGN) 9 3.1.3. Liknämniga bråk 10

3. 1. 4. Bråkets olika ansikten 10

3. 1. 5. Likvärdiga bråk 10

3. 2. Läroplan och kursplan för grundskolan 2011 10

3. 3. Tidigare forskning. 11 3.3. 1. Svenska elevers kunskaper om bråk 11

3. 3. 2. Vetenskapliga artiklar kring Bråksvårigheter 12

4. Metod för datainsamling 16 5. Genomförande och databearbetning 17 6. Resultat och analys 19 6.1 Uppgift 1- Jämföra bråk. 19 6.2 Uppgift 2: Beräkning av tal i bråkform. 21 6. 2. 1 Addition och subtraktion av bråk 22 6. 2. 2 Multiplikation av bråk. 24

6. 2. 3 Division av bråk med ett heltal. 25

6.3 Uppgift 3: Bråk som andel av helhet. 25

6.4 Uppgift 4: Bråk som del av antal. 27

6. 5 Uppgift 5: Tycker du att bråkräkning är svårt? Försök förklara varför 27 6. 6 Uppgift 6: Är det viktigt att kunna bråkräkning? Varför/varför inte? 28

7. Diskussion 29

7.1 Metoddiskussion. 29

7. 2 Resultatdiskussion 30 7. 2.1 Jämförelse av bråk. 30

(6)

6

7. 2. 3 Bråk som andel av helhet. 32

7. 2. 4 Bråk som del av antal. 33

7. 2. 5 Vad tycker eleverna kring bråkräkning? 34

8. Reflektioner och förslag till vidare forskning. 36

9. Referenser. 37 Bilaga 1: Elevblad. 39

(7)

7

1. Inledning

.

Tal i bråkform är ett område som är grundläggande och av stor vikt inom matematiken samt att det finns med centralt innehåll i åk 7-9. Många elever har svårt med det, men det är en nödvändig kunskap för deras matematiska utveckling och för en god algebraisk förståelse.

“Erfarna lärare har kunskaper om elevers vanliga missuppfattningar i matematik. Genom att på ett klokt sätt ta hänsyn till det då diagnostiska frågor konstrueras, kan elevernas svar avslöja en del om hur de tänker”. (Van Bommel, 2013, s:13)

För att kunna hjälpa elever med svårigheter i matematik krävs en förståelse för deras resonemang och en kunskap om vilka strategier som används. God undervisning är att utforma och planera undervisningen så eleverna får bästa möjliga förutsättningar att nå uppsatta mål, tillräckligt med stöd så de ges möjlighet att nå upp till förväntningarna och utveckla deras matematiska kunskaper och färdigheter.

(8)

8

2. Syfte och frågeställningar.

2.1. Syfte

:

Syftet med undersökningen är att undersöka vilka svårigheter och missuppfattningar kan finnas för några elever i grundskolans högstadium, och hur de tänker om tal i bråkform. Min ambition för denna undersökning är att den kommer att vara till nytta för mig som lärare för att kunna stötta eleverna med att bygga deras kunskaper kring bråk så tidigt som möjligt. I mitt arbete utgår jag från följande frågeställning för att uppnå dessa syften:

2.2.

Frågeställning:

1- Hur resonerar eleverna när de löser en uppgift med tal i bråkform?

2- Vilka missuppfattningar kan man upptäcka när eleverna löser uppgifterna om tal i bråkform?

(9)

9

3. Teoretisk bakgrund

3. 1. Begrepp

3.1.1. Bråk och rationella tal

Enligt Nationalencyklopedin, bråk (2018) ”bråk (medellågtyska brok, egentligen ‘brytning’,

här i betydelsen ’brutet tal’), är ett matematiskt uttryck som kan skrivas i formen a/b”.

I denna form kallas a för täljare, b kallas för nämnare och strecket mellan de kallas

bråkstreck. I denna form kan aldrig nämnaren vara noll, därmed är både täljare och nämnare heltal.

”Divisionsalgoritm där man räknar direkt på bråkstrecket och där inte alla uträkningar bokförs” (Kiselman & Mouwitz, 2008, s.33).

Vid räkning med enbart heltal kan alla additioner, subtraktioner och multiplikationer utföras. En division kan utföras i fallet täljaren är jämnt delbar med nämnaren.

Samtidigt kan ett tal även vara skrivet i blandad form, då kan det se ut på följande sätt: 1 12 . I

denna blandade form står det en och en halv, som i bråkform kan skrivas 32 (McIntosh, 2008).

Bråk kan ses som ett rationellt tal och rationella tal har definierats som ”Tal som är en kvot av två heltal, varav det andra inte är noll”. (Kiselman& Mouwitz, 2008, s:51).

Det innebär att de fyra enkla räknesätten alltid kan utföras (utom division med noll). Engström (1997) skriver om bråken som brutna tal och refererar till latinets ord fraction. Engelskans ord för bråk fraction och franskans fraction ges som exempel på latinets inflytande medan vårt svenska ord bråk härstammar från tyskans Bruch.

3.1.2. Minsta Gemensamma Nämnare (MGN)

Enligt Nationalencyklopedin, (2018), är gemensam nämnare ett heltal som utgör en

gemensam multipel till två nämnare till två givna bråk. Den minsta gemensamma nämnaren, mgn är det minsta positiva heltal som är en gemensam nämnare. Så är t.ex. mgn för 1/12 och 1/42 lika med 84 (talet 12 kan uppdelas till faktorerna 2·2·3 och 42 som 2·3·7, så att

mgn=2·2·3·7=84). När ett bråks nämnare och täljare multipliceras med samma tal

(förlängning) ändras inte bråkets värde. I exemplet förlängs 1/12 till 7/84 och 1/42 till 2/84, och bråken adderas till 9/84.

(10)

10

3.1.3. Liknämniga bråk

”Två eller flera bråk som har samma nämnare” (Kiselman& Mouwitz, 2008, s:47). Exempel 1/3 och 2/3.

3. 1. 4. Bråkets olika ansikten

Tal i bråkform kan ses på olika sätt. De har olika innebörder. vilka kan kallas för bråkens olika ansikten (Löwing & Kilborn 2002):

Bråket kan vara som del av ett antal, del av helhet. Exempelvis, bråket som en del av en känd helhet: 1/2 av den hela pizzan (Löwing & Kilborn 2002)

3. 1. 5. Likvärdiga bråk

”I uttrycket a/b kallas a täljare och b nämnare, Bråken 2/5 och 40/100 är olika bråk, men representerar samma tal” (Kiselman& Mouwitz, 2008, s:41)

Samma andel kan uttryckas med olika bråk. Bråk med samma värde kallas för likvärdiga bråk. För att hitta likvärdiga bråk kan man förlänga eller förkorta bråk.

Enligt Kiselman och Mouwitz (2008), när man förlänger ett bråk multipliceras täljare och nämnare med samma heltal. Exempel:

3 9 = 3∙4 9∙4 = 12 36 vi förlänger med 4.

När man förkortar ett bråk divideras täljare och nämnare med en gemensam delare (samma heltal). Exempel:

39 = 3/39/3 = 13 vi förkortar med 3. 31 = 39 = 1236

3. 2. Läroplan och kursplan för grundskolan 2011

I kursplanen för matematik står det bland annat i syftet att eleverna

”genom undervisningen ska ges förutsättningar att utveckla förtrogenhet med grundläggande matematiska begrepp och metoder och dess användbarhet”

(11)

11

”Undervisningen i matematik ska syfta till att eleverna utvecklar kunskaper om matematik och matematikens användning i vardagen och inom olika ämnesområden” (Skolverket, 2015, s.47)

Bråk och centralt innehåll:

I kursplanen tas bråkbegreppet upp som en del av elevens taluppfattning och detta specificeras i kursplanens mål.

 I årskurs 1–3 ska eleverna arbeta med del av helhet och del av antal. Hur delarna kan benämnas och uttryckas som enkla bråk, samt hur enkla bråk förhåller sig till naturliga tal.

 I årskurs 4-6 ska eleverna arbeta med rationella tal och deras egenskaper,

grundläggande egenskaper hos bråk och bråks användning i vardagliga situationer.

 I årskurs 7-9 ska eleverna arbeta med centrala metoder för beräkningar med tal i bråk-och decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning, samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digital teknik.

3. 3. Tidigare forskning.

3.3. 1. Svenska elevers kunskaper om bråk

”Enligt internationella undersökningar såsom TIMSS (1995, 2003, 2007) och Pisa (2000, 2003, 2006, 2009) är svenska elevers kunskaper om bråk mindre bra, sett ur ett internationellt Perspektiv” (Kilborn, 2013, s: 3).

TIMSS genomfördes så att resultaten ska vara representativa för Sveriges elever i årskurs 8. Jämförelsen med TIMSS 1995 visar att Sveriges resultat är mycket sämre i TIMSS 2003. Minskningen är 41 poäng vilket är den största försämring som uppmätts för något av de 16 länder som deltog i undersökningen både 1995 och 2003.

(12)

12

3. 3. 2. Vetenskapliga artiklar kring Bråksvårigheter

Siegler och Pyke (2013) studerade utvecklings - och individuella skillnader för eleverna i åk 6 och åk 8 när det gäller området taluppfattning och speciellt bråkräkning samt att testa fyra möjliga orsaker till skillnaderna i elevernas prestationer när det gäller hantera bråk:

kunskap om bråkens storlek, kunskap om heltal division, elevernas strategier vid bråkräkning, kognitiva färdigheterna samt elevernas erfarenheter. Eleverna genomförande ett test

individuellt under 45 min. Testet innehåller olika uppgifter (t.ex. bråkräkning, bråk på tallinjen). Resultat visade att skillnaden mellan låg och hög prestation vad gäller elevernas kunskaper kring bråkräkning var större i åk 8 än åk 6. Deltagarna var 120 elever från tre skolor i USA-Pennsylvania (60 elever åk 6 och 60 elever åk 8). Eleverna med höga

prestationer i området bråk var inte så noggranna i åk 8 som de var i åk 6, men eleverna med låg prestationer på samma område hade lika låg noggrannhet i båda årskurserna. Elevernas låga prestationer berodde på att eleverna hade svårt med att:

- Skilja mellan heltal och bråkens egenskaper.

- Bestämma den gemensamma nämnaren vid(addition och subtraktion). - Använda lämpliga strategier vid bräkningar med bråk.

”Many children have great difficulty acquiring fraction knowledge, although children

receive substantial fraction instruction beginning in third or fourth grade” (National Council of Teachers of Mathematics, 2006, refererad av Siegler & Pyke, 2013, s.1)

Många barn har svårigheter med att förstå bråk.

Siegler och Pyke (2013) påpekar att National Assessment of Educational Progress visade att 50 % av skolår 8 inte kunde ordna de tre bråk talen 2/7, 1/12 och 5/9 i storleksordning, från den minsta till den största. Studien visade också att eleverna använde sig av felaktiga strategier när de räknade med bråk, 14 % involverade att utföra den aritmetiska operationen på täljare och nämnare separat, som om de var heltal t ex 3/5+ 1/4= 4/9 samt 26% lämnar nämnaren oförändrad på ett multiplikationsproblem, (t- ex, 3/5 ∙ 4/5 =12/5). Och 7 % av eleverna hade svårt med divisions uppgifter eller vägrade att prova någon strategi.

Svårigheten med bråk fortsätter i gymnasiet och högskolan. Ett exempel på en annan nationell bedömning av pedagogisk framsteg National Assessment of Educational Progress item, visade att mindre än 30 % av skolår 1 kunde skriva 0,029 i rätt bråkform. Forskarna anser också att

(13)

13

eleverna bör ha förståelsen för bråk, det är viktig för deras algebraiska kunskapsutveckling. Barn som har tidiga svårigheter med bråkräkning har också senare svårigheter,

( Hecht och Vagi, 2010, Mazzocco och Devlin, 2008. refererat av Siegler & Pyke, 2013).

För att kunna förstå bråk krävs inte bara att kunna lösa vanliga bråkuppgifter utan att också kunna ha en god förståelse för bråkbegreppet och dess egenskaper, att de är ett tal som sträcker sig från negativ till positiv oändlighet, att mellan två bråk är ett oändligt antal andra bråk, att det finns ett förhållande mellan täljaren och nämnaren att bråktalen kan representeras som punkter på tallinjer, och så vidare. Att kunna förstå storlek på bråk, är även det en viktig aspekt av begreppsmässig förståelse av bråk.

Siegler och Pyke (2013) skriver också att de tidiga erfarenheterna barn har av heltal gör att de inte uppfattar bråk som ett tal. De refererar till Vamvakoussi och Vosniadou (2004):

“For example, even high school students often claim that there are no numbers between fractions such as 5/7 and 6/7 as there are no integers between 5 and 6” (s: 2).

Braithwaite , Tian, och Siegler (2017) belyser i sin artikel ”Do children understand fraction addition?”, de problem och svårigheter som elever har med bråk. Många elever misslyckas med att förstå tal i bråkform. I artikeln refererade författarna till en utvecklad teori om bråkräkning (Braithwaite, Pyke, Tian och Siegler, 2017). De anser att elevernas svaga

grundläggande kunskaper om bråkräkning återspeglar de dåliga förkunskaperna och förståelse av bråkbegreppet hos eleverna. För att undersöka elevernas svårigheter med bråkräkning utförde forskarna tre experiment(tester) med eleverna i åk 4-8 . Resultaten visade att eleverna har svårigheter med att hantera räkneuppgifter (addition med tal i bråkform). Det visade sig att det ungefär hälften av eleverna hade räknat summan av två bråktalen på fel sätt eller inte tillräckligt noggrant (speciellt när bråken har olika nämnare). Svårigheter uppstod också när eleverna skulle tolka delen i helheten.

“Many children have poor conceptual understanding of fraction addition, and

consequently cannot accurately estimate fraction sums, even if they accurately estimate the magnitude of each addend.” (.Braithwaite, Tian, och Siegler 2017, s:8)

Braithwaite , Tian, och Siegler (2017), betonar att elevers kunskaper om bråk måste utvecklas och befästas. Det är viktigt att eleverna, redan på tidigt stadium i utbildningen, ska tillägna sig tillräckliga bråkkunskaper när det gäller bråkbegrepp och olika bråkberäkningar eftersom det är en nödvändig kunskap inom matematiken och det är en del av det centrala innehållet i

(14)

14

matematikämnet i läroplanen för grundskolan och vidare matematikkurser. Hur man uppnår detta är en viktig fråga för pedagogisk praktik och för teorier om numerisk utveckling.

Kerslake (1986) refererar i sin forskning till“Concepts in Secondary Mathematics and Science

(CSMS)” där resultaten visade att det var en oförväntat många felaktiga svar på elevernas

resultat, som pekade på att det fanns missuppfattningar om tal i bråkform. Det leder i sin tur till olämpliga strategier.

Enligt Kerslake (1986), vill barnen undvika att arbeta med bråk. Vissa barn kan inte tänka på bråk som tal alls. De verkar känna sig mer säkra när de arbetar med heltal och när de fick följa räknemetoder för heltal. Vissa av dessa metoder är inte tillämpliga för bråkräkning och bråk behövs för att lösa några problem för vilka heltal inte ger någon lösning. Hon ger också som exempel, när man frågar "Hur många bråk ligger mellan 1/4 och 1/2?". 29,5% av 14-åriga barn och 30,2 % av 15-åriga barn ger svaret "ett". De svarade t.ex. med bråk 1/3, där barnen tittade endast på nämnaren, eller till ett bråk halv vägs mellan.

Kerslake (1986) påpekar att många barn har det svårt med likvärdiga bråk, jämförelse av bråk samt addition av bråk. Det verkar också som att många barn som känner igen likvärdiga bråk men inte använder dem för att addera bråken med olika nämnare eller för att införa ett bråk mellan två givna tal i bråkform. Hon tillägger att:

”A very common error in the addition of fractions was found to be the adding of

numerators and denominators. This occurred in each computation involving the addition of two fractions and was more prevalent where the denominators were different.” (Kerslake, D, 1986, s: 13).

Kerslake anser att användning av olika diagram, bilder samt tallinje kan utvidga bråkens begrepp och hjälpa för att illustrera begreppet "en del av en hel”, och bidra till att barn kunna förstå bråkens egenskaper.

Kilborn (2013) lyfter fram i sin artikel, att arbetet med bråk uppfattas ofta som svårt därför har det tonats ner. Istället för att förklara ”krångliga” formler och regler för bråkräkning har man tonat ner bråkens betydelse och istället fokuserat på de rationella talens decimalform.

(15)

15

Författaren anser också att man kan underlätta förståelse av bråk genom att anknyta

kunskapen till elevernas verklighet. Han ger även strategier om hur man kan hjälpa eleverna i grundskolan att konkretisera multiplikation och division av tal i bråkform genom t ex, bilder eller kakelplattor.

Kilborn (2013) betonar att eleverna har svårt att se ett bråktal som ett tal. De ser det som en uträkning de måste göra. Därför är de benägna att räkna ut bråket i decimalform. Han skriver också att kunna använda bråktal är viktigt för att få exakta värden. I Kilborns exempel avrundas 2/3 till 0,67. Detta är en avrundning och ger oss inte ett exakt värde, decimaltalet blir 0,666666… i oändlighet. Man kan inte få ett exakt värde i decimalform.

Kilborn (2013) tar också upp att eleverna i grundskolan, måste vänjas vid att behålla tal i bråkform och se bråk som ett tal samt att lära sig att förstå bråk. Annars kommer det att bli svårt för dem på gymnasiet. På vissa gymnasieprogram är det ett krav att eleverna alltid ska behålla tal i bråkform när de räknar för att det ger ett exaktare svar.

(16)

16

4.

Metod för datainsamling

Jag har valt intervjuundersökning för att undersöka hur elever resonerar när de löser matematiska uppgifter om tal i bråkform för att få svar på mina frågeställningar. Patel och Davidson (2014) anser att forskarnas arbete består av att relatera teori och verklighet till varandra. Underlaget (empiri) för teoribygget är data och information om den del av verkligheten som studeras.

Jag har använt intervju som metod för mitt arbete eftersom jag då får möjligheten att få mer information när eleverna ges tillfälle att uttrycka sig muntligt och jag då kunde få syn på hur de resonerar när de lösa uppgifterna.

Jag har valt att genomföra Individuella intervjuer med fyra elever i åk 7. Urvalet var

slumpmässigt och det var valfritt att medverka i intervjun. Jag har valt att benämna eleverna i urvalet med bokstäverna A, B, C och D.

För att läraren ska kunna bedöma elevernas kunskaper utifrån något de visar upp eller producerar, måste de, enligt Hajer och Meestringa (2012), ha fått chansen att träna upp sina färdigheter genom olika uppgifter som varierar i svårighet och stöttning.

Jag planerade att inleda mitt arbete med att dela ut enkät i form av arbetsblad som innehåller matematiska uppgifter samt två frågor inom området tal i bråkform (se bilaga 1).

Detta för att se hur eleverna tänker kring de uppgifterna, vilka missuppfattningar kan man upptäcka när eleverna löser uppgifterna, därmed hur min undervisning kan dra nytta av och utgå från elevernas ofta felaktiga förutsättningar kring tal i bråkform.

Jag valde att inte spela in intervjuerna för att jag ansåg att vissa elever skulle bli stressade av det, istället antecknade jag vad som eleverna sa och hur de resonerade när de löste

uppgifterna.

Undersökningen utfördes under hösten 2018 på en av Kristianstads kommuns grundskolor i Skåne. Detta gjordes efter att jag skickade ett brev till elevernas vårdnadshavare för att få deras tillstånd (se bilaga 2).

I mitt val av metod är jag medveten om att underlaget är för litet för att kunna dra några generella slutsatser. Det är svårt att intervjua fler elever på grund av begränsad tid. Men fördelen med denna metod som Johansson och Svedner (2006) anger, är att de kan ge en djup och allsidig förståelse för denna undersökningsgrupp.

(17)

17

5. Genomförande och databearbetning

Jag inledde min undersökning med att skicka ut ett brev (bilaga 2) till elevernas vårdnadshavare, där berättade jag vem jag var och anledningen till min undersökning. Vårdnadshavarna godkände att deras barn fick delta i undersökningen. De berörda eleverna informerades om syftet av undersökningen samt att det var frivilligt att delta i

undersökningen. Jag informerade även eleverna om konfidentialitetskravet. Det innebär att insamlat material och elevernas uppgifter inte kommer att sammankopplas.Sedan

genomförde jag enskilda intervjuer med berörda elever. När eleverna genomförde uppgifterna var jag närvarande under hela processen för att de skulle få möjlighet att ställa eventuella frågor. Det gav mig möjlighet att ställa följdfrågor till samtliga elever.

Tidsåtgången för varje intervju tog ca 30-35 minuter per elev, dels beroende på vilka diskussioner som kommer upp och dels hur vana eleverna är vid att ha ett elevaktivt och undersökande arbetssätt. Resultaten bygger på data som samlats in i fyra intervjuer där de fyra eleverna löste samma uppgifter och där jag har diskuterat med dem hur de löser uppgifterna. Intervjuerna genomfördes i ett tomt klassrum, där eleverna jobbade med dem olika

uppgifterna i lugn och ro.

De individuella intervjuerna genomfördas i en tyst och lugn miljö i ett tomt klassrum.

Eleverna fick redovisa sina uträkningar, och de sista två frågorna togs muntligt med eleverna (se bilaga 1). Tanken är att eleverna kan uttrycka sig bättre muntligt samt att det kan ge mig möjligheten att se hur eleverna tänker kring området tal i bråkform.

Bearbetning av elevernas lösningar har skett genom att samla in alla elevernas lösningar från enkäter (arbetsbladen) samt från intervjuerna, vilket jag sedan redovisade i en löpande text. Detta ger mig en översiktlig bild av elevernas lösningar samtidigt, samt att kunna jämföra mellan de fyra elevernas lösningar. Jag studerade lösningarna och försökte beskriva hur de kan ha tänkt. Sammanställningen från intervjuerna kompletterar enkätundersökningen som är baserad på elevernas uträkningar och de muntliga följdfrågorna.

”I fallstudier är det vanligt att information av olika karaktär samlas in för att ge så fyllig bild av det aktuella fallet som möjligt” (Patel & Davidson 2014, s:57).

För att få en bild av elevernas svagheter och styrkor, antecknade jag elevernas citat och studerade elevernas förklaringar när de löste de matematiska uppgifterna. Då jag genomförde undersökningen individuellt, gav det mig möjlighet att ”rätta” uppgifterna under tiden

(18)

18

eleverna arbetade med dem. Detta gjorde jag genom att följa upp eleverna och se hur de tog sig an uppgifterna och därmed ställde jag följdfrågorna: Hur tänkte du här? Varför? Vad är det som du inte förstår i denna uppgift?

(19)

19

6. Resultat och analys

I detta avsnitt presenteras resultatet av intervjumaterialet, elevbladen samt en sammanfattning av de muntliga intervjufrågor eleverna fick möjligheten att besvara. Antal elever som deltog i undersökningen var fyra elever som går i årskurs 7. Uppgifterna ger eleverna möjlighet att visa vilka strategier och resonemang de använder vid lösningen.

6.1 Uppgift 1- Jämföra bråk.

Vilket bråk är störst? förklara ditt svar.

a) 38 eller 58 b) 57 eller 59 c) 57 eller 23

Tabell 6.1 Resultatet av elevernas lösningar för uppgift 1. Elev Uppg a Uppg b Uppg c

A Rätt Rätt fel

B rätt+ bild Rätt rätt

C Rätt Rätt fel

D Rätt+ bild fel fel

Korrekt svar 5 ∕ 8 5 ∕ 7 5 ∕ 7

a)

𝟑

𝟖

eller

𝟓 𝟖

Elev A: ”5 är större än 3 och vi har 8 nere på båda bråken så ju större talet där uppe är,

desto högre är bråket. Därför har 5/8 större värde än 3/8” sa elev A.

Elev B löste uppgiften på två olika sätt, genom symboler och genom att rita två cirkelar och beskriva vilket tal är störst och sedan resonerade eleven. ”både talen har samma nämnare.

Det betyder att talet som har större tal uppe är störst ”

Jag frågade: Vad kallas det talet som står ovanför bråkstrecket? Efter en lite stund sa eleven

”Ja, täljare!”

Elev C och D: svarade att 5/8 är störst för den har flest delar. En elev visade sitt resonemang med hjälp av bilder.

(20)

20

Analys:

Resultatet visar att eleverna har god uppfattning om tal i bråkform så länge som bråktalen har samma nämnare. De kunde lösa uppgiften snabbt och verkar förstå att resultatet är korrekt. Eleverna A, B, C och D räknade rätt att 5/8 är större än 3/8 och motiverat sitt svar att täljaren 5 är större än täljaren 3.

b)

𝟓

𝟕

eller

𝟓 𝟗

Elev A: rätt svar ”Skillnaden mellan 5 och 7 är mindre än skillnaden mellan 5 och 9” elev A. Elev B: rätt svar ”5/7 för att om man har 7 godisbitar, och äter 5 bitar, så är 2 bitar kvar,

medan 4 bitar kvar om man äter 5 bitar av 9 godisbitar” Elev B.

Elev C: rätt svar. Eleven försökte visa sitt resonemang med hjälp av bilder. Men han lyckades inte.

Elev D: Fel svar ”5/9 för att 5= 5 och 9 är större än 7”. Elev D

Analys:

I denna uppgift, får eleverna jämföra bråk och avgöra vilket av bråken med olika nämnare är störst. Eleverna hade också olika strategier och resonemang.

Resultatet visar att 3 av 4 elever har rätt svar. Två elever använder korrekta resonemang. De jämför storleken av bråk vilket visar att eleverna har fått möjligheten att utveckla sin förmåga att göra sådana jämförelser. Att koppla kunskapen till elevens vardag är också en bra strategi som kan leda till ett rätt svar i uppgiften.

c)

𝟓

𝟕

eller

𝟐 𝟑

Elev A hade Fel svar. ”skillnaden mellan 7 och 5 är 2 och skillnaden mellan 3 och 2 är 1 1< 2, därför 2/3 är större” elev A

Elev B löste deluppgift c genom att skriva om talen, så att de har gemensam nämnare. Eleven kunde redovisa sin metod och fick 15/21 och 14/21. ”Det är enklare nu, 15/21 är större än

14/21, så 5/7 är störst.” sa elev B.

Elev C kom inte fram till rätt svaret. Han tänkte att 2/3 är större. Han motiverade sitt svar så här:

(21)

21

”För att decimaltalet är större, 2/3= 0,6 eftersom 1/3= 0,3”. ”Det är större än 2/7”, sa han.

Han jämförde 2/3 > 2/7, och tittade inte på vad som står på täljarna.

Elev D hade felaktigt svar. Vid frågan ”Hur tänkte du?” eleven var osäker, han sa att ”2/3 är

större än 5/7” för att ju mindre siffror det finns i både täljaren och nämnaren, desto mer ökar

bråkets värde. Sedan tänkte han och sa: ”jag tror att 1/3 är mycket större än 1/7, därför två

tredjedelar blir större än fem sjundedelar.”

Analys:

Eleverna fick jämföra bråk som har olika täljare och nämnare. Det visade sig att en elev klarade att lösa uppgiften med rätt strategi genom att skriva om bråktalen så att de fick samma nämnare. De andra tre eleverna kunde inte komma fram till rätt svar, vilket visar att de ännu inte tillägnat sig tillräckliga kunskaper och strategier för hur man beräknar dessa tal. Till viss del försökte de omvandla bråktalen till decimalform, men uträkningen var fel.

”För att decimaltalet är större, 2/3= 0,6 eftersom 1/3= 0,3” sa elev C.

Han jämförde 2/3 är större än 2/7, och fokuserade inte på vad som står på täljarna. Det visade att eleven endast fokuserade på nämnaren och storleksordnade utifrån den, samt att det är vanligt att många elever tror att det tal som har störst nämnare är störst. Vid jämförelser av bråk, fokuseras ibland enbart på antingen täljarens eller nämnarens storlek vilket leder till fel resultat. Generaliseringar av samband mellan naturliga tal kan vara en anledning till det felaktiga resonemanget att 1/3< 1/7 eftersom 3< 7 (Behr och Post, 1992).

6.2 Uppgift 2: Beräkning av tal i bråkform.

Beräkna och förklara ditt svar.

a) 15 + 25 b) 23 + 16 c) 56 - 14 d) 25 ∙ 36 e) 2 ∙ 49 f) 1 2 2 ⁄

(22)

22

Tabell 6. 2 Resultatet av elevernas lösningar för uppgift 2.

Elev a B c d E f

A rätt Fel fel fel fel muntlig

B rätt Rätt rätt Ej svar rätt bild

C rätt Rätt fel rätt rätt bild

D fel Fel fel rätt fel muntlig

Korrekt svar 3/5 5/6 14/24=7/12 6/30= 1/5 8/9 1/4

6. 2. 1 Addition och subtraktion av bråk.

a)

𝟏𝟓

+

𝟐𝟓

Eleverna A, B och C fick lösa uppgiften och hade rätt svar

Elev D: räknade på följande sätt 1+ 2= 3, 5+ 5= 10, svaret är 3 ∕ 10 Följdfrågor av mig: Förklara hur har du tänkte här?

”I och med det finns en femma på båda bråken, så plussar jag de för att få en hel” Elev D

b)

𝟐

𝟑

+

𝟏 𝟔

Elev A: Han hade fel svar. Den ena eleven adderade både nämnare och täljare och fick 3 ∕ 9 Elev B: Rätt svar. Räknade på följande sätt:

2/3+ 1/6= 2∙ 6 ∕ 3∙ 6+ 1∙ 3 ∕ 6∙ 3= 12 ∕ 18+ 3 ∕ 18= 15 ∕ 18

Följdfrågor av mig t.ex. Kan du förkorta bråkformen ännu mer? Hon försökte och fick svar 5 ∕ 6.

Elev C: eleven ritade upp bilder och kunde då se att 2 ∕ 3= 4 ∕ 6. Denna elev svarade 5 ∕ 6. Se figuren nedan.

(23)

23

Figur 1. Elevlösning, addition av bråk med olika nämnare

c)

𝟓

𝟔

-

𝟏 𝟒

Elev A, D: Fel svar med fel strategi ( 56 - 14= 42 )

Elev C: Försökte lösa uppgiften med att rita bilder men lyckades inte. Elev B: Rätt svar med rätt strategi.

Analys:

I uppgiften beräkningar med tal i bråkform visade resultatet att de flesta elever hade förmåga att beräkna liknämniga tal (uppgift a) men de hade svårigheter att beräkna oliknämniga tal som i uppgift b och c. Eleverna A, C och D hade inte god förståelse för att ett bråktal kan skrivas på flera sätt och därmed inte goda kunskap att göra bråktal liknämniga genom förlängning och förkortning. Utifrån elevlösningarna såg jag att täljare adderats med täljare och nämnare med nämnare och samma gäller subtraktion till exempel 1 ∕ 6+ 2 ∕ 3= 3 ∕ 9 eller 5 ∕ 6 – 1 ∕ 4= 4 ∕ 2. Den inkorrekta räkne regeln var ett vanligt problem i elevlösningarna.

(24)

24

Elev B visade förståelse för hur både lik- och oliknämniga tal beräknas och tänkte direkt på minsta gemensamma nämnare. Detta förklarar Kilborn (2013) genom att sammanfatta hur man kan addera bråk med olika nämnare, att ” två tal i bråkform kan alltid skrivas om så att de får samma nämnare”. Elev C löste det med hjälp av bilder. Han sa: ” aha, 2 ∕ 3= 4 ∕ 6, då blir summan 5 ∕ 6”, här fick eleven en följfråga av mig om vad det betyder att 2 ∕ 3= 4 ∕ 6. Han svarade att det är lika mycket, vilket innebär att de har samma värde och därmed kunde han förstå att samma andel kan uttryckas med olika bråk.

6. 2. 2 Multiplikation av bråk.

d) Multiplicera med bråk

𝟐

𝟓

𝟑 𝟔

Elev A hade fel strategi och fick fel svar, han multiplicerade täljaren 2 med nämnaren 6 och täljaren 3 med nämnaren 5.

Elev B var osäker och räknade inte uppgiften. ”jag vet inte! Jag glömde hur man gör det.”

Elev B

Elev (C, D) hade rätt svar, de följde rätta räkne regeln genom att multiplicera täljarna för sig och nämnarna för sig.

e) Multiplikation med heltal 2 ∙

𝟒𝟗

Elev A och D: hade räknat fel. Ingen förklaring. De har multiplicerat både täljaren och

nämnaren med 2 och svarat 8 ∕ 18. Hade Bristande tankegång och missuppfattning med räkne- regeln vid multiplikation av bråk.

Elev B: först hade hon räknat fel.

Följdfråga av mig: hur tänkte du? Hur ska man göra vid multiplikation av bråk? Eleven tänkte högt och kunde rätta sitt svar med hjälp av upprepad addition 49 + 49 = 89

Elev C: rätt svar med hjälp av bilder.

Analys

Resultatet visade att en del av eleverna har bristande tankegång med räkne regeln vid multiplikation av bråk med heltal eller med bråk. När det gäller multiplikation av bråk med heltal 2∙ 4 ∕ 9, kan många elever förstå det som upprepad addition, men det kan vara svårt för många elever att betrakta talet 2 som 2/1 och följa multiplikations regler av två bråk. För att

(25)

25

kunna räkna multiplikation av två bråk 2 ∕ 5 ∙ 3 ∕ 6, fungerar förklaringen av upprepad addition tyvärr inte lika bra när vår första faktor inte längre är ett heltal.

6. 2. 3 Division av bråk med ett heltal.

f)

𝟏 𝟐

𝟐

Elev A och D: Försökte lösa uppgiften muntligt med hjälp av mig, de utryckte sina

resonemang muntligt (t ex, om jag har en pizza och delar den i två lika delar, sedan delar jag en halva i två delar, får jag ytterligare två halvor).

Jag: kan du skriva ner svaret i bråkform? Eleven: 212

Elev B och C: Ritade bilder (cirkel, kvadrat).

Analys

Eleverna har inte tidigare kunskaper om räkneregler för division av bråk, för att detta

räknesätt hittar man inte förrän i läroboken för år 9. Jag valde att använda denna uppgift för att se hur de kan tänka sig lösningen. Resultatet visade att två elever redovisade sina

resonemang muntligt genom att anknyta uppgiften till verkligheten, men de var tveksamma att utrycka kvoten som symbol. Resten av eleverna uttryckte sina resonemang genom att rita geometriska figurer. Resultatet visade bristande kunskaper om begreppet kvot och att kunna uppskatta storleken av bråk, att bråk är ett tal som har en storlek samt att bråk är lika med kvoten mellan täljare och nämnare.

6.3 Uppgift 3: Bråk som andel av helhet. a) Skugga en fjärdedel av figuren.

(26)

26

Analys

Samtliga elever svarade korrekt med att skugga en fjärdedel av figuren. Dessutom har tre elever har svarat med symbolen 14 . Det innebär att de har förståelse för andel av helhet samt för täljaren och nämnarens betydelse när en kontinuerlig helhet delas i lika delar

b) Skugga en åttondel av figuren

.

Elev A och B: Rätt svar. Eleverna räknade rutorna och fokuserade på delarna och delar rutorna på hälften med två.

”En åttondel är en halv av hälften, om vi delar den och så skuggar halva den så här ”, elev B.

Elev C: var osäker. ”Vet inte riktigt. Kanske en halv” sa elev C Elev D: försökte gissa svaret.

Analys

I deluppgift b, som handlar om att dela figuren till lika stora delar, räknade Eleverna A och B rutorna och fokuserade på delarna och delar rutorna på hälften med två. De resonerade på samma sätt. Elev C var tveksam och provade sig fram efter en visuell skattning, medan elev D var mer tveksam och svarade genom en gissning. Här kommer ett fall av relationen del-antal men figuren representerar en kontinuerlig mängd vilket gör att eleverna har svårare att komma fram till ett resultat som de är säkra på. Figur 3 visar ett exempel på elevlösning.

(27)

27

6.4 Uppgift 4: Bråk som del av antal.

På en buss med 36 passagerare, var 𝟏𝟒 barn och resten var vuxna. Bland de vuxna var det 𝟐

𝟑 som sov. Hur många vuxna passagerare var vakna?

Rätt svar = 9 passagerare var vakna. Antal rätt svar = 1

Elev A: rätt svar. Muntlig lösning. ”vi har nu 3 grupper vuxna. 2 grupper som sover och de

är 18 vuxna, och en grupp, var vaken och de är 9” elev A

Elev B: Räknade andelen av vaknade vuxna som är 1/12. Elev C och D: Fel svar.

Analys

När det gäller uppgift 4, skulle eleverna beräkna delen av vuxna som är vakna. Elev A. kunde lösa problemet muntligt, det var svårt för honom att redovisa sin strategi skriftlig.

Elev B använde räkne regler vid subtraktion av bråk och fick svaret på bråk form (andelen1/12). Men eleven tänkte inte beräkna hur många (delen) vuxna det motsvarar. Elev C hade svårt att lösa problemet. En missuppfattning på uppgift 4 kan vara att en del elever ska beräkna antalet vuxna som var vakna från den totalt ursprungliga passageraren utan att tänka att bland dem finns det en fjärdedel barn. Medan elev D visade en annan bristande tankegång och svarade 18. Eleven räknade ut att det är 27 vuxna. Tar 2 ∕ 3 av 27 och svarar 18 men frågan var ju hur många som var vakna. Tror alltså att eleven glömde räkna 27− 18 = 9.

6. 5 Uppgift 5: Tycker du att bråkräkning är svårt?

Försök förklara varför.

Elev A: ”Det är så tråkigt med bråk. ”sa elev A.

Elev C: ja svårt. Förklarade inte vad det är som gör bråk svårt och jag tolkar det att han tycker att det är krångligt med bråkräkning

Elev B: ”Sådär, man måste veta. Det skulle vara jobbigt om man inte visste vad en 1/4 var” sa elev B.

(28)

28

Analys

Elevrena ser att det finns svårigheter med att räkna i bråk. Å andra sidan visade resultaten att en del elever tycker att det är svårt att tänka på bråkräkningen i huvudet samt att det är svårt att komma i håg räkneregler när det gäller tal i bråkform (t ex, att få den minsta gemensamma nämnaren eller jämföra bråk).

6. 6 Uppgift 6: Är det viktigt att kunna bråkräkning?

Varför/varför inte?

Eleverna A, B och D tycker att bråkräkning är viktigt i skolan och vardagen. ”Det är viktigt, det kommer upp i vardagen” sa elev B

Elev C: Oklart svar, men han tycket att det är viktig endast i matematiklektionen.

Analys

Resultaten visade att eleverna tycker att matematik är viktigt, men bråkräkningen anses inte lika viktig av alla och det är lättare med decimalform. En elev ansåg att bråkräkning är viktig bara under matematikundervisningen och inte används under andra situationer.

De flesta elever kunde svara när de använder sig av bråkräkning i vardagen (t ex, när de delar saker med syskon eller kompisar, när man handlar).Därför elevens vardag är en viktig aspekt, bör tas tillvara på.

(29)

29

7. Diskussion

7.1 Metoddiskussion.

För att besvara mitt syfte, valde jag att genomföra individuella intervjuer med fyra elever ur åk 7. Urvalet var slumpmässigt och valfritt att delta i undersökningen, och varje intervju tog ca 30-35 min. Detta urval användes på grund av brist på tid.

Av elevbladen fick jag information om elevernas kunskaper. Jag var beredd med följdfrågor utifrån hur de intervjuade elever svarade, och jag fick möjligheten att få muntliga förklaringar om hur de tänkte när de löste uppgifterna. Under intervjuerna fick eleverna utrycka sina åsikter muntligt kring bråkräkningen.

I mitt metodval kan nackdelen vara den jag nämnde tidigare, som enligt Johansson och Svedner (2006) innebär att underlaget är för litet för att kunna dra några generella slutsatser. Å andra sidan är fördelarna med metoden att man får en god uppfattning för just den

undersökningsgruppen. Syftet med undersökningen var dock inte att generalisera resultatet utan att istället presentera hur några elever resonerar när de löser uppgifterna kring tal i bråkform. Därmed upptäcka vilka missuppfattningar som kan finnas och hur man tidigt kan sätta in åtgärder för att förebygga sådana och stötta elevers matematiska utveckling. Det var också min tanke när jag valde att intervjua elever ur årskurs 7.

Validitet: I elevbladet menar jag har god validitet, att jag verkligen har uppgifter som

undersöker det jag syftade till. Men jag kanske behövde lägga mer uppgifter om bråktal för att kunna innefatta hela området. Men det var svårt på grund av begränsad tid, därmed att

eleverna kan känna sig trötta.

Reliabilitet: Reliabiliteten (tillförlitligheten) i min undersökning är bra. De referenser som

jag valde att använda och jämföra med är pålitliga källor och forskningar. De har identifierat olika svårigheter och missuppfattningar kring bråktal. Många av dessa missuppfattningar finns även hos eleverna i min undersökning. Kanske kunde jag förstärka tillförlitlighet i min undersökning, om jag hade haft möjlighet att lägga mer tid för att genomföra mer uppgifter eller att intervjua extra elever.

Generaliserbarhet: Det är svårt att dra några generella slutsatser. Underlaget (empiri) var

fyra elever, det är för lite att för att kunna dra generella slutsatser.

Jag ska inte generalisera resultaten för alla elever i grundskolan för att undersökningen är baserad på bara fyra elever, men undersökningsresultatet har gett mig en bra bild på hur mina

(30)

30

intervjuade eleverna tänker kring tal i bråkform och hur man ska fokusera mer på elevernas svårigheter inom matematik speciellt området bråkform.

7. 2 Resultatdiskussion

I detta avsnitt diskuteras resultatet i relation till teori och tidigare forskning kring elevers kunskaper om bråk.

Syftet med min undersökning var att undersöka hur några elever i grundskolan tänker om tal i bråkform och vilka svårigheter och missuppfattningar som kan finnas. Detta för att tidigt kunna förbättra elevernas kunskaper och förebygga missuppfattningarna.

Braithwaite , Tian, och Siegler (2017), betonar att det är viktigt att eleverna, redan på tidig skolnivå, ska tillägna sig tillräckliga bråkkunskaper när det gäller bråk begrepp och olika bråk beräkningar eftersom det är en nödvändig kunskap inom matematik i grundskolan och vidare matematikkurser.

Enligt resultatet och mina erfarenheter har många elever svårt att hantera beräkning av bråktal speciellt när det gäller bråk med olika nämnare. Vanliga missuppfattningar är:

- Adderar / subtraherar nämnare.

- Vid storleksjämförelse utgår eleverna endast från nämnaren. Det är också vanligt att elever har svårt att förstå att ett bråktal kan skrivas på olika sätt.

Kerslake (1986) påpekar att många barn har det svårt med likvärdiga bråk, att jämföra bråk speciellt bråk med olika nämnare samt addition av bråk.

Kilborn (2013) skriver att TIMSS genomfördes så att resultaten ska vara representativa för Sveriges elever i grundskolan. Jämförelsen med TIMSS 1995 visar att Sveriges resultat är mycket sämre i TIMSS 2003.

Uppgifterna som valdes ut i undersökningen innehåller olika aspekter av bråkräkning. Därför kommer resultatet att diskuteras utifrån dessa aspekter.

7. 2. 1 Jämförelse av bråk.

Mitt resultat visade att en del elever hade bristande kunskaper vid jämförelse av bråk. Att kunna jämföra tal i bråkform krävde ofta samma nämnare.

Siegler och Pyke (2013) refererar i sin forskning till National Assessment of Educational Progress, att 50 % av skolår 8 inte kunde ordna de tre bråk talen 2/7, 1/12 och 5/9 i storleksordning.

(31)

31

En del elever behandlade bråk som naturliga tal eller omvandlade tal i bråkform till

decimalform. Kilborn (2013) anser att eleverna har svårt att se ett bråktal som ett tal. De ser det som en uträkning de måste göra. Därför är de benägna att räkna ut bråket i decimalform.

Det är också vanligt att många elever utgår från sina tidigare erfarenheter av de naturliga talen, där talet 9 är större än talet 7, vilket de då felaktigt generalisera till att även gälla bråk med dessa nämnare. Det innebär att många elever inte uppfattar ett bråk som ett tal som har en viss storlek utan kopplar till kort division istället. Det märkts ofta att tal skrivna som bråk kan vara svårare att jämföra med varandra, speciellt när man jämför bråk med olika nämnare. Därför kan det vara bra att eleverna lär sig och övar med olika metoder för att jämföra bråk, genom att göra dem liknämniga eller använda andra metoder (t ex, att jämföra om bråken är nära noll, en halv eller en hel). För att eleverna ska kunna utveckla förmågan att jämföra bråk eller storleks ordna tal i bråkform behöver de få möjlighet att gå från konkreta exempel till abstrakt matematik.

7. 2. 2 Beräkningar av bråk.

De flesta eleverna kunde hantera addition eller subtraktion när bråken har samma nämnare. När bråken har olika nämnare hade de flesta eleverna bristande kunskaper om hur de skulle göra. De tänkte inte på att genomföra operationerna att förlänga eller förkorta bråktalen, så att de får gemensamma nämnare. Siegler och Pyke (2013) påpekar att många elever i

grundskolan har låga prestationer när det gäller området tal i bråkform. Det berodde på att eleverna hade svårt med att skilja mellan heltal och bråkens egenskaper, få den gemensamma nämnaren vid (addition och subtraktion) och använda lämpliga strategier vid bräkningar med bråk (t ex att 14 % av eleverna utförde den aritmetiska operationen på täljare och nämnare separat, som om de var heltal t ex 3/5+ 1/4= 4/9).

Enligt Braithwaite , Tian, och Siegler (2017) visar resultatet i deras studie att många elever har svårigheter med att hantera bråkräkningar speciellt när bråken har olika nämnare. Forskarna betonar också att svårigheterna med bråk beror på att många elever inte har tillräckliga kunskaper om bråkbegrepp.

Å andra sidan visade en elev förståelse för hur både lik- och oliknämniga tal beräknas och tänkte på att förlänga bråktalen för att få den minsta gemensamma nämnare. Detta förklarar Kilborn (2013) genom att sammanfatta hur man kan addera bråk med olika nämnare, att två tal i bråkform alltid kan skrivas om så att de får samma nämnare.

(32)

32

Resultatet visade att några elever har bristande kunskaper med räkneregler för multiplikation av bråk med heltal eller med bråk. Många elever kan förstå multiplikation av bråk med heltal som upprepad addition, men det kan vara svårt för många att betrakta heltalet som ett bråktal med nämnare lika med 1, och följa multiplikations regler av två bråk. För att kunna räkna multiplikation av två bråk, till exempel 2 ∕ 5 ∙ 3 ∕ 6, fungerar operationen av upprepad addition inte lika bra när den ena faktorn inte är längre ett heltal.

Därför, enligt Kilborn (2013), är det viktigt att eleverna förstår multiplikation som en

tvådimensionell operation (att använda sig av rutor eller formel för rektangelns area), och inte enbart som upprepad addition.

Siegler och Pyke(2013) visade i sin studie att eleverna använde sig felaktiga strategier när de räknade med bråk samt 26 % av eleverna som deltog i studien lämnade den gemensamma nämnare oförändrad på ett multiplikationsproblem (t.ex., 3/5 ∙ 4/5 =12/5).

När det gäller division, så hittar man inte detta räknesätt förrän i läroboken för år 9, som jag tidigare nämnde. Men ändå ville jag se hur de elever som deltog i undersökningen hade kunnat tänka sig en lösning till sådana uppgifter. Jag antog att eleverna bör ha kunskaper sedan tidigare av arbete med de naturliga talen- att kvoten är mindre än ett när täljaren är mindre än nämnaren, större än ett när täljaren är större än nämnaren, lika med ett när täljaren och nämnaren är lika stora. Dessa reglar gäller även om täljaren och/eller nämnaren är tal i bråkform.

En del elever redovisade sina resonemang muntligt genom att anknyta uppgiften till sin vardag, men de var tveksamma att utrycka kvoten med en symbol. De andra eleverna presenterade sina resonemang genom att rita bilder (geometriska figurer). Resultatet visade bristande kunskaper om begreppet kvot och att kunna uppskatta storleken av bråk. Många elever har svårt att förstå division av bråk, men att man utgår från elevernas tidigare förståelse samt från elevens vardag kan ibland hjälpa eleverna. Kilborn (2013) betonar att förståelsen för bråk underlättas genom att anknyta till elevernas verklighet. Detta sätt kan underlätta och förklara division med bråk uttryckt i ett formellt matematiskt språk. Å andra sidan anser Kerslake (1986) att användning av olika konkreta material som diagram eller bilder kan bidra till att barn kan smidigare förstå bråkens egenskaper.

7. 2. 3 Bråk som andel av helhet.

Resultatet visade att eleverna har förståelse för andel av helhet, de kunde tolka en andel av en helhet från en bild till en matematisk symbol. Därmed visade de tillräckliga kunskaper för täljaren och nämnarens betydelse när en kontinuerlig helhet delas i lika delar. I

(33)

33

kunskapskraven, står att ”I årskurs 1–3 ska eleverna arbeta med del av helhet och del av

antal. Hur delarna kan benämnas och uttryckas som enkla bråk, samt hur enkla bråk förhåller sig till naturliga tal”.

Men när uppgiften handlar om att dela figuren till lika stora delar, visade två elever

tillräckliga kunskaper, räknade rutorna och fokuserade på delarna och delade rutorna i hälften med två. De resonerade på samma sätt och kunde avgöra att en fjärdedel är lika med två åttondelar. Medan de andra var tveksamma. Det innebär att en del elever har otillräckliga kunskaper för att komma fram till ett resultat när figuren representerar en kontinuerlig mängd. Detta resultat visar att eleverna har brist i förståelsen om begreppet kvot och om att bråk är ett tal som har en storlek lika med kvoten mellan täljare och nämnare. Det kan leda till att en del av eleverna har det svårt att uppskatta storleken av ett bråk eller en kvot och att jämföra mellan täljare och nämnare. Kontinuerliga mängder tas upp av Engström (1997), där han har i sin forskning funnit att elever presterar bättre uppgifter med diskreta mängder medan

kontinuerliga mängder upplevs som svårare. Det är viktigt att ge eleverna möjligheten att utveckla förståelse för detta område, genom att ge eleverna olika uppgifter som innehåller diskreta och kontinuerliga mängder i olika former.

7. 2. 4 Bråk som del av antal.

En del elever hade brist i begreppsförståelsen, de visade bristande kunskaper för bråkens olika ansikten, att bråk kan ses som del av ett antal eller del av helhet. Det är även svårt för några elever att se bråk som andel, täljaren står för det antalet delar medan nämnaren står för det totala antalet.

I uppgift 4 skulle eleverna beräkna delen av vuxna som är vakna. De flesta visade olika missuppfattningar, dels att beräkna antalet vuxna som var vakna från den totalt ursprungliga passageraren utan att tänka att bland dem finns det en fjärdedel barn, och dels att beräkna andelen istället för delen.

Kerslake (1986) refererar i sin forskning till (CSMS), där resultat visade att det var många felaktiga svar på elevernas resultat, som pekade på att det finns missuppfattningar. Det leder i sin tur till olämpliga strategier.

En elev kunde lösa problemet muntligt, genom att använda sin tidigare kunskap inom division och multiplikation, men det var svårt för eleven att redovisa sin strategi skriftligt. Kilborn (1990) menar att elever kan applicera sin tidigare kunskap inom division och multiplikation på problem där bråk är en del av ett antal, utan användning av bråk i sig, men det är

(34)

34

Resultatet tyder på att eleverna behöver träna mer på att lösa olika problem för att utveckla problemlösningsförmåga. I sådana uppgifter är det intressant om eleverna redovisar sina lösningar istället för det rätta svaret. När eleverna förstår uppgiften, blir det möjligt att förklara hur de tänker och det kan stärka deras självförtroende och öka intresset till ämnet.

7. 2. 5 Vad tycker eleverna kring bråkräkning?

Eleverna som grupp tycker att matematik är viktig, däremot är det många som påstår att bråk är ett svårare räknesätt och att det knappt behövs i vardagen utan endast något man lär sig för att få betyg i skolan. Alltså tycker de att bråkräkning är viktig under matematiklektionerna- ingen annanstans- då de menar på att det är mycket enklare med decimalform. När jag ställer frågan kring bråkens användning, blir svaret en anknytning till delning av saker och ting. Därav bör vi som lärare utgå från elevens vardag för att lära in bråkräkning.

Detta resultat kan bero på att de inte använder sig av bråkräkning till vardags eller för att de inte ser fördelarna med att kunna komplettera decimalräkning med bråkräkning. Det kan även bero på att eleverna inte har fått så mycket undervisning inom detta område under skolans tidigare år. Därför vill jag lägga fokus på detta område och även försöka behandla det. Braithwaite , Tian, och Siegler (2017) betonar också att svårigheterna med bråk beror på att många elever inte har tillräckliga kunskaper om bråkbegreppet. Å andra sidan menar Kerslake (1986) att många elever vill undvika att arbeta med bråk, och kan inte tänka på bråk som tal alls. De verkar känna sig mer säkra när de arbetar inom heltal och när de flöjer räknemetoder för heltal.

Läraren måste se till att eleverna kan se nyttan av att använda sig av bråkräkning och lära sig olika metoder för att lösa matematiska problem, de ska även kunna tolka andras lösningar. I samtalen med eleverna märkte jag att de inte bara har svårt med bråkräkning utan några hade även svårt att kunna göra sina resonemang tydliga. I stället för att använda sig av termer som täljare och nämnare sa de ”den där uppe” och ”den där nere”. För en av eleverna låste det sig totalt och han sa bara ”jag kan inte”.

Att skapa en språkutvecklande undervisning med fokus på ämnesspråket, och låta eleverna verkligen prata matematik, är viktigt för att bygga en stabil grund till matematiken. Detta är bättre än att eleverna bara jobbar individuellt och aldrig tvingas reda ut sina tankar om olika begrepp och sammanhang. Därmed kan detta ge eleverna bättre självförtroende som kan leda till godkända betyg. I kursplanen matematik står att ”Eleverna ska genom undervisningen

också ges möjlighet att utveckla en förtrogenhet med matematikens uttrycksformer och hur dessa kan användas för att kommunicera om matematik i vardagliga och matematiska sammanhang.”

(35)

35

Med laborativt arbete kan eleverna träna sina färdigheter i bråkform, uppleva matematiken genom att (se, röra och känna). Att leta efter olika exemplar och använda olika konkreta material som bilder, tallinjen och koppla bråk till elevens vardag (t.ex. pizzor, tårtor) är ett sätt att underlätta bråk och göra det begripligt för eleverna. Det erbjuder eleverna möjligheter att se hur naturliga tal och rationella tal i bråk och decimalform är relaterade.

Kerslake (1986) anser att användning av olika diagram, bilder samt tallinje kan utvidga bråkens begrepp och vara till hjälp för att illustrera begreppet "en del av en hel”.

Kilborn (2013) menar att området tal i bråkform ofta uppfattas som svårt och därför har det tonats ner. Istället för att förklara ”krångliga” formler och regler för bråkräkning har man tonat ner bråkens betydelse och istället fokuserat på decimaltal. Vidare anser han att eleverna i grundskolan måste vänjas vid att behålla tal i bråkform och att förstå bråk. Annars kommer det att bli svårt för dem på gymnasiet. Därför behöver de gå från konkreta exempel till abstrakt matematik.

Sammanfattningsvis, problemet är alltså inte nytt och de svårigheterna som har identifierats i tidigare forskning, finns även hos eleverna i min undersökning.

(36)

36

8. Reflektioner och förslag till vidare

forskning.

Bekken och Mosvold (2015) anser att matematiken bör ses ur olika perspektiv. För att bygga den bästa förståelsen för matematiken är det viktigt att lektioner skapas utifrån elevens ögon. Läraren ska försöka variera sin undervisning och skapa olika metoder för att komma fram till elevens tänkande och försöka främja sitt tänkande.

Ett annat bra sätt är att arbeta ämnesintegrerat och i samarbete med andra ämneslärare, exempelvis slöjdlärare eller hemkunskap lärare, och planera tillsammans en aktivitet och koppla det till området tal i bråkform (t ex, jag samarbetade med slöjdläraren för att planera och genomföra ett klassbesök till sy-slöjdsalen). Där kunde eleverna använda olika material som knappar, pärlor och måttband för att kunna se, röra och känna olika delar och andelar. De använde även måttband för att mäta och klippa tyget. På så sätt kunde de träna olika måttenheter och koppla det till bråkform samt decimalform.

I mitt arbete är det naturligt med kontinuerlig feedback som eleverna möter dagligen i

klassrummet och i undervisningen. Jag upplever att när eleverna gör felaktiga beräkningar så använder vi detta i undervisningen på ett naturligt och positivt sätt, vilket bidrar till att de utvecklas vidare i sitt eget lärande och tänkande. Det är tillåtet att göra fel men det är viktigt att förstå varför det är fel för en bättre utveckling. Det ska vara ett stöd för eleverna att fördjupa sina kunskaper genom främst återkopplingen samt jag som lärare drar nytta av bedömningsresultaten så att jag kan anpassa min undervisning till att matcha mina elevers behov mer effektivt.

I den här undersökningen fokuserade jag på enkla beräkningar och några grundläggande egenskaper hos bråk. En viktig del när det gäller elevens taluppfattning är att kunna växla mellan olika uttrycksformer. Därför det är viktigt att eleverna träna på att förstå att bråkform, decimalform och procentform beskriver samma andel och att de endast skrivas i olika former. Därför kan möjliga förslag till vidare forskning vara att undersöka elevers taluppfattning genom att göra en koppling exempelvis mellan bråkräkning och procenträkning, och se hur eleverna ska tänka kring det, samt hur undervisningen kan dra nytta av och utgå från elevernas ofta felaktiga förutsättningar kring tal i bråkform.

(37)

37

9. Referenser.

Behr, M., & Post, T. (1992). Teaching rational number and decimal concepts. In T. Post (Ed.), Teaching mathematics in grades K-8: Research-based methods. (2. uppl., s. 201-248). Boston: Allyn and Bacon.

Bekken,O.B. & Mosvold, R (2015). Reflektioner kring en videostudie. Göteborg: NCM, . Göteborgs universitet.

Braithwaite, David W., Tian, J., & Siegler, R. S.(2017). Do children understand fraction

addition?. Tillgänglig:

https://eric.ed.gov/?id=ED574835

http://www.psy.cmu.edu/~siegler/InPress-BraithwaiteTianSiegler.pdf

Engström, A. (1997). Reflektivt tänkande i matematik. Stockholm: Almqvist & Wiksell International.

Hajer, M. & Meestringa, T. (2012). Språkinriktad undervisning en handbok. Stockholm. Hallgren & Fallgren Studieförlag AB.

Johansson, Bo & Svedner, P. O. (2006). Examensarbetet i lärarutbildningen:

undersökningsmetoder och språklig utformning (4. uppl.). Uppsala: Kunskapsföretaget

Kerslake, D. (1986) .Fractions: children's strategies and error. A report of the strategies and

errors in secondary mathematics project. London:Chelsea College, University of London.

Kilborn, W. (1990). Didaktisk ämnesteori i matematik. D. 2, Rationella och irrationella

tal. (1. uppl.) Stockholm: Utbildningsförl.

Kilborn, W. (2013). Bråk i kursplanerna och elevers kunskaper om bråk. Stockholm: Skolverket.

Kilborn, W. (2013). Multiplikation och division av tal i bråkform. Stockholm: Skolverket. Kiselman, C. & Mouwiz, L. (2008). Matematisktermer för skolan. Göteborg: NCM,

(38)

38

Löwing, M. & Kilborn, W. (2002). Baskunskaper i matematik: för skola, hem och samhälle. Lund: Studentlitteratur.

McIntosh, A. (2008). Förstå och använda tal – en handbok. Göteborg: Göteborgs universitet NCM.

Nationalencyklopedin (NE), bråk. http://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/lång/bråk

(hämtad 2018-11-14)

Nationalencyklopedin, gemensam nämnare.

http://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/lång/gemensam-nämnare(hämtad 2018-11-20)

Patel, R. & Davidson, B. (2014). Forskningsmetodikens grunder. Lund: Studentlitteratur.

Siegler, R.S., & Pyke, A.A. (2013). Developmental and individual differences in understanding of fractions. Developmental Psychology. 2013, No. 10.

Skolverket (2015). Läroplan för grundskola, förskoleklassen och fritidshemmet 2011, Stockholm: Skolverket.

(39)

39

Bilaga 1/ Elevblad.

Uppgift 1: Jämföra bråk.

Vilket bråk är störst? förklara ditt svar.

a) 38 eller 58 b) 57 eller 59 c) 57 eller 23 Uppgift 2: Beräkning av tal i bråkform

Beräkna och förklara ditt svar.

a) 15 + 25 b) 23 + 16 c) 56 - 14 d) 25 ∙ 36 e) 2 ∙ 49 f) 1 2 2 ⁄

Uppgift 3: Bråk som andel av helhet". a) Skugga en fjärdedel av figuren.

b) Skugga en åttondel av figuren.

(40)

40

På en buss med 36 passagerare, var 14 barn och resten var vuxna. Bland de vuxna var det 23 som sov. Hur många vuxna passagerare var vakna?

Uppgift 5: Tycker du att bråkräkning är svårt? Försök förklara varför.

Uppgift 6: Är det viktigt att kunna bråkräkning? Varför/varför inte?

(41)

41

Bilaga 2/ Brev till vårdnadshavaren

Hej!

Mitt namn är Rawaa Al Shaheen . Jag arbetar som lärare i matematik i Kristianstad kommun. Jag läser nu min sista kurs som matematik lärare åk7-9 i Malmö universitet, vilket innebär att jag nu håller på att skriva mitt examensarbete. Mitt examensarbete handlar om tal i bråkform, som är ett viktigt område inom matematiken.

Syftet med studien är att närmare undersöka hur era barn tänker kring tal i bråkform genom enkla intervjuer samt lösa olika matematiska uppgifter. All data kommer att behandlas konfidentiellt och ingen enskild person eller skola kommer att kunna identifieras. För att jag ska kunna genomföra intervjuerna med era barn behövs ett godkännande från er föräldrar. När du/ ni tagit del av denna information och samtycker att ditt/ert barn får delta i denna studie lämnas lappen tillbaka till mig. Tack på förhand!

Är det något du/ni undrar över så går det bra att maila mig. Rawaa. al. Shaheen@ utb. kristianstad.se

Jag/vi godkänner att mitt/vårt barn får delta i studien.

Elevens namn:……….. Vårdnadshavaren: ………

Figure

Tabell 6.1 Resultatet av elevernas lösningar för uppgift 1.

Tabell 6.1

Resultatet av elevernas lösningar för uppgift 1. p.19
Tabell 6. 2 Resultatet av elevernas lösningar för uppgift 2.

Tabell 6.

2 Resultatet av elevernas lösningar för uppgift 2. p.22
Figur 2. Elevlösning, beräkning av tal i bråkform.

Figur 2.

Elevlösning, beräkning av tal i bråkform. p.23
Figur 1. Elevlösning, addition av bråk med olika nämnare

Figur 1.

Elevlösning, addition av bråk med olika nämnare p.23
Figur 3. Elevlösning, bråk som andel av helhet

Figur 3.

Elevlösning, bråk som andel av helhet p.26

References

Related subjects :