GREPPA TILLSAMMANS
En kvalitativ studie om betydelsen om hur lärare arbetar med att undervisa och befästa matematiska begrepp i årskurs 1–3
FASSIKA GUSTAVSSON & MIKAELA KARLSSON GAETANI
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Pedagogik
Självständigt arbete – pedagogiskt område Grundnivå, 15 hp.
Handledare: Simon Sjölund Examinator: Tor Nilsson HT/VT År 2020/2021
Akademin för utbildning Självständigt arbete
kultur och kommunikation MAA035 15 hp
HT/VT År 2020/2021
SAMMANFATTNING
_______________________________________________________ Fassika Gustavsson & Mikaela Karlsson Gaetani
Greppa tillsammans
En kvalitativ studie om betydelsen om hur lärare arbetar med att undervisa och befästa matematiska begrepp i årskurs 1–3
Grasp Together
År 2020/2021 Antal sidor: 24
_______________________________________________________ Syftet med föreliggande studie är att ur ett lärarperspektiv, fördjupa kunskapen om hur lärare beskriver att de arbetar med och kartlägger matematiska begrepp i matematikundervisningen i årskurs 1–3. Studien utgår ifrån ett lärarperspektiv. Studiens resultat visar på en variation av arbetssätt som lärare arbetar utifrån för att undervisa om matematiska begrepp, exempelvis med hjälp av konkreta material. Kartläggningsstrategier urskiljs även, exempelvis via diagnoser och formativ
feedback. Studien tar stöd av ett pragmatiskt perspektiv och har en kvalitativ ansats. I databearbetningen har ett ytterligare perspektiv trätt fram, makt. Slutsatsen är att elevers förmåga att ta till sig och befästa matematiska begrepp ligger på hur lärare förvaltar sin lärarprofession. Vår studies resultat kan vara ett bidrag till fortsatt forskning, om hur lärare upplever att undervisningen kan läggas upp och hur kunskaper kan kartläggas, för att på bästa sätt vara rättvisande och vägledande till det livslånga lärandet, i förhållande till matematiska begrepp.
_______________________________________________________ Nyckelord: arbetssätt, kartläggning, lärarperspektiv, makt, matematiska begrepp, pragmatism, undervisning
Innehållsförteckning
1 INLEDNING ... 1
1.1 Syfte och forskningsfrågor ... 1
2 BAKGRUND ... 2 2.1 Tidigare forskning ... 2 3 TEORETISKT PERSPEKTIV ... 3 4 METOD ... 5 4.1 Kvalitativ ansats ... 5 4.2 Urval ... 5 4.3 Genomförande ... 5 4.3.1 Datainsamling ... 5 4.3.2 Databearbetning ... 6 4.3.3 Tolkning av empiri ... 7
4.4 Trovärdighet och tillförlitlighet ... 7
4.5 Etiska principer ... 9
5 RESULTAT ... 9
5.1 Empiri ... 9
5.1.1 Varierad undervisning och undervisa på olika sätt ... 9
5.1.2 Inkludering och delaktighet i undervisningen... 10
5.1.3 Repetition ... 11
5.1.4 Elever hänger med i undervisningen ... 11
5.1.5 Medveten användning av matematiska begrepp ... 12
5.2 Tolkning av empiri ... 12
5.2.1 Undervisning om matematiska begrepp ... 12
5.2.2 Kartläggning av matematiska begrepp ... 15
5.3 Resultatsammanfattning ... 17
6 DISKUSSION ...19
6.1 Resultatdiskussion ...19
6.1.1 Slutsats ... 20
6.3 Fortsatt forskning ... 21 REFERENSER ... 23
1
1 INLEDNING
McIntosh (2008) beskriver i likhet med Baroody och Dowker (2003) vikten av begreppskunskap och att den används på ett adekvat sätt i
matematikundervisningen. McIntosh (2008) skriver att negativa konsekvenser av elevers misstag i matematik kan förekommas och undvikas, om elever får god förståelse för begreppens innebörd. Misstag ses av författaren därför sällan som en slump. Det är således viktigt att lärare undervisar matematiska begrepp på ett varierande vis, där elever får lära och förstå begreppen utifrån olika
representationsformer (Häggblom, 2013). Elevers förutsättningar att befästa
matematiska begrepp beror på lärares sätt att undervisa. Det är också viktigt med ett gott inlärningsklimat där elever kan arbeta med begreppen på varierande sätt, för att känna tilltro till den kunskap som de tagit in (Baroody & Dowker, 2003). I Skolverket (2019) står det att elever ska ges förutsättningar för att utveckla bland annat
begreppsförmåga, som är en del av de kunskapsmål som ska uppfyllas i årskurs 3. Under våra VFU-perioder har vi noterat att det finns en stor variation i hur lärare använder matematiska begrepp i undervisningen. Dessa observationer har väckt frågor hos oss som rör kunskapsinhämtning och förståelse för matematik. Dessa funderingar kan exempelvis vara hur elever tar sig an uppgifter och hur matematiska begrepp befästs. Forskning visar att en homogen terminologi är avgörande när det kommer till att utvecklas inom matematik. Forskning visar att lärares användning av denna terminologi varierar i undervisningen och att det kan ha påverkan på elevers utveckling av matematiska kunskaper och förmågor (Engvall, 2013). Det är därför viktigt för oss att närmare undersöka hur lärare arbetar för att befästa och kartlägga matematiska begrepp i årskurs 1–3.
1.1 Syfte och forskningsfrågor
För att adressera problemet som Engvall (2013) skriver om, är syftet med
föreliggande studie att ur ett lärarperspektiv, fördjupa kunskapen om hur lärare beskriver att de arbetar med och kartlägger matematiska begrepp i
matematikundervisningen i årskurserna 1–3.
Följande forskningsfrågor konkretiserar studiens syfte:
1. Hur beskriver lärare att de arbetar för att befästa matematiska begrepp hos elever i årskurs 1–3?
2. Hur beskriver lärare att de arbetar för att få syn på vilka matematiska begrepp elever i årskurs 1–3 har befäst?
Pragmatisk teori och kvalitativa intervjuer kommer att ligga till grund för att besvara forskningsfrågorna. Vi kommer också genomgående i studien att hänvisa till lärares beskrivning av undervisning om matematiska begrepp, som ett fenomen.
2
2 BAKGRUND
I detta avsnitt presenteras tidigare forskning om undervisning om matematiska begrepp som ligger till grund för vårt arbete. Redogörelsen framförs utifrån det allmänna mot det konkreta.
2.1 Tidigare forskning
Kupferberg (2012) har skrivit en artikel om undervisning i allmänhet. I en del av artikeln presenterar författaren ett förlegat förhållningssätt till undervisning. Detta tidigare förhållningssätt utgår ifrån att undervisning endast bestod av en
kunskapsöverföring, från lärare till elev. Tanken var tidigare att stoffet var det väsentliga i undervisningen, det låg sedan på elever att ta till sig den kunskap som lärare presenterat. Detta sätt att förhålla sig till elever i tidiga skolår har dock
frångåtts, då forskning visat att det finns skäl att undersöka inlärningsmöjligheter ur elevers perspektiv. Ansvaret har med tiden flyttats från elev till skolan.
Choi m.fl. (2017) och Agodini och Harris (2010) skriver i motsatt riktning mot Kupferbergs tidigare förlegade förhållningssätt och riktar sig mer mot dagens moderna och inkluderande skola. Författarna skriver att lärare ska ge elever de verktyg som krävs för att de ska få möjlighet att reflektera och diskutera olika begrepp inom matematiken. Detta kan då leda till en djupare förståelse för de matematiska begreppen för elever. Elever som får laborera med konkret material, interagera via pedagogiska spel, dokumentera och sedan presentera sitt arbete genom samtal med andra elever och lärare, får enligt författarna, fler möjligheter att
använda de korrekta begreppen i sina rätta sammanhang. Agodini och Harris (2010) har studerat elever i årskurs 1–3, där olika grupper har fått arbeta med matematik efter olika typer av läroplaner. Samtliga läroplaner innefattar samma kunskapsmål, men undervisas utifrån olika perspektiv. Studien visar att de elever som uppnått bäst resultat i tester är de elever som fått en relaterbar, för eleverna verklighetsförankrad och varierad undervisning. Författarna redovisar exempel på hur undervisningen kan se ut. Den kan dels innebära en kombination av lärarledd teoretisk undervisning, dels undervisning som utgår från elever och deras erfarenheter och kunskaper.
Undervisningen innefattar variation, vilket författarna presenterar som olika
praktiska representationsformer. Dessa kan bestå av att rita, måla eller diskutera sig fram till olika slutsatser där de får möjlighet att använda matematiska begrepp. Författarna menar att elever lär sig bäst om de får möjlighet att blanda teori och praktik.
The curriculum uses a combination of teacher-directed and student-centered instructional approaches. Key aspects of the curriculum include specified algorithms, use of math language, math drawings and visual representations, an emphasis on in-depth sustained learning of core grade-level concepts (Agodini & Harris, 2010, s.199).
Agodini och Harris (2010) studie styrks av Fouryza, m.fl. (2019) som har studerat samma fenomen, men betonar fenomenet med hjälp av informell och formell
3
kunskap. Författarna menar att den formella kunskap som skolan ska tillhandahålla
elever, behöver introduceras på ett elevnära sätt så att elever under hela
inlärningsprocessen kan relatera till de matematiska begrepp som ska befästas. Författarna beskriver barns informella kunskap som den kompetens de har med sig innan skolstart. Med informell kunskap menas de erfarenheter som barn samlar på sig och sedan kan använda sig av i specifika kontexter, exempelvis kan ett barn förstå begrepp som större och mindre. För barnet kan den kunskapen dock begränsas till att jämföra sig själv med sin far som är större. Då barnet sedan börjar skolan och blir en elev kan den informella kunskapen övergå till formell kunskap. Carpenter och Fennema (1989) menar likt Fouryza m.fl. (2019) att skolan ska vara en brygga mellan barns informella kunskap och skolans formella kunskap, som sedan ska befästas och kunna användas i andra sammanhang utanför klassrummet. Författarna skriver att motiverande och varierad undervisning som kombinerar teori och praktik på ett elevnära sätt, ökar elevers möjligheter att befästa matematiska begrepp. Det innebär att det teoretiska kan läras in via praktiska övningar, eftersom elever gynnas av att få leka sig till kunskap. Det kan innebära att sjunga, arbeta med konkret material eller använda alternativa lärverktyg, exempelvis spel online. Läroboken är inte, enligt författarna den enda vägen till kunskap.
Dessa undervisningsmetoder beskriver Hansson (2019) vidare utifrån ett
lärarperspektiv och lärares förhållningssätt i klassrummet. Författaren menar att repetition och förstärkning av de matematiska begreppens innebörd är mycket viktig för elevers inlärning. Då elever introducerats för uppgifter som innefattar krav på kunskap kring matematiska begrepp, menar författaren att lärare med fördel kan ta en vägledande roll i klassrummet. Syftet med det är att ge eleverna utrymme att själva arbeta med och reflektera över sina uppgifter. Lärares vägledning kan bestå av att uppmuntra elever till att skriva matematiska symboler och självmant använda sig av matematiska begrepp i samtal. Resultatet i Hanssons (2019) studie visar att lärare på ett tydligare sätt kan se elevers befästa kunskaper, då elever fått arbeta med
aktiviteter där matematiska begrepp används korrekt och konsekvent. Planerade aktiviteter kan innefatta enskilt arbete, där elever kan skriva symboler och får läsa ut de matematiska begreppen. Aktiviteterna kan också bestå av att elever arbetar i par för att samtala kring problemlösning. Detta i kombination med lärares
helklassundervisning, där matematiska begrepp introduceras, bearbetas och
repeteras. Detta sätt att undervisa, menar författaren utifrån ett lärarperspektiv, ger elever goda chanser att få djupare förståelse för matematiska begrepp.
3 TEORETISKT PERSPEKTIV
Vi väljer att använda ett pragmatiskt perspektiv för att undersöka, förstå och sammanfatta vår empiri. Säljö (2017) skriver om Dewey som en av pragmatismens grundare. Dewey (2015) skriver att det aktiva tänkandet innebär att människan fritt ska kunna tolka sin omvärld för att kunna ta till sig och förvalta sina erfarenheter. Dewey skriver vidare att undervisningen därför bör anpassas efter elevers
4
förutsättningar för att ny kunskap ska kunna byggas. Dewey (2015) hävdar att undervisning som bygger på vardagsnära erfarenheter blir mer betydelsefull för elever. Undervisningen får en djupare mening då den blir relaterbar och begriplig, detta leder till att kunskapen kan sättas i olika sammanhang. Månsson (2014) skriver att detta sätt att arbeta på är inkluderande på så vis, att elevers tidigare erfarenheter tas till vara på och att elever får uppleva samhälleliga frågor i en mindre kontext. Ett känt uttryck av Dewey ”You teach a child, not a subject’’ signalerar om hur barnets perspektiv sätts i fokus, då det kommer till undervisning (Säljö, 2017). Burman (2014) beskriver att pragmatismen står på en kommunikativ grund där det sociala livet är ett lärande. Dewey (2015) skriver att det sociala livet innefattar interagerande och överförande av kommunikation, människan lär alltså i samspel med andra. Samhällsutveckling kräver denna typ av kunskapsutbyte för att
erfarenheter och kunskaper ska kunna föras vidare och på så vis vara i ständig utveckling. Samverkan mellan teori och praktik är en aktiv process där
förutsättningarna för teori är praktik och tvärtom. Skolan ska förse elever med
möjligheten att ta in kunskap på båda sätten, som för Dewey (2015) är lika viktigt för inlärningen, då elevers tanke och handling har lika stor betydelse. Då undervisningen innefattar både teori och praktik kan en djupare förståelse skapas. Kombinationen av teori och praktik kan förstärka elevers känsla för delaktighet i aktiviteter då elever ges utrymme att dela med sig av erfarenheter (Hjulström, 2014). Dewey (2015) menar att elever som får uppleva ämnen både teoretisk och praktiskt kan ta till sig kunskap, till skillnad från elever som endast fått teoretisk undervisning.
Säljö (2017) skriver att lärande grundar sig i elevers tankar och ideér, utifrån vilka elever behöver söka svar. Enligt Deweys (2015) filosofi är det skillnad på att känna till fakta, och att faktiskt kunna något. Då elever söker svar utifrån sina frågeställningar kan de även ta till sig kunskap utifrån egna förutsättningar. Detta gör eleverna delaktiga och aktiva i undervisningen. Genom att interagera och socialisera med andra kan erfarenheter delas, vilket kan leda till att nya kunskaper växer fram i en
demokratisk anda. Likvärdighet, jämställdhet och elevinflytande är viktiga faktorer
för en likvärdig skola som vilar på en demokratisk grund. Ett demokratiskt
förhållningssätt i skolan innefattar en social miljö och kommunikation där samtliga i klassrummet deltar efter givna förutsättningar. På individnivå innebär detta en kontrollerad frihet, där exempelvis elevinflytande är positivt så länge det gynnar fler personer i klassrummet. Denna kontrollerade frihet beskriver Dewey (2015) som en
maktdimension och det är något han yttrar i sina filosofiska tankar vad gäller
demokrati i skolan. Dewey beskriver detta som self-control, vilket innebär att kontrollerat kunna avspegla sina tankar både verbalt och praktiskt. Makt manifesterar sig i hur människan agerar och representerar då sig själv.
5
4 METOD
I avsnitt 4.1 beskrivs kvalitativ ansats. Avsnitt 4.2 beskriver studiens urval. 4.3 redovisar studiens genomförande, det insamlade materialet, bearbetning av data och tolkning av empiri. I 4.4 presenteras trovärdighet och tillförlitlighet,
sanningskriterier och reflexivitet. I avsnitt 4.5 beskrivs de forskningsetiska aspekterna.
4.1 Kvalitativ ansats
Denna kvalitativa studie baseras på ett flertal intervjuer med fem verksamma lärare i årskurs 1–3, från ett flertal skolor i Mellansverige. Avsikten med de kvalitativa
intervjuerna är att informanterna ska få återge sin egen tolkning av studiens
intervjufrågor. Tivenius (2015) beskriver språkliga data (intervjuer) som en effektiv metod i kvalitativ forskning, detta för att möjligheten att få fram en autenticitet och kärna i informanternas svar ökar. Detta förfarande beskriver även Denscombe (2018) som gynnande för kvalitativ forskning. Då studien utgår ifrån ett lärarperspektiv med pragmatismen som stöd, har data samlats in via lärares praktiska erfarenheter och tankar. Språkliga data blir då användbart i sökandet på kunskap om informanternas praktiska erfarenheter. Den kvalitativa ansatsen relaterar till studiens pragmatiska perspektiv och blir relevant då informanternas kunskap är värdefull, men tillfällig i den mening att den är en färskvara.
4.2 Urval
Urvalet till denna studie är baserat på flertalet erfarna och verksamma lärare i
årskurs 1–3, belägna på olika skolor i Mellansverige. Alla lärarna har erfarenhet av att undervisa inom ämnet matematik och har frivilligt valt att delta i studien. Samtliga informanter har intervjuats var för sig, med samma frågor som utgångspunkt och är alla handplockade till denna studie. Då de sedan tidigare är bekanta för oss har de kunnat väljas ut för just detta specifika syfte. Detta beskriver Denscombe (2018) som ett subjektivt urval.
4.3 Genomförande
I detta kapitel presenteras datainsamlingsprocessen, bearbetning av data och tolkning av det insamlade materialet.
4.3.1 Datainsamling
På grund av rådande pandemi och de rekommendationer Folkhälsomyndigheten gått ut med, består vår datainsamlingsmetod av kvalitativa semistrukturerade intervjuer. Informanterna har på grund av dessa omständigheter fått möjlighet att påverka tidsanspråk och på vilket sätt de vill bli intervjuade, de givna alternativen var via Zoom eller mail. Majoriteten av informanterna valde att bli intervjuade via Zoom, där
6
de också givit sitt godkännande till inspelning av intervjun. För att få en så verklig bild av informanternas egna tankar och upplevelser som möjligt, genomfördes
semistruktureradeintervjuer på cirka 30 - 60 minuter. Intervjuerna bestod av femton grundfrågor samt en avslutande punkt där informanterna gavs tillfälle att reflektera fritt. Dessa frågor kompletterades sedan med följdfrågor för att förtydliga svaren ytterligare, för att samla in så pass omfattande data som möjligt. Intentionen med metoden var att fånga den efterfrågade kunskapen ur ett lärarperspektiv. Målet har varit att få en så målande bild av informanternas syn på undervisning om
matematiska begrepp som möjligt.
Patel och Davidson (2011) skriver att semistrukturerade intervjuer kan vara en bra datainsamlingsmetod i kvalitativa studier, då informanten själv kan påverka i vilken utsträckning hen vill svara på frågorna. Intervjun kan då återge en så sann spegling av informanternas verklighet som möjligt. Frågeställningarna ska också vara styrda i en bestämd riktning där det finns utrymme för öppna svar, så att informanten kan tala ohämmat. Författaren menar att syftet med semistrukturerade intervjuer är att få en känsla för hur ett fenomen upplevs av informanten och att informanten känner sig bekväm under intervjun. Informanten ska också få möjlighet att omformulera sig och få god tid att svara på frågorna.
4.3.2 Databearbetning
Intervjuerna transkriberades och sammanställdes. Ur intervjusvaren uppkom utsagor som var av betydelse för att kunna besvara våra två forskningsfrågor. Utsagorna sorterades och numrerades för att kunna avkodas och ges en initial kod. Den initiala koden utgjorde sedan grunden för kategorikoder. Därefter granskade vi
intervjusvaren ytterligare för att kontrollera dess koherens med utsagorna. Efter granskning och vidare analys av den bearbetade datan växte fem kategorier fram ur kategorikoderna, vilka ligger till grund för vår empiri. Denna process är utförd enligt Tivenius (2015) abstraktionstrappa som påminner om en innehållsanalys, vilket Denscombe (2018) skriver om, men med en induktiv ansats.
I framväxten av våra kategorier har vi kunnat se att ett maktperspektiv träder fram, då lärare beskriver att de har möjligheter, skyldigheter och ett ansvar i sin lärarroll. Detta har gjort att vi har fått utveckla den teoretiska delen med att inkludera ett maktperspektiv, vilket du läst om i kapitel 3.
Här följer ett exempel på framtagandet av kategorin medveten användning av
matematiska begrepp.
• Utsaga 5: ”Om jag konsekvent använder terminologin från början så blir den befäst, då har det i alla fall inte påverkat eleverna negativt. Det är alltid lättare att lära rätt från början än att behöva lära om” (Informant 1).
Initial kod: Rätt begrepp från början.
• Utsaga 7: ”Jag ser att, eller om elever förstår matematiska begrepp genom diagnoser, exempelvis från Skolverket, men också när jag pratar om de olika begreppen med
7
eleverna. Det tycker jag nog jag ser bäst på, via kommunikation” (Informant 3). Initial kod: Samtal kring matematiska begrepp.
• Utsaga 28: ”Använder elever begreppen korrekt när de förklarar hur de tänker, är det för mig en indikator på att de vet, kan” (informant 1).
Initial kod: Självständigt användande.
• Utsaga 42: ” I alla moderna läromedel används begreppen från start. Sedan är det upp till den enskilde läraren att förhålla sig till vilka begrepp hen använder. Jag är helt övertygad om att det i alla fall inte påverkar dem negativt. Tvärtom” (Informant 2). Initial kod: Eget ansvar.
Dessa utsagor är några av de citat som ligger till grund för kategorin medveten
användning av matematiska begrepp. De initiala koderna utgör kategorikoderna.
4.3.3 Tolkning av empiri
Intentionen med den valda kvalitativa ansatsen var att få fram informanternas genuina tolkning av intervjufrågorna. Intervjuerna utfördes genom
semistrukturerade intervjuer. Studiens forskningsfrågor ligger till grund för samtliga intervjufrågor och därför kan informanternas svar kopplas tillbaka till våra två forskningsfrågor. Den nedmonterade datan skapade fem olika kategorier där kärnan synliggjordes och tillsammans bildade en helhet. Denna helhet gav i sin tur studien riktning mot att besvara forskningsfrågorna. När kategorierna bildats framträdde det maktperspektiv som beskrivs närmare i avsnitt 4.3.2, vilket hänsynsfullt har
behandlats och fått ta plats. De fem kategorierna som växte fram under vårt arbete gav oss en förståelse för hur vi kunde besvara våra forskningsfrågor.
(Rimlighetskriteriet, koherenskriteriet). Kategorierna blev: varierad undervisning och undervisa på olika sätt, inkludering och delaktighet i undervisningen,
repetition, elever hänger med i undervisningen och medveten användning av
matematiska begrepp. För att tolka den empiri som vi tagit fram i databearbetningen
har vi använt oss av det pragmatiska perspektivet med Dewey som grund. De använda teoretiska begreppen det aktiva tänkandet, vardagsnära erfarenheter,
demokrati, delaktighet, inkludering, makt, teori och praktik, sociala livet och lärande, har varit centrala och givit mening och djup till den insamlade empirin och
därmed hjälpt oss att besvara våra forskningsfrågor. Resultatet korresponderade med bakgrunden, vilket gav att studien gick från det mer abstrakta mot det konkreta (korrespondenskriteriet).
4.4 Trovärdighet och tillförlitlighet
Denna kvalitativa studie anser vi vara trovärdig utifrån vår förmåga att noggrant och strukturerat samla in data, hantera material och framställa ett resultat. Vi kan inte påstå att vår studie är exakt i alla avseenden, dock är den presenterad på ett utförligt sätt enligt god praxis (Denscombe, 2018). Som vi nämnde i kapitlet datainsamling har Covid-19 påverkat vårt sätt att samla in data. Då vi valt att till viss del studera lärares arbete hade intervjuer i kombination med observationer varit mest rimligt vid datainsamlingen. Dessa omständigheter har dock gjort att vi fått anpassa oss och
8
tagit hänsyn till de restriktioner som finns, vad gäller smittspridning under
pandemin. Intervjuer via Zoom har därmed funnits närmast till hands, för att kunna utföra denna studie och samla in så detaljerade data som möjligt.
För att besvara forskningsfrågorna har vi noga valt vårt teoretiska perspektiv, pragmatismen, för att ge vår forskning ryggrad, substans och relevans. Det finns tidigare forskning inom matematiska begrepp som gjort att vår studie fått en god grund som ger skäl till våra frågeställningar. Studiens resultat anser vi är trovärdiga, dock kan vi inte uppfatta den som helt tillförlitlig då andra resultat skulle kunna uppkomma om samma typ av studie skulle utföras av andra forskare än oss. Vi anser dock att våra tillvägagångssätt och beslut är utförda på så vis att de kan återspegla tillvägagångssätt och beslut som andra forskare kan relatera till (Denscombe, 2018). Forskningsfrågorna skulle kunna besvaras med stöd i ett annat teoretiskt perspektiv, för att lyfta och se resultatet ur en annan synvinkel. Pragmatismen kände vi dock kunde vara en solid grund att utgå ifrån när vi studerade fenomenet, eftersom vår tolkning är att pragmatismen är en väletablerad teori inom skolväsendet.
Sanningskriterier
I och med studiens utformning har de fyra sanningskriterierna höjt trovärdigheten på vår studie. Den insamlade datan har vi brutit ned och analyserat, för att sedan
montera samman dem. Då kärnan i resultatets delar synliggjordes, gjorde det studien sammanhängande och konsekvent, koherenskriteriet. Vi upplever att studiens
resultat återger en sanningsenlig och realistisk bild, rimlighetskriteriet. För att genomgående kunna ha fenomenet i fokus har studien utgått ifrån det allmänna mot det konkreta med stöd av ett teoretiskt perspektiv, korrespondenskriteriet. Vägen från utsaga till kategori har givit oss kunskap och information som inte går att begrunda utan reflektion och resonerande, det aletiska sanningskriteriet. Sett till generaliserbarhet avstår vi från att beröra det på ett djupare plan, då studien har en kvalitativ ansats och resultatet ämnar bidra till en djupare diskussion snarare än undervisning i större sammanhang (Tivienius, 2015).
Reflexivitet
I avvaktan på studiens resultat har vi öppet observerat studiens riktning. Svaren på våra forskningsfrågor har vuxit fram under bearbetningsprocessen, detta arbete har givit oss ett resultat som fördjupat förståelsen för hur lärare kan arbeta på ett
systematiskt, gynnande och vägledande sätt. Resultatet har också synliggjort hur matematiska begrepp kan läras in och befästas i årskurs 1–3. Genom att studera informanternas intervjusvar har vi i vår forskarroll fått möjlighet att reflektera över våra egna erfarenheter och förförståelse för ämnet. Vi har tolkat vår empiri med stöd av pragmatismen, vilket har givit oss en djupare förståelse och substans för
matematikundervisning. Detta tror vi kan bli ett stöd i vår kommande yrkesroll. Ehn & Klein (1994) beskriver att det är viktigt med reflexivitet i en studies framväxt, för att få en rättvisande bild av resultatet. Kan forskare distansera sig till empirin kan resultatet betraktas med en ödmjuk blick och åsikt.
9
4.5 Etiska principer
Studiens utvalda informanter har nogsamt informerats om deras etiska rättigheter och studiens syfte, innan den tilltänkta studien tog vid. Den forskning som
genomförts kommer inte att påverka informanten på ett otillfredsställande vis, exempelvis på ett personligt plan eller att informantens deltagande i studien kan få negativa konsekvenser (Patel & Davidson, 2011). Informanterna fick information om studiens upplägg via ett informationsbrev, där framgick det att den färdiga studien kommer att registreras på DiVA.
Vetenskapsrådet (2017) beskriver fyra etiska huvudkrav som ska tas i beaktning vid forskning. Dessa krav består av informationskravet som innefattar information om frivilligt deltagande och att informanterna när som helst under studiens gång kan välja att avstå. Konfidentialitetskravet står för att informanternas personliga uppgifter skyddas genom hela forskningsprocessen, såvida de inte godkänt annat.
Nyttjandekravet innebär att informanterna är införstådda med att lämnade uppgifter
och resultat inte kommer att användas kommersiellt eller i några andra syften än den tilltänkta forskningen. Frivillighetskravet betyder att alla tilltänkta informanter har lämnat samtycke och har rätt att påverka sitt deltagande i forskningen.
Vetenskapsrådet (2017) lyfter fram vikten av att skydda deltagande informanter i all forskning, därför visas de hänsyn enligt de presenterade etiska regler som beskrivits ovan, för att handla etisk korrekt. Dessa fyra etiska huvudkrav har vi informerat informanterna om via informationsbrevet, kontakten via mail innan intervju och vid intervjutillfället.
5 RESULTAT
I avsnitt 5.1 redovisas empirin. I 5.2 redogörs vår tolkning av empirin. I 5.3 redovisas resultatsammanfattningen.
5.1 Empiri
I följande avsnitt presenteras våra kategorier som är: varierad undervisning och
undervisa på olika sätt, inkludering och delaktighet i undervisningen, repetition, elever hänger med i undervisningen och medveten användning av matematiska begrepp. Dessa utgör vår empiri och har vuxit fram utifrån fem olika intervjuer.
Empirin har bildats utifrån en generell uppfattning om fenomenet i fråga. Fokus har legat på fenomenet snarare än på informanterna.
5.1.1 Varierad undervisning och undervisa på olika sätt
Varierad undervisning där teori och praktik samspelar gynnar elevers förmåga att ta in kunskap och förståelse för matematiska begrepp.
10
Lärare arbetar med att presentera matematiska begrepp på varierande vis, för att förtydliga begreppens innebörd och för att elever ska ges möjlighet att ta till sig dem.
Jag brukar alltid visa uppgifter på tavlan, sen ta några exempel så att man modellerar lite för dem. Jag lägger inte ut någonting bara, om det inte är färdighetsräkning. Bildstöd och praktiskt material är bra för att få begreppen.
Vid varierande övningar kan matematiska begrepp utövas med korrekt terminologi och på så vis befästas naturligt hos elever.
Vi arbetar med räknesätten addition, subtraktion och likhetstecknet, där symbolerna är plus- eller minustecken. Jag säger alltid addition och subtraktion när jag arbetar med de begreppen för att eleverna ska kunna befästa dem och sen kunna visa att de förstår vad de betyder. Jag brukar använda mig av fler olika sätt att kartlägga elevernas kunskaper, exempelvis kan de få jobba med konkreta material som pengar, där kan de visa att de förstår växling till exempel. Vid spel blir jag glad när någon säger ”jag är klar med additionen”, eleven kunde lika gärna sagt ”jag har räknat klart alla plus”. Det är ett kvitto på att begreppet sitter.
Olika sätt att undervisa på kan främja elevers inlärning vad gäller att befästa matematiska förmågor, då alla lär på olika vis.
Jag använder många olika sätt att lära ut på, eftersom jag vet att varje elev är unik i sitt sätt att lära. Jag gillar att arbeta praktiskt. Exempelvis för att befästa antal kan man använda material som 7 pennor, 3 sudd, 4 pinnar, memoryspel eller lekar där man använder sig av kroppen, ställ er i rad, den längsta/kortaste först, kommutativa lagen och så vidare.
IKT kan enligt lärare vara ett bra komplement till ordinarie undervisning, då olika sätt att arbeta på kan motivera elever till inlärning.
I IKT är det lätt att klicka hit och dit utan att alltid förstå vad det är man gör. Det är roligt att klicka och se färger och allt det där. Jag tycker att man ser bättre vad en elev kan under klassrumsundervisningen. Dock tycker jag att IKT är ett bra komplement och kan göra matematiken roligare för en del elever.
5.1.2 Inkludering och delaktighet i undervisningen
Elever befäster matematiska begrepp i olika takt, och behöver därför inkluderas i undervisningen med nivåanpassat material.
Vissa elever förstår nästan innan man är klar med en genomgång, medan andra behöver antingen mer personlig hjälp eller fler genomgångar exempelvis att man använder sig av olika material, sätt att tänka och så vidare.
För att motivera till matematik kan inkluderande övningar vara att föredra.
Ibland vill jag ha mer inkluderande praktiska övningar för att göra matten mer rolig.
Elevers delaktighet i undervisningen har påverkan på inlärningen av matematiska begrepp. Visuella intryck i klassrummet kan bidra till begreppsförståelse.
Eleverna får själva vara med och använda begreppen, jobba i par med konkret material. Det brukar vara bra.
Lärare har en skyldighet att ta tillvara på samtliga elevers tidigare kunskaper, vilket bidrar till delaktighet.
11
När vi laborerar vill jag att samtliga ska delta på något vis, alla är ju faktiskt bra på någonting och då vill jag ta tillvara på det genom att få alla att känna sig delaktiga, det är faktiskt min skyldighet.
Lärare har möjlighet att låta elever delta i valet av tillvägagångssätt att presentera uppgifter, vilket ger frihet och kan leda till motivation.
Ibland låter jag eleverna själva få välja vilken representationsform de vill använda när de ska visa hur de har räknat, jag gillar att ge eleverna den möjligheten och jag märker att de gillar det. 5.1.3 Repetition
Repetition är något lärare påstår är en viktig del i undervisningen, då ny kunskap behöver bearbetas utifrån olika perspektiv och kontexter för att befästas.
Nya begrepp sätter sig inte direkt, ju mer man upprepar de och sätter de i olika sammanhang. Man måste upprepa de, det smittar av sig och eleverna använder de själva när man pratar om de. Men man kan inte säga de en gång och sen släppa det.
Vid en till en undervisning kan elevers svagheter och problematik uppdagas och repetition med nivåpassad återkoppling kan ta vid.
När jag sitter med barnen ett och ett märker jag att en eller flera elever blir tysta eller är lite osäkra när de ska förklara ett problem för mig, då försöker jag att gå igenom området igen för att befästa ytterligare.
Repetition bidrar till progression.
Ibland kan man sätta upp begreppen på väggen, man kan ha ett nytt begrepp i veckan och ta upp det varje morgon kopplat till någon uppgift.
5.1.4 Elever hänger med i undervisningen
Lärare anser att kontinuerlig användning av matematiska begrepp normaliserar dess innebörd och underlättar undervisningen. Fokus kan då ligga på uppgiftens innehåll och inte på begreppens betydelse, vilket gör att elever kan hänga med.
Om termer och begrepp används konsekvent blir det normala. Sen finns det alltid elever som behöver extra enskilda genomgångar, oavsett. Men jag upplever att när terminologin sitter är det inte det som kan bli problem, utan mer hur man tacklar uppgiften.
Likhetstecknets betydelse är något som lärare upplever är en vital del för att elever ska kunna följa progressionen i matematikundervisningen.
Jag tycker att likhetstecknet är ett mycket viktigt begrepp, liksom att använda alla sorters matematiska uttryck redan från förskoleåldern. Eftersom det hjälper eleverna längre fram, när de ska förstå likhetstecknets betydelse, att det ska vara lika mycket på varje sida.
Kontinuerliga avstämningar visar att/om elever hänger med.
Efter mattelektioner kan jag ha exit-tickets som visar om de hängt med, annars kan man få repetera.
12
5.1.5 Medveten användning av matematiska begrepp
Medveten användning av korrekta begrepp är något lärare föredrar för att lägga en bra grund initialt.
Om jag konsekvent använder terminologin från början så blir den befäst, då har det i alla fall inte påverkat eleverna negativt. Det är alltid lättare att lära rätt från början än att behöva lära om.
Samtal om matematiska begrepp på ett medvetet sätt kan avslöja elevers kunskaper eller kunskapsbrister om matematiska begrepp, likt diagnoser.
Jag ser att, eller om elever förstår matematiska begrepp genom diagnoser, exempelvis från Skolverket, men också när jag pratar om de olika begreppen med eleverna. Det tycker jag nog jag ser bäst på, via kommunikation.
Elevers matematiska förmågor kan synliggöras i kommunikativa situationer, då elever på egen hand medvetet använder de matematiska begreppen.
Använder elever begreppen korrekt när de förklarar hur de tänker, är det för mig en indikator på att de vet, kan.
Matematiska begrepp används/finns i alla moderna läromedel och ansvaret ligger hos läraren i huruvida de medvetet använder rätt terminologi eller inte.
I alla moderna läromedel används begreppen från start. Sedan är det upp till den enskilde läraren att förhålla sig till vilka begrepp hen använder. Jag är helt övertygad om att det i alla fall inte påverkar dem negativt. Tvärtom.
5.2 Tolkning av empiri
De framväxta kategorierna varierad undervisning och undervisa på olika sätt,
inkludering och delaktighet i undervisningen, repetition, elever hänger med i undervisningen och medveten användning av matematiska begrepp är alla
framträdande segment, har substans och en egen kärna. Det vill säga att de är självständiga i sin utformning, men tillsammans skapar en helhet. Kategorierna är alltså fundamentala för våra två forskningsfrågor.
Vår tolkning av det pragmatiska perspektivet är att teori och praktik behöver interagera med varandra för att skapa en dynamisk undervisning. Då kategorierna interagerar med det pragmatiska perspektivet kan kategorierna synliggöras. 5.2.1 Undervisning om matematiska begrepp
För att besvara vår första forskningsfråga som är: Hur beskriver lärare att de
arbetar för att befästa matematiska begrepp hos elever i årskurs 1–3? kommer vi
att tillämpa det pragmatiska perspektivet som stöd, men också fokusera på den gemensamma faktorn, makt.
Varierad undervisning och undervisa på olika sätt
13
dessa för att göra lärandet mer vardagsnära. I enlighet med det pragmatiska perspektivet kan undervisningen göras relaterbar, vilket bidrar till en djupare inlärning. Det kan innebära att lärare beskriver begreppen, ritar dem på tavlan eller använder kroppsspråk för att elever ska ges möjlighet att ta till sig kunskap på olika sätt. Den variation lärare beskriver grundar sig i en kombination av teoretisk kunskap och praktiska aktiviteter. Då pragmatismen delvis bygger på att inlärning sker då elever får utforska och själva resonera, i kombination med teoretisk undervisning, drar detta arbetssätt mot det pragmatiska perspektivet. Praktiska övningar,
exempelvis, rita, diskutera eller måla, kan gynna inlärningen då elever arbetar med både kroppen och huvudet. Genom att elever själva får delta aktivt i lärandet ges de möjlighet att ta in kunskap från olika perspektiv. Lärare beskriver att det är deras ansvar att möjliggöra hur matematiska begrepp hanteras och utövas i
undervisningen, exempelvis inlärning via lek. Detta ansvar ligger i linje med
maktdimensionen Dewey (2015) beskriver, att kunna uttrycka sina kunskaper både
fysiskt och verbalt. Elever som får möjlighet att leka, undersöka och laborera med konkret material kan få djupare kunskaper om matematiska begrepp. Ett sätt för lärare att arbeta med konkret material kan vara att lägga fram ett antal föremål och ett likhetstecken till elever. Där kan elever öva på att befästa likhetstecknets betydelse genom att flytta på föremål, men även på likhetstecknet.
Det pragmatiska perspektivet ligger i linje med lärares erfarenheter och sätt att undervisa, då perspektivet har en tydlig riktning mot samverkan elever, lärare och undervisning emellan. Lärare arbetar med att befästa matematiska begrepp genom att ha visuella intryck i klassrummet. Det kan vara begrepp som sätts upp på tavlan eller någon annanstans i klassrummet. Det är ett sätt för både lärare och elever att ständigt påminnas om dem och att de ska användas på ett korrekt vis. De visuella intrycken eller bilderna kan ses ur det pragmatiska perspektivet som ett inkluderande läromedel, som finns tillgängligt för samtliga elever.
Inkludering och delaktighet i undervisningen
Det pragmatiska perspektivet står för det sociala livet utöver teori och praktik, det återspeglar undervisning där elever får interagera med varandra, vilket gynnar elevers inlärning på djupet. Lärare beskriver att elever vägleds i undervisningen, exempelvis genom pararbete där ett kunskapsutbyte kan ske. Det som pragmatismen beskriver som det sociala livet innefattar kommunikation och kunskapsutbyte, bortom teoretiska och praktiska inlärningsmetoder. Pragmatismen definierar också
lärande och delaktighet, dessa styrker lärares syn på att elever lär på olika vis.
Visuella intryck kan då stödja samtliga i lärandet, vilket innebär att alla kan bli
delaktiga och risken för exkludering minskar. Lärare beskriver att de har en
skyldighet att förvalta elevers tidigare erfarenheter och att varierad undervisning är ett inkluderande arbetssätt. I enlighet med pragmatismens definition av aktivt
tänkande kan alla elever få möjlighet att tolka sin omvärld för att sedan förvalta den
kunskapen, detta görs genom att lärare anpassar undervisningen efter elevers förutsättningar.
14
Lärare beskriver att inkluderande övningar kan motivera elever att vilja delta i matematikundervisningen. De förklarar att elever kan ha olika förmågor när det kommer till matematiska begrepp och beskriver att det därför är viktigt att göra alla elever delaktiga i undervisningen. När elever får vara delaktiga i undervisningens utformning kan det leda till frihet och motivation, till ytterligare inlärning. Lärares intention att involvera eleverna i undervisningen speglar lärares maktposition och även skolans demokratiska utgångspunkt, vad gäller likvärdighet, jämställdhet och elevinflytande.
Repetition
Repetition är något lärare förklarar att det finns ett stort behov av i undervisningen och då kan IKT vara ett komplement till ordinarie undervisning. Genom spel på exempelvis Ipad, får elever undersöka och arbeta med matematiska begrepp på ett lekfullt sätt. Enligt det pragmatiska perspektivet behöver tanke och handling få lika stort utrymme för att kunskaper ska kunna få mer substans och en djupare mening. Repeterande övningar kan alltså bidra till att dessa två viktiga inlärningsmetoder kan få samarbeta ytterligare.
Lärare är medvetna om att repetition kan användas både som komplement, men också som en vital del av undervisningen. Lärare kan ändra stoffet eller
undervisningsmetoden om kunskapen inte befästs i den önskvärda takten. Repetitiv undervisning kan vara inkluderande eller exkluderande, beroende på lärares val av arbetsmetoder och utformning av repetitionen. Detta är en indikator på den
maktposition lärare besitter, då läraren aktivt väljer undervisningsmetoder.
Elever hänger med i undervisningen
Lärare förespråkar att tidigt introducera korrekta matematiska begrepp för att underlätta och gynna den matematiska utvecklingen hos elever. Då processen för inlärning börjar tidigt kan undervisningsmetoden utgå ifrån kombinationen mellan teori och praktik. I enlighet med det pragmatiska perspektivet kan då eleven få en djupare förståelse för begreppets innebörd. Likhetstecknet är ett sådant exempel, då lärare anser det vara en vital del för utvecklingen. När elever har uppnått förståelse för likhetstecknets betydelse, kan elever fokusera på uppgiften istället för att förstå begreppet. Då kan eleven använda sig av det som Dewey (2015) beskriver som det
aktiva tänkandet. Lärare beskriver att matematiska begrepp används kontinuerligt
och i olika sammanhang inom matematikundervisningen, för att normalisera de och göra de till en naturlig del i den dagliga kommunikationen. När matematiska begrepp sätts i olika kontexter syns likheter från pragmatismens definition av vardagsnära
erfarenheter, eftersom dessa då kan tas tillvara på.
Medveten användning av matematiska begrepp
Lärare föredrar att undervisa om matematiska begrepp redan i förskoleklass för att så tidigt som möjligt introducera och bearbeta dessa begrepp, som sedan kan befästas. Undervisningen kan initialt ha ett kommunikativt fokus, där samtal och samarbete
15
kan bidra till att alla kan delta efter egen förmåga. Detta ligger i linje med det pragmatiska synsättet på ett demokratiskt förhållningssätt. Lärares förmåga att kommunicera om begreppen och att vägleda elever i användning av dessa begrepp, kan lägga en grogrund för elevers kunskapsinhämtning. Lärare kan genom sin
maktposition använda matematiska begrepp korrekt och därmed tillhandahålla en
likvärdig undervisning. Lärare förklarar också att om elever får bearbeta matematiska begrepp ur olika perspektiv kan de få möjlighet att ta till sig kunskap från olika
kanaler.
Enligt lärare förekommer matematiska begrepp i de flesta moderna matematiska läromedel. De förklarar att ansvaret för om och i vilken utsträckning dessa begrepp används, ligger till största delen hos dem själva. Då lärare gör ett aktivt val att använda eller inte använda de korrekta matematiska begreppen, utövar lärare sin makt i förhållande till elevers möjlighet till kunskapsinhämtning.
5.2.2 Kartläggning av matematiska begrepp
För att besvara vår andra forskningsfråga som är: Hur beskriver lärare att de
arbetar för att få syn på vilka matematiska begrepp elever i årskurs 1–3 har befäst?
kommer vi även här att tillämpa det pragmatiska perspektivet som stöd. Faktorn makt kommer också att till viss del träda fram, då den är en gemensam nämnare för våra kategorier.
Varierad undervisning och undervisa på olika sätt
Ett sätt för lärare att kartlägga elevers kunskaper är matematiska spel. Dessa spel kan visa vad elever kan eftersom de får diskutera och reflektera på egen hand. Exempelvis kan elever formulera sitt problem med att ta sig an en uppgift, eller formulera
problemet i förhållande till begreppen. Ett sätt kan vara att elever uttrycker sig med korrekta termer som ”jag är klar med additionen”. I likhet med pragmatismens syn på det sociala livet, behöver elever kunna kommunicera och resonera kring
problematik genom aktivt tänkande. På liknande sätt kan elever arbeta med likhetstecknets betydelse. Lärare beskriver att kontinuerlig och återkommande användning av korrekta matematiska begrepp i varierade undervisningsformer, gör att elever med tiden kan använda begreppen självständigt. Då elever visat att de kan använda begreppen på ett korrekt vis signalerar det förståelse för begreppets relevans och innebörd. Då lärare ser en sådan progression i inlärningen, där kunskapen
förvaltas av eleven, går det att likna med det pragmatiska perspektivets syn på
lärande.
En annan kartläggningsmetod lärare beskriver är det vi nämnt under forskningsfråga 1, de visuella bilderna i klassrummet. Lärare ser och bedömer elevers förmågor och kunskaper kring matematiska begrepp genom praktiska aktiviteter. Dessa aktiviteter kan exempelvis bestå av konkret material i form av memoryspel. Elever kan också visa förståelse för hur matematiska begrepp ska användas, genom elevnära
undervisning, exempelvis där elever kan laborera med den kommutativa lagen. Lärare kan exempelvis upptäcka elevers förmågor eller brister genom övningar som
16
innefattar konkret material. Detta visar att lärare har ett inkluderande förhållningssätt då det kommer till att kartlägga kunskaper under olika
undervisningsmoment. Detta liknar det pragmatiska perspektivets syn på samverkan mellan teori och praktik. För att lärare ska kunna bedöma elevers kunskaper kan kontinuerliga avstämningar göras, där elever kan visa sina förmågor på olika vis. Elevnära undervisning uppger lärare kan vara att elever får öva på att tillhandahålla rätt summa i verklighetsförankrade pengasituationer. Det går att jämföra med den pragmatiska synen på inkluderande undervisning, då skolans ska spegla samhället i ett mindre format. I sådana situationer kan växling vara en givande aktivitet, då matematiska begrepp och räknesätt som addition och subtraktion ligger i fokus. Ett sådant exempel ligger också i linje med det som pragmatismen står för, socialisering i demokratisk anda.
Inkludering och delaktighet i undervisningen
En fortsättning på den pragmatiska definitionen av inkluderande undervisning är att synliggöra och kartlägga elevers matematiska kunskaper under konkreta moment, då verkligheten kan tas ned i liten skala för att göra den elevnära. Detta är något lärare förespråkar, då inlärningen av de matematiska begreppen kan neutraliseras, eftersom dessa begrepp normaliseras. Lärare förklarar att det finns olika kunskapsnivåer hos elever vad gäller matematiska begrepp och att de därför behöver kunna ge
nivåanpassade genomgångar, för att kunna nå samtliga elever. Det speglar då det pragmatiska perspektivets definition av lärande på så vis, att elever ska kunna inhämta kunskap efter sina egna förutsättningar och delta efter egen förmåga, där erfarenheter kan delas.
Lärare beskriver varierad undervisning som ett bra underlag för kartläggning, då den underlättar för lärare att upptäcka elevers kunskaper vad gäller matematiska
begrepp. Då lärare förespråkar varierad undervisning, signalerar det om att de förvaltar sin maktposition på ett pragmatiskt och demokratiskt sätt.
Repetition
Matematiska begrepp är något lärare anser kräver muntlig repetition. Ett sätt att göra detta på är att låta eleverna använda begreppen i olika kontexter. Får elever visa sina kunskaper genom varierande representationsformer kan olika förmågor synliggöras, vid olika tillfällen. När lärare låter elever laborera med det teoretiska i praktiska övningar, i samspel med andra, kan de se vilka kunskaper som befästs, vilket påminner om pragmatismens synsätt av det sociala livet. Det pragmatiska
perspektivet speglar återigen att interaktion föder kunskap, då vår tolkning är att pragmatismen står för en kommunikativ grund.
I den dagliga kommunikationen och den dagliga användningen av matematiska begrepp kan lärare se elevers kompetens genom att sätta upp begreppen i
klassrummet, eftersom dessa begrepp då kan plockas upp i olika sammanhang under dagen. Exempelvis kan begreppen tas upp varje morgon eller kopplas till en annan relevant uppgift. Lärares dagliga och kontinuerliga kommunikativa förhållningssätt
17
strålar samman med det pragmatiska perspektivet, i den mening att pragmatismen värnar om kommunikation och samspel. Enligt pragmatismen visar sig makt i hur människan handlar i olika situationer. Makt blir då framträdande i hur lärare förvaltar sin lärarroll, här genom att kommunicera om och repetera matematiska begrepp, kontinuerligt. Då terminologin är befäst beskriver lärare att undervisningen kan fokusera mer på uppgiften som sådan, snarare än de matematiska begreppens innebörd.
Elever hänger med i undervisningen
Lärare förklarar att genom arbete med konkreta material och samtal kring
matematiska begrepp på ett vägledande och inkluderande sätt, får de möjlighet att notera kunskaper och brister hos elever i förståelsen för likhetstecknet under undervisningen gång. Kunskaper står i denna kontext för vilka aktuella begrepp elever besitter och självständigt kan använda, i olika sammanhang. Ett snabbt sätt att kartlägga kunskaper kontinuerligt kan vara att ge elever exit-tickets som kan vara en snabb fråga om ett matematiskt begrepp, de kan besvaras av eleven innan rast. Lärare förklarar att elevers begreppsliga kunskaper kan kartläggas med stöd av diagnoser, från både läromedel och Skolverket. Då lärare uppger att de kartlägger elevers kunskaper på olika sätt under terminen, bedöms elever på ett rättvisande sätt, eftersom de får fler möjligheter att visa sina förmågor. Det pragmatiska perspektivets syn på en rättvis och demokratisk skola påminner om lärares kartläggningsmetoder. Medveten användning av matematiska begrepp
Matematiska begrepp kartläggs via summativa tester, men också genom formativ feedback via praktiska övningar. Lärare förklarar att de arbetar så för att skapa sig en helhetsbild av vad elever faktiskt kan. Detta kvitto på befäst matematisk kunskap hos elever är något som lärare som förvaltar sin maktposition väl, eftersträvar.
Konklusionen av detta blir alltså att kartlägga kunskaper strategiskt, via
verklighetsförankrade, interagerande undervisningsmetoder. Där återkopplande feedback kan fånga upp elever där och då, vilket återigen ligger i linje med
pragmatismens definition av tidigare erfarenheter och lärande. Genom repetitiva övningar får lärare möjlighet att se elevers förmågor och kunskapsbrister. Därefter kan undervisningen anpassas för att skapa en inkluderande undervisning som alla elever kan få en djupare förståelse för, vilket även här speglar pragmatismens definition av lärande.
Lärares sammantagna beskrivning när det gäller att kartlägga matematiska begrepp är att diagnoser, övningar med konkret material, muntlig repetition och dagliga samtal är det som speglar elevers kunskaper.
5.3 Resultatsammanfattning
Nedan kommer vi sammanfatta våra resultat i relation till forskningsfrågorna med stöd i det pragmatiska perspektivet och våra framtagna kategorier. Det framträdande maktperspektivet har också fått ta plats i vår tolkningsprocess. Våra forskningsfrågor är: Hur beskriver lärare att de arbetar för att befästa matematiska begrepp hos
18
elever i årskurs 1–3? och Hur beskriver lärare att de arbetar för att få syn på vilka matematiska begrepp elever i årskurs 1–3 har befäst?
Undervisning om matematiska begrepp
Lärare föredrar att introducera korrekta matematiska begrepp tidigt. De anser det strategiskt gynnsamt för kunskapsinhämtningen att arbeta nyanserat, inkluderande och att undervisningen ska vara rolig för elever. Lärare uppger att de flesta läromedel använder de korrekta matematiska begreppen, ansvaret ligger sedan på lärare att förmedla kunskapen till elever. De redogör också för att matematiska begrepp som används kontinuerligt normaliseras och blir en naturlig del i den dagliga
kommunikationen. Detta möjliggör för elever att tillgodose sig begreppen i en nivåanpassad miljö. Lärare beskriver det gynnande för elever att lära via lek eller spel. Det kan göra att elever ser begrepp ur olika perspektiv, vilket kan möjliggöra att kunskap tas in från olika kanaler.
Lärare arbetar med varierande undervisningsstrategier, exempelvis elevnära undervisningsmaterial, vilket innebär konkret material och samtal. Då lärare
anpassar undervisningen efter elevers förutsättningar, förvaltar de sin maktposition på ett pragmatiskt och hänsynsfullt vis i sin lärargärning.
Kartläggning av matematiska begrepp
Lärare använder sig delvis av diagnoser framtagna av Skolverket för att göra summativa bedömningar på elevers kunskaper, vad gäller matematiska begrepp. I den dagliga undervisningen upprepas matematiska begrepp kontinuerligt i
kombination med andra uppgifter, visuella intryck och spel. Lärare kan upptäcka och kartlägga elevers förståelse genom att exempelvis ha fortlöpande avstämningar, då de matematiska begreppen behandlas genomgående i undervisningen. Elever kan
synliggöra förståelse för matematiska begrepp då de själva kan använda de i korrekta sammanhang. Lärare kartlägger även elevers kunskaper genom formativ feedback. Detta sätt att kartlägga elevers kunskaper vad gäller matematiska begrepp är strategier lärare både föredrar och redan använder i praktiken.
Lärare förklarar att undervisning där elever själva diskuterar och laborerar med matematiska begrepp neutraliserar inlärningen av begreppen. Lärare beskriver att elever då kan samtala och lösa uppgifter, utan att begreppen i sig problematiserar uppgiften. Lärare beskriver vikten av daglig kontinuerlig repetition av matematiska begrepp, då elever befinner sig på olika kunskapsnivåer. Lärare anser att
undervisningen måste nivåanpassas och individanpassas för att inkludera samtliga elever. Lärare redogör för att kunskaper och brister kan kartläggas under dagliga samtal och under aktiviteter med konkret material. Dessa strategier utgår ifrån en nyanserad undervisning, där elever får möjlighet att visa sina kunskaper på
19
6 DISKUSSION
I detta avsnitt jämförs resultatet med det teoretiska perspektivet och litteraturen som presenterats under tidigare forskning.Resultatets betydelse kommer att diskuteras för att slutligen leda till en slutsats, fortsatt forskning och metoddiskussion. I Metoddiskussionen diskuteras, tillförlitlighet och trovärdighet för att skapa en djupare förståelse och ställa vidare frågor för fortsatt forskning.
6.1 Resultatdiskussion
Som vi nämnt i kapitel 1.1 är syftet med studien att ur ett lärarperspektiv, fördjupa kunskapen om hur lärare beskriver att de arbetar med och kartlägger matematiska begrepp i matematikundervisningen i årskurserna 1–3. Vi har valt det pragmatiska perspektivet när vi tolkat vår empiri, då vår tolkning är att pragmatismen är en väletablerad teori inom skolväsendet. En begränsning med det pragmatiska perspektivet kan vara att vi inte med säkerhet kan veta om detta är det bästa perspektivet att ta stöd av, när vi väljer att tolka vår empiri. Ett annat perspektiv kanske hade synliggjort klyftan mellan hur lärare arbetar och hur de vill arbeta tydligare. Vi valde trots detta i åtanke det pragmatiska perspektivet som vår teoretiska utgångspunkt. Det framträdande maktperspektivet som beskrivs i
databearbetningen har vi också haft i beaktning när vi tolkat empirin. Om vi valt att ta stöd av ett annat perspektiv när vi tolkat vår empiri, exempelvis behaviorismen, hade andra faktorer som varit gemensamma för våra kategorier varit mer
framträdande.
Denna studies resultat visar att lärare arbetar med varierad undervisning för att introducera, förstärka och befästa matematiska begrepp. Under dessa praktiska metoder kan lärare också kartlägga elevers begreppsliga förståelse, då kunskaper kan manifesteras i exempelvis spel, där elever är delaktiga och aktiva i undervisningens alla faser. Choi m.fl. (2017) styrker detta sätt att undervisa elever på, då deras studieresultat påvisar att elever bör leka sig till kunskap via praktiska övningar. Lärare förklarar att dagens läromedel innehåller moderna begreppoch att de anser att ansvaret ligger på den som undervisar, hur dessa begrepp hanteras och utövas. Vår pragmatiska synvinkel där teori och praktik bör samspela synliggörs då, både i vad lärare förespråkar och tidigare forskning. Då kontinuerlig repetition av
matematiska begrepp normaliserar dem, kan elever själva använda dem med tiden. Studieresultatet korresponderar med det pragmatiska perspektivet då
undervisningen utgår ifrån elevers förutsättningar, och anpassas därefter. Lärares beskrivning över hur de arbetar, överensstämmer med deras faktiska
undervisningsmetoder. De anser att elevers matematiska inlärning gynnas av
kontinuerlig repetition och att få matematiska begrepp modellerade för sig, på olika sätt. Detta sätt att arbeta på styrker även Choi m.fl. (2017). Författarna redovisar att matematikundervisning som bygger på varierande metoder, där elever tillåts
20
begreppsförståelse. Hansson (2019) påvisar också vikten av goda
undervisningsmetoder, vilket i hens studie innebär att undervisningen bör vara välplanerad, vägledande, ha ett tydligt syfte och att utrymme för självständigt arbete och reflektion finns. Vårt studieresultat visar att självständigt arbete signalerar om förståelse för matematiska begrepps innebörd och relevans. Lärares maktposition blir då framträdande i den meningen att de har möjlighet att utforma och förmedla
undervisning om matematiska begrepp.
Enligt studiens resultat arbetar lärare utifrån ett pragmatiskt perspektiv, då teori och praktik vävs samman för att möjliggöra för elever att ta in kunskap och förståelse för matematiska begrepp. Lärare uppger att varierad undervisning grundar sig i
repetition utifrån olika kontexter, elever ges då möjlighet att bearbeta matematiska begrepp i olika sammanhang. Agodini och Harris (2010) bekräftar i likhet med Fouryza, m.fl. (2019) detta arbetssätt, då samtliga i sin studie beskriver vikten av elevnära och relaterbara undervisningssituationer. Fouryza m.fl. (2019) går dock djupare i sin tolkning, då fokuset ligger på informell och formell kunskap. som innebär att det informella blir formellt, i och med skolstart.
I vårt studieresultat vad gäller hur lärare synliggör vilka begrepp elever befäst, kan vi se att kontinuerliga avstämningar i form av både summativ och formativ bedömning krävs, för att få en fullständig bild av vad elever kan. Denna helhetsbild speglar vår tolkning av det pragmatiska perspektivet ännu en gång, vad gäller vikten av att teori och praktik bör interagera med varandra. När lärare låter summativ och formativ bedömning och feedback ta plats, uttrycker de att repetition kan implementeras naturligt i undervisningen och inlärningen på så vis kan nivåanpassas. Vårt resultat relaterar med Hanssons (2019) studieresultat då författaren beskriver att
matematiska begrepp behöver introduceras, bearbetas och repeteras i omgångar, för att en djupare förståelse för matematiska begrepp ska kunna bildas. Summativ och formativ bedömning blir då både en teoretisk och praktisk process i den matematiska inlärningen. Lärare förespråkar att kartlägga kunskap på det här sättet. Lärares sätt att bedöma elever baserat på teoretiska och praktiska grunder, indikerar på att de förvaltar sin maktposition väl.
6.1.1 Slutsats
Vårt studieresultat visar att elevers förmåga att ta till sig och befästa matematiska begrepp ligger på hur lärare förvaltar sin maktposition och profession. Vår slutsats utifrån resultatet har vissa likheter med den tidigare forskningen som visar att användning av matematiska begrepp skiljer sig åt i undervisningen. Studien visar att lärare arbetar på det sätt de föredrar att arbeta på. Den visar även att lärare
undervisar om matematiska begrepp på olika sätt för att låta elever bearbeta dem i olika kontexter. Detta ligger i linje med det pragmatiska synsättet av en demokratisk skola, som ska förhålla sig till elevers förutsättningar, exempelvis genom att
undervisningen visualiserar samhället i mindre skala. Studien visar att lärare strävar efter ett demokratiskt förhållningssätt i undervisningen, genom att låta elever
21
ansvar och möjligheter då det kommer till att lyfta elever, vilket kan relateras till det pragmatiska perspektivets maktdimension. Slutsatsen inkluderar även att kunskaper av matematiska begrepp kartläggs fortlöpande i undervisningen, via formativ och summativ bedömning, parallellt. Vi kan också dra slutsatsen att lärare förespråkar att introducera matematiska begrepp initialt, då de kan implementeras i undervisningen på ett naturligt sätt. Elevers sätt att använda matematiska begrepp självständigt, blir ett naturligt kvitto på att kunskapen har nått fram, vilket är något som lärare
eftersträvar.
6.2 Metoddiskussion
Denna studie har baserats på kvalitativa intervjuer, där de forskningsetiska principerna har tillgodosetts för att skydda de fem informanterna. Under hela studiens process har vi kritiskt granskat vårt källmaterial och noggrant refererat till samtliga källor. Under hela studiens gång har hänsyn till tillförlitlighet och
trovärdighet tagits, vilka också beskrivs mer ingående i kapitel 4. Med detta i beaktning anser vi att fenomenet har kunnat studeras på ett rimligt sätt och att studien därmed är adekvat genomförd på ett likvärdigt sätt. För att ge studien mer substans hade vi önskat att möjligheten funnits att observera undervisning om matematiska begrepp parallellt med intervjuerna, vilket hade öppnat upp för mer omfattande datainsamling och därmed skapat djupare förståelse för fenomenet. Denscombe (2018) skriver att studier som innefattar data utifrån observationer kan stärka trovärdigheten, då informanter kan observeras i utövandet av sin praktik, likt det de beskriver vid intervjuer.
Vår metod har givit oss gott med data utifrån de förutsättningar vi givits, på grund av rådande pandemi. Då studien har en kvalitativ ansats med fem informanter har denna metod tillåtit oss att närma oss fenomenet småskaligt, vi har också fått ta del av informanternas upplevda erfarenheter. Den kvalitativa ansatsen blev för oss ett rimligt val då, personliga erfarenheter och åsikter var det som eftersträvades i studien. Tivenius (2015) skriver i enlighet att det är en bra metod att utgå ifrån om avsikten inte är att jämföra eller gradera någonting. Informanternas erfarenheter hade kanske inte blivit lika framträdande om vår datainsamlingsmetod varit enkät-baserad, då svaren då kanske inte hade blivit lika målande som under
semistrukturerade intervjuer. Patel och Davidson (2011) skriver att enkätintervjuer kan vara komplicerade då det kommer till att motivera informanter att svara utförligt och skicka in sina svar. Den typen av intervjuer minimerar möjligheten till spontana följdfrågor, vilket vi ansåg vara viktigt för att fånga essensen av informanternas svar.
6.3 Fortsatt forskning
Vår studie grundar sig i lärares erfarenheter och upplevelser av hur undervisningen med matematiska begrepp kan se ut. Studien är tänkt att vara ett stöd för aktiva som nyutexaminerade lärare i praktiken, då studien presenterar alternativa
22
till fortsatt forskning, om hur lärare upplever att undervisningen kan läggas upp och hur kunskaper kan kartläggas, för att på bästa sätt vara rättvisande och vägledande till det livslånga lärandet. Arbetet med denna kvalitativa studie har fördjupat våra kunskaper och förståelse för matematikdidaktisk undervisning, samtidigt som nya frågeställningar har vuxit fram.
Fortsatt forskning skulle kunna genomföras med en kvantitativ ansats som
utgångspunkt, för att ge utslag ur en annan eller en bredare synvinkel. Ett ytterligare bidrag till forskning skulle kunna vara att utföra vår studie med observationer som utgångspunkt, där observationerna ligger till grund för att studera hur lärare arbetar med att undervisa om matematiska begrepp.
23
REFERENSER
Agodini, R. & Harris, B. (2010). An experimental Evaluation of Four Elementary School Math Curricula. Journal of Research on Educational Effectiveness. 3(3). 199 – 253. https://doi.org/10.1080/19345741003770693
Baroody, A. & Dowker, A. (2003). The Development of Arithmetic Concepts and Skills: Constructing Adaptive Expertise. Journal for Research in Mathematics
Education. 34(4).
Burman, A. (2014). Dewey och den reflekterade erfarenheten. I A. Burman. (Red.) Den reflekterade erfarenheten: John Dewey om demokrati, utbildning och tänkande. Elanders.
Carpenter, P. T., Fennema, E., Peterson, P.L., Chiang, C. & Loef, M. (1989). Using Knowledge of Children's Mathematics Thinking in Classroom Teaching: An Experimental Study. American educational research journal. 26(4), 499 – 531.
https://doi.org/10.3102/00028312026004499
Choi, J., Walters, A. & Hoge, P. (2017). Self-reflection and math performance in an online learning environment. Online Learning, 21(4), 79–102. doi:
10.24059/olj.v21i4.1249
Denscombe, M. (2018). Forskningshandboken: för småskaliga forskningsprojekt
inom samhällsvetenskaperna. Studentlitteratur AB.
Dewey, J. (2015). Democracy and Education. Andesite Press.
Ehn, B. & Klein, B. (1994). Från erfarenhet till text: Om kulturvetenskaplig
reflexivitet. Carlssons bokförlag.
Engvall, M. (2013). Handlingar i matematikklassrummet: en studie av
undervisningsverksamheter på lågstadiet då räknemetoder för addition och subtraktion är i fokus. (1654–2029; 178) [Doktorsavhandling, Linköping Studies
in Behavioural Science. Diva. http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:liu:diva-100179
Fredriksson, A. (2010). Marknaden och lärarna: Hur organiseringen av skolan
påverkar lärares offentliga tjänstemannaskap. (5; 123) [Doktorsavhandling,
University of Gothenburg, Faculty of Social Sciences. Gupea.
https://gupea.ub.gu.se/bitstream/2077/23913/1/gupea_2077_23913_1.pdf
Fouryza, D., Maghfirotun, A. & Ekawati, E. (2019). Designing lesson plan of integer number operation based on fun and easy math (FEM) approach. International
Journal of Evaluation and Research in Education (IJERE). 8(1), 103–109. doi:
10.11591/ijere.v8.i1.
Hansson, H. (2019). Betydelsen av att variera innehållsliga aspekter för yngre elevers lärande av platsvärde. Forskning om undervisning och lärande. 3(7), 48 – 74.
https://forskul.se/wp-content/uploads/2019/10/ForskUL_vol_7_nr_3_s_48-74.pdf
Hjulström, E. (2014). John Dewey och relationens pedagogik. I A. Burman. (Red.) Den reflekterade erfarenheten: John Dewey om demokrati, utbildning och tänkande. Elanders.
Häggblom, L. (2013). Med matematiska förmågor som kompass. Studentlitteratur AB.
