Elevers reflekterande vid problemlösning

(1)

Malmö högskola

Lärarutbildningen

Natur, miljö, samhälle

Examensarbete

15 högskolepoäng

Elevers reflekterande vid problemlösning

Students´ reflecting within problem solving

Hansson Sten

Pettersson Karolin

Lärarexamen 270hp Matematik och lärande 2009-01-14

Examinator: Per-Eskil Persson Handledare: Leif Karlsson

(2)

2

Lusten till vetande väcks hos människan genom att hon blir varse betydande fenomen, som tilldrar sig hennes uppmärksamhet. För att lusten skall fortfara, måste det uppstå ett inre deltagande, som undan för undan gör oss bekanta med föremålen. Först upptäcker vi en stor mångfald, som träder emot oss som mängd. Vi tvingas att ta isär, skilja åt och åter sätta ihop, varigenom det slutligen uppstår en ordning, som man med större eller mindre

tillfredsställelse kan överskåda.

(3)

3

Sammanfattning

Syftet med detta arbete var att undersöka vad elever reflekterar över vid problemlösning. För att finna svar på detta genomfördes observationer, där elever i årskurs 8, fick lösa ett matematiskt problem. Eleverna arbetade enligt Polyas problemlösningsmetod. Denna metod är indelad i fyra faser där den sista fasen är att se tillbaka och reflektera över det lösta problemet. Resultatet visar på en ovana bland eleverna att reflektera efter löst problem. När eleverna fick anvisningar vad de skulle reflektera över, ökade både motivationen och förmågan. Studien pekar på att motivation är en faktor av betydelse för förmågan att nå framgång vid reflektionen.

(4)

(5)

5

Innehållsförteckning

1 Inledning ... 7

1.1 Syfte ... 7 1.2 Bakgrund ... 8 1.2.1 Styrdokument ... 8 1.3 Teori ... 8 1.3.1 Definition av Problem ... 8 1.3.2 Problemlösning ... 8 1.3.3 Motivation ... 9 1.3.4 Förståelse ... 10 1.3.5 Matematik i problemlösningsuppgifter ... 11 1.3.6 Vardagskontext ... 11 1.3.7 Problemlösningsmetoder ... 12 1.3.7.1 Alternativ problemlösningsmetod ... 13 1.3.8 Reflektion ... 14 1.3.8.1 Begrepp ... 15 1.3.8.2 Kunskap ... 15 1.3.9 Reflektion i problemlösning ... 16 1.4 Frågeställning ... 17

2 Metod ... 18

2.1 Urval ... 18 2.2 Val av metod ... 18 2.2.1 Observationerna ... 19 2.3 Val av uppgift ... 20 2.3.1 Problemet ... 21

3 Resultat ... 22

3.1 Analysschema av resultat ... 22 3.1.1 Frågeställning 1 ... 22 3.1.2 Frågeställning 2 ... 22

3.1.2.1 Frågeställning 2a ”Kan ni hitta alternativa lösningar?” ... 22

3.1.2.2 Frågeställning 2b ”Kan ni kontrollera svaret?” ... 23

(6)

6

3.2 Enskilda elevresultat ... 24

3.3 Sammanställning av alla elevers resultat ... 33

3.3.1 Vad reflekterar elever över då de uppmanas att reflektera efter ett löst problem? . 33 3.3.2 Vad reflekterar eleverna över när de uppmanas att reflektera över de tre reflektionsområdena? ... 34

3.3.2.1 Kan ni hitta alternativa lösningar? ... 34

3.3.2.2 Kan ni kontrollera svaret? ... 34

3.3.2.3 Kan ni se samband/likheter med andra problem? ... 34

4. Diskussion ... 35

4.1 Diskussion kring frågeställning 1 ... 35

4.2 Diskussion kring frågeställning 2 ... 36

4.2.1 Diskussion kring frågeställning 2a ”Kan ni hitta en alternativ lösningsmetod?” ... 36

4.2.2 Diskussion kring frågeställning 2b ”Kan ni kontrollera svaret?” ... 37

4.2.3 Diskussion kring frågeställning 2c ”Kan ni se samband och eller likheter med andra problem, både matematiska och verkliga?” ... 37

4.2 Slutsats ... 38

4.3 Förslag på framtida forskningsområden ... 39

Referenser ... 41

Bilaga ... 44

Bilaga 1 ... 44 Bilaga 2 ... 45 Bilaga 3 ... 46 Bilaga 4 ... 49 Bilaga 5 ... 50

(7)

7

1 Inledning

Under vår utbildning har vi stött på ett flertal värdeladdade ord, däribland ordet reflektion. Vi har blivit ombedda att reflektera över både matematiska uppgifter såväl som över sociala och pedagogiska frågeställningar. Instruktionerna om hur man reflekterar eller diskussioner kring om det finns bättre eller sämre reflektion har varit sparsamma. När vi har utfört den ombedda reflektionen har det förts en diskussion som vi ofta har upplevt tagit avstamp i vad förste talare valt att ta upp. Reflektionen har inte verkat strukturerad.

1.1 Syfte

Problemlösning är ett område inom matematiken. Den ungerske matematikern George Polya (1957) utarbetade och publicerade i mitten av förra seklet en metod som han ansåg förbättrade problemlösningsförmågan. Denna metod består av fyra faser:

1. Förstå problemet 2. Göra upp en plan 3. Genomföra planen 4. Se tillbaka (reflektera)

Polya menade att reflektionen bör ske inom vissa områden och utifrån frågor, vilka är: 1. Kan du hitta alternativa lösningar?

2. Kan du kontrollera ditt svar?

3. Kan du se samband med andra uppgifter och problem?

Denna strukturerade form av reflektion ansåg vi vara intressant och bestämde oss för att undersöka den närmare. Vid en litteraturstudie kring problemlösning såg vi att ett flertal efterföljande forskare inom området har metoder som påminner om Polyas, både vad gäller de fyra faserna och över vilka områden och frågor reflektion bör ske. Syftet med detta arbete är att se om elever i grundskolans senare år reflekterar efter det att de löst ett problem och om de då reflekterar över de områden och frågor litteraturen anser bäst.

(8)

8

1.2 Bakgrund

1.2.1 Styrdokument

I uppnåendemålen för det nionde skolåret beskrivs en ram inom vilken all matematik skall byggas. Denna ram säger att ”Eleven skall ha förvärvat sådana kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer samt lösa problem som vanligen förekommer i hem och i samhälle och som behövs för fortsatt utbildning” (Skolverket, 2000). Det är alltså enligt kursplanen av största betydelse att elever efter avslutad skolgång kan tolka, förstå, lösa och värdera matematiska problem som finns i vår omgivning.

1.3 Teori

1.3.1 Definition av Problem

Traditionellt har problem ofta beskrivits som matematiska uppgifter som skall lösas (Schoenfeld, refererad i Björkqvist, 2001). Författaren menar dock att numera definieras matematiskt problem nära det som i vardagen menas med problem och enligt Svenska Akademiens Ordlista (SAOL, 1998) är ett problem en svårighet som skall lösas. En liknande definition visas av forskarna Wistedt och Johansson som skriver att ordet problem i den matematikdidaktiska debatten ofta nämns tillsammans med ord som vardag och verklighet (Emanuelsson, Johansson & Ryding, 1991).

1.3.2 Problemlösning

Under rubriken Styrdokument framgår det att i kursplanen står det att elever efter avslutad skolgång skall kunna lösa problem i vardag och samhälle. Detta innebär bland annat att matematiska kontexter skall omvandlas till vardagliga situationer och omvänt. Det betyder att det krävs fler färdigheter än endast hantering av matematiska symboler för att bli en bra problemlösare. En som har försökt att sammanställa dessa färdigheter är Lester (1988). Han menar att problemlösningsförmågan utvecklas under lång tid och är en funktion av minst fem färdigheter som han benämner som faktorer. De fem faktorerna är:

(9)

9

1. Kunskapande och användning. Denna faktor är bred och avser personens kunnande och förmåga att prestera matematik och förmåga att använda sig av denna.

2. Kontroll. Behandlar hur en person ordnar och fördelar sina resurser. Här ingår bland annat hur planering och utvärdering av sitt tänkande.

3. Uppfattningar av matematik. Denna faktor innehåller personens subjektiva kunskaper om sig själv, om matematik och om omgivningen.

4. Affekter. Känslor och attityder.

5. Socio-kulturella sammanhang. Utveckling, förståelse och användning av matematik växer fram i sociala och kulturella situationer. Personen utvecklar en egen matematik i sin Socio-kulturella miljö och tar den med sig den till skolan. Denna faktor behandlar även förhållandet mellan elever och förhållandet mellan elever och lärare.

Lester & Lambdin (2006) anser att en person som utsätts för ett problem inte omedelbart vet vägen till lösning utan, om problemet är en utmaning och svårighet, måste koppla ihop olika delar av sitt kunnande för att nå ett lyckat resultat. Personen kopplar ihop erfarenheter, begrepp, kreativitet med mera. Lester & Lambdin (2006) anser att en god förmåga att koppla ihop tidigare matematiska erfarenheter och kunskaper kan uttryckas med att ha en djup matematisk förståelse. Avgörande betydelse för att bli en bra problemlösare är att ha en djup matematisk förståelse som man bäst uppnår genom att träna problemlösning. Så som vi tolkar Lester & Lambdin (2006) bör eleverna träna på att lösa problem för att bli bra problemlösare.

1.3.3 Motivation

I avsnittet ovan, Problemlösning, refererar vi till Lester & Lambdin (2006) som menar att den som utsätts för ett problem hamnar i ett tillstånd av osäkerhet. För att nå en lösning krävs ett arbete och en del i att uträtta ett arbete kan vara motivation. Forskningen kring motivation är ett stort vetenskapligt område och vi nöjer oss med att ta upp formen prestationsmotivation. Att vi endast tar upp denna form av motivation beror på att i denna studie är det den mest framträdande formen. Prestationsmotivation är inte primärt kopplad till viljan att nå en belöning utan målet är istället att prestera och nå ett resultat (Imsen, 1992).

Prestationsmotivation kan enligt Imsen (1992) delas in i två delar: en yttre och en inre. Den yttre är social och drivkraften är hur individen tror och upplever hur andra uppfattar honom

(10)

10

eller henne. Den inre motivationen innebär en vilja att kunna styra, bemästra, känna styrka, frihet och en tro på den egna förmågan.

Det har utförts en stor mängd forskning inom området prestationsmotivation, bland annat har egenskaper hos personer med hög prestationsmotivation undersökts. Ett sätt att beskriva en individ med hög prestationsmotivation är att använda det vardagliga uttrycket ”entreprenörpersonlighet” (McClelland, enligt Imsen, 1992).

Imsen (1992) ger en lista på egenskaper som individer med hög prestationsmotivation har. Dessa är i korthet:

1. Prestationsorienterade individer är först och främst inriktade på att nå resultat, att göra ett bra arbete. Individerna har också en hög önskan om att få vetskap om resultatet, om de lyckats eller inte.

2. Individerna vill ta personligt ansvar och ha kontroll.

3. De överväger noga sina möjligheter att lyckas eller misslyckas. De väljer mål som innebär utmaning men aldrig mål som de anser vara omöjliga att uppnå.

4. Individerna ser framåt. De har långsiktiga mål och ser hellre fram emot en större belöning längre fram än en mindre för stunden.

1.3.4 Förståelse

Förståelse är substantivet av förstå som betyder det är klart (SAOL, 1998). Denna betydelse tillhör vardagsspråket och inom den matematikdidaktiska diskursen finns mer nyanserade definitioner. En definition av matematisk förståelse ger Skemp (1976), som menar att det finns två huvudsakliga sorters förståelse, relationell och instrumentell. Den första är en förståelse där man vet både vad man ska göra och varför man gör det medan den senare innebär att man använder sig av regler utan att förstå varför dessa används. Vidare menar Skemp (1976) att det finns ett flertal fördelar med relationell förståelse. De fördelar som vi ser som de viktigaste i vår studie, av de Skemp (1976) nämner, är att relationell förståelse är mer användbar på nya uppgifter och att samma uppgift kan lösas på ett flertal sätt.

(11)

11

1.3.5 Matematik i problemlösningsuppgifter

Ett sätt att formulera matematik i problemlösningsuppgifter är att använda det som kallas rika problem. Vi tar här upp Hagland, Hedrén & Taflins (2005) definition. De beskriver den i sju punkter:

1. ”Problemet ska introducera till viktiga matematiska idéer eller vissa lösningsstrategier. 2. Problemet ska vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med det. 3. Problemet ska upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas tid.

4. Problemet ska kunna lösas på flera olika sätt, med olika strategier och representationer.

5. Problemet ska kunna initiera en matematisk diskussion utifrån elevernas skilda lösningar, en diskussion som visar på olika strategier, representationer och matematiska idéer

6. Problemet ska kunna fungera som brobyggare mellan olika matematiska områden. 7. Problemet ska kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta

problem.”

Ett annat förslag på utformning av problem ges av Lester (1988) som menar att huvuddelen av undervisningen bör ligga på vad han kallar processproblem. Ett processproblem beskrivs som ett problem där lösningen inte kan nås enbart genom beräkningar. Syftet med detta är att visa på de processer i tänkandet som är viktiga kring ett problem i ”verkligheten” där proceduren för att nå en lösning inte alltid är omedelbart uppenbar (Lester, 1988). Hagland, Hedrén & Taflin (2005) nämner att problem kan vara rent matematiska och ändå uppnå kriterierna för rika problem.

1.3.6 Vardagskontext

Kontext betyder enligt SAOL (1998) sammanhang. En del av problemlösningsförmågan ligger, som beskrivits i avsnitten tidigare, i att ha en djup matematisk förståelse. Enligt kursplanen skall eleverna kunna lösa problem i vardagliga situationer. En metod för hur detta kan övas och förbättras ges av Vygotskij och Dewey som båda säger att det måste finnas ett samband mellan skola och verklighet (Dysthe, 2003). Vidare anser de att undervisningen skall ta utgångspunkt i elevens intresse för att resultatet skall bli bra. Boaler (1993) hänvisar till nyare undersökningar som visar på vikten av att just ta utgångspunkt i elevernas vardag då

(12)

12

lösningar av matematikböckers verklighetsuppgifter har liten överensstämmelse med hur liknande problem löses i en verklig situation. Boaler (1993) visar, precis som Vygotskij och Dewey, på ett sätt att arrangera problemlösningsuppgifter som ger bättre resultat, nämligen att låta eleverna konstruera uppgifter som skall vara öppna och kunna ta i princip vilka riktningar som helst.

Wyndhamn (1990) berör något liknande när han visar att de tankemodeller som elever har tillskansat sig i en situation inte per automatik kan överföras till en annan situation. Att abstrakt kunnande skulle kunna konkretiseras och användas i nya situationer kan ifrågasättas enligt Wyndhamn (1990). I situationer när elever ombeds formulera nya problem utifrån tidigare problem och inte klarar att detta, tycks de istället förlita sig på tidigare uppgifter de löst i skolan (Wistedt, 1987).

1.3.7 Problemlösningsmetoder

I avsnitten ovan har beskrivits vikten av att öva upp sin matematiska förståelse som anses viktig vid problemlösning och hur uppgifter skall konstrueras, både matematiskt och kontextuellt, för att de kan bli till nytta i elevernas liv. I avsnittet Problemlösning omnämns att den som utsätts för ett problem kommer att hamna i ett tillstånd av osäkerhet då vägen till lösning vid första anblick kan vara oklar. I litteratur som behandlar problemlösning finns en mängd olika metoder för att skapa ordning vid problemlösning. Metoderna skiljer sig åt i varierande grad men har oftast, vad vi har kunnat finna, en gemensam övergripande struktur. Strukturen är schematisk: sätta sig in i problemet och förstå det, därefter lösa problemet för sedan avsluta med att återblicka och reflektera över lösningen och problemet (Polya, 1957, Cai & Brook, 2006, Hart, 2006).

En av dessa metoder, som är den som det refereras mest till vad vi har kunnat se, ges av Polya (1957). Hans metod består av fyra faser:

1. Förstå problemet; ”Vad är det som söks? Vad är det som är givet? Hur lyder villkoret?”

2. Göra upp en plan; ”Känner du till något närbesläktat problem? Skulle du kunna formulera om problemet?”

(13)

13

4. Se tillbaka (reflektera); ”Kan du kontrollera svaret? Kan du härleda resultatet på något annat sätt? Kan du använda resultatet eller metoden för något annat problem?”

1.3.7.1 Alternativ problemlösningsmetod

Som skrivits i avsnittet Problemlösningsmetoder är problemlösningsmetoderna ofta lika men vi har funnit en metod som skiljer sig något från de övriga. Forskarna Kramarski & Gutman (2006) har konstruerat en metod, IMPROVE, som de hävdar hjälper och stärker elever vid lärande genom problemlösning. Kramarski & Gutman (2006) delar upp

problemlösningsförfarandet i fyra faser på ett liknande sätt som Polya; 1. Förstå problemet

2. Konstruera band mellan äldre och ny kunskap 3. Använda lämpliga strategier för att lösa problemet 4. Reflektera över processen och på lösningen

Deras metod bygger på att eleverna till varje fas ställer en eller flera själv-metakognitiva frågor. Dessa frågor är enligt författarna av avgörande betydelse för förmågan att lösa problem. Frågorna som ställs till varje fas är;

1. Vad handlar problemet egentligen om?

2. Vad finns det för likheter och skillnader mellan problemet och problem som eleven löst tidigare och VARFÖR?

3. Vilka strategier och principer är lämpliga för lösandet av problemet och VARFÖR? 4. Vad gjorde jag för fel? Är lösningen rimlig?

Även om strukturen liknar den gängse formen för problemlösningsmetoder finns det som vi ser det en skillnad. Reflektionen och framförallt då ifrågasättandet VARFÖR något görs sker både efter att problemet är löst men också i fas två och tre. Kramarski & Mevarrech (2003) har visat i ett flertal undersökningar att metoden ger en ökad problemlösningsförmåga.

(14)

14 1.3.8 Reflektion

Enligt SAOL (1998) är reflektion återkastning, återspegling, eftersinnande tanke och tyst anmärkning och i Nationalencyklopedin (NE, 2008) skrivs att det bland annat är tänka igenom. Efter att ett problem är löst anser forskarna att en reflektion bör ske. Problemlösaren skall gå igenom problemet och ”tänka efter” för att uttrycka det vardagligt. Detta skulle kunna beskrivas som att ”förstå vad man gjort” för att än en gång uttrycka det vardagligt. Problemlösaren skall införliva nyvunnen kunskap.

Det finns ett flertal former av konstruktivism, social, radikal med flera, men det gemensamma är att människan gör sina erfarenheter begripliga genom att aktivt konstruera mening och tolka dessa erfarenheter (Engström, 1998). Konstruktivismen beskriver att mentala strukturer byggs upp av redan tidigare existerande delar.

Piaget är en konstruktivist som bland annat ägnat sig åt forskning kring lärandet av matematik. Piaget anser att mekanismen för utveckling av matematisk insikt är reflektiv abstraktion (Engström, 1997). Här väljer vi att tolka att insikt är i samma sfär som det som i avsnittet Förståelse beskrivits som förståelse. Piaget menar, som vi ser det, att när ett problem blir löst är det en handling som ger en kunskap som är praktisk. Dessa handlingar begreppligörs genom att handlingarna objektifieras. Detta innebär att handlingarna är utgångspunkt vid en reflektion, vilket betyder att matematisk kunskap konstrueras genom en abstraktion av handlingen (Engström, 1997). Piaget skiljer här mellan att kunna och att förstå. Han menar att kunna är att veta hur man gör och det är när denna kunskap begreppliggörs som den övergår i att förstå, och den matematiska insikten har utvecklats. Vi tolkar relationen mellan att kunna och förstå som att den är relationen mellan Skemps (1976) instrumentella och relationella förståelse som vi omnämner i stycket Förståelse (Engström, 1998). Samtidigt som matematisk insikt utvecklas från att kunna till att förstå, utvecklas även begrepp.

Begrepp är enligt Vygotskij betydelsefulla redskap i språket (Riesbeck, 2000). Språket i sin tur är av vikt vid reflektion. Det är vid reflektion över handlingarna som dessa objektifieras och begrepp utvecklas. Vi ser detta som att när ett problem löses blir personen dels bättre i matematik och dels utökas, utvecklas begrepp (Riesbeck, 2000).

(15)

15

1.3.8.1 Begrepp

Vygotskij delar upp begrepp i spontana och vetenskapliga (Riesbeck, 2000). De vetenskapliga begreppen har sitt ursprung i en organiserad skolundervisning. Dessa är logiska och hierarkiskt uppbyggda. De spontana begreppen har sitt ursprung i vardagshändelser och är osystematiska och kontextbundna. Vygotskij menar att för att eleven skall kunna lära sig vetenskapliga begrepp är det av stor betydelse att eleven har utvecklat spontana begrepp som kan byggas vidare på. Lärandet av vetenskapliga begrepp kommer att påverka de spontana begreppen så att de blir mer systematiska och öka medvetenheten i elevens tänkande. Tänkandet blir en sammansmältning av de spontana och de vetenskapliga begreppen (Riesbeck, 2000).

1.3.8.2 Kunskap

Piaget (enligt Riesbeck, 2000) menar att individer konstruerar sin kunskap genom något han kallar adaption som innebär att individen försöker komma i jämvikt med sin omgivning genom att tolka och förstå sina erfarenheter. Det finns två sorters adaption; assimilation och ackommodation. Assimilation innebär att de nya erfarenheterna passar in i den befintliga mentala strukturen medan vid ackommodation passar de nya erfarenheterna inte in i strukturen utan individen hamnar i en strukturell obalans. Individen strävar då efter att uppnå jämvikt vilket driver utvecklingen så att strukturerna modifieras för att de nya erfarenheterna skall passa in och det sker en ackommodation (Engström, 1997).

Piaget har en beskrivning av olika sorters kunskap som har en hierarkisk uppbyggnad, som påminner om Vygotskijs begreppsdefinitioner vilka tagits upp i avsnittet Begrepp. Piaget menar, enligt Engström (1997), att kunskap kan delas upp i särskild och nödvändig (universell). Den särskilda kunskapen är kunskap som är knuten till en situation, företeelse med mera medan den nödvändiga kunskapen är sann på logiska grunder och är alltid sann. Detta innebär att det finns olika grader av att veta. Om särskild kunskap används handlar det egentligen inte om att veta utan om att tro. Om däremot nödvändiga kunskaper nyttjas är det att veta på logiska grunder.

Här bör påpekas att studier visar på att omvandla spontana begrepp till vetenskapliga och att gå från särskild till nödvändig kunskap är en långsam process. En klassrumsstudie mellan två klasser, som skulle lösa samma uppgift men med olika direktiv, ledde inte till någon markant

(16)

16

skillnad. Den ena gruppen uppmanades att ägna sig åt konkret och handlande verksamhet så som att måla, vika, räkna eller liknande. Den andra gruppen fick uppmaningen att ägna sig åt analytisk och argumentativ sysselsättning där eleverna skulle beskriva, bevisa och fundera. Resultatet blev dock att samtalen i den första gruppen till största del var på ett vardagligt plan utan att de matematiska termer som introducerades fick nya och mer vetenskapliga innebörder (Dysthe, 2003).

1.3.9 Reflektion i problemlösning

I avsnittet Problemlösningsmetoder sägs att det finns ett flertal metoder för problemlösning, där de flesta har en liknande struktur. Först skall problemet förstås därefter genomföras och till slut skall en reflektion ske. De två första faserna måste av nödvändighet gås igenom och klaras av för att nå en lösning på problemet medan den sista fasen kan hoppas över utan att resultatet påverkas. Författarna bakom metoderna anser dock att om tredje fasen inte beaktas missar eleverna en betydelsefull och lärorik del i utvecklandet av problemlösningsförmågan. Enligt litteraturen är det dock ett vanligt fenomen att elever inte ägnar sig åt reflektion utan skyndar vidare mot nästa uppgift, vilket kommer att leda oss till en av våra frågeställningar (Polya, 1957, Cai & Brook, 2006).

I kursplanen för matematik står det i Mål att sträva mot att eleven -utvecklar sin förmåga att formulera, gestalta och lösa problem med hjälp av matematik, samt tolka, jämföra och värdera lösningarna i förhållande till den ursprungliga problemsituationen, (Skolverket, 2000). Här uttrycks att eleverna bör reflektera vid lösandet av problem. Polya menar att det finns tre huvudkategorier av kvalitativa reflektionsfrågor; möjlighet att kontrollera resultatet, hitta nya och eventuellt bättre vägar till lösning och om metoden skulle kunna användas på andra problem (Polya, 1957). På liknande sätt som det finns en övergripande syn på problemlösningsmetoder, finns det även en generell syn över vilka reflektionsområden som bör beaktas och som till stor del överensstämmer med Polyas (Cai & Brook, 2006, Kramanski & Gutman, 2006, Lester, 1988)

(17)

17

1. Hitta andra lösningsalternativ. Här är skillnaderna mellan vilken nivå av matematik som kan användas. Alternativen spänner från gör via att analysera till härled andra lösningar.

2. Gå tillbaka och se på resultatet i förhållande till frågeställningen. Här finner vi uppmaningar som är värderande så som ”Vad gjorde jag för fel? Är lösningen vettig?” men även frågor med större noggrannhet som; ”Kolla att det är rätt räknat?” till uppmaningar som kan tolkas antingen som en fråga om noggrannhet eller som att använda den av Engström definierade nödvändiga kunskapen; ”Kan du kontrollera svaret?”

3. Se samband med andra problem. Här är bredden störst. Sambanden kan vara av både matematisk och vardaglig kontext. Här finner vi uppmaningar som ”Kan du använda resultatet eller metoden på annat problem? Likheter och skillnader till andra problem, Ändra förutsättningarna på problemet.”

1.4 Frågeställning

Från Teori ovan har två frågeställningar utkristalliserats. Den första kommer av att forskare påpekar att reflektion är av betydelse för att öka sin problemlösningsförmåga. Vissa av dessa forskare, bland annat Polya (1957), hävdar att eleverna inte reflekterar efter löst problem utan hastar vidare till nästa uppgift. Detta leder oss till vår första frågeställning som är om elever överhuvudtaget reflekterar, och till vår andra som är om deras förmåga att reflektera över de tre reflektionsområdena som litteraturen ger.

1. Vad reflekterar elever över då de uppmanas att reflektera efter ett löst problem?

2. Vad reflekterar eleverna över när de uppmanas att reflektera över de tre reflektionsområdena?

(18)

18

2 Metod

Vi har gjort en kvalitativ undersökning på en mindre landsortsskola en bit utanför Malmö. Observationerna ägde rum under vecka 49 och de elever som vi observerade går sitt 8:e skolår. Eleverna arbetade parvis med en uppgift inom problemlösning.

2.1 Urval

Vi valde att göra vår undersökning på en mindre landsortsskola en bit utanför Malmö, där en av oss hade kontakter sen tidigare. Kommunen har alltid befunnit sig i toppen på lärarförbudets årliga utmärkelse som ”bästa skolkummun”. I kommunen bor det cirka 20000 invånare. Eleverna som deltog i undersökningen går det 8:e skolåret. I vår undersökning ville vi ha elever i både skolår 8 och 9, detta för att de är närmare sin skolavslutning och skall då ha uppnått de mål som tidigare nämnts i avsnittet om styrdokument. Under vår undersökningsperiod var eleverna i skolår 9 inte tillgängliga eftersom de var på praktik. Undervisningen på skolan är i stort sätt läroboksstyrd, vilket betyder att eleverna inte är särskilt vana vid problemlösning. Vi filmade vår observation och eftersom de som var med i undersökningen var minderåriga behövde vi få vårdnadshavarnas tillstånd innan vi kunde påbörja observationerna. Vi fick inte in tillstånd från allas vårdnadshavare, detta resulterade i att 10 elever om 5 par deltog i våra observationer.

2.2 Val av metod

Vi valde att göra en observation, det vill säga vi iakttog och analyserade elevernas beteende. Vi ville samla in information inom områden som berör beteende och skeenden i elevernas undervisningsmiljö. Enligt Patel & Davidsson (2003) är observation den främsta metoden att ta fram information om omvärlden. Vår observation var uppdelad i två delar. I den första delen var vi icke deltagande och eleverna fick själva lösa uppgifterna. I den andra delen av observationen var vi deltagande på så sätt att vi ställde frågor till eleverna. Under hela observationen filmade vi eleverna så att vi sedan i lugn och ro kunde titta igenom filmen och analysera den tillsammans. För att underlätta och göra vår bearbetning enklare utformade vi ett observationsschema (se bilaga 3) som vi fyllde i under observationens gång (Kylén 2004). Vi ville inte påverka eleverna utan vårt intresse enbart var att se om eller hur eleverna arbetar med reflektion över lösningen av ett problem. För oss var det extra viktigt att tänka på att inte

(19)

19

påverkar eleverna då Patel och Davidsson (2003) betonar att som känd observatör är det lättare att påverka elevernas beteende. Johansson och Svedner (2006) beskriver en intervju som att den är djupgående och ger smal information. Vi ansåg att vi inte behövde gå in på djupet eftersom vi inte ville ta reda på hur eleverna reflekterar eller hur de tänker när de löser problemlösningsuppgifter. Som Engström (1997) påpekar är det inte särskilt meningsfullt att undersöka hur en elev tänker inför ett problem, utan istället försöka förstå hur en elev handlar för att lösa ett problem. En annan anledning till att vi inte valde att göra intervjuer är som Kylén (2004) skriver att vid en intervju är det lätt att intervjuaren påverkar den eller de som blir intervjuade och som vi även tidigare nämnt ville vi inte påverka eleverna. Hade vi önskat att få en så stor överblick som möjligt skulle vi ha valt, enligt Patel och Davidsson (2003), att ha en enkätundersökning.

Vi konstruerade en mall (se bilaga 2) som vi använde vid den deltagande observationen. Då vi ville vara säkra på att vi skulle säga samma sak och agera på ungefär samma sätt till alla elevparen som vi observerade, detta för att öka reliabiliteten i vårt arbete. Reliabiliteten är det som mäter mätnoggrannheten hos de intervjuade eller observerade (Johansson & Svedner, 2006). Validitet innebär att den information som samlats in ger en sann bild av det som undersökts. Det vill säga att det som vi har undersökt är det som var avsett att undersökas. Vi valde att inte avslöja för eleverna vad det var vi undersökte. Syftet med detta var att öka validiteten i vår undersökning. Eleverna kunde på så vis inte lägga all sin kraft på just det momentet som vi undersökte och för att våra observationer mer skulle likna elevers reflektion vid problemlösning. Vår observation är, som Kylén (2004) beskriver, en informell metod och som är lösare i sin struktur, då vi inte endast tittade strikt efter matematik och reflektion utan även noterade övrigt. Detta menar han kan leda till en högre validitet. Han menar även att om metoderna är mer formella så ökar risken att mätinstrumentets validitet minskar (Kylén, 2004).

2.2.1 Observationerna

Innan vi påbörjade våra observationer åkte vi ut till skolan och presenterade oss själva och vår undersökning. Vi delade även ut ett brev till vårdnadshavarna (se bilaga 1) för att be om deras godkännande om att deras barn fick medverka i vår undersökning. En vecka senare åkte vi tillbaka till skolan och påbörjade våra observationer. I början var det svårt att få eleverna att ställa upp, vilket kan ha berott på att de var oroliga för att de skulle bli filmade och för att de

(20)

20

inte ville misslyckas med uppgiften. Vi förklarade för eleverna att vi endast använde filmkameran för att fånga upp det som de diskuterade under observationen. Vi observerade eleverna i par, detta för att det skulle kännas mer naturligt för eleverna att diskutera och förklara vad de gjorde och hur de tänkte kring problemet. Anledningen till att vi inte delade in eleverna i större grupper var för att vi gjorde bedömningen att det försvårar för eleverna att kunna framföra hur de tänker kring uppgiften. Sjödin (1991) skriver att vid stora gruppsammansättningar ökar processförlusten på grund av koordinationssvårigheter och när gruppstorleken ökar minskar känslan av sammanhållning bland gruppmedlemmarna. Detta menar han då på att i sin tur kan leda till en negativ motivation på gruppmedlemmarna.

Under den första delen av observationen fick eleverna cirka 15 minuter till att lösa uppgiften. För oss spelade det ingen roll om det inte hade löst färdigt uppgiften eftersom det inte var det vi tittade på. De riktlinjer som de fick av oss innan de började med uppgiften var att de skulle arbeta efter Polyas fyra faser (se bilaga 4). Anledningen till att de fick Polyas fyra faser var för att vi ville se vad eleverna gjorde om de fick uppmaningen att reflektera efter löst problem. Under den andra delen av observationen ställde vi frågor kring de tre reflektionsområdena som eleverna fick besvara.

1. Kan ni hitta alternativa lösningar/andra sätt att lösa uppgiften? 2. Kan ni kontrollera svaret?

3. Kan ni se samband/likheter med andra problem?

Vi förklarade innebörden med ett flertal synonymer för att minska språkliga missförstånd. Under den andra delen tonade vi även ner tidsbegränsningarna. Eleverna fick den tid som de behövde för att svara på frågorna.

2.3 Val av uppgift

Den uppgift vi har valt är en uppgift som redan tidigare har prövats av forskare. Vi valde detta dels för att vi inte skulle behöva göra en pilotstudie, men även för att vi på ett lättare sätt skulle kunna ta fram ett analysschema, samtidigt som vi redan innan vet vilka svar som är vanligast förekommande. Vi valde ett rikt problem för att vi vet att alla elever kan arbeta med det, och som Hagland, Hedrén och Taflin (2005) skriver går det att lösa på flera olika sätt. Ett rikt problem bär även på möjligheter till en givande diskussion av matematiska begrepp och procedur.

(21)

21 2.3.1 Problemet

Hagland, Hedrén och Taflin (2004) beskriver denna uppgift som en vanlig typ av problem. Det gäller för eleverna att med hjälp av någon induktiv metod ta reda på det mönster som bygger upp de olika figurerna. Problemet är uppbyggt på så vis att eleverna får figur 1, 2 och 3 (se bilaga 5). Utifrån dessa tre figurer skall eleverna sedan komma fram till ett mönster genom att de först ska räkna ut hur många stenplattor det ingår i figur 5, 10 och 100. När de fått fram detta mönster ska de sedan uttrycka det som någon slags regel och till slut även som en formel, där n ingår som variabel. För att kunna lösa uppgiften behöver eleverna ha färdigheter inom något eller några av följande områden: narturliga tal, tabell, area och mönster. De resultat som de tidigare forskare kommit fram till är de som vi utgår ifrån. De lösningsmetoder som förekom var: räkna rutor, rekursion, area, tabell och algebra. Nedan kommer en kort förklaring till vad de olika lösningarna innebär.

Räkna rutor: eleverna räknar antalet rutor.

Rekursion: eleverna upptäcker att det går att räkna sig fram till antalet plattor från en figur

till en annan.Genom att ”… öka de vita med tre, och här ökar de med fem (och där) sju, varje heltal.” Dessa elever upptäcker även att de mörka plattornas antal ökar med fyra när de går från en figur till nästa.

Area: eleverna betraktade olika ytor i figurerna vars area de kunde beräkna. Vissa elever

räknade först det totala antalet plattor och antalet ljusa plattor. För att få fram antalet mörka plattor tog de differensen mellan dessa två tal. Andra elever såg de ljusa plattorna som en yta och de mörka som en ram runt ytan.

Tabell: eleverna skrev upp antalet ljusa respektive antalet mörka plattor för ett stort antal,

ungefär 15 stycken eller fler, figurer. Med hjälp av tabellen hittar eleverna relativt lätt ett mönster.

Algebra: Eleverna hittar ett generellt utryck där variabeln n ingår

(22)

22

3 Resultat

I resultatdelen redovisar vi först i 3.2 varje elev för sig och därefter i 3.3 sammanställer vi elever grupperade efter analysschemat.

3.1 Analysschema av resultat

3.1.1 Frågeställning 1

På frågeställning 1 ”Vad reflekterar elever över då de uppmanas att reflektera efter ett löst problem?” sökte vi efter ord och handling som skulle kunna tolkas tillhöra något av de tre reflektionsområdena. Hur dessa i sin tur söktes beskrivs i ”Frågeställning 2 Vad reflekterar eleverna över när de uppmanas att reflektera över de tre reflektionsområdena?” nedan. Vi noterade även övrigt.

3.1.2 Frågeställning 2

På frågeställning 2 ”Vad reflekterar eleverna över när de uppmanas att reflektera över de tre reflektionsområdena?” fanns tre separata analysscheman.

3.1.2.1 Frågeställning 2a ”Kan ni hitta alternativa lösningar?”

Här söktes efter de av Hagland, Hedrén & Taflin (2005) angivna alternativa lösningssätten till problemet som beskrivits i 2.3.1 Problemet:

 Räkna rutor  Rekursion  Area  Tabell  Algebra

(23)

23

3.1.2.2 Frågeställning 2b ”Kan ni kontrollera svaret?”

Här användes Engströms (1997) definition av att veta som bygger på Piagets två sorters kunskap, särskild och nödvändig. Dessa har beskrivits i avsnittet Kunskap. Vi noterade även övrigt.

3.1.2.3 Frågeställning 2c ”Kan ni se samband/likheter med andra

problem?”

Analysen delades upp i tre grupper:

1. Matematiska samband. Denna uppgift analyserades enligt de av Hagland, Hedrén & Taflin (2005) föreslagna nya uppgifter.

 Geometriskt kontinuerligt växande mönster.  Beskriva förändringar i figur.

 Ange förenklade generella regler, där n ingår.  Hitta på och lösa liknande problem.

2. Verkliga samband. Här användes Boaler (1993) från avsnittet Verklighetskontext för att se om eleverna hade uppslag till problem i sin verklighet.

3. Matematiska samband i verkligheten. Här söktes om elever kunde finna en kombination av punkt 1 och 2 ovan.

(24)

24

3.2 Enskilda elevresultat

För att lättare kunna avläsa våra tabeller har vi delat upp det på följande sätt:  Fetstil är vårt observationsschema

 Skrift i vanligt teckensnitt är våra observationer  Kursivt är uttalanden från elever.

Elev: 1A Hur långt: Hela a, b mörka Tid: 15 minuter Sätt att lösa/metod:

a. Räknar rutor.

b. Försök till att hitta ett mönster och multiplicerar med 3. Eleven frågar: Kan detta stämma? Eleven kommer själv fram till att det inte kan stämma genom att göra en tabell.

1. Vad reflekterar elever över då de uppmanas att reflektera efter ett löst problem?

 Eleven reflekterar inte.

2. Vad reflekterar eleverna över när de uppmanas att reflektera över de tre reflektionsområdena?

Kan ni hitta alternativa lösningar?

Kan ni kontrollera svaret? Kan ni se

samband/likheter med andra problem?

 Kan man säkert  Säkert något

logiskt  Något med x

eller sånt

 Man kan räkna de mörka rutorna. (osäker på om svaret är rätt)

 Jo, det måste det vara

 bygga något  lägga golv  Det står ju på

(25)

25

Elev: 1B Hur långt: Hela a, b mörka Tid: 15 minuter Sätt att lösa/metod:

a. Räknar rutor

b. Lyssnar mest på 1A

Kan ni hitta alternativa

lösningar? Kan ni kontrollera svaret? Kan ni se samband/likheter med andra problem?

 X har säkert visat något. (x= deras matematiklärare)

 Jag är nästan säker att vi har räknat rätt på de mörka.

 Jag kan inte komma inte på några samband/likheter

(26)

26

Elev: 2A Hur långt: Hela d Tid: 10 minuter

Sätt att lösa/metod:

a. Ser kvadraten som ökar. Räknar arean på de vita. Ser att de mörka ökar med två både där uppe och nere, en typ av rekursion.

b. Räknar på samma sätt som uppgift a, fast här behöver eleven inte tänka utan ser det direkt.

c. Samma som b. Börjar ägna mest tid på att förklara för sin 2B. d. Fortsätter att förklara och löser samtidigt d-uppgiften.

1. Vad reflekterar elever över då de uppmanas att reflektera efter ett löst problem?

 När vi gjorde uppgift d så reflekterade vi

Kan ni hitta

alternativa lösningar?

Kan ni kontrollera svaret?

Kan ni se samband/likheter med andra problem?

 Rita rutor och sedan räkna dem.

 Dra ut rutorna och räkna rutor, det blir jobbigt när det ska göras på figur 100 till exempel.

 Det finns säkert många

 Ja, fram till uppgift c. Förklarar sitt matematiska mönster från bild till bild och säger: Man bara vet det. Och Ser mönster på de vita.

 Det är ju problemlösning och det höjs på ett visst sätt… man använder matematik

 … men

verkligheten…?...verklighet... ?Om man lägger till priset så blir det mer verklighet för mig.

(27)

27

Elev: 2B Hur långt: Hänger med 2A Tid: 10 minuter Sätt att lösa/metod:

Lyssnar på 2A

Kan ni kontrollera svaret? Kan ni se samband/likheter med andra problem?

(28)

28

Elev: 3A Hur långt: Hela c Tid: 15 minuter

a. Ritar och räknar rutor (räknar fel, slarvig vid beräkning av ljusa plattor). Rättas till av 3B

b. Kommer på 15 på längden och 15 på höjden genom att titta på sin ritning. c. Det är ganska många. Räknar arean på de vita och rekursion på de mörka. Det

var lite lättare

d. Missförstår och sätter n=20 och löser på samma sätt som uppgift c.

 Går igenom punkt 1-4 i bilaga X och när eleven kommer till sista punkten säger 3A att de reflekterar nu.

 Ja rita figur och räkna rutorna (svarar snabbt)  Någon slags area. (där förklaringen blir fel)

 Ökar det med något speciellt varje gång?  Det finns säkert

fler sätt

 Ja! Man

kontrollräkna, men det är jobbigt vid figur 100.

 Det kan vi nog göra (svarar snabbt).  Det finns uppgifter i

matematikboken (visar på pappret ett förslag på en figur som ökar kontinuerligt)  Vi kan säkert komma på fler  Eleven beskriver här ett problem där antal cykelhjul kan beräknas. Det kommer en ny cykel till skolan varje dag från första januari till 31:a december, ...men då är det ju ingen här... Eleven inser begränsningen i uppgiften.

 Det finns hur många som helst.

(29)

29

Elev: 3B Hur långt: Hela c Tid: 15 minuter

a. Rekursion på de mörka och arean på de ljusa. Räknar fel men rättar till det med hjälp av 3A.

b. Förstår att de vita har ett mönster. Försöker sig på att räkna hela arean minus de vitas area, men blir ett räknefel på vägen.

c. Fyller mest i. Har, som vi ser det, inte insikt i lösningen. d. Säger till 3A: Jag ser inte mönstret

 Eleven reflekterar inte

Kan ni hitta alternativa

lösningar? Kan ni kontrollera svaret? Kan ni se samband/likheter med andra problem?

 Sidan ökar med en varje gång.

 När 3A är klar med sina samband. Säger 3B: Jag kan inte komma på fler  Funderar en liten

stund till och kommer på: Man får en läxa en dag och gör inte den. Sen nästa dag får man en läxa till, då har man två läxor och så gör man inte dem och så nästa dag får man en läxa till och då har man tre läxor.

(30)

30

Elev: 4A Hur långt: Hela d Tid: 6 minuter

a. Räknar arean på de vita och säger samtidigt: Det borde finnas en formel. Räknar de mörka rutorna och säger: Det måste finnas en formel.

b. Räknar vita rutorna på samma sätt som i uppgift a. Eleven ser att de mörka går att räkna bredden gånger fyra plus fyra.

c. Använder sig av den formeln som eleven kommit på i uppgift b. d. Gör en formel, men vet inte vad som menas med n:te figuren.

bredden bredden ljusa n   4 4   mörka bredden n

 Det måste gå att hitta en formel.

 Går igenom punkt 1-4 i bilaga X och när han kommer till sista punkten säger 4A att de reflekterar nu.

 Det går att räkna alla rutor, men det är väldigt jobbigt  Som en ekvation. Här löser 4A uppgift d på ett korrekt sätt.  Ja (bestämt)

 Förklarar sin formel. Kan kontrollera genom att kolla så att det stämmer på första figuren och sedan på andra figuren.

 Kanske inte i skolan.

 När man ska lägga golv är det bra att veta formeln  Jag brukar inte

tänka så.  När man löser

andra figurer i matematikboken är det inte samma formel. Man räknar hur mycket det ökar på varje.

(31)

31

Elev: 4B Hur långt: Hänger med 4A Tid: 6 minuter Sätt att lösa/metod:

a. Räknar rutor

Lyssnar mest på 4A

 Eleven reflekterar inte

(32)

32

Elev: 5A Hur långt: Hela c Tid: 15 minuter

a. Får uppfattningen att de mörka rutorna är två fler än de ljusa vilket leder till att det blir 25+2=27 mörka rutor

b. Räknar 151545 ljusa rutor och de mörka rutorna till 45+2=47 c. Räknar på samma sätt som ovan

d. Missförstår och sätter n=75 och räknar7575515 Kommer på att de har gjort fel och börjar om från början. a. Räknar rutor och får fram 16 mörka.

b. Velar lite och räknar fram att det blir 17+13+17+13. Blir tillrättavisad av 5B. Nu tycker 5A att det blir lättare.

c.

d. Missförstår och sätter n=50 och får fram 2500 ljusa och 204 mörka. (Nu fattar 5A vad det hela går ut på).

 När man kommit på ett system är det ganska enkelt.

 försöker med rekursion (suckar ljudligt)

 bråkar med bröder  Jag kan inte komma

på något exempel på rak arm  lägga stenplattor  kakla

(33)

33

Elev: 5B Hur långt: Hela c Tid: 15 minuter

a. Räknar och ser mönster på de vita. (Area) 5A visar hur många mörka det är. b-d hänger mest med 5A vid dennes felaktiga resonemang.

Kommer på att de har gjort fel och börjar om från början.

b. Kommer på att det är 4 i kanten som man lägger till på de mörka. (velar). Ritar istället och får fram 15+15+15+15=60 60+4=64

c. Använder formeln b.

d. Missförstår och sätter n=50 och räknar ut på samma sätt som ovan.

 Vi förstod inte problemet från början så då började vi om igen.

 Det kan vi säkert. Förklarar n:te figuren utan att han själv vet om det. 2 ) 2 ( 2 n n

 Ja, om man ritar upp figurerna så kan man räkna rutorna.

 Mönster  Staket

3.3 Sammanställning av alla elevers resultat

3.3.1 Vad reflekterar elever över då de uppmanas att reflektera efter ett löst problem?

Ingen elev reflekterar över de tre reflektionsområdena som beskrivits i teoridelen. Elev 2A anser att de reflekterade när de löste uppgift d. Elev 4A säger att man måste hitta en formel. Eleven gör dock inget försök att hitta formeln. När eleverna 3A och 4A går igenom de fyra punkterna i anvisningarna (se bilaga 4) och kommer till den sista punkten som är att reflektera och se tillbaka säger de; det är det vi gör nu.

(34)

34

3.3.2 Vad reflekterar eleverna över när de uppmanas att reflektera över de tre reflektionsområdena?

3.3.2.1 Kan ni hitta alternativa lösningar?

Fem elever föreslår att rita upp figurerna och räkna rutor (2A, 2B, 3A, 4A & 4B). Fyra elever ägnar sig åt någon form av rekursion som de också tidigare löst uppgiften med (3A, 3B, 5A, & 5B). En elev gör ett försök att lösa uppgiften med hjälp av areaberäkning (3A). Elev 4A är den enda som medvetet löser uppgiften algebraiskt och formulerar formeln för n:te figuren. Även elev 5B löser uppgiften algebraiskt för n:te figuren men verkar inte medveten om detta. Fyra elever säger att ”det finns säkert fler” (1A, 2A, 3A & 5B). Två elever ger osäkra svar, en tror att det går att lösa med x (1A) och den andra påminner sig om att matematikläraren tidigare har gått igenom liknande uppgift med just x (1B).

3.3.2.2 Kan ni kontrollera svaret?

Fyra elever säger att de kan kontrollera sitt svar genom att rita upp figurer och sedan räkna rutorna (1A, 1B, 3A & 5B). Två elever argumenterar för att deras beräkningar stämde (2A & 4A). Ingen elev föreslår att beräkning med en ny metod skulle kunna användas.

3.3.2.3 Kan ni se samband/likheter med andra problem?

3A är den enda som ger ett exempel på matematisk uppgift som eleven kommer ihåg från matematikboken. Eleverna 2A och 4A lämnar inget förslag på uppgift men beskriver matematiken i det lösta problemet. Elev 5B konstaterar att det är en mönsteruppgift.

Tre elever föreslår golvläggning (1A, 4A & 5A). En elev föreslår staket (5B) och en att priset på stenplattorna kan inkluderas i uppgiften (2A).

Två elever lämnar förslag på uppgifter som både innehåller matematik och verklighetskontext (3A & 3B).

(35)

35

4. Diskussion

4.1 Diskussion kring frågeställning 1

En övergripande bild av resultatanalysen på frågeställning 1 är att eleverna inte reflekterar i någon större utsträckning efter ett löst problem, vilket även är vad litteraturen säger. Ingen av eleverna reflekterade över de av litteraturen angivna reflektionsområdena.

En elev (5A) säger i sin reflektion att när de hittade ett system var det lättare att hitta det rätta svaret. Detta kan tyda på att eleven kommit till insikt om hur problemet är uppbyggt. Om eleven har insikt om vilka andra uppgifter och sammanhang som denna typ av system fungerar på är oklart. Det kan dock konstateras att det är när eleven ombeds att reflektera som uttalandet kommer. Elev 2A, som vi bedömde som matematiskt skicklig, reflekterar över att de reflekterade när de löste uppgift d, detta kan kanske beskrivas som en form av metareflektion. När eleven löste uppgift d gick eleven metodiskt igenom uppgifterna a-c. När eleven såg mönstret löstes uppgift d. Detta innebär att eleven reflekterade under arbetets gång och förklarade för sig själv varje moment och varför dessa gjordes. Metoden IMPROVE, som beskrivits i avsnittet Alternativ problemlösningsmetod, säger att det är av betydelse för att öka sin problemlösningsförmåga att reflektera under arbetets gång. När eleven reflekterade efter att uppgift d var löst, hade eleven en insikt om att reflektionen under problemlösningen varit till nytta för att nå lösning på uppgift d. Eleven verkar ha konstruerat mentala strukturer som eleven kan använda i liknande uppgifter framöver om eleven då minns dem. Elev 5B konstaterade att när de insåg att de räknat fel fick börja om. Eleven talar inte i de termer som 2A om att dra nytta av vad de gjort tidigare utan verkade anse sig få börja om från början. En elev (4A) säger att det måste finnas en formel. Eleven gör dock ingen ansats att finna formeln här men hittar den senare när uppgiften om att hitta alternativa lösningar ges. Eleven uppvisar som vi ser det allmänt höga kvaliteter i matematik. Här finns två intressanta noteringar. När eleven efter löst problem ombeds att reflektera görs inget konkret försök att hitta formeln. Eleven anser alltså inte att det innebär att arbeta vidare vid reflektion utan endast fundera igenom uppgiften. Den andra noteringen är att eleven verkar ha en aning om att denna uppgiftstyp har en generell lösning. Denna matematiskt väl utvecklade elev verkar

(36)

36

besitta en insikt om att denna uppgiftstyp har en generell lösning och att den kan beskrivas med det som Engström benämner som nödvändig kunskap.

Precis som elev 4A var det ingen elev som gjorde några anteckningar efter att de löst uppgiften. Vi ser två tänkbara anledningar till detta. För det första upplevde vi det som att ”luften gick ur” eleverna när de räknat färdigt och att motivationen sjönk. En elev (3B) frågade direkt efter att problemet var löst om deras lösning var riktig, eleven hade en tydlig önskan att veta sitt resultat. Att vilja veta sitt resultat är som sagts i avsnittet Motivation en av egenskaperna hos personer med hög prestationsmotivation. Eleven visade stort engagemang vid lösandet av problemet men inget vid reflektionen. Detta skulle kunna tolkas som att eleven inte ser att det går att prestera ett resultat i reflektion och blir därmed omotiverad. Den andra anledningen skulle kunna ha med ordsdefinition att göra. I det vardagliga språket betyder reflektera att återblicka och tyst genomgång. Den matematiska reflektionen som litteraturen ovan ger innebär aktivitet. Om eleverna inte har lärt sig vad matematisk reflektion innebär verkar de tolka ordet reflektion på ett vardagligt sätt.

4.2 Diskussion kring frågeställning 2

Allmänt noterade vi att de tre frågorna i frågeställning 2 ledde till aktivitet, det verkade som att motivationen återkom då de fick konkreta frågor.

4.2.1 Diskussion kring frågeställning 2a ”Kan ni hitta en alternativ lösningsmetod?”

Av de sex elever som löste uppgiften med rekursion och som sedan kom med alternativa lösningsförslag var det fyra elever som försökte hitta nya och möjligen förfinade rekursioner. Tre av dessa elever (3A, 3B & 5A) lyckades inte finna nya lösningar. Detta skulle kunna peka på en hög prestationsmotivation men att de har nått sin matematiska begränsning. De har inte, enligt Piaget, lyckats med att konstruera ny kunskap av de handlingar de utförde under lösandet av problemet. Det har inte skett en ackommodation. Att eleverna inte lyckades med detta är inte förvånande. Samma påföljder sågs i undersökningen som beskrivits i avsnittet Kunskap. Lester menar också i avsnittet Problemlösning att det måste få ta tid att öva upp sin problemlösningsförmåga. En elev (5B) löser formeln för den n:te figuren vid sin beräkning med rekursion, dock utan att verka vara medveten om detta. Det skulle kunna vara så att

(37)

37

eleven håller på att konstruera mentala strukturer som kan hantera denna typ av uppgifter och att en ackommodation är nära.

Fem elever föreslår att man kan rita och/eller räkna rutor. En av dessa är eleven (2A) som löst uppgiften till och med d och som för att hitta en ny lösning måste söka en matematiskt mer primitiv variant. En är eleven (4A) som vid reflektionen sade att det måste finnas en formel. När eleven ombads att hitta alternativ lösning fann eleven formeln för n:te figuren efter att först föreslagit att räkna rutor. Den tredje eleven (3A) föreslår även en felaktig areaberäkning.

4.2.2 Diskussion kring frågeställning 2b ”Kan ni kontrollera svaret?” Fyra elever (1A, 1B, 3A & 5B) kontrollräknar sina svar. Två av dessa (3A & 5B) uttrycker en säkerhet på att de funnit det korrekta svaret. Elev 3A kan inte med Engströms definition av nödvändig kunskap visa att svaret är korrekt. Eleven verkar på ren vilja övertyga sig själv och sin omgivning om det korrekta i svaret. Elev 5B har, som beskrivits ovan, löst den n:te figuren utan att själv vara medveten om detta. Det är möjligt att eleven bygger sin säkerhet på en känsla som är underbyggd av att ackommodationen är nära.

De två elever (2A & 4A) som funnit den n:te figuren, och är medvetna om detta, argumenterar matematiskt för sina lösningar. Detta tyder på att de är medvetna om att det finns en generell lösning på problemet och att de har insikt om nödvändig kunskap enligt Engströms definition.

4.2.3 Diskussion kring frågeställning 2c ”Kan ni se samband och eller likheter med andra problem, både matematiska och verkliga?”

De matematiska alternativen kan delas upp i två grupper. Den första gruppen talar om uppgiftstyper, där elev 5B konstaterar att det är en mönsteruppgift och 3A ger ett exempel från läroboken. Den andra gruppen (2A & 4A) beskriver det matematiska innehållet i uppgiften. De ger inget exempel på uppgifter och det de säger påminner om vad de svarade när de kontrollerade sina svar.

Av de elever som ger exempel på alternativa verkliga uppgifter ger tre stycken (1A, 4A & 5A) exemplet att lägga golv. En elev (5B) lämnar förslaget att bygga staket och elev 2A föreslår att priset kan inkluderas i uppgiften.

(38)

38

Två elever (3A & 3B) ger exempel på uppgifter som innehåller både matematik och verklighetskontext.

Överlag kan konstateras att eleverna har svårt att använda innehållet i uppgiften, både det matematiska och det vardagskontextuella, för att konstruera nya uppgifter. De matematiskt starkaste eleverna (2A & 4A) besitter nödvändig kunskap om matematik och har även matematiska begrepp klara, men har svårigheter att konstruera både matematiska och verklighetskontextuella uppgifter. De kan förklara och beskriva matematiken men inte använda den i någon högre grad i nya situationer. I avsnittet Verklighetskontext skriver vi att enligt Wyndhamn är att det inte en självklarhet att abstrakt kunnande kan konkretiseras och användas i nya situationer. Den elev som uppvisar störst förmåga att använda sig av innehållet i uppgiften är 3A. Eleven ger exempel på både matematisk uppgift och matematisk uppgift med verklighetskontext från sin omgivning, nämligen skolgården. 3A uppvisar en hög motivation under hela observationen och McCellands definition att personer med hög prestationsmotivation har ”entreprenörspersonlighet” tycks här vara befogad. För att uttrycka det vardagligt, det ”sprutar idéer” från eleven.

4.2 Slutsats

Vid en sammanställning av denna studie kan följande konstateras. Eleverna uppvisar ingen förmåga att reflektera över de tre reflektionsområdena efter ett löst problem. De verkar sakna kunskap om de tre reflektionsområdena. Detta i sin tur leder till att eleverna inte vet vad de skall göra och motivationen sjunker när de blir ombedda att reflektera. När eleverna får konkreta uppgifter i form av de tre reflektionsområdena ökar motivationen igen hos eleverna.

De elever (2A & 4A), som enligt vår bedömning var matematiskt de skickligaste, kunde lösa hela uppgiften och även relativt väl kontrollera sina svar och argumentera för sina lösningar. De verkar besitta matematiska begrepp och den av Engström definierade nödvändiga kunskapen. Däremot har dessa elever svårigheter med att se samband med andra uppgifter och var på detta område endast medelgoda. Det verkar som om att det inte är tillräckligt med matematisk kunskap för att uppnå målen i läroplanen som tagits upp i avsnittet Reflektion i problemlösning. Den som uppvisar störst förmåga att finna både alternativa lösningar och idéer kring problemet är elev 3A som vi bedömer som medelgod i matematik. Vi har använt

(39)

39

”entreprenörpersonlighet” som beskrivning av eleven. Eleverna 5A & 5B visar också hög motivation när de ”började om från början” då de räknat fel. Framförallt 5B uppvisar hög motivation då eleven i sin vilja att finna en alternativ lösning finner den n:te figuren, dock utan att vara medveten om detta. Elev 2A är välmotiverad vid lösandet av uppgift d där eleven, som beskrivits i avsnittet Diskussion kring frågeställning 1, ägnar sig åt reflektion för att nå lösning. Däremot verkar eleven inte så motiverad vid reflektionen över de tre reflektionsområdena utan presterar då, som skrivits tidigare i detta avsnitt, endast medelgoda resultat. Eleven verkar anse att i och med lösandet av problemet var uppgiften färdig. Motivation verkar vara av betydelse för att nå framgång när eleverna arbetar med de tre reflektionsområdena.

Som en avslutande notering kan frågas vad det är som har undersökts. Som nämnts i avsnittet Verklighetskontext har lösningar av matematiska problem med verklighetskontext lite att göra med hur samma problem löses i verkligheten. Om det är på detta sätt kan man tänka sig att det samma gäller reflektion. Vi har i denna studie försökt att se vad elever reflekterar över i en undervisningsmiljö som då i sin tur kanske inte har så mycket att säga om hur personer skulle reflektera i en verklig situation. Vi ger ett exempel. Om en lärare ger en uppgift att x personer skall dela på y pizzor och en elev löser uppgiften felaktigt så skulle eleven antagligen efter lektionen inte tänka mer på detta. Däremot om eleven skulle råka ut för samma händelse i verkligheten och de facto få mindre pizza är det som vi ser det betydligt mer sannolikt att eleven skulle reflektera och lära sig detta till nästa gång det skall delas pizza.

Vi har i denna studie helt bortsett från parametern att eleverna arbetade i par och att det då finns en gruppdynamik som påverkar utgången av studien.

4.3 Förslag på framtida forskningsområden

I vår undersökning såg vi att eleverna inte reflekterade i någon större utsträckning efter att de löst problemet. Att lära ut de tre reflektionsområdena för att sedan se om elever använder sig av dessa efter löst problem hade varit ett första steg i en undersökning. Dock finns det som vi ser det en risk i att eleverna inte kommer att ägna sig åt reflektion i någon större usträckning. Vi har i avsnittet Problemlösningsmetoder pekat på att eleverna hastar vidare när ett problem är löst. Om det visar sig att eleverna inte i någon större utsträckning reflekterar även fast de har kunskap om de tre reflektionsområdena kan en andra undersökning göras. Denna

(40)

40

undersökning skulle i så fall söka svar på vad som skulle öka motivationen till att reflektera. Vi ser att det finns två huvudfaktorer som kan öka elevernas motivation att reflektera, dels att de ser att deras problemlösningsförmåga ökar efterhand om de reflekterar och dels att eleverna får sin reflektion bedömd. Hur dessa faktorer samverkar, och eventuellt motverkar, hade vi sett som en intressant studie.

(41)

41

Referenser

Boaler, Jo (1993). The role of context in mathematics classrooms. For the learning of

mathematics. 13(2), (p 12-17)

Björkqvist, Ole. (2001) Matematisk problemlösning. I B. Grevholm (red), Matematikdidaktik – ur ett nordiskt perspektiv (s 115 – 129). Lund: Studentlitteratur.

Cai, Jinfa & Brook, Michael (2006). Looking back in problem solving. Mathematics teaching incorporating micromath. 196,( p 42-45)

Dysthe, Olga (Red.) (2003). Dialog, samspel och lärande. Lund: Studentlitteratur.

Emanuelsson, Göran, Johansson, Bengt & Ryding, Ronnie (Red.) (1991). Problemlösning. Lund: Studentlitteratur.

Engström, Arne (Red.) (1998). Matematik och reflektion. Lund: Studentlitteratur.

Engström, Arne (1997). Reflektivt tänkande i matematik - om elevers konstruktioner av bråk. Malmö: Almqvist & Wisell.

Hagland, Kerstin, Hedrén, Rolf & Taflin, Eva (2005). Rika matematiska problem. Malmö: Liber.

Hagland, Kerstin, Hedrén, Rolf & Taflin, Eva (2004). Problem med stenplattor. Nämnaren (31) 3, (p 12-17)

Hart, Lynn C (2006). Standards-friendly lessons in university methods courses. Teaching Children Mathematics, v 13 nr 4, (p 211-215)

Imsen, Gun (1992). Elevens värld – Introduktion i pedagogisk psykologi. Lund: Studentlitteratur.