Föreläsning 5 i Inledande matematik för Z/TD.
Linjära ekvationssystem.
Matriser.
Elementära
radoperationer. Lay 1.1 och 1.2
1
Introduktion.
I föreläsningar 5 och 6 kommer vi att betrakta linjära ekvationssystem som består av ‡era linjära ekvationer på formen
a1x1+ a2x2+ a3x3+ :::an 1xn 1+ anxn = b
med ‡era obekanta x1, x2, x3, ... xn 1, xn, där koe¢ cienterna a1, a2, ...,an, och
högerledet b är givna reella (eller komplexa) tal.
Ett system ekvationer på den formen kallas för linjärt ekvationssystem är en uppsättning av ekvationer som vi vill lösa tillsammans.
Till exempel:
3x1 5x2+ x3 = 1
x1 + 2; 5x2 2x3 = 2
Två Fundamentala frågor om ekvationssystem
1. Är systemet konsistent (lösbart), eller har systemet åtminstone en lösning? 2. On en lösning …nns, är den entydig, kan andra lösningar …nnas?
Praktiska frågor om ekvationssystem
1. I fall lösningen existerar och är entydig, bestäm den entydiga lösningen på ett systematiskt sätt. 2. I fall det …nns ‡era lösningar, ange en kompakt framställning för hela lösningsmängden
Vårt mål här blir att studera metoder och algoritmer för att svara på dessa frågor på ett systematiskt sätt som kan programmeras som en kod för dator. Hu-vudmålet med den föreläsning är att lära sambandet mellan transformationer som man genomför på linjära ekvationssystem och liknande transformationer som man genomför på matriser som svarar mot linjära ekvationssystem.
Att lösa ett linjärt ekvationssystem
De…nition. Lösning.
En lösning till ett ekvationssystem är en uppsättning tal (x1; x2; :::; xn) (eller en
punkt i Rn)som uppfyller alla ekvationer i systemet.
Lösningsmängden till ett ekvationssystem är mängden av alla lösningar till sys-temet, eller (som är samma) mängden av alla punkter i Rn som uppfyller
ekvation-ssystemet.
De…nition. Ekvivalenta ekvationssystem.
Två linjära ekvationssystem är ekvivalenta om de har samma lösningsmängd. Det …nns då tre möjligheter för ett linjärt system:
Att ha inga lösningar Att ha en entydig lösning
Att ha oändlight många lösningar. Exempel.
x1 2x2 = 1
x1+ 3x2 = 3
Det …nns en entydig lösning.
x1 2x2 = 1
2x1+ 4x2 = 6
Multiplicera andra ekvationen med 1=2
x1 2x2 = 1
x1 2x2 = 3
x1 2x2 = 1
2x1+ 4x2 = 2
Multiplicera andra ekvationen med -1/2
x1 2x2 = 1
x1 2x2 = 1
Oändligt många lösningar.
Exempel från igår. Skärningslinjen av två plan. Visa att två plan
x y = 3 och
x + y + z = 0
har en skärningslinje och ange vektorn v som är parallell med skärningslinjen. Lösning. Normaler till dessa två plan är: n1 = 1i + ( 1)j + 0k och n2 =
1i + 1j + 1k:
Skärningslinjen av två plan ligger samtidigt i varje av planen och måste vara vinkelrät mod både normaler till planen. Detta medför att skärningslinjen är vinkel-rät mot båda normaler: n1 och n2:
Det är lätt att hitta en vektor som är vinkelrät mot två givna vektorer n1 och
n2, det är deras kryssprodukt v = n1 n2:
v= n1 n2 = det 2 4 i j k 1 1 0 1 1 1 3 5 = ( 1)i + ( 1)j + 2k: Observation
För att få fram en ekvation för skärningslinjen, måste vi bestämma åtminstone en lösning till ekvationssystemet:
x y = 3 x + y + z = 0
Matrisframställning för linjära system
Istället för att skriva ett ekvationssystem, kan man skriva bara en tabell (matris) med alla koe¢ cienter och genomföra beräkningar bara med dem. Till exempel kan man istället av systemet ovan
3x1 5x2+ x3 = 1
x1 + 2; 5x2 2x3 = 2
betrakta följande två matriser med koe¢ cienter och högerledet placerade i samma ordning som i systemet.
Följande matris kallas koe¢ cientmatrisen til systemet ovan 3 5 1
1 2; 5 2
Följande matris kallas för utvidgade koe¢ cientmatrisen til systemet ovan. Här har vi även högerleden som står i sista kolonnen.
3 5 1 1 1 2; 5 2 2 Exempel 1. Lös ekvationssystemet.
Vi kommer att transformera ekvationssystemet till en ekvivalent form som ger oss lösningen direkt.
x1 2x2 +x3 = 0 2x2 8x3 = 8 5x1 5x3 = 10 2 4 1 2 1 0 0 2 8 8 5 0 5 10 3 5 vi behåller första ekvationen och
och adderar till sista ekvationen första ekvationen multiplicerad med -5. Det minskar antalet koe¢ cienter i sista ekvationen.
Andra ekvationen har redan koe¢ cient noll framför x1. Man behöver inte göra
någonting med den.
5x1 +10x2 5x3 = 0 5x1 5x3 = 10 0 10x2 10x3 = 10 =) 5x1 +10x2 5x3 = 0 5x1 5x3 = 10 0 x2 x3 = 1
Vi kunde göra exakt samma operation med vår utvidgade matrisen. Vi kommer då att genomföra parallelt samma transformationer med ek-vationssystemet och med utvidgade matrisen.
x1 2x2 +x3 = 0 2x2 8x3 = 8 x2 x3 = 1 2 4 1 2 1 0 0 2 8 8 0 1 1 1 3 5
Dela andra ekvationen med 2 för att ska¤a koe¢ cienten 1 framför x2 - första
positionen som inte är noll (ledande positionen i raden). Gör samma transformation med matrisen.
x1 2x2 +x3 = 0 x2 4x3 = 4 x2 x3 = 1 2 4 1 2 1 0 0 1 4 4 0 1 1 1 3 5
Subtrahera andra raden (ekvationen) från tredje raden (ekvationen) x1 2x2 +x3 = 0 x2 4x3 = 4 3x3 = 3 2 4 1 2 1 0 0 1 4 4 0 0 3 3 3 5
Dela tredje ekvationen med 3 för att ska¤a 1 i första positionen som inte är noll (ledande positionen i raden)
x1 2x2 +x3 = 0 x2 4x3 = 4 x3 = 1 2 4 1 2 1 0 0 1 4 4 0 0 1 1 3 5 Vi skapat ett ekvivalent system
Addera sista raden (ekvationen) gånger 4 till andra raden (ekvationen) x1 2x2 +x3 = 0 x2 = 0 x3 = 1 2 4 1 2 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 3 5
Addera sista raden (ekvationen) gånger -1 till första raden (ekvationen) x1 2x2 = 1 x2 = 0 x3 = 1 2 4 1 2 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 3 5
Addera andra raden (ekvationen) gånger 2 till första raden (ekvationen)
x1 = 1 x2 = 0 x3 = 1 2 4 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 3 5 Få ett gratis svar: x1 = 1; x2 = 0; x3 = 1
Det faktum tolkas geometrisk på följande bild, där tre plan som svarar till varje av tre ekvationer i systemet är ritate. Man kan se från bilden att dessa tre plan har en gemensam punkt.
Grundoperationer (elementära radoperationer) med linjära
system
Vi använde i föregående beräkningar följande priniper som ligger i grunden för att lösa linjära ekvationssystem
1. Om man multiplicerar en ekvation i ett linjärt systemet med ett tal c 6= 0 så får man ett system som är ekvivalent.
2. Om man växlar två ekvationer i ett linjärt ekvationssystem, så får man ett ekvivalent system. (det spelar ingen roll i vilken ordning vi skriver ekvationer i systemet).
3. Om man adderar en ekvation ur ett linärt ekvationssystem multiplicerat med ett tal, till annan ekvation i samma system, så får man ett ekvivalent system.
Vi kommer i fortsättningen att genomföra dessa elemetära operationer helst på utvidgade matriser som svarar mot linjära ekvationssystem. Bara på sista steget behöver vi se tillbaka och tolka resultatet i termer av ett ekvationssystem för att få fram en lösningen eller en lösningsmäng.
Exempel 2. Bestäm om ekvationssystemet är konsistent (lösbart). x1 2x2 +x3 = 0 x2 4x3 = 4 x3 = 1 systemets matris: 2 4 1 2 1 0 1 4 0 0 1 3 5 utvidgade matrisen: 2 4 1 2 1 0 0 1 4 4 0 0 1 1 4 + 3 5
Vi ser faktiskt att systemet är lösbart. Vi kan lösa ut x3, sätta det in i andra
ekvationen och lösa ut x2; och sedan sätta de båda i första ekvationen och lösa ut
x1.
Vi kommer inte att använda den substitutionsmetoden, men transformerar istäl-let utvidgade matrisen till enklaste möjliga förmen.
x1 2x2 +x3 = 0 x2 4x3 = 4 x3 = 1 2 4 1 2 1 0 0 1 4 4 0 0 1 1 4 + 3 5 =) Systemet är lösbart.
Vi ser detta eftersom x3 = 1 och vi kan sätta x3 i andra ekvatioen, beräkna
x2 och sedan lösa ut x1första ekvatioen. Den processen kallas för återsubstitution.
Vi fortsätter transformera matrisen vidare till enklaste möjliga formen med ettor på diagonalen i systemets matris (matrisen utan högerledet).
x1 2x2 +x3 = 0 x2 = 0 x3 = 1 2 4 1 2 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 3 5 =) x1 2x2 = 1 x2 = 0 x3 = 1 2 4 1 2 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 3 5 =)
x1 = 1 x2 = 0 x3 = 1 2 4 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 3 5
Systemet är lösbart och har en entydig lösning: x1 = 1; x2 = 0; x3 = 1.
Exempel 3. Bestäm om ekvationssystemet är konsisten (lösbart). Vi kommer att genomföra elemetära radoperationer bara på utvidgade matrisen som svarar mot linjära ekvationssystemet.
x2 4x3 = 8 2x1 3x2 +2x3 = 1 4x1 8x2 +12x3 = 1 2 4 0 1 4 8 2 3 2 1 4 8 12 1 3
5 =) växla första och andra rader
för att ska¤a ett icke noll element på första platsen i första raden: 2 4 2 3 2 1 0 1 4 8 4 8 12 1 3 5 =) multiplicera första raden med 2 och addera till tredje raden.
=) 2 4 2 3 2 1 0 1 4 8 0 2 8 1 3
5 =) multiplicera andra raden med 2 och addera till tredje raden för att eliminera 2 i tredje raden.
=) 2 4 2 3 2 1 0 1 4 8 0 0 0 15 3 5 ekvivalenta (= =) 2x1 3x2 2x3 = 1 x2 4x3 = 8 0 = 15
Vi skrivit ner ekvivalenta ekvationssystemet för att kunna formulera svaret. Det är viktigt att göra det på sista steget i lösningen för att kunna få fram ett explicit uttryck för lösningsmängden om den …nns.
Systemet här är olösbart eftersom sista ekvationen är omöjlig oavsett vilka x1,
x2 och x3 vi väljer.
Det faktum framställs geometrisk på följande bild där tre plan som svarar till varje av tre ekvationer i systemet är ritat. Man kan gissa från bilden att dessa tre plan saknar en gemensam punkt.
2
Lecture 6.
Gauss elimination och matris på
trappstegsformen.
Introduktion.
Vi betraktar på den föreläsning en systematisk metod för att undersöka och lösa linjära ekvationssystem med godtyckligt antal ekvationer och obekanter. Den använder samma radoperationer på systemets utvidgade matris som vi använde i tidigare exempel. Metoden kan delas upp i följande tre faser.
1. Första innebär att man transformerar systemets matris till en speci…k "trapp-stegsform"där ella element under "trappsteget" är lika med noll. Det steget kallas oftast för Gausselimination. 2 6 6 6 6 6 6 4 ::: 0 ::: 0 0 0 0 ::: 0 0 0 0 0 0 ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: 0 0 0 0 0 0 0 ::: 3 7 7 7 7 7 7 5
Efter det steget kan man identi…era de obekanta variabler som är "fria" och kan anta godtyckliga värden. Övriga obekanta variabler är "bundna" och kallas för basvariabler i Lay.
2. Andra steget heter bakåtsubstitution då bundna variabler uttryckes i termer av fria variabler och högerledet. Man börjar från bunden variabel med största index med att betrakta först sista ekvationen i reducerade systemet. Sedan löser man ut näst sista bunden variabel, o.s.v... Trappstegsformen låter alltid göra det på det systematiska sättet.
3. Ett alternativt andra steg istället för bakåtsabstitution är Gauss - Jordan elimination då man använder istället radoperationer nerifrån och uppåt. Målet med detta är att eliminera alla elementen i systemets matris som ligger ovanför ledande elementen i rader (första element som inte är noll i raden). Formen på matrisen som fås som resultat kallas reducerad trappstegsform.
2 6 6 6 6 6 6 4 1 0 0 0 ::: 0 0 1 0 0 ::: 0 0 0 0 0 1 0 ::: 0 0 0 0 0 0 0 1 ::: 0 ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: 0 0 0 0 0 0 0 ::: 1 3 7 7 7 7 7 7 5
Den låter skriva svaret för bundna obekanta variabler direkt i termer av fria variabler och högerledet.
2.1
Matris på trappstegsform.
På ett steg i lösningen med elementära radoperationer kom vi till utvidgade matriser på följande ganska speci…ka formen:
2 4 1 2 1 0 0 1 4 4 0 0 1 1 3 5 2 4 0 0 0 3 5 2 4 2 3 2 1 0 1 4 8 0 0 0 15 3 5 2 4 0 0 0 0 3 5
Man kan sammanfatta dessa observationer i följande matris på allmän form: 2 6 6 6 6 6 6 4 ::: 0 ::: 0 0 0 0 ::: 0 0 0 0 0 0 ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: 0 0 0 0 0 0 0 ::: 3 7 7 7 7 7 7 5
Vi markerat på den bilden nollor med 0, ledande element i varje rad (första elementet som inte är noll i raden) - med och andra elment i rader med .
De…nition. Pivotelement.
Elementen i matrisen som är markerade med i bilden kallas för pivotele-ment (läses som pivåelement):
Matris på trappstegsform.
Matrisen på den formen som vi ser på bilden ovan kallas för matris på trapp-stegsform (echelon form på engelska).
En matris på trappstegsform kan också ha något antal nollrader som sista rader. Detta observeras i fall det uppstår några likadana ekvationer i ekvationssys-temet under transformationsprocessen. Likadana ekvationer skulle kancelleras under beräknigsprocessen och ‡yttas neråt i matrisen.
2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 ::: 0 ::: 0 0 0 0 ::: 0 0 0 0 0 0 ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: 0 0 0 0 0 0 0 ::: 0 0 0 0 0 0 0 ::: 0 0 0 ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5
De…nition. Matris på trappstegsform
Vi sammanställer här egenskaper som låter oss kalla en matris för matris på trappstegsform (echelon form på engelska).
1) Alla första elementen i en rad som inte är noll ( ledande element i raden), ligger åt höger från ledande element i raden ovanför.
Det ledande elementet i raden kallas ofta för pivotelement (läses som pivåele-ment)
2) Alla elementen under ett ledande element (pivotelement) i en rad är lika med noll.
3) Alla rader som består av nollor ligger under alla andra rader.
Efter vi hade fått en matris på trappstegsform, genomförde vi radreducering (Gauss-Jordan elimination) nerifrån och uppåt.
Systemets matris som vi …ck efter Gauss-Jordan elimination ännu mera speci-…ka egenskaper.
Matriser på reducerad trappstegsform (reduced echelon form på en-gelska) är matriser på trappstegsform som dessutom uppfyller två villkor till.
4) Elementen i alla ledande positioner i rader som inte är rader av nollor är lika med 1.
5) Varje element 1 i ledande position är endast element i dess kolonn som inte är noll.
Sådana matriser kallas för matriser på reducerad trappstegsform. Ett allmänt exempel följer. 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 1 0 0 0 ::: 0 0 1 0 0 ::: 0 0 0 0 0 1 0 ::: 0 0 0 0 0 0 0 1 ::: 0 ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: 0 0 0 0 0 0 0 ::: 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5
Man kan med hjälp av elementära radoperationer transformera en matris på trappstegsform till en matris på reducerad trappstegsform. Radoperationer för detta startar från sista nollskillda raden och fortsätter uppåt en efter en till första raden. Vi gjorde det på två exempel på föreläsning 5 genom att dela sista ekvationen (sista nollskillda raden i matrisen) med ett lämpligt tal för att ska¤a 1 i ledande positionen. Sedan använde vi den raden för att eliminera alla elementen i matrisen ovanför den ettan. Vi repeterade sedan samma operation en efter en med alla rader ovanför.
Satsen om entydigheten av reducerad trappstegsform.
The-orem 1 in Lay , sid. 29
Varje matris har en och bara en reducerad trappstegs form.
Beviset är svårt och kräver teori från senare kapitlar i boken som läses i andra läsperioden. Se Appendix A i Lay.
Observation.
Matrisens "vanliga" trappstegsform är inte entydig. Det …nns oändligt många ekvivalenta varianter av den.
Trappstegsformen av en godtycklig matris
A. (Lay sid. 30)
I fall en matris A kan transformeras till en matris U med hjälp av Gausselimina-tionen, och U har trappstegsform, kallar Lay matrisen U för trappstegsformen av matrisen A. Om U har reducerad trappstegsform, kallar Lay den för reducerad trappstegsformen av matrisen A:
Pivotposition i en godtycklig matris
A:(Lay sid. 30)
En pivotposition i en godtycklig matris A är en position i matrisen A som svarar mot ledante ettan i reducerade trappstegsformen av A:
Pivotkolonn i en godtycklig matris
A:(Lay sid. 30)
En pivotkolonn i en matris A är en kolonn som innehåller en pivotposition. Exempel 2. Lay sid. 30
Radreducera matrisen A till en trappstegsform och ange pivotkolonner i A.
A = 2 6 6 4 0 3 6 4 9 1 2 1 3 1 2 3 0 3 1 1 4 5 9 7 3 7 7 5 =) 2 6 6 4 1 4 5 9 7 1 2 1 3 1 2 3 0 3 1 0 3 6 4 9 3 7 7 5
Gausse lim ination
=) 2 6 6 4 1 2 1 3 1 0 3 6 4 9 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 3 7 7 5
Radreduceringsalgoritm. (Gauss metoden eller
Gaus-selimination.)
Exempel 3. Lay sid.31.
Använd radreduceringsalgoritm - Gausselimination för att få dess trappstegsform och använd sedan Gauss-Jordan elimination för att få dess reducerad trappstegsform.
0 3 6 6 4 5 3 7 8 5 8 9 3 9 12 9 6 15
Steg 1
Välj en rad med första element som är icke noll (pivotelement) och placera den som första raden.
3 9 12 9 6 15 0 3 6 6 4 5 3 7 8 5 8 9 Steg 2.
Dividera första reden med 3 för att ska¤a ett pivotelement lika med 1:Detta undelättar senare beräkningar.
1 3 4 3 2 5 0 3 6 6 4 5 3 7 8 5 8 9 Steg 3.
Addera första raden gånger 3 till tredje raden för att få nollor under pivotele-mentet i första raden.
1 3 4 3 2 5 0 3 6 6 4 5 0 2 4 4 2 6 Steg 4,5.
Dela tredje raden med 2 och byt med andra raden 1 3 4 3 2 5 0 3 6 6 4 5 0 1 2 2 1 3 =) 1 3 4 3 2 5 0 1 2 2 1 3 0 3 6 6 4 5 Steg 6.
Multiplicera andra raden med 3 och addera till tredje raden 1 3 4 3 2 5
0 1 2 2 1 3 0 0 0 0 1 4
Vi …ck en ekvivalent matris på trappstegsform (och ett ekvivalent ekvationsssys-tem också)
x1 3x2 +4x3 3x4 +2x5 = 5
0 x2 2x3 +2x4 +x5 = 3
0 0 0 0 x5 = 4
Variabler x1, x2, x5 som står på pivotpositioner är bundna övriga variabler som
är x4 och x3 i det fallet kan anta godtyckliga värden och kallas för fria variabler.
Steg 7.
Vi kan lösa ut x1, x2, x5 från systemet med att först lösa ut x5; sedan x2, och
sedan x1. De blir funktioner av x4 och x3 och högerledet i systemet. Den processen
Vi kan istället genomföra Gauss -Jordan elimination och få fram reducerad trapp-stegsformen av ursprungliga matrisen A.
Steg 7 - alternativt.
Multiplicera sista raden med -1 och addera resultatet till andra raden. Multiplicera sista raden med -2 och addera resultatet till första raden.
1 3 4 3 2 5 0 1 2 2 1 3 0 0 0 0 1 4 =) 1 3 4 3 0 3 0 1 2 2 0 7 0 0 0 0 1 4 Steg 8
Multiplicera andra raden med 3 och addera produkten till första raden. 1 3 4 3 0 3 0 1 2 2 0 7 0 0 0 0 1 4 =) 1 0 2 3 0 24 0 1 2 2 0 7 0 0 0 0 1 4
Vi …ck en matris på reducerad trappstegsform där motsvarande ekvationssys-temet är lätt att lösa direkt:
x1 0 2x3 +3x4 0 = 24 0 x2 2x3 +2x4 0 = 7 0 0 0 0 x5 = 4 x5 = 4; x2 = 7 + 2x3 2x4; x1 = 24 + 2x3 3x4;
där x4 och x3 är godtyckliga reella tal. Dessa uttryck framställer alla lösningar till
ekvationssystemet.
Parametrisk framställning av lösningsmängden.
Man kallar den typ av framställning av lösningsmängden för ett ekvationssystem för parametrisk framställning av lösningsmängden.
Fria variabler x4 och x3 i exemplet är parametrar i den framställningen.
Exempel 4. Lay sid. 34.
Vi kommer att öva ännu mera på att få fram en reducerad trappstegsform för en matris och på parametrisk framställning av lösningsmängd.
Ange reducerad trappstegsform för trappstegsmatrisen 1 6 2 5 2 4
0 0 2 8 1 3 0 0 0 0 1 7
=)
Steg 1.
Multiplicera tredje raden med 2 och addera resultatet till första raden 1 6 2 5 0 10 0 0 2 8 0 10 0 0 0 0 1 7 =) Steg 2
Dela andra raden med 2
1 6 2 5 0 10 0 0 1 4 0 5 0 0 0 0 1 7
=)
Steg 3.
Multiplicera andra raden med -2 oc addera re3sultatet till första raden för att ska¤a noll på tredje positionen i första raden.
1 6 0 3 0 0 0 0 1 4 0 5 0 0 0 0 1 7
En matris på reducerad trappstegsform (echelon matrix på engelska). Motsvarande systemet är
x1 +6x2 3x4 0 = 0
0 0 x3 4x4 0 = 5
0 0 0 0 x5 = 7
=)
x1, x3 och x5 är basvariabler eller bundna variabler. x2, x4 är fria variabler.
Bundna variabler är de som svarar mot pivotelement. Övriga variabler är fria variabler. x5 = 7 x3 = 5 + 4x4 x1 = 3x4 6x2 x2 godtyckligt_tal x4 godtyckligt_tal
Lösningsmängden beskrives med hjäp av den parametriska framställningen med x2, och x4 som godtyckliga parametrar.
Lösningsmängden är ett plan i R5 i det fallet. En lösning är en punkt med fem koordinater x1, x2, x3; x4 och x5 i R5.
3
Existens och entydighet av lösningar. Allmän
analys.
Trappstegsformen av en utvidgad matris för ett linjärt ekvationssystem låter svara på fundamentala frågor om existens och entydighet av lösningar till systemet.
Exempel 5 Lay sid 36.
3x2 6x3 +6x4 +4x5 = 5 3x1 7x2 +8x3 5x4 +8x5 = 9 3x1 9x2 +12x3 9x4 +6x5 = 15 0 3 6 6 4 5 3 7 8 5 8 9 3 9 12 9 6 15
Gausse lim ination
=)
1 3 4 3 2 5 0 1 2 2 1 3 0 0 0 0 1 4
Vi ser från trappstegsformen utan några beräkningar att lösningar existerar efter-som pivotelementet i sista raden står inte i sista kolonnen (sista ekvationen är inte ekvation av typ 0 = C 6= 0):
Det faktum att det …nns fria variabler medför att lösningar inte är entydiga. Det …nns oändligt många lösningar.
Vi kan formulera den observationen som en sats. Satsen om existens och entydighet. Lay sid 37.
a) Ett linjärt ekvationssystem är lösbart (konsistent) om och endast om det saknas pivotelement i sista kolonnen, nämligen att trappstegsformen för utvidgade matrisen har inga rader på formen
[0:::0 b]
med b 6= 0. En sådan rad svarar mot en olösbar ekvation på formen 0 = b
b) Om ett linjärt ekvationsystem är konsistent (lösbart) så kan lösningen (i) vara entydig i fall det saknas fria variabler, eller (ii) systmet kan ha oändligt många lösningar i fall det …nns åtminstone en fri variabel.
Sammanfattning av Gauss metoden.
1. Skriv ner utvidgade matrisen till linjära ekvationessystemet.
2. Använd Gauss elimination (radreduktion) för att få fram ekvivalent matris på trappstegsform (olika former är möjliga!)
Bestäm om det …nns åtminstone en lösning.
3. O lösningar …nns, genomför Gauss - Jordan bakåt radreduktion för att få en ekvivalent reducerad trappstegsform (den är entydig!)
4. Skriv ner ekvationssystemet som svarar mot reducerade trappstegsformen från steg 3
5. Skriv om varje icke trivial (icke noll) ekvation från steg 4 så att dess basvariabel (bunden variabel) är framställd i termer av fria variabler och eventuella högerled.
Supplementary exercise 3, sid. 106 i Lay om geometrisk tolkning av ett linjärt system med tre obekanta variabler. Konstruera exempel av linjära ek-vationssystem med tre ekvationer och tre obekanta som beskriver tre plan i rummet R3som
1) skär varandra i exakt en punkt. 2) skär varandra längs en linje. 3) har inga gemensamma punkter
