Examensarbete (del 2)
för grundlärarexamen inriktning 4–6
Avanceradnivå
Helklassdiskussioner vid problemlösning
Hur lärare skapar förutsättningar för elevers lärande via problemlösning
Författare: Sophie Nilsson Handledare: Helena Grundén Examinator: Anna Teledahl
Ämne: Pedagogiskt arbete, inriktning matematik Kurskod: APG247
Poäng: 15 hp
Examinationsdatum: 2020-11-08
Vid Högskolan Dalarna finns möjlighet att publicera examensarbetet i fulltext i DiVA. Publiceringen sker open access, vilket innebär att arbetet blir fritt tillgängligt att läsa och ladda ned på nätet. Därmed ökar spridningen och synligheten av examensarbetet.
Open access är på väg att bli norm för att sprida vetenskaplig information på nätet. Högskolan Dalarna rekommenderar såväl forskare som studenter att publicera sina arbeten open access. Jag/vi medger publicering i fulltext (fritt tillgänglig på nätet, open access):
Ja x Nej
2 Abstract:
The aim of this study is to show how teachers plan for whole class discussions during problem solving lessons in years 4–6. The study has conducted interviews with five teachers who teach maths in years 4-6. The interviews were done both online and in person. To reach the goal of this study, I used five practices that Stein et.al has created to analyse my result and to come to a conclusion. In this study, I have used previous research about problem solving to help me understand my questions and to reach my aim. To help me analyse my results, I initially did a text analysis, and then, I did a content analysis. I used five practices by Stein et.al for my theory; these five practices can be used as a guideline for teachers when they are planning for problem solving lessons. The conclusion of this study is that teachers try to plan for whole class discussions during problem solving lessons, but they do not all the steps in the practice that Stein et.al has created.
Nyckelord: Problemlösning, problemuppgifter lärarens roll, scaffolding, resonemang, metakognitiva överväganden, fem praktiker av Stein m.fl
3 1. INLEDNING 5 1.2SYFTE 6 1.3FRÅGESTÄLLNINGAR 6 2. BAKGRUND 6 2.1BEGREPPSBESKRIVNING 7 2.1.1PROBLEMLÖSNING 7 2.1.2PROBLEMUPPGIFTER 7 2.1.3RUTINUPPGIFTER 7 2.2SÅ SÄGER LÄROPLANEN 7 2.3TIDIGARE FORSKNING 9 2.3.1INFORMATIONSSÖKNING 9 2.3.2DAGENS MATEMATIKUNDERVISNING 9 2.3.3PROBLEMLÖSNING 10 2.3.4PROBLEMUPPGIFTER 10
2.3.5LÄRARENS ROLL ERROR!BOOKMARK NOT DEFINED.
2.3.6KOMPONENTER VID PROBLEMLÖSNING 12
3. TEORI 14 3.1FEM PRAKTIKER AV STEIN M.FL. 14 3.1.1FÖRUTSE 14 3.1.2ÖVERVAKA 15 3.1.3VÄLJA 15 3.1.4SEKVENSERA 16
3.1.5GÖRA KOPPLINGAR TILL ELEVERS SVAR GENOM EN AVSLUTANDE HELKLASSDISKUSSION 16
3.1.6MIN TOLKNING AV DEN PEDAGOGISKA MODELLEN 17
4. METOD 17
4.1INTERVJUER 18
4.2URVAL 18
4.3VAD JAG BEHÖVER TÄNKA PÅ 19
4.3.1TILLFÖRLITLIGHET 19
4.3.2ETISKA ÖVERVÄGANDEN 20
4.4GENOMFÖRANDE AV INTERVJU 21
4.5BEARBETNING AV MATERIAL 22
4.6ANALYS AV DATAMATERIAL – KVALITATIV ANALYS 22
4.6.1ANALYSBESKRIVNING GENOM EN INNEHÅLLSANALYS 23
4.6.2 KATEGORIER UTIFRÅN DEN KVALITATIVA INNEHÅLLSANALYSEN 24
5. RESULTAT 25
5.1PROBLEMUPPGIFTER OCH MATEMATISKT OMRÅDE 25
5.2STRATEGIER, OBSERVATIONER OCH HUR LÄRARE STÖTTAR ELEVER 26
5.3HUR LÄRARE GENOMFÖR HELKLASSDISKUSSIONER 27
4
6. DISKUSSION 29
6.1METODDISKUSSION 29
6.2RESULTATDISKUSSION 30
6.3SAMMANFATTNING 33
6.4FÖRSLAG PÅ VIDARE FORSKNING 34
KÄLLFÖRTECKNING 35
BILAGA 1 37
5
1. Inledning
Problemlösning ligger till grund för en djupare matematisk kunskap och kan ge en ökad förståelse för matematik i sin helhet. När elever får arbeta med problemuppgifter får de en större möjlighet att utveckla sin matematiska förståelse än när undervisningen bygger på rutinuppgifter (Sidenvall, 2019, s. 11). Hansson, (2019, s. 1) menar att ”inom det didaktiska fältet lyfts skilda avsikter och förtjänster med problemlösning i matematik-undervisningen fram. Det kan vara ett medel för att lära nya matematiska begrepp och färdigheter menar matematikdidaktikerna Thomas Schroeder och Frank Lester”. Problem-uppgifter är bra att använda för då får elever testa olika strategier, eleverna får motivera sina valda metoder samt att de får utvärdera vad de kommit fram till. Bibi, Ahmad, Shahid, Zamir och Abedalaziz (2019, s.650) beskriver också att den heuristiska förståelsen för matematiken i sin helhet ökar när elever får arbete med problemlösning, detta för att förståelsen för att veta hur man kan analysera och dra slutsatser ökar. Detta kan tolkas som att den matematiska förmågan i sin helhet kan öka genom att eleverna får diskutera och problematisera matematiska problemuppgifter (Sidenvall, 2019, s. 11).
Problemlösning är ett viktigt begrepp i kursplanen i matematik och är en av de förmågor som eleverna ska få förutsättningar att utvecklas i (Skolverket, 2019, s. 57). Vidare skriver Skolverket (2019, s. 56) att syftet med undervisningen inom matematik är bland annat att eleverna ska få kunskap i hur de löser och formulerar problem och resonera kring vilka valda metoder och strategier som har använts.
Det finns en framgångsrik modell som lärare kan använda sig av när de både ska stötta elever, få igång helgruppsdiskussioner och när de undervisar inom problemlösning, modell kan vara en vägledning i hur diskussioner kan föras kring hur elever löst problemuppgiften (Conner, Singletary, Smith, Wagner och Francisco 2014, s. 404). Denna modell är också bra för lärare för att stödja elever i arbetet med problemlösning, modellen innehåller fem praktiker och dessa är förutse elevsvar, övervaka elevernas arbete, välja ut och sortera elevlösningar och diskutera
elevernas olika lösningar i helklass (Stein, Engle, Smith och Hughes 2008, s. 314). Modellen
som Stein m.fl tog fram 2008 är ett verktyg som lärare kan använda sig av för att elevernas matematiska förståelse kan öka om lärare följer de fem praktiker som modellen innehåller (Stein, m.fl., 2008, s. 315). Matematiska diskussioner är en viktig del av matematikundervisningen och är en del i när eleverna löser problemuppgifter (Stein, m.fl., 2008, s. 315).
För att lärare ska kunna stötta elever i sitt lärande måste läraren veta vilken kunskap som eleverna besitter. Utmaningen som en lärare kan stå inför när en helklassdiskussion ska genomföras är att eleverna kan ha svårt att förklara vad de har förstått och inte förstått. Lärarens roll i detta med att försöka förstå vad eleverna inte förstår kan leda till att lärare analyserar och utvecklar problemet mer än vad eleverna är kapabla till att förstå. Dock är det också av yttersta vikt att läraren också kan läsa mellan raderna vad eleverna har förstått för att kunna veta vilken nivå helklassdiskussionen ska hamna på. Ett annat problem när elever arbetar med problemlösning är att många olika lösningsförslag uppkommer, och detta kan vara förvirrande
6 för både lärare och elever när helklassdiskussioner ska föras om inte läraren har planerat för detta och hanterar det på ett bra sätt (Sidenvall, 2019 s.5).
Stein m.fl. (2008, s. 321) belyser vikten av att vara förberedd i klassrummet så att improvisation av diskussioner kan förhindras, genom planering kan lärare förutse vilka svar som elever kan komma med när de löst problemuppgifter samt att lärare kan strukturera hur eleverna ska få presentera sina lösningar i slutet av lektionen. En studie som är gjord i Japan visar att när elever får möjlighet att lösa problemuppgifter både enskilt och i grupp samtidigt som läraren har en tydlig struktur i hur lektionen ska vara planerad och hur den ska genomföras kan detta leda till att eleverna utvecklar sitt matematiska tänkt (Vale, Widjaja, Doig och Groves 2019, s. 3). Vidare menar Vale m.fl., (2019 s. 3) att när lärare har sina lektioner strukturerade och väl planerade med en avslutning som ger möjlighet för diskussioner och öppnar upp för elever att presentera sina problem, när problemen ska presenteras är det läraren som selektivt bestämmer hur detta ska genomföras. De japanska forskare som har tagit fram detta har blivit inspirerad av Stein m.fl., tidigare forskning som nämnts tidigare. Denna forskning som är gjord samt annan forskning som tidigare presenterats visar onekligen att elever i den svenska skolan inte får i tillräckligt hög omfattning arbeta med problemlösning i matematikundervisningen. Dock visar forskningen också att om eleverna får arbeta med problemlösning och om lärare tar tillvara på denna möjlighet till att stötta eleverna till ett ökat matematiskt tänkt så behöver lärare arbeta på ett strukturerat sätt med lektioner som behandlar problemlösning. Hur lärare organiserar och planerar hela problemlösningslektioner eller delar av matematiklektioner med problemlösning som inslag samt hur lärarna genomför helklassdiskussioner har en betydande roll för elevernas möjliga lärande i matematik. Om det brister i hur lärare planerat för samt har förberett sig på hur de ska strukturera problemlösningen finns risken att eleverna går miste om själva lärandet med problemlösning även om de faktiskt arbetar mycket med problemlösning.
1.2 Syfte
Syftet med den här studien är att belysa hur lärare genom det avslutande momentet i problemlösning skapar förutsättningar för elevers lärande i matematik. För att uppfylla mitt syfte behöver jag veta hur lärare genom planeringsfasen och problemlösningsprocessen stöttar och skapar förutsättningar så att eleverna får redogöra för sina valda strategier.
1.3 Frågeställningar
· Vad väljer lärare att göra som förberedelser inför en problemlösningslektion? · Vad sker i klassrummet när eleverna löser problemuppgifter?
· Hur får elever presentera sina valda lösningar av problemuppgiften?
2. Bakgrund
I detta avsnitt kommer bakgrunden till arbetet att presenteras. Först kommer begrepp som är centrala genom arbetet att kortfattat definieras, begreppen som är centrala är, problemlösning, problemuppgifter och rutinuppgifter Sedan kommer en presentation av vad läroplanen i
7 matematik säger om vad undervisningen inom matematik ska syfta till. Avsnittet kommer att avslutas med en genomgång av tidigare forskning som är gjord i relation till mitt syfte.
2.1 Begreppsbeskrivning
Under denna rubrik kommer begreppen som är centrala för studien att presenteras och definieras så att det blir en tydlighet kring dessa begrepp och att läsaren får kunskap om vad som menas med begreppen.
2.1.1 Problemlösning
Det finns många olika definitioner av problemlösning, i vissa sammanhang är alla matematikuppgifter problem och i andra är det när det är uppgifter som kallas för lästal (Sidenvall, 2019, s. 3–4). Larsson (2013, s. 2) menar dock att problemlösning är när individer arbetar med uppgifter som de sedan tidigare inte vet lösningen på. Sidenvall (2019, s. 3–4) menar vidare att problemlösning är att arbeta med problemuppgifter. När jag skriver problemlösning i detta arbete menar jag när elever arbetar med problemuppgifter.
2.1.2 Problemuppgifter
Den definitionen som jag kommer använda mig av är att problemuppgifter är uppgifter som har lösningsmetoder som inte den enskilde eleven känner igen på förhand och problemuppgifterna ska ha potential att vara utmanande för eleven. Kortsagt är definitionen av att problemuppgifter inte kan lösas på rutin utan varje individ måste skapa en metod för att lösa dem (Sidenvall, 2019, s. 3–4).
2.1.3 Rutinuppgifter
Rutinuppgifter är uppgifter som eleven redan på förväg vet hur hen ska lösa. Rutinuppgifter blir rutinuppgifter när läraren först visat hur man brukar göra, hur man kan tänka, räkna ut, ställa upp och så vidare (Hagland och Åkerstedt, 2014, s. 3). Även SAOB (Svenska akademins ordbok) (2020) definierar rutin som tidigare kunskap personer besitter för att utföra en viss uppgift, uppgiften utför man på ren vana. I detta arbete kommer rutinuppgifter liknas med Hagland och Åkerstedts definition att det är uppgifter som eleverna är bekanta med.
2.2 Så säger läroplanen
I läroplanen för matematik står det vad syftet med undervisningen är, vad det ska innehålla samt vilka förmågor som eleverna ska få utveckla. En av punkterna i syftet med undervisningen handlar om problemlösning, och där står det:
”Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda strategier, metoder, modeller och resultat. Eleverna ska även ges förutsättningar att utveckla kunskaper för att kunna tolka vardagliga och matematiska situationer samt beskriva och formulera dessa med hjälp av matematikens uttrycksformer” (Skolverket, 2019, s. 54).
Vidare står det i läroplanen för grundskolans årskurs 4–6 att eleverna ska få undervisning och ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att ”formulera och lösa problem med hjälp av
8 matematik samt värdera valda strategier och metoder” (Skolverket, 2019, s. 55). Utifrån det centrala innehållet står det att undervisningen inom problemlösning ska innehålla ”strategier för matematisk problemlösning i vardagliga situationer och matematisk formulering av frågeställningar utifrån vardagliga situationer” (Skolverket, 2019, s. 58).
Kunskapskraven i Lgr11 ligger till grund för vad eleverna minst ska ha uppnått i årskurs 6. Ett av kraven för betyget i E handlar om problemlösning och lyder:
”Eleven kan lösa enkla problem i elevnära situationer på ett i huvudsak fungerande sätt
genom att välja och använda strategier och metoder med viss anpassning till problemets
karaktär. Eleven beskriver tillvägagångssätt på ett i huvudsak fungerande sätt och
för enkla och till viss del underbyggda resonemang om resultatens rimlighet i
förhållande till problemsituationen samt kan bidra till att ge något förslag på alternativt
9
2.3 Tidigare forskning
Detta avsnitt kommer inledas med en genomgång hur informationssökningen av den tidigare forskningen har gått till, därefter kommer en översikt av hur dagens matematikundervisning i Sverige i stort ser ut. Avsnittet avslutas med tidigare forskning kring problemlösning, problemuppgifter, lärarens roll samt strategier som lärare kan använda sig av.
2.3.1 Informationssökning
Den tidigare forskningen i detta avsnitt är hämtad från sökmotorerna Summon, och Google scholar, jag har också använt databasen Diva. Jag hittade databaserna och sökmotorerna via högskolan Dalarnas biblioteks ämnesguider och nyckelorden som jag har sökt på är
begreppsförståelse matematik, problemlösning, problemlösning matematik, lärarens roll vid problemlösning, problem solving, problem solving mathematics, teachers role in mathematics och meta-cognition. Då jag sökte på dessa sökord i databaserna kom det fram många olika
artiklar. Jag valde ut de som verkade intressanta och relevanta i rubrikerna utifrån det jag ville studera. Sedan läste jag artiklarnas abstract och eventuellt några av rubrikerna som fanns. Sedan valde jag ut de som kändes mest lämpliga och relevanta i förhållande till mitt syfte. För att säkerställa att de artiklar som jag valde ut var vetenskapligt granskade använde jag Ulrichwebb. Ulrichwebb är ett digitalt hjälpmedel för att få reda på om de artiklar som jag valde till denna studie är vetenskapligt granskad eller ej. Jag sökte på Ulrichweb genom att ange artikelns doinummer, när jag då sökte på detta nummer kom artikeln fram och jag kunde då se om den var granskad genom att det var en ”dommartröja” bredvid den artikeln.
I min sökning har jag också hämtat inspiration från andra examensarbeten och avhandlingar och gjort en så kallad kedjesökning. En kedjesökning är när man hittar relevanta artiklar som hänvisar till en annan artikel som också är intressant i förhållande till ämnet och genom den artikeln hittar man ytterligare en som är relevant till ämnet och därigenom blir det en kedja som man sökt via (Umeå universitet, 2020).
2.3.2 Dagens matematikundervisning
En del av matematikundervisningen är att arbeta med problemuppgifter, en annan del av matematikundervisningen sker genom rutinuppgifter och det enskilda arbetet i läroböcker. Det vanligaste sättet att undervisa är genom det självständiga arbetet i läroböcker och genom rutinuppgifter (Dahl, 2012, s. 36). Matematiklektionerna startar oftast med att läraren leder lektionen för att eleverna sedan ska fortsätta i läroböckerna tills lektionen är slut. Ett av skälen till att det är rutinuppgifter som dominerarar undervisningen som Sidenvall (2019, s. 5) lyfter är att lärare anser att det är lättare att undervisa i rutinuppgifter än att skapa nya lösningsmetoder då många elever känner sig osäkra i vilka strategier de ska använda sig av. Om eleverna istället fick träna på att lösa problemuppgifter som också läroplanen antyder att de ska få kan eleverna utveckla ett mer systematiskt tänkande än om de enbart arbetar i läroböckerna (Jäder m.fl., 2016, s. 760). Denna analys som görs av dessa forskare kan påvisa att rutinuppgifter inte stärker elevernas matematiska tänkande och det lämnar lite till att resonera kring valda lösningsstrategier och att de hämmas i sin matematiska utveckling. Då många tidigare studier bekräftar att det är mycket arbete med rutinuppgifter och att lärare inte riktigt vet hur de ska forma sin undervisning inom problemlösning vilket kan innebära att lärare behöver få mer stöd
10 och hjälp i hur de kan forma sina lektioner så att eleverna får möjlighet att tränas i att lösa problemuppgifter och därigenom också få möjlighet att resonera kring sina valda strategier och sina lösningar.
2.3.3 Problemlösning
Att arbeta med problemlösning som ett medel för att få en bredare matematikförståelse anser Chapman (2015, s. 20) vara en nödvändighet. Även (Jäder, Sidenvall & Sumpter, 2016, s. 760) bekräftar vikten av detta då det står i den svenska läroplanen vad, hur och varför elever ska få undervisning inom matematik. Ett flertal studier har gjorts för att studera elevernas matematiska förståelse och hur den eventuellt kan öka genom undervisning inom problemlösning. Bingolbali (2018, s. 19) är en som gjort studier och resultatet i hans studie påvisar att elevers sätt att lösa problemuppgifter varit centrala delar i hans arbete och det har även visats vara en viktig komponent i elevernas matematiska lärande. Att få undervisning inom problemlösning hjälper inte bara eleverna att konstruera matematiska slutsatser utan problemuppgifterna som eleverna arbetar med hjälper dem att finna egna modeller och stimulerar resonemang (Bingolbali, 2018, s. 19). För att elever ska kunna lösa problemuppgifterna måste de besitta förmågan att kunna se vad som ska lösas och vilket tillvägagångssätt som ska användas (Taflin, 2007, s. 11). Utifrån vad ovanstående har sagt kan problemlösning tolkas som att de möjliggör för elever att öka sin matematiska förmåga på många olika sätt, däribland resonemang och att problemlösning behövs för att få en djupare förståelse för matematiken i sin helhet.
2.3.4 Problemuppgifter
Problemuppgifter behöver inte vara svåra eller att elever ska kunna en mängd olika begrepp för att det ska vara användbara då fokus när elever arbetar med problemuppgifter är att skapa nya lösningsmetoder (Sidenvall, 2019, s. 4). Det finns både dåliga och bra problemuppgifter, vad som är en bra respektive dålig uppgift beror på vad syftet med övningen är samt vilka kunskaper problemlösaren besitter. Det finns olika syften med olika problemuppgifter, bland annat kan det vara att lärarens fokus är att träna elevernas begreppsförmåga, resonemangsförmåga eller elevernas förmåga att generalisera något (Dahl, 2012, s. 24). Men vad som än ska tränas så är det viktigt att problemuppgiften formuleras rätt utifrån vilken situation det är (Dahl, 2012, s. 24). Ett bra problem kan vara att det:
· ”är lätt att närma sig för alla elever, d.v.s. är ”accessible”
· har utvecklingspotential, aktiverar och tränar nya tankevägar
· kan leda till avslöjande av nya matematiska upptäckter
· kan generaliseras mot nivåer av ökande komplexitet och kanske till och med till utvecklandet av en matematisk teori i miniatyr” Dahl (2012, s. 24).
Dahl (2012, s. 39) beskriver vidare att nästan alla matematikuppgifter kan formuleras om till utmanande problemuppgifter, det är upp till läraren och situationen i klassrummet om uppgiften ska bli gynnsam eller inte.
Strategier som används när man löser problemuppgifter är beroende av vilka matematiska föreställningar den enskilda individen har (Quinnell, 2018, s. 5). Sidenvall (2012, s. 12) har
11 studerat elever och dessa har uppfattningen om att det är regler som man ska lära sig utantill som är matematik och när de fick testa att lösa problemuppgifter var det viktigare för dem att försöka minnas hur de löste liknande uppgifter tidigare istället för att försöka hitta en ny lösningsmetod. Tanken om att matematik handlar om att memorera regler gjorde så att dessa elever begränsades i sin inlärning inom matematik då de inte försökte hitta nya lösningsmetoder (Sidenvall, 2019, s. 12). Vikten av att detta lyfts kan tolkas som viktigt då elever inte enbart ska tro att matematik handlar om att memorera regler utan att det är hela den matematiska förståelsen som de ska få utveckla.
2.3.5 Lärarens roll
Att använda problemlösning i undervisningen kan vara komplext för lärare, de ska både välja ut lämpliga uppgifter som är relevanta i relation till eleverna och också möta elevernas uppfattningar och olikheter. Läraren måste vara vaksam och veta vilka uppfattningar och svårigheter elever kan stöta på om de inte kan lösa uppgifter eftersom det är en ny och okänd lösningsmetod för dem (Sidenvall, 2019, s. 12).
Matematiska resonemang används i många sammanhang utan att matematiklärare kan definiera vad det innebär då det finns många olika definitioner av det (Lithner, 2008, s. 257). I detta avseende handlar matematiska resonemang om att producera olika påståenden när en problemuppgift har blivit genomförd. Uppgiften kan vara felaktigt löst då fokus i detta fall är att få elever att förklara hur de gått tillväga (Lithner, 2008, s. 257). Det finns resonemang som är imitativa och resonemang som är kreativa. Skillnaden mellan dessa två är att imitativa resonemang handlar om när elever exempelvis arbetar med rutinuppgifter medan kreativa resonemang kan användas när elever exempelvis löser problemuppgifter (Lithner, 2008, s. 256). Läraren spelar en viktig roll även när det handlar om att organisera matematiska resonemang, speciellt när lärarens roll inte är en bedömande roll. Lärarens roll ska bland annat vara att se till så att elever vågar diskutera sina lösningar i klassrummet (Conner, Singletary, Smith, Wagner och Francisco, 2014, s. 402). Tolkningen skulle kunna vara att läraren måste redan innan veta hur uppgiften kan lösas samt att läraren måste lita på sig själva för att bli framgångsrika i sin undervisning inom problemlösning samt att lärare måste våga låta eleverna förklara sina lösningar och strategier i helklass som en eventuell avslutning av lektionen.
Läraren spelar en viktig roll vid problemlösning då hen är en viktig resurs vid lärandet och bör vara en stöttning till eleverna när de lär sig nya strategier samt när de presenterar sina strategier. Sidenvall (2019, s. 49) konstaterar att det är viktigt för en lärare att stödja eleverna vid skapandet av lösningsmetoder för att eleverna ska lyckas. Beroende på hur långt i utvecklingen en elev har kommit inom matematiken kan olika lösningar förekomma och därför är det viktigt att en lärare kan tillämpa många olika strategier (Quinnell, 2018, s. 16). Lärare måste också förstå hur problemet är uppbyggt och vilket syfte de undervisar i för att kunna förstå elevers lösningar (Chapman, 2015, s. 23).
12 2.3.5.1 Lärarens stöttning (scaffolding) vid undervisning inom problemlösning
Sidenvalls (2019, s .48) avhandling påvisar att lärare som kan stödja elevernas lärande på ett bra och utmanande sätt använder sig mest av stödjande strategier såsom scaffolding. Scaffolding kan förklaras genom stöttning i början av en process eller ett lärande kan elever sedan på egen hand lösa uppgiften som innan stöttningen påbörjades skulle vara nästintill omöjligt att uppnå. Det hela handlar om en implicit teori där fokus är att ge mycket stöttning i början för att sedan trappa ner stöttningen så mycket att eleverna klarar av problemuppgifterna på egen hand (Bakker, Smit & Wegerif, 2015, s. 1048). Utifrån min analys av detta kan metoden scaffolding vara till stor hjälp då lärare ska utmana elever i lite svårare problemuppgifter. Sidenvall (2019, s. 12–13) förklarar att när en lärare ska hjälpa elever att finna rätt lösningsmetod är det av betydande roll att läraren fokuserar på svårigheten som just den eleven har för att kunna stödja eleven på bästa sätt så hen utvecklas efter sin bästa förmåga. Vidare påpekar Sidenvall (2019, s. 12–13) att om en lärare ställer frågor som gör eleven nyfiken gynnar det elevens egen förmåga till att resonera mer matematiskt samt att deras lärande utvecklas. En lärare ska alltså inte låta bli att hjälpa elever när de löser problemuppgifter, dock ska läraren inte ställa ledande frågor utan de ska hjälpa eleverna på rätt sätt och när det är som mest nödvändigt så eleverna själva kommer fram till vilken lösningsmetod som passar bäst (Sidenvall, 2019, s. 12–13). Även Hmelo-Silver, Duncan och Chinn (2007, s. 101) belyser vikten av att scaffolding är en bra strategi att använda sig av när elever arbetar med komplexa matematiska områden såsom bl.a. problemuppgifter kan vara. För att återgå till vad Stein m.fl. tog fram i sin modell finns där inget om hur lärare kan stötta elever under problemlösnings-lektionen. Jag har använt mig till stor del av den modell som Stein m.fl. tog fram, dock kan jag förstå det som att hur man stöttar elever så att de kommer framåt inte finns med i artikeln. Den delen som scaffolding skulle vara lämplig att ha utifrån modellen är steg 2 där läraren övervakar elevernas arbete. När lärare övervakar elever och ser att de inte kommer vidare skulle scaffolding kunna användas för att de ska hamna på rätt spår. Då Stein m.fl. inte lyfter något om detta i sin rapport kan jag förhålla mig kritiskt till det och ha med det i min tankegång när jag ska intervjua lärare och sedan analysera mitt material.
2.3.6 Komponenter vid problemlösning
Elevers arbete med problemlösning kan beskrivas med fyra komponenter. Dessa fyra komponenter är mer eller mindre utvecklade hos elever. Komponenterna ingår i elevers problemlösningsförmåga och genom undervisning utifrån dessa fyra komponenter kan eleverna bli bättre problemlösare (Shoenfeld, 1985, s. 11). Dessa fyra komponenter är resources, heuristics, controll och belifes (Schoenfeld, 1985, s. 17–34). Jag kommer att använda mig av Sidenvalls (2019, s. 11) översättning av Schoenfeld fyra komponenter.
· ”resurser
· heuristiska strategier
· metakognitiva överväganden
· uppfattningar om matematik” (Sidenvalls, 2019, s. 11).
Schoenfeld (1985, s. 17) beskriver att resurser handlar om vilka kunskaper som elever besitter i matematik och som hen kan använda sig av när och om det behövs, exempelvis när elever ska
13 välja lämpliga algoritmer. För elever med svag matematisk förmåga gäller det för läraren att påvisa vilket missförstånd eller fel eleven gör istället för att visa hur den ska lösas. Heuristiska strategier syftar till hur elever möter problemuppgifter som de arbetar med och vilka strategier de använder sig av för att lösa den (Schoenfeld, 1985, s. 22). Vidare hävdar Schoenfeld (1985, s. 27) att de metakognitiva övervägandena har fokus på hur elever planerar, bemöter och utvärderar de beslut som hen har gjort under problemets gång. Det metakognitiva övervägandet som eleverna gör har en viktig roll i om uppgiften blir löst eller ej och är en central roll inom problemlösningen. Den sista komponenten är uppfattningar om matematik och där är fokus på hur elevens världsbild ser ut och hur den påverkar den matematiska förståelsen, det rör sig om vilka känslor och i vilken lärandemiljö eleven befinner sig. En lärare behöver förstå dessa uppfattningar då det kan orsaka problem för eleven som ska lösa uppgifter som de på förhand inte vet lösningen på (Schoenfeld, 1985, s. 34). Detta kan tolkas som att det är när elever får möjlighet att utvecklas i dessa fyra komponenter så har de en grund till att lösa både bra och dåliga problemuppgifter på ett väl utfört sätt.
2.3.6.1 Metakognitiva överväganden
Metakognition är en central del inom att lösa problemuppgifter, det handlar om vilka tankar elever har om sitt eget tänkande om sina processer vid lösning av problemuppgifter (Tachie & Molepo, 2019, s. 145). Om elever har ett välutvecklat metakognitivt tänkande kan de bli bättre problemlösare och kan genom det tänka mer kritiskt under exempelvis helklassdiskussioner (Tachie & Molepo, 2019, s. 147). Vidare menar Tachie och Molepo (2019, s. 148) att om elever ska utvecklas i sitt matekognitiva tänk kan problemlösning vara en del av den utvecklingen, dock måste läraren ha planerat problemlösningslektionen väl så att hen kan förhindra att det blir oklarheter vid en helklassdiskussion. Detta kan tolkas som att när elever använder de metakognitiva övervägandena så kan helklassdiskussionen bli gynnsam då alla elever ligger på olika nivåer av metakognition, vilket kan innebära att tankebanorna som eleverna kan föra under helklassdiskussioner kan bli djupare om de har fått möjlighet att utveckla de metakognitiva övervägandena också.
Då arbetets syfte är att belysa hur lärare genom det avslutande momentet i problemlösning skapar förutsättningar för elevers lärande i matematikär de metakognitiva övervägandena mest väsentliga att gå djupare in i av Schoenfelds fyra komponenter. Inom de metakognitiva övervägandena handlar det om att individerna som ska lösa uppgiften har fokus på bland annat hur de ska utvärdera sin lösning i takt med deras egen utveckling blir starkare (Schoenfeld, 1985, s. 27). För att kunna göra metakognitiva överväganden måste eleverna ha tillräckliga resurser för just den problemuppgiften. Även om eleverna besitter kunskapen om hur problemuppgiften ska lösas är det inte detta som är relevant i detta steg utan det är hur de går till väga och vilken eller vilka lösningar de kommer fram till som är relevanta, även om svaret skulle vara felaktigt (Shoenfeld, 1985, s. 32). Detta kan tolkas som att eleverna måste få utveckling i hur de kan använda sina resurser för att kunna göra metakognitiva överväganden när det är helklassdiskussioner och genom scaffoldning kan lärare uppmuntra eleverna till att göra metakognitiva överväganden och resultatet kan bli att alla elever uppnår syftet med lektionen.
14 2.3.7 Pedagogiskt modell som stöd för lärare
En nyckelutmaning som matematiklärare står inför när det gäller att genomföra problemlösningslektioner att organisera diskussioner i hela klassen som använder elevernas lösningar på sätt som främjar matematikens lärande i hela klassen. Lärare möter ofta ett brett utbud av elevers svar på kognitivt krävande uppgifter och måste hitta sätt att använda dem för att vägleda klassen mot djupare förståelser av matematik (Stein m.fl., 2008, s. 314). Stein m.fl., (2008, s. 314) förklarar att det är svårt för lärare att anpassa elevers olika idéer av lösningsförslag och tillvägagångssätt när de löser problemuppgifter. Ett sätt att beskriva hur läraren kan stötta elevernas lärande i problemlösningssituationer är att dela upp undervisningen i fem faser som också kan kallas för en pedagogisk modell (Stein m.fl., 2008, s. 314). Denna pedagogiska modell kan vara till stöd för lärare i processen då modellen är uppdelad i fem olika delar, dessa delar är: förutse, övervaka, välja, sekvensera och göra kopplingar till elevers olika svar. Utifrån denna pedagogiska modell kan lärare få stöttning i hur de ska undervisa i bl.a. problemlösning (Stein m.fl., 2008, s. 314). Vidare menar Stein m.fl. (2008, s. 321) att modellen kan underlätta för planeringen av helklassdiskussionen i förväg. Genom att planera för diskussionen kan lärare förutse möjliga elevsvar och också veta hur hen ska bemöta dessa. Modellen kan göra så att lärare känner sig mer säkra på möjliga elevsvar och blir bättre förberedda på helklassdiskussioner (Stein m.fl., 2008, s. 321).
3. Teori
Detta avsnitt kommer inledas med en beskrivning av en pedagogisk modell för problemlösning som är utarbetad av Stein m.fl., (2008). För att sedan fortsätta med hur jag har tolkat modellen och det jag anser passar in i varje del. Avsnittet avslutas med hur jag anser att dessa fem praktiker kan passa i min valda metod samt som analysverktyg.
3.1 Fem praktiker av Stein m.fl.
En utmaning som de flesta matematiklärare står inför är att veta hur de ska genomföra och organisera diskussioner i helklass då eleverna ska presentera sina svar och lösningar på exempelvis problemuppgifter för att deras matematiska förmåga ska öka. Problemet ligger i att det är många elever i klassrummet som alla ligger på olika nivåer kognitivt och för att en lärare ska kunna vägleda eleverna mot en djupare förståelse så måste hen ha redskap och verktyg till detta. Modellen har visat sig ha effektiva resultat vid användandet när elevers svar på lösningar ska presenteras och gynnar också till en hållbar undervisning för de verksamma lärarna (Stein m.fl., 2015, s. 314). Modellen innehåller fem delar: förutse, övervaka, välja, sekvensera och göra kopplingar till elevers olika svar.
3.1.1 Förutse
Den första praktiken handlar om att lärare måste anstränga sig aktivt för att kunna föreställa sig hur elever kan förstå och tillämpa sig de matematikuppgifter som de blir tilldelade. Att förutse hur eleverna kommer att förstå uppgifter handlar mer än om att enbart utvärdera om en uppgift är lämplig eller ej och vilken svårighetsgrad den ligger på. Det handlar om att förutse om eleverna kan få fram rätt svar eller hur de kommer att presentera lösningen. Att besitta förmågan
15 att förutse handlar i stort om att överväga förväntningar om hur eleverna kommer att tolka och förstå olika problem (Stein m.fl., 2015, s. 322). Det finns olika strategier lärare kan använda sig av som både är rätt och fel för att förutse hur eleverna kommer att möta uppgifterna som de får. När lärare förutser elevsvar kan de exempelvis fundera på vad syftet med uppgiften är och vilken förmåga som eleverna ska få träna på (Stein m.fl., 2015, s. 323). Lärare kan förutse kommande elevsvar genom att själva lösa problemuppgiften innan lektionen för att kunna förutse så många olika lösningar som möjligt. Det kommer med största sannolikhet uppkomma flera olika lösningsmetoder när eleverna sitter med uppgiften då alla är på olika nivåer och då för att eleverna inte ska bli förvirrade måste läraren redan innan förutsett vilka lösningar som kan finnas (Stein m.fl., 2015, s. 323).
3.1.2 Övervaka
Nästa steg i processen mot en helklassdiskussion är övervaka. Här handlar det om att ägna fokus på hur eleverna tänker matematiskt när de utforskar hur en problemuppgift är uppbyggd. Under denna praktik cirkulerar läraren runt i klassrummet för att uppmärksamma alla elever och se hur de arbetar. Målet med övervakningen är att urskilja vilka olika strategier som eleverna använder sig av och hur de framställer dessa strategier. Genom detta kan en lärare se vilka elever som kan vara rimliga att ta med i en helklassdiskussion. Lärare övervakar elever och för exempelvis egna anteckningar för att minnas vilka resonemang som förs när eleverna löser uppgiften. Vid övervakningen är fokus inte enbart på hur många elever som arbetar med uppgiften, utan övervakningen handlar om att identifiera vilka matematiska idéer som uppkommer samt vad elever verkar ha svårt för. Fokus under övervakningen är att förstå elevernas idéer och förståelse för problemet även om det mynnar ut i fel svar (Stein m.fl., 2015, s. 325). Om lärare har gjort ett grundligt arbete på nivån innan som var att förutse kommer de vara bättre förberedda i denna fas när de ska övervaka. Dock kan det fortfarande vara utmanande för ibland kan det uppkomma idéer och strategier som även läraren inte planerat för (Stein m.fl., 2015, s. 325).
Vid övervakningen kan lärare också lyssna vad eleverna resonerar om när de löser uppgifterna för att på det sättet få höra det autentiska och vad eleverna faktiskt tänker när de arbetar med uppgiften samt vilka frågor som uppkommer och hur eleverna hanterar dessa frågor. Det är också betydelsefullt för lärare när de ska bedöma eleverna att de ställer frågor som hjälper eleverna framåt, speciellt när det handlar om begrepp som är kopplade till lektionens mål (Stein m.fl., 2015, s. 325–326).
3.1.3 Välja
Nästa steg handlar om att välja ut vissa av elevernas lösningar som visas upp för hela klassen så att alla får det matematiska tänket kring den lösningen. Detta görs efter att läraren har övervakat så hen kan bestämma vilka lösningar som ska väljas ut. Välja ut lösningar kan göras redan under övervakningsfasen, läraren kan välja ut en lösning som en elev arbetar med som kan vara nyttig för övriga i klassen att ta del av likväl som läraren kan välja ut en lösning som alla elever gjort (Stein m.fl., 2015, s. 328). Läraren kan också välja att fråga alla i klassen om det finns någon eller några frivilliga som vill visa upp sin lösning och finns det då flera olika så kan läraren välja någon av dessa som hen anser lämplig. Oavsett hur läraren väljer ut är det
16 viktigt att läraren behåller kontrollen av vad som ska visas upp så att det blir kopplat till lektionens syfte (Stein m.fl., 2015, s. 327–328). Sätten som läraren väljer ut vilka strategier som ska presenteras kan också missuppfattningar om uppgiften lyftas, problematiseras och göras om så att alla i klassen får en bild på hur en process kan se ut (Stein, 2015, s. 328).
3.1.4 Sekvensera
När läraren har valt ut vilka elever som ska få presentera sina lösningar är nästa steg att välja ut i vilken turordning dessa elever ska få presentera sina lösningar. Om detta görs målmedvetet utifrån hur eleverna har löst uppgifterna kan läraren maximera chansen att syftet med lektionen uppnås. Lärare kan välja att först presentera den lösning som flest i klassen använde sig av för att så många som möjligt ska få känna att de gjort rätt för att sedan gå in på de lösningar som var lite mer utmanande. Detta kan leda till att fler elever får en bredda matematisk förståelse och kommer ligga till grund för deras fortsatta lärande inom problemlösning. Lärare kan också välja att sekvensera genom att visa en uppgift som många elever har missuppfattat för att sedan kunna utveckla detta till en rätt lösning och en lämplig strategi till den (Stein m.fl., 2015, s. 329).
3.1.5 Göra kopplingar till elevers svar genom en avslutande helklassdiskussion
Sista steget i processen ska läraren stötta eleverna med att hitta samband mellan de matematiska idéer de har och hur dessa idéer visar sig i strategierna och lösningarna som de gjort. Lärarna kan i denna fas stötta eleverna att värdera de lösningar och tillvägagångssätt som de använt sig av för att lösa problemuppgifterna, lärarna kan också stötta eleverna med att finna ytterligare strategier och om det finns likheter mellan dessa. Lärarna kan också hjälpa eleverna med att kritiskt granska vilken av strategierna som är mest lämplig (Stein m.fl., 2015, s. 330). Det finns många olika sätt en lärare kan göra kopplingar mellan elevers svar och lösningar. Lärare kan jämföra två helt olika strategier men som ändå har kommit fram till samma svar för att på det viset påvisa vad som är lika eller annorlunda i de båda. Detta kan få elever att fundera över sina klasskompisars lösningar och ställa dessa mot sina egna och genom det kan den matematiska förmågan förstärkas. Lärare kan fortsätta att planera samma uppgift men inför en annan lektion och då kan uppgiftens svårighet öka (Stein m.fl., 2015, s. 331).
17 3.1.6 Min tolkning av den pedagogiska modellen
(Figur 1. Fem praktiker i problemlösning. Fritt efter Stein m.fl., 2015, s. 322).
Modellen är en grund för lärare att bygga sin undervisning inom problemlösning på. Var och en av dessa praktiker är viktiga steg i processen mot att kunna genomföra en gynnsam helklassdiskussion. Genom att kunna förutse olika lösningar bidrar det till att läraren är förberedd på vilka lösningar som kan komma. När lärare sedan övervakar vad eleverna gör tänker jag mig att de cirkulerar i klassrummet och för anteckningar inför den kommande helklassdiskussionen så att läraren vet vilka resonemang som föregick i detta steg. När läraren sedan väljer ut vilken eller vilka elever som ska presentera sina lösningar så ska det vara lösningar som kan gynna hela klassen när dessa presenteras i helklassdiskussionen. Läraren väljer sedan i vilken ordning som eleverna ska presentera sina lösningar och valda strategier. Där anser jag att läraren bör välja en lösning som merparten av eleverna har gjort och detta vet läraren sedan hen övervakade det som skedde under den delen av processen. När sedan underlaget till helklassdiskussionen ska samlas ihop och kopplingar till elevers lika och olika svar ska diskuteras är det viktigt att läraren gör detta på ett lämpligt sätt såsom att visa på olika lösningar som kan ge samma svar samt att visa att samma lösningar men olika resonemang kan ge samma svar.
Denna pedagogiska modell var ett stöd när jag analyserade mitt insamlade material, jag använde mig av dessa fem praktiker för att förstå hur lärare som jag intervjuade planerar för samt genomför problemlösningslektioner som ska mynna ut i någon form av avslutning där eleverna får presentera sina svar och lösningar.
4. Metod
I denna del kommer jag att presentera mitt metodval, tillförlitlighet och etiska överväganden, hur materialinsamlingen gick till samt hur jag bearbetade och analyserade mitt insamlande material.
Syftet med den här studien är att belysa hur lärare genom det avslutande momentet i problemlösning skapar förutsättningar för elevers lärande i matematik, för att syftet ska uppnås och jag ska få en djupare förståelse för hur lärare planerar och genomför sina problemlösnings-lektioner kommer jag behöva lärares uppfattningar och berättelser om detta. Ett sätt att få tag i uppfattningar och berättelser är genom den kvalitativa metoden intervjuer, kvalitativa metoder handlar om ord och berättelser istället för om siffror som kvantitativa metoder mestadels
Planera inför vilka lösningar som kan framkomma . Föruts e Cirkulera i klassrum met och göra antecknin gar . Överv aka Välja ut lämpliga lösningar.
Välja a hur Organiser
lösningarn a ska presenteras Sekve nsera Avslutand e helklassdis kussion Göra koppli ngar
18 handlar om (Bryman, 2018, s. 454). Eliasson (2018, s.2 7) förklarar att den kvalitativa metoden går att anpassa efter hur situationen ser ut och att den är mer flexibel än en kvantitativ. En av de större nackdelarna med kvalitativa metoder är att det inte går att generalisera, det krävs också oftast mer tid vid insamlandet av data samt bearbetningen av den (Eliasson, 2018, s. 27). Då det är lärares uppfattningar och berättelser som jag ska undersöka lämpar sig en kvalitativ metod bäst, dock måste jag ha med i beräkningen att mitt resultat inte kan generaliseras då det är lärarnas uppfattningar som blir mitt resultat.
4.1 Intervjuer
Intervjuer enligt Bryman (2018, s. 561) är den mest använda kvalitativa metoden för forskning inom samhällsvetenskapen, Bryman (2018, s. 562–563) beskriver vidare att en av de olika intervjuformerna är semistrukturerade intervjuer. Semistrukturerade intervjuer är flexibla då fokus ligger på hur den som blir intervjuad uppfattar frågan och vilken berättelse hen vill berätta där och då (Bryman, 2018, s. 562–563). I denna metod kan forskaren gå mer in på djupet i sina frågor och får därför djupare svar, en annan fördel är att intervjuaren kan ställa följdfrågor och kan därför få en mer helhetssyn på problematiken som kan finnas (Bryman, 2018, s. 454). I den här studien passar därför semistrukturerade intervjuer bra då intervjuformen är flexibel och att den som blir intervjuar får berätta sin sanning. Vidare menar Bryman (2018, s. 563) att vid semistrukturerade intervjuer utgår forskaren oftast utifrån en intervjuguide med givna teman och där personen som blir intervjuad kan forma svaren hur hen vill, vid semistrukturerade intervjuer behöver inte heller frågorna komma i samma ordning samt att följdfrågor kan ställas (Bryman, 2018, s. 563). Följdfrågor ställdes i denna studie och enligt Bryman (2018, s. 569) är följdfrågor eller uppföljningsfrågor som han benämner det när intervjuaren ber sin respondent att utveckla sitt svar.
Jag tillfrågade sju verksamma lärare om de ville vara med i studien, två av dessa sju föredrog att få intervjufrågorna via mail och också besvara dem via mail. För studien skulle detta innebära att jag inte får samma tillförlitlighet som om jag hade intervjuat dessa fysiskt eller via en digital plattform. Jag valde därför att tacka dessa lärare för visat intresse och inte intervjua dem och istället fokusera på resterande fem. På grund av rådande Covid-19 situation ville tre av mina respondenter ses via en digital plattform och två kunde ses fysiskt. Intervjuer fysiskt är att föredra då det är lättare att skapa en god kontakt med respondenten än vid online intervjuer (Bryman, 2018, s. 591). Vidare förklarar Bryman (2018, s. 591) att svaren som ges vid en intervju online kan ge mer detaljerade och mer tilltänkta svar än när man ses fysiskt då det krävs en högre motivation och engagemang att svara på intervjufrågor online. Jag anpassade mig till hur lärarna ville blir intervjuade.
4.2 Urval
I den här studien valde jag respondenter som skulle passa syftet, ett målstyrning urval är enligt Bryman (2018, s. 498) att forskaren gör ett målinriktat urval för sin materialinsamling. Vidare menar Bryman (2018, s. 498) att urvalet görs utifrån vad målet med undersökningen är samt att det finns vissa kriterier som urvalet måste uppfylla för att kunna besvara syftet med undersökningen. För den här studien valde jag ett målstyrt urval då studien hade ett specifikt syfte vilket var att belysa hur lärare genom det avslutande momentet i problemlösning skapar
19 förutsättningar för elevers lärande i matematik. Kriterier för de personer som ska ingå i min undersökning är därför behöriga lärare inom matematik i årskurserna 4–6.
Informationen jag behövde från dessa lärare var vad som är viktigt för dem när de ska planera för en problemlösningslektion, hur de förbereder sig samt hur de väljer att låta eleverna presentera sina lösningar av problemuppgifter. Denna information anser jag att behöriga lärare som arbetar i årskurs 4–6 kan ge till mig då det är rimligt att anta att de är insatta i kursplanen som säger ”Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder” (Skolverket, 2019, s. 59).
Respondenterna i denna studie är anonyma och därför kommer jag benämna dem med bokstäverna a, b, c, d och e så att ingen ska kunna veta vem personen som svarat är. Jag kommer att beskriva de olika personerna kortfattat så att läsaren ska få en bild av vilka de är utan att avslöja allt för mycket.
Lärare A: Man 28 år, arbetat inom skolan i två år. Utbildad inom årskurserna 4–6. Arbetar på en friskola som har cirka 320 elever i årskurserna f-7.
Lärare B: Kvinna 48 år. Arbetat inom skolan i 25 år. Utbildad inom årskurserna f-7. Arbetar på en kommunalskola som har cirka 250 elever i årskurserna f-9.
Lärare C: Kvinna 39 år. Arbetat inom skolan och förskolan i 13 år. Utbildad inom årskurserna f-7. Arbetar på en kommunalskola som har cirka 100 elever i årkurserna f-6
Lärare D: Kvinna 41 år. Arbetat inom skolan i 11 år. Utbildad inom årskurserna 4–9. Arbetar på en friskola som har cirka 320 elever i årskurserna f-7.
Lärare E: Kvinna 52 år. Arbetat inom skolan i 19 år Utbildad inom årskurserna 4–9. Arbetar på en skola som har cirka 180 elever i årskurserna 3–9.
4.3 Vad jag behöver tänka på
För att studien ska bli tillförlitlig samt att respondenterna ska känna en trygghet med att medverka i studien har jag gjort ett antal val, dessa val kommer att presenteras här nedanför. 4.3.1 Tillförlitlighet
”Reliabilitet (tillförlitlighet) rör frågor om huruvida resultaten från en undersökning blir densamma om undersökningen genomförs på nytt, eller om de påverkas av slumpmässiga eller tillfälliga betingelser” (Bryman, 2018, s. 72). ”Validitet går ut på en bedömning av om slutsatser som genererats från en undersökning hänger ihop eller ej” (Bryman, 2018, s. 72). Bryman (2018, s. 465) menar vidare att begreppen validitet och reliabilitet används oftast vid kvantitativa metoder och är svåra att applicera på kvalitativa. I denna studie kommer kvalitativa semistrukturerade intervjuer att genomföras kan begreppen validitet och reliabilitet utifrån dessa definitioner snarare begränsa studien istället för att stärka den (Bryman, 2018, s.465). I kvalitativa studier används ofta istället andra kriterier av tillförlitlighet för att bedöma kvalitén av materialet som är insamlat (Bryman, 2018, s. 467). Vidare beskriver Bryman (2018, s. 467) att det finns fyra underkriterier av tillförlitlighet som kan användas vid kvalitativa studier dessa är, trovärdighet, överförbarhet, pålitlighet samt en möjlighet att styrka och konfirmera. I denna studie förhåller jag mig till dessa fyra underkriterier på följande sätt:
20 ● Trovärdighet handlar om enligt Bryman (2018, s. 467) om hur trovärdighet för
omvärlden forskarens resultat är i andra människors ögon samt att forskaren har utfört studien enligt de regler och föreskrifter som finns vid forskning. I denna studie har jag tagit hänsyn till detta genom att redovisat för etiska principer som jag förhåller mig till samt att jag har valt ut relevanta personer för min undersökning.
● Överförbarhet enligt Bryman (2018, s. 467–468) är att en liten grupp eller individ som har något gemensamt och där svaren blir djupa istället för att svaren ska vara breda samt att ”hurvida resultaten håller streck även i någon annan kontext vid en senare tidpunkt” (Bryman, 2018, s.468). I denna studie tillämpas överförbarhet genom att intervjua lärare inom matematik och jag frågar dem frågor som går in på djupet av ett fenomen, i detta fall mitt syfte som är hur lärare planerar och genomför inför avslutningar av problemlösningslektioner. Samt att jag vill att andra lärare ska förstå innebörden i mitt resultat för att bredda kunskapen om hur problemlösning kan vara en naturlig del i matematikundervisningen.
● Pålitlighet enligt Bryman (2018, s. 468) handlar om att skapa en redogörelse för hur studien har gått tillväga. Detta kommer jag i denna studie förhålla mig till genom att i avsnittet om datainsamling redogöra för hur insamlingen av materialet samt hur transkriberingen genomfördes:
1. Jag kommer redogöra för hur processen med att välja ett lämpligt urval gick till 2. Jag kommer redogöra för hur intervjuerna planerades samt genomfördes
3. Jag kommer redogöra för hur transkriberingen av det insamlade materialet genomfördes
4. Jag kommer redogöra för vilket analysverktyg jag använde jag mig av 5. Jag kommer redogöra för hur jag strukturerade upp mitt resultat.
● Möjlighet att styrka och konfirmera enligt Bryman (2018, s. 467) handlar om att forskaren inte medvetet låtit personliga värderingar styrt resultatet och slutsatserna i studien. Jag har förhållit mig till detta genom att ställt så öppna frågor som möjligt och inte frågat om åsikter, jag har istället valt att fokusera på hur lärare planerar för och genomför problemlösningslektioner. Efter att jag tagit hänsyn till ovanstående behövde jag också tänka på etiska överväganden
4.3.2 Etiska överväganden
Informationen som informanterna lämnar ska behandlas på ett korrekt sätt och skyddas från bl.a. kränkningar och skador (Vetenskapsrådet, 2017, s. 12). I denna studie tar jag hänsyn till detta genom att på förhand ha skickat ut ett informationsbrev (se bilaga 1) om hur jag kommer att skydda informanternas personuppgifter samt hur jag kommer förvara det inspelade materialet. Det är forskaren som besitter ansvaret för att de etiska frågorna hålls och att de överväganden som man gör berör dem som faktiskt är med i studien (Vetenskapsrådet, 2017, s. 12). I ALLEA (All European Academics) framställs fyra principer som handlar om hur god forksningssed ska vara och är en vägledning som forskare kan få för att de principerna ska uppfyllas (Allea, 2018, s. 4).
”• Tillförlitlighet i fråga om att säkerställa forskningens kvalitet, vilket avspeglas i design,
21
• Ärlighet i fråga om att utveckla, genomföra, granska samt rapportera och informera om
forskning på ett öppet, rättvist, fullständigt och objektivt sätt.
• Respekt för kolleger, forskningsdeltagare, samhälle, ekosystem, kulturarv och miljö. • Ansvarighet för forskningen från idé till publicering, för ledning och organisation, för
utbildning, tillsyn och mentorskap samt för dess vidare konsekvenser. ” (Allea, 2018, s. 4).
Jag tar hänsyn till tillförlitlighet genom att skapa en studie som följer dessa riktlinjer som ALLEA har tagit fram och som en forskare kan ha hjälp av.
I denna studie handlar ärlighet om att jag har presenterat mina svar på ett objektivt sätt utan att mina åsikter har lyst igenom i resultatet där är det enbart lärares svar som presenterats. Samt att jag genomför både mina intervjuer och transkriberingar på ett likvärdigt sätt.
Respekt har jag tagit hänsyn genom att jag gav respondenterna möjlighet att välja om de ville ses fysiskt eller via en digital plattform. Jag tog också hänsyn till respekt genom att jag har valt att hålla mina respondenter anonyma samt att jag inte nämner vilken skola eller kommun de arbetar i.
Ansvarighet har jag tagit hänsyn till genom att jag har haft ansvaret för denna studie under processens gång, samt att jag har haft både mail och digital kontakt med en handledare som har stöttat och hjälpt mig under studiens gång.
4.4 Genomförande av intervju
Innan jag genomförde intervjuerna skickade jag ut ett informationsbrev (Se bilaga 1) till mina respondenter där jag beskrev syftet med undersökningen, hur jag förhåller mig till de etiska principer som finns, vad jag kommer använda mitt insamlade material till samt hur jag kommer förvara det undertiden jag transkriberar. Jag förklarade också i detta informationsbrev att respondenterna kommer vara anonyma i studien och de kan avbryta när de vill. Jag tillfrågade två av mina fem respondenter muntligt om de ville delta, de svarade muntligt att de ville delta och tre av mina respondenter tillfrågades via mail och de besvarade mitt mail genom att tacka ja skriftligen till deltagande i studien. Jag bestämde sedan tillsammans med mina respondenter när och hur intervjuerna skulle genomföras.
Jag hade på förhand skapat en intervjuguide (se bilaga 2) som jag utgick ifrån och hade som stöd när jag intervjuade. Vid genomförandet av intervjuerna började jag med samma fråga till alla respondenter då jag ansåg att den första frågan i min intervjuguide skulle ge mig en bra start samt att den skulle leda in lärarna på rätt spår. Frågan jag ställde var: Vad är viktigt för dig när dina elever ska arbeta med problemlösning?
De intervjuer som genomfördes via en digital plattform utfördes via google meet och de intervjuer som genomfördes fysiskt var jag på plats på den skola där dessa respondenter arbetar. Jag hade avsatt cirka 30 minuter för varje intervju för att inte behöva stressa, de intervjuer som genomfördes via google meet gick snabbare än de som genomfördes fysiskt, intervjuerna tog mellan 20–40 minuter. När mina respondenter började prata om saker som för mig var irrelevanta till mitt syfte, exempelvis raster och andra ämnen än matematik försökte jag leda in dem på rätt spår genom att hänvisa till nästa fråga i intervjuguiden. Jag var i mina intervjufrågor
22 noggrann med att belysa att det är de matematikdidaktiska valen som läraren gör som jag ville komma åt för att få en djupare förståelse än enbart få svar på vad de gjorde.
Följdfrågor ställdes till samtliga respondenter, dock varierade det lite i hur många följdfrågor som ställdes. När jag märkte att lärarna började prata om något intressant i förhållande till mina teman i intervjuguiden bad jag lärarna berätta mer om just det för att inte ämnet skulle tappas bort. Uppföljningsfrågorna var mellan två till sju stycken under mina intervjuer och kunde exempelvis vara:
● Kan du berätta mer om hur diskussionerna i klassrummet kan vara när ni genomför helklassdiskussioner?
● Om du inte skulle koppla tillbaka till föregående, skulle du då hinna med en djupare diskussion på samma lektion?
4.5 Bearbetning av material
När jag hade genomfört alla mina intervjuer påbörjade jag min bearbetning av materialet. Jag transkriberade delar av intervjuerna, de delar som jag inte transkriberade var sådant som inte hörde ihop med mitt syfte men som mina respondenter kom in på ändå, exempelvis den nya läroplanen som kommer hösten 2021, statistikuppgifter och om när de undervisat äldre målgrupper än årskurs 4–6. Jag visste vilka delar som var relevanta utifrån den intervjuguide jag på förhand hade skapat och genom den guiden ställde jag också följdfrågor när jag märkte att lärarna började prata om sådant som hörde ihop med mitt syfte.
4.6 Analys av datamaterial – kvalitativ analys
För att besvara syftet med studien som var att belysa hur lärare genom det avslutande momentet i problemlösning skapar förutsättningar för elevers lärande i matematik genomfördes textanalysen i flera steg, här nedan kommer en redovisning av hur jag genomförde analysen efter att jag hade bearbetat materialet.
När jag hade transkriberat de delar som handlade om mitt syfte samt sådant som jag ansåg skulle hjälpa mig att genomföra min studie, exempelvis hur lärare stöttar elever och hur de agerar i klassrummet under en problemlösningslektion genomfördes en kvalitativ textanalys. Vid en kvalitativ analys undersöker forskaren systematiskt sitt material som hen har fått fram via exempelvis intervjuer, anteckning med mera. För att försöka komma fram till ett resultat kan detta material behöva organiseras och brytas ner i mindre delar så mönster kan hittas (Fejes & Thornberg, 2019, s. 35).
Fejes och Thornberg (2019, s. 37) menar vidare att genom en kvalitativ analys finns det olika sätt att analysera materialet för att bryta ner det i mindre delar, analysmetoderna är:
● Koncentrering: Då det är stor textmassa som ska analyseras kan man fokusera på några kärnfyllda meningar från materialet.
● Kategorisering: Materialet som är insamlat sammanställs i kategorier och genom dessa kategorier kan likheter och skillnader urskiljas.
23 ● Berättelse: Här försöker forskaren fånga en sammanhängande historia när många
berättelser har samlats in genom data.
● Tolkning: Här gör forskaren en djupare tolkning av texterna, forskaren utgår från en viss kontext för att tolka specifika textstycken.
● Modellering: Vid modellering skapas begrepp som tolkas och skapar teoretiska resonemang.
● Ah hoc: Vid denna metod använder sig forskaren av flera av dessa metoder för att skapa mening i analysen, exempel på detta kan vara att hitta mönster eller teman, göra sammanställningar, räkna och skapa kontraster.
Studiens fokus kommer vara på den sistnämnda, ah hoc vilket innebär att det finns element från de övriga fem. Fejes och Thornberg (2019, s. 35) påpekar att kvalitativa analyser kan ha flera olika syften, ett av dessa syften är att beskriva ”fenomen mer eller mindre detaljerat”. Fenomen i den kontexten kan tillexempel vara subjektiva erfarenheter, sociala situationer, föreställningar, utsagor samt interaktioner eller sociala praktiker. Analysen handlar om att hitta likheter samt olikheter för att få förklaringar på fenomenet (Fejes & Thornberg, 2019, s. 35). När jag har transkriberat de delar av mitt material som var relevant för studien skapade jag analysfrågor Dessa är:
● Vad säger den här texten om lärares förberedelser inför en problemlösningslektion? ● Vad säger den här texten om förekomsten av problemlösning i undervisningen och
struktur under problemlösningslektioner?
● Vad säger den här texten om lärarens agerande under problemlösningslektioner? ● Vad säger den här texten om elevers redovisningar av lösningar?
Dessa fyra analysfrågor skapade jag utifrån mina tre forskningsfrågor och mitt syfte då det är de jag ska besvara i denna studie. Svaren på dessa analysfrågor är således även till viss del svar på mina forskningsfrågor, jag utgick ifrån mina forskningsfrågor när jag skapade mina analysfrågor för att det skulle vara en röd tråd genom arbetet samt att de skulle vara av kvalité. Fejes och Thornberg (2019, s. 182) betonar att analysfrågor är av största vikt när man gör en textanalys och analysfrågorna som skapas måste vara av god kvalité för att analysen ska bli bra. När jag hade skapat analysfrågorna påbörjade jag det jag kallade för analys 1. Analys 1 innebar att jag sorterade in materialet från transkriptionerna under de fyra olika analysfrågorna, det vill säga att avsnitt från transkriptionerna som hör till varje analysfråga har kopierats in under en ny rubrik som var analysfrågan. För att hitta svaren på analysfrågorna i texten ställde en analysfråga till texterna från transkriptionerna.
4.6.1 Analysbeskrivning genom en innehållsanalys
I nästa steg gjorde jag vad jag kallade analys 2, i denna analys genomfördes en innehållsanalys av varje analysfråga av vad lärare sade. En kvalitativ innehållsanalys är bland de vanligaste när man analyserar dokument. I analysen söker man efter bakomliggande teman i materialet, temana som man finner beskrivs sedan med kortare citat (Bryman, 2018, s. 677). Innehållsanalysen genomfördes sedan på dokumentet som sammanställts utifrån svaren på en analysfråga.
24 Innehållsanalysen som genomfördes innehåller grupperingar och mönster av vad lärarna pratade om. Jag gick igenom varje analysfråga var för sig och letade mönster från de olika respondenterna. Dessa mönster valde jag att stryka över med en överstrykningspenna i olika färger för de olika mönstren som framkom. Samma sak gjordes på alla mina analysfrågor och det var de mönstren från mina transkriptioner som tillsammans skapade svaren på mina analysfrågor. När jag då hade hittat vad som framträder i de olika analysfrågorna kunde jag se mönster mellan analysfrågorna och det skapade då mina teman. Dessa mönster var exempelvis struktur på problemlösningslektioner, hur lärare agerar inför och under problemlösnings-lektioner, hur de avslutar sina matematiklektioner samt hur de arbetar med problemlösning. Teman som jag fann i min analys blev då följande:
Uppgifter: Här handlade det om att lärare förbereder sig själva genom att leta eller skapa problemuppgifter, de arbetar igenom problemet och försöker se elevlösningar möjliga lösningar, Matematiskt område: Här handlade det om hur lärare använder problemlösning till att introducera ett matematiskt område, uppgifter relaterade till det matematiska område som eleverna arbetar med just nu (hör ihop också med uppgifter),
Strategier: Här handlar det om vilka strategier som eleverna använder sig av och när och hur läraren uppmuntrar elever som blir klara snabbt att se andra strategier för att lösa uppgiften, resonera kring olika strategier, visa upp lämpliga strategier.
Stöttar elever: Vid stöttning kan lärarna exempelvis läsa uppgiften igen, ger dem ledtrådar, ställer frågor som fördjupar, ber dem visa sina strategier, cirkulerar i klassrummet
Observerar elever: Här handlar det om hur lärare agerar i klassrummet undertiden eleverna arbetar med sina problemlösningsuppgifter
Diskussioner/Redovisningar: Här handlar det om hur får eleverna visa upp sina lösningar av problemet, genom exempelvis: Gruppvis redovisa sina lösningar, slumpvis vilka som får presentera, lärare reder ut missförstånd, EPA.
När jag hade gjort analys två gick jag vidare till nästa del i min bearbetning som var att kategorisera in dessa teman i kategorier som sedan kopplades till den pedagogiska modellen. 4.6.2 kategorier utifrån den kvalitativa innehållsanalysen
När jag hade genomfört analys 2 skapade jag tre kategorier utifrån de teman som jag skapade, kategorierna blev då:
· Problemuppgifter och matematiskt område · Strategier och hur lärare stöttar elever
· Hur lärare observerar samt genomför helklassdiskussioner
Efter att jag hade skapat mina tre kategorier jämförde jag svaren med den vetenskapligt belagda pedagogiska modellen som Stein m.fl., utarbetade 2008, modellen innehåller som tidigare nämnts fem praktiker:
· Förutse elevsvar
· Övervaka elevernas arbete
· Välja ut lämpliga lösningar
· Sekvensera de lösningar som ska visas upp
25 Med detta menas att jag jämförde de svaren som handlade om utifrån min tolkning av den pedagogiska modellen med mina skapade kategorier. Till exempel jämförde jag hur lärare förutser elevsvar med mina skapade kategorier, detta resulterade i att förutse elevsvar kan handla om problemuppgifter och matematiskt område då jag anser att den praktiken handlar om lärares förberedelser och hur de gör för att vara förberedda i klassrummet när eleverna löser problemuppgifter. Denna jämförelse gjordes med samtliga teman och praktiker från min tolkning av den pedagogiska modellen och skapade då följande struktur som också är mitt analyserade resultat. Det som blir intressant i min kommande analys utifrån denna jämförelse är att se vad lärare i min studie gör och inte när de undervisar i problemlösning och då använda den vetenskapliga modellen som stöd för denna jämförelse.
Problemuppgifter och matematiskt område
- Inom denna kategori kommer svar som handlar om hur läraren förbereder sig inför en problemlösningslektion och hur hen löser problemet och försöker hitta eventuella missuppfattningar samt försöker förutse elevsvar samt att uppgifterna ska höra ihop till viss del till det matematiska området som de arbetar med för tillfället.
Strategier och hur lärare stöttar elever
- Inom denna kategori kommer svar som handlar om hur lektionen fortlöper och hur lärare övervakar samt stöttar eleverna undertiden de löser problemuppgifter.
Hur lärare observerar samt genomför helklassdiskussioner
- I denna kategori kommer svar handla om hur helklassdiskussioner förs vilka idéer som styr lärarens val om hur diskussionen ska gå till, vilka lösningar som ska visas upp samt i vilken ordning de ska visas upp.
I analysen som jag gör i mitt resultat kommer det som finns samt inte finns i mitt material som är kopplat till min tolkning av den pedagogiska modellen att presenteras. När jag genomförde analysen och jämförde materialet från analys 2 och den pedagogiska modellen kunde jag hitta vissa likheter mellan svaren och det som praktikerna i modellen beskriver. I resultat-diskussionen kommer konsekvenserna som kan uppstå att framställas.
5. Resultat
I denna del kommer mina resultat att presenteras utifrån de kategorier som jag skapade i min analys, resultatet kommer att presenteras med stöd av den pedagogiska modellen. I slutet av denna del kommer det som lärare inte pratade om men som ingår i den pedagogiska modellen att presenteras kortfattat.
5.1 Problemuppgifter och matematiskt område
Flera av lärarna i studien lyfte fram vikten av att förutse hur deras elever kommer att förstå och ta sig an den uppgift de ställs inför. Lärare a, b, och c gör detta genom att de förbereder sig på ungefär samma sätt. De förbereder sig genom att arbeta igenom problemet själva innan de presenterar problemet för eleverna för att kunna se vilka olika strategier som kan framkomma.
