Control of Torsionalpendulum on Containercranes

(1)

REGLERING AV TORSIONSPENDEL

P˚

A CONTAINERKRANAR

Examensarbete utfört i Reglerteknik vid Tekniska Högskolan i Linköping

av P ¨AR B ¨ACK Reg nr: LiTH-ISY-EX-3484

(2)

(3)

REGLERING AV TORSIONSPENDEL

P˚

A CONTAINERKRANAR

Examensarbete utfört i Reglerteknik vid Tekniska Högskolan i Linköping

av P ¨AR B ¨ACK Reg nr: LiTH-ISY-EX-3484

Handledare: Erik Geijer Lundin Bj¨orn Henriksson Alf Isaksson Examinator: Torkel Glad Link¨oping 19 mars 2004.

(4)

(5)

Avdelning, Institution Division, Department

Institutionen för systemteknik

581 83 LINKÖPING

Datum Date 2004-02-27 Språk Language Rapporttyp Report category ISBN X Svenska/Swedish Engelska/English Licentiatavhandling

X Examensarbete ISRN LITH-ISY-EX-3484-2004

C-uppsats

D-uppsats Serietitel och serienummer

Title of series, numbering

ISSN

Övrig rapport ____

URL för elektronisk version

http://www.ep.liu.se/exjobb/isy/2004/3484/

Titel

Title

REGLERING AV TORSIONSPENDEL PÅ CONTAINERKRANAR CONTROL OF TORSIONALPENDULUM ON CONTAINERCRANES

Författare

Author

PÄR BÄCK

Sammanfattning

Abstract

A container crane of STS-type, Ship To Shore, consists of a spreader hanging underneath a

railrunning trolly. As the container is under the influence of wind, it is likely that it starts to turn in a torsional pendulum. This report handles how the torsional pendulum of a container crane can be damped.

A number of different models have been developed to analyze how different placement of the actuators affects the system. Two differens types of controllers, LQG and MPC, have been developed and applied to these models. The different models and controlers were evaluated and compared by studying simulation results in timedomain. Moreover in order to make the

simulations more realistic, a wind model has been developed and applied.

The models and controllers have been analyzed with bodediagrams and sensitivity functions. The analyses shows clearly that the best placement of the actuators for control of the torsional pendulum on an STS-crane is in the trolly, pulling and relaxing the wires. This control is best handled by a state feedback control (LQG). Furthermore, the control should in this way, with addition of in the horizontalplane movable suspensions in the trolly, work acceptably in the whole operational area of a STS-crane.

Nyckelord

Keyword

STS-crane, skew-angle, torsional pendulum, MPC-control, LQG-control, statefeedback control, kalman estimation

(6)

(7)

Sammanfattning

En containerkran av STS-typ, Ship To Shore, best˚ar av en spreader som hänger i ett flertal linor under ett rälsg˚aende ˚akdon, som kallas trallhuset. När lasten p˚averkas av olika yttre störningar, t.ex. vind, är det vanligt att spreadern börjar vrida p˚a sig i en torsionspendel. Denna rapport behandlar hur denna torsionspendel regleras p˚a bästa sätt.

Ett flertal olika modeller har designats för att utreda hur olika placering av ställdonen p˚averkar systemet. Till dessa modeller har tv˚a olika typer av regulator-er, LQG- och MPC-typ, tagits fram och applicerats i simuleringar. För att göra simuleringarna mer realistiska har en vindmodell designats och applicerats. Dessa simuleringar har använts för att studera prestanda för systemet i tidsplanet.

Modellerna och regulatorerna har även analyserats med hjälp av bodediagram och känslighetsfunktioner.

Analyserna visar entydigt att den bästa placeringen av ställdonen för att re-glera torsionspendeln p˚a en STS-kran är i trallhuset s˚a att linorna kan förlängas och förkortas. Denna reglering sköts bäst med en tillst˚ands˚aterkoppling (LQG) som regulator. Regleringen bör p˚a detta sätt, med tillägg best˚aende av i horison-talled rörliga upphängningspunkter i trallhuset, fungera tillfredställande inom hela arbetsomr˚adet för en STS-kran.

Nyckelord STS-kran, skew-vinkel, torsionspendel, MPC-reglering, LQG-reglering, tillst˚ands˚aterkoppling, kalmanfilter

(8)

(9)

Abstract

A container crane of STS-type, Ship To Shore, consists of a spreader hanging underneath a railrunning trolly. As the container is under the influence of wind, it is likely that it starts to turn in a torsional pendulum. This report handles how the torsional pendulum of a container crane can be damped.

A number of different models have been developed to analyze how different placement of the actuators affects the system. Two differens types of controllers, LQG and MPC, have been developed and applied to these models. The different models and controlers were evaluated and compared by studying simulation results in timedomain. Moreover in order to make the simulations more realistic, a wind model has been developed and applied.

The models and controllers have been analyzed with bodediagrams and sensi-tivity functions.

The analyses shows clearly that the best placement of the actuators for control of the torsional pendulum on an STS-crane is in the trolly, pulling and relaxing the wires. This control is best handled by a state feedback control (LQG). Furthermore, the control should in this way, with addition of in the horizontalplane movable suspensions in the trolly, work acceptably in the whole operational area of a STS-crane.

Keywords STS-crane, skew-angle, torsional pendulum, MPC-control, LQG-control, statefeedback control, kalman estimation

(10)

(11)

F¨

orord

Jag vill först tacka Björn Henriksson för uppslaget p˚a arbetet och all den kunskap om kranar som du delat med dig av under arbetets g˚ang.

Jag vill tacka Erik Geijer Lundin för stor hjälp under hela arbetets g˚ang och speciellt alla synpunkter p˚a rapporten. Tack ocks˚a till Alf Isaksson för m˚anga nyttiga synpunkter speciellt p˚a den reglertekniska delen av arbetet.

Jag vill även tacka Karolina för stöd och uppmuntran under arbetets g˚ang.

Linköping Februari 2004 Pär Bäck

(12)

(13)

Inneh˚

all

1 Inledning 3

1.1 Bakgrund . . . 3

1.2 STS-kran . . . 3

1.2.1 Motortrallhus eller lintrallhus . . . 4

1.3 M¨atning och reglering av STS-kran . . . 4

1.3.1 M¨atning . . . 4

1.3.2 Hoist-reglering . . . 5

1.3.3 Sway-reglering . . . 5

1.3.4 Skew-reglering . . . 5

1.3.5 Reglering av trim- och listvinkel . . . 5

2 Problemformulering 7 2.1 M¨ojliga typer av skew-reglering . . . 7

2.2 Tillvägag˚angssätt och m˚alsättning . . . 8

2.3 Specifikationer . . . 8 2.3.1 Krav . . . 8 2.3.2 F¨oruts¨attningar . . . 8 3 Modeller 11 3.1 Motormodell . . . 11 3.2 Modell 1 . . . 12

3.2.1 Tillst˚andsbeskrivning f¨or modell 1 . . . 13

3.3 Modell 2 . . . 13

3.3.1 Ställdon-vinkelförändring . . . 14

3.3.2 Tillst˚andsbeskrivning f¨or modell 2 . . . 16

3.3.3 Simuleringar . . . 16

3.4 Modell 3, f¨orfinad modell . . . 17

3.4.1 Modell 3a: f¨orfinad modell . . . 17

3.4.2 Tillst˚andsbeskrivning f¨or modell 3a . . . 19

3.4.3 Modell 3b: f¨orfinad modell . . . 19

3.4.4 Tillst˚andsbeskrivning f¨or modell 3b . . . 19

3.4.5 Simuleringar . . . 19

3.5 Diskussion om modellerna . . . 19 vii

(14)

viii Inneh˚all

3.5.1 Noggrannhet hos modellerna . . . 19

3.5.2 St¨alldon . . . 20

3.5.3 Motortrallhus eller lintrallhus . . . 20

3.6 Störningar . . . 20 3.6.1 Vindstörning . . . 21 3.6.2 Framkoppling av vindstörning . . . 21 3.6.3 Modell av vindstörning . . . 21 3.6.4 Modell av laststörning . . . 21 4 Regulatorer 23 4.1 LQG-reglering . . . 23 4.1.1 Referensföljning . . . 23

4.1.2 Designparametrarna hos LQG-regulatorerna . . . 24

4.1.3 LQG-regulator som ¨overf¨oringsfunktion . . . 24

4.2 MPC-reglering . . . 24

4.2.1 Val av prestandam˚att . . . 25

4.2.2 Algoritm . . . 25 4.2.3 Reglering av torsionspendel . . . 25 4.2.4 Designparametrar . . . 26 4.2.5 Ovrigt om MPC . . . 27¨ 4.3 Filtrering av referenssignalen . . . 27 4.4 Tillst˚andsrekonstruktion . . . 27 4.4.1 Kalmanfilter . . . 28 4.4.2 Implementering . . . 29 5 Resultat 31 5.1 Resonemang med utg˚angspunkt fr˚an modellerna . . . 31

5.1.1 Testfall l˚anga linor . . . 32

5.2 Simuleringsresultat . . . 32

5.2.1 St¨orning p.g.a. vind vid l˚anga linor . . . 32

5.2.2 Snett lastad container . . . 34

5.2.3 Steg p˚a referensen . . . 34

5.2.4 Steg och vind . . . 36

5.3 Krav . . . 36

5.4 Bodediagram . . . 36

5.5 K¨anslighetsfunktioner . . . 38

5.5.1 Tolkning av k¨anslighetsfunktionerna . . . 39

5.5.2 Tolkning av de komplement¨ara k¨anslighetsfunktionerna . . . 39

6 Diskussion och slutsats 43 6.1 Placering av st¨alldonen . . . 43

6.2 Regulator . . . 44

6.3 Slutsats . . . 44

(15)

Inneh˚all ix

A F¨orklaring till uppbyggnaden av modell 3 47

A.1 Modell 3a: f¨orfinad modell . . . 47

A.2 Modell 3b: f¨orfinad modell . . . 50

B Teori f¨or MPC-reglering 53 B.1 MPC-reglering . . . 53

B.1.1 M˚alfunktionen . . . 53

B.1.2 P˚a QP-form . . . 53

B.1.3 Straff av utsignal ist¨allet f¨or tillst˚and . . . 55

B.1.4 Straff av ¨andring i styrsignal . . . 56

B.1.5 Olika prediktionshorisont . . . 56

B.1.6 Bivillkoren . . . 57

Figurer

1.1 Skiss av de viktiga delarna p˚a hos en STS-kran . . . 4

3.1 De f¨or modell 1 intressanta delarna av en STS-kran . . . 12

3.2 Visar hur modell 2 ¨ar uppbyggd. . . 14

3.3 Beskriver vinklarna u och θ. . . 15

3.4 Spreadern sedd uppifr˚an . . . 16

3.5 Visar hur modell 3 ¨ar uppbyggd. . . 18

3.6 Additiv st¨orning som modellerar en snett lastad container. . . 22

5.1 Hur modell 1 reagerar p˚a en vindst¨orning utan reglering. . . 33

5.2 Hur modell 1 reagerar p˚a en vindst¨orning med reglering . . . 33

5.3 Hur modell 1 reagerar p˚a en snett lastad container utan reglering. . 34

5.4 Hur modell 1 reagerar p˚a en snett lastad container med reglering. . . 35

5.5 Ett stegsvar av modell 1 med MPC- respektive LQG-regulator. . . . 35

5.6 Vindst¨ort stegsvar av modell 1 och 2 . . . 36

5.7 Bodediagram f¨or modell 1. . . 37

5.8 Bodediagram f¨or modell 2. . . 37

5.9 Bodediagram f¨or modell 3a. . . 38

5.10 Bodediagram f¨or modell 3b. . . 38

5.11 Blockdiagram som visar k¨anslighetsfunktionens in- och utsignaler. . 39

5.12 Bodediagram av känlighetsfunktionen för modell 1 med LQG-reglering. 40 5.13 Komplementära känlighetsfunktionen för modell 1 med LQG-reglering. 41 A.1 Modell 3:s uppbyggnad. . . 48

Tabeller

4.1 Designparametrarna f¨or LQG-regleringen . . . 24

(16)

x Inneh˚all

(17)

Notation

F¨

orkortningar

STS-kran Ship To Shore, en stor containerkran som flyttar containrar mellan b˚at och land i en hamn.

RMG-kran Rail Mounted Gantry, en kran som flyttar containrar inom en containerg˚ard i t.ex. en hamn.

LQG Linear Quadratic Gaussian Control, en optimal linjär tillst˚ands˚aterkoppling som förutsätter gaussiskt brus. MPC Modell Predictive Control, en optimal predikterande

tillst˚ands˚aterkoppling.

Termer

Trallhus Det r¨alsg˚aende ˚akdon som lasten h¨anger under och som flyttar sig mellan b˚aten och kajen.

Spreader Den del av kranen som h¨anger i linorna under trallhuset och som griper tag i lasten.

Skew-vinkel Vridningen av spreadern runt lodlinjen.

Trim-vinkel Lutningen p˚a spreadern i f¨orh˚allande tilll horisontallinjen i trallans f¨ardriktning.

List-vinkel Lutningen p˚a spreadern i förh˚allande tilll horisontallinjen i vinkel-rät riktning till trallans färdriktning.

Variabler som ofta anv¨

ands i rapporten

(18)

2 Inneh˚all

v insignal till motormodellen

u utsignal fr˚an motormodellen och insignal till pendelmodellerna α vinkeln mellan lodlinjen och linorna

θ skew-vinkeln, vridningen av spreadern i horisontalplanet km parameter i motormodellen

ω parameter i pendelmodellen Kk parameter i pendelmodell 1

ωu parameter i modell 2 och 3, parametern anger hur mycket linsystemet

vrids för en given lägesförändring hos styrdonen

b parameter hos modell 1 som anger skillnaden mellan linornas avst˚and p˚a spreadern respektive i trallhuset

K kalmanförstärkningen hos observatören L ˚aterkopplingsmatrisen hos LQG-regulatorn

(19)

Kapitel 1

Inledning

1.1 Bakgrund

För att styra lasten p˚a en containerkran används idag flera olika typer av regler-ing. Bland annat används en positionsreglering för att reglera den pendling som uppst˚ar hos lasten när kranen accelererar samt en skew-reglering som används för att reglera den torsionspendel som uppst˚ar. Syftet med positionsregleringen är att automatiskt flytta lasten pendlingsfritt till önskad position utan restpendling vid slutpositionen. Skew-regleringens syfte är att h˚alla torsionsvinkeln konstant un-der det att kranföraren eller automatikprocessen plockar upp eller sätter ner en container.

Den skew-reglering som används idag har framg˚angsrikt implementerats p˚a RMG-kranar (Rail Mounted Gantry). En RMG-kran är en relativt l˚ag kran med linlängder upp till 25 m. Problemet är att den regulator som används p˚a dessa RMG-kranar tappar prestanda vid l˚anga linor, d.v.s. nuvarande regulator g˚ar en-dast att implementera p˚a kranar med relativt korta linlängder.

Ett stort kommersiellt intresse finns därför för en skew-regulator som g˚ar att applicera p˚a kranar med l˚anga linor. Med l˚anga linor avses kranar med linlängder mellan 25 och upp till 60 meter. Krantypen där den nya regulatorn ska imple-menteras är i första hand p˚a s˚a kallade STS-kranar (Ship to Shore).

1.2 STS-kran

STS st˚ar för Ship to Shore, det är en mycket stor kran som lyfter containrar mellan b˚at och kaj i en hamn. Denna kran rullar p˚a en räls som ligger utmed kajen. P˚a kra-nen sitter det ett trallhus som spreadern, den del av krakra-nen som fästs i containern, hänger under. Detta trallhus kan sedan flyttas fr˚an att vara över vatten/b˚at till att vara över land. Figur 1.1 visar de för rapporten viktiga delarna av en STS-kran.

(20)

4 Inledning

Figur 1.1.Skiss av de viktiga delarna p˚a en STS-kran. Figuren f¨orest¨aller en kran med

motortrallhus.

1.2.1 Motortrallhus eller lintrallhus

Kranen kan se ut p˚a ganska olika sätt, det kan t.ex. ha ett s˚a kallat motortrall-hus. Detta betyder att det sitter motorer i trallhuset som reglerar hur högt las-ten/spreadern hänger under trallhuset. Den kan även ha ett s˚a kallat lintrallhus. Detta betyder att det inte finns n˚agra motorer i trallhuset utan att alla motorer sitter i änden av kranen. Dit g˚ar d˚a även alla linor.

1.3 M¨

atning och reglering av STS-kran

Nedan ˚aterfinns n˚agra av de olika typer av reglering som finns p˚a en STS-kran.

1.3.1 M¨

atning

För att alla dessa typer av reglering ska vara möjlig s˚a krävs det att spreaderns position och vinkel mäts. Mätningen kan t.ex. göras med en robust infraröd sändare

(21)

1.3 M¨atning och reglering av STS-kran 5

som sitter p˚a spreadern. S¨andaren observeras av en CCD-sensor som med digital signalprocessor ger spreaderns l¨age och skew-vinkel.

1.3.2 Hoist-reglering

Den typ av reglering som styr hur linorna rullas ut och in för att höja och sänka lasten eller den tomma spreadern kallas hoist-reglering. Om det är en kran med motortrallhus sker höjningen av spreadern genom att linorna lindas upp i trallhuset. Om det däremot är en kran med lintrallhus s˚a lindas linorna upp i änden av kranen.

1.3.3 Sway-reglering

Den typ av reglering som ser till att ingen restpendling uppst˚ar när kranen flyttar sig fr˚an en plats till en annan kallas sway-reglering. Detta görs genom att reglera accelerationen hos kranen p˚a ett sätt s˚adant att pendlingen startas kontrollerat och sedan kontrollerat tas upp i returpendlingen varp˚a pendlingen försvinner. Här ¨

ar det allts˚a trallhuset som flyttas. Denna reglering kräver att pendeln uppför sig ungefär som en naturlig pendel för att systemet ska fungera bra.

1.3.4 Skew-reglering

När kranen utsätts för yttre förutsättningar som t.ex. vind s˚a kan spreadern vri-da sig i horisontalplanet. Den vinkel som d˚a uppst˚ar kallas skew-vinkel. Eftersom störningen normalt inte är konstant s˚a svänger spreadern tillbaka och d˚a uppst˚ar en torsionspendel. Denna skew-vinkel regleras med skew-regleringen.

Reglering handlar huvudsakligen om att reglera bort svängningar som uppst˚ar p.g.a. att en container är snett lastad eller p.g.a. vindstörningar. Det kan även vara aktuellt att kunna vrida lasten en aning d˚a fordon ibland kan st˚a n˚agot snett när de ska lastas.

1.3.5 Reglering av trim- och listvinkel

Det kan ibland vara relevant att kunna reglera trim- och listvinkel som är lutningen p˚a spreadern i förh˚allande till horisontallinjen i trallans färdriktning respektive vinkelrätt mot trallhusts färdriktning. Detta eftersom fartyg och andra fordon inte alltid st˚ar helt rakt. Ett fartyg kan t.ex. ha olika vinkel beroende p˚a hur det är lastat. Dessa vinklar kan delvis regleras med hjälp av de ställdon som finns för skewregleringen beroende p˚a var ställdonen placeras.

(22)

(23)

Kapitel 2

Problemformulering

P˚a STS-kranar där lasten hänger i linor l˚angt under själva kranen är det vanligt att en torsionspendling uppst˚ar p.g.a. olika störningar. Dessa störningar är ofta tidsödande att vänta ut och bör därför regleras bort. Detta har gjorts p˚a lägre kranar, s˚a kallade RMG-kranar, med lyckat resultat men det finns idag ingen metod för att göra detta p˚a STS-kranar.

Det är även önskvärt att regleringen klarar av att vrida spreadern n˚agra grader för att underlätta lastning och avlastning. Spreadern är den del av kranen som hänger i linorna och som griper tag i lasten. Anledningen till att det vore bra att kunna vrida lasten är att de fordon som fraktar bort containrarna ibland kan park-era n˚agot snett. Det vore önskvärt att slippa flytta p˚a dessa och därmed ytterligare öka effektiviteten.

2.1 M¨

ojliga typer av skew-reglering

Det finns ett flertal olika företag som har olika typer av skew-reglering för lite lägre kranar. N˚agon litteratur har inte hittats om s˚a stora kranar som det här handlar om.

Hur skew-regleringen sker lite mer exakt är sv˚art att veta eftersom de företag som har skew-reglering inte gärna vill berätta hur de gör, ˚atminstone inte vilken typ av regulator som används.

Det finns n˚agra t¨ankbara varianter p˚a reglering. Nedan f¨oljer tre olika typer av reglering.

Scenario 1. _{Det finns den typ som idag används p˚}_{a lägre kranar, där regleringen} sker genom förlängning och förkortning av linorna i trallhuset.

Scenario 2. _{En andra typ som används är att flytta p˚}_{a upphängningspunkterna} i trallhuset. Denna verkar i n˚agot fall användas i verkligheten men även här p˚a lägre kranar.

(24)

8 Problemformulering

Scenario 3. _{Den tredje, och som det verkar, oanvända varianten är där} linor-nas fästen, linskivorna, flyttas p˚a spreadern, den del av kranen som hänger under trallhuset och fäster i lasten. En nackdel med detta är att det ofta inte är samma företag som tillverkar spreadern som resten av kranen.

Alla dessa olika s¨att att reglera skew-vinkeln ska analyseras.

2.2 Tillv¨

agag˚

angss¨

att och m˚

als¨

attning

M˚alet med detta arbete är att komma fram till vilken typ av reglering och vilken typ av regulator som är lämpligast att att reglera en STS-kran med. Vilket scenario som är bäst är en sammanvägning av vilket som ger bäst egenskaper och dessutom hur enkelt det är att implementera. För att visa detta görs en teoretisk utredning där det g˚ar att se vilken typ av reglering som ger bäst resultat. Det görs även simuleringar som visar de olika regulatorernas/modellernas för- och nackdelar.

2.3 Specifikationer

För att kunna göra simuleringar under realistiska förh˚allanden krävs att dessa förh˚allanden är kända. Här nedan listas de förh˚allanden som har förutsatts och vilka krav som finns p˚a regleringen.

2.3.1 Krav

Kraven p˚a en tillfredst¨allande reglering ¨ar:

• Överslängen vid ett steg i börvärde f˚ar vara maximalt 5%, vid ett steg om maximalt ca 3 grader.

• Containern ska sättas ner inom ±0.2 grader, och därför h˚allas inom detta omr˚ade s˚a mycket som möjligt.

• Vid referens¨andring ska referensen n˚as inom ca 5 sekunder. (Med n˚as menas att den ¨ar inom ±0.2 grader.)

• En st¨orning orsakad av snett lastad container ska regleras ner inom ±0.2 grader p˚a en rimlig tid, ca 5 sekunder.

2.3.2 F¨

oruts¨

attningar

De givna förutsättningarna för systemet är:

• Referensen till skew-regulatorn är i 95% av fallen lika med noll. • En vindstörning kan göra att containern sticker iväg upp till 5 grader.

(25)

2.3 Specifikationer 9

• Vindst¨orningen har normalt ett frekvensinneh˚all som ger ˚aterkommande top-par med ca 1 minut och ca 4 dygns mellanrum.

• En snett lastad container kan ge upp till 10 grader oreglerad st¨orning. • Linl¨angden kan vara mellan 3 och 60 meter.

(26)

(27)

Kapitel 3

Modeller

För att kunna bedömma vilken typ av reglering som är den bästa har tre oli-ka modeller byggts. Dessa modeller används för att teoretiskt analysera och göra simuleringar för att analysera för- och nackdelar med de tre olika scenarierna. Det ¨

ar helt olika sätt att fysiskt reglera skew-vinkeln hos spreadern p˚a en STS-kran. De tre modeller som använts vid simuleringarna är:

Modell 1 Modellen utg˚ar fr˚an scenario 1 där linorna förlängs och förkortas parvis.

Modell 2 En modell som bygger p˚a reglering genom att flytta linornas upph¨ang-ningspunkter i trallhuset eller linskivorna p˚a spreadern, allts˚a scenario 2 och 3 i samma modell.

Modell 3 Ytterligare en modell som bygger p˚a reglering genom att flytta linor-nas upphängningspunkter i trallhuset eller linskivorna p˚a spreadern, scenario 2 och 3. Modell 3 skiljer sig fr˚an modell 2 genom att den även modellerar linornas tyngd. Alla dessa modeller best˚ar av tv˚a delar, en motormodell som sedan p˚averkar en pendelmodell. För att reglera systemet byggs en tillst˚andsmodell av dessa delar.

Skew-vinkeln för torsionspendlen hos kranen g˚ar att mäta med rimlig nog-grannhet. Även ställdonens position förutsätts kunna mätas.

3.1 Motormodell

Motormodellen ¨ar enkel och utg˚ar helt enkelt fr˚an en andra ordningens modell. ¨

Overföringsfunktionen för motorn är U(s) V(s) = M (s) = km s2_{+ k} ms , (3.1) 11

(28)

12 Modeller

där kmär en motorparameter, u är positionen p˚a skew-motorerna och v är

styrsig-nalen fr˚an regulatorn till motorn. Det finns även relevanta begränsningar p˚a mo-torn och den skew-skruv som den är ansluten till. Begränsningarna kan skrivas p˚a formen

|u| ≤ umax, | ˙u| ≤ ˙umax och |¨u| ≤ ¨umax. (3.2)

Denna motormodell anv¨ands i alla de tre modellerna men med olika begr¨ansningar.

Figur 3.1.Sett fr˚an sidan, de f¨or modell 1 intressanta delarna av en STS-kran. Variabeln

α ¨ar vinkeln mellan lodlinjen och linorna.

3.2 Modell 1

Den pendelmodell som anv¨ands f¨or att beskriva scenario 1 utg˚ar fr˚an en enkel torsionspendelmodell, med vinkeln mellan linorna och lodlinjen, α, som variabel

α(s) U(s)= P1(s) = Kk s2_{+ ω}2 1 (3.3) konstanterna Kk och ω1är specifika för varje pendelprocess eller kran som det här

handlar om. Se ¨aven figur 3.1 som visualiserar vinkeln α [4].

Eftersom det ¨ar skew-vinkeln, θ spreaderns vinkel i horisontalplanet relativt vilol¨aget, som vi egentligen vill reglera s˚a har ett samband mellan α och θ tagits

(29)

3.3 Modell 2 13

fram. Detta uttryck ser ut enligt

lα= rθ, (3.4)

där l är avst˚andet mellan spreadern och trallhuset och r är avst˚andet mellan spread-erns centrum och linskivornas fästpunkter. Detta uttryck utnyttjas vid jämförelser med de andra modellerna och för omräkning av referenssignalen.

3.2.1 Tillst˚

andsbeskrivning f¨

or modell 1

Motormodell och pendelmodell ger tillsammans tillst˚andsmodellen     ˙x1 ˙x2 ˙x3 ˙x4     | {z } ˙ x =     ˙u ¨ u ˙α ¨ α    =     0 1 0 0 0 −km 0 0 0 0 0 1 Kk 0 −ω21 0     | {z } A1 x(t) +     0 km 0 0     | {z } B1 v(t) (3.5a) y(t) =¡ 0 0 1 0 ¢ | {z } C1 x(t) (3.5b)

3.3 Modell 2

Vid lite närmare analys har det visat sig att scenario 2, där linornas upphängnings-punkter i trallhuset flyttas, och scenario 3, där linskivorna p˚a spreadern flyttas är mycket lika. Om inte linornas tyngd eller spänningen i linorna modelleras s˚a blir det modellmässigt ingen skillnad. Det har därför gjorts en gemensam modell för dessa tv˚a scenarion. Figur 3.2 beskriver de intressanta delarna av systemet.

Antag till en början att spreadern hänger i endast tv˚a linor. Linorna förutsätts vara masslösa. Om vinkeln mellan linornas plan och spreaderns absoluta vinkel kallas u, vinkelförändringen som ˚astadkoms m.h.a. motorerna, och spreaderns ab-soluta vinkel, skew-vinkeln, kallas θ, se figur 3.3, kan pendelprocessen modelleras med ¨ θ= ω22sin(u − θ) − γω2˙θ (3.6) där ω2= a r r g l. (3.7)

Parametern g är här tyngdaccelerationen, l är linornas längd, r är spreaderns tröghetsradie och a är halva avst˚andet mellan linorna. Parametern γ kallas van-ligtvis den dämpande faktorn, denna har satts till 0 vilket gör systemet n˚agot sv˚arare att reglera. Anledningen till att detta gjorts är dels att det inte finns n˚agon uppskattning p˚a hur stor γ är och dels att det i modell 1 inte finns n˚agon dämpning. Hur en rotationskran modelleras beskrivs i [8].

Denna modell generaliseras sedan till att gälla för det system som finns p˚a en STS kran, d.v.s. samma modell gäller även om det är 8 linor som hänger mellan

(30)

14 Modeller

Figur 3.2.De delar av en kran som är intrasanta för modell 2. Parametern m är massan

hos spreadern och lasten, α ¨ar vinkeln mellan linorna och lodlinjen. Variabeln θ ¨ar den

absoluta skew-vinkeln f¨or spreaderns och lastens massa.

trallhuset och spreadern. Enda egentliga skillnaden blir att a d˚a ¨ar n˚agot som kan liknas vid medelavst˚andet mellan linorna och den axel som allt snurrar runt.

För att kunna jämföra de olika typerna av reglering har a bestämts s˚a att ω2i

denna modell ¨ar det samma som ω1i modell 1. Detta eftersom frekvensen som det

verkliga oreglerade systemet svänger med naturligtvis inte beror p˚a vilken typ av modell som används, utan bara p˚a hur den verkliga kranen är byggd.

För att göra det möjligt att bygga LQG- och MPC-regulatorer till modellen har den linjäriserats. Väljs origo som arbetspunkt f˚as

¨

θ= ω22(u − θ) ⇒ (3.8)

¨

θ_{= −ω}2₂θ+ ω22u (3.9)

3.3.1 St¨

alldon-vinkelf¨

or¨

andring

Scenariona 2 och 3 bygger p˚a att linorna vrids antingen i trallhuset eller p˚a spread-ern. Detta ska göras med ställdon som är raka och inte svängda. Detta avsnitt härleder vilken vinkelförändring som uppn˚as med dessa.

(31)

3.3 Modell 2 15

θ

u− θ u

Figur 3.3.Beskriver vinklarna u och θ.

Ställdonen rör sig vinkelrätt mot spreaderns l˚angdsida enligt figur 3.4. Ställdonen kan flytta linskivan fr˚an C till C’. Resultatet av detta blir att spreadern vrider sig vinkeln θ. Detta eftersom om spreadern är symmetriskt lastad s˚a bevaras masscen-trum och spreadern vill höja sig s˚a lite som möjligt upp˚at. Det medför att punkten D, som ligger p˚a den cirkel som är ritad runt masscentrum och som g˚ar genom C, ska vara s˚a nära C’ som möjligt.

För att beräkna vilken vinkel, θ, som ett utslag u p˚a ställdonen ger upphov till s˚a approximeras cirkelb˚agen fr˚an C till D med ena sidan i triangeln med hörnen C, C’ och D. Denna lilla triangel har d˚a samma proportioner som den stora triangeln med kateterna a och b. Resonemanget ger upphov till

θ√a2_{+ b}2_{= CD ⇒ θ =} CD √ a2_+b2 a √ a2_+b2 = CD u ⇒ CD = ua √ a2_+b2 ) ⇒ θ = _a2_{+ b}a 2u. (3.10)

Approximationen som gjorts g¨or att uttrycket st¨ammer mycket bra vid sm˚a u men inte bra vid stora u.

Det ¨ar l¨ampligt att definiera ω2u enligt

ω2u=

a

a2_{+ b}2. (3.11)

Det ¨ar denna faktor, ω2u, som beskriver hur mycket ett utslag p˚a st¨alldonen i

(32)

16 Modeller

Figur 3.4. Spreadern sedd uppifr˚an. Skissen f¨orklarar hur linornas f¨astpunkter flyttas

vinkelr¨att mot spreaderns l˚angsida.

3.3.2 Tillst˚

andsbeskrivning f¨

or modell 2

F¨or de simuleringar som gjorts med pendelmodell 2 som grund, och samma motor-modell som i motor-modell 1, har en tillst˚andsmodell konstruerats. Denna ¨ar

    ˙x1 ˙x2 ˙x3 ˙x4     | {z } x =     ˙u ¨ u ˙θ ¨ θ    =     0 1 0 0 0 −km 0 0 0 0 0 1 ω2uω22 0 −ω22 0     | {z } A2 x(t) +     0 km 0 0     | {z } B2 v(t) (3.12a) y(t) =¡ 0 0 1 0 ¢ | {z } C2 x(t) (3.12b)

där kmär motorparametern p˚a samma sätt som i modell 1.

3.3.3 Simuleringar

I de modellbaserade regulatorerna används tillst˚andsmodellen (3.12) för att bygga regulatornerna. Simuleringsmodellen i sig utg˚ar däremot fr˚an den olinjära ekvatio-nen (3.6).

(33)

3.4 Modell 3, f¨orfinad modell 17

3.4 Modell 3, f¨

orfinad modell

Eftersom det fanns oklarheter om massan i linorna skulle p˚averka regleringen i modell 2 s˚a har en tredje modell byggts. Linornas tyngd modelleras här som en massa vid halva linlängden enligt figur 3.5. Sedan modelleras hela systemet som en stor torsionsdubbelpendel. Här görs först modellen för scenario 2 där linornas upphängningspunkter i trallhuset flyttas. Det g˚ar sedan att enkelt göra om denna modell s˚a att den istället beskriver scenario 3, där linskivorna flyttas p˚a spreadern. Modellen görs med variablerna α1och α2, för att sedan kunna reglera systemet

skrivs ekvationerna om s˚a att variablerna θ1 och θ2 och deras derivator anv¨ands

som tillst˚andsvariabler, se figur 3.5. Hur en dubbelpendel modelleras beskrivs i [9], hur en enkel torsionspendel modelleras beskrivs i [1] och hur det g˚ar att styra en torsionspendel genom att vrida p˚a lasten beskrivs i [8].

3.4.1 Modell 3a: f¨

orfinad modell

Modell 3a, som beskriver scenario 2, bygger i grunden p˚a de uttryck för läge och hastighet som ställs upp här nedan. Figur 3.5 förklarar delvis var dessa uttryck kommer fr˚an och vad parametrarna st˚ar för [9]. Variablerna h1och h2är avst˚andet

mellan trallhuset och massorna m1 respektive m2, v1 och v2 ¨ar dessa massors

hastigheter.

h1= −l1cos α1 (3.13a)

h2= −l1cos α1− l2cos α2 (3.13b)

v1= (l12˙α21+ 2r1l1˙u ˙α1cos α1+ r12˙u2) 1

2 (3.13c)

v2= (l21˙α21+ r21˙u2+ l22˙α22+ 2r1l1˙u ˙α1cos α1

+ 2l1l2˙α1˙α2cos(α1− α2) + 2r1l2˙u ˙α2cos α2) 1

2 (3.13d)

Parametern r1 ¨ar avst˚andet mellan centrum av pendeln och pendelns linor i den

övre torsionspendeln. Parametrarna l1 och l2 är linlängden i den övre respektive

undre pendeln. De ¨ar naturligtvis lika stora i detta fall eftersom m1 ¨ar placerad

efter halva linl¨angden.

Den potentiella energin f¨or systemet ¨ar

V = m1gh1+ m2gh2= −(m1+ m2)gl1cos α1− m2gl2cos α2. (3.14)

Den kinetiska energin f¨or systemet ¨ar T= 1 2m1v 2 1+ 1 2m2v 2 2= 1 2m1(l 2

1˙α21+ 2r1l1˙u ˙α1cos α1+ r21˙u2) +

1 2am2((l

2 1˙α21

+ r21˙u2+ l22˙α22+ 2r1l1˙u ˙α1cos α1+ 2l1l2˙α1˙α2cos(α1− α2) + 2r1l2˙u ˙α2cos α2).

(34)

18 Modeller

Figur 3.5. De delar av en kran som är intressanta för modell 3. Parametern m1 är

massan hos linorna samlad p˚a mitten av linorna, m2¨ar massan hos spreadern och lasten.

Variablerna α1 och α2 ¨ar vinklarna mellan linorna och lodlinjen. Variabeln θ1 ¨ar den

absoluta skew-vinkeln för linorna, och θ2 är skew-vinkeln för spreadern, m2.

Parametern a är i (3.15) en parameter som beskriver relationen mellan tröghetsradien för lasten och avst˚andet mellan linorna. Parametern ω2ubeskriver vilken vinkel ett

utslag p˚a ställdonen orsakar enligt avsnitt 3.3.1. Tillst˚andet u är den vridning av linornas upphängningspunkter i trallhuset som ˚astadkoms med hjälp av motorerna. Lagrangeformalism ger nu tillst˚andsekvationerna, se Bilaga A och [3]. Parametrar-na ω3a beror av kranens dimensioner och definieras i Bilaga A.

(35)

3.5 Diskussion om modellerna 19

3.4.2 Tillst˚

andsbeskrivning f¨

or modell 3a

       ˙ x1 ˙ x2 ˙ x3 ˙ x4 ˙ x5 ˙ x6        | {z } ˙ x =         ˙ u ¨ u ˙ θ1 ¨ θ1 ˙ θ2 ¨ θ2         =        0 1 0 0 0 0 0 −km 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ω2uω3a112 0 −ω3a112 0 ω 2 3a12 0 0 0 0 0 0 1

−ω2uω3a212 0 ω23a21 0 −ω23a22 0        | {z } A3a x(t) +        0 km 0 0 0 0        | {z } B3a v(t) (3.16a) y(t) =¡ 0 0 1 0 1 0 ¢ | {z } C3a x(t) (3.16b)

3.4.3 Modell 3b: f¨

orfinad modell

Skillnaden mellan scenario 2 och 3 i modell 3, är att i scenario 2 p˚averkar ställdonen den övre torsionspendeln, medan de i scenario 3 p˚averkar den undre torsionspendeln. För att ändra modellen s˚a att den beskriver scenario 3 s˚a flyttas p˚averkan i mod-ellen fr˚an den övre torsionspendeln till den undre.

3.4.4 Tillst˚

andsbeskrivning f¨

or modell 3b

       ˙ x1 ˙ x2 ˙ x3 ˙ x4 ˙ x5 ˙ x6        | {z } ˙ x =         ˙ u ¨ u ˙ θ1 ¨ θ1 ˙ θ2 ¨ θ2         =        0 1 0 0 0 0 0 −km 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ω2uω23b12 0 −ω23b11 0 ω23b12 0 0 0 0 0 0 1 −ω2uω23b22 0 ω3b212 0 −ω3b222 0        | {z } A3b x(t) +        0 km 0 0 0 0        | {z } B3b v(t) (3.17a) y(t) =¡ 0 0 1 0 1 0 ¢ | {z } C3b x(t) (3.17b)

3.4.5 Simuleringar

Vid de simuleringar som gjorts för modell 3 har tillst˚andsmodellerna enligt avsnitt 3.4.2 och 3.4.4 använts för att göra LQG- och MPC-regulatorerna. Den har även använts som simuleringsmodell, d˚a kompletterad med de olinjäriteter som finns i motormodellen.

3.5 Diskussion om modellerna

Här följer funderingar och konstateranden om de olika modellernas för- och nack-delar.

3.5.1 Noggrannhet hos modellerna

Modellerna tar hänsyn till lite olika saker. Modell 1 tar hänsyn till elasticiteten i linorna, vilket inte görs i modell 2 och 3. Det gör däremot inte att de modellerna

(36)

20 Modeller

är sämre. Modell 1 bygger p˚a att mer kraft läggs p˚a tv˚a av linparen medan mindre kraft läggs p˚a tv˚a av dem. Detta resulterar oundvikligt i att de linpar som f˚ar mer kraft förlängs medan de linpar som f˚ar mindre kraft blir kortare. Det är därför viktigt att elasticiteten i linorna finns med i modell 1. Det är däremot inte viktigt att ta med det i modell 2 och 3 eftersom i dessa modeller inte bygger p˚a att n˚agot linpar f˚ar mer kraft än de andra.

Modell 3 tar hänsyn till linornas tyngd, vilken kan vara betydande vid sto-ra linlängder. Modell 2 gör inte det och är därmed mindre noggsto-rann. Det säger däremot inte n˚agot jämfört med model 1 som inte bygger p˚a att linorna flyttas p˚a alls samma sätt som i modell 2 och 3. När vi drar i linorna som i modell 1 uppst˚ar inte samma typ av skew-svängningar som det gör i modell 2 och 3 där linorna flyttas ˚at sidorna.

3.5.2 St¨

alldon

Olika ställdon har inte utvärderats i detta arbete. En motormodell har använts i alla modellerna (se avsnitt 3.1). Det har förutsatts att det används elektriska ställdon i alla modellerna. Det är därmed inte sagt att n˚agon annan typ inte skulle kunna fungera istället, det är mycket möjligt att det t.ex. skulle fungera bra med hydraliska ställdon, men detta är inte utrett.

3.5.3 Motortrallhus eller lintrallhus

Detta arbete behandlar huvudsakligen en STS-kran med motortrallhus.

För modell 2 och 3 har det inte n˚agon större betydelse om det istället skulle vara en kran med lintrallhus. Det kan möjligen vara n˚agot sv˚arare att hitta lämpliga mekaniska lösningar.

För modell 1 har detta stor betydelse, eftersom modell 1 bygger p˚a att det blir en ökad kraft i tv˚a av linparen medan det blir en minskad i tv˚a av dem. Om linorna är längre s˚a ger detta systemet en större fjäderverkan i linorna och effekten av en förlängning eller förkortning av linorna blir d˚a mindre. Detta ger en märkbar effekt och det behövs d˚a betydligt större ställdon för att klara av en rimlig skew-reglering när kranen har lintrallhus.

3.6 St¨

orningar

Det som har störst betydelse hos regulatorerna är hur de klarar av att hantera olika störningar, främst vind, och att containrar är osymmetriskt lastade. Det förefaller mest realistiskt att p˚aföra störningen till accelerationstillst˚andet i pendelmodellen. Detta eftersom vinden p˚averkar containern med en kraft som överförs till en accel-eration. Liknande resonemang gäller med en snett lastad container.

(37)

3.6 St¨orningar 21

3.6.1 Vindst¨

orning

Variationen i vindhastighet p˚a bara en punkt är ett mycket komplext fenomen som utreds utförligt i litteraturen. Bruset har ofta ett energispektrum med tv˚a dominerande toppar, en med en period om ca 4 dagar och en med en period p˚a ca en minut [5]. För att simulera denna störning har vitt bandbegränsat brus körts genom ett filter. Detta ger ett spektrum med en topp runt ca 1 min. Den topp som finns med en period av 4 dagar f˚ar modelleras genom att storleken p˚a störningen ¨

andras mellan simuleringarna och antas konstant under simuleringen. Intensiteten väljs s˚a att störningen blir maximalt 5 grader vilket är den storlek p˚a störningen som regleringen ska klara av enligt kapitel 2.3.2.

3.6.2 Framkoppling av vindst¨

orning

Det har visat sig efter litteraturstudier att det normalt inte är möjligt att göra n˚agon form av framkoppling för att f˚a bort vindstörningar, [5]. Detta eftersom det ofta är olika vindintensitet vid olika punkter och det är sv˚art att mäta p˚a det ställe som p˚averkar torsionspendeln p˚a kranen. Det bildas även ofta omfattande turbu-lens runt den typ av byggnader som en kran är. Turbuturbu-lens är ett mycket komplext fenomen som inte lätt g˚ar att modellera p˚a ett tillfredställande sätt.

3.6.3 Modell av vindst¨

orning

Den vindmodell som används vid simuleringarna bygger p˚a att vitt brus skickas in i ett filter av andra ordningen. Störningens spektraltäthet ser ut enligt

Φ(s) = Kv

1 + T s2 (3.18)

där Kv och T är konstanter som beror p˚a hur miljön är där just den här kranen

st˚ar. Parametern T har vid simuleringarna uppskattats grovt till 100. Vilket ger en amplitudtopp inom rätt omr˚ade. Att just detta filter används, bland m˚anga andra möjliga vindfilter, beror till stor del p˚a att det är ett rationellt filter, vilket m˚anga av de filter som används för att efterlikna vind inte är. Det ger även en rörelse hos pendeln som verkar rimlig. Vindstörningen skalas sedan ner till lämplig storlek för att ge svängningar som i amplitud liknar de som uppst˚ar för den verkliga kranen. Detta torde ge en bra bild av hur systemet skulle reagera p˚a vind i verkligheten.

3.6.4 Modell av lastst¨

orning

En tänkbar mycket stor bidragare till att torsionspendel och skew-vinkel uppst˚ar är att en container är snett lastad. D˚a trallhuset, spreadern och containern sedan accelerar, t.ex. fr˚an en b˚at till land uppst˚ar en torsionspendel. Det samma sker sedan när den stannar igen för att ställa ner containern p˚a t.ex. n˚agon form av fordon. Denna torsionspendling kan vara mycket tidsödande att vänta ut och bör allts˚a regleras ut.

(38)

22 Modeller

För att efterlikna störningen av en snett lastad container s˚a har en determinis-tisk signal använts. Denna best˚ar av tv˚a pulser som ligger ganska nära varandra ˚at ena h˚allet och sedan efter en liten stund tv˚a pulser ˚at andra h˚allet. Detta för att efterlikna hur systemet regleras i verkligheten. Figur 3.6 visar hur störningen som additivt p˚aförs skew-vinkelns acceleration ser ut. Störningen skalas s˚a att skew-vinkeln blir maximalt ca 10 grader utan reglering. Detta är kravet p˚a regleringen enligt avsnitt 2.3.2. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 −1 0 1 S tö rn in g t(s)

(39)

Kapitel 4

Regulatorer

I detta arbete har tv˚a olika typer av regulatorer designats. Dels regulatorer av LQG-typ (Linear Quadratic Gaussian Control) som behandlas i avsnitt 4.1. Och dels MPC-typ (Modell Predictive Control) som behandlas i avsnitt 4.2. B˚ada dessa typer av regulatorer kräver tillg˚ang till alla tillst˚anden och eftersom alla tillst˚and inte mäts s˚a m˚aste dessa skattas. Skattning av tillst˚and behandlas i avsnitt 4.4. För att dämpa höga frekvenser p˚a referensen har dessa regulatorer även kompletterats med ett l˚agpassfilter p˚a referenssignalen, detta behandlas i avsnitt 4.3.

4.1 LQG-reglering

En LQ-regulator är en optimal tillst˚ands˚aterkoppling och om bruset förutsätts var vitt gaussiskt blir det en LQG (Linear Quadratic Gaussian) regulator. Tillst˚ ands-˚aterkopplingen fungerar s˚a att

v(t) = Lx(t) (4.1)

där v är insignalen till motordelen och L är den vektor som minimerar kriteriet J(Q1, Q2) =

Z

((zT_(t)Q

1z(t)) + vT(t)Q2v(t))dt. (4.2)

Vektorn z är v˚ar reglerstorhet. Vi önskar beskriva z som en linjärkombination av systemets tillst˚and enligt

z(t) = M x(t) (4.3)

d¨ar M ¨ar en konstant matris med samma antal element som x [6].

4.1.1 Referensf¨

oljning

Eftersom vi vill följa ett referensvärde p˚a skew-vinkeln lägger vi till referensen som ett extra sista tillst˚and, x5 i modell 1 och 2 eller x7 i modell 3. Vektorn M väljs

(40)

24 Regulatorer

sedan s˚a att skillnaden mellan skew-vinkeln och dess referens minimeras. Enligt

M =¡ 0 0 1 0 −1 ¢ (4.4a)

f¨or modell 1 och 2 respektive

M =¡ 0 0 1 0 1 0 −1 ¢ (4.4b)

f¨or modell 3.

I modell 1 är det vinkeln mellan linorna och lodlinjen, α, och dess derivata som används som tillst˚andsvariabler. För att göra det möjligt att följa referensen p˚a skew-vinkeln räknas referensen om till en referens p˚a α enligt

rθ= lα. (4.5)

Här är l linlängden och r avst˚andet mellan linorna och spreaderns mitt.

4.1.2 Designparametrarna hos LQG-regulatorerna

De designparametrar som m˚aste bestämmas för regulatorn är Q1 och Q2. Dessa

¨

ar h¨ar skal¨arer. Efter ett antal testsimuleringar har konstaterats att Q1 ska vara

betydligt större än Q2. Detta medför att reglerfelet straffas betydligt kraftigare

¨

an styrsignalen. H¨ar kan noteras att det endast ¨ar kvoten mellan Q1 och Q2 som

p˚averkar regulatorn. Under de simuleringar som genomf¨orts har de designparame-trar som listas i tabell 4.1 anv¨ants.

Modell 1 Modell 2 Modell 3

Q1 5 · 106 500 100

Q2 1 1 1

Tabell 4.1.Designparametrarna som anv¨ands vid simuleringarna med LQG-regulator.

4.1.3 LQG-regulator som ¨

overf¨

oringsfunktion

En LQG-regulator är en linjär tillst˚ands˚aterkoppling i det utförande som den är implementerad här. Det g˚ar därför att skriva om kalmanfiltret och LQG-regulatorn som en överföringsfunktion mellan varje utsignal fr˚an systemet till styrsignalen. Studeras överföringsfunktionen ses att dessa regulatorer relativt enkelt skulle g˚a att implementera som just överföringsfunktioner istället. Ett förväntat problem är hur dessa överföringsfunktioner ska räknas om beroende p˚a linlängd och andra parametrar som ändras i modellen.

4.2 MPC-reglering

En regulator byggd enligt teori för Modell Predictive Control i fortsättningen förkortat MPC är en regulator som explicit tar hänsyn till fysikaliska begränsningar

(41)

4.2 MPC-reglering 25

som t.ex. en begränsning av utsignalen. Regulatorn predikterar vad som ska hända ett visst antal sampel fram˚at och försöker i varje tidpunkt förutsp˚a hur den ska reglera fram till en tidshorisont. Det är en helt tidsdiskret reglermetod. MPC-regulatorn försöker reglera s˚a att ett prestandam˚att minimeras, medan den upp-fyller de bivillkor som är satta p˚a systemet, t.ex. en begränsning av styrsignalen.

Hur MPC-regulatorn fungerar och hur den är framtagen beskrivs mera utförligt i Bilaga B. Regulatorn har tv˚a prediktionshorisonter, en som beskriver hur l˚angt fram˚at som den beräknar systemet Ny och en som beskriver hur l˚angt fram˚at den

ber¨aknar styrsignalen Nv [2].

4.2.1 Val av prestandam˚

att

Det prestandam˚att som anv¨ands i den slutgiltiga regulatorn ¨ar

min Ny−1 X j=0 ||y(k + j + 1)||2 Q1+ N v−1_X j=0 ||v(k + j)||2 Q2. (4.6)

N¨ar ekvation (4.6) skrivs om till vektorform f˚as min

V (C(Hx(k) + SV )) T_Q

1(C(Hx(k) + SV )) + VTQ2V, (4.7)

d¨ar C, H, S, V , Q1, Q2 ¨ar definerade i Bilaga B.

Ekvation (4.7) skrivs sedan om till den form som ett kvadratiskt programmer-ingsproblem normalt anges p˚a, vilket ¨ar

min V 1 2V T_((CS)T_Q 1CS+ Q2)V + (STCTQ1CHx(k))TV. (4.8)

4.2.2 Algoritm

Den algoritm som används i MPC-regulatorn är 1. Skatta x(k) med observatör.

2. Beräkna styrsignalsekvensen v(·) genom att lösa (4.8) under givna bivillkor. 3. Applicera första elementet v(k) i styrsignalssekvensen.

4. ¨Oka tidsindex, k:=k+1. 5. Repetera fr˚an steg 1.

4.2.3 Reglering av torsionspendel

För att kunna sätta begränsningar även p˚a motorns läge x2och motorns hastighet

(42)

26 Regulatorer

modellen. Detta g˚ar d˚a även att sätta straff även p˚a annat än skew-vinkeln, vilket har en stabiliserande effekt. Matriserna är för modell 1 och 2

Cmpc=     1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 1 0     (4.9a)

och f¨or modell 3

Cmpc3=           1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 −1           . (4.9b)

För modell 1 och 2 gör matrisen att alla tillst˚anden ses som utsignaler, bortsett fr˚an skew-vinkeln som subtraherad med dess referens ses som en utsignal. För modell 3 ger matrisen att alla tillst˚anden samt skew-vinkeln minus dess referens ses som utsignaler.

4.2.4 Designparametrar

Prediktionshorisonten är en designparameter och väljs normalt s˚a att man f˚ar med ett typiskt insvängningsförlopp. Vid de simuleringar som har genomförts har sam-plingstiden för MPC regulatorn satts till 0.10-0.25s och Ny har tagits i ganska

ordenligt till 80 medan Nv har satts till mellan 5 och 12 beroende bl.a. p˚a

sam-plingstiden och ¨aven delvis datorn och hur l˚ang tid simuleringen till˚ats ta. Sam-plingstiden 0.1 och Nv= 10 ger t.ex. ber¨akningar som en normal PC klarar av att

g¨ora n˚agot snabbare ¨an realtid.

Vid simuleringarna har Q1valts till en diagonalmatris. Eftersom det ¨ar endast

en insignal fr˚an regulatorn till systemet s˚a ¨ar Q2 en skal¨ar. D˚a alla tillst˚and f˚as

som utsignaler fr˚an systemet, enligt modellen f¨or MPC-reglering, s˚a ¨ar Q1en 4

×4-matris, för modell 1 och 2, och en 7 × 7-matris för modell 3. Det är dock endast det tredje diagonalelementet som är nollskilt för modell 1 och 2 eftersom det endast är x3, α respektive θ, som skall följa referenssignalen och därmed straffas. I modell 3 är

det det sista diagonalelementet som är nollskilt för att straffa skew-vinkelavvikelse fr˚an referensen. Det har visat sig vara fördelaktigt om även det 5:e diagonalele-mentet är n˚agot större än noll. Läget i den undre torsionspendeln straffas d˚a lite extra. Detta ger en dämpande effekt som förhindrar att linmassan börjar svänga p.g.a. en störning.

De designparametrar som anv¨ants under simuleringarna med MPC-regulatorn listas i tabell 4.2.

(43)

4.3 Filtrering av referenssignalen 27

T 0.1 0.1 0.1 Ny 80 80 80 Nv 10 10 10 Q1     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 · 104 ₀ 0 0 0 0         0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 · 104 ₀ 0 0 0 0                0 · · · 0 . . . . .. 0 . . . 3 0 0 0 · · · 0 3 · 104            Q2 1 1 1

Tabell 4.2.Designparametrarna som anv¨ands vid simuleringarna med MPC-regulator.

4.2.5 Ovrigt om MPC

¨

Det kan noteras att en MPC-regulator endast räknar p˚a vad som händer i sam-lingspunkterna. Därför kan bivillkoren ibland brytas, men ej i sampsam-lingspunkterna. Detta gäller ˚atminstone om modellen stämmer för systemet, annars är det sv˚art att säga vad som händer.

4.3 Filtrering av referenssignalen

Alla regulatorerna har kompletterats med l˚agpassfilter p˚a referenssignalen. Detta för att f˚a en mindre översläng vid ett steg p˚a referenssignelen. Det gör det möjligt att göra regulatorn känsligare s˚a att den reagerar och reglerar ut störningar fortare. L˚agpassfiltret som använts är av första ordningen och har överföringsfunktionen

GLP =

1 sTLP + 1

. (4.10)

Filtret har allts˚a den stationära förstärkningen 1 och om TLP sätts till ca 0.9 ger

det lämplig dämpning av de första sekunderna p˚a ett steg.

4.4 Tillst˚

andsrekonstruktion

B˚ade LQG- och MPC-regulatorn kräver tillg˚ang till alla tillst˚anden i modellen. Eftersom det bara är skew-vinkeln, θ, och ställdonens position, u, som g˚ar att mäta m˚aste de övriga tillst˚anden skattas med hjälp av tillst˚andsrekonstruktion. Systemet skrivs enligt notationen i (4.11). Störningarna w1 och w2 är vitt brus

som p˚averkar modellen.

˙x = Ax + Bv + N w1 (4.11a)

(44)

28 Regulatorer

Eftersom inte alla tillst˚and mäts s˚a m˚aste n˚agra av dem skattas. Detta görs med hjälp av en observatör. Tillst˚anden uppdateras enligt

˙ˆx(t) = Aˆx(t) + Bv(t) + K(y(t) − Cˆx(t)) (4.12) Här är K en n ×p matris, där n är antalet styrsignaler till systemet och p är antalet tillst˚and i modellen. Denna väljs s˚a att skattningsfelet

˜

x_{(t) = x(t) − ˆx(t)} (4.13)

minimeras. Enkla manipulationer av (4.12) och (4.13) ger

˙˜x(t) = (A − KC)˜x(t) + Nw1(t) − Kw2(t) (4.14)

Vi ser att K p˚averkar felet p˚a tv˚a sätt. Dels p˚averkas matrisen A − KC hur snabbt effekter fr˚an gamla fel klingar av. Ur denna synpunkt bör A − KC ha egenvärdena l˚angt inne i stabilitetsomr˚adet. Dels inverkar K p˚a felet genom att mätstörningen w2 multipliceras med K. Ett stort K ger allts˚a en stor inverkan fr˚an mätfelet.

I praktiken blir allts˚a valet av K en avvägning mellan hur snabbt man vill att tillst˚andsrekonstruktionen skall ske och hur stor känslighet för mätstörningar som kan tolereras [6].

4.4.1 Kalmanfilter

Som p˚apekades ovan är valet av K i observatören en avvägning mellan känslighet för att luras av mätstörningar och följsamhet med systemstörningarnas inverkan. Känner vi störningarnas egenskaper kan denna avvägning formaliseras. Med hjälp av ekvation (4.14) kan variansen p˚a skattningsfelet beräknas [6]. Om

· w1

w2

¸

(4.15) ¨ar okorrelerat vitt brus med intensitet

·

R1 0

0 R2

¸

(4.16) s˚a blir ¨aven N v1− Kv2 vitt brus, men med intensiteten

R= N R1NT + KR2KT (4.17)

Om K v¨aljs enligt

K= P CT_R−1

2 (4.18)

där P är lösningen till riccatiekvationen AP + P AT_{− (P C}T_)R−1

2 (P CT)T+ N R1NT = 0 (4.19)

minimeras skattningsfelet enligt sats 5.4 i [6].

Det kan ¨aven noteras att det minimala skattningsfelets varians ges av

(45)

4.4 Tillst˚andsrekonstruktion 29

4.4.2 Implementering

Kovariansmatrisen P och kalmanförstärkningen K kan beräknas utifr˚an A, N , C, R1 och R2 p˚a godtyckligt sätt.

De straffmatriser R1 och R2 som anv¨ants vid simuleringar med de olika

mod-ellerna listas i tabell 4.3.

R1 5 · 105 106 105 R2 · 109 ₀ 0 102 ¸ · 107 ₀ 0 103 ¸ · 107 ₀ 0 102 ¸

(46)

(47)

Kapitel 5

Resultat

I detta kapitel redovisas resultatet av de olika undersökningarna. Avsnitt 5.1 re-dovisar ett teoretiskt resonemang med utg˚angspunkt fr˚an modellerna. Resultatet av de simuleringar som gjorts redovisas i avsnitt 5.2. Hur de olika regulatorerna och modellerna klarar av kraven som finns p˚a regleringen redovisas i avsnitt 5.3. Avsnitt 5.4 redovisar och kommenterar bodediagrammen för modellerna. Till slut diskuteras känslighetsfunktionerna för modellerna reglerade med LQG-regulatorer i avsnitt 5.5.

5.1 Resonemang med utg˚

angspunkt fr˚

an

modeller-na

Modellerna som har byggts styrs p˚a helt olika s¨att och har olika tillst˚andsvariabler och utsignaler, α eller θ. Mellan dessa finns dock det linj¨ara sambandet

θ= l

rα (5.1)

där r är avst˚andet mellan spreaderns centrum och där linskivan är fäst, och l är linornas längd. Uttrycket gör att modellerna kan jämföras p˚a ett enkelt sätt. Modell 1 skrivs helt enkelt om s˚a att även den f˚ar θ som tillst˚andsvariabel. Det är främst modell 1 och 2 som jämförs här. Modell 3 är mera en förfining av modell 2 och faller därför under samma resonemang.

Det som jämförs är den statiska förstärkningen mellan utslaget p˚a ställdonen och vilken stationär förändring som detta ger p˚a skew-vinkeln, θ. Modellernas topp för vinkelfrekvensen ger ungefär vilken frekvens som pendeln svänger med. Efter-som frekvensen pendeln svänger med är oberoende av var ställdonen placeras och hur modellen är uppbyggd, har modell 1 och 2 anpassats till att ge samma vinkel-frekvens som topp.

Den statiska förstärkningen för pendelmodell 1 varierar för n˚agorlunda l˚anga 31

(48)

32 Resultat

linl¨angder ¨over ca 20 meter enligt σ1≈

µb

lm. (5.2)

Variablen l är här linlängden, m är massan hos spreadern och ev. last och b är skill-naden mellan placeringen av linornas upphängningspunkter i trallhuset respektive p˚a spreadern. Konstanten µ beror av kranens dimensioner och skiljer sig mellan olika kranar. För modell 2 beror den statiska förstärkningen inte av linlängden utan ¨

ar konstant,

σ2= ω2u. (5.3)

5.1.1 Testfall l˚

anga linor

Vid ett testfall vid 50 meters linl¨angd, full last (50 ton) och b satt till 0.8 f˚as σ1≈ 2.2

för modell 1 och för modell 2 σ2≈ 0.3. Det behövs allts˚a ett ca sju g˚anger s˚a stort

utslag p˚a st¨alldonen med modell 2 som med modell 1 f¨or att p˚averka skew-vinkeln lika mycket.

Intressant är att möjligheten att styra systemet är oberoende av lastens stor-lek i modell 2 medan det i modell 1 minskar med ökande last. Likadant minskar möjligheten att styra systemet med ökande linlängd i modell 1 medan det i modell 2 inte beror av linlängden. För att kunna p˚averka modellen lika mycket s˚a krävs det att linorna skulle vara 350 meter vilket är orimligt i den här tillämpningen.

Modell 2 beror inte av b medan möjligheten att p˚averka i modell 1 ökar med ökande b.

5.2 Simuleringsresultat

Som tidigare nämnts har simuleringar gjorts med de modeller som finns i kapitel 3. Simuleringarna inkluderar störningar, även dessa fr˚an kapitel 3. Vid simuleringarna har de regulatorer som redovisas i kapitel 4 använts.

5.2.1 St¨

orning p.g.a. vind vid l˚

anga linor

Vi har främst studerat hur spreadern och en eventuell container p˚averkas av vin-den. För att simulera detta har modellerna utsatts för en störning p˚a det sätt som diskuterades i kapitel 3.6. När modellen vid 50 meters linlängd blir utsatt för störningen utan reglering blir skew-vinkelförändringen enligt figur 5.1.

När regulatorerna appliceras p˚a modell 1 blir resultatet enligt figur 5.2. Det är en stor skillnad mot det oreglerade systemet. Skillnaden mellan om systemet regleras med LQG- eller MPC-regulator är här klart märkbar men inte enorm. MPC-regleringen klarar inte riktigt av de uppsatta kraven medan LQG-regleringen gör det p˚a ett tillfredställande sätt. Variansen för signalerna är med MPC-reglering 0.016 och med LQG-reglering 0.004 vilket gör det mera uppenbart att LQG-regler-ingen klarar detta fall bäst.

(49)

5.2 Simuleringsresultat 33 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 −6 −4 −2 0 2 4 6 θ (g ra d e r) t(s)

Figur 5.1.Hur modell 1 reagerar p˚a en vindst¨orning utan reglering.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 θ (g ra d e r) t(s) MPC-reglerad LQG-reglerad Krav

Figur 5.2. Hur modell 1 reagerar p˚a en vindst¨orning med MPC- respektive

LQG-regulator.

En vindstörning p˚a modell 2 applicerad p˚a samma sätt som i modell 1 ger ett mycket sämre resultat. Spreadern vrider sig p˚a ett oacceptabelt sätt och är inte nära att uppfylla kraven. Men regleringen fungerar, den minskar ner störningen jämfört med den oreglerade men inte alls tillräckligt mycket för att vara tillfredsställande. Ställdonen klarar helt enkelt inte av att p˚averka pendelmodellen i den grad som skulle behövas.

(50)

34 Resultat

Modell 3 klarar inte en vindstörning p˚a ett tillfredsställande sätt utan svänger med marginal utanför kravet. Precis som för modell 2 minskas dock störningen fr˚an det oreglerade.

5.2.2 Snett lastad container

När en container är snett lastad ger det en relativt förutsägbar störning som har gjorts försök att efterlikna p˚a bästa sätt, se avsnitt 3.6.4. Om modellen inte regleras med n˚agon regulator s˚a f˚as en skew-vinkelförändring enligt figur 5.3 för en linlängd p˚a 50 meter. 0 10 20 30 40 50 60 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12 θ (g ra d e r) t(s)

Figur 5.3.Hur modell 1 reagerar p˚a en snett lastad container utan reglering.

När modell 1 regleras med LQG-regulatorn f˚as skew-vinkelförändringen enligt figur 5.4. Det sker allts˚a en betydande förändring jämfört med det oreglerade fallet. B˚ade MPC- och LQG-regleringen uppfyller kraven men LQG-regleringen ger ett betydligt bättre resultat.

Modell 2 och 3 klarar varken med LQG- eller MPC- reglering att reglera bort en störning som orsakas av en snett lastad container p˚a ett rimligt sätt. Det tar alldeles för l˚ang tid att reglera bort störningen för att det ska vara ett tillfredsställande resultat.

5.2.3 Steg p˚

a referensen

Regulatorerna ska klara av steg p˚a referenssignalen p˚a ett rimligt sätt. Detta för att kunna vrida lasten n˚agot vid vissa tillfällen.

Modell 1 klarar b˚ade med LQG- och MPC-reglering av att ge ett rimligt stegsvar. I detta fall är steget 3 grader vilket är ungefär s˚a mycket som det är rimligt att vrida spreadern p˚a detta sätt. Hur steget ser ut visas i figur 5.5.

(51)

5.2 Simuleringsresultat 35 0 10 20 30 40 50 60 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 θ (g ra d e r) t(s) MPC-reglerad LQG-reglerad Krav

Figur 5.4.Hur modell 1 reagerar p˚a en snett lastad container med MPC- respektive

LQG-regulator. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 θ (g ra d e r) t(s) Referens MPC-reglerad LQG-reglerad Krav

Figur 5.5.Ett stegsvar av modell 1 med MPC- respektive LQG-regulator.

Ställdonen hos modell 2 och 3 klarar inte av att ge tillräckligt stor p˚averkan p˚a modellerna innan de sl˚ar i ändlägena. Detta gör att ett steg p˚a 3 grader, vilket var kravet, inte kan ˚astadkommas.

(52)

36 Resultat 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 θ (g ra d e r) t(s) Referens Modell 1 Modell 2 Krav

Figur 5.6.Ett stegsvar av modell 1 och 2 reglerad med LQG-regulator samtidigt som

den är utstatt för vindstörning.

5.2.4 Steg och vind

Det är inte realistiskt att kranen i verkligheten blir utsatt för endast en typ av p˚averkan i taget. Därför har modell 1 och 2 utsatts för vindstörningen och ett steg p˚a referenssignalen samtidigt, resultatet visas i figur 5.6. För att modell 2 överhuvudtaget ska klara av att ge den skew-vinkelförändring som önskas s˚a har ställdonens maxläge, umax, för modell 2 satts till det dubbla mot modell 1. Modell 1

klarar simuleringen p˚a ett tillfredställande sätt medan modell 2 sticker iväg utanför de krav som finns.

5.3 Krav

Efter simuleringar kan vi sluta oss till att reglering enligt scenario 2 och 3 inte skulle klara av att reglera systemet enligt kraven med n˚agon regulator. Möjligheten att p˚averka skew-vinkeln med rimligt stora ställdon är helt enkelt för liten. Reglering enligt scenario 1 ser däremot ut att klara av detta. Det krävs att skillnaden mellan linornas avst˚and p˚a spreadern respektive i trallhuset är relativt stort, det är tvek-samt om detta avst˚and kan vara s˚a stort som önskas hela tiden. Det är d˚a troligt att denna reglering m˚aste kompletteras med ytterligare en rörlig del som flyttar ut linfästena i trallhuset när spreadern är l˚angt fr˚an trallhuset.

5.4 Bodediagram

Om bodediagrammen ritas f¨or de olika modellerna finns det stora likheter mellan modell 1 och 2, se figur 5.7 och 5.8. Det syns en viss skillnad i amplituddiagramet,

(53)

5.4 Bodediagram 37

denna skillnad beror p˚a att modell 1 bygger p˚a vinkeln mellan lodlinjen och linorna och modell 2 bygger p˚a skew-vinkeln. Modell 3 skiljer sig däremot lite mer fr˚an de andra, se figur 5.9 och 5.10, denna modell har ytterligare en resonansfrekvens men annars finns stora likheter. Denna resonansfrekvens kommer av att linorna kan svänga i denna modell medan de inte finns modellerade och därför inte kan svänga i modell 2. 10−1 100 101 102 −200 −150 −100 −50 0 50 100 150 200 −80 −60 −40 −20 0 20 40 u α Frekvens (rad/s) M a g n it u d (d B )

Figur 5.7.Bodediagram f¨or modell 1.

10−1 ₁₀0 ₁₀1 ₁₀2 −200 −150 −100 −50 0 50 100 150 200 −80 −60 −40 −20 0 20 40 u θ Frekvens (rad/s) M a g n it u d (d B )

(54)

38 Resultat 10−2 ₁₀−1 ₁₀0 ₁₀1 ₁₀2 −300 −200 −100 0 100 200 −100 −50 0 50 u θ Frekvens (rad/s) M a g n it u d (d B )

Figur 5.9.Bodediagram f¨or modell 3a.

10−2 10−1 100 101 102 −300 −200 −100 0 100 200 −100 −50 0 50 u θ Frekvens (rad/s) M a g n it u d (d B )

Figur 5.10.Bodediagram f¨or modell 3b.

5.5 K¨

anslighetsfunktioner

Eftersom det blir s˚a väldigt m˚anga plottar av känslighetsfunktionerna s˚a har här valts att endast titta p˚a känslighetsfunktionen för modell 1. Detta eftersom det är denna modell som rekommenderas i slutet och därmed är den mest relevanta. Det är endast LQG-regleringen som g˚ar att rita känslighetsfunktioner för efter-som MPC-regleringen löser ett optimeringsproblem online. För att förklara vad känslighetfunktionerna grundar sig i har figur 5.11 ritats. LQG-regulatorn har här skrivits om till överföringsfunktionerna F y(s) och F r(s) [6].

(55)

5.5 K¨anslighetsfunktioner 39 v Fr(s) M(s) P(s) Fy(s) r ω ω1 ω2 z2 z1 y1 y2 n1 n2

Figur 5.11.Blockdiagram som visar k¨anslighetsfunktionens in- och utsignaler.

5.5.1 Tolkning av k¨

anslighetsfunktionerna

Figur 5.12 visar bodeplottar av känslighetsfunktionerna vilket är överföringsfunk-tionerna fr˚an ω1 och ω2 till z1 och z2 enligt figur 5.11 [6].

Att ¨overf¨oringsfunktionerna fr˚an ω1till z2och fr˚an ω2till z1ligger l˚agt

respek-tive högt i amplitud kan förklaras delvis med att storleken p˚a de olika storheterna. Storheten z1som är ställdonens lägen mäts i meter och är normalt n˚agra

cemtime-ter. Storheten z2 mäts däremot i radianer och är normalt n˚agra mrad.

Det som är mest intressant att titta p˚a är plotten längst ner till vänster i figur 5.12, överföringsfunktonen fr˚an utsignalen fr˚an motorn till utsignalen p˚a pen-delmodellen, ω1 till z2. Här ses att alla frekvenser dämpas kraftigt vilket är bra

eftersom det är framför allt här som olika typer av brus som t.ex. vindstörningar kommer in och p˚averkar modellen. Hur de överförs till z1 f˚ar anses vara av

un-derordnad betydelse eftersom detta är ställdonen och de är till för att ställa ut signaler.

Den dip som ses i överföringsfunktionerna fr˚an ω2kan förklaras med att

regula-torn dämpar bort själsvängningsfrekvensen hos pendeln kraftigt, vilket är mycket bra.

St¨orningen w2 kan antas inneh˚alla modellfel vilket alltid finns att ta med i

beräkningen. Modellen antas här vara bra eftersom det är en naturlig pendelrörelse som modelleras och pendelns parametrar ska mätas p˚a plats p˚a den aktuella kranen.

5.5.2 Tolkning av de komplement¨

ara k¨

anslighetsfunktionerna

Den komplementära känslighetssfunktionen är överföringsfunktionen mellan n och zi figur 5.11. Bodediagram för dessa komplementära överföringsfunktioner har ri-tats i figur 5.13. Störningen n anger framför allt mätstörningar. Mätningarna antas vara av god kvalitet men är gjord med digital utrustning vilket alltid resulterar i ett visst kvantiferingsfel.

Komplementära känslighetsfunktionerna till z1har en frekvensdipp där frekvensen

är pendelns egensvängningsfrekvens. Denna dämpas väl vilket är rimligt. Am-plitudmässigt ligger kurvan fr˚an n2 till z1 betydligt högre än de andra. Detta

(56)

40 Resultat 10−5 100 10−5 100 −350 −300 −250 −200 −150 −100 −50 0 50 −150 −100 −50 0 50 ω1 ω2 z1 z2 Frekvens (rad/s) M a g n it u d (d B )

Figur 5.12.Bodediagram av k¨anlighetsfunktionen f¨or modell 1 med LQG-reglering.

kan delvis förklaras p˚a samma sätt som för känslighetsfunktionen i avsnitt 5.5.1. Storheten z2 är en vinkel som mäts i radianer medan z1 är ett avst˚and som mäts i

meter. Detta medför att vid normal rörelse hos systemet s˚a är z1 betydligt större

än z2. Detta förklarar även att kurvan mellan n1 och z2 är betydligt lägre än de

andra kurvorna.

För l˚aga frekvenser vilket skulle kunna innebära t.ex. ett konstant mätfel s˚a förstärks tyvärr felet fr˚an n2till z1. Detta betyder egentligen att ställdonen används

vilket är naturligt. För l˚aga frekvenser fr˚an n2till z2ligger förstärkningen runt 0dB,

även det är naturligt eftersom om mätningen av skew-vinkeln är konstant fel kan regulatorn inte veta det och heller inte reglera bort det. Detta gör kalibrering av mätutrustningen extra viktig.

Fr˚an n1dämpas alla frekvenser väl till b˚ade z1och z2. Detta är bra och gör att

(57)

5.5 K¨anslighetsfunktioner 41 10−4 10−2 100 102 10−4 10−2 100 102 −250 −200 −150 −100 −50 0 50 −200 −150 −100 −50 0 50 100 n1 n2 z1 z2 Frekvens (rad/s) M a g n it u d (d B )

(58)