• No results found

Talfakta : En litteraturstudie om elevers utveckling av talfakta i grundläggande addition och subtraktion

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Talfakta : En litteraturstudie om elevers utveckling av talfakta i grundläggande addition och subtraktion"

Copied!
35
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Talfakta

En litteraturstudie om elevers utveckling av talfakta i

grundläggande addition och subtraktion

KURS:Självständigt arbete för grundlärare F-3, 15 hp

PROGRAM: Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i förskoleklass och grundskolans årskurs 1–3 FÖRFATTARE: Lisa Nilsson

EXAMINATOR: Annica Otterborg TERMIN:VT20

(2)

JÖNKÖPING UNIVERSITY Självständigt arbete för grundlärare F-3, 15 hp School of Education and Communication Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i

förskoleklass och grundskolans årskurs 1–3 Vårterminen 2020

SAMMANFATTNING

______________________________________________________________________ Lisa Nilsson

Talfakta – En litteraturstudie om elevers utveckling av talfakta i grundläggande addition och subtraktion

Mastery of Basic Facts- A literacy study on pupils’ development of mastering the basic math facts in addition and subtraction.

Antal sidor: 24

_______________________________________________________________________

I matematikundervisningen kommer eleverna under hela sin skolgång att utveckla förmågan att lösa problem. En del av syftet med undervisning i matematik är att hjälpa eleverna gå från att använda konkreta material när de löser problem till att istället använda huvudräkning. Då eleverna ska lösa problem abstrakt i de fyra räknesätten underlättar det om eleverna lärt sig de grundläggande additions- och subtraktionskombinationerna som talfakta. Matematik innebär inte bara att kunna räkna utan också att förstå matematiken som används. En förståelse ökar

möjligheten att elever skapar ett intresse för matematik och tilltro till sin egen förmåga. För lärare i matematik är det därför viktigt att konstant reflektera över hur undervisningen möjliggör för elever att generalisera sin taluppfattning. Syftet med denna studie har varit att få kunskap om talfakta inom addition och subtraktion i talområdet 0–10. Utifrån syftet ville jag veta på vilka sätt elever utvecklar talfakta och betydelsen av konceptuell kunskap för utvecklingen av talfakta. Arbetet är en litteraturstudie där internationell matematikdidaktisk forskning sammanställts, analyserats och jämförts. Resultatet visar att forskare förespråkar en talfakta som bygger på en meningsfull memorering där effektiva strategier är ett viktigt verktyg. Vidare framgår det att elever som utvecklat en konceptuell förståelse för addition och subtraktion mer frekvent använde talfakta, var mer flexibla i val av strategier och kunde generalisera sina kunskaper till ett högre talområde.

_______________________________________________________________________

Sökord: talfakta, räknestrategier, huvudräkning, konceptuell kunskap, årskurs F–3

(3)

Innehållsförteckning

1. INLEDNING ... 1

2. SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNINGAR ... 2

3. BAKGRUND ... 3

3.1RÄKNESÄTTENADDITIONOCHSUBTRAKTION ... 3

3.2UTVECKLARÄKNEFÄRDIGHETER ... 4

3.3VADINNEBÄRTALFAKTA? ... 4

3.4KONCEPTUELLKUNSKAP ... 6 3.5STYRDOKUMENTEN ... 7 4. METOD ... 8 4.1INFORMATIONSSÖKNING ... 8 5. RESULTAT ... 13 5.1UTVECKLINGAVTALFAKTA ... 13 5.1.1 Meningsfull talfakta ... 13 5.1.2 Effektiva strategier ... 13

5.2TALFAKTAGENOMKONCEPTUELLKUNSKAP ... 17

6. DISKUSSION ... 20

6.1METODDISKUSSION ... 20

6.2RESULTATDISKUSSION ... 21

6.2.1 Talfakta genom strategier ... 21

6.2.1 Talfakta genom konceptuell kunskap ... 22

6.3VIDAREFORSKNING ... 24

REFERENSLISTA ... 25 BILAGOR

(4)

1

1. INLEDNING

Flera forskare poängterar vikten av att elever på lågstadiet lär sig grundläggande addition och subtraktion som talfakta (Löwing, 2008, s. 67; McIntosh, 2010, s. 93–94; Neuman, 2013; s. 15–16; Löwing & Kilborn, 2003, s. 43). När elever utvecklat talfakta innebär det att de kan uppge ett svar på de grundläggande additionerna och subtraktionerna på

mindre än tre sekunder (McIntosh, 2010, s. 95). Undervisning i matematikämnet i Sverige har framförallt bestått av att utveckla procedurell (färdighets) kunskap (Skolverket, 2008, s. 7–8). Upprepad tabellträning har utgjort en stor del av

undervisningen då eleverna utvecklat talfakta inom addition och subtraktion (Neuman, 2013, s. 16–17). Elevernas första erfarenheter av tal har därmed varit starkt förknippad med att minnas och räkna istället för att se och reflektera (Neuman, 2013, s. 37). Varje procedur har varit starkt bunden till dess kontext vilket har inneburit att eleverna haft svårigheter att göra generaliseringar och vara flexibla i sin förmåga att lösa problem (Skolverket, 2008, s. 7–8). I andra kulturer präglas elevers första möten med matematik av att upptäcka talen genom deras uppbyggnad och relationer (Skolverket, 2008, s. 7–8, 22–23). En begreppslig förståelse har då en central roll i undervisningen med syftet att utveckla konceptuella kunskaper (Skolverket, 2008, s. 7).

Eftersom de så kallade tabellerna utgörs av 200 additionskombinationer och lika många subtraktionskombinationer blir det en utmaning för elever att lära sig alla dessa som talfakta (Löwing, 2008, s. 67). I styrdokumenten för matematik står det skrivet i det centrala innehållet att elever ska få lära sig ”centrala metoder för beräkning med naturliga tal, vid huvudräkning och överslagsräkning samt med skriftliga metoder och digitala verktyg” (Skolverket, 2018, s. 55). Genom mina tre verksamhetsförlagda utbildningar har jag observerat att eleverna fått möjlighet att lära sig flera olika strategier för

grundläggande addition och subtraktion. Trots detta upptäckte jag att flera av eleverna i många fall valde att använda endast en strategi, vilket innebar att räkna sig fram till ett svar genom att räkna uppåt och nedåt i huvudet eller med hjälp av fingrarna. Även vid introduktionen av räknesättet multiplikation upplevde jag att elever hade svårigheter med den upprepade addition som krävdes vid tabellträningen. Eftersom alla elever inte lär sig grundläggande addition och subtraktion på ett sätt som går att generalisera ser jag

behovet av att undersöka hur matematikdidaktisk forskning framställer elevers utveckling av talfakta. Jag har också valt att undersöka hur forskning framställer betydelsen av konceptuell kunskap då elever utvecklar talfakta.

(5)

2

2. SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNINGAR

Syftet med denna litteraturstudie är att ge en bild av hur matematikdidaktisk forskning framställer elevers utveckling av talfakta i grundläggande addition och subtraktion. Detta syfte vill jag uppfylla genom att besvara följande frågor:

- På vilka sätt utvecklar elever grundläggande talfakta inom talområdet 0–10? - Vilken betydelse har konceptuell kunskap för elevers utveckling av talfakta?

(6)

3

3. BAKGRUND

I bakgrunden beskrivs räknesätten addition och subtraktion under rubrik 3.1. Sedan följer under rubrik 3.2 en introduktion till hur barn utvecklar räknefärdigheter. Under rubrik 3.3 presenteras grundläggande talfakta inom addition och subtraktion. Vidare förklaras konceptuell kunskap under 3.4 och slutligen behandlas ämnesområdet i relation till styrdokumenten under rubrik 3.5.

3.1 RÄKNESÄTTEN ADDITION OCH SUBTRAKTION

Addition och subtraktion är de första räknesätten där elever möter formella symboler. Symbolerna är viktiga för att kunna dokumentera räknehändelser och innebär att eleverna utvecklar en abstrakt representation av räknesätten (Häggblom, 2013, s. 111). Addition och subtraktion har ett samband genom invers, de är varandras motsatta operationer. Det ger möjlighet att lösa en subtraktionsuppgift genom addition och tvärtom (Löwing, 2008, s. 85, 90; McIntosh, 2008, s. 96), vilket innebär att ! – $ = & om och endast om ! = & + $ (Kiselman & Mouwitz, 2008 s. 27).

Addition är en räkneoperation som består av minst två termer (tal), additionstecken och beräkningens resultat, summa. En räkneoperation inom addition kan alltså se ut på följande vis: 3 + 4 = 7, där 3 och 4 utgör termer och 7 är summan av operationen (Löwing, 2008, s. 71–72). Det latinska verbet aderre betyder att tillfoga (Kiselman & Mouwitz, 2008 s. 24–25). Inom addition styr också räknelagar och räkneregler där kommutativitet (! + $ = $ + !) och associativitet (! + $) + - = ! + ($ + -), utgör de viktigaste (Löwing, 2008, s. 74; Kiselman & Mouwitz, 2008 s. 23, 87, 89). Subtraktion är en räkneoperation som innehåller minst två termer (tal),

subtraktionstecken och beräkningens resultat, differens. En räkneoperation inom

subtraktion kan alltså se ut på följande vis: 7 – 4 = 3, med en term 7 som skall minskas och en term 4 som visar det som skall dras bort, talet 3 är differensen (Löwing, 2008, s. 85). Det latinska verbet subtrahere betyder att dra undan (Kiselman & Mouwitz, 2008 s. 24–25).

(7)

4 3.2 UTVECKLA RÄKNEFÄRDIGHETER

Yngre barns möte med addition och subtraktion sker i leken där de löser problem med hjälp av konkret material för att lägga till och ta bort objekt (McIntosh, 2008, s. 62; Löwing, 2008, s. 70–71; Heiberg Solem et al, 2011, s. 139). Fingrar kan liknas vid ett konkret material då de oftast utgör ett viktigt verktyg då barn utvecklar en första

förståelse för beräkningar inom talområdet 1–10 (Neuman, 1989, s. 183). Användning av konkret material och sina fingrar ger också barnen möjlighet att upptäcka tals

del-helhetsrelationer genom att se vilka delar talet är uppbyggt av (Neuman, 1989, s. 173, 183). Barn utvecklar kunskaper i flera olika steg för att lära sig addition och subtraktion (McIntosh, 2008, s. 61). Räkneorden är till en början en räkneramsa kopplad till föremål för att ta reda på hur många föremålen är. De första strategierna barn använder då de ska lägga ihop två mängder börjar med att räkna båda mängderna från räkneordet ett, lägga ihop dessa till en total mängd och räkna om från ett, detta kallas räkna alla (Heiberg Solem et al, 2011, s. 139; Löwing, 2008, s. 70; McIntosh, 2008, s. 62). Nästa steg blir att från mängd 1 direkt räkna vidare föremålen i mängd 2. En del barn klarar också av att urskilja den största mängden och startar uppräkningen därifrån för att spara tid

(McIntosh, 2008, s. 62; Löwing, 2008, s. 71; Heiberg Solem et al, 2011, s. 139). Hur barn väljer att räkna är oftast kopplat till hur de uppfattar räkneuppgiften, subtraktionsproblem löser barn framförallt genom att räkna nedåt medan räkna uppåt i regel används för additionsproblem (Gray & Tall, 1994, s. 124–125).

3.3 VAD INNEBÄR TALFAKTA?

Talfakta innebär memorering av beräkningar inom olika räknesätt. Talfakta inom grundläggande addition och subtraktion är en förutsättning för att kunna hantera de fyra räknesätten med flersiffriga tal (McIntosh, 2008, s. 94, 96). Det finns olika sätt att utveckla talfakta inom grundläggande addition och subtraktion. En del forskare förespråkar memoreringen av tabeller där ett räknesätt i taget lärs in. Löwing (2008, s. 74) argumenterar för att elever lär sig talområdet 0–10 inom addition först, vilket innebär de 36 kombinationerna i lilla additionstabellen. Efter inlärning av lilla additionstabellen kan eleverna gå vidare till att memorera stora additionstabellen som innebär

kombinationer för talområdet 10–19. De uppgifter som kräver tiotalsövergång introduceras sist för eleverna (Löwing, 2008, s. 79–84). Efter additionstabellerna går eleverna vidare till subtraktion. Lilla subtraktionstabellen innehåller även den 36

(8)

5 kombinationerna som eleverna bör lära in som talfakta. Därefter får eleverna arbeta med stora subtraktionstabellen som innebär talområdet 10–19 (Löwing, 2008, s. 90–95). Ett annat sätt att utveckla grundläggande talfakta kan vara att inte separera räknesätten, om eleverna arbetat med talfakta inom addition kan talfakta inom samma talområde baseras på att utveckla en förståelse för sambandet mellan addition och subtraktion. Eleverna får då möjlighet att lösa en subtraktionsuppgift genom att se uppgiften som en additionsuppgift, till exempel 10 − 7 =? kan lösas genom att se uppgiften som 7 + ? = 10 (McIntosh, 2008, s. 99). Eleverna lär sig inte de grundläggande kombinationerna i tabeller utan i grupper med kombinationer som räknas ut genom samma strategier (McIntosh, 2008, s. 98). McIntosh (2008, s. 94) anser att talfakta utvecklas genom två faser där den första fasen fokuserar på något som ibland ägnas för lite tid åt, nämligen att ge eleverna möjlighet att få en grundläggande förståelse för hur kombinationerna kan räknas ut. Den andra fasen innebär minnesträning och övning för att befästa

kombinationerna. Dessa två faser bör inte blandas ihop, först behövs förståelse för kombinationerna innan de memoreras som talfakta.

Ett tredje sätt att se de första additions- och subtraktionskombinationerna kan vara genom tals del-helhetsrelationer. Talfakta memoreras då ifrån en medvetenhet om hur tal kan delas upp i två delar för att kunna operera med dem (Neuman 2013, s. 15).

Utgångspunkten för utveckling av talfakta innebär enligt Neuman (2013, s. 16–17) en förståelse för tre tals del-helhetsrelationer och en förståelse för lagar och strukturer i matematiken. Talfakta inom talområdet 1–10 struktureras efter ”De tio bastalens 25 kombinationer” och utvecklas enligt figur 1.

Två Tre Fyra Fem Sex Sju Åtta Nio Tio

1│1│2 2│1│3 3│1│4 4│1│5 5│1│6 6│1│7 7│1│8 8│1│9 9│1│10 2│2│4 3│2│5 4│2│6 5│2│7 6│2│8 7│2│9 8│2│10 3│3│6 4│3│7 5│3│8 6│3│9 7│3│10 4│4│8 5│4│9 6│4│10 5│5│10

Figur 1: Dagmar Neumans 25 kombinationer. Hämtad från ”Att ändra arbetssätt och kultur inom den inledande

aritmetikundervisningen”, av D. Neuman, 2013, Nordic Studies in Mathematics Education, vol. 18, nr. 2, s. 16. Copyright 2013 av Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM).

(9)

6 3.4 KONCEPTUELL KUNSKAP

Inom matematik kan man urskilja två olika kunskapstyper, procedurell kunskap och konceptuell kunskap. Dessa två kunskapstyper genererar olika förmågor (Gray & Tall, 1994, s. 116–117). Procedurell kunskap bygger på rutiner där kunskap om regler och procedurer för att hitta lösningar på matematiska problem står i fokus. Konceptuell kunskap däremot innebär förståelse om begrepp, principer och relationer samt hur de bildar ett nät i olika matematiska kontexter (Gray & Tall, 1994, s. 117–118). Enligt Bentley och Bentley (2011, s. 69) syftar en konceptuell inriktning i

matematikundervisning på förståelse för begrepp och principer så att elever får möjlighet att upptäcka hur olika delar i matematiken hänger ihop. Elever kan då använda sina kunskaper i olika sammanhang eftersom de känner igen de begrepp och principer som används (Bentley & Bentley, 2011, s. 69).

Undervisning som syftar till konceptuella kunskaper innehåller ofta rika matematiska problem där uppgiften kan lösas på så många olika sätt som möjligt. En sådan

undervisning är vanlig i de ostasiatiska länderna, bland annat Japan, Kina och Taiwan (Skolverket, 2008, s. 22). En typisk lektion inleds med att läraren presenterar ett rikt problem och försäkrar sig om att eleverna förstått uppgiften. Därefter arbetar eleverna enskilt med problemet och får sedan redovisa sin lösning i helklass. Läraren låter de elever med minst avancerade lösningar gå fram till tavlan först för att därefter successivt ta sig an de mer avancerade lösningarna på problemet. Hela klassen diskuterar de olika lösningarna och eleverna uppmuntras att argumentera för sin lösningsmetod. Läraren använder frågor till klassen som syftar till att utveckla deras tankar kring de begrepp som är kopplade till problemet. Slutligen sammanfattar läraren lektionen genom att knyta ihop de olika kunskapsområden som problemet illustrerat och belyser vilken kunskap

(10)

7 3.5 STYRDOKUMENTEN

En matematikundervisning där eleverna lär sig följa en viss mall eller alltid använder samma strategi för att lösa problem är inte tillräcklig för att klara de nationella proven och kunskapskraven i årskurs 3 (Olsson & Forsbäck, 2008, s. 13). Kursplanen i matematik lyfter fram krav på förståelse där eleverna bland annat ska kunna välja och motivera valda strategier för att lösa matematiska problem samt kunna resonera om tals relationer, uppbyggnad och samband. Krav finns också på att eleverna ska kunna använda huvudräkning som metod för addition och subtraktion i talområdet 0–20 (Skolverket, 2019, s. 54–55). Under de första tre årskurserna ska eleverna dessutom utveckla en förståelse för sambanden mellan räknesätten och kunna välja vilket räknesätt som är lämpligt för att lösa ett matematiskt problem (Skolverket, 2017, s. 14).

Matematikundervisningen ska även syfta till att utveckla begreppsförståelse då det utgör en av förutsättningarna för elevernas förståelse av matematik samt framtida

matematikutveckling (Skolverket, 2017, s. 7). Kursplanen lyfter också fram hur

undervisningen ska ge eleverna möjlighet att utveckla ett intresse och ett självförtroende för matematik så att de kan använda matematik i olika sammanhang (Skolverket, 2019, s. 54).

(11)

8

4. METOD

Denna litteraturstudie grundar sig i tidigare forskning inom valt området. Under rubrik 4.1 redogörs tillvägagångssättet vid sökning efter forskningsartiklar, kriterierna för inklusion och exklusion samt urval. Därefter under rubrik 4.2 presenteras

materialanalysen.

4.1 INFORMATIONSSÖKNING

Litteraturstudiens syfte och frågeställningar utformades efter instruktion från Nilholm (2017, s. 40). Frågeställningarna svarar inte på en avgränsad fråga utan har valts för att kunna göra en kartläggning och analys av befintlig forskning inom området. Utifrån syftet och frågeställningarna bestämdes sökorden som användes för sökning i olika databaser. Sökorden utgörs av begrepp som ringar in ämnesområdet för att finna relevanta artiklar. Peer Review valdes vid sökningarna eftersom det säkrar ett

vetenskapligt granskat material. Sökorden kombinerades och i vissa fall trunkerades eller så användes AND eller OR i olika kombinationer för att få ett bredare urval.

Följande svenska sökord användes: matematik, begreppsförmåga, konceptuell, kunskap, förståelse, räknefärdigheter, räknestrategier, addition, subtraktion, samband,

grundläggande, huvudräkning, talfakta, talkunskap, del-helhet, del-helhetsrelation, taluppfattning. För att få ett bredare utbud användes dessutom följande engelska sökord: basic facts, mathematics, primary school, mental calculation, strategies, mental

arithmetic, addition, subtraction, early number, fluency, decomposing, decomposition, part-whole, part-whole relationship, number bonds, conception of numbers,

mathematical concepts, conceptual understanding, knowledge, thinking skills, memorization, number sense, derived facts, additive relations.

Sökningar gjordes i databaserna ERIC1, Primo, SwePub, PsycInfo och Google Scholar.

ERIC användes eftersom det är en databas för utbildningsvetenskaplig forskning som även innehåller internationell forskning. Fem vetenskapliga artiklar och en

forskningsrapport valdes ut via databasen ERIC. Nedan följer ett exempel på hur sökorden kombinerades, se figur 2. Utav de 15 artiklarna som hittades via sökningen användes en artikel i litteraturstudien av Henry och Brown (2008). Viktigt att klargöra är

(12)

9 att sökningarna inte utfördes enbart som detta exempel utan sökorden användes i olika kombinationer för att på så sätt få ett så brett urval som möjligt.

Figur 2: Exempel på sökprocessen i databasen ERIC

Genom Google Scholar hittades två examensarbeten på svenska via databasen DiVa, dessa var relevanta enbart för kedjesökningar. I en kedjesökning analyseras redan funna studiers referenslistor för att hitta nya artiklar som kan vara relevanta.Referenserna från dessa arbeten tillsammans med referenser från materialet som valdes ut från ERIC användes för att göra kedjesökningar på relevanta forskare i Primo och Google Scholar. Forskarna Easley, Baroody och Canobi hittades på detta sätt. Sökningar i databasen PsycInfo resulterade i två utvalda vetenskapliga texter. En studie av Zi-Juan Cheng hittades genom sökorden decomposition AND strategies. Sökorden decomposition AND addition ledde till ytterligare en text av forskarna Katherine H. Canobi, Robert A. Reeve och Philippa E. Pattison.

Datainsamlingen har gjorts utifrån en systematisk informationssökning där tidigare forskning inom ett avgränsat område analyserats (Nilholm, 2017, s. 40). Först lästes titel och abstract och i vissa fall även syfte för ett första urval. Inkluderingskriterierna vid

Utvalda artiklar till litteraturstudien: 1

"basic facts"AND mathematics AND (primary school OR elementary school OR primary education OR elementary education) AND addition AND subtraction Limiters - Peer Reviewed

Antal träffar: 15 Exkluderade: 61

"basic facts" AND mathematics AND (primary school OR elementary school OR primary education OR elementary education) Limiters - Peer Reviewed

Antal träffar: 76 Exkluderade: 21

"basic facts" AND mathematics Limiters - Peer Reviewed

Antal träffar: 97 Exkluderade: 64

"basic facts" Limiters - Peer Reviewed

(13)

10 denna fas innebar att materialet skulle vara skrivet på engelska eller svenska och

behandla grundläggande addition och/eller subtraktion. Materialet skulle även rikta sig mot elever i de yngre årskurserna, från förskoleklass upp till årskurs 3. Därefter

inkluderades texter som behandlade talfakta, konceptuell kunskap eller

huvudräkning/strategier/räknefärdigheter för grundläggande addition och/eller subtraktion. Texternas sammanfattning, metodavsnitt och resultatdel lästes med kriterierna som utgångspunkt och därefter valdes 10 vetenskapliga artiklar och en forskningsrapport, se tabell 1.

(14)

11 Tabell 1: Översikt över utvalda vetenskapliga texter, sorterade efter publikationsår.

Vetenskapliga artiklar

TITEL FÖRFATTARE DATABAS ÅR LAND

A Japanese approach to arithmetic. Easley, Jack. Primo 1983 Kanada

The Role of Conceptual Understanding

in Children's Addition Problem Solving. Canobi, Katherine H.; Reeve, Robert A. & Pattison, Philippa E. PsycInfo 1998 Australien Teaching addition and subtraction to

first graders: A Chinese perspective Psychology in the Schools.

Zhou, Zheng & Peverly, Stephen T.

ERIC 2005 USA

Why Children Have Difficulties Mastering the Basic Number

Combinations and How to Help Them.

Baroody, Arthur J. Primo 2006 USA

First-Grade Basic Facts: An

Investigation into Teaching and Learning of an Accelerated, HighDemand

Memorization Standard.

Valerie J. Henry & Richard S.

Brown. ERIC 2008 USA

Why can´t Johnny remember the basic

facts? Baroody, Arthur J; Eiland, Michael & Bajwa, Neet Priya. ERIC 2009 USA

Fluency with Basic Addition. Kling, Gina. ERIC 2011 USA

Teaching young children decomposition strategies to solve addition problems: An experimental study.

Cheng, Zi-Juan. PsycInfo 2012 Kina

Att ändra arbetssätt och kultur inom den

inledande aritmetikundervisningen. Neuman, Dagmar. Google Scholar 2013 Sverige

Computational Fluency and Strategy Choice Predict Individual and Cross-National Differences in Complex Arithmetic.

Vasilyeva, Marin; Laski, Elida V & Shen, Chen.

ERIC 2015 USA/

Taiwan

Forskningsrapport

TITEL FÖRFATTARE DATABAS ÅR LAND

Fluency with number facts – Responding to the Australian Curriculum:

Mathematics.

Dole, Shelley; Carmichael, Peter; Thiele, Catherine; Simpson, Jenny & O'Toole, Christine.

(15)

12 4.2 MATERIALANALYS

Det material som analyserats utefter kriterierna för inklusion analyserades i flera steg för att få en förståelse för området och artiklarnas innehåll. I ett första skede genom att fokusera på abstract och resultat. Därefter lästes hela artiklarna samtidigt som jag färgmarkerade gemensamma aspekter i texterna som jag ansåg besvarade på vilka sätt elever utvecklar grundläggande talfakta samt vilken betydelse konceptuell kunskap har för elevers utveckling av talfakta. En kort sammanfattning om varje text sammanställdes i ett översiktsdokument (se bilaga 1). Jag valde att strukturera upp översiktsdokumentet efter artikelns författare, titel, syfte, metod samt resultat. Översiktsdokumentet har gett mig en överblick men framförallt använts för att koppla materialet till mina

frågeställningar. Det underlättade att göra jämförelser av de olika texter genom att använda översiktsdokumentet då jag kunde fokusera på syftet och resultat och även till viss del metoden i respektive studie istället för att analysera hela texten. Det lästa materialet har analyserats, tolkats och kategoriserats efter de faktorer som visats vara genomgående i forskningsresultaten. Några faktorer som har varit utmärkande i det analyserade materialet är effektivitet av olika strategier samt hur del-helhetsrelationer verkade stödja elever i att utveckla talfakta. Del-helhetsrelationer verkade också vara en viktig faktor i undervisning som syftade till konceptuell kunskap hos elever.

(16)

13

5. RESULTAT

Resultatet är indelat i två delar utifrån litteraturstudiens frågeställningar. Under rubrik 5.1 redogörs för hur elever kan utveckla grundläggande talfakta inom addition och

subtraktion. Vidare beskrivs under rubrik 5.2 hur en konceptuell kunskap har betydelse för utveckling av grundläggande addition och subtraktion.

5.1 UTVECKLING AV TALFAKTA 5.1.1 Meningsfull talfakta

Forskare i litteraturstudien belyser att talfakta kan innebära två olika typer av

memorering, isolerad talfakta och meningsfull talfakta (Baroody, Bajwa & Eiland, 2009, s. 70; Kling, 2011, s. 82–83). En isolerad talfakta beskrivs som att eleven enbart

memorerat siffrorna och räknesymbolerna i den ordning de står (Baroody et al, 2009, s. 70–71). Eleven behöver då inte lägga tid på att utveckla effektiva strategier eftersom ingen beräkning behöver utföras (Baroody et al, 2009, s. 70–71). Meningsfull talfakta däremot utvecklas genom ett fokus på strategier, mönster och tals relationer (Baroody, 2006, s. 24–25; Kling, 2011, s. 82). Denna typ av talfakta innebär också att eleven analyserar olika delar och helheter i uppgiften (Baroody, 2006, s. 24–25). Baroody et al. (2009, s. 70) sammanfattar i sin studie hur tidigare forskning beskriver utveckling av talfakta genom tre faser. Den första fasen, Counting strategies, handlar om barns första strategier vilket innebär muntlig uppåt och nedåträkning eller användning av konkret material för att lösa uppgifter. Den andra fasen, Reasoning strategies, innebär att utgå från tidigare kunskaper för att lösa nya uppgifter. Detta sker genom att utveckla effektiva strategier som är användbara i flera olika sammanhang. Den tredje fasen, Mastery, innebär att lagra informationen i långtidsminnet som ett talfakta så rätt svar direkt kan uppges. Forskning i denna litteraturstudie (Baroody, 2006, s. 24–25; Baroody et al, 2009, s. 70; Kling, 2011, s. 82–84) argumenterar för att den tredje fasen bör innebära

meningsfull talfakta där eleverna utvecklat effektiva strategier som de kan använda i flera olika matematiska problem.

5.1.2 Effektiva strategier

Studier i det utvalda materialet har framförallt undersökt vilken typ av strategi som elever använder vid grundläggande additions- och subtraktionsberäkningar. Flera studier pekade på samma typ av resultatet där ett samband påvisades mellan elevers kunskaper om

(17)

14 effektiva strategier och möjligheterna att lära sig grundläggande talfakta i addition och subtraktion. Det framkom exempelvis i studien av Henry och Brown (2008, s. 174). Studien innefattade 55 lärare och 275 elever. Genom att undersöka till vilken grad elever i årskurs 1 utvecklat talfakta ville man också ta reda på vilka strategier eleverna använde (Henry & Brown, 2008, s. 158). Eleverna genomförde ett test med additions- och

subtraktionsuppgifter samt intervjuer där de ombads förklara val av strategi (Henry & Brown, 2008, s. 160–161). Resultatet visade att så lite som 26 % av de 275 eleverna använde talfakta för att lösa hälften av de tio additionsuppgifterna och åtta

subtraktionsuppgifterna. Vidare framkom att två tredjedelar av eleverna använde strategierna räkna alla, räkna vidare eller uppåt/nedåträkning för att lösa uppgifterna (Henry & Brown, 2008, s. 164–166). Även i studien av Cheng (2012, s. 41) undersöktes elevers användande av strategier för att lära sig talfakta. I resultatet framkom att även yngre elever har möjlighet att lära sig effektiva strategier och att det stärkte dem i deras räknefärdigheter i addition (Cheng, 2012, s. 41). I studien deltog 70 barn i åldern 5–6 år fördelade i en kontrollgrupp och en experimentgrupp. Resultatet utgick ifrån ett förtest och ett eftertest med additionsuppgifter samt elevobservationer. Förtestet visade ett liknande resultat för båda elevgrupperna där strategierna räkna vidare eller räkna alla var de vanligast förekommande. Syftet med studien var att undersöka om yngre elever kunde lära sig tals del-helhetsrelationer för att utveckla talfakta och hur det påverkade deras möjligheter att lösa additionsproblem där 10-talsövergång krävdes. Läraren i

experimentgruppen fick därför instruktioner för undervisning som syftade till att utveckla kunskaper om del-helhetsrelationer i talområdet 2–10. Av eftertestet framgick att

eleverna i experimentgruppen förbättrat sin talfakta. Vidare visade elevobservationerna att majoriteten av eleverna i experimentgruppen använde strategier baserade på tals del-helhetsrelationer jämfört med eleverna i kontrollgruppen som fortfarande till största del förlitade sig på strategierna räkna alla, räkna vidare eller uppåt/nedåträkning (Cheng, 2012, s. 41). Strategier som byggde på tals del- helhetsrelationer visade sig också effektivast i studien av Henry och Brown (2008, s. 173–175). De eleverna som använde tals del-helhetsrelationer för att lösa uppgifterna hade utvecklat fler talfakta samt en bättre taluppfattning än de elever som enbart hade kunskaper om strategier som byggde på att räkna (Henry & Brown, 2008, s. 173–175).

Båda dessa studier visar att ineffektiva strategier kan skapa problem då eleverna ska ta sig vidare i sin matematikutveckling (Henry & Brown, 2008, s. 164–175, Cheng, 2012, s.

(18)

15 41). Detta resultat stärks av resultatet från en annan studie av Vasilyeva, Laski och Chen (2015, s. 1495–1497). Studien undersökte 152 elever i årskurs 1 (Vasilyeva et al, 2015, s. 1491). Resultatet utgår från elevintervjuer där eleverna muntligt och skriftlig fick

beräkna additions- och subtraktionsuppgifter och därefter förklara hur de löst uppgifterna. Uppgifterna bestod av två test, fördelade efter talområde. Elevernas förklaring spelades in för att kunna identifiera strategier samt dokumentera hur snabbt eleverna löst uppgiften (Vasilyeva et al, 2015, s. 1492–1493). I intervjuerna framkom att eleverna framförallt använt strategier baserade på att räkna eller del-helhetsrelationer för att lösa uppgifterna. Resultatet visade att de elever som använde strategier som byggde på tals del-helhetsrelationer i det lägre talområdet kunde använda samma typ av strategi för att lösa uppgifter även i det högre talområdet. Strategier som byggde på tals del-helhetsrelationer genererade också oftare ett korrekt svar på kortare tid än strategier som byggde på att räkna (Vasilyeva, 2015, s. 1493–1494).

Gemensamt för dessa studier är att strategier som bygger på tals del-helhetsrelationer bedömdes vara den strategi som var mest användbar för eleverna. Talfakta som

utvecklats ur tals del-helhetsrelationer bygger på en förståelse för talens uppbyggnad och struktur (Neuman, 2013, s. 15; Easley, 1983, s. 8–9). Genom en förståelse för tals del-helhetsrelationer kan fyra separata tabellfakta ersättas med kombinationen av tre tal och hur de kan användas på olika sätt (Neuman, 2013, s. 17). Kombinationen av tre tal, till exempel 6|2|8 kan då kopplas till additionerna och subtraktionerna 6 + 2 = 8 eller 2 + 6 = 8 och 8 – 6 = 2 eller 8 – 2 = 6 (Neuman, 2013, s. 15).

Japanska elever i årskurs 1 och 2 utvecklar talfakta i talområdet 0–5 genom att undersöka talens uppbyggnad (Easley, 1983, s. 8–9). Talens delar och helheter diskuteras med hjälp av dominomönster, bilder och konkret material (Easley, 1983, s. 8–9). Easley (1983, s. 8, 12) beskriver att efter de fyra månader som hans studie pågick hade 35 av de 39 eleverna i årskurs 1 utvecklat en förståelse för talområdet 0–9. Studien visade också att samtliga elever hade börjat utveckla talfakta för de grundläggande additions- och

subtraktionskombinationerna. Både Neuman (2013, s. 24–25) och Easley (1983, s. 12) beskriver utifrån sina studier hur eleverna använde sina fingrar eller annat konkret material för att strukturera tals del-helhetsrelationer genom att använda talet 5 som referenspunkt med tillägg av entalen. I sin studie beskriver Easley (1983, s. 12) hur eleverna lärde sig talfakta inom talområdet 5–9 med 5 som referenspunkt och ett tillägg av entalen. Det innebär att en förståelse för uppbyggnaden av de nya helheterna 6, 7, 8

(19)

16 och 9 utvecklades med hjälp av kunskaper i att dela dem till tal eleverna redan

(20)

17 5.2 TALFAKTA GENOM KONCEPTUELL KUNSKAP

Enligt Easley (1983, s. 14) ger en undervisning baserad på konceptuell kunskap eleverna möjlighet att utveckla ett matematiskt självförtroende där de på ett flexibelt sätt kan använda effektiva strategier i olika matematiska sammanhang. Två studier visar att elever med en djupare konceptuell kunskap hade fördelar i utvecklingen av talfakta i

grundläggande addition och subtraktion. I den första studien av de australiska forskarna Canobi, Reeve och Pattison (1998, s. 885–890) framkommer det att elever med en djupare konceptuell kunskap löste additionsproblem snabbare, var mer flexibla i sitt användande av effektiva strategier och hade mer frekvent memorerat talfakta. Studien innefattade 13 elever i årskurs 1 och 35 elever i årskurs 2. Eleverna fick svara på problemlösningsuppgifter där deras konceptuella kunskaper bedömdes av förmågan att använda talens relationella egenskaper för att lösa uppgifterna. Bedömningen gjordes även genom intervjuer där eleverna skulle känna igen räknelagar och regler samt förklara hur de använt dem (Canobi et al, 1998, s. 883–885). Elever som bedömdes ha en djupare konceptuell kunskap använde i högre grad talfakta och tals del-helhetsrelationer för att lösa uppgifter medan elever som bedömdes ha ytligare konceptuella kunskaper förlitade sig mer på strategier som byggde på att räkna sig fram till ett svar (Canobi et al,1998, s. 886–887).

I den andra studien av forskarna Dole, Carmichael, Thiele, Simpson & Toole (2018, s. 267–268) framkom också att eleverna förbättrade sin talfakta genom en undervisning som syftade till en djupare konceptuell förståelse. Studien var en del av ett större projekt och redovisar resultatet från två skolor med totalt 227 elever i årskurs 3. Resultatet visade att eleverna i båda skolorna hade förbättrat sin talfakta efter den riktade undervisningen (Dole et al, 2018, s. 268, 272), se tabell 2. Studien utformades i tre steg där det första steget var att eleverna i början av årskurs 3 fick genomföra ett förtest med additions och subtraktionsuppgifter (Dole et al, 2018, s. 268). Den talfakta som testet innehöll delades upp i tre delar. Del 1 och 2 innehöll 25 talfakta inom grundläggande addition och

subtraktion. Del 3 innehöll 10 talfakta där minst en av termerna var större än 20 (Dole et al, 2018, s. 268). I det andra steget fick eleverna under två terminer undervisning med fokus på att utveckla talfakta genom en konceptuell förståelse för räknesätten.

Undervisningen bestod av tre olika aktiviteter som innebar riktad undervisning för att förstå sambanden mellan addition och subtraktion, gruppövningar med konkret material samt klassdiskussioner om begrepp, strukturer och relationer. Tredje steget innebar att

(21)

18 eleverna under sista terminen i årskurs 3 fick genomföra ett eftertest (Dole et al, 2018, s. 268). Tabellen visar hur båda skolorna förbättrat sitt resultat efter den riktade

undervisningen. En markant ökning av antal rätt svar upptäcktes framförallt i del 3 som innehöll talfakta i högre talområden.

Tabell 2: Antal (andel) rätt svar i förtest respektive eftertest (Dole et al, 2018, s. 271).

Skola A Skola B

Förtest Eftertest Förtest Eftertest

Årskurs 3

Del 1 (/25) 14 (56%) 22 (88%) 17 (68%) 24 (96%) Del 2 (/25) 8 (32%) 16 (64%) 11 (44%) 20 (80%) Del 3 (/10) 3 (30%) 8 (80%) 5 (50%) 7 (70%)

I Kina och Japan utgår utveckling av talfakta inom addition och subtraktion genom ett större fokus på matematiska begrepp, relationer och strukturer för att få en konceptuell förståelse för matematiken (Zhou & Peverly, 2008, s. 265; Easley, 1983, s. 8). Zhou och Peverly (2005, s. 260) har analyserat undervisning utifrån den kinesiska läroplanen med fokus på grundläggande addition och subtraktion i årskurs 1. Undervisningen för att utveckla talfakta i talområdet 0–9 syftar till att ge eleverna konceptuella kunskaper om räknesätten och då främst genom tals del-helhetsrelationer (Zhou & Peverly, 2008, s. 262–263). Undervisningen i Japan och Kina fokuserar på att utveckla talfakta i addition och subtraktion genom att samtala, argumentera och diskutera hur tal kan delas och byggas upp. Visuella bilder och konkret material används för att utveckla en känsla för räknesätten genom tals del-helhetsrelationer (Easley, 1983, s. 8–10; Zhou & Peverly, 2008, s. 265–266).

Flera forskare beskriver hur en konceptuell förståelse kan stärka eleverna att utveckla förståelse för sambandet mellan addition och subtraktion (Zhou & Peverly, 2008, s. 262– 263; Neuman, 2013, s. 17; Kling, 2011, s. 82–83). Vidare beskrivs hur elever behöver en förståelse för kommutativitet inom addition (Zhou & Peverly, 2008, s. 265–266;

Neuman, 2013, s. 17; Kling, 2011, s. 82–83). I Kina sker detta inledningsvis genom diskussioner och konkret material. Övergången mellan det konkreta och abstrakta får ta tid och sker med stor försiktighet ofta genom en muntlig undervisning med konkret material utan formella räknesymboler för att därefter övergå till att skriftligt representera

(22)

19 räknesätten (Zhou & Peverly, 2008, s. 265–266). Neuman anser att kombinationerna av tre tal på ett självklart sätt illustrerar både sambandet mellan räknesätten och additionens kommutativa egenskaper (Neuman, 2013, s. 15).

(23)

20

6. DISKUSSION

I metoddiskussionen (6.1) kommer svagheter och kritiska aspekter i litteraturstudien tas upp. Även litteraturstudiens styrkor kommer belysas. Resultatdiskussion presenteras under rubrik 6.2 och avslutas med förslag på framtida forskningsfrågor inom

ämnesområdet.

6.1 METODDISKUSSION

Databassökning samt kedjesökningar utgjorde den primära källan för att hitta

forskningsmaterial. Sökorden revideras i omgångar efter handledning och granskning av litteratur och forskningsartiklar. Resultatet av databassökningarna avgjordes av de sökord jag valde att kombinera. Jag ser att en svaghet i studien skulle kunna vara för få sökord eller sättet jag valde att kombinera sökorden. En svårighet har varit att talfakta sällan undersöks enskilt utan är ofta en del av ett större ämnesområde, det har gjort det mer komplicerat att urskilja enbart de resultat som rör talfakta. En annan aspekt är att jag haft svårigheter med de svenska definitionerna av engelska sökord. Basic facts, fluency , mastery var till en början synonymt för mig men enligt mitt sätt att se det så beskrev forskarna begreppen på lite olika sätt och jag fick därför ta hänsyn till i vilket

sammanhang de användes i texterna. En nackdel med kedjesökningar skulle kunna vara att de hänvisar till äldre texter vilket kan leda till att jag missat nyare forskning. Jag har dock jämfört referenser från olika texter för att hitta forskare som ofta citerats för att hitta de forskare som varit mest relevanta för studien. De vetenskapliga texternas

publikationsår sträcker sig, med undantag från en artikel, 30 år bakåt i tiden. Artikeln från 1983 av Jack Easley inkluderades eftersom den på ett tydligt sätt beskriver utveckling av talfakta utifrån en japansk undervisning.

Nästan allt material i studien består av internationell forskning. Jag anser att det är positivt för litteraturstudien då det ger möjlighet att jämföra olika sätt att undervisa om talfakta. Det är också intressant med studier från Asien då de länderna ofta har ett högt resultat i de internationella studier (Skolverket, 2016, s. 20–21) som görs för att undersöka elevers kunskaper i matematik. Det som kan ha varit en nackdel med internationella texter är att språket de är skrivna på inte är mitt modersmål. Detta kan leda till att mina bristande språkkunskaper stått för feltolkningar av materialet. Att jag varit ensam i litteraturstudien kan också ses som en svaghet då två personer kunnat göra

(24)

21 olika tolkningar av materialet vilket kunnat ge fler infallsvinklar och perspektiv för att få fram ett relevant resultat. En kritisk aspekt kan också vara möjligheten att de tolkningar av materialet jag gjort för att besvara forskningsfrågorna har påverkat framställningen av slutresultatet. Det har varit svårt att hitta studier som undersöker – mer omfattande – de eventuella fördelarna med undervisning som syftar till isolerad talfakta eller explicit procudurell kunskap. Värt att notera är därför att analysen och granskningen och sedan litteraturstudiens resultat utgår från mina tolkningar av det utvalda forskningsmaterialet. 6.2 RESULTATDISKUSSION

6.2.1 Talfakta genom strategier

Yngre barn har till en början olika föremål och fingrar till sin hjälp för att förstå vad addition och subtraktion innebär. De första strategierna bygger oftast på att räkna uppåt eller nedåt på talraden. I och med att matematikproblemen utvecklas bör även eleverna lära sig nya räknestrategier, som att komma ihåg grundläggande talfakta i addition och subtraktion. Resultatet från två studier (Vasilyeva et al, 2015; Henry & Brown, 2008) indikerar att elever bör lära sig olika sorters strategier för att räkna ut kombinationerna innan de går vidare till att lära sig dem utantill. Detta stämmer överens med utveckling av talfakta genom de två faserna, där en förståelse för hur kombinationerna kan räknas ut beskrivs som grunden för memorering (McIntosh, 2008, s. 94). Vidare beskriver McIntosh (2008, s. 95) att en del elever upptäcker effektiva strategier på egen hand medan andra behöver stöd för att använda dem. En slutsats som dragits är att de elever som inte går vidare från de första strategierna riskerar att inte utveckla tillräckliga kunskaper för att ta sig an talområdet 10–20 och mer avancerade matematikuppgifter (Vasilyeva et al, 2015, s. 1495–1497; Henry & Brown, 2008, s. 164–175, Cheng, 2012, s. 41).

I resultatet framgår det att en utveckling av talfakta kan ske på två sätt (Baroody et al, 2009, s. 70–71; Baroody, 2006, s. 25–25; Kling 2011, s. 82–83). Baroody et al (2009, s. 70–71) beskriver hur elever kan memorera talfakta isolerat utan koppling till

matematiken bakom utan mer som en ”bild”, vilket även Kling (2011, s. 82) beskriver genom att konstatera att en elev som snabbt kan leverera talfakta inte nödvändigtvis har utvecklat goda kunskaper i matematik, utan snarare visat goda kunskaper i att minnas. Enligt mitt sätt att se det så syftar tabellträning i regel till att bara uppge talfakta på kort tid, vilket skulle kunna ses som isolerad talfakta. Jag funderar också på om tabellträning

(25)

22 där eleverna lär sig addition och subtraktion åtskilda skulle kunna leda till att eleverna går miste om att utnyttja de strategier som bygger på samband mellan räknesätten. Istället framhåller forskning som ingår i denna litteraturstudie (Cheng, 2012; Easley, 1983; Henry & Brown, 2008; Zhou & Peverly, 2005; Neuman, 2013; Vasilyeva et al, 2015; Baroody et al, 2009) att talfakta som utvecklas genom kunskap om tals

del-helhetsrelationer ökar elevernas förmåga att förstå sambandet mellan addition och subtraktion och möjliggör utveckling av framtida matematikkunskaper genom generaliseringar. Den enigheten har stärkt min ursprungliga tanke att redan i

förskoleklass och årskurs ett bör elever få en tydlig och strukturerad undervisning om hur tal är uppbyggda och relaterar till varandra för att skapa effektiva strategier när de lär sig talfakta.

6.2.1 Talfakta genom konceptuell kunskap

Både McIntosh (2008) och Neumans (2013) oro över att för lite tid i

matematikundervisning avsätts åt att elever får utveckla en förståelse för matematiken styrks av resultatet som indikerar att konceptuell kunskap har stor betydelse för elevernas framtida matematikutveckling. Konceptuell kunskap kännetecknas av förståelse om begrepp, principer och relationer (Gray & Tall, 1994, s. 117–118), vilket enligt mitt sätt att se det ligger nära kunskap om tals del-helhetsrelationer. Studier i resultatet har visat att asiatiska länder, bland annat Japan och Kina, baserar grundläggande talfakta på tals del-helhetsrelationer. En fördel med att se talen i en del-helhetsrelation till exempel 6|2|8 är att det kan kopplas till båda räknesätten 6 + 2 = 8 eller 2 + 6 = 8 och 8 − 6 = 2 eller 8 − 2 = 6 (Neuman, 2013, s. 15; Zhou & Peverly, 2005, s. 266). Det kan tyckas märkligt att inte fler länder utgår från detta i sina läroplaner men en anledning skulle kunna vara att uppbyggnaden av språken ser olika ut. Neuman beskriver hur språket blir det första mötet med matematik för små barn. Genom de vuxnas ord som pekar och upprepar och visar börjar den första strävan att använda och förstå tal (Neuman, 2013, s. 8). Det är därför viktigt att lärare är medvetna om hur strukturen i talradens uppbyggnad kan variera mellan olika språk och kulturer (Löwing, 2008, s. 38). I flera asiatiska länder hjälper språket elever att se talens uppbyggnad. Hållpunkter blir språkligt femtalet och därefter uttalas entalen och likadant med tiotalen som uttalas tio och därefter ental. Det svenska språket blir vår första utmaning i att lära våra elever tals del-helhetsrelationer anser Löwing (2008, s. 47–48). Det framgår också av forskningen att undervisning om del-helhetsrelationer kan börja tidigt (Easley, 1983; Cheng, 2012). Till en början genom

(26)

23 konkret material med fokus på talens uppbyggnad och räknesättens karaktär för att

därefter övergå till det abstrakta genom räknesymboler som kopplas till räknesätten (Easley, 1983; Zhou & Peverly, 2005).

Det är dock viktigt att diskutera om talfakta bygger på konceptuell kunskap eller inte, vilket för mig inte är helt tydligt. Som jag ser det beror det på hur man definierar ordet talfakta, där ett sätt enbart kan handla om förmågan att memorera svaren på additions-och subtraktionskombinationerna. Frågan blir vad arbetet med memoreringen ger för fördelar om eleven i alla fall inte på ett flexibelt sätt kan använda dem i olika typer av matematikproblem. Utifrån studiens resultat menar Canobi et al. (1998) att eleverna med en djupare konceptuell förståelse i högre grad hade nytta av sina kunskaper och mer frekvent uttryckte att de ”bara visste” svaret. Ett liknande resultat visar studien av Dole et al. (2018) där eleverna förbättrade sin talfakta efter en undervisning som byggde på konceptuell kunskap. Baroody (2006, s. 30) menar att undervisning som bygger på en konceptuell förståelse kan vara extra viktig för de elever som har behov av extra stöd i matematiken. En av anledningarna till att elever har svårigheter med grundläggande addition och subtraktion även i högre årskurser skulle kunna vara att utantillinlärning har utgjort grunden för utveckling av talfakta för många av dem. Dock framhåller Kling (2011, s. 82) att både memorering och snabbhet är en viktig del även när en meningsfull talfakta utvecklas eftersom elever då kan koncentrera sig på andra moment i

problemlösningen. Även Baroody (2006, s. 30) och McIntosh (2008, s. 94) lyfter fram vikten av att talfakta kan användas snabbt och effektivt, vilket indikerar att både procedurella och konceptuella kunskaper behövs för att skapa en bred matematisk kompetens. Jag uppfattar att talfakta kan innebära en stabil grund och ett effektivt verktyg i både den mer avancerade matematiken eleverna möter i högre årskurser men kanske framförallt för den huvudräkning de kommer använda varje dag utanför skolan i vardagen.

(27)

24 6.3 VIDARE FORSKNING

Inför mitt kommande examensarbete ser jag en möjlighet att undersöka hur lärare planerar undervisning som möjliggör för alla elever att utveckla talfakta. Jag ser också hur framtida forskning skulle kunna innebära att analysera läroboksuppgifter för att åskådliggöra hur de grundläggande additions- och subtraktionskombinationerna gestaltas. Är dessa baserade på att visa sambandet mellan talets helhet och delar eller är

uppgifterna ordnade ett räknesätt i taget i tabeller? En annan utgångspunkt skulle kunna vara att undersöka hur och om elever i förskoleklass undervisas i tals

(28)

25

REFERENSLISTA

Baroody, A.J. (2006). Why Children Have Difficulties Mastering the Basic Number Combinations and How to Help Them. Teaching children mathematics, 13(1), 22-31. Baroody, A.J., Bajwa, N.P., & Eiland, M.D. (2009). Why can't Johnny remember the basic facts? Developmental disabilities research reviews, 15(1), 69-79.

https://doi.org/10.1002/ddrr.45

Bentley, P-O., & Bentley, C. (2011). Det beror på hur man räknar – matematikdidaktik för grundlärare. Stockholm, Sverige: Liber AB.

Bryant, P., Christie, C & Renddu, A. (1999). Children’s understanding of the relation between addition and subtraction: inversion, identity and decomposition. Journal of Experimental Child Psychology, 74(3), 194-212. https://doi.org/10.1006/jecp.1999.2517 Canobi, K. H., Reeve, R. A & Pattison, P. E. (1998). The Role of Conceptual

Understanding in Children's Addition Problem Solving. Developmental Psychology, 34(5), 882-89. http://dx.doi.org/10.1037/0012-1649.34.5.882

Cheng, Z-J. (2012). Teaching young children decomposition strategies to solve addition problems: An experimental study. Journal of Mathematical Behavior, 31(1), 29-47.

https://doi.org/10.1016/j.jmathb.2011.09.002

Dole, S., Carmichael, P., Thiele, C., Simpson, J., & Toole, C. O. (2018). Fluency with number facts -Responding to the Australian Curriculum: Mathematics. (Research Report No. 41.266-273). Hämtad från https://files.eric.ed.gov/fulltext/ED592431.pdf

Easley, J. (1983). A Japanese Approach to Arithmetic. For the Learning of Mathematics, 3(3), 8-14.

Gray, E. M., & Tall, D.O., 1994, ’Duality, ambiguity, and flexibility: A ‘proceptual’ view of simple arithmetic’, Journal for Research in Mathematics Education 26(2), 116– 140. Heiberg Solem, I., Alseth, B., & Nordberg, G., (2011). Tal och Tanke –

matematikundervisningen från förskoleklass till årskurs 3. Lund, Sverige: Studentlitteratur

(29)

26 Henry, V. & Brown, R. (2008). First-Grade Basic Facts: An Investigation into Teaching and Learning of an Accelerated, High-Demand Memorization Standard. Journal for Research in Mathematics Education, 39(2), 153–183.

Häggblom, L., (2013). Med matematiska förmågor som kompass. Lund, Sverige: Studentlitteratur.

Kiselman, C., & Mouwitz, L. (2008). Matematiktermer för skolan. Göteborg, Sverige: Nationellt centrum för matematikundervisning (NCM), Göteborgs universitet. Hämtad från https://docplayer.se/9144857-Matematiktermer-for-skolan.html

Kling, G. (2011). Fluency with Basic Addition. Teaching Children Mathematics, 18(2), 80-88.

Löwing, M. (2008). Grundläggande aritmetik: matematikdidaktik för lärare. Lund, Sverige: Studentlitteratur

Löwing, M., & Kilborn, W. (2003). Huvudräkning – en inkörsport till matematiken. Lund, Sverige: Studentlitteratur.

McIntosh, A. (2008). Förstå̊ och använda tal - en handbok. Göteborg, Sverige: Nationellt centrum för Matematikutbildning.

Nilholm, C. (2017). SMART - ett sätt att genomföra forskningsöversikter. Lund, Sverige: Studentlitteratur.

Neuman, D. (1989). Räknefärdighetens rötter. (1. uppl.) Stockholm, Sverige: Utbildningsförlaget.

Neuman, D. (2013). Att ändra arbetssätt och kultur inom den inledande

aritmetikundervisningen. Nordic Studies in Mathematics Education, 18(2), 3–46. Olsson, I., & Forsbäck, M. (2008). Alla kan lära sig matematik. Stockholm, Sverige: Natur & Kultur.

Skolverket (2017). Kommentarmaterial till kursplanen i matematik. Stockholm, Sverige: Skolverket. Hämtad från

(30)

27 Skolverket (2019). Läroplan för grundskolan, förskoleklass och fritidshemmet 2011: Reviderad 2019. Stockholm, Sverige. Hämtad från

https://www.skolverket.se/getFile?file=4206

Skolverket. (2016) TIMSS 2015-Svenska grundskoleelevers kunskaper i matematik och naturkunskap i ett internationellt perspektiv. Stockholm, Sverige: Skolverket. Hämtad från https://www.skolverket.se/getFile?file=3707

Skolverket. (2008) TIMSS 2007-En jämförande analys av elevernas taluppfattning och kunskaper i aritmetik, geometri och algebra i Sverige, Hong Kong och Taiwan.

Stockholm, Sverige: Skolverket. Hämtad från

https://www.skolverket.se/publikationsserier/aktuella-analyser/2010/svenska-elevers-matematikkunskaper-i-timss-2007

Vasilyeva, M., Laski, E. V., & Shen, C. (2015). Computational fluency and strategy choice predict individual and cross-national differences in complex arithmetic. Development Psychology, 51(10), 1489-1500. http://dx.doi.org/10.1037/dev0000045

Zhou, Z. & Peverly, S.T. (2005). Teaching addition and subtraction to first graders: A Chinese perspective. Psychology in the Schools, 42(3), 259-272.

(31)

BILAGOR

Bilaga 1

ÖVERSIKT ÖVER ANALYSERAD LITTERATUR

FÖRFATTARE TITEL SYFTE METOD RESULTAT

Easley, Jack. 1983

A Japanese approach to arithmetic.

Undersöka hur aritmetik undervisas under de två första årskursen i Japan.

Observation på en skola i Tokyo, årskurs 1, 39 elever.

Att lära sig räkna utan koppling till addition eller subtraktion. Att se mönster och förklara och diskutera hur man kombinerar tal och hur tal är uppbyggda, hitta alla kombinationerna till olika helheter.

Utgår från talet 5 och sedan talet 10. Går från visuella bilder och konkret material till siffror. Förståelse för tals uppbyggnad först och sedan kopplas det till räknesätten.

Canobi, Katherine H.; Reeve, Robert A. & Pattison, Philippa E. 1998

The Role of Conceptual Understanding in Children's Addition Problem Solving.

Undersöka en konceptuell förståelse (begrepp och principer) i relation till procedurerna (regler och metoder) när barn löser additionsuppgifter.

13 elever i årskurs 1 (6 år) och 35 elever i årskurs 2 (7år). Problemlösningsuppgifter och intervjuer

Resultatet visar att en konceptuell kunskap påverkar procedurell kunskap. De elever med hade en större konceptuell kunskap tenderade att lösa additionsproblemen snabbare och var mer flexibla i sitt användande av mentala strategier. Dessa elever hade också i högre grad nytta av sina kunskaper i talfakta, de uttryckte mer frekvent att “de bara visste” svaret på uppgiften.

Det framgår också av studien att barn behöver en förståelse för att tal kan byggas upp på olika sätt innan de förstår att olika tal kan brytas ner och byggas om till en helhet.

Zhou, Zheng & Peverly, Stephen T.

Teaching addition and

subtraction to first graders: A Studerar hur den kinesiska läroplanen fokuserar på Studerar undervisning i Kina i en årskurs 1 utifrån den kinesiska läroplanen.

Läroplanen beskriver hur undervisningen utgår får del-helhetrelationer för att få förståelse för matematik.

(32)

2005 Chinese perspective

Psychology in the Schools matematikkunskaper i årskurs 1.

Fokus på hur eleverna går från det konkreta till det abstrakta genom de-helhetsrelationer samt hur lärare undervisar konceptuell kunskap.

Intervjuer, Analys av läroplan. Första undervisningen syftar till tals del-helhetsrelation i talområdet 0–9. Muntlig undervisning med konkreta material. Addition och subtraktion lärs först ut utan symbolerna +-=.

Fokus på att förstå sambandet mellan addition och subtraktion och invers genom kunskap om talens del-helhetsrealtioner, räkna framåt och räkna bakår strategier rekommenderas inte. Konceptuell kunskap tillsammans med procedurerna.

Övergången från konkret till abstrakt sker försiktigt och långsamt.

Talet 10 lärs ut enskilt och används sedan för talområdet 10–20.

Baroody, Arthur J.

2006 Why Children Have Difficulties Mastering the Basic Number Combinations and How to Help Them

Hur barn lär sig grundläggande talfakta och hur undervisningen kan underlätta inlärningen.

Barn kan lära sig talfakta enbart genom att memorera kombinationer dock leder inte den kunskapen lika långt som meningsfull talfakta där eleverna lär sig kombinationerna genom strategier.

En undervisning som bygger på konceptuella kunskaper som förståelse för matematiken skapar möjligheter för eleverna att använda sin talfakta på effektiva sätt.

Valerie J. Henry & Richard S. Brown. 2008

First-Grade Basic Facts: An Investigation into Teaching and Learning of an Accelerated, HighDemand Memorization Standard

Undersöker om årskurs 1 elever i Kalifornien klarar att leva upp till kurskravet: att memorera talfakta i talområdet 0–18 i addition och

subtraktion.

Undersöker vilka metoder som är effektiva för att lära sig talfakta.

9 skolor i Kalifornien i 4 olika distrikt, 55 lärare och 275 elever.

Studie med lärarnas kartläggning, förtest talfakta Additions- och

subtraktionsuppgifter, intervjuer.

Majoriteten av eleverna klarade inte att memorera alla additionskombinationer upp till 18 och deras motsvarigheter inom subtraktion i årskurs 1. I andra klass bör alla elever ha goda kunskaper i grundläggande talfakta inom addition och subtraktion.

Mer är två tredjedelar av eleverna använde fortfarande upp och nedåträkning som strategi för att lösa uppgifterna.

(33)

Undersöker hur olika sorts undervisningsaktiviteter påverkar inlärningen av talfakta.

Uppgifter som syftade till att bara ange ett rätt svar på kort tid var negativt för inlärning av talfakta medan strategier för härledd fakta hade en positiv effekt. Strategier för härledd fakta hade också positiv effekt på taluppfattning hos eleverna. Bäst resultat fick elever som både hade memorerat talfakta och kunde använda strategin härledd talfakta. Rekommenderar inte enbart räkna vidare som strategi.

Diskuterar en undervisning baserad på tals de-helhetsrelation för inlärning av talfakta (likt undervisning i Asien) där talet 10 har en tydlig roll för att utveckla strategier. Rekommenderar inte en undervisning baserad på enbart

memorering av talfakta. Taluppfattning och inlärning av talfakta hör ihop.

Baroody, Arthur J; Eiland, Michael & Bajwa, Neet Priya. 2009

Why can´t Johnny remember

the basic facts? Redogör bland annat förHur lär sig barn memorera de grundläggande talfakta? Hur kan undervisning stödja elevers användande av talfakta?

Meningsfull talfakta genom att lära sig mentala strategier. Detta kräver förkunskaper i

taluppfattning.

Instruktioner som bygger på taluppfattning och förståelse för matematik ökar möjligheterna att lära sig meningsfull talfakta.

Förståelse för del-helhetsrelationer har inverkan på hur eleverna utvecklar mentala strategier.

Kling, Gina.

2011 Fluency with Basic Addition Hur lär sig barn grundläggande additionskombinationer som talfakta?

Meningsfull talfakta genom att använda härledd talfakta för additionsuppgifter. Lära sig talfakta ska ske genom mentala strategier för att vara användbara för eleverna. Nödvändigt med både memorerad fakta och förståelse. Undervisningen ska inte fokusera på enbart tabelltränig utan måste fokusera på en förståelse för matematik och strategier.

(34)

Cheng, Zi-Juan.

2012 Teaching young children decomposition strategies to solve addition problems: An experimental study.

Undersöka om 5–6 åringar kan lära sig strategier för att bygga om tal enligt

del-hehetsrelationer och på så sätt få bättre möjligheter att lösa additionsproblem.

Två grupper med barn 5½ år. Grupp 1: Experimentgrupp 35 barn

Grupp 2: Kontrollgrupp 33 barn.

Förtest med uppgifter om del-helhetsrelationer inom talen 2– 10.

Undervisning för att skapa förståelse om del-

helhetsrelationer. Kan barn använda kunskaperna för att lösa additionsproblem.

Studien visar att det är möjligt att lära yngre barn att använda “decomposition strategy” och att det stärkte dem i deras räknefärdigheter i addition.

Hur effektiva strategier barnen utvecklade stod i relation till deras kunskaper om tals del-helhetsrelationer i talområdet 1–10.

Neuman, Dagmar.

2013 Att ändra arbetssätt och kultur inom den inledande aritmetikundervisningen.

Undersöker och argumenterar för hur barn lär sig de grundläggande

kombinationerna av subtraktion och addition. Samt diskuterar tabellträning.

Intervju med barn 7–12 år. Tabellträning är negativt för barns taluppfattning och möjligheter att lära sig grundläggande addition och subtraktion. Förespråkar en uppdelning av de 10 bastalen i 25 kombinationer för att lära sig

grundläggande aritmetik. Genom att utgå ifrån 3 tals relationer kan både additions och subraktionskombinationerna läras in samt en förståelse för tals del-helhetsrelationer. Skapar också möjlighet att förstå olika räknelagar och räkneregler.

Grundläggande räknefärdigheter hör ihop med att kunna utföra huvudräkning på ett effektivt sätt.

Vasilyeva, Marin; Laski, Elida V & Shen, Chen. 2015

Computational Fluency and Strategy Choice Predict Individual and Cross-National Differences in Complex Arithmetic

Undersöker hypotesen om elevers tidiga

aritmetikkunskaper om effektiva räknestrategier och automatisering av talfakta

152 elever i årskurs 1 i Taiwan jämförs med resultat från USA.

2 tester där elevernas automatisering och strategier undersöks:

Elever som använde decomposition som strategi istället för att räkna fram ett svar fick fördelar i högre talområden. Resultatet visar att det behövs både en automatisering av talfakta samt decomposition strategi för att nå goda

(35)

påverkar deras resultat i mer

avancerad aritmetik. Tals uppbyggnad, additionsuppgifter inom olika talområden

resultat i mer avancerade aritmetiska uppgifter.

Dole, Shelley; Carmichael, Peter; Thiele, Catherine; Simpson, Jenny & O'Toole, Christine. 2018

Fluency with number facts – Responding to the Australian Curriculum: Mathematics

Undersöker om riktad undervisning i talfakta kan främja elevernas

huvudräkningsförmåga och automatisering av talfakta.

Skola 1: 134 elever i årskurs 4. Skola 2: 87 elever i årskurs 3, 129 elever i årskurs 4.

Förtest och eftertest. Riktad undervisning om talfakta. Bedömningstest med 3 områden:

1. Talfakta inom addition och subtraktion (för årskurs 3). 2. Talfakta inom

multiplikation och division (för årskurs 4).

3. Huvudräkningsuppgifter

Resultatet visar att eleverna i båda skolorna gjorde bättre ifrån sig på eftertestet. Det positiva resultatet från båda skolorna visar att en undervisning fokuserad på en

grundläggande talfakta förbättrade elevernas förmåga till effektiv huvudräkning.

Figure

Figur 1: Dagmar Neumans 25 kombinationer. Hämtad från ”Att ändra arbetssätt och kultur inom den inledande
Tabell 2: Antal (andel) rätt svar i förtest respektive eftertest (Dole et al, 2018, s

References

Related documents

Denna studie visar att eleverna tycker begreppet HU är viktigt och de vill ha mer undervisning kring dessa frågor och stöd för detta finns i

Därmed anser regeringen att reglerna ska förändras enligt följande: justeringar ska införas i SkBrL:s bestämmelser avseende särskild åtalspröv- ning i 13 § SkBrL, vilket

The Swedish part of the study included a group (n9) of hard-of-hearing (HH) and deaf children aged 14– 15 from the regional special school and a control group 1 (n8) of girls aged

Bilden upplevs iscensatt utifrån framställandet av kvinnokroppen i en posering som framhäver stereotypiska könsuttryck, men skulle också kunna ge intrycket av att vara en bild som är

Nuvarande vinklar läses in från textfilerna Räknar ut skillnad i steg mellan nuvarande och önskad position Går antalet uträknade steg Skriver nya elevationsvinkeln

Resultatet visar även att när elever får vara med och bestämma ämnen som de ska arbeta med i undervisning för hållbar utveckling ökar det också deras

Färdhastighet 875 km/h Tagen från viktuppskattningen ovan. 13) med anfallsvinkeln satt till 15 grader och hastigheten mach 0.4 från uppdragsprofilen Anfallsvinkeln

Vi vill också undersöka om det finns oförsäkrade studenter på Högskolan i Jönköping, kvantifiera andelen och utreda om det finns skillnader mellan försäkrade och