• No results found

De soliditate columnarum disquisitio, quam venia ampliss. facult. philos. Upsal. p. p. mag. Carolus Dan. Arosenius ... et Leonh. Magn. Wærn Vermel. In audit. Gustav. die XXII April. MDCCCXXXV. h. p. m. s. pars posterior.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "De soliditate columnarum disquisitio, quam venia ampliss. facult. philos. Upsal. p. p. mag. Carolus Dan. Arosenius ... et Leonh. Magn. Wærn Vermel. In audit. Gustav. die XXII April. MDCCCXXXV. h. p. m. s. pars posterior."

Copied!
16
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Â

D E S O L I D IT A T E COLUMNARUM D I S Q U I S I T I O ,

QUAM

VENIA ÀMPLISS. FACULT. PHILOS. UPSÀL.

t. r. Ma g. C A R O L U S D A N . A R O S E N I U S AD SCH O L. T R IV . FAHLUN. COLLEGA ET L E O N H. MAGN. W Æ B N VERMEL.

3N AUDIT. GUSTAV. DIE XXII APRIL. MDCCCXXXY,

U. F. K. I .

Pars Posterior.

Ü P 8 A L I Æ

(2)
(3)

GROSSHANDLAREN OCH BRUKSPATRONEN HÖGÄDLE HERR

CARL F R E B R Î K W Æ RN

• / SAMT HÖGÄDLA FRU

C H R I S T I N A HÜLPHERS

F Ö D D W Æ R N af r o r d n a d s f u l l t i l l g i f v e n h e t

(4)

S e ? Ö u i a a s t £ J f o r ä l t r r a r

(5)

r\ / 2 =s r et ponamus / z= A + B r -f- Cr2 H- f/f. P e r c o n tin u a ta s differentiationes inveniemus, esse, ubi sit

dr

r = o, / = » / 4 = 7>, — == B zzz - 77, etc. unde, neglectis su­ a r

perioribus ipsius

r

dignitatibus, mot

=

7t

{/ - t3t *2)*!

/ c* ûf# I / ^(y2^— 1 ^ ( j + 5 /* C o /2 W*) = / ; ^ I * + I / a (t + C of. 2/0*)^ B « ( | 4 - i *2) + — t* Sin. 2 = a (/ + £ / 2), unde <£hi a zzs h (i - \ t 2\ E st praeterea wi , unde P h 2 m *ct* = z — (i — f /») = vel

PAa s= A (/ -f- £ / 2) . Hinc prodit: / = ^ L a / Ph* - 77' k

7r y k

Jam appare t, / fieri imaginarium, nisi sit Ph* > # 2 A Ta

-T*

77* 6

(6)

maximum exprimere pondus, quod columnæ im ponatur, si incurvationem cavere velimus. Jam antea invenimus

k = E d 4 , unde

7t 1 Ed*

P , » —^ ' {&)

ubi 9r* E denotat pondus, quod columna, cujus dimen­ siones z z i sint, ferre valeat. Quantitas haec constans pro

'P

singulis materiis experimentis est determinanda o). F o r ­ mula ista (£ ') valet non minus pro Cylindro , quam pro Prismate basis qnadraticæ. Si vero, ut vulgo fît, wa E pro prismate inventum sit, est observandum , hoc casu valorem ipsius P ,, ut pro Cylindro valeat, esse dividen­ dum per Est enim theorema jam a multis dem on­ stratum , quod heic tantummodo citare licet b), p o n d era, quæ ferre valeant C ylindri, esse ad p o n d e ra , quae pati­ antur prismata, quorum dimensiones utraeque diametro C y­ lindri sint aequales, u t j j : $6 z z 1; z,£

e) Sic e. gr., secundum experimenta ipsius Gerstner, esset, pro> columna prismatica basis quadralicæ, ex arbore pinu facta, n 2JS = n a3o46 X # , ubi pollices Vindobonenses pro unitatibus mensurat sumantur. Vide Gerstner, opus jam citatum, pag 370.

b) Vide Gerstner pag. 317. 1. Gebier** Physikalisches Wörterbuch, Leipzig 1826, Zweit, ß. pag. i63.

(7)

Habemus igitur pro Cylindro:

P, = ^. . . . { i n

u b i 7i7E denotat pondus, quod Cubus, pro unitate sum -

tus, gestare valet.

§. 6.

Priusquam ad ceteras quasdam columnarum formas c o n sid e ra n d a s progrediam ur, effectum ponderis columnae ipsius computare conabimur. E t quum praesumere liceat, hunc effectum, si quis sit, pro columnis, quarum diame­

te r constans maneat, esse gravissimum, scilicet si formas usu frequentes solas spectemus, quantitatem illam / ( # ) , momenta rigoris denotantem, constantem et = k p o n a-mus.

Sit igitur totum column® pondus = G. E rit ergo

G x

pondus partis cujuslibet =ss -7-, quod e centro suo g r a r

h i

vitatis agere cogitemus, cujus c o o rd in a te , u t notum est,

erunt : »

J * x ^ d x7 + d y % L i \ / d x x + dyx

(8)

, . G x

Momentum pondens — , respectu puncti, cujus abscissa

G x

sit X , erit » unde, principia supra jam enuntiata

sequentes, ex aequatione (A ) habebimus

G x t d z y / d y * \

P y + T (sr-jH + * ^ ( ' - 4 — J =<>•

Q uum ta m e n , neglectis superioribus ipsiuj — digni

-dx f y d x

ta tib u s , sit y, = , habebimus

xy - f y d x f x d y

y - y , = --- = --- , unde

m*9 + . f x * , + ÿ ( « - * g ) = » • • • W

P G

f»a =3 —, « s= positis. Si esset n = o , rediret ac-

* kh quatio ( D) y = — + tV Cor.wA;- Sin^mx) ^ Ponamus igitur V s s - < & « f » # - H T5r *2 { m x C o s m x - Sin~> m x ) C -f* ». ' w 6 i

(9)

Neglectis superioribus dignitatibus ipsiijs t , habemus i-gitur: t dy du i/ = — Sin m x - t- u ; — == tCor.mx + — ; m dx dx dy* d 7y d zu

~-— ==.t2Cot2mx\ —- z=i~mt Sin uix - — ; nec non

dx* d x 2 d x 1

J x d y z ^ t J x d x C o t m x z z —x S in m x -1r —^ (C o iin x -1 )

His valoribus in aequatione (F) substitutis, prodibit:

d 2u nt

—— »f» —

d x2 m :

d 2tt nt

m 2 u + —r -f* — ( ,nx Sin mx -f- Co/ mx - 1 ) s s o , vel

/XV 2 « I I *

d ' n o 1 Y

—---- f- wi2a = ---< »;#•+* Co/.im* - / > = •

ofx1 5

P e r integrationem inveniemus igitur

«Sin w*J * X d x Cos mx - Cos mx j x d x Sin mx

m

nt Ç ?

= X <tfJ2* 2Co///i;xr- m x S i n m x 4 - 4 C 0 / WJ#>

4m C 3

ubi constantes ita sunt additae, ut u cum x evanescat. E rit igitur

t j / 5

— Sin mx -I (mx Co/ mx - Sin*mx)

m i6m

y "Ä \ «*

-i (m zx z Cof.mx • m x S m n i x + 4-4C0/JWXJ

(10)

Jam observandum , esse ' y ~ o , ubi sit x œquale t o -3t1

tius chordae = unde, si ponamus nicc — z , —— = r ,

n G --- ■— — “ = * i 4inx 4Ph , CL* o — Sinz-+-r ( z C o s z - S i n 'z ') 4--- ( z zC osz- j z S i n z z 4 - 4 - Cos.z). Sit z =a A -f” *44* ite,

per continuatas difierentiationes inveniemus, ubi s i n t / “ o

dz dz a et r zz o y esse 2 = A =stt, — = B = -7 r, — =nCr=— (tt - 8)> dr ds 7i S « G , , J etc. unde » i a = 7 r < / - Tv<2 T T T , ^

V r

et I 47s Ph ^ Pol2 V ocG? V « , * « * = _ = * ’ - » > £ • v

Jam antea invenimus c t ~ h ^ 1 - —^ « t «*=.Aa qui valores substituti tradent

«•(«-7)—

vel

(11)

Hinc concludere licet, maximum pondus lumna ferre valeat, esse, ubi sit

7T*k G k

P* ._ _ p + _ < v - - o ,

TT'k * / 7r * k z G k

7Tzk G

= Ä T * ^ * «

Si heic substituamus valorem ipsius k

! . . — TVnl '8) = 0,^47» e n t P , = — ^ --- W 47- G. , quod co-unde — Ed* et $■

Inter ceteras, quæ excogitari possint, columnarum formas, Conum truncatum, utpote qui usu sit frequentior,

(12)

lieic considerare sufficiat. Sit igitur diameter columnæ superior = d, et inferior = D \ erit utique diameter in

: D - d

genere = d -+• —- — x . Ut hoc casu exprimamus m o­ menta rigoris, observandum est, quod quidem e formula supra reperta k = E d 4 sequitur, momenta ista in directa esse proportione diametrorum biquadratarum. Si igitur

momentum rigoris superne sit = habebimus:

C Ü - d ) A

k .*/(*) = d* : ^ d + x S , unde

t h >

Ç D - d 1 *

/ ( * ) * S = k (i + ß x ) * . Nostra aequatio ita erit:

d'y_ m*y5 _ s

^ + (7 + s « 7 r i ^ = " • • • {L)

. , f p d * ,

Si - — primum neghgatur et ponamus y = t , h a

-d X

dp m*

bebimus: — - H p 2 •+■ ;--- - = o vel, si sit i+ @ xzzZ*

dx (z -t- @x)A

i m 2dz

dp -t- — p*dz -+■ jg7” = o , quœ æquatio Riccatica, si

/3 x . . . dz

ponamus p == — -f- —■» abit in — -J---- — — - — o,

1 z z * z m

* 4 - '

ubi quantitates yariabiles sunt separatae. Prodit igitur

(13)

T ß Ç f l

-f — dre < Tang. = — ^ = C, unde

£ m c m 3

a » . S t v ^ I ^ a et , = . r . * ^ + g ,

ß m ^ / w \

neo non p = T«,Bg ( a + - J .

Est tamen J p d x s s — , unde

f i d x = t og- z + / S r * * + s

Sit, brevitatis ergo, A 4 - — — v et Tang v ~ t ;

. . rr. f m \ . ™

e n t igitur •^— Tzwg ^A + ß ~ J = — d v T a n g v

tdt . /■*

_ i— et quum sit / --- — * log (i -4- t 2

i 4 - /* J i + t * ^ 5 \ - r

= t (/ *+* Tang*v) habebimus:

/ »i \ C _ / n : \ l

_ r . « ^ + g j j = - { z * ÿ + r a s g » ( A + _ ) £

atque fc u ra sit / + Tang'1 —

(14)

Sunt tamen J y d x — lo g y , z ~ / + /3*, unde

2 / = C ( , . + ß x ) Co, ( * + _ ! ! ! — ) U t determinetur A, observandum, y et x simul e v a

-m m

nescere, unde X -±- y — ço et A — po° - —. D eter­

si P

minari potest C , si per t denotemus tangentem anguli, quem cum axe abscissarum faciat ipsa curva ; est enim

dy

— = t ubi sit x — o %. P er differentiationem œquationis

dx

antecedentis inveniemus igitur C — — ♦ Cum præ tera sitt

m Cos. (a + = CV L ° - = \ ß { ' + ß x ) j + t l x prodit demum: S = m 0 - t - ßx) Sia. * ’ • * M . 1 ■+■ PX d y2 . .

Hactenus —- omisimus. Jam igitur, sicuti pro Cylindro factum est, errorem, si quis sit, corrigere fas esset, ponendo

t f IHX \

y = -<* + &*)[ Sin —- y --j ( i - b u ) . ; . . ( N )

m K 1 4 - [6x1

Quum hoc tamen operosius quam utilius sit nego­ tium , quandoquidem form ula, quam quaerimus, finalis «adem sane ex aequatione (M) deduci possit, correctio-* nem i$tam breviter solummodo exponere juyabit»

(15)

* d y* d 7if

Si igitur valöres ipsius - et ——, quos suppeditat

d x ^

æquatio ( N ) , in aequatione ( L) substituamus et

brevi-mx

tatis ergo ponamus

i ß x =5 S', habebimus:

2lß ( i + ß x j S i n 2S . du -j-2m SinS CosS.du -{- ('i-\-ß x )z SinzS —— )

dx \ ' . 3 t 2 ß m i t * m z + dxSin*$ + - ± — - d x S i n ^ C o s B ^ - l ^ ---dxSin*ÔCotz â 2 ( v .+ ( å x ) ~ und ee ( i - \ - ß x y * 2( i - \ - ß X) ctt& z1/ P) ^ Pïfft 0 ^ ß XJ ^ d r + j t ^ ~ ^ S m > ä + ^ ^ 3S i M s B in2 1 "+ — r - . - v . ' Sm2S . Co/aS} dx = a» 2 ( ( l + l3x)* j . .

H inœ pro d it:

I f J A ® - L. HL H Cg/^ . 8m*— 27ß z C i+ ß x )*

\Stn(i-\-ßx) j ß (i-{-ßx)* ji6m 2( i - \ - ß x ) z

7/3 ^ 12m2 ~\-(2jß Z — 2 Ö W * ) ( ? - { - ß x ) z 4 ni(i-\-ßxJ 16m* ( 1 -[- ß x ) 2

et

S ru b stitu en d o : •C0/.2BI y £ ( , + 0 * ; s i 7 ^ + » ( ± ^ c „ 5 1 Sm 313 (i-(-/3* J 2 y 2 — 2 7 /3 2 ( f - { - ß x ) 2 i6mz (/ 4 - ß x 7/3 4* — £Y»S Sin 2 $ 4m «SV'wS. C0/2S ?2»/24-(-27/32— 2cmz) ( i- \- ß x ) z c . a

(16)

-Jam o b s e r v a n d u m , fo re y r : o , u b i sit x r z cc z z to tiu s i'hordæ . Hino* ig it u r , eådem , q m m su p ra secu ti s u m u s , via e r u itu r :

TnU 7T — - ^ t2 f 3S^ X ^ I

i-\-ßoc l j -ßocj* j/3cc' (b-f-/3a)2 j ’

undem 2 a 2zz3-2(z + ß x ) 2- | / 2 |7r9(t4*-/3<*J“H 32a a^--- |~

1 / ~ P , f t 2 \ E t , quum sit m z r l X — et « z z h I / — --- — I k V 4* + / 3 « ) y , e r i t : / — hz z=L7t'1 (i -4- / 3/i)2 + t

unde, si brevitatis ergo p o n a m u sf z — 3/3A(z-f-^—* ^ ^/3 ä S > ~ /k ,

\ 247J2

M z z ^

\ S

P ^ 2 — fz -j- /3A)2

* 7tÿkjJt *

Jam apparet, ubi sit: PA* — 7r2k ( i - \ - ß h J 2 z = o , maximum, quod columnae im ponatur, pondus exprimi

per aequationem : P = ~j~T‘(1 "f" $A)2 . E st autem Dd ß t = — —— et A z z .Ei4 , unde dh 7T*ED2d* F = - F

References

Related documents

sint, jam patet ea, quae in N:o 7 praecedenti de altera curva perimetro sunt allata, in alteram aeque convenirej quae igitur heic repetere non opus est. Solum hoc adjiciatur:. *)

Qua; cum ita sint, primo transformetur aequatio (29), ex methodo Cel. Legendiie*), in aliam cujus variahiies independentes ipsae.

gulari, in quo puneta — per qua; superficiem transire lubeat — ita sita fuerint ut fiat a = 0: tunc equidem superficies planum erit z — d...

61 Scilicet, ut constat, aequatio superficiei minimae derivatarum partialium in omnes quadrat superficies, quas in contextu modo dixiuius: ita ut (verbis Cel. Momgi: in opere citato

tur: quod cquidem ita exprimi licet, ut sint in ambitu perimetri:. ,2v/a2

Section 4 contains concrete Carleman type inequalities that are derived from general results by handling special tra- ditionally used weight functions.. In this way a version of

1) to see how the organizations collaborate to protect the users’ privacy, especially regarding services offered through the national portal (IREMBO) and 2) to see

Även om kvinnor är överrepresenterade både inom yrket och utbildningen så var samtliga av respondenterna positiva till att få in fler män i yrkeslivet... Yrke, status