Â
D E S O L I D IT A T E COLUMNARUM D I S Q U I S I T I O ,
QUAM
VENIA ÀMPLISS. FACULT. PHILOS. UPSÀL.
t. r. Ma g. C A R O L U S D A N . A R O S E N I U S AD SCH O L. T R IV . FAHLUN. COLLEGA ET L E O N H. MAGN. W Æ B N VERMEL.
3N AUDIT. GUSTAV. DIE XXII APRIL. MDCCCXXXY,
U. F. K. I .
Pars Posterior.
Ü P 8 A L I Æ
GROSSHANDLAREN OCH BRUKSPATRONEN HÖGÄDLE HERR
CARL F R E B R Î K W Æ RN
• / SAMT HÖGÄDLA FRUC H R I S T I N A HÜLPHERS
F Ö D D W Æ R N af r o r d n a d s f u l l t i l l g i f v e n h e tS e ? Ö u i a a s t £ J f o r ä l t r r a r
r\ / 2 =s r et ponamus / z= A + B r -f- Cr2 H- f/f. P e r c o n tin u a ta s differentiationes inveniemus, esse, ubi sit
dr
r = o, / = » / 4 = 7>, — == B zzz - 77, etc. unde, neglectis su a r
perioribus ipsius
r
dignitatibus, mot=
7t{/ - t3t *2)*!
/ c* ûf# I / ^(y2^— 1 ^ ( j + 5 /* C o /2 W*) = / ; ^ I * + I / a (t + C of. 2/0*)^ B « ( | 4 - i *2) + — t* Sin. 2M» = a (/ + £ / 2), unde <£hi a zzs h (i - \ t 2\ E st praeterea wi , unde P h 2 m *ct* = z — (i — f /») = vel
PAa s= A (/ -f- £ / 2) . Hinc prodit: / = ^ L a / Ph* - 77' k
7r y k
Jam appare t, / fieri imaginarium, nisi sit Ph* > # 2 A Ta
-T*
77* 6
maximum exprimere pondus, quod columnæ im ponatur, si incurvationem cavere velimus. Jam antea invenimus
k = E d 4 , unde
7t 1 Ed*
P , » —^ ' {&)
ubi 9r* E denotat pondus, quod columna, cujus dimen siones z z i sint, ferre valeat. Quantitas haec constans pro
'P
singulis materiis experimentis est determinanda o). F o r mula ista (£ ') valet non minus pro Cylindro , quam pro Prismate basis qnadraticæ. Si vero, ut vulgo fît, wa E pro prismate inventum sit, est observandum , hoc casu valorem ipsius P ,, ut pro Cylindro valeat, esse dividen dum per Est enim theorema jam a multis dem on stratum , quod heic tantummodo citare licet b), p o n d era, quæ ferre valeant C ylindri, esse ad p o n d e ra , quae pati antur prismata, quorum dimensiones utraeque diametro C y lindri sint aequales, u t j j : $6 z z 1; z,£
e) Sic e. gr., secundum experimenta ipsius Gerstner, esset, pro> columna prismatica basis quadralicæ, ex arbore pinu facta, n 2JS = n a3o46 X # , ubi pollices Vindobonenses pro unitatibus mensurat sumantur. Vide Gerstner, opus jam citatum, pag 370.
b) Vide Gerstner pag. 317. 1. Gebier** Physikalisches Wörterbuch, Leipzig 1826, Zweit, ß. pag. i63.
Habemus igitur pro Cylindro:
P, = ^. . . . { i n
u b i 7i7E denotat pondus, quod Cubus, pro unitate sum -
tus, gestare valet.
§. 6.
Priusquam ad ceteras quasdam columnarum formas c o n sid e ra n d a s progrediam ur, effectum ponderis columnae ipsius computare conabimur. E t quum praesumere liceat, hunc effectum, si quis sit, pro columnis, quarum diame
te r constans maneat, esse gravissimum, scilicet si formas usu frequentes solas spectemus, quantitatem illam / ( # ) , momenta rigoris denotantem, constantem et = k p o n a-mus.
Sit igitur totum column® pondus = G. E rit ergo
G x
pondus partis cujuslibet =ss -7-, quod e centro suo g r a r
h i
vitatis agere cogitemus, cujus c o o rd in a te , u t notum est,
erunt : »
J * x ^ d x7 + d y % L i \ / d x x + dyx
, . G x
Momentum pondens — , respectu puncti, cujus abscissa
G x
sit X , erit » unde, principia supra jam enuntiata
sequentes, ex aequatione (A ) habebimus
G x t d z y / d y * \
P y + T (sr-jH + * ^ ( ' - 4 — J =<>•
Q uum ta m e n , neglectis superioribus ipsiuj — digni
-dx f y d x
ta tib u s , sit y, = , habebimus
xy - f y d x f x d y
y - y , = --- = --- , unde
m*9 + . f x * , + ÿ ( « - * g ) = » • • • W
P G
f»a =3 —, « s= positis. Si esset n = o , rediret ac-
* kh quatio ( D) y = — + tV Cor.wA;- Sin^mx) ^ Ponamus igitur V s s - < & « f » # - H T5r *2 { m x C o s m x - Sin~> m x ) C -f* ». ' w 6 i
Neglectis superioribus dignitatibus ipsiijs t , habemus i-gitur: t dy du i/ = — Sin m x - t- u ; — == tCor.mx + — ; m dx dx dy* d 7y d zu
~-— ==.t2Cot2mx\ —- z=i~mt Sin uix - — ; nec non
dx* d x 2 d x 1
J x d y z ^ t J x d x C o t m x z z —x S in m x -1r —^ (C o iin x -1 )
His valoribus in aequatione (F) substitutis, prodibit:
d 2u nt
—— »f» —
d x2 m :
d 2tt nt
m 2 u + —r -f* — ( ,nx Sin mx -f- Co/ mx - 1 ) s s o , vel
/XV 2 « I I *
d ' n o 1 Y
—---- f- wi2a = ---< »;#•+* Co/.im* - / > = •
ofx1 5
P e r integrationem inveniemus igitur
«Sin w*J * X d x Cos mx - Cos mx j x d x Sin mx
m
nt Ç ?
= X <tfJ2* 2Co///i;xr- m x S i n m x 4 - 4 C 0 / WJ#>
4m C 3
ubi constantes ita sunt additae, ut u cum x evanescat. E rit igitur
t j / 5
— Sin mx -I (mx Co/ mx - Sin*mx)
m i6m
y "Ä \ «*
-i (m zx z Cof.mx • m x S m n i x + 4-4C0/JWXJ
Jam observandum , esse ' y ~ o , ubi sit x œquale t o -3t1
tius chordae = unde, si ponamus nicc — z , —— = r ,
n G --- ■— — “ = * i 4inx 4Ph , CL* o — Sinz-+-r ( z C o s z - S i n 'z ') 4--- ( z zC osz- j z S i n z z 4 - 4 - Cos.z). Sit z =a A -f” *4“ 4* ite,
per continuatas difierentiationes inveniemus, ubi s i n t / “ o
dz dz a et r zz o y esse 2 = A =stt, — = B = -7 r, — =nCr=— (tt - 8)> dr ds 7i S « G , , J etc. unde » i a = 7 r < / - Tv<2 T T T , ^
V r
et I 47s Ph ^ Pol2 V ocG? V « , * « * = _ = * ’ - » > £ • vJam antea invenimus c t ~ h ^ 1 - —^ « t «*=.Aa qui valores substituti tradent
«•(«-7)—
vel
Hinc concludere licet, maximum pondus lumna ferre valeat, esse, ubi sit
7T*k G k
P* ._ _ p + _ < v - - o ,
TT'k * / 7r * k z G k
7Tzk G
= Ä T * ^ * «
Si heic substituamus valorem ipsius k
! . . — TVnl '8) = 0,^47» e n t P , = — ^ --- W 47- G. , quod co-unde — Ed* et $■
Inter ceteras, quæ excogitari possint, columnarum formas, Conum truncatum, utpote qui usu sit frequentior,
lieic considerare sufficiat. Sit igitur diameter columnæ superior = d, et inferior = D \ erit utique diameter in
: D - d
genere = d -+• —- — x . Ut hoc casu exprimamus m o menta rigoris, observandum est, quod quidem e formula supra reperta k = E d 4 sequitur, momenta ista in directa esse proportione diametrorum biquadratarum. Si igitur
momentum rigoris superne sit = habebimus:
C Ü - d ) A
k .*/(*) = d* : ^ d + x S , unde
t h >
Ç D - d 1 *
/ ( * ) * S = k (i + ß x ) * . Nostra aequatio ita erit:
d'y_ m*y5 _ s
^ + (7 + s « 7 r i ^ = " • • • {L)
. , f p d * ,
Si - — primum neghgatur et ponamus y = t , h a
-d X
dp m*
bebimus: — - H p 2 •+■ ;--- - = o vel, si sit i+ @ xzzZ*
dx (z -t- @x)A
i m 2dz
dp -t- — p*dz -+■ jg7” = o , quœ æquatio Riccatica, si
/3 x . . . dz
ponamus p == — -f- —■» abit in — -J---- — — - — o,
1 z z * z m
* 4 - '
ubi quantitates yariabiles sunt separatae. Prodit igitur
T ß Ç f l
-f — dre < Tang. = — ^ = C, unde
£ m c m 3
a » . S t v ^ I ^ a et , = . r . * ^ + g ,
ß m ^ / w \
neo non p = T«,Bg ( a + - J .
Est tamen J p d x s s — , unde
f i d x = t og- z + / S r * * + s •
Sit, brevitatis ergo, A 4 - — — v et Tang v ~ t ;
• . . rr. f m \ . ™
e n t igitur •^— Tzwg ^A + ß ~ J = — d v T a n g v
tdt . /■*
_ i— et quum sit / --- — * log (i -4- t 2
i 4 - /* J i + t * ^ 5 \ - r
= t (/ *+* Tang*v) habebimus:
/ »i \ C _ / n : \ l
_ r . « ^ + g j j = - { z * ÿ + r a s g » ( A + _ ) £
atque fc u ra sit / + Tang'1 —
Sunt tamen J y d x — lo g y , z ~ / + /3*, unde
2 / = C ( , . + ß x ) Co, ( * + _ ! ! ! — ) U t determinetur A, observandum, y et x simul e v a
-m m
nescere, unde X -±- y — ço et A — po° - —. D eter
si P
minari potest C , si per t denotemus tangentem anguli, quem cum axe abscissarum faciat ipsa curva ; est enim
dy
— = t ubi sit x — o %. P er differentiationem œquationis
dx
antecedentis inveniemus igitur C — — ♦ Cum præ tera sitt
m Cos. (a + = CV L ° - = \ ß { ' + ß x ) j + t l x prodit demum: S = m 0 - t - ßx) Sia. * ’ • * M . 1 ■+■ PX d y2 . .
Hactenus —- omisimus. Jam igitur, sicuti pro Cylindro factum est, errorem, si quis sit, corrigere fas esset, ponendo
t f IHX \
y = -<* + &*)[ Sin —- y --j ( i - b u ) . ; . . ( N )
m K 1 4 - [6x1
Quum hoc tamen operosius quam utilius sit nego tium , quandoquidem form ula, quam quaerimus, finalis «adem sane ex aequatione (M) deduci possit, correctio-* nem i$tam breviter solummodo exponere juyabit»
* d y* d 7if
Si igitur valöres ipsius - et ——, quos suppeditat
d x ^
æquatio ( N ) , in aequatione ( L) substituamus et
brevi-mx
tatis ergo ponamus
i ß x =5 S', habebimus:
2lß ( i + ß x j S i n 2S . du -j-2m SinS CosS.du -{- ('i-\-ß x )z SinzS —— )
dx \ ' . 3 t 2 ß m i t * m z + dxSin*$ + - ± — - d x S i n ^ C o s B ^ - l ^ ---dxSin*ÔCotz â 2 ( v .+ ( å x ) ~ ■ und ee ( i - \ - ß x y * 2( i - \ - ß X) ctt& z1/ P) ^ Pïfft 0 ^ ß XJ ^ d r + j t ^ ~ ^ S m > ä + ^ ^ 3S i M s B in2 1 "+ — r - . - v . ' Sm2S . Co/aS} dx = a» 2 ( ( l + l3x)* j . .
H inœ pro d it:
I f J A ® - L. HL H Cg/^ . 8m*— 27ß z C i+ ß x )*
\Stn(i-\-ßx) j ß (i-{-ßx)* j ’ i6m 2( i - \ - ß x ) z
7/3 ^ 12m2 ~\-(2jß Z — 2 Ö W * ) ( ? - { - ß x ) z 4 ni(i-\-ßxJ 16m* ( 1 -[- ß x ) 2
et
S ru b stitu en d o : •C0/.2BI y £ ( , + 0 * ; s i 7 ^ + » ( ± ^ c „ 5 1 Sm 313 (i-(-/3* J 2 y 2 — 2 7 /3 2 ( f - { - ß x ) 2 i6mz (/ 4 - ß x 7/3 4* — £Y»S Sin 2 $ 4m «SV'wS. C0/2S ?2»/24-(-27/32— 2cmz) ( i- \- ß x ) z c . a-Jam o b s e r v a n d u m , fo re y r : o , u b i sit x r z cc z z to tiu s i'hordæ . Hino* ig it u r , eådem , q m m su p ra secu ti s u m u s , via e r u itu r :
TnU — 7T — - ^ t2 f 3S^ X ^ I ” —
i-\-ßoc l j -ßocj* j/3cc' (b-f-/3a)2 j ’
undem 2 a 2zz3-2(z + ß x ) 2- | / 2 |7r9(t4*-/3<*J“H 32a a^--- |~
1 / ~ P , f t 2 \ E t , quum sit m z r l X — et « z z h I / — --- — I k V 4* + / 3 « ) y , e r i t : / — hz z=L7t'1 (i -4- / 3/i)2 + t
unde, si brevitatis ergo p o n a m u sf z — 3/3A(z-f-^—* ^ ^/3 ä S > ~ /k ,
\ 247J2
M z z ^
\ S
P ^ 2 — fz -j- /3A)2* 7tÿkjJt *
Jam apparet, ubi sit: PA* — 7r2k ( i - \ - ß h J 2 z = o , maximum, quod columnae im ponatur, pondus exprimi
per aequationem : P = ~j~T‘(1 "f" $A)2 . E st autem D — d ß t = — —— et A z z .Ei4 , unde dh „ 7T*ED2d* F = - F