Hur noggrant kan kontaktkrafter mellen hjul och järnvägsräl mätas?

(1)

Department of Solid Mechanics

Hur noggrant kan kontaktkrafter

mellan hjul och järnvägsräl mätas?

av

Stefan Johnsson Isak Kulenovic

LITH-IKP-EX--05/2244--SE

(2)

Publiceringsdatum (elektronisk version)

Språk Rapporttyp _ISBN:

Svenska

Annat (ange nedan)

Licentiatavhandling Examensarbete ISRN: ________________ C-uppsats D-uppsats Serietitel Övrig rapport __________________ Serienummer/ISSN

URL för elektronisk version

Titel Författare Sammanfattning produktionsteknik, IKP Hållfasthetslära

2005-03-08

✘ LITH-IKP-EX--05/2244--SE ✘

LITH-IKP-EX--05/2244--SE

Hur noggrant kan kontaktkrafter mellen hjul och järnvägsräl mätas?

Stefan Johnsson, Isak Kulenovic

Det finns flera olika metoder att väga ett tåg samt att detektera hjulskador såsom hjulplattor då ett tåg är i drift. I dagsläget används töjningsgivare som monteras på rälen och som kalibreras efter en statisk last. Kalibreringen går till så att ett tåg med känd last sakta passerar över givaren. Detta arbete avser att studera hur eventuella dynamiska effekter påverkar sådana mätningar. Dessa mätmetoder ska undersökas för att få reda på hur tillförlitliga de är.

Olika FEM-simuleringar utförs för att undersöka de dynamiska effekterna. Dels studeras en konstant åkande kraft och dels studeras en åkande kraft bestående av en konstant och en harmonisk (sinusvarierande) del. Skjuvspänningsfördelningen i rälen bestäms och den kan sedan räknas om till tvärkraft, varefter den passerande lasten kan beräknas.

Rapporten behandlar även simuleringar av hjulplattor, vågutbredning, kontakttider samt hur en last med varierande frekvens och hastighet påverkar sådana mätningar.

Abstract

Several different methods to weigh railway trains and to detect wheelflats are in use. One method make use of strain gauges calibrated with a static load. This means that a train with a known axle load slowly passes the gauge that is calibrated. The work presented here aims at studying how dynamic train/track interaction influences the shear stress in the rail.

Different FEM-analyses have been performed to study this. On the one hand analyses with a constant force travelling along the rail have been performed and on the other hand a travelling force that consists of a constant part and a harmonic part was used. The shear stress distribution in the rail gives the possibility to calculate the magnitude of the travelling force passing the gauge. The report also deals with detecting wheelflats, that is, detecting when an impact load hits the rail.

(3)

Sammanfattning

Det finns flera olika metoder att väga ett tåg samt att detektera hjulskador såsom hjulplattor då ett tåg är i drift. I dagsläget används töjningsgivare som monteras på rälen och som kalibreras efter en statisk last. Kalibreringen går till så att ett tåg med känd last sakta passerar över givaren. Detta arbete avser att studera hur eventuella dynamiska effekter påverkar sådana mätningar. Dessa mätmetoder ska undersökas för att få reda på hur tillförlitliga de är. I de fall stora avvikelser erhålls ges förslag till förbättringar.

Olika simuleringar kommer att utföras för att undersöka de dynamiska

effekterna. Dels studeras en konstant åkande kraft och dels studeras en åkande kraft bestående av en konstant och en harmonisk (sinusvarierande) del.

Skjuvspänningsfördelningen i rälen bestäms och den kan sedan räknas om till tvärkraft, varefter den passerande lasten kan beräknas.

Följande resultat för en åkande kraft kan redovisas:

• För en konstant last som rör sig med konstant hastighet visar det sig att med gjorda approximationer avviker registreringen av den passerande lasten med mellan tre till nio procent. Dessa avvikelser visade sig inte vara hastighetsberoende, d v s större avvikelser erhölls ej för högre hastighet och vice versa.

• För lasten bestående av en konstant och en sinusvarierande del visar det sig att stora avvikelser erhålls. Avvikelserna beror på hur stort tillskottet är från den sinusvarierande delen av lasten. Upp till tjugo procent för låg eller för hög passerande last i förhållande till den statiska registrerades. Detta problem skulle kunna undvikas genom att flera töjningsgivare (kanske upp till tjugo eller flera) används. Dessa givare skulle då kunna användas för att bilda ett medelvärde av den passerande lasten.

(4)

Rapporten behandlar även simuleringar av hjulplattor där ett slag ges på rälen. Detta slag genererar vågutbredning i rälen. Via simuleringarna som utförts har följande framkommit:

• Tryckvågor och någon form av skjuvvågor utbreder sig i rälen. De olika vågorna fortplantas med olika hastighet. Det visade sig att beroende på var givarna placerades i förhållande till slaget så erhölls olika form på den registrerade spänningskomponenten. Detta beror på att tryck- och

skjuvvågorna anländer med olika fas till den punkt spänningen registreras. • Kontakttiden för vilket slaget är i kontakt med rälen uppskattades till att

(5)

Abstract

Several different methods to weigh railway trains and to detect wheelflats are in use. One method make use of strain gauges calibrated with a static load, which means that a train with a known axle load slowly passes the gauge that is calibrated. The work presented here aims at studying how dynamic train/track interaction affects the shear stress in the rail.

Different analyses have been performed to study this. On the one hand analyses with a constant force travelling along the rail has been studied and on the other hand a travelling force that consists of a constant part and a harmonic part was used. The shear stress distribution in the rail gives the possibility to calculate the magnitude of the travelling force passing the gauge.

The following results with a travelling load will be reported:

• The results for a travelling constant force shows that, with all the approximations done, the estimation of the passing force deviates with three to nine percent from the real load. This difference seems not to be speed dependent, that is, a larger difference was not obtained for higher speed and vice versa.

• The results for the load that consists of a constant part and a harmonic part show a larger difference because of the varying part of the load. The estimated force could be between 80 and 120 percent of the passing load. This problem can be handled by adding extra strain gauges (maybe 20 or more). These gauges could then be used to calculate a mean value of the passing load.

(6)

The report also deals with detecting wheelflats, that is, detecting when an impact load hits the rail. The impact load generates waves in the rail. The simulations showed the following:

• Both pressure waves and shear waves are present. Depending on where the strain gauges are placed (in comparison to the impact load) these waves arrive to a gauge at different phase implying that a recorded stress component will look differently at different distances from the load. • The time for which the impact load is in contact with the rail is

(7)

Förord

Som en avslutande del av våra studier till civilingenjör i maskinteknik med inriktning mot hållfasthetslära ingår ett examensarbete omfattande 20 poäng. Detta examensarbete har utförts vid Linköpings Tekniska Högskola,

avdelningen för hållfasthetslära, Institutionen för Konstruktions- och Produktionsteknik.

Först och främst vill vi tacka vår handledare Tore Dahlberg för alla hjälp och goda råd under arbetets gång. Vi vill även tacka Bo Torstenfeldt, som bistått oss med goda råd vad gäller FEM-programmet TRINITAS, och övrig personal på avdelningen för hållfasthetslära som hjälpt oss under arbetets gång.

Linköping februari 2005 Stefan Johnsson

(8)

(9)

Innehållsförteckning

1 INLEDNING ___________________________________________________________ 1 1.1 BAKGRUND____________________________________________________________ 1 1.2 SYFTE________________________________________________________________ 1 1.3 MÅL_________________________________________________________________ 2 1.4 BEGRÄNSNINGAR_______________________________________________________ 2 1.5 FÖRENKLINGAR________________________________________________________ 2 1.6 PATENT_______________________________________________________________ 3 2 TEORI ________________________________________________________________ 7 2.1 BESKRIVNING AV RÄLSSTRUKTUREN OCH DESS KOMPONENTER__________________ 7

2.2 DEFINITION AV ANVÄNDA UTTRYCK________________________________________ 9

2.2.1 MÄTNING____________________________________________________________ 9 2.2.2 TRÅDTÖJNINGSGIVARE__________________________________________________ 9 2.2.3 HJULPLATTA ________________________________________________________ 10 2.2.4 SPÄNNINGSKOMPONENTER______________________________________________ 10 2.2.5 SKJUVTÖJNING_______________________________________________________ 11 2.2.6 EGENFREKVENS______________________________________________________ 11

2.2.7 PINNED-PINNED-FREKVENSEN___________________________________________ 11

2.3 VÅGUTBREDNING______________________________________________________ 12 2.3.1 TRYCKVÅG__________________________________________________________ 12 2.3.2 SKJUVVÅG __________________________________________________________ 13 2.3.3 YTVÅG_____________________________________________________________ 13 3 FINITA ELEMENTMETODEN __________________________________________ 15 3.1 TEORI_______________________________________________________________ 15 3.2 PROGRAMVARA_______________________________________________________ 15 4 VERIFIERING AV FEM-MODELLER ___________________________________ 17 4.1 MODELL 1-ANALYS AV FÖRSKJUTNINGEN__________________________________ 17

(10)

4.2 MODELL 2-ANALYS AV EGENVINKELFREKVENSER ___________________________ 18 4.3 MODELL 3-ÅKANDE LAST PÅ FRITT UPPLAGD BALK __________________________ 20

4.3.1 BESTÄMNING AV TIDSSTEGET____________________________________________ 21 4.3.2 BERÄKNING AV TVÄRKRAFT SAMT PASSERANDE LAST P _______________________ 22

4.3.3 NORMALSPÄNNINGAR HOS EN FRITT UPPLAGD BALK__________________________ 25

4.4 MODELL 4-SKJUVSPÄNNINGSFÖRDELNING _________________________________ 28

4.4.1 AREABERÄKNING GENOM NUMERISK INTEGRATION___________________________ 32

4.5 MODELL 5-BALK PÅ FJÄDRANDE UNDERLAG________________________________ 33

4.5.1 BESTÄMNING AV FJÄDERSTYVHETEN______________________________________ 34

4.5.2 NORMALSPÄNNINGAR HOS BALK PÅ DISKRETA FJÄDRAR_______________________ 36 4.5.3 TEST AV RANDVILLKOR ________________________________________________ 38

4.6 MODELL 6-EGENFREKVENSER HOS BALK PÅ FJÄDRAR ________________________ 39

4.6.1 SAMBAND MELLAN SKJUVSPÄNNING OCH FREKVENS__________________________ 39 4.6.2 JÄMFÖRELSE MELLAN MODELL 4 OCH MODELL 5 _____________________________ 43

4.7 MODELL 7-TREDIMENSIONELL MODELL ___________________________________ 44

4.7.1 KONTROLL AV ELEMENT SAMT ELEMENTTÄTHET_____________________________ 45 4.7.2 MELLANLÄGG OCH SLIPER______________________________________________ 46 4.7.3 SLUTGILTIG MODELL __________________________________________________ 48

4.7.4 SKJUVSPÄNNINGSFÖRDELNING I RÄLEN____________________________________ 50

4.7.5 SKJUVSPÄNNINGSFÖRDELNING I 3D MODELLEN: _____________________________ 50 4.7.6 BERÄKNING AV TVÄRKRAFT_____________________________________________ 53

4.7.7 NORMALSPÄNNING OCH SKJUVSPÄNNING I RÄLENS LIV________________________ 54

5 DETEKTERING AV HJULPLATTOR ____________________________________ 57 5.1 HJULPLATTANS UTSEENDE ______________________________________________ 57 5.2 IMPULSLASTENS UTSEENDE______________________________________________ 58 5.3 DÄMPNING___________________________________________________________ 59 5.4 IMPULSLASTENS ANLIGGNINGSTID________________________________________ 60 5.5 SIMULERING AV HJULPLATTA____________________________________________ 63

5.5.1 IMPULSLAST MELLAN SLIPRAR.FALLET BALK PÅ DISKRETA FJÄDRAR_____________ 63

5.5.2 IMPULSLAST OVAN EN SLIPER.FALLET BALK PÅ DISKRETA FJÄDRAR______________ 64 5.5.3 IMPULSLAST MELLAN SLIPRAR.FALLET 3D-MODELL__________________________ 65

5.5.4 IMPULSLAST OVAN EN SLIPER.FALLET 3D-MODELL___________________________ 66

5.5.5 STUDIE AV VÅGUTBREDNING I RÄLEN _____________________________________ 67

6 MÖJLIGA FELKÄLLOR VID VÄGNING AV TÅG_________________________ 69 6.1 LAST MED VARIERANDE FREKVENS________________________________________ 69

6.1.1 FRITT UPPLAGD BALK BELASTAD MED EN ÅKANDE SINUSVARIERANDE LAST________ 69 6.1.2 TREDIMENSIONELL MODELL BELASTAD MED EN ÅKANDE SINUSVARIERANDE LAST___ 71

(11)

8 BIBLIOGRAFI ________________________________________________________ 77 9 BILAGOR ____________________________________________________________ 79 9.1 BILAGA 1. ____________________________________________________________ 79

9.1.1 RITNING PÅ EN RÄL AV TYP UIC60 _______________________________________ 79

9.2 BILAGA 2. ____________________________________________________________ 80

9.2.1 EGENSVÄNGNINGAR HOS EN FRITT UPPLAGD BALK ___________________________ 80 9.2.2 SKJUVSPÄNNINGSFÖRDELNING FÖR EN BALK MED REKTANGULÄRT TVÄRSNITT _____ 83

(12)

(13)

1 Inledning

1.1 Bakgrund

Då ett tåg färdas på en järnväg kan det vara av intresse att kunna väga tåget för att få reda på dess last, så att till exempel ett tåg med överlast kan registreras. Förutom att man vill kunna väga tåget under drift vill man även detektera hjulskador, såsom hjulplattor. Detta för att en eller flera vagnar med hjulskador på ett tidigt stadium ska kunna tas ur drift. På detta sätt förhindras onödigt slitage eller haveri av rälen. I dagsläget används trådtöjningsgivare som fästs på rälens liv, varpå man låter ett lastat ekipage med känd vikt sakta färdas över rälen där givarna är placerade. Mätsignalen som erhålls från trådtöjningsgivarna kalibreras sedan efter den last som passerat. Det som inte är helt klarlagt är hur noggranna dessa mätningar blir då tågets hastighet är så hög att eventuella

dynamiska effekter inverkar på mätningarna. Några redan existerande förslag till lösningar av tågvägningsproblematiken ges i avsnitt 1.6: Patent.

1.2 Syfte

Ett syftet med detta examensarbete är att undersöka hur dynamiska effekter påverkar skjuvspänningen i rälen. Detta för att ta reda på om de dynamiska effekterna är av betydelse då man kalibrerat mätsignalen efter en statisk last. Ett annat syfte med detta examensarbete är att undersöka om man kan detektera hjulskador på ett tidigt stadium för att förhindra onödigt slitage av rälen genom att det hjulpar som är skadat tas ur drift.

Simuleringar utförs med FEM programmet Trinitas där en del av de numeriska lösningarna jämförs med motsvarande analytiska lösningar.

(14)

1.3 Mål

De huvudsakliga målen med detta arbete är följande:

• Att verifiera olika FEM modeller samt att studera vilken påverkan dynamiken har på skjuvspänningen i rälen.

• Undersöka hur slag från hjulplattor registreras och analyseras.

• Bestämma i hur många mätpunkter skjuvspänningen måste registreras för att få en tillförlitlig uppskattning av en passerande last då lasten varierar i tiden med låg och hög frekvens.

1.4 Begränsningar

Genom hela studien av de olika modellerna som belastas med en rörlig last har ingen hänsyn tagits till dämpning utan dessa modeller har varit helt odämpade. Andra begränsningar har varit programvaran i kombination med modellens storlek och den tillgängliga datorkraft som använts för att utföra beräkningarna. För att kunna utföra analyser av 3D-modellen har element med färre antal noder än det önskade varit tvunget att väljas.

1.5 Förenklingar

Vissa förenklingar av problemet har gjorts under detta arbete. Rälen förutsätts vara perfekt, vilket innebär att rälshuvudet antas vara helt slätt och jämnt. Lasten som belastat de olika modellerna har simulerats som en åkande kraft. Detta innebär att ingen hänsyn tagits till tågets massa vilket även innebär att de effekter som skulle kunna uppkomma på grund av tågets masströghet har

försummats. Sliprar, mellanlägg och ballast har ersatts med ett material med en ekvivalent styvhet beräknad efter en maximal given förskjutning av rälen. Utbredningen av slipers och ballast tvärs rälen har sträckt sig till att motsvara rälens bredd. I ett verkligt fall borde sliprar och ballast ha en utsträckning även i rälens tvärled.

(15)

1 Inledning

1.6 Patent

Det finns olika metoder för att mäta ett tågs tyngd, se [12]. Olika metoder är patenterade av olika personer/företag. Vilka metoder som används beror på olika faktorer och på metodens struktur. Några metoder är lite komplicerade och

därför svåra att använda på grund av att de kräver mycket kringutrustning. Nedan presenteras några tillgängliga metoder för att väga ett tåg.

1. Patent från 2003 bygger på att ett hål borras i livet på rälen och i hålet placeras givare och sensorer. Mellan två sliprar lägger man till en/fler extra sliper/sliprar för att mäta vikten, se Figur 1 nedan. Den av

tyngden som skulle tas upp i de riktiga sliprarna mäts av de givare som finns placerade i rälen (det blir en viss kraftfördelning i rälen vilket behandlas senare i rapporten).

Figur 1 Mätning av axellasten med hjälp av extra sliprar

2. Patent från 1984 bygger på att speciella mellanlägg används. Mellanlägget placeras mellan rälen och en sliper. De rektangulära mellanlägg som används är uppbyggda på ett speciellt sätt, som en sandwichkonstruktion, se Figur 2. Kraften mellan räl och sliper mäts med detta mellanlägg.

(16)

Figur 2 Mellanlägget som en sandwichkonstruktion

3. Patent från 2004 bygger på att elektronisk utrustning används, se Figur 3. För att mäta axellasten kopplas rälerna ihop med en elektrisk givare. Givaren ger en elektrisk utsignal när tåget passerar, och denna utsignal sägs vara exakt proportionell mot tågets tyngd.

Figur 3 Elektronisk mätning av axellasten samt givarnas placering

4. Patent från 1979 bygger på att en givare placeras på livet av en räl. Givaren monteras med 45 gradens vinkel. Här används en I-balk som fungerar som en sliper och denna I-balk är utrustad med samma givare som rälen, se Figur 4. Alla givarna tillsammans ger en utsignal som motsvarar tågets tyngd.

(17)

1 Inledning

Figur 4 Mätning av axellasten med en tvärgående I-balk

5. Patent från 2004 beräknar tågets vikt med hjälp av vinklar. Tågets hjul är inte cylindriska utan hjulen är lite koniska. Hjulen är koniska för att man ska få en styrning av hjulen. Detta utseende på hur kraften

angriper rälen avspeglar det verkliga fallet. Rälens liv är utrustad med givare som ger en signal beroende på hur mycket rälen är vinklad. Signalen bearbetas och slutligen fås ett approximativt värde av tyngden.

(18)

Det finns även några patent där töjningsgivare är elektroniskt kopplade till en dator som ger ett utslag motsvarande tågets vikt. Det finns flera olika metoder på hur dessa givare är kopplade och hur de ger utsignalen. I dessa fall är det den elektriska delen av patenten som är det som

(19)

2 Teori

I detta avsnitt beskrivs rälsstrukturens uppbyggnad med dess komponenter och använda uttryck definieras. I ett avsnitt behandlas olika typer av vågor som förekommer vid vågutbredning.

2.1 Beskrivning av rälsstrukturen och dess komponenter

Ett järnvägsspår kan delas upp i två distinkta subsystem; banöverbyggnad och banunderbyggnad, se [11].

• Banöverbyggnaden inkluderar spår och ballast. Spåret är det som ytterst bär upp fordonet och inkluderar räl, sliprar, rälsbefästning, ballast och subballast. Dessa komponenter tar upp och distribuerar tågets tyngd. De kräver periodiskt underhåll och förnyelse.

• Banunderbyggnaden utgörs av bankroppen, även kallad banvall. Detta är en slags bas eller formationslager vilket belastas av tåget via räls, slipers och ballast.

En schematisk bild över banans olika komponenter ges i Figur 6.

(20)

Följande delar definieras, se Figur 6, • Rälen

• Mellanlägg (ofta av gummi) och rälsbefästning • Sliper

• Ballast • Subballast • Undergrund

• Rälernas uppgift är att föra tågets hjul i rätt riktning samt att fungera som lastbärande konstruktionselement. Som farbana ska rälerna vara jämna så att denna erbjuder en tyst och vibrationsfri rullning samt ett lågt

rullningsmotstånd. Som konstruktionselement ska rälerna ta upp statiska och dynamiska laster i tre riktningar, samt distribuera dessa via

rälsbefästningar, mellanlägg och sliprar till ballast och banvall.

• Rälsbefästningens primära uppgift är att hålla samman räl och sliper både under statisk och dynamisk belastning. Rälsbefästningen och mellanlägget ska tillsammans även överföra belastningen från slipern i längs-, tvärs- och vertikalriktningen. Mellanlägget har även till uppgift att fungera som elektrisk isolator av rälen. Mellanlägget påverkar även spårets styvhet. Då spåret belastas av tåget så tillåter ett mjukare mellanlägg en större

förskjutning av rälen och därmed en lastfördelning över fler sliprar.

• Sliprarna är de komponenter som befinner sig mellan räls och ballast. Sliperns uppgift är följande:

1. Fjädrande fundament för rälerna, vilket innebär överföring av punktlaster från rälernas upplagspunkter till spänningar i ballasten. 2. Fixera rälerna i sidled för korrekt rälavstånd, d v s spårvidd.

3. Samverka med rälerna via rälsbefästningarna för att göra spåret böjstyvt i sidled.

(21)

2 Teori

• Ballasten är det lager av krossad sten som sliprarna vilar på. Ballasten fyller även utrymmet mellan sliprarna såväl som ett område utanför dessa. Ballastens uppgifter är följande:

1. Att ta upp och fördela statiska och dynamiska belastningar i alla tre riktningar till banunderbyggnaden.

2. Att ge spåret stabilitet i både sidled och höjdled samt att vid behov kunna justeras i sid- och höjdled.

3. Vara något elastiskt.

4. Uppta en stor del av de uppkomna vibrationerna. 5. Ge regnvattensdränage.

• Subballast är ett lager under ballasten som har till uppgift att bl.a. skydda den övre ytan i undergrunden från inträngning av stenar från ballasten, fungera som en vidare distributör av lasten, fungera som

regnvattensdränage, mm.

• Undergrunden är det nedersta lagret. Det och kan vara täckt med ett formationslager om undergrunden är för ojämn eller av för dålig kvalitet.

2.2 Definition av använda uttryck

Nedan förklaras vad som menas med några av de uttryck som används i rapporten.

2.2.1 Mätning

Med ”mätning” eller ”mätresultat” avses i denna rapport de erhållna beräknade spänningsvärdena i elementens noder, där varje nod representerar en mätpunkt. De framräknade spänningsvärdena är tänkta att svara mot motsvarande

mätresultat om en givare placeras i den punkt där spänningen beräknas.

2.2.2 Trådtöjningsgivare

En trådtöjningsgivare består av tunna metalltrådar (eller metallfolie) fastklistrade vid en täckfolie. Då dessa metalltrådar utsätts för en töjning minskar dess area vilket ger upphov till en resistansökning i tråden. Det som

(22)

mäts är således en resistansändring vilket motsvarar en viss töjning.

Trådtöjningsgivaren fästs på rälen i fyrtiofem graders vinkel för att mäta den skjuvtöjning som uppkommer i rälen då ett tåg passerar.

2.2.3 Hjulplatta

Hjulplattor kan uppkomma på grund av problem med hjulets bromsar genom att dessa låser hjulet då tåget startar eller stannar. Detta innebär att hjulet glider längs rälen en stund innan det börjar rotera. När hjulet glider på rälen formas en slät yta på grund av nötningen. När hjulet sedan börjar rotera utsätts rälen för ett slag vid varje hjulvarv. Dessa slag ger upphov till högfrekventa vibrationer i rälen och skapar oljud. Ibland kan till och med dessa slag vara så kraftiga att rälen slås av.

2.2.4 Spänningskomponenter

Spänningskomponenterna definieras enligt Figur 7 nedan.

Figur 7 Tredimensionell spänningstillstånd

Skjuvspänningen definieras som τxy =τyx, τxz =τzx och τyz =τzy.

Normalspänningen i x-, y- respektive z-led definieras i figuren ovan enligt

σ

x,

σ

y och

σ

z.

(23)

2 Teori

2.2.5 Skjuvtöjning

Skjuvtöjningen kan definieras på följande sätt, se Figur 8:

γ

Figur 8 Skjuvtöjningen γ

När en skjuvlast (enligt pilarna) belastar ett element ändras elementets vinkel. Denna vinkeländring är skjuvtöjningen.

2.2.6 Egenfrekvens

Definieras som den frekvens ett system som utsätts för en störning väljer att svänga med om störningen avlägsnas. Denna frekvens, egenvinkelfrekvensen, ges av systemet självt.

2.2.7 Pinned-Pinned-frekvensen

Pinned-pinned-frekvensen är den böj-frekvens hos rälen vid vilken böjvågornas våglängd är två sliperavstånd. I detta fall innebär det att böjvibrationerna har noder vid rälens stöd, vilket är sliprarna.

(24)

2.3

Vågutbredning

Det finns två olika typer av volymsvågor, tryckvågor och skjuvvågor. En tredje slags våg är den så kallade ytvågen eller Rayleighvågen. Dessa vågtyper

behandlas i följande avsnitt.

2.3.1 Tryckvåg

Tryckvågen är den våg som har den högsta utbredningshastigheten och kallas därför också för primärvåg eller P-våg. Tryckvågen rör sig endast i vågens utbredningsriktning genom att det medium vågen propagerar i förtätas

respektive förtunnas. Detta ger en partikelrörelse i vågens utbredningsriktning, se Figur 9 nedan.

Figur 9 Tryckvåg

För att beskriva vågens form används även uttrycket longitudinell våg. Tryckvågens utbredningshastighet kan skrivas som

ρ

E c_p = m/s

(25)

2 Teori

2.3.2 Skjuvvåg

Skjuvvågen kallas även sekundärvåg eller S-våg. Här rör sig partiklarna till skillnad från vad som gäller för tryckvågen vinkelrätt mot

utbredningsriktningen, det vill säga partikelrörelsen sker vertikalt, se Figur 10 nedan.

Figur 10 Skjuvvåg

För att beskriva vågens form används även uttrycket transversell våg. Skjuvvågens utbredningshastighet kan skrivas som

) 1 ( 2 s _ρ _ρ _υ + ⋅ ⋅ = = G E c

där G är materialets skjuvmodul och

ν

är materialets tvärkontraktionstal. 2.3.3 Ytvåg

Längs fria ytor bildas en annan typ av vågor, ytvågor. Ytvågen som också kallas Rayleighvåg kan liknas vid de ringar som bildas på vattenytan då en sten slängs i vattnet. Rayleighvågen är en kombination av transversell och longitudinell våg och dess partikelbana är i princip elliptisk, se Figur 11 nedan.

(26)

(27)

3 Finita Elementmetoden

I detta avsnitt beskrivs Finita Elementmetoden kort samt den programvara som används för att utföra beräkningar.

3.1 Teori

Finita Elementmetoden (FEM) har använts sedan 1940-talet men fick sitt genombrott under 1960-talet.

Normalt är problemen man vill lösa alldeles för stora och komplicerade för att förenklas så att ett tillförlitligt resultat erhålls med analytiska lösningar. Finita Elementmetoden är då ett perfekt verktyg. Detta eftersom det är en numerisk lösningsmetod som används för att beräkna de differentialekvationer som uppkommer inom mekaniken. Principen för finita element-metoden bygger på att en komplicerad struktur/geometri diskretiseras i ett ändligt antal element med enkel geometri. Differentialekvationerna löses sedan numeriskt för vart och ett av elementen.

Elementen är sammankopplade i punkter som kallas noder. Assembleringen av element ger en finita element-struktur, där struktur menas en kropp eller ett område. Olika typer av element har olika antal noder. Typ av element väljs beroende på tillämpning, t ex så kan balk-, skal- eller solid-element användas.

3.2 Programvara

Programvaran Trinitas som används vid detta arbete är ett program utvecklat av universitetslektor Bo Torstenfeldt, Linköpings Universitet, Avdelningen för Hållfasthetslära.

Trinitas består av en integrerad preprocessor, beräkningsmodul och post-processor. Dessa tre delar kan beskrivas enligt följande.

(28)

• I preprocessorn definieras geometrin för den komponent som ska analyseras. Här definieras även materialegenskaper, kontakter, laster, randvillkor, elementnät osv.

• Beräkningsmodulen är den del av programmet som läser in de ekvationer som skall lösas. De tidsberoende ekvationerna integreras genom explicit eller implicit tidsintegrering.

• Postprocessorn ger möjligheten att utvärdera resultaten från FE-analysen, det vill säga spänningar, förskjutningar, accelerationer mm.

Integreringen som används i analyserna som följer använder sig av direkt tidsintegrering, se [13].

(29)

4 Verifiering av FEM-modeller

Den största delen av detta arbete har åtgått till att utföra simuleringar med FEM-programmet Trinitas. Arbetet startade med att undersöka en så enkel modell som möjligt, i detta fall en fritt upplagd balk. Utifrån de erhållna resultaten har

modellen förändras något eller så har vissa parametrar eller lastfall ändrats och en ny modell skapats. Rapporten är således uppbyggd via en iterativ process där nya modeller skapats utifrån föregående modellers resultat.

4.1 Modell 1-Analys av förskjutningen

Balken (rälen) i Figur 13 modelleras med 128 stycken nionodiga Lagrange-element och är fritt upplagd d v s fixerad i x- och led vid x=0 samt endast i y-led vid x=4.3 m.

P

Figur 12 Fritt upplagd balk

Rälen är av linjärt elastiskt material med följande geometri och materialegenskaper

• Längd L = 4,3 m

• Bredd b = 0,07 m

(30)

• E-modul E = 205 GPa • Poisson’s tal

ν

= 0.3

• Densitet

ρ

= 5000 kgm-3 • Tröghetsmoment I = 3022⋅10 -8 m4

• Massa m = 60,55 kgm-1

Med dessa data erhålls samma yttröghetsmoment och samma massa som en räl av typ UIC60, (ritning på en räl av typ UIC 60 återfinns i Bilaga 1). Det är viktigt att dessa storheter överensstämmer med den riktiga rälen då de har en viss påverkan när dynamiska analyser senare skall genomföras.

Analytisk lösning till förskjutningen, se [4], av en fritt upplagd balk ges av

02674 . 0 48 3 = = EI PL δ m ( 1 )

Den numeriska lösningen från FEM-programmet då balken belastas med en kraft av 100 kN ger en förskjutning i y – led som är

δ

= 0,02694 m vilket endast skiljer sig 0,75 % från den analytiska lösningen. Detta kan ses som att antalet element i modellen är fullt tillräcklig.

4.2 Modell 2-Analys av egenvinkelfrekvenser

Denna modell är samma som den ovan men syftet med denna modell är att jämföra balkens egenfrekvenser numeriskt och analytiskt. Detta kan göras genom att man utför en dynamisk egenvärdesanalys. Analytiskt får en fritt upplagd balk egenvinkelfrekvenser enligt följande

4 2 2 e mL EI j j π ω = ( 2 ) där j = 1, 2, 3… för egenvinkelfrekvens 1, 2, 3… o s v.

(31)

4 Verifiering av FEM-modeller Hz 7 , 108 2 3 , 4 55 , 60 10 3022 10 205 2 2 4 8 9 2 2 e 2 e = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = − π π ω f (3b) Hz 6 , 244 2 3 , 4 55 , 60 10 3022 10 205 3 2 4 8 9 2 1 e 3 e = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = − π π ω f (3c)

Från FEM – programmet fås följande egenfrekvenser att jämföra med den analytiska lösningen

Figur 13 Egenfrekvens 1

(32)

Figur 15 Egenfrekvens 3

Av Figurerna ovan framgår att de två första egenfrekvensen stämmer mycket bra överens med den analytiska lösningen, medan den tredje skiljer sig nästan 10 %. Detta visar att Euler-Bernoullis balkteori inte är tillförlitlig då de högre

egenfrekvenserna beräknas, d v s då svängningens våglängd blir kortare.

4.3 Modell 3-Åkande last på fritt upplagd balk

För att bestämma storleken på en last som passerar över balken (rälen) ändras modellen till att belastas med en rörlig kraft enligt Figur 16.

v

P

Figur 16 Fritt upplagd balk belastad med en rörlig kraft

Genom att utföra simuleringar där kraften P färdas längs balken (rälen) med olika hastigheter, kan eventuell dynamisk påverkan på skjuvspänningen

undersökas. Simuleringarna har gått till så att tiden det tar för lasten att nå slutet av balken, i detta fall x=4.3 m, är den slutliga tiden för simuleringen. Därefter har skjuvspänningen i två noder, mitt i balken, plottats som funktion av tiden, se Figur 17.

(33)

Figur 17 Mittnodernas placering i vilken skjuvspänningen mäts

Innan en analys utförs där en rörlig last P färdas över balken, behöver antalet tidssteg bestämmas.

4.3.1 Bestämning av tidssteget

För att bestämma tidsstegets storlek utfördes ett antal analyser med olika tidssteg. Kraften P färdades över balken med en viss hastighet varpå skjuvspänningen mitt i balken plottades som funktion av tiden. Resultaten återfinns i Figur 18 nedan.

Bestämning av tidssteget då hastigheten v=0,43 m/s

-8,0E+06 -6,0E+06 -4,0E+06 -2,0E+06 0,0E+00 2,0E+06 4,0E+06 6,0E+06 8,0E+06 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 Tid [s] Skjuvspänning [Pa] Sigma xy 10 tidssteg Sigma xy 65 tidssteg Sigma xy 100 tidssteg Sigma xy 200 tidssteg

Figur 18 Bestämningen av tidssteget

Figur 18 ovan visar att skillnaden i skjuvspänning är marginell oavsett om 65, 100 eller 200 tidssteg används. För beräkning av tvärkraften och därmed den passerande lasten väljs antalet tidssteg till 100 vid analyserna.

(34)

Grafen ovan kan förklaras med att skjuvspänning mitt i balken är noll vid tiden t=0. Skjuvspänningen ökar sedan då kraften P närmar sig mitten av balken. Rakt ovanför mätpunkten är skjuvspänningen noll och då lasten passerat denna punkt ändrar skjuvspänningen tecken från positiv till negativ. Då kraften närmar sig slutet av balken minskar skjuvspänningen och vid slutet av balken är den noll. Hoppet som kan ses i grafen är således då skjuvspänningen ändrar tecken. Skjuvspänningen är positiv då lasten befinner sig på den vänstra halvan av balken och blir negativ då den passerar mitten av balken.

4.3.2 Beräkning av tvärkraft samt passerande last P

I det statiska fallet kan maximal skjuvspänning räknas om till tvärkraft enligt ekvation (4). Härledning återfinns i Bilaga 2.

µ τ µ τ = ⋅ →T = A⋅ A T (4)

Detta gäller under förutsättning att skjuvspänningsfördelningen är

parabelformad, vilket innebär att maximal skjuvspänning uppträder i balkens medellinje. Detta gäller för ett rektangulärt tvärsnitt och jouravskifaktorn

µ

är

µ

= 1,5.

Lasten som passerar kan då beräknas genom att snitta och frilägga en del av balken enligt Figur 19.

P

T

2

T

2

T

1

T

1

Figur 19 Beräkning av passerande last P

(35)

Räknas skjuvspänningen om till tvärkraft med ekvation (4) fås typiskt följande resultat av tvärkraft och passerande last, se Figur 20 och Figur 21. I dessa figurer är endast två olika hastigheter representerade. Skjuvspänningen är beräknad 12 element in (motsvarar 30 procent av balklängden) och 16 element in (motsvarar 50 procent av balklängden). Skjuvspänningen räknas sedan om till tvärkraft med ekvation (4) och för att få den passerande lasten tas skillnaden mellan de två tvärkrafterna.

Tvärkraft samt passerande last som funktion av tiden

-8,0E+04 -6,0E+04 -4,0E+04 -2,0E+04 0,0E+00 2,0E+04 4,0E+04 6,0E+04 8,0E+04 1,0E+05 1,2E+05 0 2 4 6 8 10 Tid [s] Tvärkraft [N] Tvarkraft 12 element in Tvarkraft 16 element in P=Tvarkraft(16 el-12 el)

Figur 20 Kraften P färdas med hastigheten v=0.43 m/s

Tvärkraft samt passerande last som funktion av tiden

-8,0E+04 -6,0E+04 -4,0E+04 -2,0E+04 0,0E+00 2,0E+04 4,0E+04 6,0E+04 8,0E+04 1,0E+05 1,2E+05 1,4E+05 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 Tid [s] Tvärkraft [N] Tvarkraft 12 element in Tvarkraft 16 element in P=Tvarkraft(16 el-12 el)

(36)

För en fritt upplagd balk med rörlig last kan även en analytisk lösning av tvärkraften härledas, se [3]. På så sätt kan de numeriska och analytiska lösningarna jämföras. Därför utförs samma beräkning i Matlab, d v s en

analytisk lösning till en åkande kraft tas fram enligt Euler-Bernoullis balkteori. Dessa resultat ges i Figurerna nedan.

(37)

Resultaten ovan visar att detta tillvägagångssätt inte är helt korrekt då faktorn

µ

inte kan antas vara 1,5 då dynamiska effekter är inblandade. Även metoden att räkna om skjuvspänningen till tvärkraft genom att skjuvspänningen i Figur 22 och Figur 23 multipliceras med A/

µ

ger ett fel. Felet uppstår på grund av att skjuvspänningen nära kraften inte är parabelformad, d v s skjuvspänningens maxvärde återfinns ej i mitten av balken, se Bilagor. Därför kan inte

jouravskifaktorn antas vara 1,5. I stället utförs nya simuleringar där tiden det tar för lasten att nå mitten av balken är den slutliga tiden för simuleringen. Därefter har skjuvspänningen utvärderats i alla noder längs balkens höjd på olika avstånd från den angripande kraften.

Av Figur 22 framgår att skillnaderna mellan tvärkrafterna blir exakt den pålagda lasten om hastigheten är låg (statisk last). Vid högre hastighet däremot (Figur 23) kommer de dynamiska effekterna göra att skillnaderna i tvärkraft inte exakt återger den pålagda lasten.

Då en töjningsgivare placeras i mitten av livet för att mäta skjuvtöjning på grund av tvärkraft förutsätts normalspänningen vara noll. För att undersöka om

normalspänningar uppträder i mitten av balken kontrolleras även detta.

4.3.3 Normalspänningar hos en fritt upplagd balk

Då en töjningsgivare placeras i mitten för att registrera en skjuvtöjning förutsätts normalspänningen i x-led vara noll. I följande analyser kontrolleras om så är fallet. I graferna nedan kan skjuvspänningar och normalspänningar ses som funktion av tiden då en kraft P färdas med olika hastigheter över en fritt upplagd balk. De olika spänningarna är uppmätta mitt i balken.

(38)

Skjuvspänning och Norm alspänning som funktion av tid då lasten rör sig m ed 0.43 m /s -1,00E+07 -8,00E+06 -6,00E+06 -4,00E+06 -2,00E+06 0,00E+00 2,00E+06 4,00E+06 6,00E+06 8,00E+06 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 Tid [s]

Skjuvspänning / Normalspänning [Pa]

Sigma xy mitt i balken Sigma xx mitt i balken Sigma yy mitt i balken

Figur 24 Skjuvspänning och normalspänning då kraften rör sig med 0.43 m/s

Skjuvspänning och Normalspänning som funktion av tid då lasten rör sig med 17.2 m/s

-1,00E+07 -8,00E+06 -6,00E+06 -4,00E+06 -2,00E+06 0,00E+00 2,00E+06 4,00E+06 6,00E+06 8,00E+06 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 Tid [s]

Sigma xy mitt ibalken Sigma yy mitt i balken Sigma xx mitt i balken

(39)

Skjuvspänning och Normalspänning som funktion av tid då lasten rör sig med 68.8 m/s -1,00E+07 -8,00E+06 -6,00E+06 -4,00E+06 -2,00E+06 0,00E+00 2,00E+06 4,00E+06 6,00E+06 8,00E+06 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 Tid [s] Skjuvspänning / Norm alspännin g [Pa]

Sigma xy mitt i balken Sigma yy mitt i balken Sigma xx mitt i balken

Graferna ovan visar att då hastigheten ökar sätts svängningsrörelser igång. Man ser även att skjuvspänningens hopp (mellan min och max) är ungefär detsamma oberoende av vilken hastighet kraften färdas med. Mätpunkten som befinner sig mitt i balken registrerar även normalspänningar i tryck och drag. Eftersom dessa är oberoende av hastigheten borde dessa inte ha någon påverkan på ett

mätresultat där en trådtöjningsgivare kalibrerats efter en långsamtgående (statisk) last.

(40)

4.4 Modell 4-Skjuvspänningsfördelning

Det är samma modell som den tidigare, d v s en fritt upplagd balk enligt Figur 12, som belastas med en åkande kraft. Då analystiden för modellen var relativt kort, och på grund av att skjuvspänningen längs balkhöjden ska undersökas, har modellen getts en tätare elementindelning, se Figur 27 nedan.

Figur 27 Fritt upplagd balk med åkande kraft P

I detta fall har skjuvspänningen analyserats i varje nod längs balkens höjd på tre olika avstånd och symmetriskt kring kraften. Dessa ställen är placerade på avstånden 2, 5 respektive 8 element symmetriskt kring kraften, se Figur 28.

(41)

Nodernas placering längs balkhöjden

P

v

P

Figur 28 Nodernas placering längs balkhöjden på olika avstånd från kraften

Här motsvarar 2 element 4,5 cm, 5 element motsvarar 11,2 cm och 8 element motsvarar 17,9 cm.

Skjuvspänningsfördelningen ger oss möjligheten att beräkna arean under grafen. Denna representerar tvärkraften T enligt följande uttryck

∫

⋅ =

A

dA

(42)

De erhållna kurvorna över skjuvspänningsfördelningen har utseende enligt Figurerna nedan. Ur dessa beräknas arean under grafen som sedan multipliceras med balkens konstanta tjocklek, varur tvärkraften erhålls. Lasten som passerat beräknas sedan genom att subtrahera dessa tvärkrafter.

Skjuvspänningsfördelning för rektangulärt tvärsnitt då v = 0.43 m/s

0,5 0,52 0,54 0,56 0,58 0,6 0,62 0,64 0,66 -8,0E+0 6 -6,0E+0 6 -4,0E+0 6 -2,0E+0 6 0,0E+0 0 2,0E+0 6 4,0E+0 6 6,0E+0 6 8,0E+0 6 Skjuvspänning [Pa] Ba lk höjd [m] Sigma xy -2 el. Sigma xy -5 el. Sigma xy -8 el. Sigma xy +2 el Sigma xy +5 el. Sigma xy +8 el. Figur 29 Skjuvspänningsfördelning då v = 0.43 m/s

0,5 0,52 0,54 0,56 0,58 0,6 0,62 0,64 0,66 -8,0E+0 6 -6,0E+0 6 -4,0E+0 6 -2,0E+0 6 0,0E+0 0 2,0E+0 6 4,0E+0 6 6,0E+0 6 8,0E+0 6 Skjuvspänning [Pa] Ba lk höjd [m] Sigma xy -2 el. Sigma xy -5 el. Sigma xy -8 el. Sigma xy +2 el. Sigma xy +5 el. Sigma xy +8 el. Figur 30 Skjuvspänningsfördelning då v = 17.2 m/s

(43)

0,5 0,52 0,54 0,56 0,58 0,6 0,62 0,64 0,66

-1,0E+07 -5,0E+06 0,0E+00 5,0E+06 1,0E+07

Skjuvspänning [Pa]

Balkhöjd [m]

Sigma xy -2 el. Sigma xy-5 el. Sigma xy -8 el. Sigma xy +2 el. Sigma xy +5 el. Sigma xy +8 el. Sxy 10 el. in från v Sxy 10 el in från hö Figur 31 Skjuvspänningsfördelning då v = 68.8 m/s

Av graferna ovan framgår att skjuvspänningsfördelningen har olika utseende beroende på hur nära kraften den studeras. För ett rektangulärt tvärsnitt gäller att skjuvspänningsfördelningen är parabelformad ungefär på en balkhöjds avstånd från kraften, vilket även verifieras ovan.

Dock uppträder ett märkligt fenomen då hastigheten uppgår till 68,8 m/s, se Figur 31 ovan. I detta fall ökar skjuvspänningen då avståndet från kraften ökas. ”Sxy 10 el in från hö” respektive ”Sxy 10 el in från v” representerar

skjuvspänningsfördelningen tio element in från höger respektive vänster rand. Man ser att närmast balkens högra rand fås den högsta skjuvspänningen. Vad detta fenomen beror på kan tyvärr inte förklaras.

(44)

4.4.1 Areaberäkning genom numerisk integration

Areaberäkningen utförs i Matlab med så kallad trapetsuppskattning, se [7], vilket är en numerisk integrationsmetod, se Figur 32.

yk-1 yk

x

a=x0 x1 xk-1 xk xn=b

Figur 32 Numerisk integration genom trapetsuppskattning

Metoden innebär att man i intervallet [xk-1, xk] ersätter funktionskurvan med den räta linje som förbinder punkterna (xk-1, yk-1) och (xk, yk). Arean av detta element är arean av parallelltrapetsen enligt

2 1 k

k y

y

h − + (7)

Summan av alla trapetsareorna blir

∑

= − − _⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ₊ ₊ ₊ ₊ = + = n k n n k k n h y y y y y y y h A 1 1 2 1 0 1 2 1 ... 2 1 2 (8)

Eftersom skjuvspänningsfördelningen innebär att skjuvspänningen i noderna sammanbinds med räta linjer så bildas en trapetsarea mellan varje par av

punkter. I detta fall ges då den exakta arean under grafen och därmed den exakta (enligt Finita Elementmetoden) tvärkraften.

(45)

4.5 Modell 5-Balk på fjädrande underlag

Denna modell är svår att ta fram analytiska lösningar till. Men då tidigare

modell gett god överensstämmelse analytiskt/numeriskt kommer nu modellen att ändras till en fritt upplagd balk understödd med diskreta fjädrar. Dessa fjädrar är tänkta att ersätta sliprar och mellanlägg. Detta på grund av att rälen har stöd i form av sliprar och mellanlägg (”railpads”), som distribuerar lasten vidare ner i ballasten. Stöden (sliprarna) med tillhörande mellanlägg befinner sig normalt på ett avstånd av 60 cm från varandra enligt Figur 33.

60 cm

Figur 33 Räls på fjädrande underlag

Mellanlägget, som i regel är av gummi, skyddar slipern från nötning samt minskar uppkomna vibrationer. Vid FEM-analysen ersätts som sagt mellanlägg och sliper med två stycken fjädrar med en viss styvhet. Fjädrarna placeras 10 cm från varandra för att återge en viss bredd hos mellanlägget. På detta sätt skapas ett kraftpar som då kan ta upp moment. Fjädrarna skapas genom användning av stångelement. Modellen får då ett utseende enligt Figur 34.

Figur 34 Balkmodell med stångelement som diskreta fjädrar

Modellen är elementindelad med 1376 stycken nionodiga Lagrangeelement och 16 stycken stångelement.

(46)

4.5.1 Bestämning av fjäderstyvheten

För att bestämma fjädrarnas (substitutet för mellanlägg och sliper) styvhet utförs FEM-analyser. Normalt tillåts en total förskjutning av rälen på ca 1mm vid ett axeltryck på 20 ton (vilket motsvarar 100 kN per hjul). På detta sätt kan

simuleringar utföras där stångelementen ges olika styvhet till dess att förskjutningskravet är uppfyllt. Detta resulterar i en E-modul hos stångelementen på 80 MPa.

Även lastupptagning av näraliggande sliprar kan kontrolleras. En tumregel är att lasten endast fördelas över tre sliprar med en procentuell fördelning på 50 % under lasten och 25 % av lasten upptas av de två näraliggande sliprarna.

Tidigare FEM-analyser har visat att hjullasten distribueras över fler sliprar än de två närmaste, se Figur 35.

P = 20 ton/ axel

7%

23% 40% 23% 7%

Figur 35 Hjullastens fördelning på näraliggande sliprar

Utförs en FEM-analys i Trinitas av en modell med fyra spann, d v s fem sliprar fås följande resultat av reaktionskrafterna.

Följande hjullastdistribution kan då beräknas: • Sliper under hjullasten: 43,4 % • Första näraliggande sliper: 26,8 % • Andra näraliggande sliper: 1,9 %

(47)

På samma sätt som för Modell 4 beräknas även här arean under grafen för att se om det fjädrande underlaget ger upphov till några förändringar av

skjuvspänningsfördelningen och därmed den beräknade passerande lasten. I grafen nedan ges skjuvspänningsfördelningen på ett avstånd av 8 element (vilket motsvarar 0,179 m) på var sida om kraften. Resultaten för tre olika hastigheter kan ses i Figur 36 nedan.

Skjuvspänningsfördelningen vid olika hastigheter

0,4 0,42 0,44 0,46 0,48 0,5 0,52 0,54 0,56

-8,0E+06 -4,0E+06 0,0E+00 4,0E+06 8,0E+06

Skjuvspänning [Pa] Balkhöjd [m] skjuvspanningsford-v0_43H skjuvspanningsford-v0_43V skjuvspanningsford v17_2H skjuvspanningsford v17_2V skjuvspanningsford v68_8H skjuvspanningsford v68_8V

Figur 36 Skjuvspänningsfördelningen vid tre olika hastigheter för balk på fjädrar

Av figuren framgår att hastigheten endast påverkar skjuvspänningsfördelningen marginellt då hastigheten ökar. Man ser även en antydan till att fördelningen ej är helt symmetrisk vid hastigheten 68,8 m/s vilket förmodligen beror på de dynamiska effekterna (masströgheten).

(48)

4.5.2 Normalspänningar hos balk på diskreta fjädrar

En kontroll av normalspänningarna utförs även för denna modell, d v s samma analyser som för den fritt upplagda balken utförs även för modellen med

diskreta fjädrar. Resultaten kan ses i Figurerna nedan.

Skjuvspänning och Normalspänning som funktion av tid då lasten rör sig med 0.43 m/s -1,0E+07 -8,0E+06 -6,0E+06 -4,0E+06 -2,0E+06 0,0E+00 2,0E+06 4,0E+06 6,0E+06 8,0E+06 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 Tid [s]

Skjuvspänning Normalspänning [Pa]

Skjuvspänning och Norm alspänning som funktion av tid då lasten rör sig m ed 17.2 m /s -1,0E+07 -8,0E+06 -6,0E+06 -4,0E+06 -2,0E+06 0,0E+00 2,0E+06 4,0E+06 6,0E+06 8,0E+06 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 Skjuvspänning / Normalspänning [Pa]

Sigma xy mittt i balken Sigma yy mitt i balken Sigma xx mitt i balken

(49)

Skjuvspänning och Normalspänning som funktion av tid då lasten rör sig med 68.8 m/s

-8,0E+06 -6,0E+06 -4,0E+06 -2,0E+06 0,0E+00 2,0E+06 4,0E+06 6,0E+06 8,0E+06 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 Tid [s]

Graferna ovan visar att skjuvspänningen förflyttar sig uppåt (max-värdet blir större och min-värdet mindre) då hastigheten ökar. Trots detta är hoppet hos skjuvspänningen ungefär lika stort vid de olika hastigheterna. Man ser även att normalspänningen skiljer sig åt då hastigheten ökar. Vid en högre hastighet minskar normalspänningen både i x-led och y-led. Om en töjningsgivare som kalibrerats efter ett tåg som passerar vid en låg hastighet, och därmed med högre normalspänningskomponenter, sedan används då tåget färdas med en högre hastighet är risken stor att ett felaktigt resultat fås. I ett sådant fall registreras en felaktig passerande last.

Man kan även notera att då balken har stöd i form av diskreta fjädrar kommer de uppkomna svängningsrörelserna att minska.

(50)

4.5.3 Test av randvillkor

För att kontrollera om randvillkoren påverkar skjuvspänningsfördelningen har följande tester utförts

• Balken (rälen) är fast inspänd vid ränderna och lasten är anbringad redan då simuleringen startar, vilket i TRINITAS definieras som ”deformed at rest”.

• Balken (rälen) är fast inspänd vid ränderna och lasten ej anbringad då simuleringen startar, vilket i TRINITAS definieras som ”undeformed at rest”.

• Balken (rälen) är fritt upplagd vid ränderna och lasten är anbringad redan då simuleringen startar, vilket i TRINITAS definieras som ”deformed at rest”.

• Balken (rälen) är fritt upplagd vid ränderna och lasten ej anbringad då simuleringen startar, vilket i TRINITAS definieras som ”undeformed at rest”. Test av randvillkor -1,0E+07 -8,0E+06 -6,0E+06 -4,0E+06 -2,0E+06 0,0E+00 2,0E+06 4,0E+06 6,0E+06 8,0E+06 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Tid [s] Skjuvspänning [Pa]

fritt upplagd last i kontakt fast inspänd last i kontakt fast insp. last EJ i kontakt fritt uppl. last EJ i kontakt

Figur 40 Test av randvillkor

(51)

4.6 Modell 6-Egenfrekvenser hos balk på fjädrar

Denna modell används för att undersöka vad som händer med skjuvspänningen då excitationsfrekvensen närmar sig modellens egenfrekvens. Teoretiskt ökar förskjutningsamplituden med tiden och blir oändligt stor då ett odämpat system belastas vid dess egenfrekvens.

4.6.1 Samband mellan skjuvspänning och frekvens

För att undersöka en situation där excitationsfrekvensen varieras kan en

dynamisk stillastående last anbringas. Används en harmonisk last, till exempel en sinuslast

[

Asin(ω⋅t)

]

kan en undersökning av detta fenomen genomföras. Här används en modell enligt Figur 41 för att utföra dessa simuleringar samt

beskriva dessa fenomen.

A⋅sin(ωt)

60 cm

Figur 41 Balk på fjädrande underlag belastad med en sinusvarierande kraft

Amplituden, A, väljs till 30 procent av den statiska lasten vilket i detta fall ger 30 kN. För att få reda på vid vilka frekvenser systemet uppvisar ett resonans-beteende undersöks dess egenfrekvenser, se Figurerna nedan

(52)

Figur 43 Andra egenfrekvensen

Figur 44 Tredje egenfrekvensen

Figur 45 Fjärde egenfrekvensen

I figurerna över modellens svängningsmoder är amplituderna kraftigt förstorade. Därav penetreringen av de mindre styva fjädrarna (stångelementen) i modellen.

(53)

I graferna nedan kan man se vad som händer med skjuvspänningen i en punkt i mitten av balken (rälen) då excitationsfrekvensen ökas tills dess att den

sammanfaller med någon av systemets egenfrekvenser.

Excitationsfrekvensen omega=200 rad/sek

-2,5E+06 -2,0E+06 -1,5E+06 -1,0E+06 -5,0E+05 0,0E+00 5,0E+05 1,0E+06 1,5E+06 2,0E+06 2,5E+06 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 Tid [s] Skjuvspänning [Pa]

Sigma xy, omega = 200

Figur 46 Sinusvarierande kraft med ω = 200 rad/sek

Excitationsfrekvensen omega=800 respektive 1160 rad/sek

-5,0E+06 -4,0E+06 -3,0E+06 -2,0E+06 -1,0E+06 0,0E+00 1,0E+06 2,0E+06 3,0E+06 4,0E+06 5,0E+06 0,00 0,01 0,01 0,02 0,02 0,03 0,03 Tid [s] Skjuvspänning [Pa ]

Sigma xy, omega=800 Sigma xy, omega=1160

(54)

I de olika graferna ovan syns hur svängningen blir mer och mer ”okontrollerad” då excitationsfrekvensen närmar sig första egenfrekvensen vid 184,6 Hz (=1160 rad/s). För lägre frekvenser är amplituden konstant och då frekvensen

sammanfaller med systemets egenfrekvens ökar amplituden nästan till det dubbla på femton millisekunder. Samma beteende fås sedan mellan första och andra egenfrekvensen, d v s svängningarnas amplitud minskar efter första egenfrekvensen för att sedan uppvisa samma beteende med ökande amplitud då den närmar sig andra egenfrekvensen.

I verkligheten går inte svängningsamplituden mot oändligheten vid resonans eftersom verkliga system alltid har någon form av dämpning.

(55)

4.6.2 Jämförelse mellan modell 4 och modell 5

Jämförs den fritt upplagda balken, modell 4, med balken på diskreta fjädrar, modell 5, med avseende på storleken hos den passerande lasten kan följande resultat nämnas:

Den största skillnaden mellan modellerna uppträder vid hastigheten 68,8 m/s i tredje mätpunkten, d v s ungefär en balkhöjd från kraften. Denna skillnad är strax över tre procent. I övrigt är skillnaderna små, endast kring någon procent eller lägre.

För att kontrollera hur elementindelningen påverkar spänningsberäkningen har även en modell med olika antal element i höjdled studerats. Olika hastigheter har studerats och nedan redovisas endast en av dessa hastigheter eftersom de andra ger liknande resultat. Resultatet för hur stor last som passerat vid hastigheten 34,4 m/s visas i Tabell 1 nedan

Tabell 1 Beräknad passerande last P vid hastighet v = 34,4 m/s (pålagd last: 100 kN) Antal element från lasten P 4 element i höjdled 8 element i höjdled 16 element i höjdled 2 element 9,957 e+004 N 9,957 e+004 N 9,957 e+004 N 5 element 9,884 e+004 N 9,883 e+004 N 9,883 e+004 N 8 element 9,811 e+004 N 9,810 e+004 N 9,810 e+004 N

Man ser att ändringen av storleken på tvärkraften inte är särskilt stor, vilket innebär att även ett mindre antal element skulle kunna användas.

Elementindelningen som använts under hittills utförda analyser är fullt tillräcklig för detta ändamål.

(56)

4.7 Modell 7-Tredimensionell modell

När nu de förenklade modellerna analyserats förbättras modellen. Denna modell är relativt lik den riktiga rälen. Höjd och bredd är samma. Det enda som skiljer är att radier försummats för att förenkla modellens geometri. Även massan och tröghetsmomentet stämmer överens med den riktiga rälens trots dessa

modifieringar.

Figur 48 3D-modellens tvärsnitt

Då modellen är symmetrisk kan detta utnyttjas så att endast halva modellen används vid FEM-analyserna. Modellens tvärsnitt ser då ut enligt Figur 49 nedan. Genom att använda symmetrivillkor kan antalet element minskas varvid även beräkningstiden reduceras.

(57)

4.7.1 Kontroll av element samt elementtäthet

Den slutgiltiga modellen elementindelas med tredimensionella solidelement. Eftersom beräkningstid och datorkapacitet till viss del begränsar analyserna har skillnaden mellan tjugo-nodiga respektive tjugosju-nodiga element undersökts. Även skillnaden i resultat vad gäller förskjutning och skjuvspänning med avseende på antal element har studerats. Vid denna jämförelse används en modell med längden sextio centimeter och resultaten återges i Tabell 2 nedan.

Tabell 2 Jämförelse av antal element samt typ av element

20-nodiga solid-element 27-nodiga solid-element

Antal element [st] 288 288 Förskjutning [m] 0.001681 0,00169 Skjuvspänning [MPa] 9,881 9,879 Antal element [st] 544 Förskjutning [m] 0,001678 Skjuvspänning [MPa] 10,08 Antal element [st] 672 Förskjutning [m] 0,01691 Skjuvspänning [MPa] 10,05

Tabellen ovan visar att skillnaden mellan tjugo- och tjugosju-nodiga element är mycket liten samt att skillnaden mellan antalet element är så pass liten att färre antal element kan väljas för vidare analyser. En modell med 288 20-nodiga element per 60 cm borde således räcka för att ge tillräckligt noggranna resultat.

(58)

4.7.2 Mellanlägg och sliper

För att bestämma styvhet på mellanlägg och sliper utförs liknande analyser som för 2D-modellen. I detta fall utnyttjas även symmetrivillkor. 3D-modellen får då följande utseende

Figur 50 3D-modell mellan två sliprar

Villkoret som ska uppfyllas är att rälen får ha en total förskjutning på 1,0-1,5 mm under antagandet att endast tre sliprar tar upp lasten. För att bestämma E-modulen hos substitutet för mellanlägg och sliper utförs analyser tills dess att önskad förskjutning fås. Höjden på detta substitut har i detta fall valts till 10 mm. Höjden är i detta fall inte avgörande, men för att undvika ointressanta egenfrekvenser vid frekvensanalys så bör den hållas så låg som möjligt. För att uppskatta ett startvärde på styvheten för mellanlägg och sliper kan detta räknas fram med följande formel

A PL E EA PL δ δ = → = (9) där P = Kraften L = Längden

(59)

Axeltrycket är 20 ton d v s 100 kN per hjul. Om fullständig symmetri används räcker de att analysera en fjärdedel av modellen d v s med en last på 25000 N. Lasten anbringas som en linjelast enligt Figur 51.

Figur 51 Bestämning av E-modulen hos supporten

Linjelasten som används räknas fram enligt följande

MN/m 67 . 1 m 015 , 0 N 25000 linje = ≈ P

Förskjutningskravet på 1 millimeter uppfylls då elasticitetsmodulen hos substitutet för sliper och mellanlägg är 20MPa.

(60)

4.7.3 Slutgiltig modell

För att undersöka om modellen är tillräckligt lång jämförs en modell med sju sliperspann med en utökad modell bestående av nio sliperspann. Genom att till exempel belasta modellerna med en sinusvarierande last kan sedan

skjuvspänningen i en mätpunkt (nod) på samma avstånd från kraften jämföras, se Figur 52 och Figur 53 nedan.

Mätpunkt

Figur 52 Mätpunktens läge mellan två sliprar i modellen med sju spann

Figur 53 Utökad modell med nio sliperspann

Linjelastens storlek är där amplituden kommer av att 30 procent av den statiska lasten har gjorts om till en linjelast och fördelats över en del av rälshuvudet. Vid analysen har lasten lagts på innan simuleringen startat för att slippa onödiga svängningar på grund av det slag lasten annars ger upphov till. Resultaten kan ses i Figuren nedan

N/m ) 500 sin( 10 33 , 3 6 linje t P = ⋅

(61)

Skjuvspänningen i modellen med sju respektive nio sliperspann

-2,50E+07 -2,00E+07 -1,50E+07 -1,00E+07 -5,00E+06 0,00E+00 5,00E+06 1,00E+07 1,50E+07 2,00E+07 2,50E+07

0,0E+00 1,0E-02 2,0E-02 3,0E-02 4,0E-02

Tid [s]

Skjuvspänning [Pa]

Sigma yz nio sliperspann Sigma yz sju sliperspann

Figur 54 Skjuvspänning i modellen med sju respektive nio sliperspann

Av graferna ovan framgår att samma skjuvspänning erhålls i båda modellerna. Detta innebär att den kortare modellen (modell med sju sliperspann) kan väljas för vidare analyser. Mindre modell medför färre antal element och därmed kortare beräkningstid.

(62)

4.7.4 Skjuvspänningsfördelning i rälen

Då den slutliga modellen, modellen med sju sliperspann, belastas med en åkande kraft görs elementindelningen tätare där skjuvspänningsfördelningen är

intressant. Detta innebär att sliperspannet i mitten får en högre elementtäthet än de andra delarna av rälen, se Figur 55. Modellen elementindelas med 20-nodiga element då dessa ger en kortare beräkningstid. Lasten startar vid början av balken och stannas då den nått mitten av rälen, d v s mitt emellan två sliprar. Lasten belastar rälen vid simuleringens början vilket ger ett mer

verklighetstroget fall samt mindre svängningar. Skjuvspänningen beräknas i alla noder längs rälens höjd på bestämda avstånd från lasten (samma som för tidigare 2D-modeller). Numreringen anger linjernas avstånd från lasten (1 är närmast lasten osv). Under analysen undersöks skjuvspänningens eventuella

hastighetsberoende.

Första mätlinjen Kraftens slutpunkt

Figur 55 Modell med ökad elementtäthet där skjuvspänningen beräknas

4.7.5 Skjuvspänningsfördelning i 3D modellen:

Kraftens storlek är P=50000N (på grund av symmetri) och sex olika hastigheter analyseras. Syftet är som för tidigare modeller att se om

skjuvspännings-fördelningen påverkas av dynamiken även då modellen efterliknar den riktiga rälen. Detta resultat kan sedan jämföras med tidigare simuleringar för

(63)

2D-4 Verifiering av FEM-modeller

Skjuvspänningsfördelningen har utvärderats längs 3 linjer symmetriskt kring kraften P enligt:

1. Första mätlinjen motsvarar 40 mm från lasten 2. Andra mätlinjen motsvarar 100 mm från lasten 3. Tredje mätlinjen motsvarar 160 mm från lasten Resultaten kan ses i Figurerna nedan.

Skjuvspänningsfördelning vid v=0,43m/s 0,5 0,52 0,54 0,56 0,58 0,6 0,62 0,64 0,66

-2,5E+07 -1,5E+07 -5,0E+06 5,0E+06 1,5E+07 2,5E+07 Skjuvspänning [Pa] Balkhöjd [m] Sigma yz före-1 Sigma yz efter-1 Sigma yz före-2 Sigma yz efter-2 Sigma yz före-3 Sigma yz efter-3

Figur 56 Skjuvspänningsfördelningen i 3D-modellen då v = 0.43 m/s

Skjuvspänningsfördelning vid v = 17.2 m/s 0,5 0,52 0,54 0,56 0,58 0,6 0,62 0,64 0,66

-2,50E+07 -1,50E+07 -5,00E+06 5,00E+06 1,50E+07 2,50E+07 Skjuvspänning [Pa] Balkhöjd [m] Sigma yz före-1 Sigma yz efter-1 Sigma yz före-2 Sigma yz efter-2 Sigma yz före-3 Sigma yz efter-3

(64)

-2,5E+07 -1,5E+07 -5,0E+06 5,0E+06 1,5E+07 2,5E+07 Skjuvspänning [Pa] Balkhöjd [m] Sigma yz före-1 Sigma yz efter-1 Sigma yz före-2 Sigma yz efter-2 Sigma yz före3 Sigma yz efter-3

-2,5E+07 -1,5E+07 -5,0E+06 5,0E+06 1,5E+07 2,5E+07 Skjuvspänning [Pa] Balkhöjd [m] Sigma yz före-1 Sigma yz efter-1 Sigma yz före-2 Sigma yz efter-2 Sigma yz före 3 Sigma yz efter-3

Skjuvspänningsfördelningen vid de olika hastigheterna används för beräkning av tvärkraften och därmed den passerande lasten.

(65)

4.7.6 Beräkning av tvärkraft

För att beräkna tvärkraften och därmed den last som passerat, måste

skjuvspänningen i varje nod längs balkhöjden multipliceras med den aktuella tjockleken. En modell med varje nods aktuella tjocklek har skapats för detta ändamål, se Figur 60. R ä l s m o d e l l e n s u t s e e n d e 0 , 5 0 , 5 4 0 , 5 8 0 , 6 2 0 , 6 6 0 , 7 0 , 0 0 0 , 0 2 0 , 0 4 0 , 0 6 0 , 0 8 T j o c k l e k [ m ] Höjd [m]

Figur 60 Rälsmodellen för beräkning av tjockleken vid varje nod

Integreras sedan denna kurva över balkhöjden fås tvärkraften, och den passerande lasten P kan bestämmas som tidigare: d v s man tar skillnaden mellan två tvärkrafter. Resultaten redovisas endast för den tredje mätpunkten i tabellen nedan.

Tabell 3 Beräknad passerande last P vid olika hastigheter

Hastighet [m/s] Beräknad last som passerar [kN]

0,43 106 4,3 105 8,6 109 17,2 107 34,4 103 68,8 105

Man ser att med gjorda approximationer och eventuell dynamisk påverkan fås ett fel på den passerande lasten på mellan tre till nio procent.