Lärande och samhälle Natur, miljö, samhälle
Examensarbete
15 högskolepoäng på avancerad nivå
Perspektivet på problemlösning
i matematik enligt den aktuella
läroplanen Lgr 11
Perspectives on mathematical problem solving
in the current curriculum Lgr11
Saleha Ahmadi
Lärarexamen 210 hp Matematik och lärande Datum: 2013-06-05
Examinator: Peter Bengtsson/ Agneta Rehn
Förord
Som förord vill jag framhålla ett varmt tack till personerna som bidragit till hjälp och stöd för denna studie.
Först och främst vill jag rikta ett varmt och hjärtligt tack till Lena Andersson och Margareta Bynke och övriga matematikpedagoger vid Malmö högskola, lärande och samhälle för en väl bemötande, stöd och uppmuntran under hela min utbildningsgång. Det var era stöd som gjorde att jag fick möjlighet att undersöka ett ämne som alltid har varit intressant.
Ett särskilt stort tack till min handledare Troels Lange för hans inspirerande handled-ning, som aldrig förtröttas att ge mig idéer och vägledning och alltid har hittat nya ut-gångspunkter, då det uppstått problem.
Högskolslektor Eva Reisbeck har haft vänligheten att ge mig värdefulla idéer om uppsatsens titel.
Slutligen, tack min underbara familj för ert oerhörda stöd och tålamod genom hela den här processen. Utan er hjälp hade jag inte kunnat genomföra min undersökning.
Sammanfattning
Studiens ursprungliga och övergripande syfte var att ge uppslag till diskussion rörande förändringar och utvecklingar av undervisning i matematik i problemlösning. Wynd-hamn, Riesbeck & Schoultz, (2000) redovisade i sin analys hur problemlösning besk-revs i olika officiella dokument så som läroplaner. Wyndhamn et al. valde att beskriva resultaten av sina analyser i termer av tre prepositioner som alla hade använts i samband med problemlösning – för, om och genom. Syftet med min studie var att undersöka dessa förändringar och utvecklingar och ta reda på i vilket perspektiv problemlösning hade framställts i den aktuella läroplanen Lgr 11 jämfört med de tidigare läroplanerna från Lgr 69 (Skolöverstyrelsen, 1969), Lgr, 80 (Skolöverstyrelse, 1980) och Lpo 94 (utbildningsdepartementet, 1994).
Studien genomfördes som en textanalys av styrdokument. Resultatet framställde att perspektivet på problemlösning enligt Skolverket (Lgr 11) var byggd på den sociokultu-rella teorin, där lärarens roll beskrevs som en mediator och organisatör. Lärarens roll förändrades från att överföra, förmedla, handleda information och regler till att organi-sera och vara resurs för medierade lärandeerfarenheter. Elevens lärande beskrevs som aktivt medierad lärande. Eleven i sin lärande var självgående och självstyrande och sågs som en skapare, en kreatör och framförallt som en frambringare. Alltså kan problemlös-ning sägas vara framställd i ett nytt perspektiv och förklaras med en ny preposition. En-ligt min analys av Lgr 11 skall läraren undervisa i problemlösning i matematik.
Studiens slutsatser framhävde att det traditionella för perspektivet i problemlösning skulle förändras, om perspektivet skulle byggas vidare och genom perspektivet skulle granskas och utvecklas inför nästa kommande läroplan.
Nyckelord: Elevens lärande, Karaktären hos skolmatematikens uppgifter, Lärarens roll, Läroplan
Innehåll
1. Inledning ... 9 1.1 Bakgrund ... 9 1.2 Studiens syfte ... 11 1.3 Frågeställning ... 11 2. Teoretisk inramning ... 122.1 Några teoretiska perspektiv på lärande ... 12
2.2 Behaviorism ... 12
2.3 Svag-konstruktivism (kognitivism) ... 14
2.4 Social konstruktivism ... 15
2.5 Teoretiskt perspektiv på lärande enligt Lgr 11 ... 16
2.5.1 Sociokulturellt perspektiv ... 16
2.5.2 Kommunikation ... 17
2. 5. 3 Medierande artefakter ... 18
2.5.4 Lärarens roll i klassrumskommunikation ... 18
2.5.5 Teorin om medierade lärandeerfarenheter (MLE) ... 19
2.6 En sammanfattande översiktlig jämförelse av lärande- teorier ... 19
2.7 Karaktären hos skolmatematikens uppgifter ... 20
2.7.1 En historisk genomgång av begreppet problemlösning ... 20
2.7.2. Karaktären hos skolmatematikens uppgift i för perspektivet ... 21
2.7.3 Karaktären hos skolmatematikens uppgifter i om perspektivet... 22
2.7.4 Karaktären hos skolmatematikens uppgifter i genom perspektivet ... 22
2.8 Sammanfattning ... 24
3. Val och motivering av metod ... 26
3.1 Datainsamling ... 27
3.2 Beskrivning av undersökningsförfarande ... 27
3.3 Etiska överväganden ... 28
3.3.1 Studiens tillförlitlighet ... 29
4. Analys och teoretisk tolkning (utifrån Lgr11) ... 30
4.1 Struktur i den nu rådande läroplanen ... 30
4.2 Lärarens roll enligt Lgr 11 ... 34
4.2.1 Kommunikationsförmåga ... 35
4.3 Karaktären hos skolmatematikens uppgifter enligt Lgr 11 ... 36
5. Diskussion ... 39
5.1 Koppling till frågeställning och resultat ... 39
5.2 Slutsats ... 41
5.3 Förslag till fortsatt forskning ... 44
1.
Inledning
I detta kapitel beskriver jag hur intresset för mitt ämnesval växt fram. Därefter beskrivs syfte och frågeställning och argumentation till varför denna forskningsfråga anses vara viktigt i lärarprofessionen. I anslutningen till bakgrunden ges en kort genomgång av det som ligger utanför studiens fokus.
1.1. Bakgrund
Att säga att skolan – liksom för övrigt all utbildning i dagsläget – befinner sig i en tydlig förändringsfas är egentligen inte något nytt. För att diskussionen om olika omställningar ska bli meningsfull är det av största betydelse att olika utvecklingstendenser synliggörs, och studera hur de beskrivs och sedan värderas (Wyndhamn, Riesbeck & Schoultz, 2000). Som blivande lärare i matematik för grundskolans tidigare år är jag en av de som är intresserad och vill gärna framhålla dessa omställningar i min studie. Avsikten är att beskriva och synliggöra förändringar och utvecklingar i området problemlösning i ma-tematik och genom det utveckla och reflektera en bättre förståelse av och medvetenhet om matematikundervisning. En förståelseinriktad matematikundervisning blir intressan-tare för både eleverna och läraren och bidrar i sin tur till att förbereda eleverna för kommande studier och livet utanför skolan vilket är ett av de övergripande syftena med problemlösning enligt samtliga läroplaner (Engström, Engvall & Samuelsson, 2007). Ett vidare syfte med studien är den oron som vuxit fram under min verksamhetsförlagda tid för elevernas bristande förmåga att lösa problem.
Problemlösningens roll förändras i våra kursplaner för grundskolan under senare hälften av 1900-talet. Wyndhamn et al. (2000) beskriver dessa förändringar genom att använda sig av prepositionerna för, om och genom. Författaren har placerat in vad grundskolans olika läroplaner huvudsakligen ser som problemlösning. I läroplanen för grundskolan Lgr 69 (Skolöverstyrelsen, 1969) och tidigare läroplaner sågs problemlös-ning som målet för övrigt lärande. I nästa läroplan för grundskolan, från 1980, Lgr 80, (Skolöverstyrelsen, 1980) blev problemlösning ett eget huvudmoment. Läraren skulle undervisa om problemlösning och målet var att eleverna på egen hand sedan skulle klara av att hitta en lämplig lösningsstrategi till de uppgifterna som ställs i matematikunder-visningen. I Läroplan för det obligatoriska skolväsendet Lpo 94 (utbildningsdeparte-mentet, 1994)) ser man på problemlösning mer som ett medel att få eleverna att tänka
matematiskt och därigenom utveckla sina kunskaper i ämnet. Lärarna ska undervisa i matematik genom problemlösningen (Wyndhamn et al., 2000). Den nuvarande kurspla-nen Lgr 11 har formulerat kunskapsområdet problemlösning på följande sätt:
Genom undervisning i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsätt-ningar att utveckla sin förmåga att: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, (Skolverket, 2011a, s. 62).
Vi ser utifrån citatet att det nuvarande läroplanen lyfter fram arbetet med problemlös-ning som en väsentlig, kreativ och reflekterande aktivitet. En läroplan och tillhörande kursplan är tidsdokument och återspeglar vissa teorier även om det är svårt att i läropla-nerna finna några tydliga konkretiseringar av och motiveringar för dem (Wyndhamnet et al., 2000). Som jag kommer att redovisa i denna studie är Lgr 11 i stort sätt byggd på sociokulturella idéer, med tanke på ett kommunikativt drag.
I kommentarer till gällande kursplan i matematik står det att viktiga utgångspunkter för förändringar i kursplanen som Third international Mathematics and Science study (TIMSS) och Programme for International student Assessment (PISA) har rapporterat att undervisningen i matematik i stort sätt präglas av enskild räkning, vilket får till följd att eleverna i undervisningen har begränsade möjligheter att utveckla förmåga att lösa problem. Det innebär också att eleverna sällan har fått möjligheter att använda matema-tik i vardagen och inom olika ämnesområden. Mot bakgrund av detta är ambitionen med nya kursplanen att betona vikten av att eleverna ges möjlighet att använda matematik i olika sammanhang, utveckla förmåga att lösa problem, använda logiska resonemang samt att kommunicera matematik med hjälp av olika uttrycksformer (Skolverket, 2011b)”. Vidare rapporterar Skolverket att internationella studier visar att Svenska ele-ver behärskar de enkla och rutinartade uppgifterna medan uppgifter som efterfrågar ana-lys och problemlösning framstår som problematiska (Skolverket, 2006). Vi ser att min påstående angående elevernas bristande förmåga i problemlösning kommer också över-ens med de nationella och internationella utvärderingarna gällande elevernas förmåga att lösa matematiska problem.
Utifrån de ovanstående rapporteringarna anser jag att problemlösning är en viktig forskningsfråga i lärarprofessionen. Problemlösning är inte bara yrkesmässigt relevant utan också vetenskapligt. Den vetenskapliga relevansen är att genom att lösa problem kan man utveckla tankar, idéer, självtroende, analysförmåga, kreativitet och tålamod.
Man lär sig att planera, upptäcka, samband förfina det logiska tänkandet och skaffa sig beredskap att klara situationer i livet (Ahlström et al., 2009).
Historisk har utveckling för våra kursplaner gått från att räkna till att lära genom pro-blemlösning. I mycket grova drags ses den problemlösande eleven som härmare i för perspektivet, som informationsbehandlare i om perspektivet och som tänkare i genom perspektivet (Wyndhamn et al., 2000). Hur ses den problemlösande eleven enligt den nya läroplanen? Hur ses lärarens roll och karaktären hos skolmatematikens uppgifter enligt den aktuella läroplanen Lgr 11? Det är dessa frågor som denna studie lyfter fram och söker kunskap genom.
Eftersom området problemlösning är mycket vidsträckt begränsas det till att omfatta problemlösning i ämnet matematik och enbart gällande grundskolans tidigare år. Stu-dien diskuterar bara läroplaner från (1969, 1980, 1994 och 2011). För att underlaget inte blir för stor studeras och sedan analyseras varje perspektiv utifrån följande punkter:
Karaktären hos skolmatematikens uppgifter Lärarens roll
Elevens lärande
Sammantaget kan uppsatsen läsas som en redovisning för förändring och utveckling i perspektiven på problemlösning i matematikundervisning.
1.2. Studiens syfte
Syftet med undersökningen är att ta reda på i vilka perspektiv problemlösning beskrevs med avseende på elevens lärande, karaktären hos skolmatematikens uppgifter och lära-rens roll i de tidigare läroplanerna (1969, 1980 och 1994), samt att undersöka och besk-riva perspektivet på problemlösning med avseende på lärarens roll, elevens lärande och karaktären hos skolmatematikens uppgift enligt den aktuella läroplanen Lgr 11 för ma-tematik i grundskolans tidigare år.
1.3 Frågeställning
I vilket perspektiv beskrivs problemlösning med avseende på elevens lärande, ka-raktären hos skolmatematikens uppgifter och lärarens roll i den aktuella läroplanen Lgr 11 jämfört med läroplanerna i 1969, 1980 och 1994?
2.
Teoretisk inramning
För att få förståelse för vilka teorier som Lgr 11 speglar är det viktigt att titta tillbaka på de tidigare lärandeteorierna och se hur dessa utvecklas genom tiden. Därför utförs i detta kapitel en ideologianalys med syfte att belysa vilken syn på lärande läroplanerna uttrycker. Teoriavsnittet delas in i två huvudavsnitt utifrån uppsatsens syfte och dess frågeformulering. I första avsnittet redovisas uppsatsens två nyckelbegrepp utifrån några teoretiska perspektiv på lärande, vilket förklarar elevens lärande och lärarens roll i re-spektive perspektiv. I det andra avsnittet redovisas karaktären hos skolmatematikens uppgifter utifrån de tidigare läroplanerna med en genomgång av de resultaten som andra forskare kommit fram till.
2.1 Några teoretiska perspektiv på lärande
De tre perspektiven på problemlösning som beskrivits med prepositionerna för, om och genom kan relateras till olika pedagogiska skolor. För perspektivet relateras till stimuli-respons (S – R) teorin som tillhör behaviorism. Om, genom och den aktuella läroplanens perspektiv relateras till konstruktivism.
Det finns ett antal olika former av konstruktivism (svag, radikal och sociala kon-struktivism) och jag anser att det är viktigt att man håller isär dem. Om perspektivet kopplas till svag- konstruktivismen som definitionsmässigt bygger på den andra av von Glasersfeld principer kognition. Genom perspektivet kopplas till socialkonstruktivism som också har olika inriktningar. Den viktigaste skillnaden är om de är individualistiska eller sociala till sin inriktning och i synnerhet om de är Piagetianska eller baserade på en samhällsorienterad teori som Vygotskijs (Engström, 1998). När jag kopplar genom- perspektivet och den aktuella läroplanens teorier till social-konstruktivism ser jag de utifrån de både inriktningar, med skillnad att den aktuella läroplanen framhåller kun-skapsområdet problemlösning mer utifrån kommunikativa processer.
2.2 Behaviorism
Förgrundsgestalt inom behaviorismen är Skinner. Det observerbara beteende benämns inom behaviorismen respons (R). Respons föregås av händelser i miljön eller antyd-ningar i omgivningen (”cues”). Dessa kallas stimuli (S) och ger villkoren för att ett be-teende ska uppstå (Skinner, 1974). I skolans matematikundervisning har exempelvis
lärobokens många ”övningsuppgifter” funktionen av stimuli. Eleven reagerar på dessa och ställer upp ett sifferuttryck och räknar ut ett svar. Detta svar kontrolleras sedan mot ett ”facit” av något slag, kanske lärobokens facit eller en nick av läraren. Beteenden kan observeras exempelvis genom antal rätt lösta huvudräkningsuppgifter på en viss tid. Perspektivet är först måste man kunna, sedan kan man bygga på med (Wyndhamn et al., 2000).
Enligt behaviorismen ses kunskap som någonting som kan förflyttas från en lärare till en lärande. Läraren styr och definierar vad den lärande skall uppnå. Genom övning i följder av lämpligt avpassande små steg skall eleverna lära sig vissa basfärdigheter för att sedan tillämpa dem vid lösandet av problem.
Figur 1. Enligt behaviorismen ses kunskap som någonting som kan förflyttas från en lärare till en lärande. Läraren styr och definierar vad den lärande skall uppnå.
(Strandvall, 2000).
Den typiska dragen i behaviorismen kan sammanfattas i dessa punkter: Kunskapen är given och absolut.
Kunskapen är till övervägande passivt även om den sker under programmatiska upprepande former.
Eleven ses som en passiv recipient.
Lärarens roll är auktoritativ, anvisade och kontrollerande (Wyndhamn et al., 2000).
Sammanfattningsvis kan behaviorism metaforisk beskrivas med ett citat av Wyndhamn et al. (2000) ” Människans själsliga förmågor (”mind”) finns i en svart låda vars lock är ointressant att öppna” (s. 79). En kognitivist däremot gläntar gärna locket för att se vad som finns inne i huvudet med syftet att kunna beskriva, förklara och förstå lärandet.
2.3 Svag-konstruktivism (kognitivism)
Wyndhamn et al. (2000) har definierat begrepp kognition enligt Nationalencyklopedin på följande sätt:
De tankefunktioner med vilkas hjälp information och kunskap hämtas. Till de kognitiva funktionerna räknas varseblivning, minne, begreppsbildning, resonerande, problemlös-ning och uppmärksamhet. (s. 80)
Den svaga konstruktivismen baseras på principen att all individuell mänsklig kunskap konstrueras av den enskilda individen. Den svaga konstruktivismen representerar ett mycket betydelsefullt steg bort från den klassiska behaviorismen. Den inser nämligen ”att vetandet är aktiv, att det är individuellt och personligt och att de bygger på tidigare konstruerad kunskap” (Engström, 1998, s. 23).
I motsats till den behavioristiska psykologin, som betonar relationen mellan villkor i omgivningen (stimuli) och uppenbart beteende (responsen) vid lärandet, så studerar man i den kognitiva psykologin hur individer behandlar de stimuli de möter. Studiet av pro-cessen omfattar hur individer varseblir, tolkar och mentalt lagar den information de mottar från sin omgivning. Kunskap ses på samma sätt inom de två inriktningarna som given och absolut. I de båda skolorna används också gärna beteckning ”inlärning” med betoning på in. Kognitivismen kan emellertid förstås som en reaktion mot behaviorism då denna lämnar många frågor obesvarade om inlärning av komplexa beteenden som exempelvis språkövning och kommunikation (Wyndhamn et al., 2000).
Utifrån en kognitivistisk synsätt undviker läraren att ge specifika förslag eller att bryta ner problemet i delar. Läraren hanterar diskussionen i klassrummet på ett icke styrande sätt, genom att vara ordförande, ibland frågeställare eller provokatör, aldrig domare eller bedömare (Wyndhamn et al., 2000). Läraren undervisar om Polyas modell (Polya, 1957). Vilket hjälper elever att förstå problemet, lägga upp en plan, genomföra planen och sedan titta tillbaka och värdera lösningen I den här traditionen kan man höra frågor av typen ”varför gör du så här?” och ”vad gör du?” (Riesbeck, 2000, s. 16).
Sammanfattningsvis finns det alltså tre aspekter av inlärning som tillsammans bildar grunden för kognitivismen (Resnick, 1989).
Inlärning ses som kunskapskonstruktionsprocess och inte som en kunskapsregi-streringsprocess.
Inlärning är kunskapsberoende, eftersom man använder befintlig kunskap för att skapa ny kunskap.
2.4 Social konstruktivism
Det är genom Jean Piagets inflytande att konstruktivismen har etablerats som en ledande teori om matematikinlärning. Den konstruktivistiska synen har gått längre än kognitiv-ismen och riktar inte bara in sig på hur hjärnan behandlar information. Teorin hävdar att lärande inte kan uppfattas och reduceras till varken ett passivt formande av vissa bete-enden (behaviorism) eller en helt individuell, kognitiv mental och inåtriktad process (kognitivism). Socialkonstruktivismen handlar om hur människor skapar förståelse uti-från erfarenheter och upplevelser. Elevens lärande är aktivt. Eleven bygger själv sin egen kunskap när hon bearbetar de sinnesintryck som hon får från sin omgivning. När hon konstruerar denna kunskap spelar hennes tidiga erfarenheter och kunskaper en stor roll (Engström, 1998).
Kunskap kan inte överföras: Inlärningen är meningsfull då den lärande använder sig av den kunskap och de färdigheter han eller hon redan har, för att lösa realistiska pro-blem i en realistisk kontext. Kunskap hos en människa aldrig i sin helhet kan överföras över till en annan (Jfr figur 1). Detta eftersom kunskap är resultat av en personlig tolk-ning av erfarenheter. Detta medför att när kunskap ”förflyttas” från en person till en annan går en del av kunskap till spillo vid översättning (Strandvall, 2000).
Figur 2. Enligt den konstruktivistiska synen kan inte kunskap överföras över från lära-ren till de lärande, utan den skapas aktivt genom interaktion med andra jfr
figu1(Strandvall, 2000)
Lärarens roll i ett social-konstruktivistiskt perspektiv förklaras som en handledare. I lärarens roll ingår val av lämpliga uppgifter samt att organisera klassrumssamtal för att uppmuntra elevers matematiska förståelse. De främsta kraven för lärarens roll i detta perspektiv är:
Den matematik som skall behandlas måste vara inbäddad i de utvalda problem-uppgifterna.
Uppgifterna måste vara tillgängliga och utmanande för eleverna samt bygga på vad de redan vet och kan göra.
Läraren har en mycket viktigt uppgift i att se till att de normer som finns i klass-rummet verkligen uppmuntrar eleverna att lära sig på detta sätt (Lester & Lamb-din, 2007). Sammanfattningsvis ser en lärare som följer idéer från den här teorin i sin undervisning sig själva i första hand som handledare. Läraren anordnar in-lärningstillfällen eller problemsituationer som först aktualiserar elevernas tidi-gare kunskaper och sedan får eleverna att tänka vidare själva (Engström, 1998). Detta är i mottsats till kognitivismen där läraren hanterade inlärningssituation och till motsats till behaviorism där lärandet och kunskap förflyttades av läraren till eleven.
2.5 Teoretiskt perspektiv på lärande enligt Lgr 11
I inledningsavsnittet nämnde jag att en läroplan och tillhörande kursplan är tidsdoku-ment och återspeglar vissa teorier även om det är svårt att i läroplanerna finna några tydliga konkretiseringar av och motiveringar för dem (Wyndhamn et al., 2000).För att få syn på den lärandeteori som speglar Lgr 11 s kursplan för matematik utgår jag från ett sociokulturellt perspektiv. För att se om det sociokulturella perspektivet speglar någon av kursplanen så tittade jag på kommunikativa mål som är kärnan i en sociokulturell teori. De kommunikativa målen synliggörs utifrån förmågorna som kursplanens mate-matik syftar till (Skolverket, 2011c). Genom att sätta problemlösningsförmåga i relation till det sociokulturella perspektivet så blir bilden tydligare av vilken lärandeteori som präglar den nu gällande kursplanen.
2.5.1 Sociokulturellt perspektiv
Det är Vygotskij som ses som förgrundsgestalt för ett sociokulturellt perspektiv. Socio-kulturell syn på lärande innebär att interaktionen och samspelet med andra människor är grundläggande för att tillägna sig kunskap samt etablera självförståelse och verklighets-uppfattning. Social konstruktivismen kan delas in i två olika teorier om kognition: ut-vecklings- och sociokulturell teori. Inom den första inriktning är det den individuella lärande som skapar förståelsen. Utvecklingen av de egna kunskaper är då huvudmålet för inlärningen. Den andra konstruktivistiska inlärningen, den sociokulturella, betonar den social konstruktion av kunskap och avvisar Piagets individualistiska teori.
Figur 3. Enligt sociokulturell teorin ses kunskap som en konstruktion av individens
in-teraktion med den sociala miljön. Inin-teraktion mellan lärare och elever samt i mellan elever (Strandvall, 2000).
Kinards och Kozulin (2012) hävdar att användning av Vygotskijs socialkulturella teori i klassrummet baserar sig på begreppet lärandeverksamhet. Lärandeverksamheten kan definieras som en undervisningsform som ska göra barnet till en självgående och själv-styrande lärande person. Kärnan i en lärandeverksamhetsundervisning består av tre ele-ment: Analys av uppgiften, planering och åtgärd samt reflektion. Analys och planering har en framstående plats i många pedagogiska modeller, men reflektion som ett centralt inslag i undervisningen för de yngre barnen kan med rätta betraktas som ”varumärke” för en lärandeverksamhet (Kinard & Kozulin, 2012).
När man utgår från principerna för lärandeverksamhet i klassrummet övergår barnen från att endast samla information och regler till att lära sig att lära. En lärandeverksam-het har uteslutande som mål att utveckla barnet till att bli en oberoende och kritisk, lä-rande person. Eleverna i ett klassrum som realiserar lälä-randeverksamhet utvecklar en övertygelse att det är att lära sig att lära som står i centrum för deras lärande och för deras skolgång (Kinard & Kozulin, 2012). De viktiga begreppen som präglar idéerna från denna teori är reflektion, språk, som sker i kommunikativa processer som behand-las i vidare avsnittet.
2.5.2 Kommunikation
Hagland, Hedrén och Taflin, (2005) har definierad den närmaste utvecklingszonen som det kunskapsområde, där en elev inte kan klara en uppgift på egen hand men kan göra det med endast litet stöd och hjälp från en kunnigare person. Eleven konstruerar sin kunskap tillsammans med andra. Vid elevens byggande av kunskap spelar studiekamra-ter en stor roll. När elever, som har liknande erfarenhestudiekamra-ter och kunskaper, tillsammans diskuterar ett problems lösning eller betydelsen av ett matematiskt begrepp, när de vär-derar och kritiserar varandra lösningar och tolkningar, då ges alla de deltagande
perso-fattarna anser att det för eleverna ligger närmare till hands att värdera och kritisera kam-raternas påståenden än lärarens. Kamraterna är inte några auktoriteter på samma sätt som läraren är. Med kamraterna har eleven ett gemensamt språk och är nära sitt eget lärande Det här sagda hindrar naturligtvis inte att läraren eller andra kunniga personer kan spela en stor roll vid elevens byggande av kunskap. Genom att ställa enkla men relevanta frågor, genom att visa på hur elevens tankegångar enkelt kan utvidgas och fördjupas kan de vara ett gott stöd vid elevens lärande.
2. 5. 3 Medierande artefakter
Språk: För att klara sig i världen har människan över tid skapat artefakter. Artefakter betyder produkter och verktyg. Det kan vara allt från en hammare och en skiftnyckel över en dator till ett språk (Wyndhamn et al., 2000). Språket spelar en viktig roll för utvecklingen av elevernas tänkande och lärande i matematik. Eleverna begreppsliggör deras erfarenheter tillsammans med andra genom språket.
Reflektion: Enligt Kinard och Kozulin (2012) finns det tre huvudaspekter på den reflekt-ion som ska utvecklas under de tidigare skolåren:
förmåga att identifiera mål för sina och andra människors handlingar liksom me-toder och medel för att uppnå dessa mål,
förmåga att förstå andra människors synsätt, inklusive att betrakta objekten, pro-cesserna och problemen från andra perspektiv än det egna,
förmåga att utvärdera sig själv och identifiera starka och svaga sidor av den egna prestationen
2.5.4 Lärarens roll i klassrumskommunikation
En lärare som följer den sociokulturella idéer i sin undervisning i samband med klass-rumskommunikation utgår från nedanstående punkterna: (Engström, 1998).
Ser lärande som en problemlösande aktivitet, där elevernas egna frågeställningar och sätt att formulera problem ges ett stort utrymme.
Presenterar problemlösande aktiviteter som är öppna, som stimulerar till att ar-beta fram olika lösningar.
Skapar en atmosfär i klassrummet som främjar utbyte av idéer.
Erbjuder åtskilliga tillfällen för eleverna att tala om och framställa idéer.
Underlättar organiseringen och omorganiseringen av elevgrupper för att åstad-komma lämpliga tillfällen för eleverna att ta del av information och idéer. Stimulerar eleverna till att reflektera över sina matematiska aktiviteter.
2.5.5 Teorin om medierade lärandeerfarenheter (MLE)
Teorin om medierade lärandeerfarenheter tillhandahåller en modell för interaktionen mellan lärare, elev och uppgifter. Från att ha varit endast en källa till information och regler förväntas läraren i denna modell bli lyhörd för elevernas kognitiva behov och att utforma undervisningen/lärandet på ett sätt som främjar kognitiva funktioner och strate-gier för problemlösning. Läraren ska bidra till mediering. Detta innebär att lärarens roll förändras från att förse eleverna med information och regler till att bli en mediator. En av de viktigaste skillnaderna mellan dessa båda roller är att läraren inte tar elevernas kognitiva funktioner för givna, utan aktivt undersöker hur elevernas kognitiva förmåga ser ut och utformar undervisningen så att den främjar en tankemässig utveckling. Enligt författaren äger barns lärande rum i två former: direkt lärande, baserat på den vardagliga interaktionen mellan barnen och deras omgivning, och guidat lärande som är beroende av en annan människa t.ex. lärare. En mänsklig mediator väljer alltså ut, förstärker eller reducerar, upprepar, sätter in i sammanhang och tolkar omvärlden för elever (Feuerstein, 1990; refererad i Kinard & Kozulin., 2012).
2.6 En sammanfattande översiktlig jämförelse av lärande-
teorier
I de tidigare avsnitten har olika teorier med bäring på inlärande och beskrivning av ele-vens lärande och lärarens roll utifrån respektive perspektiv presenterats. Det tidigare beskrivna för perspektiv grundas på teorier av stimulus - respons typ. Behaviorismen intresserar sig ju inte för det kognitiva arbetet utan enbart ett synligt beteende. Elevens lärande ses som bildande av förbindelser eller band mellan stimuli (signaler från omgiv-ningen) och svar eller reaktioner från någon på dessa signaler. (Wyndhamn et al., 2000).
Om–perspektivet grundas i ett synsätt där lärande inte enbart ses som tillägnande av fakta, information och färdigheter, utan också lärande innebär hanterande av detta. Be-greppet metakognition – omfattande bl.a. självreglering, kontroll och medveten styrning av tänkandet – ges en framträdande plats (Wyndhamn et al., 2000).
Genom-perspektivet och sociokulturella perspektiv kan motiveras utifrån en kon-struktivistisk idéströmning. Bärande utgångspunkter är att den lärande själv konstruerar sin kunskap och att undervisning ska beakta den lärandes tidigare existerande och struk-turerande kunskap. Lärande sker också i interaktionen och samspelet med andra
männi-skor som är grundläggande för att tillägna sig kunskap samt etablera självförståelse och verklighetsuppfattning (Engström, 1998).
2.7 Karaktären hos skolmatematikens uppgifter
Detta avsnitt inleds med en historisk genomgång av begreppet problemlösning utifrån de tidigare läroplanerna. Därefter beskrivs karaktärens hos skolmatematikens uppgifter i perspektivet för, om och genom utifrån de tidigare forskningsresultaten.
2.7.1 En historisk genomgång av begreppet problemlösning
Problemlösningens placering och status i skolmatematiken har varierat över tiden. I de svenska kursplanerna levde den länge ett ganska underskymt liv för att få en central ställning som eget huvudmoment. Därför finns det inte en riktig definition av begreppet problem och problemlösning men endast ett historiskt förlopp för detta (Bergsten, 2006).
Traditionellt har man ofta identifierat ”problem” med matematiska uppgifter som ska utföras. Det innebär att man till dem bl.a. hänfört också uppgifter vilkas primära syfte har varit att erbjuda träning i en viss lösningsteknik. Ofta har därtill ett problem förut-satts vara en ”textuppgift” eller en ”benämnd uppgift”, vilket har haft till följd att man ibland använt orden synonymt (Schoenfeld, 1992, s.337).
I undervisningsplan för folkskolan från år 1919 återfinns termerna problem, problem-lösning överhuvudtaget inte. Där talas enbart om ”uppgifter” eller ”tillämpningsuppgif-ter” som ska lösas. Anvisningarna till realskolans kursplan upptar likaså ”uppgif”tillämpningsuppgif-ter” och ”tillämpningar” men indelar samtidigt tillämningsuppgifterna i olika typer av ”problem” exempelvis rörelseproblem, blandningsproblem (Carlgren, 1919., refererad i Wynd-hamn et al., 2000).
I Lgr 69 använder författarna omväxlande termerna ”problem” och ”uppgifter”, och ”tillämpningsuppgifter” förekommer också. I Lgr 69 tas även in begreppet matematisk modell.
I Lgr 80 är ”problem” och ”problemlösning” högfrekventa ord. Under 1980 talet var mycket fokuset på problemlösning i sig som kognitiv och metakognitiv aktivitet med betoning på kunskaper, processer och uppfattningar. I Lgr 80 och Lpo 94 ingår pro-blemlösning gärna samman med ”undersökande” aktiviteter. Dessutom ingår problem-lösning i alla andra huvudmoment. Det betonas att problemen ska ha öppen karaktär, dvs. inte vara tillrättalagda för en viss typ av hantering. Enligt Lgr 80 ska problemet
också innebära en personlig, intellektuell prövning eller utmaning. Ett problem ska inte vara av rutinkaraktär och kunna lösas efter ett schablonartat mönster.
Även i läroplanen från 1994 har problemlösning en kärnfunktion men ses inte längre som ett ”moment” utan ges ett mer övergripande syfte och funktion (Wyndhamn et al., 2000).
Sammanfattningsvis har synen i våra läroplaner på problemlösning under årens lopp förändras. I läroplanen från 1919 sattes uteslutande procedurer mer eller mindre lika med problemlösning (”hur man ska göra”). I läroplanerna från och 1969 omnämns vissa uppgiftstyper som eleverna ska lära sig lösa efter en bestämd mall eller ett speciellt mönster – något som kan betraktas som ett procedurförfarande och ett förenklat strategi-förfarande (”Vad man ska tänka”). I läroplanen från 1980 (Lgr 80) betonas med kraft att eleverna ska lära sig allmängiltiga strategier för att kunna lösa problem. Lärarna ska undervisa om problemlösning (”Hur man kan tänka”). I läroplanen 1994 är ning både mål och medel för undervisning. Läraren ska undervisa genom problemlös-ning (”varför man ska tänka”) (Wyndhamn et al., 2000).
2.7.2. Karaktären hos skolmatematikens uppgift i för perspektivet
Wyndhamn et al. (2000) har i sitt analysarbete identifierat karaktären hos skolmatemati-kens uppgift i för perspektivet som rutinuppgifter/standarduppgifter Nedan anges ett exempel på en rutinuppgift, samt vad skiljer sig mellan en rutinuppgift och ett problem. Rutin uppgift eller problem?
Ofta brukar en problemuppgift definieras som en uppgift där man inte vet lösningen di-rekt utan att det finns något hinder man måste klara av. Du har 3 kritor och får 2 till. Hur många kritor har du då? inte någon problemuppgift för en sjuåring utan en rutin-uppgift. Däremot är följande en problemuppgift: Moa köpte tre pinnglassar för 8.kr/st. Hur många strutar för 12 kr/st skulle hon kunna få för samma kostnad? Men om vi ger den uppgift till en elev i årskurs 6 så är det en rutinuppgift. Det som är problemuppgift för en elev kan alltså vara en rutinuppgift för en annan. (Olsson, 2008, s.1)
Rutin- eller standarduppgifter definieras av Hagland et al (2005) på följande sätt: ”Rutin eller standarduppgifter är en övning som inte leder till några svårigheter för den person som löser den. Den är en uppgift som elever är bekant med och som innebär en rad fär-dighetsträning för henne/ honom” (s.27).
I en historisk genomgång av begreppet problemlösning redovisade jag att i Lgr 69 tas även in begreppet ”matematisk modell”. Eftersom denna studie begränsas till
grundsko-lans tidigare år avstår jag att beskriva en matematisk modell som ingår i högstadiet en-ligt Lgr 69.
2.7.3 Karaktären hos skolmatematikens uppgifter i om perspektivet
Wyndhamn et al. (2000) har identifierat problemets karaktär i om perspektiv som text-uppgift/ benämnd text-uppgift/ vardagsproblem. Nedan anges ett exempel på vardagspro-blem:
Tidtabellen:
Klockan är just nu 17 minuter i 9 och idag skall jag ta bussen till jobbet. Enligt tidtabel-len är de närmaste bussavgångarna 08.49, 09.19, 09. 49 och 10.19. Vilken är den tidig-aste buss jag hinner med, om det tar 15 minuter att klä mig och gå till busshållplatsen?
(Löwing & kilborn, 2002, s. 248)
Enligt Hagland et al. (2005) är denna typ uppgifter ”given med en text utöver eventuella matematiska symboler” (s. 27). Denna text är till för att visa på en tillämpning av ma-tematik och/eller leda till en matematisk modell. En sådan uppgift kan vara ett problem om den uppfyller flöjlande tre villkor:
• personen vill eller behöver lösa uppgiften
• personen ifråga har inte en på förhand given procedur för att lösa uppgiften, och • det krävs en ansträngning av henne eller honom att lösa (Skoogh, 1986). Jämfört med för perspektivet att en rutin uppgift löstes efter en bestämd mall eller en speciell mall eller ett speciellt mönster.
2.7.4 Karaktären hos skolmatematikens uppgifter i genom perspektivet
(Lester & Lambdin., 2007) har karaktäriserat rika problem som skolmatematikens upp-gifter i genom perspektivet. Författaren hävder att ”Eftersom undervisning genom pro-blemlösning startar med ett problem, så måste problemet vara så rikt att de ger eleverna möjlighet att befästa och utvidga vad de redan vet samt ge stimulans i lärandet” (s. 101). ”Rika problem innebär bland annat ett problem som bär på möjligheter till en givande diskussion av matematiska begrepp och procedurer” (Hagland et al., 2005, s. 28). Krite-rier för rika problem: Problemet ska introducera viktiga matematiska idéer eller vissa lösnings strate-gier.
Problemet ska upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid. Problemet ska kunna lösas på flera sätt, med olika strategier och
Problemet ska kunna initiera en matematisk diskussion utifrån elevernas skilda lösningar.
Problemet ska kunna fungera som brobyggare mellan olika matematiska områ-den.
Problemet ska vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med. Problemet ska kunna leda till att elever och lärare formulera nya intressanta
pro-blem (Hagland et al., 2005, s. 28).
Exempel på karaktären hos skolmatematikens uppgifter i genom perspektivet: 32 godisbitar kostar 10 kronor. Hur många bitar får du för 25 kronor?
Den matematiska idé som detta problem kan leda eleverna fram till är proport-ionalitet i någon form. Några elever kanske nöjer sig med att fördubbla och halvera an-talet bitar och motsvarande kostnad, andra kanske sätter upp en ekvation som direkt utnyttjar proportionaliteten.
Åter andra elever kan tänkas använda sig av funktionslära. De kan antingen se att man för 1 krona får 32/10 bitar och att man då kan skriva:
3,2
Y där Y är antal bitar för X antal kronor, eller också inser de att en bit kostar 10/32 kronor och får då den invers funktionen Y 0,3125, där y är kostnaden för x bitar.
.
Med denna korta genomgång vill Hagland et al. (2005) visa att problemet kan uppfylla villkoret att leda in eleverna på väsentliga matematiska begrepp och procedur (det första kriteriet för rika problem). För att anpassa problemet till elever som av någon anledning har svårigheter med matematik och/eller för yngre elever kan lärare agera på flera sätt. Författaren ger första några exempel på enklare varianter av problem) än den ursprung-liga:
20 godisbitar kostar 10 kronor. Hur många bitar får du för 25 kronor? 4 godisbitar kostar 2 kronor. Hur många bitar får du för 5 kronor?
Man även kan presentera problem i bild eller konkret, exempelvis så här (den sista vari-anten av de tre exempel ovan):
Figur 4. Ett exempel av rika problem. (Hagland et al., 2005).
2.8 Sammanfattning
I detta avsnitt utförs en sammanfattning av hur problemlösning i avseende på elevens lärande, lärarens roll och karaktären hos skolmatematikens uppgifter beskrevs i de tidi-gare läroplanerna utifrån de tiditidi-gare forskningsresultaten. I Lgr 69 sågs problemlösning som målet för övrigt lärande i matematik. Läraren och eleverna arbetade med rutinupp-gifter genom drill och praktiserande i små steg. Enligt detta perspektiv eleverna skulle först lära sig de enskilda aritmetiska operationerna, som sedan skulle användas i pro-blemlösandet. Lärarens roll beskrevs som auktoritär. Elevens lärande var passivt.
Nästa synsätt på problemlösning beskrevs genom undervisning om problemlösning. I Lgr, 80 blev problemlösning ett eget huvudmoment. I Lgr 80 utfördes problemlösning därefter med stegen göra upp en plan, genomföra planen och se tillbaka Karaktären hos problemet identifierades som vardagsproblem Läraren beskrevs som en ordförande. Enligt kognitivistiska idéer sågs alltså kunskap som given och absolut. Elevernas lä-rande innebar ”inlärning”.(Resnick, 1989).
Enligt Lpo 94 såg man på problemlösning som ett medel att få eleverna att tänka matematiskt och därigenom utveckla sina kunskaper i ämnet. Läraren skulle undervisa i matematik genom problemlösning Detta förutsatte bland annat att läraren har förmåga att välja ut och använda sig av rika problem som kan få eleverna att befästa och fördjupa sina kunskaper eller upptäcka nya begrepp och samband. Läraren beskrevs som handle-dare och elevernas lärande var aktivt (Wyndhamn et al., 2000, Riesbeck, 2000, Hagland
et al., 2005, Engström, 1998, Lester & Lamdin, 2007 & Löwing & kilborn, 2002). I den nedanstående tabellen beskrivs en sammanfattning av studiens tre första nyckelbegrepp utifrån teoriavsnittet.
Tabell 1. Sammanfattning av problemlösning i ett för, om och genom perspektiv: Läroplan Lgr, 1969 Lgr, 1980 Lpo, 1994 Lgr, 11 Perspektiv för om genom ? Karaktären hos skolmatematikens uppgifter rutinuppgift standarduppgift textuppgift benämnd upp-gift vardagsuppgift rika problem ? Lärarens roll överförare auktoritär vägledare ordförande handledare ?
Elevens lärande inlärning passiv
inlärning passiv
utlärning
3. Val och motivering av metod
I det här avsnittet redogör jag för hur jag har gjort och varför jag har valt att göra på detta sätt. Avsnittet delas in i tre huvuddelar: procedur, material och argumentation för etiska överväganden.
Inom lärarutbildningen förekommer två olika modeller för val av undersökningsme-tod, en konsumtions- och en produktionsmodell. En konsumtionsmodell kallas också för textanalys. Den är en form av examensarbete som utgår ifrån reproducerbara källor och där dessa ges status som huvudkällor för undersökningen Produktionsmodellen utgår att man formulerar ett problem som undersöks empiriskt och därefter bearbetas och analys-eras (Aspelin & Sundmark, 2012).
Stukat (2005) anser att när man gör sitt metodval är det viktigt att tänka på vilket syfte man har med sin undersökning. När målet med studien inte är att generalisera och få mätbara data utan istället få förståelse och kunskap för en special området är kvalita-tiva metoder att preferera. Eftersom min frågeställning innebär jämförelse av skrivna dokument så söker den kunskap genom en konsumtionsmodell som också kallas för ett kvalitativ inriktad textanalys. Avsikten är att genomföra en systematisk bearbetning och analys av läroplaner, i syfte att belysa den valda studiens problem och forskningsfrågan. Koncist söker denna studie kunskap genom förfarande av två olika textanalyser:
Innehållsanalys ideologianalys
Först utförs en kvantitativ innehållsanalys. Denna analys hjälper mig för att analysera läroplanernas struktur och innehåll. Läroplanernas struktur skiljer sig i mellan när det gäller formulering av huvudrubriker t.ex. syfte, centralt innehåll, skolans uppdrag. Av-sikten med denna analys är att kunna få en helhetssyn av materialet. Helhetssynen av materialet fungerar som grund för en jämförelse där syfte är att beskriva textinnehållet på ett systematiskt sätt samt att se skillnader i innehållet.
Sedan utförs en kvalitativ ideologianalys för att jämföra de fyra läroplanerna när det gäller synen på lärandet. Utifrån denna analys beskrivs sedan elevens lärande och lära-rens roll i respektive perspektiv. Ideologianalys är en kvalitativ textanalys som syftar till att jämföra de idéer som en text formulerar. Det innebär att man utgår från ett specifikt perspektiv där man jämför och analyserar de förändringar som skett över en viss tid (Bergström & Boreus, 2000). När jag ska jämföra och analysera på vilket sätt den nu
gällande läroplanen skiljer sig åt från de tre tidigare läroplanerna gällande synen på ele-vens lärande och lärarens roll så innebär det att jag tittar på vilka förändringar som skett över en viss tid och därför är denna metod den mest relevanta.
Utifrån de två systematiska analysen samlas studiens resultat i en tabell för att tydligt synliggöra förändringar och utvecklingar i området problemlösning med avseende på uppsatsens nyckelbegrepp vilket är det övergripande syftet för denna studie.
3.1 Datainsamling
Forskningsmaterialet utgörs av reproducerbara texter (tryckta och digitala). Det material som jag samlat in består av befintliga, redan existerande dokument och texter så som läroplaner, kursplaner, utvärderingar, kommentarmaterialet och diskussionsunderlaget till kursplanen matematik.
3.2 Beskrivning av undersökningsförfarande
Studiens syfte var att beskriva perspektivet på problemlösning i den aktuella läroplanen Lgr 11 med avseende på elevens lärande, lärarens roll och karaktären hos skolmatema-tikens uppgifter jämfört med de tidigare läroplanerna 1969, 1980 och 1994.
Läroplanerna studerades med syfte att jämföra motsvarande formuleringar angående: Elevens lärande
Lärarens roll
Karaktären hos skolmatematikens uppgifter
Eftersom respektive läroplan skiljer sig strukturmässigt gick jag genom varenda huvud-rubrik för att ta reda på de huvud-rubrikerna som framställer eller förklarar studiens respektive nyckelbegrepp utifrån respektive läroplan. Detta gjorde jag utifrån en innehållsanalys. Mer förklarning angående innehållsanalys anges i analys avsnittet.
Vid jämförelse har jag begränsat mig till att jämföra bara läroplanerna och kurspla-nerna för matematik i kunskapsområde problemlösning. Vid jämförelsen ställs konkreta citat från respektive läroplan som motsvarar samma innehåll mot varandra för att påvisa skillnader läroplanerna emellan.
Perspektiven för, om och genom med avseende på de tre ovanstående punkterna be-skrevs utifrån respektive läroplan och dess tillhörande lärandeteorin utifrån de tidigare forskningsresultaten. Eftersom kursplanen i matematik har i stort sett byggts utifrån avsnitt 2.2 ”Kunskaper” utgår analysen utifrån detta avsnitt (Skolverket, 2011c).
Ele-vens lärande och lärarens roll beskrivs utifrån Syfteavsnittet i kursplanen för matematik. Syftetexten anger de förmågorna som skolan och undervisningen ska ge eleverna (Skol-verket, 2011b). En av de fem förmågorna är kunskapsområdet problemlösning.
Formulering av problemlösningsförmåga i sig förklarar lärarens arbetssätt och arbets-former så lärarens roll också förklaras utifrån syftetexten samt utifrån avsnitt 2.2 ”Kun-skaper” under rubriken ”Läraren ska” (s. 14). Karaktären hos skolmatematikens uppgift framställs av ”centralt innehåll” (s, 64, 65). Eftersom alla vetenskapliga metoder kan diskuteras i termer av deras relativa styrka eller svagheter vill jag också diskutera meto-dens för- och nackdelar. Fördelen med den valda metoden enligt Bryman (2008) är att den är en ”öppen” forskningsmetod. Det är lätt att konkret beskriva hur man har gjort sitt urval. Det gör att metoden ofta beskrivs som en objektiv analysmetod. Metoden får ibland kritisk att det är tidskrävande med tanke att det är stora mängder material som ska analyseras och bearbetas. Det går inte heller att generalisera resultat vilket det är möjligt vid kvantitativa metoder (Stukat, 2005).
3.3 Etiska överväganden
Jag har valt utifrån Vetenskapsrådet (2011) att uppfölja de forskningsetiska aspekterna som är relevant för denna studie. Anmärkningsvärt är att denna undersökning endast analyserar offentliga dokument och den därför inte behöver rätta sig efter några etiska aspekter för individen.
Enligt skriften förutsätter god forskningsetiska kvaliteter av forskning som ger nya kunskaper, belyser tidigare ej kända förhållanden eller kastar ett nytt ljus över tidigare kända företeelser och relationer – den ger mer tillförlitliga kunskapskartor att navigera efter än de vi tidigare haft. Uppsatsens frågeställning fyller dessa krav.
Stukat (2005) hävdar att en helt annan aspekt av etik är hur man utnyttjar andra per-sonens skriftliga tankar. Detta diskuteras i APA-manualen där den första principen tar upp regeln om att man inte får stjäla – plagiera – andras resultat eller idéer och presen-tera dessa som om det vore ens egna. Eftersom mitt arbete har grundat sig på Wynd-hamn et al. (2000) analysarbete har jag av hänsyn till materialet lagt stort vikt vid denna åtskillnad och tydligt beskrivit vem som säger vad eller vems idé som beskrivits.
En forskningsrapport visar dålig forskningsetik om den har vetenskapliga brister när det gäller precisionen i frågeställningen, använder felaktiga metoder eller etablerade metoder på ett felaktigt sätt, systematiskt utelämnar observationer som inte passar ihop
med författarens tes eller använder en uppläggning av studien som inte gör det möjligt att besvara frågan. I denna studie har jag med stor medvetenhet och omsorg tagit hänsyn till de bristerna genom att följa nedanstående resonemangen.
3.3.1 Studiens tillförlitlighet
All forskning syftar till att producera giltiga och hållbara resultat på ett etiskt godtagbart sätt. Denna studie är inget undantag. Frågor som rör reliabilitet, validitet och generali-serbarhet anses vara viktiga i denna studie.
Reliabilitet (mättnoggrannhet, tillförlitlighet) dvs. kvaliteten på själva ”mätinstru-mentet” respektive, validitet (giltighet), dvs. om jag ”mäter” det som jag avser att ”mäta” samt generaliserbarhet dvs. för vem/ vilka riktas eller gäller mitt resultat (Stukat, 2005).
Utifrån litteraturen om dokumentanalys finns det några grundläggande strategier som en forskare kan använda sig av för att säkerställa den inre validiteten samt reliabilitet och generaliserbarhet. I denna studie har jag följt de kriterierna för de tre ovanstående begreppen:
Utifrån flera källor:I denna studie har jag använt mig av flera relevanta källor, för att samla information på många sätt som bekräftar sedan de resultat som ef-terhand visar sig.
Autenticitet och trovärdighet: Materialet som har samlats in för denna studie är äkta och av ett otvetydigt ursprung. Användningen av sekundärkällor för denna studie undviks så lång som är möjligt. Det används om originalverket är äldre el-ler svårtillgängligt (Lindhagen & Troedsson, 2011).
Representativ: I denna studie har kategoriserats och analyserats utifrån två egen-skaper, objektivt sätt och systematik sätt (Bryman, 2008). Den förstnämnda egenskapen betyder att mina egna personliga värderingar i så liten utsträckt som möjligt ska på verka analysen. Den egenskap som rör systematik innebär att reg-lerna som jag har valt för analysen tillämpas på ett konsekvent sätt för att varje form av skevhet och felkälla ska bli så liten som möjligt. Som en följd av de två egenskaper kommer förhoppningsvis var och en som använder reglerna till samma resultat.
4. Analys och teoretisk tolkning
(utifrån Lgr11)
I detta avsnitt utförs en innehållsanalys av den aktuella läroplanen samt en jämförelse av de tidigare läroplanerna. Avsikten är att tydligt markera skillnader i formuleringar mel-lan de fyra läropmel-lanerna och därtill framställa uppsatsens nyckelbegrepp. I analyspro-cessen kommer jag ta hänsyn till två egenskaper, nämligen objektivitet och systematik (Bryman, 2008) jmf metodavsnittet. Analysen av innehållet avser relationen mellan lä-rarens roll, elevens lärande och problemets karaktär.
Som data material används innehållet av läroplaner, kursplaner, diskussionsunderlaget och kommentarmaterialet till kursplanen i matematik. Syftet med diskussionsmaterialen är att sätta fokus på läroplanens uppbyggnad och struktur, samt visa hur den kan använ-das för planering av undervisning i ämnet (Skolverket, 2011c). Skolverket, (2011c) skriver att i diskussionsunderlaget finns ett antal frågeställningar som rör kursplanens syfte, centrala innehåll och kunskapskrav, läroplanens övergripande mål och deras relat-ion till kursplanen i ämnet. Till varje kursplan finns dessutom ett kommentar material med bakgrundsresonemang och motiveringar till urval och avgränsningar i kursplanen. Diskussionsunderlagen och kommentarmaterialen är konstruerade för att komplettera varandra. Avsnittet inleds med en redovisning av den aktuella läroplanens struktur.
4.1 Struktur i den nu rådande läroplanen
Den samlade läroplanen består av tre delar där de två första delarna utgörs av skolans värdegrund och samlade uppdrag samt de övergripande mål och riktlinjer som gäller för utbildningen. Läroplanen tredje del utgörs av de kursplaner och kunskapskrav som gäller för skolformen (Skolverket, 2011c).
.
Kursplanen för matematik Innehåller, syfte, centralt innehåll samt kunskapskrav för godtagbara kunskaper i årskurs 3, 6 och 9.
Syfte i kursplanen anger de förmågorna som skolan och undervisningen ska ge eleverna möjlighet att utveckla. Förmågorna som eleverna ska få möjlighet att utveckla anges även i långsiktiga och är också de förmågor som ligger till grund för kunskapskraven (Skolverket, 2011c). Syftetexten är formulerad så att det tydligt framgår vilket ansvar undervisningen har för att eleverna ska kunna utveckla de kunskaper och förmågor som anges (Skolverket, 2011b).
4.1.2 Förmågor
Avsnittet syfte avslutas med ett antal långsiktiga mål som är uttrycka som ämnesspeci-fika förmågor (Skolverket, 2011a).
Genom undervisning i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att:
formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder,
använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp
föra och följa matematiska resonemang och,
välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa ru-tinuppgifter,
använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser. (s. 63)
Citatet framhäver att kursplanen för matematik utgår utifrån fem förmågor så kallade problemlösningsförmåga, begreppsförmåga, procedursförmåga, resonemangsförmåga och kommunikationsförmåga. Nedan anges en framställning av elevens lärande i sam-band med problemlösningsförmåga.
4.1.3 Problemlösningsförmåga
I detta kapitel utförs en analys av textinnehållet i respektive kursplan för att ta reda på elevens lärande. För att upptäcka förändringar utifrån respektive citat, samlas in de olika verben som beskriver elevernas problemlösningsförmåga. Resultatet samlas sedan in i en tabell för att belysa förändring och utveckling i elevens lärande i samband med pro-blemlösning. Korta formuleringar som är hämtade direkt från kursplanen är genomgå-ende kursiverade i texten.
undervisning ska bidra till att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna formu-lera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda strategier,
meto-kunskaper för att kunna tolka vardagliga och matematiska situationer samt besk-riva och formulera dessa med hjälp av matematikens uttrycksformer (Skolver-ket, 2011a, s. 62).
Citaten framhäveratt problemlösning omfattar många delar av matematiken, såsom att använda matematiska begrepp, metoder och uttrycksformer liksom att kunna resonera matematik. Det omfattar också att kunna reflektera över och värdera rimligheten i resul-tatet i relation till problemet. Problemlösning ska utveckla kunskaper i att tolka vardag-liga och matematiska situationer och vidare kunna beskriva och formulera dessa med hjälp av matematikens uttrycksformer. Det här innebär att kunna tillägna sig det mate-matiska problemsituation, förklara innehållet och därefter utforma en matematisk fråge-ställning med hjälp av matematiska uttrycksformer (Skolverket, 2011b).
Elevens problemlösningsförmåga beskrivs med följande verb enligt Lgr 11:
formulera, lösa, reflektera, värdera, tolka, beskriva. I kursplanen för grundskolan 94 uttrycks problemlösningsförmåga med nästan samma formulering ”Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven förstår och kan formulera och lösa pro-blem med hjälp av matematik samt tolka och värdera lösningarna i förhållande till den ursprungliga problemsituationen” (Lpo, 1994, s. 33). Verben som har beskrivit elevens problemlösningsförmåga enligt Lpo 94 är följande:
förstå, formulera, lösa, tolka och värdera. Utifrån en jämförelse av de citerade verben upptäcker vi förändringen i verben ”reflektera” och ”beskriva” Om vi återgår till teori-avsnittet och kopplar verbet reflektera till den sociokulturella teorin ser vi tydligt att det var tre element som utgjorde kärnan i lärandeverksamhet: analys av uppgiften, planering av handling samt reflektion. Analys och planering var framstående inslag i många undervisningsmodeller, men reflektion som ett centralt element i undervisningen får med rätta anses vara lärandeverksamhetens varumärke. På så sätt kan vi formulera att det övergripande förändring i elevens lärande i den aktuella läroplanen jämfört med Lpo 94 är att eleven ska kunna reflektera över och värdera rimligheten i resultatet i relation till problem.
I Lgr80 formuleras elevens problemlösningsförmåga med följande formulering: ”Eleven kan förstå problemet och har en lösningsmetod.
Eleven kan klara de numeriska beräkningar som krävs.
Eleven kan analysera, värdera och dra slutsatser av resultaten” (s. 100).
Verben som beskriver elevens problemlösningsförmåga är följande: förstå problem, lösa, analysera, värdera, och dra slutsatser av resultat.
Efter jämförelse finner vi tydligt att enligt Lgr 80 finns det ett färdigt matematisk pro-blem som eleven skulle utveckla förmågan att förstå, propro-blemet, tolka, lösa, analysera, värdera och dra slutsatser av det. Medan enligt Lgr 94 och Lgr 11 ska eleven utveckla förmågan att självständig formulera ett problem, lösa, beskriva, värdera, tolka och en-ligt Lgr 11 även reflektera.
I Lgr 69 formuleras elevens problemlösningsförmåga under rubriken ”Huvudmo-ment” på följande sätt:” Problem hämtas från elevernas erfarenhetsvärld, från matema-tikens praktiska tillämpningar och från den matematiska teorin samt utformas så att de utvecklar elevernas förmåga att kombinera och ge uppslag” (Skolöverstyrelsen, 1969, s.138). Elevens problemlösningsförmåga förklaras med verben kombinera och ge upp-slag, vilket beskriver att eleven ska lösa uppgiften samt att få ett svar, ingen problem-formulering, analys och reflektion jämfört med de redan beskrivna citaten.
Sammanfattningsvis konstateras att den aktuella läroplanen lägger vikten mest till de kognitiva och kommunikativa processerna så som analys, beskrivning och reflektion. I teori avsnittet upplyste jag att enligt Kinard och Kozulin (2012) finns det tre huvuda-spekter på den reflektion som ska utvecklas under de tidigare skolåren jmf teori avsnit-tet. När eleverna utvecklar förmåga att identifiera mål, metoder och medel för hand-lande, kräver det skapande av ett mentalt schema för handlingen. Eleverna uppmuntras att analysera vad deras handlingar består av och använda symboliska redskap som teck-en, symboler och schematiska ritningar för att representera det aktuella handlingssche-mat.
Genom reflektion utvecklar elevernas förmåga att förstå en annan människas synsätt som i sin tur utvecklar elevernas samarbete förmåga Under sådana aktiviteter uppmanas eleverna explicit att reflektera över den andres problemlösningsstrategier. Kinard och kozulin (2012) hävdar att en reflekterande undervisning bidrar till elevernas fördjupat matematisk tänkande. Eleven styr sin lärande på en kreativ och självständigt sätt. I en reflekterande undervisning blir eleverna till en självgående och självstyrande lärande person (Kinard & Kozulin, 2012). I tabell 2 framställs elevens problemlösningsförmåga med olika verb. I de ruterna som finns enstaka verb, markerar förändring och utveckling i elevens problemlösningsförmåga.
Tabell 2 visar formuleringar av verb vilka används i elevernas problemlösnings
för-måga.
4.2 Lärarens roll enligt Lgr 11
När synen på lärande och kunskap ändras, förändras även lärarens roll som har ansvaret för att organisera och förmedla denna kunskap. I förra avsnittet gav jag upp omslag till formuleringar gällande elevens problemlösningsförmåga. Vi kom fram till att den över-gripande utvecklingen i elevens problemlösningsförmåga var att eleven ska reflektera över sin lärande i problemlösningsundervisning.
Utifrån förändringar i kursplanen för matematik kom vi också fram till att ”Det bety-delsefulla i att eleverna utvecklar förmåga att lösa problem, använda logiska resone-mang samt att kommunicera matematik med hjälp av olika uttrycksformer” (Skolverket, 2011b, s. 6) jmf inledningsavsnitt . Eftersom lärarens roll skiljer sig utifrån kunskaps-området kommunikation i problemlösning kommer jag först beskriva kommunikations-förmåga. Därefter förklaras, vilken roll läraren har för att utveckla elevernas förmåga att kommunicera matematik med olika uttrycksformer i problemlösning.
Läroplan 1969 1980 1994 2011
Citat som beskriver elevernas problemlös-ningsförmåga med olika verb Undervisningen skall utveckla elevernas förmåga att: De grundläg-gande målen för ämnet matematik är att elever skall förstå och kan: Skolan skall i sin undervis-ning i mate-matik sträva efter att eleven förstå och kan: Undervisningen ska bidra till att eleverna ut-vecklar kun-skaper för att kunna:
formulera formulera lösa Lösa lösa
reflektera värdera Värdera värdera
Tolka tolka beskriva analysera
kombinera ge uppslag
4.2.1 Kommunikationsförmåga
Syfte avsnittet uttrycker att:”Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar förmåga att argumentera logiskt och föra matematiska resonemang. Eleverna ska genom undervisningen också ges möj-lighet att utveckla en förtrogenhet med matematikens uttrycksformer och hur dessa kan användas för att kommunicera om matematik i vardagliga och matematiska samman-hang”. (Skolverket, 2011, s. 62)
Citatet framhäver att kursplanen anger att eleverna ska ges möjlighet att argumentera logiskt och föra matematiska resonemang samt att utveckla en förtrogenhet med mate-matikens uttrycksformer och hur dessa kan användas för att kommunicera om matema-tik (Skolverket, 2011b, s. 11). Att kommunicera innebär i sammanhang att utbyta in-formation med andra om matematiska idéer och tankegångar, muntlig, skriftlig och med hjälp av olika uttrycksformer (Skolverket, 2011b).
Lärarens roll i samband med kunskapsområdet kommunikation har framställts under rubriken ”Kunskaper” på följande sätt ”Läraren ska … organisera och genomföra arbe-tet så att eleven … får stöd i sitt språk och kommunikations utveckling”(Skolverket, 2011a, s. 14). Enligt citatet framställs lärarens roll med ett nytt begrepp, verbet ”organi-sera” som kan omsättas med substantivet ”organisatör”.
Skolverket (2011b) skriver att i undervisning ska eleverna få möjlighet att utveckla ett allt mer precist matematiskt språk, för att därigenom kunna anpassa sina samtal och redogörelser till olika mottagare eller ändamål. Lika viktigt som att själv kunna kom-municera matematik är det att kunna lyssna till och ta del av andras beskrivningar, för-klarningar och argument. För att eleverna ska kunna kommunicera matematik är det viktigt att läraren skapa en atmosfär i klassrummet som ska främja utbyte av idéer. Lä-raren ska underlätta organiseringen och omorganiseringen av elevgrupper för att åstad-komma lämpliga tillfällen för eleverna att ta del av information och idéer jmf teori av-snittet (Engström, 1998).
Lester och Lambdin (2007) påpekar att lärarens orkestrering av klassrumskommuni-kation är en mycket komplex aktivitet. Förutom att avsätta rimlig tid för att diskutera problem måste läraren också avgöra vilka aspekter av problemet som särskilt skall beto-nas. Hur ska elevernas arbete organiseras, vilka frågor ska ställas för att elever ska ut-manas med olika kunskaper? Hur ska elever stöttas utan lotsning som tar bort utma-ningen? (Lester & Lambdin, 2007). Lärarens roll och uppgift i detta perspektiv blir att säkerställa att alla elever inte bara introduceras till enkla matematiska operationer utan
keredskap som gör det möjligt för dem att självständigt utforska olika matematiska pro-blem. Undervisning behöver i detta perspektiv organiseras så att eleverna både introdu-ceras i matematiska verksamheter och lär sig använda olika slags tankeredskap för att fördjupa matematiskt arbete (Kinard & Kozulin, 2012). Detta innebär att lärarens roll förändras från att förse eleverna med information och regler till att bli en mediator jäm-fört med de tidigare perspektiven. En av de viktigaste skillnaderna mellan dessa båda roller är att läraren inte tar elevernas kognitiva funktioner för givna, utan aktivt under-söker hur elevernas kognitiva förmåga ser ut och utformar undervisningen så att den främjar en tankemässig utveckling jmf teoriavsnittet.
4.3 Karaktären hos skolmatematikens uppgifter enligt Lgr
11
I detta avsnitt beskrivs karaktären hos skolmatematikens uppgift utifrån ”centralt inne-håll” i kunskapsområdet problemlösning:
”Strategier för problemlösning i vardaglig situationer och inom olika ämnesom-råden samt värdering av strategier och metoder.
Matematisk formulering av frågeställning utifrån vardagliga situationer och olika ämnesområden.
Den aktuella läroplanen, Lgr 11, definierar matematiska problem som ”situationer eller uppgifter där eleverna inte på förhand känner till hur problemet ska lösas. Istället måste de undersöka och prova sig fram för att finna en lösning” (Skolverket, 2011b, s. 9). Ma-tematiska problem kan då också beskrivas som uppgifter som inte är av rutinkaraktär. Oftast förekommer ett problem i en konkret situation som gör att eleverna behöver göra en matematisk tolkning av situationen. Ibland är problemen inommatematiska och sak-nar då direkt anknytning till en vardaglig situation. Problem kan ha kopplingar till olika matematiska kunskapsområden och kan ta sin utgångspunkt i egna intressen, fantasier eller verkliga situationer. Ett matematiskt problem kan betraktas som en relation mellan eleven och hur långt eleven kommit i sin kunskapsutveckling. En elev som har kommit långt i sin kunskapsutveckling kan uppleva en uppgift som en rutinuppgift om hon eller han känner till en lösningsmetod. En annan elev kan i mötet med samma uppgift däre-mot behöva undersöka och pröva sig fram till en lösning (Skolverket, 2011b).
De olika matematiska kunskapsområden kan kopplas till de fem förmågorna som kursplanens matematik syftar till. De fem förmågorna integreras genom att eleverna ska utbyta information med andra om matematiska idéer och tankegångar, muntligt, skrift-ligt och med hjälp av olika uttrycksformer (Skolverket, 2011b). Ett exempel på att ele-verna kommunicerar matematik med olika uttrycksformer är fyrfältsblad. Ett fyrfälts-blad innebär att man förtydligar en matematisk problemlösningsuppgift och arbetar med problemet utifrån olika sätt att presentera och lösa problemet (Andersson, 2010).
En estetisk lösning (lek, drama, bilder, laborativ material). En logisk lösning (ord, samtal, resonemang).
En numerisk lösning (matematiska beräkningar). En symbolisk lösning (formler och generaliseringar).
Andersson hävdar att forskning visar att de elever som lyckas bra är elever som i hög grad reflekterar över sin lärandeprocess. De blir själva motorn i sitt eget kunskapspro-jekt.
1. Vad gjorde jag? (estetisk lösning)
2. Hur tänkte jag och vad sa jag? (logisk lösning) 3. Hur räknade jag? (numerisk lösning)
