EXAMENS
ARBETE
Taluppfattningens betydelse för
matematikutveckling
- En studie om elevers taluppfattning
Evelina Hållander och Velida Isakovic
Examensarbete för grundlärare åk 4-6 15hp
Författare Evelina Hållander och Velida Isakovic
Sektion Akademin för lärande, humaniora och samhälle
Handledare Ingrid Nilsson och Viktor Aldrin
Examinator Ole Olsson
Tid Höstterminen 2014
Sidantal 19
Nyckelord Algoritmer, beräkningsstrategier, elever, taluppfattning
Sammanfattning Taluppfattning är betydelsefullt för att elever ska förstå tal och tals relationer. Ett av skolans viktigaste uppdrag är bland annat att utveckla god taluppfattning hos eleven. Forskning har visat att tidig utveckling av taluppfattning bidrar till god prestation i matematik. Syftet med den systematiska litteraturstudien var att undersöka forskning om elevers taluppfattning och deras beräkningsstrategier. Åtta vetenskapliga artiklar granskades och analyserades i
litteraturstudien. Resultatet visade att elevers taluppfattning i grundskolan är relativt låg och de är beroende av de
standardalgoritmer som undervisas i skolan, dock visade resultat att elever hade svårt att förklara val av strategi då de inte förstod innebörden av algoritmen. En varierad undervisning med aktiviteter där läraren uppmuntrar till diskussion och debatt är tillåten har visat utveckla god taluppfattning. Vidare forskning inom området
taluppfattning bör inriktas på hur surfplattor kan inkluderas som undervisningsform för att utveckla god taluppfattning.
! 1. INLEDNING! 1! 2. BAKGRUND! 2! 2.1BEGREPPET TALUPPFATTNING! 2! 2.2TALUPPFATTNINGENS EFFEKTER! 3! 2.3ATT UNDERVISA TALUPPFATTNING! 4!
2.4TRE KOMPONENTER FÖR GOD TALUPPFATTNING! 5!
2.5SAMMANFATTNING AV BAKGRUND! 6! 3. PROBLEMFORMULERING! 6! 4. SYFTE! 7! 5. METOD! 7! 5.1DATAINSAMLING! 7! 5.2DATABEARBETNING! 9! 6. RESULTAT! 9!
6.1STANDARDALGORITMERNAS PÅVERKAN PÅ ELEVERS TALUPPFATTNING! 10!
6.2INLÄRNINGSAKTIVITETER MED ANKNYTNING TILL TALUPPFATTNING! 11!
7. DISKUSSION! 13! 7.1METODDISKUSSION! 13! 7.2RESULTATDISKUSSION! 15! 8. KONKLUSION! 19! 9. IMPLIKATION! 19! 10. REFERENSER! ! 11. BILAGOR! !
TABELL 1.SÖKHISTORIK! BILAGA A! !
1. Inledning
Verksamheten Nationellt centrum för matematikutbildning har som uppgift att stödja utveckling av matematikundervisningen i den svenska skolan. NCM1 (Sterner & Bergius, 2007) belyser att ett av skolans viktigaste uppdrag är att utveckla god taluppfattning hos elever, vilket bidrar till att kunna fatta välgrundade beslut i vardagen. Vidare poängterar centrumet för matematik att de svårigheter och missuppfattningar eleverna stöter på grundar sig ofta i undervisningen, framförallt behöver läraren vara noggrann med att använda det matematiska språket på ett sätt så att eleverna förstår (ibid). Enligt McIntosh (2006) har taluppfattning genom huvudräkning fått allt mer fokus i undervisningen och författaren påpekar att den bör ersätta skriftliga algoritmer2 allt mer.
I Läroplanen för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet3 (2011, del 3) förklaras det att eleven ska ges möjlighet att utveckla den kompetens som behövs för att ta beslut i vardagslivet, vilket innebär att förstå och använda matematik i olika situationer. De fem förmågor som eleven ska få förutsättningar att utveckla i matematik är: Problemlösning, begreppsförståelse, väl valda metoder, föra resonemang och kunna samtala om matematik. Dessutom lyfts det fram i Lgr11 i det centrala innehållet för matematik att eleven ska ges möjlighet att utveckla bland annat taluppfattning och tals användning (ibid). Vidare i arbetet har fokus lagts på enbart taluppfattning och på vilka olika sätt beräkningsstrategier påverkar elevens matematikutveckling.
Litteraturstudien kommer att behandla elevers taluppfattning och hur beräkningsstrategier kan påverka elevers uträkningar. Kunskapsintresset för studien är att fördjupa våra kunskaper om taluppfattning då det beskrivs vara en grundläggande färdighet, som är viktig för elevers räkneförmåga oavsett vilken räknemetod de använder (Grevholm, 2012). Enligt Berch, Kinzie och Mcguire (2012) är taluppfattning en grundläggande färdighet som är viktig att utveckla i tidig ålder, det förbereder eleven för mer komplexa matematiska begrepp som till exempel platsvärdet. Att utveckla ofullständig kunskap om taluppfattning menar författarna kan bidra till konsekvenser på lång sikt. Om inte ett tidigt ingripande sker riskerar eleven att hamna i matematiska svårigheter längre fram i sin utbildning (ibid).
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1!Nationellt centrum för matematikutbildning kommer fortsättningsvis benämnas NCM.
2!En algoritm är ett på förhand givet mönster som används för att utföra en beräkning (Nämnaren Nr 3, 2006). 3!Läroplanen kommer fortsättningsvis benämnas Lgr 11
! 2!
2. Bakgrund
I följande del presenteras taluppfattningens betydelse utifrån vad nationell och internationell forskning, litteratur och styrdokument uppmärksammat. Bakgrunden är indelad i
underrubriker, inledningsvis förklaras begreppet taluppfattning därefter följer
taluppfattningens effekter, att undervisa om taluppfattning samt tre komponenter för god taluppfattning, slutligen presenteras en sammanfattning av bakgrund.
2.1 Begreppet taluppfattning
Matematik har en lång internationell historisk bakgrund och synen på matematik i skolan har förändrats, förr präglades ofta matematikundervisningen av rutinuppgifter inom addition, subtraktion, multiplikation och division. Aritmetiken har över tid varit begränsad till standardalgoritmer, dock utan någon grundläggande förståelse (Anghileri, 2006). I nuläget präglas undervisningen av att låta eleverna utmanas i att upptäcka, konstruera, verifiera och diskutera idéer och slutsatser (Boesen, 2006). Anghileri (2006) nämner att det inte längre är accepterat i skolan att lära ut rutiner genom att drilla och öva, eftersom det inte förbereder eleverna tillräckligt för vardagssituationer. Undervisningen bör istället fokusera på att lära ut innebörden av tal samt beräkning av tal. Eleverna ska också uppmuntras till att arbeta mer genom att se mönster, kunna förutsäga resultat samt kunna prata om samband (ibid). Howden har (1989) definierat begreppet taluppfattning och flertalet forskare i litteraturstudien har använt definitionen i sina studier. (McIntosh, Reys & Reys, 1992; Berch, 2005; Tsao & Lin, 2011; Reys & Reys, 1995)
”Number sense can be described as good intution about numbers and their
relationships. It develops gradually as a result of exploring numbers, visualizing them in a variety of context, and relating them in ways that are not limited by traditional algorithms.” (Howden, 1989, s. 11)
I praktiken innebär det att en elev med god taluppfattning har förståelse för tal och
uträkningar samt lust att använda den kunskapen till att göra matematiska val. Det innebär förmågan att utveckla användbara och effektiva strategier, för att hantera situationer som berör matematik (Tsao & Lin, 2010; Gersten, Jordan & Flojo, 2005). Howden (1989)
poängterar att skolan inte uppmuntrar eleven att utforska och undersöka tals relationer, vilket bidrar till att eleven går miste om den tillfredsställelse och glädje det är att lära sig matematik.
2.2 Taluppfattningens effekter
Hur vi människor utvecklar taluppfattning menar Berch (2005) att vissa forskare är oense om. En del menar att det är genetiskt och andra menar att det är en kompetens som utvecklas med erfarenhet (ibid). Berch (2005) har påpekat fördelar med att se taluppfattning som en
kompetens som utvecklas med erfarenhet, vilket bidrar till tron på att eleven kan ta till sig och förvärva ny kunskap. Anghileri (2006) förklarar att elever redan innan de börjat skolan har stött på taluppfattning både medvetet och omedvetet. Mönster skapas genom att eleverna konstant stöter på tal i sin omgivning och de börjar förstå hur tal relaterar till varandra. Författaren poängterar att elevernas erfarenhet med enstaka tal kan bidra till att de utvecklar förståelse för hur ett tal kan relateras till fler tal (ibid).
Med tanke på lärarens roll, är det betydelsefullt vilka undervisningsformer en lärare använder för att hjälpa eleven att utveckla god taluppfattning (Reys & Reys, 1995). Enligt Reys och Reys (1995) spelar lärarens förhållningssätt en stor roll för att skapa mening för ämnet matematik, det kan bidra till att eleven förstår regler och algoritmer och på så vis får de förståelse för innebörden av den matematik som lärs ut (ibid). Likaså poängterade McIntosh, Reys och Reys (1992) att flertalet människor kopplar matematik till regler och formler utan att förstå innebörden av dem. Över tid har taluppfattning i skolan fått en mer betydande roll och elevens val av beräkningsstrategi samt deras reflektion har fått en allt mer central roll i undervisningen (ibid).
Berch (2005) menar att det är viktigt att upptäcka och identifiera matematiska problem hos eleven tidigt för att motverka framtida matematiska svårigheter i ämnet. Det styrks även av Jorden, Glutting och Ramineni (2009) som i sin studie påpekade att tidig upptäckt kring svagheter i taluppfattning troligtvis kan förutsäga om en elev kommer ha svårt för matematik längre fram i sin skolgång. De flesta svårigheter i matematik bygger på elevers svagheter i taluppfattning, framförallt kompetenser inom räkning, tals relationer och
grundläggande strategier (Griffin, 2004). Elever som besitter den kompetens, påpekar
Howden (1989), förstår att matematik inte enbart bygger på regler, utan att det istället handlar om att göra bedömning om svarets rimlighet och upptäcka att det finns fler än en strategi. Vidare menar författaren att elever som utvecklat denna kompetens förstår att matematik är meningsfullt, vilket bidrar till en förändrad syn av sig själv och att självförtroendet för matematik stärks (ibid).
!4!
2.3 Att undervisa taluppfattning
Att arbeta med taluppfattning redan tidigt, har i forskning visat ha stor inverkan på elevers matematikförståelse (Gersten m.fl., 2005; Berch m.fl., 2012). Något som är viktigt att upptäcka är om eleven förstått de komponenter om taluppfattning som berör enkla
beräkningar och tals storlek. Uppmärksammas inte detta kan det få konsekvenser längre fram i elevens skolgång (ibid). Å andra sidan poängterar Boesen (2006) att arbeta med
färdighetsträning tidigt kan ge konsekvenser, de menar att det kan vara ett hinder för elevens utveckling. Om eleven förstått innebörden av tal och kvantitet förklarar Griffin och Case (1997) att elever har lättare för att klara av frågor som till exempel: Vilken är störst 7 eller 9? Eleven som inte förstått innebörden kommer ha svårt för den matematik som lärs ut (ibid).
Lärare behöver vara uppmärksamma på elevens beräkningsstrategier för att förhindra eventuella matematiska svårigheter inom taluppfattning. Om eleven till exempel använder fingrarna som en beräkningsstrategi behöver läraren ingripa för att hjälpa eleven att bemästra mer effektiva strategier (Gersten m.fl., 2005). För att hjälpa elever att hitta nya beräkningsstrategier kan läraren bland annat skapa en miljö där konkreta verktyg finns tillgängligt för eleven att använda (Howden, 1989).
Griffin (2004) poängterar att i åldrarna 9-10 har elever en mer utvecklad begreppsförståelse, vilket betyder att eleven har förståelse för hela talsystemet, till exempel kan de beräkna med ental och tiotal som involverar att låna och ta från enheterna. Det kan även beräkna aritmetiska problem som involverar ental, tiotal och hundratal (ibid). Det benämns i Lgr11 i det centrala innehållet för matematik (Skolverket, 2011, del 3) att elever ska få möjlighet att utveckla fler metoder och deras användning i olika situationer för att lösa aritmetiska problem. Berch (2005) påtalar vikten av att taluppfattning inte bör ses som ett specifikt område som går att lära ut i läroboken eller specifika uppgifter som behandlar taluppfattning. Taluppfattning bör istället genomsyra alla aspekter av att lära och lära ut matematik. Även Howden (1989) påpekar att läroböcker är ett begränsat material eftersom papper och penna används till de flesta övningar. Denna begränsning hämmar elevers kreativitet och förmåga att hitta nya strategier, vilket är grundläggande för att utveckla god taluppfattning.
Forskning visar att lärare som inte besitter kunskap om begreppet oftast inte integrerar taluppfattning i sin undervisning på samma sätt som en lärare med kunskap (Tsao & Lin 2010). Har läraren kunskap om taluppfattning och dess innebörd visas det i deras undervisning genom att de kan stimulera och vägleda elever till god taluppfattning och på så vis elevers kunskap inom matematik (ibid).
Matematikdelegationen4 fick i uppdrag att ta fram förslag och förbättringar som kan bidra till att lyfta matematikundervisningen i svenska skolan, eftersom allt fler elever inte behärskade målen i matematik (SOU 2004:97). Delegationen poängterade att lärarens
kompetens är den viktigaste faktorn för elevers lärande. Lärarens kompetens ska bidra till förmågan att förklara på olika sätt, att kunna förstå elevens sätt att tänka och förklara sina strategier, läraren ska även ha kunskap om och använda flera undervisningsformer (ibid). Två viktiga aspekter som inte går att ersätta är enligt Howden (1989) lärarens kunskap och en klassrumsmiljö där nyfikenhet och kreativitet är tillåten. Enligt Yang (2003) är en trivsam lärandemiljö där läraren uppmuntrar till kommunikation, diskussion och debatt
grundläggande för utveckling av taluppfattning.
2.4 Tre komponenter för god taluppfattning
Litteraturstudien har sin utgångspunkt i elevers taluppfatting och deras beräkningsstrategier. McIntosh m.fl. (1992) redovisade en modell med tre viktiga komponenter som bidrar till utveckling för god taluppfattning (se figur 1). McIntosh har lång erfarenhet om taluppfattning och har skrivit flertalet artiklar och böcker om området, vilket bidrog till varför hans modell valdes att användas. Number sense är modellens centrala innehåll och tillhörande
komponenter som utgör modellen är number, operations och settings. Författarna förklarar modellen som en process som sker när en elev med god taluppfattning tänker och reflekterar över tal, sina beräkningar och det resultat eleven får fram (ibid). Valet har gjorts att anknyta modellen till arbetssättet för litteraturstudien, då komponenterna var betydelsefulla för taluppfattning. Number som översatts till tal innefattar att eleven har förståelse för siffror och deras platsvärde, vilket innebär att eleven kan göra beräkningar med avrundning och
uppskattning.Operations som översatts till beräkning innebär förståelsen för olika strategier. Sista komponenten i modellen är Settings som betyder strategi vilket innefattar att eleven kan reflektera och använda lämplig strategi för uppgiften (ibid).
Figur 1: Interconnections of mayor components of number sense (McIntosh, m.fl., 1992)
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
4!Matematikdelegationen är en delegation som är tillkallad av regeringen med syfte att utarbeta en handlingsplan med förslag till åtgärder för att utveckla matematikundervisningen i Sverige (SOU 2004:97)!
!6!
Sammanfattningsvis kan vi se att McIntoshs, m.fl. (1992) modell kan bidra till att synliggöra den process som sker för en elev som besitter god taluppfattning. Modellen ger förutsättning för läraren att få syn på elevers kunskap och utveckling i taluppfattning och varje komponent innefattar viktiga delar för en elev med god taluppfattning. Modellen får fungera som en teoretisk ram då litteraturstudien innehåller frågeställningar om elevers taluppfattning och deras beräkningsstrategier. Synen på lärarens förhållningssätt och undervisning är
betydelsefull och lärarens kompetens för taluppfattning är avgörande för
matematikundervisningen. Modellen tydliggör och ger en djupare förståelse då det gäller att förklara och åtgärda olika brister i taluppfattning.
2.5 Sammanfattning av bakgrund
Taluppfattning har utifrån den forskning, litteratur och styrdokument uppmärksammats som viktig i undervisningen. Det är enligt många forskare en grundläggande kunskap som bidrar till god förståelse för matematik. Det har visat sig att lärarens kompetens och undervisning har stor betydelse för elevers utveckling i matematik. Litteraturstudien har sin utgångspunkt i McIntosh, m.fl. (1992) modell som förklarar processen som sker för hur elever tänker och reflekterar över tal och val av strategi, vilket är sammankopplat till god taluppfattning. Den forskning som presenteras i bakgrunden om taluppfattning och dess effekter har lett fram till följande problemformulering och syfte.
3. Problemformulering
Taluppfattning är betydelsefull för att få förståelse för den matematik som vi ständigt möts av i samhället. Den förståelsen gör att vi människor kan hantera vardagssituationer. Forskning har visat att läraren inte besitter kunskap om vad taluppfattning är och hur den ska inkluderas i undervisningen. Lärarens kompetens om taluppfattning är avgörande för om läraren
inkluderar det i sin matematikundervisning. Att lärare i skolan använder arbetssättet för att utveckla elevers taluppfattning kan hjälpa vissa elever till ökad förståelse för matematik. Eftersom taluppfattning är viktigt för matematikförståelse är det av stor vikt att lärare och även föräldrar får fördjupade kunskaper kring hur god taluppfattning kan främja elevers matematikutveckling.
4. Syfte
Som vi tidigare nämnt i bakgrund är god taluppfattning en viktig kunskap som både lärare och eleven har användning av. Forskning har visat på att tidig utveckling för taluppfattning bidrar till god prestation i matematik över tid. Syftet med litteraturstudien var att undersöka
forskning om elevers taluppfattning i grundskolan och vilka beräkningsstrategier de använder i sina uträkningar. Utifrån vår problemformulering och syfte har vi formulerat två
frågeställningar:
• Vad visar forskning om elevers taluppfattning i årskurs 4-6? • Vilka beräkningsstrategier använder eleverna i sina beräkningar?
5. Metod
I följande del presenteras det tillvägagångssätt och bearbetning av datan för den systematiska litteraturstudien. Enligt Eriksson Barajas, Forsberg och Wengström (2013) bygger en
systematisk litteraturstudie på tidigare och aktuell forskning inom det valda
ämnesområdet. Författarna poängterar att både kvalitativa och kvantitativa studier kan inkluderas i denna typ av studie (2013). The Campell Collaboration (2000. refererad i
Eriksson Barajas m.fl., 2013) menar att vid en systematisk litteraturstudie bör kriterier följas, framförallt att sökmetod och urvalet av artiklarna är tydligt beskrivna. Avsnittet för metod är indelad i underrubriker, inledningsvis beskrivs insamling av data och slutligen presenteras bearbetning av datan.
5.1 Datainsamling
För att få en överblick inom valt område påbörjades urvalsprocessen, Eriksson Barajas m.fl. (2013) förklarar att processen sker i olika steg. Det första är att bestämma område och sökord, taluppfattning valdes som område och till en början valdes sökordet taluppfattning. För att bestämma sökord menar Eriksson Barajas m.fl. (2013) att det är en fördel att utgå från frågeställningen. Författarna förklarar att det kan vara bra att använda enstaka ord eller kombinationer av ord som finns med i frågeställningen.
Artikelsökningen påbörjades i databasen Google Scholar som bland annat tillhandahåller vetenskapliga artiklar. För att få en överblick om forskning kring området taluppfattning. Fortsättningsvis gjordes sökning i ERIC, vars ämnesområde är väldigt relevant då de tillhandahåller artiklar inom pedagogik och undervisning. Eftersom databaserna Google
!8!
Scholar och ERIC innehåller engelska artiklar översattes taluppfattning till motsvarande “number sense”. Det resulterade i en bred mängd vetenskapliga artiklar. Fortsatt sökning gjordes i ERIC med sökorden mathematics och teaching för att få fram relevant forskning som motsvarade studiens syfte. Samma sökord användes även i Google Scholar, dock resulterade det i samma artiklar som i ERIC, eller artiklar som inte var relevanta för studiens syfte (se Sökhistorik tabell 1, bilaga A). Orden kombinerades med hjälp av den Booleska operatoren AND, som innebär att begränsa en artikelsökning och få ett smalare resultat (Petticrew & Robert, 2006, refererat i Eriksson Barajas m.fl., 2013).
Sökningen fortsatte i andra databaser bland annat Academic Search Elite, dock resulterade det i samma artiklar som i ERIC eller artiklar som inte motsvarade litteraturstudiens syfte.
Sökordet taluppfattning användes i svenska databasen SwePub, vilket resulterade i tre artikelträffar som inte var relevanta för studien och valdes därför att exkluderas. Valet att använda citationstecken var för att avgränsa sökområdet, dessutom för att få ordet “number sense” sammansatt.
Vidare i urvalsprocessen valdes vetenskapliga artiklar och för att avgränsa sökområdet användes inklusions- och exklusionskriterier. De inklusionskriterier som användes vid första sökningen i databasen Google Scholar var “allintitle”, vilket innebär att sökningen enbart inkluderar artiklar som innehåller sökordet “number sense” i titeln. Valet att använda “allintitle” var för att begränsa sökningen till enbart artiklar som belyser
taluppfattning, då det ansågs relevant utifrån syftet med studien. I databasen ERIC användes “peer rewieved” som inklusionskriterie vilket betyder att forskningsartikeln ska vara kritiskt granskad före publicering (Eriksson Barajas m.fl., 2013). Valet att inte använda
publiceringsår som inklusonskriterie var för att inte gå miste om relevant forskning, däremot hade vi i åtanke att inkludera aktuell forskning. De forskningsartiklar som motsvarade syftet inkluderades och på liknande sätt exkluderades de artiklar som inte motsvarade syftet, till exempel att målgruppen inte stämde överens (se Sökhistorik tabell 1, bilaga A).
Utifrån de abstracts som lästes gjordes urval för vilka forskningsartiklar som var relevanta för litteraturstudien. I första urvalet ansågs 17 artiklar vara relevanta för studien. Artiklarna lästes enskilt för att sedan diskuteras gemensamt, därefter valdes åtta artiklar till urval två, eftersom de ansågs svara mot studiens syfte. Av de valda artiklarna var fem kvantitativa, en var kvalitativ och två var av kombinerad kvalitativ och kvantitativ ansats. I urval två var fokus att säkerställa om artiklarna var vetenskapliga och detta gjordes utifrån de kriterier som Eriksson Barajas m.fl. (2013) benämner. Kriterierna för en vetenskaplig artikel är att den är uppbyggd och har en viss struktur som innefattar bland annat; inledning,
bakgrund, syfte, metod, resultat, analys och diskussion (ibid). Vidare gjordes en kvalitetsbedömning för att värdera kvalitén i artikeln, granskningen gjordes utefter de
bedömningsmallar som Eriksson Barajas m.fl. (2013) presenterar. Samtliga av de artiklar som granskades visade på tillräcklig kvalité för att inkluderas i litteraturstudien.
5.2 Databearbetning
Bearbetning av datan påbörjades efter att kvalitetsbedömningen av artiklarna i urval två genomförts. För att få en överblick av resultatet från artikeln lästes resultatdelen enskilt och viktiga aspekter sammanställdes i varsin tabell. Vidare diskuterades den framtagna datan för att se eventuella likheter och skillnader, vilket sedan kritiskt granskades och sammanställdes i en gemensam tabell för varje artikel. Tabellerna bidrog till en tydlig överblick av det som var väsentligt för litteraturstudiens syfte. Med tanke på att litteraturstudien syfte innefattar taluppfattning i grundskolan inkluderades artiklar som behandlade liknande kriterier. Forskningsartiklar från andra länder valdes också att inkluderas då matematik är ett internationellt ämne. Även en artikelöversikt sammanställdes för varje artikel där syfte, metod, urval/bortfall och resultat/slutsats sammanfattas (se Artikelöversikt tabell 2 Bilaga B). Varje enskild artikel och tillhörande tabell granskades kritiskt där likheter och skillnader från studiernas resultat identifierades och diskuterades gemensamt. Detta för att identifiera återkommande samband för elevers taluppfattning och deras beräkningsstrategier. Kodningen från studiernas likheter bidrog till att kategorier omprövades och arbetades fram successivt. De kategorier som valdes ut för litteraturstudiens resultats del var följande: standardalgoritmernas påverkan på elevens taluppfattning, samt inlärningsaktiviteter med anknytning till taluppfattning.
Litteraturstudien har förhållit sig till de etiska aspekterna som Eriksson Barajas m.fl. (2013) poängterar som viktiga vid arbete av en systematisk litteraturstudie. De etiska aspekterna innefattar att alla resultatartiklar har lyfts fram och inte bara de resultat som stödjer studiens syfte och åsikter. Alla artiklar som inkluderats i resultatet bör arkiveras i 10 år för att följa de etiska aspekterna (ibid). Efter insamling och bearbetning av data påbörjades
skrivprocessen. Vi valde att fördela ansvaret för litteraturstudien jämt, då vi ansåg att det var betydelsefullt att skriva alla arbetets delar tillsammans.
6. Resultat
I följande del presenteras de forskningsartiklar som bearbetats och kodats. Utifrån kodningen framkom det kategorier som valdes att användas till underrubriker: standardalgoritmernas
! 10!
påverkan på elevens taluppfattning samt inlärningsaktiviteter med anknytning till taluppfattning.
6.1 Standardalgoritmernas påverkan på elevers taluppfattning
Reys, Reys, Emanuelsson, Johansson, McIntosh och Yangs (1999) presenterade i sitt resultat att de elever som deltog visade på relativt låg taluppfattning. I studien framkom det i
intervjuer med eleverna att de flesta av deltagarna inte förstod innebörden av frågorna, vilket i sin tur ledde till missförstånd (Reys m.fl., 1999). Även Alsawaies (2011) studie indikerade på låg nivå i taluppfattning hos deltagarna. Reys. m.fl. (1999) och Alsawaie (2011) poängterade att flertalet av deltagarna svarade rätt på frågorna, dock indikerade deras beräkningar på missförstånd. Likartade resultat styrks även av Yang, Hsu och Huang (2004) samt Yang (2005) som i sina studier fått fram att fast deltagarnas svar var rätt visade beräkningar på missförstånd. I Yangs m.fl. (2004) undersökning framkom det i intervjuer att flertalet av deltagarna som svarat rätt med hjälp av inlärda standardalgoritmer oftast inte förstod
innebörden av algoritmen, vilket även framkom i flera studiers resultat där deltagarna ombads förklara sin strategi, dock var det flertalet som svarade att de inte kunde förklara sin strategi (Reys m.fl.,1999; Yang, 2005; Alsawaie, 2011). De fann att deltagarna var beroende av att använda de regler som lärts ut och att undervisa enbart skriftliga algoritmer kan hämma eleven i sin tankegång samt deras resonemangsförmåga över andra möjliga
beräkningsstrategier (Reys & Yang, 1998; Yang m.fl., 2004; Yang, 2005; Alsawaie, 2011). Yang (2005) presenterar i sin undersökning att flertalet av deltagarna valde att beräkna med hjälp av standardalgoritmer istället för att reflektera över innebörden för uträkningen. Även denna författare menar att standardalgoritmer kan hämma eleverna när de stöter på frågor som de aldrig tidigare stött på i matematikundervisningen, vilket resulterade i att eleven inte kunde beräkna uppgiften (ibid).
Att memorera regelbaserade strategier i matematik har i resultat från flertalet studier (Alsawaie, 2011; Reys m.fl., 1999; Yang, 2005) visat att deltagarna blandar ihop de regler de lärt sig, samt att flertalet av eleverna inte förstod innebörden av dessa regelbaserade strategier. Vidare poängterar Yang (2005) att deltagarna i studien oftast ville använda långa uppställningar som lärts ut i skolan. Detta indikerar på att skriftliga algoritmer inte hjälpte eleverna att utveckla kunskap i taluppfattning (ibid). Detta stärks även av resultatet från Yangs m.fl. (2004) studie där det presenterades att deltagarna hade svårt att jämföra bråktal och det visade sig att de flesta använde en regelbaserad strategi, dock kunde de inte förklara varför strategin användes. Även om det visats i resultat att standardalgoritmer hämmar
eleverna påpekar däremot Alsawaie (2011) i sin studie att standardalgoritmer ska läras ut i skolan, dock menar författaren att eleverna bör ha förstått innebörden och logiken bakom algoritmen. Det bidrar till att elever förstår meningen med algoritmerna, annars finns det risk att eleverna memorerar regelbaserade strategier och använder dem utan att förstå innebörden och hur de fungerar (ibid).
I Reys och Yangs (1998) studie visade resultatet att elever som besitter hög kompetens i skriftliga algoritmer inte nödvändigtvis besitter god taluppfattning. Resultatet styrks även av Yang (2005) då elever ombads att utföra sina beräkningar med hjälp av huvudräkning. Flertalet av eleverna förklarade att de inte kunde utföra algoritmen utan att använda papper och penna (ibid). Yang m.fl. (2004) samt Yang, Li och Lin (2007) presenterade i sitt resultat att majoriteten av deltagarna hade svårt att utföra algoritmen på annat sätt, de ville helst använda papper och penna för att beräkna. Framförallt hade
deltagarna svårt att beräkna med huvudräkning och uppskattning, det överensstämmer med de resultat som Reys och Yang, (1998) Yang m.fl. (2004) Yang (2005) Alsawaie (2011)
presenterat och de knyter an elevers svårigheter till att enbart undervisa skriftliga algoritmer.
6.2 Inlärningsaktiviteter med anknytning till taluppfattning
I två studier genomförda av Yang, m.fl. (2004) och Yang (2003) deltog två klasser som delades upp i en försöksgrupp och en vanlig grupp. Försöksgruppen hade aktiviteter där eleverna fick utforska tal och deras relationer, göra beräkningar, samt att eleverna fick presentera sina strategier, medans den vanliga gruppen hade ordinarie undervisning utefter läroboken. Resultatet från båda undersökningarna visade på förbättring i både försöksgruppen och vanliga gruppen, däremot visade försöksgruppen på högre utveckling i taluppfattning (ibid). Den vanliga gruppen i Yang m.fl. (2004) studie visade fortfarande på att få studenter kunde använda taluppfattning som strategi, det indikerar på att vanlig undervisning med enbart lärobok inte hjälpte eleverna att utveckla taluppfattning. Yang m.fl. (2004) förklarar att studien inte riktigt nådde upp till förväntningarna, det var fortfarande de elever i
försöksgruppen som efter aktivitet med taluppfattning använde regelbaserade strategier. En förklaring till detta kan vara att eleverna är vana vid standardalgoritmer och kan därför vara svårt att bryta ett invant mönster (ibid).
I Yangs m.fl. (2004) undersökning framkom det att lärmiljön har stor betydelse för utveckling av taluppfattning, i försöksgruppen utformades aktiviteter med fokus på att utveckla taluppfattning. Aktiviteterna innebar att läraren uppmuntrade eleverna till att undersöka, diskutera, reflektera samt att resonera över uppgifterna (ibid). Yang (2003)
! 12!
presenterade i sin studie en mall för hur läraren ska undervisa med fokus på att utveckla taluppfattning, samt hur läraren bör förhålla sig i sitt klassrum. Viktiga delar i mallen var bland annat att skapa givande problemlösningsfrågor, diskussion i helklass och i grupp samt att eleven ska ges möjlighet att presentera sin strategi. Förhållningssättet som presenterades i mallen var att läraren ska uppmuntra eleverna till att söka fler strategier och att läraren ska hjälpa och leda diskussionen när det behövs. Resultatet från studien visade på att elevernas taluppfattning förbättrades avsevärt i försöksgruppen, bland annat förbättrades elevernas sätt att undersöka tal och deras relationer, eleverna blev även mer framgångsrika i sina
beräkningar och utvecklade förmågan att använda fler strategier i matematiken (Yang, 2003). Resultatet från Tsao och Lins (2012) studie poängterar att elever med god taluppfattning kunde effektivt tillämpa strategier kring problemlösningsfrågor. Vilket stämmer överens med resultatet i Yangs m.fl. (2005) studie där förmågan att känna igen tals storlek och förmåga att använda fler strategier hänger väl ihop med god förståelse för matematik. Som tidigare presenterats är problemlösningsfrågor och val av strategi väl
sammankopplat till god taluppfattning, däremot visar Yangs (2005) studie på att eleven oftast saknar självförtroende i problemlösningsfrågor. Om eleverna möter uppgifter de inte fått möjlighet att bemöta i sin undervisning menar författaren att det kan bidra till dåligt självförtroende i matematik vilket kan hämma dem i deras resonemangsförmåga (ibid).
Yang m.fl. (2004) presenterar i sitt resultat att aktiviteter med taluppfattning bidrog till god utveckling och författaren poängterar att processen som sker vid beräkning är viktigare än ett rätt svar. Det framkom även i fler resultat (Yang m.fl., 2004; Reys & Yang, 1998; Tsao & Lin, 2012; Yang, 2005) att processen som sker vid beräkning, det vill säga hur eleven tänker och resonerar är betydelsefull för läraren att ta reda på. Enligt Reys och Yangs (1998) undersökning framkom det att läraren måste kräva mer än svar från eleven och
undersöka strategin bakom svaret. Yang m.fl. (2004) samt Tsao och Lin (2012) poängterar att processfrågor är effektiva och betydelsefulla för lärare att använda för att få syn på elevernas resonemang. I Reys m.fl. (1999) samt Reys och Yangs (1998) studie fick forskarna via intervjuer syn på elevernas resonemang bakom val av strategi. Resultatet var intressanta och visade att flertalet av eleverna förlitade sig på specifika skriftliga algoritmer och att det påverkade elevernas resonemang och tillvägagångssätt. Det styrks även av Yang (2005) där forskaren fick syn på deltagarnas kunskap bakom val av strategi, vilket i sin tur visade på hinder i flera av deltagarnas tankegång. Vidare diskuterar Yang (2005) att deltagarnas resonemang visade på brist i taluppfattning.
Deltagarna i Tsao och Lins (2012) studie var lärare i bland annat matematik och det framkom i resultatet att lärarna var oense om begreppet taluppfattning samt hur den bör inkluderas i matematikundervisningen. Enbart en lärare förklarade begreppet taluppfatting som en förståelse för tal och tals relationer samt förmågan att föra logiska resonemang. Det framkom även att några av deltagarna inte ens hört talas om taluppfattning. Detta bidrog till att deltagarna var oeniga om hur taluppfattning kunde inkluderas i undervisningen (ibid). Vidare framkom det i resultatet att deltagarna var eniga om att uppgifter i matematiken bör kopplas till elevens vardagssituation. Författarna menar att det kan bidra till att eleven kan relatera till något som är relevant för dem, vilket kan hjälpa eleven att utveckla sitt
resonemang och sin förmåga att bedöma rimligheten (ibid). Å andra sidan visar resultat från Reys m.fl. (1999) studie där deltagarnas ålder ansågs som ett relevant sammanhang däremot gav det inte någon garanti för att svaren var rimliga.Möjliga förklaringar som kan ligga bakom Reys m.fl. (1999) resultat, är det som Tsao och Lin (2012) presenterar i sin
undersökning, att uppgifter som eleven inte tidigare stött på kan vara en bidragande faktor till att de inte fått möjlighet att utveckla förmågan till att bedöma rimlighet i sitt svar.
7. Diskussion
I följande del diskuteras och värderas litteraturstudiens metod och resultat. Diskussionen är indelad i underrubrikerna: metoddiskussion och resultatdiskussion. Under metoddiskussion diskuteras tillvägagångssätt och förbättringsförslag. I resultatdiskussionen problematiseras och diskuteras studiens resultat tillsammans med tidigare forskning samt egna reflektioner.
7.1 Metoddiskussion
Utifrån problemformulering och syftet med litteraturstudien påbörjades sökning för forskningsartiklar som behandlade taluppfattning i grundskolan. För att få en överblick för området och den forskning som fanns påbörjades sökning med ordet taluppfattning. Fortsättningsvis översattes ordet till number sense då det svenska ordet inte gav några
relevanta träffar. Att ordet taluppfattning kunde översättas till motsvarande number sense kan ses som en styrka, då begreppet stämde överens med det svenska begreppet taluppfattning. Med sökningar som number sense resulterade det i bred mängd olika artiklar som både var relevanta och orelevanta utifrån litteraturstudiens syfte, därför avgränsades sökningen med ytterligare sökord.
Sökningen påbörjades i databasen Google Scholar där inklusionskriterien “allintitle” användes. Möjligtvis hade resultatet blivit fler om inte inklusionskriterien använts. Vidare
! 14!
gjordes sökningar i databaserna ERIC, Academic Search Elite samt SwePub som tillhandahåller artiklar om pedagogik och undervisning. De flesta av de artiklar som
inkluderades till studien är hämtade från ERIC. Begreppen användes i flera databaser för att få en bred och systematisk litteratursökning. Slutligen i urval två inkluderades enbart artiklar från databaserna ERIC och Google Scholar, då urvalet och resultatet var relevant för studiens syfte.
Att enbart den Booleska sökoperatorn AND användes var för att få ett smalare resultat vid sökning av vetenskapliga artiklar (Eriksson Barajas m.fl., 2013). OR och NOT användes inte då det inte ansågs vara relevanta för litteraturstudiens syfte. Om OR och NOT hade inkluderats i sökningen hade möjligtvis fler artiklar framkommit till resultatet. Enbart fritextsökning gjordes utifrån studiens frågeställningar, vilket bidrog till relevanta träffar. Möjligtvis hade fler resultat framkommit om sökningen gjorts med ämnesord kombinerat med fritextord. Däremot valdes enbart tre sökord från frågeställningarna och en fritextsökning blev relevant för litteraturstudien.
Forskningsartiklar som användes i litteraturstudiens resultat var fem stycken kvantitativa, en kvalitativ och två av både kvantitativ och kvalitativ ansats. Att
litteraturstudien inkluderade både kvantitativa, kvalitativa och kombinerade ansatser kan ses som en fördel då det kan öka studiens pålitlighet och styrka syftet med studien. Att det enbart inkluderades åtta vetenskapliga artiklar till litteraturstudiens resultat kan ses som en svaghet för underlaget för den sammanställda datan. Vi hävdar att fler artiklar för studiens resultat hade gynnat och stärk tillförlitligheten. Å andra sidan var urvalet för litteraturstudien elever i grundskolan vilket bidrog till få artiklar, däremot blev resultatet pålitligt med tanke på att urvalet stämde överens med studiens syfte. Enbart en kvalitativ studie inkluderades och den hade lärare som urval, det kan ses som en svaghet att enbart inkludera en kvalitativ studie med ett annat urval då det kan påverka studiens resultat. Däremot ansåg vi att studien var relevant då den innefattar lärarens syn på elevers taluppfattning.
Vissa forskare menar Petticrev och Robert (2006, refererad i Eriksson Barajas m.fl., 2013) är oeniga om en systematisk litteraturstudie kan innefatta både kvalitativa och kvantitativa studier. Vi har valt att inkludera både kvalitativa och kvantitativa studier då artiklarna hade hög relevans för litteraturstudiens syfte. Forskningsartiklarna med kvantitativ ansats innefattade både intervjuer och tester där urvalet var elever i grundskolan, enbart en artikel inkluderades där eleverna var i åldrarna 9-15. Den kvalitativa artikeln vars urval var lärare i bland annat matematik var relevant för litteraturstudiens syfte då lärarens syn på taluppfattning synliggjordes i relation till elevens beräkningsstrategier. I resultatdelen
inkluderades även två artiklar med kombinerad kvantitativ och kvalitativ ansats. Artiklarna hade liknande urval och undersökningarna hade genomförts nästan identiskt. Dessa två artiklar gjorde det möjligt att i resultatdelen dra slutsatser för alla de inkluderade artiklarna. Ursprungsländerna för de artiklar som inkluderades i resultatet var Förenade Arabemiraten, Sverige, Taiwan samt USA. Taiwan var det land där flertalet av artiklarna i resultatet hade genomförts. Att det inkluderades forskningsartiklar med internationell spridning är både en fördel och nackdel för litteraturstudien. Fördelen är att matematik är ett internationellt ämne och på så vis går det att jämföra resultatet mellan länderna och dra slutsatser för de likheter och skillnader som identifierades. En studie som inkluderades i resultatet vars syfte var att jämföra elevernas kunskaper i taluppfattning hade genomfört sina studier i Sverige, Taiwan och USA. Det kan ses som en styrka då deras resultat överensstämde med flertalet av de andra artiklarna som användes i resultatdelen. Det kan även ses som en nackdel att jämföra
taluppfattning mellan länder då läroplanen för matematik är utformade på olika sätt och undervisningen ser olika ut i förhållande till den svenska skolan.
De artiklar som var relevanta för litteraturstudiens syfte ansågs vara av god vetenskaplig kvalité eftersom artiklarna publicerats i olika vetenskapliga tidskrifter samt att forskarna var kopplade till ett högre lärosäte. Artiklarna valdes ändå att kvalitetsgranskas och detta gjordes utefter den bedömningsmall som Eriksson Barajas m.fl. (2013) presenterat. Detta för att säkerställa om studien innefattade de väsentliga delar som krävs för en
vetenskaplig artikel. Efter kvalitetsgranskningen sammanställdes varje artikel och kodades för att se likheter och skillnader mellan de vetenskapliga artiklarna. Först sammanställdes artikeln enskilt för att sedan diskuteras tillsammans. Fördelen med detta arbetssätt var att båda blev insatta i de vetenskapliga artiklarna samt att det skapade förutsättningar för att se eventuella likheter och olikheter.
! Reliabilitet och validitet är enligt Bryman (2011) två viktiga kriterier för bedömning av vetenskapliga undersökningar. Reliabilitet innebär hur tillförlitlig en undersökning är medans validitet innefattar om det som avses mäta verkligen mäts.
Litteraturstudien reliabilitet anses vara hög då den grundas på flertalet vetenskapliga artiklar som visar på liknade resultat.
7.2 Resultatdiskussion
Diskussionen fortsätter utifrån studiens frågeställningar för att synliggöra det resultat som framkommit. Litteraturstudiens frågeställningar var: Vad visar forskning om elevers taluppfattning i årskurs 4-6 och vilka beräkningsstrategier använder eleverna i sina
! 16!
beräkningar? Studiens resultat utgår från McIntoshs m.fl. (1992) modell som fungerat som teoretisk ram för litteraturstudien, vars komponenter är betydelsefulla för god taluppfattning. Utifrån de vetenskapliga artiklarna framkom det ett antal konsekvenser för taluppfattning, samt hur olika beräkningsstrategier påverkar elevernas matematikutveckling. Resultatet från studierna sammanställdes i två kategorier som var följande: standardalgoritmernas påverkan på elevers taluppfattning samt inlärningsaktiviteter med anknytning till taluppfattning. Resultatet från de två kategorierna diskuteras med hjälp av bakgrunden samt egna reflektioner.
Det framkommer i flertalet studier att elevers kunskaper i taluppfattning är relativt lågt (Reys m.fl., 1999; Yang m.fl., 2004; Yang, 2005; Alsawaie, 2011). I de
kvantitativa studierna (Reys & Yang, 1998; Yang m.fl., 2004; Yang, 2005; Yang m.fl., 2007; Alsawaie, 2011) identifierades ett samband mellan låg taluppfattning och elevers förmåga att välja lämplig strategi. Gemensamt för studierna var också att de belyser standardalgoritmer och hur den påverkar elevers val av strategi. Taluppfattning som bland annat beskrivits av Howden (1989), förklarar att det innebär att elever har förståelse för tal och förmågan att resonera över effektiv strategi för den uppgift de möter i matematikundervisningen. Den process som McIntoshs m.fl. (1992) presenterat i sin modell är förmågan att reflektera över effektiv strategi, vilket är en av de tre komponenterna som utgör god taluppfattning.
Resultatet tyder på att flertalet elever förlitade sig på standardalgoritmer, dock kunde inte eleverna förklara varför den strategin valdes att användas för uppgiften (Reys m.fl., 1999; Yang m.fl., 2004; Yang, 2005; Alsawaie, 2011). Att de kvantitativa studierna visade liknande resultat kan bero på att undersökningarna har utförts på liknande sätt, med för och efter tester samt strukturerade intervjuer. Däremot var Alsawies (2011) urval i hans studie annorlunda gentemot de andra studierna då han inriktade sig på högpresterande elever i årskurs sex. Syftet med Alsawies (2011) studie var att undersöka de strategier som används av eleverna, för att beräkna grundläggande aritmetiska problem. Studien resultat anser vi är intressant då även hans resultat indikerar på låg taluppfattning hos eleverna. En tänkbar förklaring till resultatet kan vara att elever som besitter hög kompetens i skriftliga algoritmer inte nödvändigtvis har god taluppfattning, vilket Yang (2005) presenterar i sin studie. Även McIntosh, Reys och Reys (1992) poängterar att flertalet människor är bra på att utföra beräkningar och memorera de regler som finns i matematiken, däremot finns det flertal som utför beräkningar utan att förstå innebörden av dem. Enligt vår mening är det betydelsefullt att läraren är medveten om de tre komponenterna som utgör god taluppfattning som
skapa förståelse för matematiken, då förståelse för algoritmer och regler kan bidra till att elever ser matematiken som meningsfull. Vidare menar vi att lärarens undervisning bör innefatta utveckling av de tre viktiga komponenterna för god taluppfattning.
Vi hävdar att lärare redan tidigt bör upptäcka vilka strategier elever använder för att utföra beräkningar. Detta påpekar även Berch (2005) samt Jorden, Glutting och Ramineni (2009) som belyser att de problem som elever besitter i matematiken är viktiga att upptäcka och identifiera tidigt för att motverka eventuella svårigheter för ämnet. Som Griffin (2004) poängterar bygger de svårigheter elever har i taluppfattning på ofullständig kompetens i de tre komponenter som utgör McIntosh (1992) modell. Att beräkna med huvudräkning och
uppskattning har i resultatet från Yang m.fl. (2004) samt Yang, Li och Lin (2007) visat på stora svårigheter för elever. Det är en orsak till varför läraren måste vara uppmärksam på elevers beräkningar och uppmuntra till att utveckla fler strategier.
Flera resultat (Yang m.fl., 2004; Reys & Yang, 1998; Tsao & Lin, 2012; Yang, 2005) belyser vikten av att läraren tar reda på hur elever tänker och resonerar vid beräkningar. Även Reys m.fl. (1999) använde sig av processfrågor i sina intervjuer för att få reda på
elevers resonemang, vilket visade sig vara ett effektivt verktyg för att bättre förstå elevers val av strategi. I Lgr11 (2011, del 3) i syftesdelen för matematik förklaras det att undervisningen ska bidra till att väcka elevernas intresse för matematiken samt ge möjlighet att öka elevers förtroende och användbarhet i olika situationer. Vidare i syftet för matematik poängteras det att undervisningen ska ge möjlighet att utveckla elevernas förmåga att resonera över möjliga strategier (ibid).
Hur läraren formulerar sina frågor för att synliggöra elevers resonemang anser vi är av stor vikt. Det styrks av Yang, m.fl. (2004) samt Tsao och Lin (2012) som i sitt resultat redogör processfrågor som ett effektivt verktyg för läraren att använda. Vi är medvetna om att alla lär sig på olika sätt och Lgr11 (2011, del 1) belyser vikten av att anpassa undervisningen efter varje elevs förutsättningar och behov. Matematikdelegationen betonar vikten av att läraren ska ha kunskap om och använda fler undervisningsformer samt betonar vikten av att läraren uppmärksammar elevers sätt att tänka och förklara valda strategier (SOU 2004:97). Processfrågor blir därför en viktig del i undervisningen och kan möjliggöra att läraren ser till varje individs kunskaper i matematik.
Ett tydligt problemområde som återkommer i flera av studierna (Yang m.fl., 2004; Yang, 2005; Yang, Li & Lin, 2007) är att eleverna behövde använda papper och penna för att utföra sina beräkningar. Resultatet visade att eleverna saknade förmågan att lösa uppgifter med hjälp av huvudräkning. (Yang, Li & Lin, 2007). En undervisningsform som kan stimulera eleverna
! 18!
till förståelse för ämnet matematik är enligt oss betydelsefullt, även NCM (1995) poängterar vikten av att elever begriper de algoritmer och regler som lärs ut. Att enbart undervisa
skriftliga algoritmer hämmar eleverna och de förlitar sig på regler dock utan större förståelse. Reys m.fl. (1999) samt Reys och Yang (1998) förklarar att elevernas val av strategi oftast påverkades av de regler som de lärt sig, det var också flertalet av eleverna som blandade ihop reglerna. Att eleverna blandade ihop reglerna ser vi som en annan bakomliggande
problematik för utveckling av god taluppfattning.
I studierna med kombinerade kvantitativa och kvalitativa ansatser (Yang, 2003; Yang m.fl., 2004) visade den kvantitativa datan på elevers kunskap i taluppfattning,
undersökningen genomfördes med tester. Den kvalitativa datan undersökte däremot om aktiviteter kan utveckla elevers taluppfattning. Fördelen med att använda kombinerad kvantitativ och kvalitativ ansats i litteraturstudien var för att kunna få reda på olika fenomen ur olika synvinklar. Resultatet från de båda studierna visade på att försöksgrupperna
förbättrade sin taluppfattning. Aktiviteterna byggde på god lärmiljö där läraren uppmuntrade till diskussion, debatt och att eleverna fick delge sina strategier. Uppgifterna bör enligt Yang (2003) innehålla problemfrågor som är väl utformade och givande för att utveckla elevernas taluppfattning. Å andra sidan förklarar Yang m.fl. (2004) att resultatet från studien ändå inte motsvarade förväntningarna på elevernas utveckling, då flertalet av eleverna försöksgruppen efter aktiviteter fortfarande förlitade sig på de standardalgoritmer som lärts ut i skolan. Vi hävdar att det kan vara fler bakomliggande orsaker till varför resultatet inte blev som förväntat, då alla individer lär sig på olika sätt och den mall som Yang (2004) presenterar kanske passar vissa elever dock inte alla. Utifrån denna argumentation förespråkar vi varierad undervisning för att alla elever ska ges möjlighet till god utveckling för ämnet och området taluppfattning.
Flertalet studier poängterar att läraren har en viktig roll i att integrera
taluppfattning i undervisningen. Tsao och Lin (2010) som förklarat att lärare som inte besitter kunskap om vad taluppfattning är integrerar det inte i sin undervisning. Det framkommer även i den kvalitativa studiens resultat där intervjuer tillsammans med lärare visade på oenighet om vad taluppfattning betyder (Tsao & Lin, 2012). Det är dock bara en kvalitativ studie inkluderad i resultatet och den har ett annat urval gentemot de andra studierna, vilket vi menar är svårt att sätta i relation till varandra. Däremot var resultatet användbart då lärarens syn på taluppfattning framkom i relation till elevens beräkningsstrategier, vilket kan förklaras med att resultatet enbart anknyts till elevens beräkningsstrategier.
Vi hävdar att det finns en möjlighet att knyta an till de standardalgoritmer som lärs ut i skolan och att det visats påverka elevernas strategier negativt. Enligt vår mening är den oenighet som finns om begreppet taluppfattning en bidragande orsak till att lärare har svårt att integrera det i undervisningen. Å andra sidan är det problematiskt att generalisera studiens resultat då det endast är en studie vars urval är riktat utifrån lärarens kunskap om begreppet. Däremot nämner tidigare forskning (Tsao & Lin, 2010) att kunskap om taluppfattning är avgörande för att det ska inkluderas i undervisningen.
8. Konklusion
Litteraturstudiens resultat har visat att elevers taluppfattning i grundskolan är relativt låg. Det har framkommit att taluppfattning är betydelsefull för elevers matematikförståelse.
Taluppfattning kan bidra till att elever får en djupare förståelse för den matematik som undervisas. Däremot är en kritisk punkt om de inte har förståelse för tal och deras relationer, samt att de utför uppgifter utan någon större förståelse, vilket kan bidra till att eleven inte kan förklara strategin de använder. En annan kritisk punkt är de standardalgoritmer som lärs ut i skolan, vilket kan ha negativ effekt om den enbart undervisas utan att läraren förklarar innebörden av algoritmen. Hur undervisningen i matematik bedrivs samt lärarens kompetens är avgörande för om taluppfattning inkluderas. Resultat har visat på att varierad undervisning med aktiviteter där läraren uppmuntrar till diskussion och debatt är att föredra för att utveckla god taluppfattning.
9. Implikation
De vetenskapliga artiklarna som användes i litteraturstudien var enbart internationell forskning, samt mestadels kvantitativa undersökningar. Det finns lite forskning om
taluppfattning i Sverige och vi ser ett behov av mer nationell forskning. Vi ser även ett behov av mer kvalitativa undersökningar om taluppfattning i grundskolan då det framförallt var den forskning som saknades för studien. Eftersom beräkningsstrategier och undervisningsformer är en viktig del i elevers utveckling, är det betydelsefullt att skapa uppgifter och aktiviteter som bidrar till utvecklingen av elevers taluppfattning. Vid framtida forskning skulle det vara intressant att undersöka om taluppfattning kan utvecklas med hjälp av surfplattor. Eftersom surfplattor har blivit ett allt mer vanligt verktyg i skolan är det betydelsefullt och intressant att se vilken potential den har för elevers lärande i matematik.
!
10. Referenser
*Alsawaie, O. N. (2011). Number sense-based strategies used by high-achieving sixth grade students who experienced perform textbooks. International Journal of Science and Mathematics Education, 10(5), 1071-1097.
Anghileri, J. (2006). Teaching number sense. London.
Berch, D. B. (2005). Making sense of number sense: Implications for children with mathematical disabilities. Journal of Learning Disabilities, 38(4), 333–339. Berch, D., Kinzie, M., & Mcguire, P. (2012). Developing Number Sense in Pre-K with Five Frames. Early Childhood Education Journal, 40, 213–222.
Bryman, A. (2011). Samhällsvetenskapliga metoder. (2., [rev.] uppl.) Malmö: Liber.
Boesen, J. (2006). Lära och undervisa matematik: Internationella perspektiv. I: A, McIntosh. (Red.), Nya vägar i räkneundervisningen (s. 7-20). Göteborg: Nationellt Centrum för Matematikutbildning.
Eriksson Barajas, K., Forsberg, C. & Wengström, Y. (2013). Systematiska litteraturstudier i utbildningsvetenskap: Vägledning vid examensarbeten och vetenskapliga artiklar. Stockholm: Natur & kultur.
Gersten, R., Jordan, N., & Flojo, J. (2005). Early Identification and Interventions for Students With Mathematics Difficulties. Journal of learning disabillities, 38(4), 293-304. Grevholm, B., & Björklund, C. (2012). Lära och undervisa matematik: Från förskoleklass till
åk 6. Stockholm: Norstedt.
Griffin, S. (2004). Teaching number sense. The cognitive siences offer insights into how young students can best learn math. Improving Achievement in Math and Science, 61(5), 39-42.
Griffin, S., & Case, R. (1997). Rethinking the primary school math curriculum: An
approach based on cognitive science. Issues in Education, 3(1), 1–49.
Jordan, N. C., Glutting, J., & Ramineni, C. (2010). The importance of number sense to mathematics achievement in first and third grades. Learning and Individual Differences, 20(2), 82-88.
McIntosh, A., Reys, B. J., & Reys R. E. (1992). A proposed framework for examining basic number sense. For the Learning of Mathematics, 12(3), 2-8.
*McIntosh, A., Reys, R., Reys, B., Emanuelsson, G., Johansson, B., & Yang, D. C. (1999). Assessing number sense of students in australia, sweden, taiwan, and the united states. School Science and Mathematics, 99(2), 61-70.
*Reys, E., & Yang, C. (1998). Relationship Between Computational Performance and
Number Sense Among Sixth- and Eighth-Grade Students in Taiwan. Journal for Research in Mathematics Education, 29(2), 225-237.
Reys, B., & Reys, E. (1995). Number sense och taluppfattning. Nämnaren, 1, 28-33. Skolverket (2011). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011. Stockholm: Skolverket.
Sterner, G., & Bergius, B., (2007). Nytt material om taluppfattning och goda räknefärdigheter.
Nämnaren, 3, 10-11.
SOU 2004:97. Att lyfta matematiken - intresse, lärande, kompetens. Stockholm, Fritzes Offentliga Publikationer.
*Tsao, Y., & Lin, Y. (2012). Elementary School Teachers’ Understanding Towards the Related Knowledge of Number Sense. US-China Education Review, 1(17), 17-
30.
Tsao, Y., & Lin, Y. (2011). The study of number sense and teaching practice. Journal of Case Studies in Education, 2(1), 1-14.
*Yang, D., Hsu, C,. & Huang, M. (2004). A study of teaching and learning number sense for sixth grade students in Taiwan. International Journal of Science and
!
*Yang, D. (2003). Teaching and learning number sense – an intervention study of fifth grade students in taiwan. International Journal of Science and Mathematics
Education, 1(1), 115-134.
*Yang, D., Li, M., & Lin, C. (2007). A study of the performance of 5th graders in number sense and its relationship to achievement in mathematics. International Journal of Science and Mathematics Education, 6(4), 789-807.
*Yang, D. (2005). Number sense strategies used by 6th‐grade students in Taiwan. Educational Studies, 31(3), 317-333.
11. Bilagor
Tabell 1. Sökhistorik Bilaga A
!
Datum Databas Sökord/Limits/Boolska operationer
Antal träffar
Lästa
abstrakts Urval 1 Urval 2
17/11 Google Scholar “Number sense” Limits: allintitle 848 8 6 2 17/11 ERIC Ebesco “Number sense” Limits: Peeer rewieved
261 15 5 2
20/11 ERIC
Ebesco
“Number sense” AND Mathematics
Limits: Peeer rewieved
253 8 4 3
20/11 ERIC
Ebesco
“number sense” AND mathematics AND teaching Limits: Peeer rewieved
! ! Ta be ll 2 . A rt ike löve rs ikt /fors kni ng m ed kva nt ita tiv m etod Bi laga B:1 li kati on va re D at ab as( er ) Sökord/K riterier/ in k lu si on s:; oc h ; ex k lu si on sk rit er i er F ör fattar e Ti te l S yfte M etod U rval /Bor tf al l S lu ts ats /r es u ltat nc e a nd athe m ati cs E RIC - E be sc o "N um be r s ens e" AND M athe m ati cs Inkl us ions kri te ri er: P ee r Re vi ew ed Robe rt Re ys , Ba rba ra Re ys , G öra n E m anue lss on , Be ngt Joha ns son, A lis ta ir M cInt os h and D er Chi ng Y ang A ss es sing N um be r S ens e of S tude nt s i n A us tra lia , S w ede n, T aiw an, a nd t he U ni te d S ta te s. S yf te t ä r a tt m äta ele ve rna s ta luppf att ni ng dä r fyra lä nde r ä r i fokus . D e vi ll Be lys a inne börde n oc h be tyde lse n a v ta luppf att ni ng sa m t ut ve ckl ing av be döm ni ngs ins tru m ent . K va nt ia tiv st udi e m ed te ste r s om föl jts upp m ed strukt ure ra de int ervj ue r. I ana lys en koda de s de n ins am la de da ta n i e n “f ra m ew ork” . D ata n sa m m ans tä llde s i S P S S . A us tra lie n, S ve ri ge , T aiw an oc h USA E le ve r i åldra rna 8 -14. 110 -160 ele ve r i va rj e ålde rs grupp. Bort fa ll: E j angi ve t. Re sul ta te t va ri era de i a lla lä nde r, m en vi sa de lå g kuns ka ps sni vå inom ta luppf att ni ng . D ett a vi sa de på de n s vå ri ghe t som f inns inom om rå de t ta luppf att ni ng.
! ell 2. A rt ike löve rs ikt /fors kni ng m ed kva nt ita tiv m etod Bi laga B:2 lik ati on s var e D atab as (e r) S ök or d /K rite rie r/ in k lu sion s- oc h ex k lu sion sk rite rie r F ör fattar e Ti te l S yfte M etod U rval /Bor tfal l S lu ts ats /r es u ltat erna tiona l l of cie nc e a nd athe m ati cs ati on E RIC -E be sc o ”N um be r s ens e” A N D M athe m ati cs Inkl us ions kri te ri er: P ee r R ew ie ve d O thm an N. Alsawaiw N um be r se ns e-ba se d stra te gi es us ed by hi gh ac he ivi ng sixt h gra de stude nt s w ho expe ri enc ed re form te xt books . S yf te t m ed de nna s tudi e va r a tt unde rs öka de stra te gi er s om anvä nds a v högpre ste ra nde ele ve r, för a tt be rä kna grundl ägga nde ari tm eti ska probl em m ed ta luppf att ni ng. K va nt ita tiv studi e m ed indi vi due lla stru kt ure ra d e i nt ervj ue r dä r va rj e ele v pre se nt era d es m ed 10 grundl ägga nde probl em . 15 högpre ste ra nde poj ka r oc h 15 högpre ste ra nde fli ckor i å rs kurs 6 f rå n 2 s kol or i E m ira te t A bu D ha bi , F öre na de A ra be m ira te n. Bort fa ll: E j angi ve t. Re sul ta te t vi sa de på att de f le sta a nde le n be rä kni nga rna ut förde s m ed l åga as pe kt er a v ta luppf att ni ng. S om til l e xe m pe l: a nvä nda num m ers f le xi bi lit et vi d be rä kni nga r, be döm a ri m lighe te n a v sina re sul ta t s am t bryt a ne r oc h kom bi ne ra ta l f ör a tt lös a probl em . D e f ann oc ks å a tt e le ve r va r be roe nde a v s kol lä rda re gl er. D es sa re gl er vi sa de s ig va ra förvi rra nde oc h m iss vi sa nde .
! ! Tab ell 2. A rt ike löve rs ikt /fors kni ng m ed kva nt ita tiv m etod Bi laga B: 3 lik ati sår var e D atab as (e r) S ök or d /K rite rie r/i n k lu sion s- oc h ex k lu sion sk rite rie r F ör fattar e Ti te l S yfte M etod U rval /Bor t fal l S lu ts ats /r es u ltat 7 erna tio l of cie nc e athe m at ati on E RIC E be sc o "N um be r s ens e" AND M athe m ati cs Inkl us ions kri te ri er : P ee r Re vi ew ed Der -Chi ng Y ang, Mao -Ne ng L i and Chi h-I Lin A study of the pe rf or m anc e of 5t h gra de rs in num be r se ns e and i ts re la tion shi p t o ac hi ve m ent s in m athe matics S yf te t m ed s tudi en är a tt ge nom em pi ri skt ins am la d da ta om be gre ppe t ta luppf att ni ng ta fra m e tt da tort est om ta luppf att ni ng. Med te ste t ka n lä ra re f å e n s na bb förs tå els e oc h di agnos tis era ele ve ns f örs tå els e för ta luppf att ni ng. K va nt ita tiv studi e m ed tester /prov. 1212 ele ve r de ltog Re sul ta te t vi sa de på a tt e le ve rna va r bä st på a tt be stä m m a num m ers re la tiva storl ek. D e vi sa de p å s äm re re sul ta t a v a tt be döm a ri m lighe te n i be rä kni nga r (s tä m m er öve re ns m ed t idi ga re s tudi er). Re sul ta te t vi sa de oc ks å på a tt f lic kor va r m argi ne llt bä ttre ä n poj ka rna a tt be stä m m a num m ers re la tiva s torl ek. S lut lige n vi sa de re sul ta te t på a tt god pre sta tion i m ate m ati k ä r re la te ra de til l god t aluppf att ni ng. ;
! ! Tab ell 2. A rt ike löve rs ikt /fors kni ng m ed kva nt ita tiv m etod Bi laga B: 4 li kati o r va re D at ab as( er ) Sökord/K riterie r/ in k lu si on s:; oc h ; ex k lu si on sk rit er ie r F ör fa ttar e Ti te l S yfte M etod Ur val /Bor tfal l S lu ts ats /r es u ltat ati ona l es A ca de m ic S ea rc h Elite “N um be r s ens e” A N D S tra te gi es A N D S tude nt s Inkl us ions kri te ri er : P ee r Re w ie ve d Der -Chi ng Y ang N um be r se ns e stra te gi es us ed by 6t h-gra de stude nt s i n Taiwan . S yf te t m ed studi en va r att a na lys era de s tra te gi er som e le ve rna anvä nde f ör att lös a spe cif ika ta luppf att ni n gs probl em . K va nt it ati v m etod m ed strukt ur era de int ervj u er. F yra s kol or i T aiw an. E n s jä tte kl as s frå n va rj e s kol a C a: 29 -40 f rå n va rj e kl as s. E le ve rna de la de s i n i ni vå er be roe nde på tidi ga re te ste r Bort fa ll E j angi ve t Re sul ta te n vi sa de a tt de ss a e le ve r va r be nä gna a tt a nvä nda " re ge lba se ra de m etode r" e lle r " kunde int e f örkl ara " nä r de s va ra de på int ervj uf rå gor. Elev erna kunde int e f örkl ara s tra te gi n t ill vi ss a uppgi fte r e fte rs om de f örkl ara de a tt de int e s töt t på likna nde uppgi fte r i kl as srum m et. F rå ge stä llni ng dä r e le ve rna s egna ta nka r oc h i dé er kom m er f ra m borde uppm unt ra lä ra re til l a tt a nvä nda i s in unde rvi sni ng. D et ka n va ra s ka dl igt a tt enba rt unde rvi sa s kri ftl iga a lgori tm er (rä kne sä tt) oc h vi lke t ka n hi ndra e le ve n egna ta nka r oc h i s in re sone m angs förm åga .
;
! ! Tab ell 2. A rt ike löve rs ikt /fors kni ng m ed kva nt ita tiv m etod Bi laga B: 5 lik ati on s var e D ata b as (e r) S ök or d /K rite rie r/ in k lu sion s- oc h ex k lu sion sk rite rie r F ör fattar e Ti te l S yfte M etod U rval / Bor tfal l S lu ts ats /r es u ltat l of arc h i n athe m ati c ati on E RIC P roque st “num be r s ens e” AND “S ixt h G ra de S tude nt s" L im its : 2004 -2012 Pe er Re w ie ve d Robe rt E . Re ys Der -Chi ng Y ang Re la tions hi p Be tw ee n Com put ati ona l P erf orm anc e and N um be r S ens e A m ong S ixt a nd E ight h-G ra de S tude nt s i n Taiwan D en kont inue rl iga ut ve ckl inge n a v ta luppf att ni ng bör se s s om e n proc es s som ut ve ckl as m ed erf are nhe t oc h kuns ka p. S yf te t f ör s tudi en, va r a tt be döm a ta luppf att ni ng oc h ut fors ka koppl inga r m ell an ta luppf att ni ng oc h skri ftl ig ut rä kni nga r. 40 s tyc ke n ta luppf att ni ngs te ste r sa tte s i hop 17 e le ve r int ervj ua de s 115 sjätte kl as sa r e oc h 119 ått onde kl as sa r e. Re sul ta te t på int ervj un vi sa de a tt ele ve rna lit ade på s pe cif ika til lvä ga gå ngs sä tt. E le ve rna s til lvä ga ngå ngs sä tt va r a tt s öka oc h a nvä nda s ta nda rda lgori tm er . Re sul ta te t vi sa de oc ks å på a tt re ge lba se ra de m etode r va r va nl igt ä n s tra te gi er ge nom ri kt m ärke n. T es te r på s kri vna be rä kni nga r vi sa de på bä ttr e re sul ta t ä n på te ste t f ör ta luppf att ni ng . Re sul ta te t be krä fta r t idi ga re f ors kni ng a tt lä ra re m ås te unde rs öka oc h krä va m er ä n s va r f rå n e le ve rna .
;
! ell 2. A rt ike löve rs ikt /fors kni ng m ed kva lit ati v m etod Bi laga B: 6 lik ati sår var e D atab as (e r) S ök or d /K rite rie r/ in k lu sion s- oc h ex k lu sion sk rite rie r F ör fattar e Ti te l S yfte M etod U rval /Bor tfal l S lu ts ats /r es u ltat -Chi na ati on ew E RIC P roque st "N um be r s ens e" A N D T ea chi ng A N D " E le m ent ary m athe m ati cs " Inkl us ions kri te ri er: 2010 -2014 Yea -L ing T sa o a nd Yi -Chung Lin E le m ent ary S chool T ea che rs ’ U nde rs ta ndi ng T ow ards the Re la te d K now le d ge of N um be r S ens e. S yf te t m ed studi en va r att unde rs öka lä ra re ns kuns ka pe r i ta luppf att ni n g oc h vi lka unde rvi sni ng ss tra te gi er de anvä nde r s ig av f ör a tt unde rvi sa . K va lit ati v m etod m ed int ervj ue r N io ve rks am m a lä ra re i T aiw an. Bort fa ll: E j angi ve t Re sul ta te t vi sa de a tt de f le sta grunds kol elä ra re int e ha de hört ta la s om be gre ppe t ta luppf att ni ng. 8 a v 9 l ära re de fini era de be gre ppe t ta luppf att ni ng s om e n kä ns la f ör num m er. V iss a l ära re f örkl ara de de t som logi skt tä nka nde f ör num m er, a tt de bör ut ve ckl as i t idi g å lde r oc h a tt ta luppf att ni ng oc h f örs tå els e f ör grundl ägga nde m ate m ati k hör i hop. F åta l l ära re a ns åg a tt va rda gs liv oc h att a nvä nda de t i m ate m ati ke n va r vi kt ig. Re sul ta te n di skut era r oc ks å lä ra rna s unde rvi sni ngs form er f ör a tt ut ve ckl a t aluppf att ni ng. Bl and a nna t nä m ns : t all inj en, konkre ta m ate ri al, va rda gs sit ua tione r, proc es s f rå gor, re fle kt ion m .m .
