Lösningar Heureka 2
Kapitel 7 Harmonisk
svängningsrörelse
Andreas Josefsson
Lösningar Fysik 2 Heureka Kapitel 7
7.1 a)
Av figuren framgår att amplituden är 0,30 m.
b) Skuggan utför en hel period, från högsta läget till lägsta och tillbaka igen, samtidigt
som hjulet roterar ett helt varv. Detta tar 2 sekunder, därför är skuggans period också 2 sekunder.
c) Skuggans hastighet är lika stor som den lodräta komposanten av bollens hastighet. Mitt
emellan högsta och lägsta läget är bollens hastighet riktad vertikalt. I dessa ögonblick har skuggan lika stor fart som bollen.
Matematiskt betyder detta (se figuren ovan) 2 ∙ 𝜋 ∙ 0,3
2 = 0,94 𝑚/𝑠
7.2 a) Sinusfaktorn varierar mellan l och -l, vilket gör att y varierar mellan -0,15 och 0,15.
Amplituden är alltså 0,15 m.
b) Sinusfaktorn går genom en hel period när vinkeln (10 ∙ 𝑡) växer med 2 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑟. Det
betyder att tiden ska öka 0, 2 ∙ 𝜋= 0,63 s. Perioden är alltså 0,63 s. Den här delen av uppgiften kan vi lösa på ett alternativt sätt också.
En jämförelse med det allmänna sambandet y = A sin 𝜔𝑡 visar att 𝜔= 10 rad/s. 𝐸𝑓𝑡𝑒𝑟𝑠𝑜𝑚 𝜔 =2𝜋𝑇 𝑓å𝑟 𝑣𝑖 𝑎𝑡𝑡 𝑇 =2𝜋𝜔 =2𝜋10 = 0,63 𝑠
c) För att få hastigheten v deriverar vi elongationsfunktionen (y = A sin 𝜔𝑡) med avseende på
t ( Glöm inte att "Inre derivatan" är 10.) Hastigheten är
d) Cosinusfaktorn varierar mellan -l och l, vilket betyder att hastigheten varierar mellan-1,5
m/s och 1,5 m/s.
Största farten är (hastighetens "amplitud") alltså 1,5 m/s.
e) För att få accelerationen a deriverar vi hastigheten v med avseende på tiden:
Accelerationen är
𝑎 =𝑑𝑣𝑑𝑡 = 1,5 ∙(sin 10𝑡) ∙ 10 = −15 ∙ sin 10𝑡 (𝑚/𝑠2 ) Resultatet visar att den maximala accelerationen är 15𝑚/𝑠2 7.3)
a) Sträckan
2 · 𝐴 = 2 · 0,46 𝑚 = 0,92 𝑚 𝑔𝑒𝑛𝑜𝑚𝑙ö𝑝𝑠 𝑝å 1𝑠. 𝐺𝑒𝑛𝑜𝑚𝑠𝑛𝑖𝑡𝑡𝑠𝑓𝑎𝑟𝑡𝑒𝑛 ä𝑟 0,92 𝑚/𝑠.
b) Eftersom elongationen är 𝑦 = 𝐴 · 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 är hastigheten
𝑣 =𝑑𝑦𝑑𝑡 = 𝐴 ∙(𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡) ∙ 𝜔 = 𝐴𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡
Mitt emellan ytterlägena: y = -A och y = A är y = O, eftersom sinusfaktorn är noll.
Samtidigt har cosinusfaktorn sitt största eller minsta värde, l eller -l, så att hastighetens största belopp är
𝑣𝑚𝑎𝑥 = 2𝜋𝑇 ∙ 𝐴 =2𝜋2 ∙ 0,46 = 1,4𝑚/𝑠 Maximala farten är alltså 1,4 m/s.
c)Om A = 0,46 m och 𝜔 = 2𝜋/2 (rad/s) får vi att
𝑦 = 0,46 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 = 0,46 𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑡 ≈ 0,46 𝑠𝑖𝑛 3,1𝑡
7.4)
a) Att kurvan är en cirkel ser vi först när vi kvadrerar och adderar de två ekvationerna:
𝑥2+ 𝑦2 = 32 𝑒𝑓𝑡𝑒𝑟𝑠𝑜𝑚 (sin 𝑡)2 + (cos 𝑡)2 = 1, trigonometriska ettan
vi får då: �𝑥2 + 𝑦2 = 3. Varje punkt (x, y) på kurvan har alltså avståndet 3 längdenheter till origo. Kurvan är en cirkel med radien 3 enheter.
b) När t växer med 2𝜋 = 6,3 sekunder, genomlöper sinus- och cosinusfaktorerna båda en hel
period och partikeln fullbordar ett varv i banan. Omloppstiden är alltså 6,3 s.
c) Radien i denna cirkel är 3 enheter som förut, men nu växer vinklarna dubbelt så fort.
Omloppstiden blir hälften så stor, alltså 𝜋 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟 = 3,1 𝑠
d)𝑆ä𝑡𝑡 𝑥 = 3 · 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑜𝑐ℎ 𝑦 = 3 · 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡
På 5 sekunder ska vinkeln växa med 2𝜋 radianer. Om vinkelhastigheten är 𝜔 får vi följande: 5 ∙ 𝜔 = 2𝜋 ≫ 𝜔 =2𝜋5 (𝑟𝑎𝑑/𝑠)
insättning i ekvationerna ovan ger:
𝑥 = 3 · 𝑐𝑜𝑠2𝜋5 𝑡 𝑜𝑐ℎ 𝑦 = 3 · 𝑠𝑖𝑛 2𝜋5 𝑡
e)Jämförelse med ekvationerna i d)
ger att r betyder radien i
cirkelbanan och T är omloppstiden
7.5)
Kraften F som drar ut fjädern är direkt proportionell mot förlängningen x:
F = k·x, där k kallas för fjäderkonstanten. Det medför att
𝑥 =𝐹𝑘 = 1,575 = 0,02 𝐹𝑗ä𝑑𝑒𝑟𝑛 𝑏𝑙𝑖𝑟 2𝑐𝑚 𝑙ä𝑛𝑔𝑟𝑒.
7.6 a)
𝑇 = 2𝜋 ∙ �𝑚𝑘 = 2𝜋 ∙�0,2528 = 0,59𝑠
b) Självklart ja, eftersom både massan och
fjäderkonstanten är samma på månen som på jorden
7.7
a) I läge A har vagnen bromsats in och ska börja accelerera mot jämviktsläget. Kraften 18 N
är alltså riktad åt höger.
b) I läge B (jämviktsläget) är farten maximal, och kraften övergår från att vara accelererande
till att vara retarderande (bromsande). Den "byter tecken" och är alltså noll.
c) I läge C är fjädern lika mycket utdragen som den är sammanpressad i läge A. Kraften har
alltså storleken 18 N men är riktad åt vänster.
7.8
a) När fjädern trycks ihop 0,2 m blir dess kraft18 N. Fjäderkonstanten k är alltså
𝑘 =0,2 = 90 𝑁/𝑚18
b) Vi vet att svängningstiden
𝑇 = 2𝜋 ∙ �𝑚𝑘
Frekvensen 𝑓 =1𝑇 är alltså svängningstidens inverterade värde: 𝑓 =𝑇 =1 2𝜋 ∙1 � 𝑘 𝑚 = 1 2𝜋 ∙� 90 1,2 = 1,4𝐻𝑧
7.9 Av figur l framgår att den nedåtriktade resultanten till fjäderkraften och tyngdkraften i det
övre läget är 4N.
Då måste resultanten i det nedre läget också ha storleken 4N, men vara uppåtriktad. Figur 2 visar att fjäderns kraft nu måste vara 10N och riktad uppåt för att resultanten ska bli 4N.
7.10
Svängningstiden är 2s. Då är vinkelhastigheten 𝜔 =2𝜋𝑇 =2𝜋2 = 𝜋 (𝑟𝑎𝑑/𝑠)
Dessutom är massan m = 0,6 kg och amplituden A = O, 1 m.
a) Maximala farten är:𝜔 ∙ 𝐴 = 𝜋 ∙ 0,1 ≈ 0,31𝑚/𝑠
b) Maximala accelerationen inträffar i vändlägena, där den är 𝐴 ∙ 𝜔2
Kraften i dessa lägen är då lika med: 0,6 · 0, 𝑙 ∙ 𝜋 = 0,59 𝑁
Kommentar: Man kan också utnyttja att fjäder konstanten är 𝜔2 = 5,9 N/m.
Kraften i ett vändläge är fjäderkonstanten gånger fjäderns längdändring, som där är lika med amplituden.
c) Accelerationen och fjäderkraften är proportionella mot elongationen. Vi har sett att 𝑎 = −𝜔2∙ 𝑦 där y är elongationen. Om y är 0,05 m blir accelerationen lika med −𝜋2∙ 0,05 = −0,49 𝑚/𝑠2
Dess storlek (belopp) är alltså 0,49 𝑚/𝑠2
7.11 a)
När vagnen är i sitt jämviktsläge påverkas den av två lika stora fjäderkrafter, som tar ut varandra. Vi antar att fjädrarna drar åt var sitt håll med kraften F. Om vagnen flyttas sträckan x åt höger blir den vänstra fjäderns kraft 𝐹 + 𝑘 · 𝑥,
(k = 30 N/m). Samtidigt minskar kraften från den högra fjädern lika mycket, med k· x, alltså och den blir 𝐹 − 𝑘 · 𝑥. Den resulterande kraften drar åt vänster och har storleken
𝐹 + 𝑘𝑥 − (𝐹 − 𝑘𝑥) = 2𝑘𝑥
b) Vagnen "känner" att fjäderkonstanten är 𝑘 =0,01 = 60𝑁/𝑚0,6 Svängningstiden 𝑇 = 2𝜋 ∙ �𝑚𝑘 = 2𝜋 ∙�1,2 60 ≈ 0,89𝑠 7.12 Fjäderkonstanten k får vi ur jämviktsvillkoret 𝑚𝑔 = 𝑘𝑏 ≫ 𝑘 =𝑚𝑔𝑏
Detta uttryck sätter vi in i formeln för svängningstiden:
𝑇 = 2𝜋 ∙ �𝑚𝑘 = 2𝜋 ∙ �𝑚𝑔𝑚 𝑏 = 2𝜋 ∙ �𝑚𝑏𝑚𝑔 = 2𝜋 ∙�𝑏𝑔 7.13 Vinkelhastigheten är 𝜔 =2𝜋 𝑇 = 2𝜋 ∙ 3600 𝑇 = 120𝜋 (𝑟𝑎𝑑/𝑠) a) Hastighetens maximum är 𝜔 ∙ 𝐴 = 120𝜋 ∙ 0,04 = 15𝑚/𝑠
b) Den maximala accelerationen är 𝜔2∙ 𝐴 och maximala kraften 𝐹𝑚𝑎𝑥=m∙ 𝑎𝑚𝑎𝑥 𝐹𝑚𝑎𝑥 = 0,6 ∙ 1202 ∙ 𝜋2∙ 0,04 ≈ 3,4 ∙ 103 𝑁 = 3,4𝑘𝑁
7.14
a) I "parallellfallet" sträcks båda fjädrarna1cm och sammanlagda fjäderkraften blir
I "seriefallet" drar fjädrarna med lika stora krafter åt var sitt håll i föreningspunkten.
Förlängningarna blir lika stora. Den sammanlagda förlängningen är 1cm. Varje fjäder förlängs alltså 0,5 cm. Kraften som behövs för detta är
𝐹2 = 𝑘𝑥 = 40 ∙ 0,05 = 0,2𝑁
b) När 1cm förlängning kräver 0,8 N är fjäderkonstanten 80 N/m. I "serie"-fallet kräver exakt
lika mycket förlängning 0,2N som motsvarar en fjäderkonstant på 20N/m
Eftersom 𝑇 = 2𝜋 ∙ �𝑚𝑘 får vi följande: 𝐼 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙𝑙𝑓𝑎𝑙𝑙𝑒𝑡 𝑇 = 2𝜋 ∙ �80 = 0,7𝑠 1
𝐼 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒𝑓𝑎𝑙𝑙𝑒𝑡 = 2𝜋 ∙ �20 = 1,4𝑠 1
7.15
Kraften F på stenen är proportionell mot avståndet r till jordens centrum: 𝐹 = 𝐾 ∙ 𝑟 (l)
𝑚𝑔 = 𝐾 ∙ 𝑅 (2)
Här betyder m stenens massa, R jordradien och K en konstant. Genom att dividera (l) med (2) får vi:
𝐹 𝑔 =
𝑟
𝑅 varifrån med korsmultiplikation får vi att 𝐹 = 𝑚𝑔
𝑅 ∙ 𝑟
Kraften som verkar på stenen under resan genom hålet är en kraft som vill återföra stenen till jämviktsläget med"fjäderkonstanten"
𝑘 =𝑚𝑔𝑅
Rörelsen är en harmonisk svängning med svängningstiden:
𝑇 = 2𝜋 ∙ �𝑚𝑘 = 2𝜋 ∙ �𝑚𝑔𝑚 𝑅
= 2𝜋 ∙ �𝑅𝑔 = 2𝜋 ∙�6,38 ∙ 106
som är ungefär 84minuter
Stenen dyker alltså upp igen efter 84 min.
Enkel resa tar 42 min, vilket faktiskt också gäller om hålet borras "snett", t ex från Stockholm till London eller från Stockholm till Beijing. Se Lasse Samuelssons ”PIM” film på lsswebb.
7.16
a) Anta att fjäderns förlängning är 𝑠0 när vikten hänger i jämvikt. Då gäller att
𝑘 ∙ 𝑠0 = 𝑚𝑔. Energin i fjädern är då 𝐸 = 𝑘 ∙ 𝑠202
När fjädern dras ut sträckan y blir den nya förlängningen 𝑠 = 𝑠0 + 𝑦 och fjäderns energi blir då : 𝑘 ∙ (𝑠0+ 𝑦)2 2 Ö𝑘𝑛𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛 ä𝑟: 𝑘 ∙ (𝑠02+ 𝑦)2 −𝑘 ∙ 𝑠2 = 𝑘𝑠02 0 ∙ 𝑦 +𝑘 ∙ 𝑦 2 2 = 𝑚𝑔 ∙ 𝑦 + 1 2 𝑘 ∙ 𝑦2 OBS. Om vi faktoriserar uttrycket
𝑦 ∙ �𝑚𝑔 +𝑘𝑦2 �
𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑛 (𝑚𝑔 +𝑘𝑦2 )
kan uppfattas som medelkraften när den sträcker fjädern sträckan y
b) Lägesenergin i tyngdkraftfältet avtar med 𝑚𝑔 · 𝑦
c) Nettotillväxten av energin hos systemet fjäder och vikt, alltså det arbete som krävs blir
𝑚𝑔𝑦 +𝑘𝑦2 − 𝑚𝑔𝑦 =2 𝑘𝑦22
Den första delkraften får man ganska enkelt genom viktens tyngdkraft. Den resterande delen av medelkraften multiplicerad med y ger det sökta arbetet. Se även figuren, där arbetet fås som "area under grafen"!
7.17
a) Perioden ändras inte eftersom svängningstiden inte beror på amplituden om
svängningsrörelsen är harmonisk. b) 𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝜔 ∙ 𝐴 𝑠𝑜𝑚 𝑚𝑒𝑑𝑓ö𝑟 𝑎𝑡𝑡 𝑣𝑚𝑎𝑥 ℎ𝑎𝑙𝑣𝑒𝑟𝑎𝑠 c) 𝐸 = 12 ∙ 𝑚 ∙ 𝜔2∙ 𝐴2 𝑠𝑜𝑚 𝑚𝑒𝑑𝑓ö𝑟 𝑎𝑡𝑡 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑠𝑘𝑎𝑟 𝑡𝑖𝑙𝑙 𝑒𝑛 𝑓𝑗ä𝑟𝑑𝑒𝑑𝑒𝑙 d) 𝑎𝑚𝑎𝑥 = 𝜔2∙ 𝐴 𝑠𝑜𝑚 𝑚𝑒𝑑𝑓ö𝑟 𝑎𝑡𝑡 𝑎𝑚𝑎𝑥 ℎ𝑎𝑙𝑣𝑒𝑟𝑎𝑠 7.18
Totala energin är summan av rörelseenergin 0,7 J och potentiella energin 0,9 J i samma ögonblick, alltså 1,60 J. jämviktsläget har vi endast
rörelseenergi, och om farten där betecknar vi v kan vi skriva
𝑚𝑣2
2 = 1,6𝐽 𝑜𝑐ℎ 𝑟ä𝑘𝑛𝑎 𝑢𝑡 𝑣 =� 2 ∙ 1,6
0,8 = 2𝑚 𝑠⁄
7.19 Vi betecknar den potentiella energin med 𝐸𝑝 och den kinetiska (rörelse) energin med 𝐸𝑘 𝐸 = 𝐸𝑃+ 𝐸𝑘
Eftersom svängningsrörelsen är harmonisk är 𝐸𝑝 = 𝑘 ∙ 𝑦
2 2
där k är ju fjäderkonstanten och y är ju elongationen som vi är vana vid nu. Vidare är
𝐸 = 12 ∙ 𝑘𝐴2(𝐼 𝑣ä𝑛𝑑𝑙ä𝑔𝑒𝑛𝑎 ä𝑟 𝑗𝑢 𝑟ö𝑟𝑒𝑙𝑠𝑒𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑛 𝑛𝑜𝑙𝑙. )( 𝐴 ä𝑟 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒𝑛) 𝑂𝑚 𝑦 = 𝐴2 𝑓å𝑟 𝑣𝑖 𝑎𝑡𝑡 𝑑𝑒𝑛 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑛 𝐸𝑝 =12 ∙ 𝑘 ∙ �𝐴
2 4 �
Den kinetiska energin blir då 𝐸𝑘 = 𝐸 − 𝐸𝑝 = 𝑘𝐴 2 2 − 𝑘𝐴2 8 = 1 2 ∙ 𝑘 ∙ 𝐴2∙ �1 − 1 4� = 3 4 𝐸 Bråkdelen är alltså 3/4. 7.20
En trådpendel med längden l har svängningstiden 𝑇 = 2𝜋 ∙ �𝑔𝑙
Vi löser ut l och sätter in T = 2s och g=9,82m/𝑠2 𝑙 = �2𝜋�𝑇 2∙ 𝑔 = 0,994𝑚
7.21
Antalet sekunder på ett dygn är 24∙ 3600 =86 400.
a) Uppe på berget utför pendeln 86 400-26=86376 hela svängningar på 86 400 sekunder.
Svängningstiden är då 𝑇𝑏𝑒𝑟𝑔 =8640086376 = 1,0003 𝑠
b)Pendelns längd l är lika i de båda fallen
𝑇ℎ𝑎𝑣 = 2𝜋 ∙ �9,807 𝑜𝑐ℎ 𝑇𝑙 𝑏𝑒𝑟𝑔 = 2𝜋 ∙ �𝑔 𝑙 𝑏𝑒𝑟𝑔
𝑇ℎ𝑎𝑣 𝑇𝑏𝑒𝑟𝑔 = � 𝑔𝑏𝑒𝑟𝑔 9,807 ≫ 𝑔𝑏𝑒𝑟𝑔 = 9,807 ∙ � 1 1,0003� 2 = 9,802 𝑚 𝑠� 2 7.22
Vi kan betrakta kolsyreisens rörelse som en pendelrörelse med pendelns längd, 0,5m
𝑇 = 2𝜋�𝑔 𝑜𝑐ℎ 𝑓 =𝑙 1𝑇 = 1 2𝜋� 𝑙𝑔
= 1
2𝜋� 0,59,82
= 0,7𝐻𝑧
7.23 Vi kallar utslagsvinkeln i vändläget 𝛼0 Se figuren!
Eftersom hastigheten är noll i just vändlägena, är centripetalaccelerationen också noll. Det betyder att vi inte har någon centripetalkraft. Då måste spännkraften S i tråden och tyngd kraftens komposant längs radien 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼0 vara lika stora och motsatt riktade, alltså ta ut varandra. Den resulterande kraften på pendelkulan i ett vändläge är alltså tyngdkraftens komposant
vinkelrätt mot pendeltråden. Dess storlek är 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛 𝛼0
Accelerationens belopp (storlek) är då 𝑔𝑠𝑖𝑛 𝛼0 𝛼0 som sagt är maximala utslagsvinkeln
7.24
a) I formeln för svängningstiden byt m mot 2m. Då ser ni att om man fördubblar massan hos
en fjäder pendel, ökar svängningstiden med faktorn √2 svängningstiden enligt sambandet
𝑇 = 2𝜋 ∙ �𝑚𝑘
är proportionell mot kvadratroten ur massan när fjäderkonstanten k är känd. Svaret blir här √2 ≈ 1,4𝑠
b) Trådpendelns svängningstid beror inte av massan.(massan finns inte med i formeln!) Alltså
7.25 I ett ögonblick när utslagsvinkeln är 𝛼 (𝑎𝑙𝑓𝑎) utgörs centripetalkraften av resultanten till
spännkraften S och tyngdkraftskomposanten i trådens riktning: Med lite matte:
𝑚 ∙𝑣2
𝑙 = 𝑆 − 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼 ≫ 𝑆 = 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑚𝑣2
𝑙 (𝑠𝑎𝑚𝑏𝑎𝑛𝑑 1) 𝑉𝑖 𝑚å𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑡𝑡𝑟𝑦𝑐𝑘𝑎 𝑚𝑣𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑛 𝑚𝑒𝑑 𝑠𝑎𝑘𝑒𝑟 𝑠𝑜𝑚 𝑣𝑖 𝑣𝑒𝑡2 Vi räknar kulans rörelseenergi vid den aktuella utslagsvinkeln.
Vi låter kulans lägesenergi när den är rakt under upphängningspunkten vara noll, Se figuren! När kulan förs ut till ett vändläge blir dess lägesenergi
𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ℎ0
ℎ0 = 𝑙 − 𝑙𝑐𝑜𝑠𝛼0 enligt figuren
𝑂𝑚 𝛼 < 𝛼0 ä𝑟 𝑙ä𝑔𝑒𝑠𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑛 𝑚𝑔ℎ ( ℎ = 𝑙 − 𝑙𝑐𝑜𝑠𝛼) När kulan släpps från ett vändläge säger energilagen att 𝑚𝑔ℎ0 = 𝑚𝑔ℎ +𝑚𝑣
2 2 ≫
𝑚𝑣2
2 = 𝑚𝑔(ℎ0− ℎ) = 𝑚𝑔𝑙(𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝛼0) Dividerar med l och multiplicerar med 2
𝑚𝑣2
𝑙 = 2𝑚𝑔(𝑐𝑜𝑠𝛼 − cos 𝛼0) 𝑠𝑜𝑚 𝑣𝑖 𝑠ä𝑡𝑡𝑒𝑟 𝑖𝑛 𝑖 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒𝑙𝑛 𝑓ö𝑟 𝑆 (𝑠𝑎𝑚𝑏𝑎𝑛𝑑 1) 𝑆 = 𝑚𝑔(3𝑐𝑜𝑠𝛼 − 2𝑐𝑜𝑠𝛼0)
7.26 Vi betraktar bilen som en harmonisk oscillator. Tyngdkraften av personen orsakar en
hoptryckning på 4cm och då kan vi räkna ut fjäderkonstanten.
a)
𝑇 = 2𝜋 ∙ �𝑚𝑘 𝑜𝑐ℎ 𝑓 =𝑇 =1 1 2𝜋 ∙ �𝑚𝑘
= 1
2𝜋 ∙ �1,8 ∙ 102 ∙ 1043
= 0,53𝐻𝑧
b) Frekvensen visar hur mycket bilen svänger upp och ner på en sekund. Hastigheten blir då
20𝑚 ∙ 0,53𝑠−1= 10,6 𝑚 𝑠⁄ (38 𝑘𝑚 ℎ� )
OBS. Det kan hända att även vid halva den farten (19km/h) händer samma sak.
7.27 a)
Vagnens rörelseenergi omvandlas till potentiell energi i fjädern, alltså 𝑚𝑣2
2 = 𝑘𝑎2
2
Om en konstant kraft F ska uträtta det arbete som förmedlar omvandlingen, måste vi ha att 𝐹 ∙ 𝑎 =𝑘𝑎2 eftersom bromssträckan är 𝑎2
Det betyder att 𝐹 =𝑘𝑎2
b)
Under inbromsningen utför vagnen en fjärdedels harmonisk svängning. Den har hela tiden kontakt med fjädern och uppför sig som om den vore fäst vid den.
𝜏 =14 ∙ 2𝜋 ∙�𝑚 𝑘 = 𝜋 2 ∙� 𝑚 𝑘 (𝜏 𝑢𝑡𝑙ä𝑠𝑒𝑠 𝑡𝑎𝑜 𝑜𝑐ℎ 𝑏𝑒𝑡𝑒𝑐𝑘𝑛𝑎𝑟 𝑡𝑖𝑑) c)
Rörelsemängdens ändring är m· v. Om en konstant kraft F ska åstadkomma denna ändring ska dess impuls uppfylla villkoret
𝐹 ∙ 𝜏 = 𝑚𝑣 ≫ 𝐹 =𝑚𝑣𝜏
𝐹 =𝑚𝑣𝜏 = 𝑚𝑣 ∙𝜋 ∙2 � 𝑘𝑚 =𝜋 ∙2 �𝑚2𝑣𝑚2∙ 𝑘 =𝜋 ∙2 �𝑚𝑣2𝑘 Enligt ekvationen under punkt a) är 𝑚𝑣2 = 𝑘𝑎2 och vi får då 𝐹 =𝜋 ∙2 �𝑘𝑎2𝑘 =2𝑘𝑎
