VTInotat
Nummer: T 45 Datum: 1988-11-09
Titel: Några olika metoder för att avgöra om olycksantalet
förändrats efter åtgärd
Författare: Ulf Brüde och Jörgen Larsson
Avdelning: Trafikavdelningen Projektnummer: 72327-0 och 71012-9
Projektnamn: Reducering av saltvägnätet i Kopparbergs län. Handbok i statistik.
Uppdragsgivare: Vägverket och Egen FoU
Distribution; ;Ei/nyförvärv/begrånsad/
. Pa: §81 01 Linköping. Tel:_013-2Q40__0Q. Telex 50125 VTISGIS. Telefax 013-14 14 36
Inst/fatet Besok. Olaus Magnus vag 3Z LInkopIng
(db
1
Nedan redovisas några olika metoder för att avgöra huruvida olycksantalet förändrats (antingen minskat eller ökat) efter
åtgärd. Metoderna förutsätter egentligen att de åtgärdade
objekten utvalts slumpmässigt. Om objekten i stället utvalts pga stora olycksantal är det nödvändigt att korrigera för den
sk regressionseffekten. Man får då använda andra utvärderinga-metoder än de som redovisas här.
Beskrivna metoder avser genomgående dubbelsidiga test. Om så önskas kan metoderna enkelt modifieras till att gälla enkel-sidiga test.
A. Prediktionsintervall som inte beaktar osäkerheten i antalet
olyckor före åtgärd (sid 2-3)
B. Prediktionsintervall som beaktar osäkerheten i antalet
olyckor före åtgärd (sid 4-5)
C. 12-test med försöks- och kontrollgrupp (sid 6-7)
D. Konfidensintervall för åtgärdseffekt med utnyttjande av
A. PREDIKTIONSINTERVALL SOM INTE BEAKTAR OSÄKERHETEN I ANTALET OLYCKOR FÖRE ÅTGÃRD
Exemgel:
Under föreperioden har det inträffat 25 olyckor. Om ingen åtgärd
vidtages eller om åtgärden inte har någon effekt erhålls ett
95 %-igt prediktionsintervall för en lika lång efterperiod som
25 i 1,96 - {25 d V 8 15,2 - 34,8. Se bilaga, tab 1 (vänstra delen).
Om föreperioden omfattar 5 år och efterperioden 1 år erhålls ett
95 %-igt prediktionsintervall för efterperioden som
§2 i 1,96 . §2 d v 3 0,6 - 9,4. Se bilaga, tab 2 (vänstra
delen).Om man i stället önskar 99 %-iga prediktionsintervall utbyts konstanten 1,96 mot 2,58. se bilaga, tab 1-2 (vänstra delen).
Om trafikarbetet eller den allmänna olycksutvecklingen
för-ändrats så att man kan förvänta sig k % fler eller färre olyckor
under efterperioden ersätts "25" i de ovanstående prediktions-intervallen genomgående med "25 - (1 + k/100)".
Användning: Om det observerade olycksutfallet under efterperio-den (d v s efter åtgärd) ligger utanför prediktionsintervallet
(antingen under eller över) dras slutsatsen att åtgärdseffekten
är signifikant # 0. Se dock anmärkningen nedan.
Anmärkning: Som framgår vid jämförelse med metod B (se sid 4-5 och tabellerna i bilagan) är metod A alltför grov (ger för snäva
prediktionsintervall) då man har lika långa före- och efter-perioder. Och särskilt då antalet olyckor under föreperioden är
litet. Däremot fungerar metod A ganska bra då föreperioden är 5 gånger längre än efterperioden.
Vid fallet med lika långa före- och efterperioder kan metod A
förbättras väsentligt om osäkerheten multipliceras med J? d v 8
att t ex 25 i 1,96 - (§3 ersätts med 25 i 1,96- 2- 25.
Vid fallet med 5 gånger längre föreperiod än efterperiod för-bättras metod A om osäkerheten multipliceras med 41,2.
B. PREDIKTIONSINTERVALL SOM BEAKTAR OSÃKERHETEN I ANTALET OLYCKOR FÖRE ÅTGÅRD
Exempel:
Under föreperioden har det inträffat 40 olyckor. Föreperioden är 5 år och efterperioden 1 år. 99 %-igt prediktionsintervall önskas för efterperioden om inga åtgärder vidtages eller om
åt-gärden inte har någon effekt.
Undre prediktionsgränsen söks. Sannolikheten för 40 olyckor före
och 0 olyckor efter, betingat totala antalet olyckor före och efter är n= 40 + 0 = 40, erhålls som (binomialfördelningen ut-nyttjas)
40 1 0 5 40 _ 0,01 _
(O J . (-6) . [g] - 0,00068 < -2- - 0,005.
Något extremare resultat åt detta hållet existerar inte betingat n = 40. 0 ingår inte i prediktionsintervallet.
Om i stället 40 olyckor före och 1 olycka efter. Sannolikheten
för att (om ingen åtgärdseffekt), betingat n = 40 + 1 = 41, få detta utfall eller ännu extremare är P(40 före och 1 efter) +
P(41 före och 0 efter) =
1 0 5 41
[-] . (-J = 0,00465 + 0,00057 =
Gl] - (-81 - (3 + [31] e 6
= 0,00522 > 0,005. Den undre prediktionsgränsen blir således 1.
Övre prediktionsgränsen söks. Det visar sig att P(40 före och 19
efter) + P(39 före och 20 efter) +...+ P(O före och 59 efter) <
0,005 medan P(40 före och 18 efter) + P(39 före och 19 efter) +
...+ P(O före och 58 efter)> 0,005. Övre prediktionsgränsen blir således 18.
Vid fallet med lika långa före- och efterperioder ersätts
för-1" "N
R u n
Framräknade prediktionsintervall redovisas i bilaga, tab 1-2 (högra delen).
Om trafikarbetet eller den allmänna olycksutvecklingen för-ändrats finns det möjlighet att även beakta detta.
c. xz-TEST MED FÖRSÖKS- OCH KONTROLLGRUPP Exempel:
Godtycklig längd på före respektive efterperioden. Före Efter Totalt
0 E 0 E 0
Försök 226 229,7 69 65,3 295 Kontroll 347 343,3 94 97,7 441 Totalt 573 163 736
O = observerade olycksantal
E = förväntade olycksantal om åtgärden inte har någon effekt, vilket är detsamma som att antalet olyckor före och efter
åtgärd fördelar sig på samma sätt efter försöks- och
kontrollgrupp som totala antalet olyckor. T ex har 229,7
. . 295
erhallits som.7§§ - 573.
Det erhållna värdet på testvariabeln blir
2 = 2 (0-E)2 = (226-229,7)2 + (347-343,3 2 + (69-65,3)2 +
1
E
229,7
343,3
65,3
_ 2
+ iåâ73;Lll = 0,45
vilket understiger det kritiska värdet (1 f.g) 3,84 på risknivån 0,05 och då naturligtvis även 6,63 som är motsvarande kritiska värde på risknivån 0,01.
Slutsatsen blir således att åtgärdseffekten inte är signifikant
# 0. Hade däremot det observerade värdet på x? varit större än
kritiskt värde hade man dragit slutsatsen att åtgärdseffekten är signifikant # 0.
Anmärkning: xz-testet förutsätter att samtliga förväntade olycksfrekvenser (E) 2 5. Om så inte är fallet kan i stället Fishers exakta test användas. Enkelt uttryckt innebär detta att man nyttjar hypergeometriska sannolikhetsfördelningenbetingat
D. KONFIDENSINTERVALL FÖR ÅTGÄRDSEFFEKT MED UTNYTTJANDE AV FÖRSÖKS- OCH KONTROLLGRUPP
Före Efter
Försök X1 Y1
Kontroll X2 Y2
Punktskattning för olycksförändringen erhålls som
varför åtgärdseffekten punktskattas som (l-â) - 100 %.
Observera att ett positivt värde på åtgärdseffekten, beräknat på
detta sätt, svarar mot en olycksminskning och det motsatta för ett negativt värde.
Gauss approximationsformel för relativa varianser ger att
Y Y
V2 ^ z V2 _1
2 -2 g
C ((1) C [X1] + CV [X2]
z cv2(y1) + cv2(x1) + cv2(Y2) + cv2(x2) = _EiiXil2 +
[E(Y1)]02(x ) = . n = E(Y ) E(X )
+ . + [E(X2)] (Poissonford.) [E(Y1)] + ... + [E(X2)]
1 1 1 1
:= E(Y1) + E(X1) + E(Y2) + E(X2)
Var(â) [E(â)]2
A A 1 1 1 1
var(a) = az - [- + - + - + -']
Yl X1 Yz X2
Vidare gäller att var(1-â) = var(â)
varför ett 95 %-igt konfidensintervall för åtgärdseffekten
blir
l 1
1-ai1,96-a'\J-Y-l X1
Om 99 %-igt konfidensintervall Önskas ersätts 1,96 med 2,58. För det numeriska exemplet i avsnitt C erhålls det 95 %-iga
konfidensintervallet - 13 % i 40 %
Åtgärdseffekten
(olycksökningen)
är inte signifikant # O
eftersom konfidensintervallet innefattar nollan.
Anmärkning: Beräkningarna förutsätter att X1, X2, Y1 och Y2 inte
är alltför små. Förmodligen bör storleksordningen för var och en
Bilaga
Tabell 1 Prediktionsintervall gällande då före- och efter-perioderna är lika långa.
Prediktionsintervall för antal olyckor i efterperiod Ant ol. OLFOREiinOLFORE Binomialfördelningen i
före-period 95%-igt 99%-igt 95%-igt 99%-igt
1 0.0 - 3.0 0.0 - 3.6 0 - 7 0 - 10 2 0.0 - 4.8 0.0 - 5.6 0 - 9 0 12 3 0.0 - 6.4 0.0 - 7.5 0 - 11 0 14 4 0.1 - 7.9 0.0 - 9.2 0 - 12 0 - 16 5 0.6 - 9.4 0.0 - 10.8 0 - 14 0 - 18 6 1.2 - 10.8 0.0 12.3 1 - 16 0 19 7 1.8 - 12.2 0.2 - 13.8 1 17 0 - 21 8 2.5 - 13.5 0.7 - 15.3 2 - 19 1 - 23 9 3.1 - 14.9 1.3 - 16.7 2 - 20 1 - 24 10 3.8 - 16.2 1.8 - 18.2 3 - 22 1 - 26 11 4.5 - 17.5 2.4 - 19.6 3 - 23 2 - 27 12 5.2 - 18.8 3.1 - 20.9 4 - 24 2 - 29 13 5.9 - 20.1 3.7 22.3 5 - 26 3 - 30 14 6.7 - 21.3 4.3 - 23.7 5 - 27 3 - 32 15 7.4 - 22.6 5.0 - 25.0 6 - 28 4 - 33 16 8.2 - 23.8 5.7 - 26.3 6 - 30 4 - 35 17 8.9 - 25.1 6.4 - 27.6 7 - 31 5 - 36 18 9.7 26.3 7.1 - 28.9 8 - 32 5 - 38 3 19 10.5 - 27.5 7.8 - 30.2 8 - 34 6 - 39 2 20 11.2 28.8 8.5 - 31.5 9 - 35 7 40 å
21
12.0 - 30.0
9.2 - 32.8
10 - 36
7 - 42
'
22 12.8 31.2 9.9 34.1 10 - 38 8 - 43 23 13.6 - 32.4 10.6 35.4 11 - 39 8 - 45 24 14.4 - 33.6 11.4 - 36.6 12 - 40 9 - 46 25 15.2 - 34.8 12.1 37.9 13 - 41 10 - 47 26 16.0 36.0 12.8 - 39.2 13 - 43 10 - 49 27 16.8 - 37.2 13.6 - 40.4 14 - 44 11 - 50 28 17.6 - 38.4 14.3 - 41.7 15 - 45 12 - 51 29 18.4 39.6 15.1 - 42.9 16 47 12 - 53 30 19.3 40.7 15.9 - 44.1 16 - 48 13 - 54 40 27.6 - 52.4 23.7 - 56.3 24 - 60 20 - 67 50 36.1 63.9 31.8 - 68.2 32 72 27 - 80 60 44.8 75.2 40.0 - 80.0 40 - 84 35 - 92 70 53.6 - 86.4 48.4 - 91.6 48 96 42 - 104 80 62.5 - 97.5 56.9 - 103.1 57 - 107 50 - 117 90 71.4 108.6 65.5 - 114.5 65 - 119 58 - 129 100 80.4 - 119.6 74.2 125.8 74 - 130 66 140 110 89.4 130.6 82.9 137.1 82 142 75 152 120 98.5 - 141.5 91.7 - 148.3 91 - 153 83 - 164 130 107.7 - 152.3 100.6 - 159.4 100 - 164 91 - 175 140 116.8 - 163.2 109.5 - 170.5 109 - 175 100 - 187 150 126.0 - 174.0 118.4 - 181.6 118 - 186 108 - 199Prediktionsintervall för antal olyckor under 1 efterår
givet antal inträffade olyckor under 5 föreår?
Tabell 2
Ant ol. OLFORE/Si ZJOLFORE/S under
5 föreår 95%-igt 99%-igt
Prediktionsintervall för antal olyckor 1 år efter
i- H- u-al -I i-Il -I m p r H o m m q m m wa k -I o 16 I k øk øk øøøo o o o q q q q m m m m m m a sp b wwwwwt -A H ° d åH C D U N k O O N wO Q ©H C D 0 b H O J J > H Q W O O N H O N H Q Q O O N N C D W C D W C D N U ' I GJ U ' I N O I I I I I H 0 I |...| U.) k o m m e n t a t o r -I H H o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o l |_n O N (. A J O N O h C D N Q N N J N W U ' I N l -' O C D Q O N U ' I ub U O N i -* O OO O O O O O O O OO O O O O O O O I k o k o k o o o o o o o q q q m m m m m b b p wwN N F -I I I-Il -* l-l o o o o -o o m wo o m wo o m H o o po m wa o m o m I -A m o n I i-Il -l H H H q uH m q uxøN wwo xzn l -I o o m w I I I I .-1 H k o m Q m øå( A J I -* O O O O O O O O O O O O O O O O O O 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I |._| U1 k o m m e -k o m l -I s un t -I o o q o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o I
-* Resultaten gäller även då t ex efterperioden är 2 år. Binomialfördelningen 95%-igt 99%-igt 0 - 2 0 - 2 O - 2 0 - 3 0 - 3 0 - 4 0 - 3 0 - 4 0 - 4 0 5 0 - 4 0 - 5 0 - 4 0 - 6 0 - 5 O - 6 0 - 5 0 7 O - 6 0 - 7 0 - 6 0 8 0 - 6 0 - 8 0 - 7 O 8 0 - 7 0 - 9 0 - 7 0 - 9 0 - 8 0 - 9 0 - 8 0 - 10 0 8 0 - 10 0 - 9 0 - 11 0 - 9 0 - 11 0 - 9 0 - 11 1 - 9 0 - 12 1 10 0 - 12 1 10 0 12 1 - 10 0 - 13 1 - 11 0 - 13 1 - 11 0 - 13 1 - 11 0 - 13 1 - 12 0 - 14 1 - 12 0 - 14 1 - 12 1 - 14 3 - 15 1 - 18 4 - 18 3 - 20 5 20 4 - 23 7 - 23 5 - 26 8 - 25 6 - 29 10 - 28 7 - 32 11 30 9 34 13 - 33 10 - 37 14 - 35 12 - 39 16 - 38 13 42 17 - 40 14 - 44 19 - 43 16 47 föreperioden är 10 år och Bilaga