Examensarbete 15 hp Examinator: Mikael Segolsson
Lärarutbildningen, VAL Författare: Christian Olsson
VT 2021 Handledare: Martin Hugo
Tal i bråkform
En kvalitativ och kvantitativ studie om hur
elever i årskurs 8 uppfattar tal i bråkform
Postadress Gatuadress Telefon Fax
Högskolan för Lärande Gjuterigatan 5 036-101000 036-162585
och Kommunikation (HLK) Box 1026
551 11 JÖNKÖPING
HÖGSKOLAN FÖR LÄRANDE OCH KOMMUNIKATION (HLK) Jönköping University
SAMMANFATTNING
Examensarbete 15 hp Inom VAL Lärarutbildningen Vårterminen 2021 Christian Olsson Tal i bråkformEn kvalitativ och kvantitativ studie om hur elever i årskurs 8 uppfattar tal i bråkform
Antal sidor: 29
Tal i bråkform är ett område inom matematiken där elever ofta stöter på problem. Syftet med studien är att undersöka vilka svårigheter och missuppfattningar som finns hos elever i årskurs 8 när det gäller tal i bråkform.
Det tillvägagångsätt som valts är en flermetodsforskning. En kvantitativ metod för insamling av data från en skriftlig diagnos samt en kvalitativ metod för insamling och analys av elevintervjuer. Genom elevernas lösningar på diagnoserna och på deras svar vid intervjuerna fick jag en god insyn i hur de tänker, resonerar och ser på tal i bråkform.
Resultatet visar att tal i bråkform är ett område i matematiken där missuppfattningar och svårigheter förekommer. Vissa elever saknar helt enkelt tillräcklig kunskap och förståelse för tal i bråkform. Missuppfattningar och vanliga fel som förekommer inom tidigare forskning går att finna även i denna studie.
Innehållsförteckning
Inledning ... 4
Bakgrund ... 5
Bråk ... 5
Bråkens fem ansikten ... 5
Minsta gemensamma nämnare ... 6
Kända svårigheter och missuppfattningar ... 6
Att undervisa om tal i bråkform ... 6
Bråk i läroplanen ... 7 Tidigare forskning ... 8 Ämnesidaktisk teori ... 10 Syfte ... 11 Metod ... 12 Metodval ... 12 Urval ... 12 Genomförande ... 12 Analys av data ... 13 Etiska överväganden ... 13
Reliabilitet, validitet och generaliserbarhet ... 14
Resultat ... 15
Bråk i storleksordning ... 15
Bråk som tal ... 16
Bråk som del av antal ... 18
Aritmetik (de fyra räknesätten)... 21
Diskussion ... 25
Metoddiskussion ... 25
Resultatdiskussion ... 25
4
Inledning
Jag har jobbat som lärare i cirka 15 år. Matematik var mitt ingångsämne när jag läste till gymnasielärare vid Växjö universitet. Under mina år som matematiklärare har jag undervisat allt från studiemotiverade gymnasister på naturprogrammet till mindre motiverade elever på grundskolan som trots extra stöd inte lyckas nå betyget E.
Variationen av elever och deras olika personligheter, inlärningsstilar och ambitionsnivåer är fascinerande och är en anledning av många till att yrket som lärare är väldigt intressant. Olika elever har olika svårigheter med olika områden inom matematiken.
Ett ofta återkommande område där elever har svårigheter är bråk. I de internationella undersökningarna TIMMS och Pisa är svenska elevers kunskaper om bråk mindre bra om vi ser det utifrån ett internationellt perspektiv (Kilborn, 2014).
Bråkräkning är ett område som blir mindre prioriterat i grundskolan. En del lärare har en tendens att istället fokusera på decimaltal för att förenkla för eleverna. Genom att
översätta 1
3+ 1
4 till 0,33 + 0,25 = 0,58 med hjälp av miniräknare så slipper läraren och
eleven krångliga regler för bråkräkning. Kortsiktiga lösningar som detta döljer ofta påtagliga svårigheter för stunden, men leder sannolikt till stora problem för eleverna längre fram (Kilborn, 2014).
Bråk används när det gäller att beskriva andelar och är en förkunskap vid procenträkning. Tal i bråkform är också förkunskap för algebra och för hantering av ekvationer. Att elever kan multiplicera, dividera eller förlänga tal i bråkform är nödvändigt på flera av
gymnasieskolans program och grunden ska läggas i grundskolan (Löwing, 2016). För att bättre kunna hjälpa sina elever måste lärare inom grundskolan först veta var de stora svårigheterna finns. Syftet med studien är att undersöka vilka uppfattningar och svårigheter högstadieelever har med bråk. Genom studien hoppas jag få bättre förståelse för hur eleverna tänker och resonerar samt vilka missuppfattningar och fel som är vanliga vid bråkräkning. Genom denna undersökning hoppas jag kunna utveckla min undervisning och ge mina elever bättre förutsättningar för sina framtida matematikstudier.
5
Bakgrund
Kapitlet behandlar vad bråk är, begrepp och svårigheter inom bråk samt vad som står i läroplanen Lgr11 (Skolverket, 2019). Sedan återges vad tidigare forskning visat angående svårigheter med bråk. Avslutningsvis finns ett avsnitt om ämnesdidaktisk teori.
Bråk
Ett bråk definieras som ett uttryck på formen 𝑎
𝑏 där a kallas för täljare och b kallas för nämnare (Kiselman & Mouwitz, 2008). När missförstånd inte kan befaras kan även skrivsättet 𝑎 𝑏⁄ användas. Om täljaren och nämnaren är heltal så är bråktalet ett rationellt tal. Nämnaren får inte vara 0. Alla bråk som behandlas i detta examensarbete är rationella tal.
Bråkens fem ansikten
När man undervisar om bråk är det viktigt att komma ihåg att bråk har många ”ansikten” varav en del återkommer i vardagen. Löwing och Kilborn (2002) beskriver de fem olika bråken enligt nedan.
Bråk som tal. Bråket 2
5 har sin plats på tallinjen. Förlänger vi bråket till 4
10 förstår vi att
talet är detsamma som decimaltalet 0,4.
Bråk som del av en hel. 2
5 av en chokladkaka betyder att kakan delats i 5 lika stora bitar
och att någon tagit 2 av dessa bitar. Med detta följer att 1
5+ 1 5= 2 5
Bråk som del av ett antal. För att kunna ta 2
5 av 15 körsbär så måste du veta hur mycket 1 5
är. För att få 1
5 av 15 delar du in de 15 körsbären i 5 grupper. En av dessa grupper omfattar
då 1
5 av 15, alltså 3 körsbär och 2
6
Bråk som proportion eller andel. Om du har en ritning i skalan 2
5 så anger det inte ett tal. 2
5 anger i detta fall en proportion. Du kan alltså i detta fall inte säga att 2 5 = 1 5+ 1 5 . Att
skalor sällan kopplas samman med bråk beror på att skalor oftare skrivs på formen 1:100 istället för 1
100
Bråk som förhållande. Här uppträder bråket 2
5 som ett förhållande till två saker. Du får 2
kg salt för 5 kr. Förhållandet är 2 till 5 där dessutom 2 och 5 har olika enheter.
I denna studie kommer endast de tre första av bråkens ansikten att beröras. De två övriga förekommer betydligt mindre i grundskolans kurs och utgår därmed.
Minsta gemensamma nämnare
För att kunna addera två tal i bråkform måste man ofta finna en gemensam nämnare. Bland alla positiva gemensamma nämnare finns en minsta, kallad minsta gemensamma
nämnare (mgn). Bråken 3
5 , 5 6 och
1
2 har gemensamma nämnare i 60 och 120. Den minsta
gemensamma nämnare är 30. Bråk som har samma nämnare kallas för liknämniga bråk (Kiselman & Mouwitz, 2008).
Kända svårigheter och missuppfattningar
Det förekommer en hel del återkommande svårigheter och missuppfattningar hos tal i bråkform. McIntosh (2008) skriver att ett vanligt misstag är att en stor nämnare betyder ett stort tal. En del elever tror att 1
5 och 0,5 är uttryck för samma tal och vidare att 2
5 och 2,5
betyder samma sak. En annan missuppfattning är att elever tror att bråk måste göras liknämniga för att kunna jämföras. En elev med god förmåga inser att 3
7 är klart mindre än 1
2 utan att göra bråken till fjortondelar. Vid beräkningar som addition och subtraktion
smittar gärna regeln för multiplikation av sig, det vill säga elever adderar täljare med täljare och nämnare med nämnare (McIntosh, 2008).
Att undervisa om tal i bråkform
För att komma åt och åtgärda de vanligaste missuppfattningarna och svårigheterna med tal i bråkform kan man hitta många bra strategier och pedagogiska knep i litteraturen. Nedan följer några som kan underlätta elevers förståelse av bråk.
Betona innebörden av bråk mer än manipulering. Istället för att direkt börja
manipulera bråk bland annat med de fyra räknesätten bör elever få tid att komma underfund med vad bråk handlar om. Målet bör vara att utveckla elevernas förmåga att resonera proportionellt (Clarke, Roche & Mitchell, 2008).
Betona att bråk representerar tal och använd tallinjen. Det är lätt att glömma att
bråktal representerar tal. Där kan tallinjen vara till stor hjälp. Eleverna ges möjlighet att se hur naturliga tal, tal i bråkform och tal i decimalform är relaterade. Tallinjen underlättar
7
också förståelsen för att det mellan två tal, exempelvis mellan 0,6 och 0,7 eller mellan
1 3 och
1
4, finns oändligt många rationella tal (Clarke, Roche & Mitchell, 2008).
Relatera bråk till referenspunkter. Vid jämförelser av bråk är en vanlig metod att först
göra bråken liknämniga. En annan metod är att använda sig av referenspunkter, metoden går ut på att jämföra bråken med 0, 1
2 eller 1. Jämför man bråken 3 7 och
5
8 ser elever som
använder denna metod tydligt att 3
7 är mindre än 1 2 medan 5 8 är större än 1 2. Ytterligare en
metod är att beakta återstoden som går ut på att jämföra hur mycket som återstår till en hel. Jämför man 6
7 med 7
8 ser man att det saknas 1
7 upp till en hel vid det första bråket och
vid det andra bråket saknas 1
8, vilket är mindre, alltså är 7
8 större (Clarke, Roche &
Mitchell, 2008).
Använd olika modeller för att representera bråk. Använd så mycket olika material och
figurer som möjligt vid övningar med bråk. En del elever kan kanske endast se den runda pizzan framför sig när de tänker bråk. Ska eleverna bli mer flexibla behöver de använda olika figurer och material. Låt eleverna dela upp mängder av olika föremål, använd pizzor, papper och använd olika figurer som trianglar och rektanglar (Mcintosh, 2008; Clarke, Roche & Mitchell, 2008).
För att tydliggöra att bråktal är utbytbara och varför de är användbara är en rektangelmodell effektiv.
Utgå från en rektangel som är indelad i delar, dela sedan in varje del i ytterligare delar så att det tydligt syns att 1
3= 2 6=
3
9 (McIntosh, 2018).
Träna aktiva kunskaper. Många elever saknar aktiva kunskaper om bråkräkning. Elever
har tränats på att tolka och måla uppgifter i boken, men inte i tillräcklig omfattning fått fatta egna beslut som att rita egna figurer eller ännu bättre tänka sig en figur.
Undervisningen har haft fokus på konkretisering av bilder och tolka figurer. Man missar då själva målet med konkretisering, att det ska leda till abstraktion, alltså en förmåga att tänka utan bilder (Kilborn, 2014).
Bråk i läroplanen
I kursplanen för matematik kan vi läsa om syftet med matematik:
Undervisningen i ämnet matematik ska syfta till att eleverna utvecklar kunskaper om matematik och matematikens användning i vardagen och inom olika ämnesområden. (Skolverket 2019, s.54)
8 Genom undervisningen ska eleverna ges förutsättningar att utveckla förtrogenhet med grundläggande matematiska begrepp och metoder och deras användbarhet. (Skolverket 2019, s.54)
När det handlar om bråk kan vi läsa i det centrala innehållet om taluppfattning och tals användning och det kan vara av intresse att se innehållet även för grundskolans tidigare åldrar för att se hur elevernas grundkunskaper succesivt byggs upp. Elever i årskurs 1 – 3 ska arbeta med:
Del av helhet och del av antal. Hur delarna kan benämnas och uttryckas som enkla bråk samt hur enkla bråk förhåller sig till naturliga tal. Naturliga tal och enkla tal i bråkform och deras användning i vardagliga situationer. (Skolverket 2019, s.57)
När eleverna kommer till årskurs 4 – 6 omfattar det centrala innehållet:
Rationella tal och deras egenskaper. Positionssystemet för tal i decimalform. Tal i bråk- och decimalform och deras användning i vardagliga situationer. Tal i procentform och deras samband med tal i bråk- och decimalform. (Skolverket 2019, s.56)
Slutligen när eleverna går i årskurs 7 – 9 ska de arbeta med:
Talsystemets utveckling från naturliga tal till reella tal. Centrala metoder för beräkningar med tal i bråk- och decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digital teknik. (Skolverket 2019, s.58)
Kommentarmaterialet till kursplanen i matematik tar upp att taluppfattning handlar om förståelse för tals betydelse, relationer och storlek, och att dessa är grundläggande för att utveckla elevers kunskaper i matematik. Eleverna får genom sin skolgång möta tal och beräkningar av tal i ett utvidgat talområde, då fördjupas deras förståelse och uppfattning av tal och olika räknesätt (Skolverket, 2017).
För att förklara för eleverna om hur talområdet utökas kan man tänka sig en tallinje med naturliga tal med glest mellanrum. När man sedan inför och utökar med rationella tal, tal i bråkform, fylls tallinjen successivt på. Vidare kan man läsa om att det är viktigt att
eleverna förstår sambandet mellan tal i procent-, decimal- och bråkform. I årskurserna 4–6 tittar man närmare på dessa samband. Innehållet är grundläggande för att eleverna ska kunna utveckla kunskaper om och genomföra beräkningar med procent (Skolverket, 2017).
Tidigare forskning
Löwings (2016) kartläggning av elevers kunskaper vid starten av gymnasieskolan visar på brister inom bråkräkning. Lösningsfrekvensen på uppgifter av typ 3
4− 1 2 för
förstaårsgymnasister var 62%. I årskurs 8 är den på 40%. Multiplikation av bråk av typ
3 4∙
2
5 hade lösningsfrekvens på 52% på gymnasiet jämfört med 39% för årskurs 8. Detta är
uppgifter som högstadieelever ska behärska enligt Lgr11. De svaga resultaten härleder Löwing till bristande förkunskaper. Redan i årskurs 4 visar tester att elever endast har ytliga kunskaper istället för grundläggande förståelse för bråkbegreppet (Löwing 2016).
9
I en studie på 3 skolor utanför Pittsburgh, Pennsylvania undersöker Siegler och Pyke (2013) bland annat bråkräkning för elever i årskurs 6 och årskurs 8. De skriver i början av artikeln att enligt National Assessment of Educational Progress så klarar inte hälften av eleverna i årskurs 8 att placera bråken 2
7 1 12
5
9 i rätt storleksordning. Författarna säger att
många barn har stora svårigheter med att ta till sig kunskaper om bråk trots att de får betydande träning redan i årskurs 3 och årskurs 4. Resultat av deras studie visar att den redan stora skillnaden mellan lågpresterande elever och högpresterande elever i årskurs 6 var ännu större i årskurs 8. Kunskaperna om bråk för lågpresterande elever var densamma för de båda årskurserna medan högpresterande elever visade mycket bättre kunskaper i årskurs 8 än årskurs 6. Detta trots att eleverna haft samma klassrum och använt samma läromedel samt haft samma lärare.
Addition och subtraktion med olika nämnare visade sig vara betydligt svårare för
lågpresterande elever. Vid addition med olika nämnare blev resultatet 12% korrekta svar för lågpresterande (LP) elever jämfört med 74% för högpresterande (HP). Felaktiga strategier som elever använt sig av var att addera eller subtrahera täljare och nämnare som separata heltal (ex. 3
5+ 1 4=
4
9 ). Vid multiplikation med bråktal med samma nämnare var
lösningsfrekvensen högre (75% för LP och 91% för HP) men en del intressanta felaktiga strategier berörs. Ett sådant är strategin att låta nämnaren vara fast som fungerar vid addition (ex. 1
4+ 2 4 =
3
4 ) användes felaktigt vid multiplikation (ex. 3 5∙ 4 5 = 12 5) (Siegler & Pyke 2013).
En grekisk studie visar att majoriteten av elever i årskurs 9 svarar att det endast finns ett tal mellan 3
8 och 5
8. Endast 12,5% svarar korrekt att det finns ett oändligt antal tal mellan
bråken (Vamakoussi & Vosniadou, 2004).
Braithwaite och Tian & Siegler (2017) skriver i sin artikel att många barn har problem att förstå bråkbegrepp och att räkna med bråk. Studien de utfört visar att 45% av eleverna inte kan uppskatta summan av två bråk korrekt. Exempel på uppgifter som eleverna skulle lösa var om summan 5
10+ 1
8 är närmare 1 eller 1
2. De menar att resultaten visar på brister i
begreppsförståelse även med den enklaste räkneoperationen som är addition. Trots år av träning har många elever svag förståelse för bråkräkning. Resultaten är i linje med andra undersökningar som visar på svag begreppsförståelse bland elever i årskurs 8 samt bland lärarstudenter (Braithwaite & Tian & Siegler, 2017).
Harvey (2012) tar upp bristerna i begreppsförståelse bland lärare. I en undersökning på New Zeeland ansåg 27% av de tillfrågade grundskolelärarna att de ansåg sig själva svaga eller mycket svaga som lärare i just bråk. Trots att 85% av lärarna klarade av att placera bråken 3
5, 1 3 och
4
8 i rätt storleksordning kunde endast 30% beskriva hur de med rätt begrepp
10
Lärarstudenter som studerat 3 år i Storbritannien beskriver bråk som ett av sina svagaste ämnen. Studenterna saknar den djupa förståelsen för tal i bråkform vilket gör att 72 av 99 studenter förlänger bråken, innan de utför subtraktionen 2
4− 3
6, till gemensam nämnare 6 12.
Studenterna använder sig av en algoritm istället för egentlig kunskap (Harvey, 2012).
Ämnesidaktisk teori
Ämnesdidaktisk teori inom matematik har enligt Löwing (2004) som syfte att förklara och systematisera vår kunskap om elevers möjligheter och förmåga att tillgodogöra sig
matematiska kunskaper och att bygga upp för dem förståeliga matematiska modeller. Den ämnesdidaktiska teorin förser läraren med verktyg så de kan analysera, planera och utvärdera innehållet i sin egen och andra lärares undervisning.
Löwing (2004) skriver att en svårighet för lärare är att elever har helt olika sätt att ta till sig kunskaper. Elever tänker olika, de har olika förkunskaper, intressen och erfarenheter. En förklaring som passar en elev i en viss ålder passar inte alltid andra elever i andra åldrar. Förklaringar som verkar fungera och som uppfattas korrekt och självklart för en elevgrupp kan för en annan elevgrupp vara otydlig och förvirrande. ”Syftet med den ämnesdidaktiska teorin är därför att beskriva, systematisera och i möjligaste mån förutsäga vad som kan uppfattas av olika elever i olika åldrar och hur den kunskap som behandlas på det sättet, successivt kan transponeras och efter individuella behov göras allt mer stringent och slutgiltig.” (Löwing, 2004, s. 62)
11
Syfte
Syftet med studien är att undersöka vilka uppfattningar och svårigheter elever i årskurs 8 har med tal i bråkform. Fokus är på att hitta de vanligaste felen och missuppfattningarna när det gäller: bråk i storleksordning, bråk som tal, bråk som del av antal samt aritmetik (de fyra räknesätten).
12
Metod
I detta kapitel beskrivs och motiveras den valda metoden för studien samt hur den utformats och genomförts. Kapitlet avslutas med begreppen reliabilitet, validitet samt generaliserbarhet.
Metodval
Studiens syfte och frågeställningar har besvarats med flermetodsforskning.
Flermetodsforskning är när man kombinerar kvalitativa med kvantitativa metoder (Bryman, 2011). Jag använde mig alltså av en kvantitativ metod där elevernas kunskaper kartades. Detta skedde med hjälp av en skriftlig diagnos (bilaga 1). Den kvalitativa metoden bestod i att utvalda elever fick genomgå en intervju för att ge studien en djupare förståelse hur eleverna har resonerat och vilka metoder som de använt. Intervjuerna till denna studie gjordes semistrukturerade. Fördelen med att använda sig av semistrukturerade intervjuer är att
intervjupersonen har stor frihet att utforma sina svar. Intervjuaren kan också anknyta till saker som intervjupersonen sagt och frågorna behöver inte heller komma i någon speciell ordning (Bryman, 2011). Det kändes viktigt för mig att få till en känsla hos eleverna att det mer rörde sig om ett naturligt samtal istället för en intervju så att eleverna vågar vara mer frispråkiga under intervjuerna.
Urval
Skolan som denna studie har utförts på ligger i västra Sverige. Det är en F-9 skola med cirka 450 elever. I studien har 43 elever deltagit som var fördelade på 3 klasser. Klasserna hade ej samma lärare i matematik. Eleverna som deltog går i årskurs 8 och valet av årskurs gjordes utifrån schematekniska aspekter. Urvalet till intervjuerna gjordes i en första fas strategiskt. Diagnoser med ett eller flera intressanta fel lades i en hög. Intervjupersonerna valdes sedan i en andra fas slumpvis ur den högen. Sammanlagt intervjuades 14 elever.
Genomförande
Innan eleverna blev delaktiga i studien var konstruerandet av diagnosen (bilaga 1) första momentet. Diagnosens konstruktion gjordes utifrån flera överväganden. Först själva
utformandet, det vill säga det estetiska utseendet på diagnosen, som är utformad så det liknar arbetsmaterial och diagnoser samt prov som eleverna är väl bekanta med sedan tidigare. Detta för att eleverna skulle känna sig så bekväma som möjligt och att diagnostillfället skulle kännas som en vanlig lektion. Valet av färger och bilder på diagnosen gjordes för att det ska se trevligare ut. Det andra övervägandet var själva omfattningen av diagnosen. Diagnosen bör inte vara för tidskrävande utan eleverna bör vara färdiga efter 20 min. Diagnosen är också uppbyggd med en stigande svårighetsgrad med lättare uppgifter i början. Detta för att förhoppningsvis ge alla elever en positiv start och undvika att lågpresterande elever helt enkelt ger upp direkt. Klarar man av uppgifterna i början ökar självförtroendet att försöka och
13
ta sig an även de uppgifter man anser som svåra. Det sista och den viktigaste delen i
konstruktionen av diagnosen var valet av uppgifter. Uppgifterna är till stor del hämtade från Löwing (2016) och McIntosh (2008).
Innan eleverna påbörjade diagnosen var jag ute i klasserna och informerade om min studie. Jag poängterade att det inte är en diagnos som kommer att betygsättas utan att det enbart är i syfte att hjälpa mig. Jag berättade att några av eleverna även kommer bli kallade till en intervju där deltagandet naturligtvis är helt frivilligt. För att göra intervjuer med minderåriga elever krävs målsmäns samtycke, därför blev även målsmän informerade via ett brev (bilaga 3). Efter genomförd diagnos följde naturligtvis ett rättningsarbete och indelning enligt urvalet ovan.
Intervjuerna genomfördes någon vecka efter diagnostillfället. Intervjupersonen fick se sin diagnos innan intervjun startades. För att ytterligare förtydliga anonymiteten stod även intervjupersonens fingerade namn som jag förklarade att jag skulle kalla intervjupersonen för under intervjun. Jag betonade även att intervjun inte är ett tillfälle för bedömning utan ett avslappnat samtal om matematik i syfte att hjälpa mig. Frågorna ställdes i huvudsak kring de uppgifter eleverna svarat fel på men även kring andra uppgifter. Detta för att jag var
intresserad av strategier som elever använt sig av och att elever inte ska få känslan att de endast får frågor på uppgifter där de svarat felaktigt. Intervjuerna ljudinspelades och längden på intervjuerna varierade mellan 3 – 15 minuter. Fokuset var att få eleverna att med egna ord beskriva hur de resonerat.
Analys av data
När samtliga intervjuer var avklarade följde transkribering av intervjumaterialet. Elevernas svar ordandes sedan upp i ett dokument under rubriker döpta efter uppgifternas nummer. Sedan rangordnades de för studien bästa och mest intressanta elevsvaren under varje rubrik. Slutligen strukturerades uppgifternas nummer med tillhörande elevsvar in under varje kategori som beskrivits i syftet.
Etiska överväganden
Det grundläggande individskyddskravet kan konkretiseras i fyra huvudkrav,
informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet samt nyttjandekravet (Stukát, 2011). Alla elever informerades i förväg om studiens syfte och att deltagandet var frivilligt, även vårdnadshavare informerades enligt informationskravet. I enlighet med samtyckeskravet betonades frivilligheten och att eleverna själva bestämmer över sin medverkan. Eleverna kan även avbryta sin medverkan utan att det får konsekvenser för dem. Samtycke inhämtades från vårdnadshavare då eleverna var under 15 år. Eleverna var vid intervjutillfället väl medvetna och införstådda med att alla uppgifter behandlas konfidentiellt enligt konfidentialitetskravet. Utdrag från vissa intervjuer återfinns i resultatet men då har såklart elevernas riktiga namn
14
ersatts med ett fingerat. När studien är genomförd och godkänd kommer all ljudupptagning att raderas. Enligt det sista kravet, nyttjandekravet, får informationen som samlats in inte lånas ut utan endast användas i denna studie (Stukát, 2011).
Reliabilitet, validitet och generaliserbarhet
Stukát (2011) tar upp tre forskningsmetodiska begrepp som ofta används för att diskutera och bedöma studiers kvalitet. Reliabilitet handlar om mätningarnas noggrannhet dvs. studiens tillförlitlighet. Validitet är studiens giltighet, alltså om man verkligen mäter det som man avser att mäta. Med det tredje begreppet, generaliserbarhet, menas för vem/vilka resultatet gäller för. Kan resultatet generaliseras eller gäller resultatet endast för den undersökta gruppen? Studiens frågeställningar besvaras med hjälp av diagnos samt intervju vilket beskrivits i metodavsnittet ovan. Det styrker studiens validitet.
Reliabiliteten kan påverkas av flera faktorer. Dagsformen och motivationen hos eleverna, det är ju trots allt en frivillig studie. Anstränger sig eleverna tillräckligt vid diagnostillfället eller struntar de i det eller ta det med en klackspark. Elevers felskrivningar kan också påverka resultatet på diagnosen. Vid intervjuerna kan dålig kvalitet på inspelningen vara ett problem. Jag använde mig av Ipad samt laptop och ljudkvaliteten varierar en del men inte i den utsträckningen att det inte går att tyda. En annan faktor som kan påverka reliabiliteten vid intervjuerna är hur frågorna ställs. Betonar jag vissa ord? Hur uppfattar eleverna mitt kroppsspråk? Jag har såklart försökt hålla mig så neutral som möjligt och undvika ställa ledande frågor.
Studien är inte generaliserbar. En liknande studie behöver inte få samma resultat. Orsakerna till detta är att deltagarna i studien är få och att deltagarna går i samma skola. En annan elevgrupp från en annan skola hade kunnat få annat resultat. För att få en mer generell uppfattning om elevernas kunskaper om bråk hade urvalet behövts utökas, exempelvis med elever från olika skolor och olika kommuner. Men syftet i denna studie var inte att ge en generell bild utan att istället ge en inblick i några elevers uppfattningar
15
Resultat
Under denna rubrik följer resultat och analys av diagnosen och av de intervjuer som gjordes i samband med diagnosen i relation till syftet. En del uppgifter vars lösningsfrekvenser var väldigt höga eller väldigt låga är ointressanta för studien och därför omnämns inte dessa uppgifter. Siffror i procent inom parentes är uppgiftens lösningsfrekvens. Fullständig frekvenstabell med olika elevsvar finns som bilaga 2.
Bråk i storleksordning
Uppgifterna 2 och 3 gick ut på att ordna bråken i storleksordning. Uppgifterna testar elevernas förstålelse för täljares och nämnares betydelse för bråkens storlek. Vid uppgift 2 skulle
eleverna välja och ringa in det minsta av två bråktal. A) 𝟏 𝟒 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 1 3 (95%) B) 𝟐 𝟓 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 3 5 (84%) C) 5 4 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝟔 𝟕 (84%)
Lösningsfrekvensen får anses som god. Endast 2 elever av 43 väljer felaktigt bråket 1
3 som det
minsta. Något sämre lösningsfrekvens på B och C. Eleven Harriet hade svarat rätt på 2A men hon blev vid intervjun något osäker.
Intervjuare: Vi tittar på 2A, du har ringat in 1
4 hur har du resonerat?
Harriet: Ritar du upp cirklar så blir ju….äh, en ritat av de fyra. Men då vet jag inte för då blir inte den minst. Eller? Nej det är lika mycket. För du ritar ju fortfarande lika mycket…..lika mycket av båda.
Intervjuare: Blev du osäker nu? Harriet: Ja
Intervjuare: Men att rita upp är väl en bra metod, så rita gärna. Harriet: Där är ju 1/3 (pekar på 1 A). Då känns ju den mindre än ¼. (Harriet ritar upp en cirkel med fjärdedelar), tredjedelen är mindre. Intervjuare: Vilken pizzabit vill du ha?
Harriet: Den är ju mindre, (pekar på ¼). Då var ju mitt svar rätt.
Även om Harriet gjort rätt så visar intervjun på osäkerhet och missuppfattningen att 1:an i täljaren är lika stor i båda bråken. Med hjälp av bilderna och ledande fråga så förstår hon skillnaden på bråken.
På uppgift 3 skulle eleverna placera bråken 3
100 3 5 2 3 12
1000 i rätt storleksordning och börja med
det minsta. Lösningsfrekvensen är 88%. Bortser man från 2 elever som skrev bråken i omvänd ordning så är det 3 elever som gör felet att de placerar 3
100 före 12
1000. Calle var en av
16
Intervjuare: Storleksordning av bråk. Hur har du tänkt?
Calle: Osäker, men den med tusen, trodde jag var störst. Men nu vet jag att den inte är störst. För den är minst.
Intervjuare: Men du trodde den var störst när du skrev diagnosen? Calle: Ja, för att 1000 är det största talet.
Calle trodde vid diagnostillfället att talet 12
1000 är det största bråket tack vare att siffran 1000
står i nämnaren och att det då är större än 3
100. Eleverna verkar ha lite olika strategier för att
bestämma storleken på bråk. Harriet resonerar enligt följande: Intervjuare: Hur vet du att 12
1000 är mindre än 3 100 ?
Harriet: Jo, 1000-delarna är ju mycket mindre än 100-delarna, en pizza i tusen delar är ju väldigt lite. Och 12 såna bitar så blir det väldigt många bitar kvar.
Harriets resonerande fungerar och det blir ju rätt samtidigt som man kan tycka att exemplet med en pizza i tusendelar eller hundradelar är ett intressant val.
Bråk som tal
Tal i bråkform kan skrivas på oändligt många sätt. Uppgift 7 testar elevernas förståelse för att olika bråktal kan representera samma tal, dvs likvärdiga bråk eller utbytbara bråk. Uppgiften testar också elevens taluppfattning samt begreppen förlängning och förkortning. Nedan visas uppgift 7 A-C med lösningsfrekvens.
7) Vad ska stå i rutorna? A) 1
2= 5 (77%) B) 6 9= 18 (58%) C) 2 = 10 15 (53%)
77% av eleverna klarar av att skriva 1
2 som 5
10 . Uppgifterna B och C har sämre
löningsfrekvens. Från intervjuerna lyfter jag fram några intressanta fel.
Intervjuare:Vad ska det stå i rutorna? Vi är alltså på fråga 7A. (Calle har felaktigt svarat att 1
2= 5 4 ).
Du har skrivit siffran 4, varför?
Calle: Det är 1 ifrån där (mellan 1 och 2) och det är 1 ifrån mellen 4 och 5. Intervjuare: På nästa? (Calle har felaktigt skrivit siffran 8)
Calle: Nej, jag kan inte se hur jag tänkte här.
Intervjuare: Okej, hur har du tänkt på C? (Calle har felaktigt skrivit siffran 7). Calle: Det är samma tanke som i A, det är 5 mellan 10 och 5 och 2 + 5 = 7. Även Lisa har använt samma strategi som Calle trots att hon klarar 7A dvs att 1
2= 5 10.
Intervjuare: Vi går vidare och jämför bråk. Vad bör det stå där? (Lisa har lämnat 7B tom). Lisa: Hmmm….Det bör stå 15.
17
Lisa: Det är 3 mellan 6 och 9, och det är 3 mellan 15 och 18.
Strategin som dessa båda elever använder sig av visar att de saknar en del grundläggande förståelse för tal i bråkform. De jämför skillnaden mellan täljare och nämnare för att bestämma om bråken är lika stora. Nästa exempel Birgitta klarar som Lisa att lösa att 1
2= 5 10
men använder sedan en annorlunda strategi:
Intervjuare: Uppgift 7A, förklara hur du tänkt. (Birgitta har svarat rätt, 10) Birgitta: Där är det hälften, så då måste den där nere vara 10.
Intervjuare: Den då, C (eleven har svarat felaktigt 6, dvs att 2
6= 10 15 )
Birgitta: Man tar bort en tredjedel, så man har 2/3 kvar. Nej, jag vet inte om den är rätt. Intervjuare: Njae, du säger man tar bort…
Birgitta: 2/3 tar man bort från 15. Nej då ska det stå en 3:a där (pekar på svaret 6). Intervjuare: För att?
Birgitta: För där har man tagit bort en del av den (från 15 till 10) man har två kvar. Och en del av 3 så är 2 kvar.
Birgitta tänker att från täljaren 10 skiljer det 5 till nämnaren 15. 5 är en tredjedel av 15. Då vänster sidas täljare är 2, som motsvarar två tredjedelar, blir vänster sidas nämnare 3. Denna strategi fungerar för denna uppgift men blir väldigt svårhanterlig vid andra bråk.
Bråk på tallinjen. Uppgift 11 är en tallinje som testar elevernas förmåga att se hur tal i
bråkform och tal i decimalform är relaterade. Eleverna skulle placera ut talen så noga som möjligt på tallinjen.
A) 13 (70%) B) 54 (47%)
Många elever som satte A på rätt plats på tallinjen satte B på samma avstånd från 1 som de satt A från 0. (Se nedan).
På frågan hur de tänkt så förklarar flera av eleverna i intervjuerna att B ska flyttas närmare 1. De anger brist på nogrannhet i sina felaktiga placeringar av B. Det betydet alltså att
lösningsfrekvensen på B bör vara något högre. Andra felaktiga placeringar får exemplifieras av eleven Rakel som placerade A) 1
3 enligt nedan.
Intervjuare: Vi tittar på sista uppgiften, markera på tallinjen så noga du kan. Du har satt din markering där.
18
Rakel: Jag satte den där för 1:an där upp betyder 1 och sen lite till. Intervjuare: Ok, och den andra 5
4 har du inte placerat ut, varför?
Rakel:Nej, jag vet inte riktigt. Intervjuare: Får den plats på linjen?
Rakel: Nej, den ska ju vara vid 5, och 5:an finns ju inte med. Intervjuare: Ok, då förstår jag.
Rakel missuppfattar bråkens värde och förmår då inte placera dem rätt på tallinjen. Hon verkar tro att täljaren 1 och täljaren 5 betyder att de är hela tal och att nämnaren är decimaler, dvs 1,3 och 5,4. Eleven Mateja hade på något sätt missuppfattat själva tallinjen.
Intervjuare: Hur skulle du vilja placera ut talen på tallinjen?
Mateja: En tredjedel skulle jag vilja sätta här (pekar där 0,5 ligger) och 5
4……det är ju mera än en
hel. Menas en hel hela tallinjen då eller?
Intervjuare: Tallinjen slutar inte där pilen är utan fortsätter i all oändlighet. Men här har du nollan och där ligger talet 1. (Intervjuaren pekar på tallinjen).
Mateja: Jaha men då borde ju 5
4 ligga här, (pekar korrekt på ca 1,25). Men då vill jag flytta på 1 3
också.
Intervjuare: Ok, åt höger eller åt vänster?
Mateja: Då flyttar jag den till dit, (pekar på rätt position) så att jag delar in den i 3 lika stora delar mellan 0 och 1.
Intervjuare: Då ser det rätt bra ut tycker jag.
Mateja tror att ”det hela” i detta fall är den uppritade tallinjen men när hon väl får klart för sig hur tallinjen fungerar så löser hon uppgiften korrekt. Hon visar att hon har kunskap att se bråktalens plats på tallinjen.
Bråk som del av antal
Bråk som del av antal är nära kopplat till division och uppdelning i faktorer. Är man väl förtrogen med multiplikationstabellerna underlättar det vid denna typen av uppgifter. Om vi tar talet 20 så kan det delas upp i faktorer på olika sätt, ex som 5 ∙ 4 och 10 ∙ 2. Detta innebär samtidigt att 20 ÷ 4 = 5 osv. Vid beräkning av 1
4 av 20 dividerar man helt enkelt 20 med 4
med resultatet 5. Följaktligen blir 3
4 av 20 alltså 3 ∙ 5 = 15.
Uppgifterna 4, 5, 6 och 9 handlade om att beräkna delar av ett känt antal. Uppgift 4 skulle vara enkel och eleverna skulle beräkna 1
19
Uppgift 5 underlättades av att äpplena var uppritade.
5) Anders använder 4
5 äpplena till en paj. Hur många äpplen är det? (67%)
Liv hade svarat rätt (16) och resonerat enligt följande: ”Där tänkte jag att det är 4 äpplen så
(per rad) och så upp till 4 så blir det 16”. Conny svarade felaktigt med 4 och han förklarade:
Conny: Det är 5 rader så då blir en över, alltså 4.
Intervjuare: Men det står i uppgiften att Anders använder 4
5 .
Conny: Jaha, va fan. Då läste jag nog fel, 16 då alltså.
Båda eleverna använder bilden på äpplena för att lösa uppgiften. Det kan vara värt att nämna att eleven Conny även hade rätt svar på uppgift 6 medans Liv inte hade skrivit något svar på den uppgiften.
Uppgift 6 skiljer sig då eleven behöver vara mer aktiv, här finns ingen figur ritad utan
eleverna får lita på sina kunskaper, rita en egen figur eller tänka sig en figur. Svårighetsgraden ökade också en aning då det var flera beräkningar som behövde göras.
6) I klass 8a finns 24 elever. 2
3 av eleverna åker buss till skolan. 1
4 cyklar och resten går till
skolan. Hur många elever går till skolan? (44%)
I nedanstående elevexempel har Lisa svarat fel med att 4 elever går till skolan. Rätt svar ska vara 2 elever.
Intervjuare: Du har ritat här. (eleven har ritat 24 streck och vissa av strecken är avbockade) Förklara.
Lisa: Jag har ritat upp alla elever, sen tagit bort de som åker buss o cyklar. Intervjuare: Hur då?
Lisa: Dela på 4, 6 st som cyklar sen dela på 3 som är 8. Så 16 som åker buss. Då blev det bara 4 kvar.
Lisa agerar aktivt och ritar upp eleverna. Hon gör också korrekta bråkräkningar men slarvar lite på slutet. Nästa exempel Marita svarade rätt på uppgifterna 4 och 5 men hon svarade inte på uppgift 6.
Intervjuare: Fråga 6, hur tänkte du här, du har inte svarat på denna? Marita: Nej den var svår, jag visst inte hur man tar 2
3 och 1 4 av 24.
20
Intervjuare: Men du har ju klarat uppgift 4 och uppgift 5. Marita: hmm ja äääh, men de var ju lättare tal.
Intervjuare: Jaså? Marita: Ja 1
4 av 100 är ju lätt och äpplena var ju uppritade……men då kan jag kanske denna också.
Intervjuare: Ja, det tror jag. Marita: Jag kan ju ta 1
4 av 24. 24 delat med 4…hahaha, det borde jag kunna…..6!
Intervjuare: Ja det låter väl rimligt, och 2
3 hur gör du då?
Marita: 24 delat på 3……det blir 8. Intervjuare: Japp, fortsätt.
Marita: 2
3 blir 16.
Intervjuare: Och hur löser vi sen uppgiften.
Marita: Jag lägger ihop 16 med 6 som blir 24….nej 22…..så jag svarar att 2 elever går till skolan. Marita visar kunskap om bråk som del av antal på diagnosen. Även under intervjun visar hon kunskap men hon visar samtidigt brister i aktiva kunskaper. Men med lite hjälp på traven så löser hon uppgiften.
Uppgift 9 Hur många minuter är
A) 1 2ℎ =_____min B) 3 4ℎ = _____ min C) 1 2 3ℎ =_____min
Denna uppgift testar också bråk som del av antal. Ett antal som är känt för eleverna, 60 minuter, men som ej står utsatt eller är uppritat. Lösningsfrekvensen på A är som väntat hög, 92%. B har lösningsfrekvensen 72% medans C har 40%. Att B och C skulle uppfattas som svårare var självklart men jag är ändå lite negativt överraskad till den något låga
lösningsfrekvensen. Elevexemplet nedan som är Harriet har svarat rätt på A men fel (55 minuter) på B.
Intervjuare: Vi tittar på minuterna också, hur har du resonerat? Harriet: En timme är ju 60 min, och en halv timme är ju då 30 min. Intervjuare: Och nästa?
Harriet: 3
4 kan man ju säga är samma sak som 75% av 100, så där var jag osäker på om det är 45
eller 55.
Intervjuare: Om detta är klockan hur många minuter är varje del? (Intervjuaren ritar en cirkel med fjärdedelar)
21
Harriet: 25? Nej, vänta nu fattar jag inget. Det är ju en timme där (Harriet pekar på kl 12) då måste det ju vara en kvart dit……Så då måste…
Intervjuare: Ja, så då måste?
Harriet: Så då måste det vara 3 kvart, som är……vänta…45 minuter.
Med lite hjälp på vägen så klarar eleven att lösa uppgiften. Hon kopplar bråktal till procenttal så viss kunskap finns men det är tydligt att den djupa, grundläggande förståelsen för
bråkbegreppet saknas. Avslutningsvis på denna del visas eleven Rakels resonemang som än mer belyser avsaknaden av grundläggande förståelse för bråk.
Intervjuare: Vi tittar på 9A, vad ska man göra där? (Eleven har svarat fel 60 minuter.)
Rakel: Alltså jag vet ju att en timme är 60 minuter, 1 av 2 är 60 minuter, alltså 1 timme av 2 timmar. Intervjuare: Okej, jag fattar hur du tänkt, är det samma på nästa 3
4 timmar? (Eleven har felaktigt
svarat 180 minuter.)
Rakel: Alltså jag vet inte riktigt men 3 timmar av 4, det blir 60 + 60 + 60 = 180min Rakel läser ut bråket 1
2 som 1 av 2 timmar och på samma sätt 3
4 som 3 av 4 timmar.
Resonemanget var väldigt förvånande särskilt med tanke på att hon löst uppgift 4 där hon korrekt räknat ut att 1
4 av 100 godisbilar är 25. Det kan vara klockan och tiden som blev en
försvårande omständighet.
Aritmetik (de fyra räknesätten)
De uppgifter som handlar om aritmetik är 8 och 10. Uppgift 8 gick ut på att eleverna skulle räkna ut följande: A) 3 10 + 4 10 (58%) B) 3 4 − 1 2 (28%) C) 2 3 + 3 4 (16%)
Addition med samma nämnare. Uppgift A testar addition där termerna har samma nämnare.
Lösningsfrekvensen är 58%. Det vanligaste felet på uppgift A är svaret 7
20. Det är 6 elever
(14%) som svarat så. Nedanstående exempel visar en av dessa.
Intervjuare: Jag skulle vilja prata om hur du tänkt på 8A, du kan läsa talet och det du svarat. Ida: 3
10 + 4 10=
7
20 där har jag adderat täljare med täljare och nämnare med nämnare.
Strategin som Ida använder sig av, att addera täljare för sig och nämnare för sig, är ännu vanligare när nämnarna är olika.
Addition och subtraktion med olika nämnare. Uppgift B och C testar elevernas förmåga att
lösa addition och subtraktion med olika nämnare. Dessa uppgifter löser man oftast genom att först göra bråken liknämniga, dvs till gemensam nämnare. Med god taluppfattning och god
22
förståelse för tal i bråkform behövs inte bråken göras liknämniga på uppgift B.
Lösningsfrekvensen på uppgift B är 28% och C har lösningsfrekvensen 16%. Det är fler elever (13st) som felaktigt svarat 3
4 − 1 2 =
2
2 än det är elever (12st) som svarat det korrekta
svaret 3
4 − 1 2 =
1
4 på uppgift B. Nästa elevexempel visar elev med god taluppfattning men som
saknar strategin att göra bråk liknänmigt. Intervjuare: Vi tar 8B istället.
Conny: Tre fjärdedelar minus en halv. Då tar jag bort 2
4 så svaret blir 1 4.
Intervjuare: Ja, vi tittar på C. (Conny har felaktigt svarat 7) Conny: Här har jag chansat, jag har ingen aning.
Intervjuare: Om vi provar igen då, för B-uppgiften var ju rätt.
Conny: Det här är inte min grej, men det var ju något man gjorde när nämnarna är olika. Connys resonemang på uppgift 8B visar på god taluppfattning. Han löser uppgiften rätt utan att ha full koll på att han egentligen gör bråken liknämniga. På uppgift C har 7 elever (16%) svarat rätt att 2
3 + 3 4 =
17
12 men det vanligaste svaret var 2 3 +
3 4 =
5
7 som 15 elever (35%) angett.
Flera av eleverna känner igen begreppet gemensam nämnare men har ändå svårt att hitta rätt strategi. Eleven nedan är exempel på det.
Intervjuare: Fråga 8c, hur har du tänkt? Leif: Ja 2+3 är 5 och 3+4 är 7 så 5
7.
Intervjuare: Är det så man gör?
Leif: Nej, man ska göra om till gemensam nämnare innan. Intervjuare: Och vilken är den gemensamma nämnaren? Leif: 8 nej 12.
Intervjuare: Säker på det? Leif: Ja.
Intervjuare: Bra.
Ytterligare ett exempel på en elev som känner till begreppet gemensam nämnare men inte riktigt behärskar att använda kunskapen.
Intervjuare: Vi tittar på uppgift 8A. ( 3
10 + 4 10 )
Marita: Där har jag tagit 3+4 som är 7, och så är det ju samma nämnare, så 7
10.
Intervjuare: B har du inte skrivit på. Men vi tittar på C ( 2
3 + 3
4 ) där du har svarat 5 7.
23
Marita: Ja men det är fel, jag måste ju göra om det till samma nämnare. Jag kan inte bara plussa som jag gjort. Jag ska först ta 4x3 och 3x4 och samma sak där uppe.
Intervjuare: Ja bra, men då kanske du kan lösa B ( 34 − 12 ) nu då?
Marita: Japp. 3 – 1 = 2 och 4 – 2 = 2, så 2
2.
Intervjuare: Var det så man gjorde? Marita: Nej?
Intervjuare: Nu gick du precis emot dig själv så som du nu nyss resonerade. Marita: Oj, ja samma nämnare först, hahaha…..2 ∙ 4 och 4 ∙ 2…..2
8.
Intervjuare: Som du kan skriva som? Marita: 1
4.
Intervjuare: Rätt!
Båda eleverna ovan känner alltså till begreppen gemensam nämnare, liknämniga bråk, men saknar strategier och förmågor att praktiskt använda sig av den kunskapen.
Multiplikation av tal i bråkform. Aritmetikuppgifterna omfattar även multiplikation och
division av tal i bråkform som berörs i uppgift 10.
Räkna ut A) 2 5∙ 3 4 (40%) B) 4 9 ⁄ 2 3 ⁄ (19%)
Multiplikation av tal i bråkform har vid uppgift A lösningsfrekvensen 40%. Många elever (47%) hoppar över denna uppgift. Multiplikation av tal i bråkform brukar anses vara lätt men det kan vara svårt att konkretisera. Vid intervjuer säger ofta eleverna att det är lätt ”jag
multiplicerar bara täljare med täljare och nämnare med nämnare” eller att de inte vet hur
man gör och därmed hoppar över uppgiften. Exemplet nedan visar på en elev som blandat ihop olika metoder.
Intervjuare: Din strategi på 10A? (Eleven har svarat felaktigt 2
5∙ 3 4=
15 8 .)
Krister: Jag har multiplicerat 5 ∙ 3 och 2 ∙ 4.
Intervjuare: Ok, korsvis på det här sättet? (Intervjuaren pekar på talen). Krister: Ja.
Intervjuare: Varför det? Krister: Nej det vet jag inte.
Intervjuare: Nej inte jag heller, men det är ju det jag vill veta. Krister: Det är ju något med korsvis.
24
Intervjuare: Jaså?
Krister: När man förkortar.
Intervjuare: Så det är det du blandat ihop det med? Krister: Ja.
Krister har förmodligen blandat ihop metoden som han använder sig av med en metod som används vid förkortning innan man utför multiplikation av bråktal, exempelvis vid 2
3∙ 3 8.
Innan denna multiplikation utförs kan man förkorta ”korsvis” med 3 och med 2 så att 2
3∙ 3 8= 1 1∙ 1 4= 1 4.
Division av tal i bråkform är också svårt att konkretisera och metoden man använder sig av
orsakar ofta svårigheter för eleverna. Lösningsfrekvensen är 19% på uppgift B.
Räkna ut B) 4 9 ⁄ 2 3 ⁄ (19%)
Det är 30 elever (70%) som inte svarat på uppgiften. Metoden som oftast används vid division av tal i bråkform är att man multiplicerar med det inventerade talet. Exempel 42⁄9
3 ⁄ = 4 9∙ 3 2 = 12 18= 2
3. Vid intervjuer med eleverna saknar de flesta eleverna en fungerande metod för att lösa
uppgiften. Men flera av intervjupersonerna känner igen begreppet inverterade tal och nickar instämmande när de får förklarat för sig hur man gör.
25
Diskussion
I detta kapitel diskuteras både metod och resultat. Metoddiskussionen tar upp de metodval som gjorts i studien medan resultatdiskussionen fokuserar på studiens resultat i relation till tidigare forskning.
Metoddiskussion
Den kvantitativa delen som användes i denna studie var diagnosen (bilaga 1). Diagnosen gav mycket information om elevernas kunskap och jag var nöjd med diagnosens utseende.
Svårighetsgraden var på en rimlig nivå för studiens syfte. Uppgifterna var till stor del hämtade från eller var inspirerade av Löwing (2016) och McIntosh (2008). Kanske innehöll diagnosen för många uppgifter och det hade nog varit en mer effektiv diagnos med ett färre antal
uppgifter. Uppgifterna i diagnosens senare del fick flera tomma svar och det kan såklart bero på att uppgifterna var svåra men det kan också bero på att det var för många uppgifter och att eleverna därför helt enkelt tappade lusten på slutet. Tack vare att 43 elever gjorde diagnosen så blev de tomma svaren inget problem utan jag anser mig fått tillräckligt med information. Den kvalitativa delen av studien bestod av intervjuerna. Valet att med kvalitativa intervjuer samla data till studiens syfte var passande. Vid kvalitativa intervjuer är intresset riktat mot den intervjuades tankar och funderingar (Bryman, 2011) och syftet med intervjuerna var att få så fylliga och detaljerade svar som möjligt. Upplägget vid intervjuerna var att försöka få till ett så naturligt samtal om matematik som möjligt. För att detta skulle lyckas använde jag mig av intervjuer med semistrukturerad karaktär. Då får intervjupersonen stor frihet att utforma svaren på sitt eget sätt och intervjuaren behöver inte ställa frågorna i särskild ordning utan kan knyta an till något intressant som intervjupersonen svarat (Bryman, 2011). Min uppfattning var att intervjuerna flöt på bra och att i de flesta fall blev mer av det önskade samtalet än den något striktare intervjun. Eleverna delade frikostigt med sig av sina tankar och funderingar och det blev stundtals ganska underhållande med skratt från både intervjupersoner och mig själv.
Något som man missar vid inspelade intervjuer är elevernas kroppsspråk och ansiktsuttryck. Jag kunde använt mig av videointervjuer eller fört noggranna anteckningar under intervjun. Kanske hade då intervjuns kvalitet å andra sidan kunnat påverkats negativt istället.
Resultatdiskussion
Resultatet visar att tal i bråkform är ett område som orsakar en del förvirring och svårigheter för eleverna. Begrepp blandas ihop och metoder likaså. Det märktes såväl i diagnosen som vid intervjuerna. Nedan följer elevernas vanligaste och mest intressanta fel samt jämförelser med kända fel i forskningen på de olika områden som berördes i resultatet.
26
Bråk i storleksordning. Resultatet på uppgifterna som berörde bråk i storleksordning får
anses som goda. Ett fåtal elever (2 st) tycker att 1
4 är större än 1
3 och vid jämförelsen mellan 5 100
och 12
1000 är det 3 elever som anser att 12
1000 är störst. Få elever gör alltså felet: stor nämnare
betyder stort tal (McItosh, 2008). Diagnosen och intervjuerna visar att felet finns, men att det inte är vanligt förekommande i denna studie.
Utbytbara bråk. Elevernas lösningfrekvenser på uppgift 7 anser jag vara låga. Eleverna
skulle fylla i den tomma rutan så att likhet råder 1
2= 5 (77%), 6 9 =18 (58%), 2 = 10 15
(53%). Jag trodde inte att dessa uppgifter skulle orsaka några större problem. En överraskande stor del elever visar på bristande taluppfattning när det gäller tal i bråkform. Vissa elever saknar bra strategier när de ska lösa denna uppgift. Elever som gjort fel verkar inte förknippa uppgiften med förlängning och förkortning. Det är svårt hitta något typiskt fel på denna uppgift, det vanligaste felet var att inte svara alls. De fel som några elever gjorde och som framkom i intervjuerna var att jämföra skillnaden mellan täljare och nämnare. Dessa elever menar att 6
9 och 15
18 är lika stora eftersom båda bråken har skillnaden 3 mellan täljare och
nämnare. Clarke, Roche och Mitchell (2008) beskriver en felaktig strategi när elever ska jämföra bråk som kallas gap thinking. Elever med denna strategi menar att 8
9 och 7
8 är lika
stora eftersom det saknas ”en del” för att bilda en hel. Strategin eleverna i mina intervjuer använder sig av är väldigt lik denna. Dessa elever och säkert flera därtill behöver utveckla sin förståelse för tal i bråkfrom och rektangelmetoden som McIntosh (2018) beskriver är en utmärk metod för att utveckla elevers förståelse för utbytbara bråk samt förkortning och förlängning.
Bråk på tallinjen. Tallinjen är ett bra verktyg för att förstå bråkens värde. Fördelen med att
använda tallinjen beskrivs bland annat av Clarke, Roche och Mitchell (2008) och McIntosh (2008). Tallinjen kan illustrera varför 5
4 är samma sak som 1 1
4 och 1,25. Eleverna fick
uppgiften att placera ut A) 1
3 och B) 5
4 på en tallinje. 70% av eleverna placerade 1
3 på rätt plats
och 47% lyckades placera 5
4 på rätt plats. Av intervjuerna framgick det att en del elever inte
varit tillräckligt noggranna vid sin placering av 5
4. Elever som korrekt placerat talet A vid 0,33
hade felaktigt placerat B vid 1,33. Vid intervjuerna förklarade flera elever att B ska flyttas till 1,25 när de såg att avståndet från 0 till A var lika långt som avståndet mellan 1 och B.
Intervjuerna visade också på en intressant missuppfattning. Den intervjuade eleven ville hävda att 1
3 borde placeras vid 1,3 och 5
4 vid 5,4. McIntosh (2008) tar upp detta under kända
svårigheter och missuppfattningar. I denna studie är dock förekomsten av denna
missuppfattning sällsynt. Sammanfattningsvis kan man säga att elevernas lösningar visar på att vissa elever har problem med placering av bråktal på tallinje. Intervjuerna visar också på brister i noggrannhet.
27
Bråk som del av antal. Eleverna blev testade på uppgifter där de skulle räkna ut del av antal
med ökad svårighetsgrad. De uppgifter som är intressanta att jämföra och titta närmare på är uppgift 5 och 6. Vid uppgift 5 skulle eleverna svara på hur många äpplen 4
5 är av 20 äpplen.
De 20 äpplena var uppritade på diagnosen för att underlätta för eleven. Lösningsfrekvensen för uppgiften är 67%. Uppgift 6 gick ut på att beräkna hur många som återstod när man tagit bort 2
3 och 1
4 av 24 personer. 44% av eleverna löser uppgiften. Lösningsfrekvensen mellan
uppgifterna 5 och 6 skiljer sig alltså med 23 procentenheter. Skillnaden visar på vissa brister i aktiva kunskaper om bråkräkning. Kilborn (2014) skriver att alltför många elever saknar aktiva kunskaper om bråkräkning. Resultatet på diagnosen och till viss del intervjuerna bekräftar detta. När eleverna arbetar med denna typen av uppgifter övas samtidigt
multiplikation och division. Elever med svaga förmågar att hantera multiplikationstabellerna får svårigheter med dessa uppgifter. Kilborn (2014) skriver att det är viktigt att ”del av ett antal” tidigt konkretiseras på ett bra sätt i elevernas matematikundervisning och att eleverna har med sig den minnesbilden.
Intervjuerna som berörde uppgift 9 gav ett intressant exempel på en missuppfattning. Intervjupersonen tyckte att 1
2 timme är lika med 60 minuter och 3
4 timme är lika med 180
minuter. Eleven har resonerat att 1
2 betyder 1 timme av 2 timmar och på samma sätt att 3 4
betyder 3 timmar av 4 timmar. Resonemanget visar på stora brister i grundläggande kunskaper om bråk och sättet som eleven resonerar borde vara främmande för en elev i årskurs 8. Kanske var det klockan och tiden som orsakade svårigheterna för eleven. Missuppfattningen får anses vara intressant men glädjande att den var sällsynt.
Addition och subtraktion. Addition och subtraktion med samma nämnare är betydligt lättare
än när nämnarna är olika. Det var ändå endast 58% som korrekt löste A) 3
10 + 4 10=
7 10. Det
vanligaste felet var att addera täljare med täljare och nämnare med nämnare, 3
10 + 4 10=
7 20.
Denna strategi blir ännu vanligare när nämnarna är olika. Uppgift B) 3
4− 1 2=
1 4 har
lösningsfrekvensen 28%. Uppgiften finns med i Löwings (2016) kartläggning där
lösningsfrekvensen för förstaårsgymnasister var 62% och för elever i årskurs 8 var den 40%. Betydligt sämre lösningsfrekvens för eleverna i denna studie alltså. Även uppgift A får anses ha en låg lösningsfrekvens om man jämför med liknande uppgifter hos Löwing. Diagnosen visar att en del elever som klarar att korrekt beräkna 3
10 + 4 10= 7 10 ändå använder den felaktiga strategin 2 3 + 3 4= 5
7 på uppgift C vilket också intervjuerna ger exempel på. Uppgift
C har lösningsfrekvensen 16%. Det vanligaste svaret på uppgift C var 5
7 (35%). I Löwings
(2016) kartläggning är lösningsfrekvensen för motsvarande uppgift för årskurs 8 (29%) och för förstaårsgymnasister (56%). Även på denna uppgift presterar elever i denna studie något sämre.
28
Den felaktiga strategin att addera och subtrahera täljare för sig och nämnare för sig är i denna studie vanligt förekommande. Eleverna blandar ihop metoden med den som används vid multiplikation av bråk. Missuppfattningen är välkänd och återkommer ofta i tidigare
forskning (McIntosh, 2008; Siegler & Pyke, 2013; Löwing, 2016). Strategin visar på brister i grundläggande kunskaper om tal i bråkform.
Multiplikation och division. Eleverna skulle multiplicera 2
5∙ 3
4 och det var 40% av eleverna
som löste uppgiften korrekt. 47% av eleverna hoppade över denna uppgift. Motsvarande uppgift hos Löwing (2016) har lösningsfrekvensen 39% för årskurs 8 och 53% för förstaårsgymnasister. Att 47% hoppar över uppgiften anser jag vara överraskande. Intervjuerna gav inte så mycket övrig information utan eleverna säger antingen att multiplikation är lätt, man multiplicerar täljare för sig och nämnare för sig, eller att det är svårt och de vet inte hur de ska göra och därför hoppar över uppgiften. Det finns alltså brister hos vissa elever när det gäller metoden för multiplikation av bråk. Metoden man använder sig av vid multiplikation av bråktal brukar anses vara lättare än vid addition och subtraktion. Däremot bör man vara medveten om att det är svårt att konkretisera multiplikation av två tal i bråkform (Kilborn, 2014).
Division av tal i bråkform var på förhand den uppgift jag trodde skulle orsaka mest bekymmer för eleverna. Endast 19% av eleverna löser divisionen
4 9 ⁄ 2
3
⁄ korrekt. Men jämför man med
Löwing (2016) så är det bara 9% av elever i årskurs 8 som löser motsvarande uppgift.
Flertalet elever i denna studie saknar en fungerande metod för division av tal i bråkform. 70% av eleverna hoppar således över uppgiften. Som lärare är det ofta svårt att konkretisera såväl division som multiplikation av bråktal. Men har eleverna kommit så här långt i sin matematik bör läraren då påpeka att matematik inte alltid handlar om att konkretisera problem eller om vardagsmatematik, utan matematik är en abstrakt och generell vetenskap (Kilborn, 2014).
Sammanfattning. Studiens resultat visar att tal i bråkform är ett område där flera elever har
betydande svårigheter. Vissa elever saknar grundläggande kunskaper och fungerande metoder vid beräkningar. De vanligaste felen och missuppfattningarna som förekommer i studien går att finna i tidigare forskning. Jag hoppas att jag genom denna studie har utvecklat min
kunskap om elevers lärande och kan erbjuda mina elever en bättre undervisning när det gäller tal i bråkform.
29
Referenser
Bryman, A. (2011). Samhällsvetenskapliga metoder. Malmö: Liber.
Clarke, D.M. & Roche, A. & Mitchell, A. (2008). Ten Practical Tips for Making Fractions Come Alive and Make Sense. Mathematics Teaching in the Middle School, v13 n7 372-380. Harvey, R. (2012). Stretching Student Teachers' Understanding of Fractions. v24 n4 493-511. Kiselman, C. & Mouwitz, L. (2008). Matematiktermer för skolan. Göteborg: NCM.
Kilborn, W. (2014). Om tal i bråk och decimalform – en röd tråd. Göteborg: NCM. Löwing, M (2004). Matematikundervisningens konkreta gestaltning: en studie av
kommunikationen lärare - elev och matematiklektionens didaktiska ramar. Göteborg: Acta
Universitatis Gothoburgensis.
Löwing, M. (2016). Diamant – diagnoser i matematik Ett kartläggningsmaterial baserat på
didaktisk ämnesanalys. Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis.
Löwing, M. & Kilborn, W. (2002). Baskunskaper i matematik för skola, hem och samhälle. Lund: Studentlitteratur.
McIntosh, A. (2008). Förstå och använda tal – en handbok. Göteborg: NCM. Siegler, R. S., & Pyke, A. A. (2013). Developmental and individual differences in understanding of fractions. Developmental Psychology, v49 n10, 1994-2004.
Skolverket (2019). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet2011. (6:e
upplagan) Stockholm.
Skolverket (2017). Kommentarmaterial till kursplanen i matematik. Stockholm.
Stukát, S. (2011). Att skriva examensarbete inom utbildningsvetenskap. (andra upplagan) Lund: Studentlitteratur.
Vamvakoussi, X. & Vosniadou, S. (2004). Understanding the Structure of the Set of Rational Numbers: A Conceptual Change Approach. Learning and Instruction, v14 n5, 453-467.
30
Bilaga 1
Syftet med denna diagnos är att hjälpa Christian som gör ett arbete på högskolan som handlar om elevers uppfattning, förståelse och kunskaper om bråk. Tack för din hjälp!
1) Hur stor del av figuren är färgad grön? A) B) C) A __________B __________C __________
2) Vilket bråk är minst? (ringa in det minsta)
A) 4 1 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 1 3 B) 2 5 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 3 5 C) 5 4 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 6 7
3) Skriv bråken i storleksordning 1003 35 23 100012
Börja med det minsta _____________________________
4) Det finns 100 bilar i påsen. 14 är vita. Hur många vita bilar finns i påsen?
Antal vita: _________ 5) Anders använder 45 av äpplena till en paj.
Hur många äpplen är det? ____________
6) I klass 8a finns 24 elever. 23 av eleverna åker buss till skolan. 14 cyklar och resten går till skolan. Hur många elever går till skolan? ________________________________________________
7) Vad ska stå i rutorna? A) 12= 5 B) 69=18 C) 2 =1015 D) 38+1 =58 8) Räkna ut A) 103 + 4 10= B) 3 4− 1 2= C) 2 3+ 3 4=
9) Hur många minuter är A) 12ℎ =_____min B) 34ℎ = _____ C) 123ℎ =_____min 10) Räkna ut A) 25∙34= B) 42⁄9
3 ⁄ =
Bilaga 2 (Frekvenstabell)
(Lösningsfrekvens i procent efter uppgiftens nummer. Rätt svar i fet stil längst till vänster) 1 A (100%) Svar 𝟏 𝟑 ⁄ Totalt Frekvens 43 43 1 B (100%) Svar 𝟑 𝟓 ⁄ Totalt frekvens 43 43 1 C (98%) Svar 𝟏 𝟑 ⁄ eller 𝟒 𝟏𝟐⁄ 4⁄ 8 Totat frekvens 42 1 43 2 A (95%) Svar 𝟏 𝟒 1 3 Totalt Frekvens 41 2 43 2 B (84%) Svar 𝟐 𝟓 3 5 Totalt Frekvens 36 7 43 2 C (84%) Svar 𝟔 𝟕 5 4 Totalt Frekvens 36 7 43 3 (88%)
Svar Rätt ordning Omvänd ordning 5
100 före 12
1000 Totalt
4 (91%)
Svar 25 1
4
⁄ 12,5 20 Inget svar Totalt
Frekvens 39 1 1 1 1 43
5 (67%)
Svar 16 15 5 4 6 Totalt
Frekvens 29 7 3 3 1 43
6 (44%)
Svar 2 6 4 Inget svar övriga Totalt
Frekvens 19 5 4 12 3 43
7 A (77%)
Svar 10 6 4 Inget svar Totalt
Frekvens 33 1 1 8 43
7 B (58%)
Svar 12 6 15 Inget svar övriga Totalt
Frekvens 25 4 2 9 3 43
7 C (53%)
Svar 3 6 7 20 Inget svar Totalt
Frekvens 23 3 3 1 13 43
7 D (23%)
Svar 4 0 8 3 Inget svar övriga Totalt
Frekvens 10 2 3 3 20 5 43 8 A (58%) Svar 𝟕 𝟏𝟎 7 20 7 7 20 12 20
Inget svar Totalt
8 B (28%) Svar 𝟏 𝟒 2 2 1 2 1 3
övrigt Inget svar Totalt
Frekvens 12 13 1 1 3 13 43 8 C (16%) Svar 𝟏𝟕 𝟏𝟐 5 7 5 5 1 + 1 2
övrigt Inget svar Totalt
Frekvens 7 15 2 1 2 16 43
9 A (93%)
Svar 30 min 60 min Inget svar Totalt
Frekvens 40 1 2 43
9 B (72%)
Svar 45 min 15 min 55 min 180 min övrigt Inget
svar
Totalt
Frekvens 31 3 1 1 3 4 43
9 C (40%)
Svar 100 min 80 min 90 min 105
min 125 min övrigt Inget svar Totalt Frekvens 16 5 3 1 1 10 7 43 10 A (40%) Svar 𝟔 𝟐𝟎 eller 𝟑 𝟏𝟎 15 8 23 20 5 20
övrigt Inget svar Totalt
Frekvens 17 1 1 1 3 20 43
10 B (19%)
Svar 𝟏𝟐
𝟏𝟖 eller 𝟐
𝟑 övrigt Inget svar Totalt
11 A (70%)
Svar Rätt placering Fel placering Inget svar Totalt
Frekvens 30 6 7 43
11 B (47%)
Svar Rätt placering Fel placering Inget svar Totalt
Bilaga 3
Begäran om samtycke om deltagande i intervju, del av en studie
Jag heter Christian Olsson och undervisar matematik på XXXX-skolan, bland andra klass 05c.
Under vårterminen ska jag göra ett studie till en kurs på Jönköpings universitet. Studien handlar om hur elever uppfattar tal bråkform och vilka problem som kan uppstå, vilka strategier som elever använder med mera.
Eleverna i klass 05a, 05b och 05c har gjort en diagnos. Jag skulle också behöva intervjua ett 10-tal elever där de mer ingående får berätta hur de resonerat kring sina svar.
Då eleverna är minderåriga krävs målsmans tillstånd för en sådan intervju.
Namnen på deltagarna kommer att avidentifieras i studien. Deltagandet i intervjuerna är helt frivilligt och intervjupersonen kan när som helst avbryta sin medverkan. Intervjupersonen väljer själv om han/hon vill avstå från att svara på enskilda frågor under intervjuns gång. Intervjuerna kommer spelas in och
transkriberas. Insamlat material kommer inte delges någon obehörig. Materialet kommer att förstöras efter det att studien är godkänd av Jönköpings universitet.
Ja, jag tillåter att mitt barn deltar i en intervju
Nej, mitt barn ska inte delta i en intervju
……… ……….
Elevens namn målsmans underskrift
Tack på förhand
Vid frågor kontakta mig gärna
