• No results found

Relationen mellan addition och subtraktion : En litteraturstudie om elevers förståelse för matematiska principer

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Relationen mellan addition och subtraktion : En litteraturstudie om elevers förståelse för matematiska principer"

Copied!
32
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Relationen mellan

addition och

subtraktion

En litteraturstudie om elevers förståelse för matematiska

principer

KURS: Självständigt arbete grundlärare F-3/4–6, 15 hp

PROGRAM: Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i förskoleklass och grundskolans 1–3

FÖRFATTARE: Caroline Palmborg & Linnea Ståhl

EXAMINATOR: Annica Otterborg TERMIN: VT 20

(2)

JÖNKÖPING UNIVERSITY

School of Education and Communication

Självständigt arbete för grundlärare F-3/4–6, 15hp Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i förskoleklass och grundskolans 1–3 Vårtermin 2020

SAMMANFATTNING

Caroline Palmborg, Linnea Ståhl

Relationen mellan addition och subtraktion: En litteraturstudie om elevers förståelse för matematiska principer

The relation between addition and subtraction: A literature study about students’ understanding of mathematical principles

Antal sidor: 25

För att elever ska utveckla kunskap om matematiska principer behöver de ha kunskap om tals additiva del-helhetsrelationer och relationen mellan addition och subtraktion. Addition och subtraktion är varandras invers och det är viktigt att eleverna lär sig att addition och subtraktion inte är åtskilda räknesätt. En välstuderad matematisk princip som beskriver den här relationen är inverse principle, vilket skrivs som 𝑎 + 𝑏 − 𝑏 = 𝑎 eller 𝑎 − 𝑏 + 𝑏 = 𝑎. Däremot har få studier riktat

in sig på den matematiska principen complement principle, vilket innebär sambandet mellan 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 och 𝑐 − 𝑏 = 𝑎. Därför är syftet med litteraturstudien att utifrån matematikdidaktisk

forskning belysa elevers förståelse för matematiska principer genom addition och subtraktion. Syftet besvaras genom frågorna: Hur kan förståelse för addition och subtraktion underlätta för elever när de utvecklar kunskap om inverse principle och complement principle samt vilken betydelse har konkret material för elevers förståelse för inverse principle och complement principle.

Genom en systematisk informationssökning som utgår från tidigare forskning har internationellt vetenskapligt material samlats in. Litteraturstudien har inriktats mot elever i skolans lägre årskurser. Resultatet visar att förståelse för de matematiska principerna grundas i elevers förståelse för del-helhetsrelationer och hur de förstår relationen mellan addition och subtraktion. Resultatet visar även att begreppet complement principle är komplext men med hjälp av konkret material kan elever lättare att ta till sig och använda principen. Elever verkar förstå de matematiska principerna lättare när de får det beskrivet med konkret material. Det finns en möjlighet att elever utvecklar förståelse för complement principle genom sin förståelse för inverse principle.

(3)

Innehållsförteckning

1 Inledning ... 1 2 Bakgrund ... 2 Aritmetik ... 2 Addition ... 2 Subtraktion ... 2 Tals del-helhetsrelationer ... 3 Inverse principle ... 3 Complement principle ... 3 Representationsformer ... 4 Styrdokument... 4 3 Syfte ... 6 4 Metod ... 7 Informationssökning ... 7 Materialanalys... 10 5 Resultat ... 11

Förståelse för inverse principle och complement principle ... 11

Betydelsen av konkret material ... 13

6 Diskussion ... 17 Metoddiskussion ... 17 Resultatdiskussion... 18 Tolkning av styrdokument ... 20 7 Avslutande kommentarer ... 21 Sammanfattning av resultat ... 21 Egna reflektioner ... 21 Vidare forskning ... 22 8 Referenslista ... 23 Bilaga ... I

(4)

1

1 Inledning

Människan möter dagligen matematik i olika situationer och bör uppmuntras till att använda matematiken på ett kreativt sätt när hon löser problemuppgifter (Skolverket, 2019a, s. 54). Kunskaper om matematik ska hjälpa människan att våga pröva sig fram och fokusera på alternativa lösningar såväl som att se möjligheter och begränsningar i de metoder som används (Heiberg Solem, Alseth & Nordberg, 2010, s. 13). McIntosh (2008, s. 62) betonar att matematiken behöver presenteras med olika representationsformer för att elever ska utveckla förståelse för vilket räknesätt de ska använda i vilken situation. I skolan förbereds elever för att möta matematiken i samhället och matematikundervisningen bör därför fokusera på att utgå från elevernas redan befästa kunskaper (Heiberg Solem, et al., 2010, s. 20). Det handlar således om att eleverna ska se matematiken som ett verktyg där situationen avgör vilket tillvägagångsätt som ska användas i vilken situation (Skolverket, 2017, s. 6).

Under vår verksamhetsförlagda utbildning upptäckte vi att flera elever visade svårigheter med att förstå relationen mellan addition och subtraktion. Speciellt uppmärksammades svårigheter att lösa subtraktionsuppgifter där skillnaden mellan talen var liten. Det hade underlättat om eleverna förstod relationen mellan addition och subtraktion för att då ha möjlighet att lösa subtraktionsuppgiften med hjälp av addition. Resultatet på nationella prov i årskurs 3 från läsåret 2018/19 visar att nästan 11% av eleverna inte klarade kravnivån för skriftliga räknemetoder för addition. För skriftliga räknemetoder med subtraktion var det nästan dubbelt så många elever som inte uppfyllde kravnivån, 20,8% (Skolverket, 2019b). En fråga som då uppstår är vad det är som gör att elever tydligt visar att subtraktion är svårare att ta till sig än addition. Vi ser det därför intressant att undersöka hur forskning beskriver elevers förståelse för matematiska principer i relationen till addition och subtraktion.

Vår litteraturstudie utgår från tidigare vetenskaplig forskning inom aritmetik och fokuserar på elevers förståelse av matematiska principer. Därför har forskning som endast inriktar sig på undervisning uteslutits.

(5)

2

2 Bakgrund

Aritmetik

Aritmetik är den del inom matematik där de fyra räknesätten addition, subtraktion, multiplikation och division behandlas (Kiselman & Mouwitz, 2008, s. 12). Beräkningar med de olika räknesätten fordrar förståelse för hur räknesätten förhåller sig till varandra (Skolverket, 2017, s. 14). Häggblom (2013, s. 108) framhåller att lärande om aritmetik utvecklas redan innan eleverna börjar grundskolan och får formell undervisning i ämnet. De bekantar sig med operationer med tal från tidig ålder när de genom lek, spel och socialisation upptäcker strukturen för addition och subtraktion. Då litteraturstudien syftar till att se hur elever som ännu inte börjat med multiplikation och division använder matematiska principer relaterat till addition och subtraktion, kommer endast addition och subtraktion behandlas.

Addition

Addition innebär operationer där två eller fler termer läggs samman till en summa, exempelvis 4 + 3 = 7. Vanligtvis brukar det benämnas som att addera två tal, addera det ena talet till det andra eller att beräkna summan av talen (Kiselman & Mouwitz, 2008 s. 24–25). Additiva räkneoperationer grundas i räknelagen kommutativa lagen, vilket Löwing (2017, s. 76) beskriver som en viktig byggsten inom matematik. Den kommutativa lagen säger att det inte gör någon skillnad i vilken ordning termerna är placerade i en addition då summan blir densamma (Löwing, 2017, s. 114).

Subtraktion

Subtraktion är den del inom aritmetik som anspelar på skillnaden mellan tal, även kallad differens. Operationer med subtraktion innebär att ett tal dras ifrån ett annat tal, exempelvis 6 − 2 = 4, vilket kan benämnas som 6 subtraherat med 2 eller att subtrahera 2 från 6 (Kiselman & Mouwitz, 2008, s. 25–26). Subtraktion kan uppfattas som att ta bort en mängd från en annan, som vid operationen 7 − 4 = 3, talet 4 är då den del som tas bort från 7. Det kan också uppfattas som en jämförelse mellan två mängder. Det kan innebära att två mängder som ligger bredvid varandra räknas och differensen presenterar skillnaden (Löwing, 2017, s. 90–91).

(6)

3 Tals del-helhetsrelationer

De tio första naturliga talen kan ses som del-helhetsrelationer, vilket innebär att talen kan delas upp i delar och en helhet; helheten 8 kan exempelvis delas upp i delarna 3 och 5. Neuman (2013, s. 9–17) beskriver hur tals del-helhetsrelationer kan användas i addition och subtraktion. I en addition används de befintliga delarna för att finna helheten; delarna 3 + 5 = helheten 8. I en subtraktion ligger utgångspunkten i helheten för att finna delarna; helheten 8 − delen 5 = delen 3. Tals del-helhetsrelationer innebär därför att se relationen av tre tal och på så sätt kunna lösa additions- och subtraktionsuppgifter.

Kunskap om hur olika talfakta som att 5 + 3 = 8, 3 + 5 = 8, 8 − 3 = 5 och 8 − 5 = 3 är relaterade till varandra hjälper elever att på ett effektivt sätt lösa addition- och subtraktionsuppgifter utan att först göra en beräkning (Baroody, 2016, s. 167; Neuman, 2013, s. 9, 15). Tals del-helhetsrelationer grundar sig i additionens kommutativa egenskap och utifrån det här synsättet ses inte addition och subtraktion som åtskilda räknesätt.

Inverse principle

Elever behöver utveckla kunskap om inversen mellan addition och subtraktion när de lär sig aritmetik (Gilmore & Bryant, 2006, s. 310). Addition och subtraktion är varandras motsats och subtraktion kan likställa resultatet av addition (McIntosh, 2008, s. 63). En operation kan bli likställd genom att addera och subtrahera samma term, vilket kan ges i uttryck som 𝑎 + 𝑏 − 𝑏 = 𝑎 eller 𝑎 − 𝑏 + 𝑏 = 𝑎. Den matematiska principen innebär att det direkt går att se att två delar som adderas (a+b) kan bli ogjort genom att den adderade delen (b) subtraheras (a+b-b), vilket lämnar den första delen kvar (a=a) (Baroody, 2016, s. 164–165). Sambandet mellan 𝑎 + 𝑏 − 𝑏 = 𝑎 eller 𝑎 − 𝑏 + 𝑏 = 𝑎 benämns på olika sätt av olika forskare; inverse, inverse principle, inversion eller subtraction as addition (Baroody, Torbeyns & Verschaffel, 2009, s. 8). Fortsättningsvis kommer det engelska begreppet inverse principle användas.

Complement principle

Complement principle är en matematisk princip som bygger på tals del-helhetsrelationer och innebär att om 𝑎 + 𝑏 = 𝑐, så är 𝑐 − 𝑎 = 𝑏 och 𝑐 − 𝑏 = 𝑎. Baroody (2016, s. 168) förklarar complement principle som en logisk princip som kan användas för att effektivt lösa aritmetikproblem. Det kan exempelvis innebära attlösa uppgiften 9 − 7 = _ genom att tänka vad adderat med 7 är 9? (7 + _ = 9) och då använda den kända helheten, i det här fallet 9, för

(7)

4 att hitta den okända delen 2. McIntosh (2008, s. 62) uttrycker att en vanlig uppfattning som eleverna har är att addition innebär att lägga till och subtraktion innebär att ta bort. Han poängterar att elever behöver lämna den här uppfattningen för att kunna använda addition för att lösa en subtraktionsuppgift. Då det finns relativt lite svensk forskning om complement principle och heller inte något vedertaget svenskt begrepp kommer det engelska begreppet complement principle att användas fortsättningsvis.

Representationsformer

För att uttrycka sig matematiskt och beskriva ett matematiskt innehåll behöver elever ha förståelse för att tal och det matematiska innehållet kan ha olika representationsformer (Skolverket, 2017, s. 13). Det kan till exempel vara att förstå att en fotbollsplan kan representeras av en rektangel och att talet 5 kan representeras med hjälp av fem klossar eller fem knappar (Skolverket, 2019a, s. 8). En grundtanke i skolans undervisning är att eleverna ska få pröva sig fram och med hjälp av olika representationsformer utveckla hållbara tillvägagångssätt vid problemlösning och därmed kunna avgöra vilken representation som lämpar sig bäst för situationen (Skolverket, 2017, s. 11). Heiberg Solem, Alseth och Nordberg (2010, s. 34) betonar att olika representationsformer har olika styrkor och svagheter, vilket kan vara avgörande för hur ett problem blir löst. För att representera talet 5 fungerar klossar eller räknestreck bra. Om ett högre tal representeras är klossar eller räknestreck mer tidskrävande och det kan vara mer effektivt att använda exempelvis tiobasmaterial.

Hur begreppet representationsformer används kan variera. Kursplanen för matematik (Skolverket, 2019a, s. 55) skriver om representationsformer som matematikens olika uttryckssätt. I de analyserade studierna används begreppet concrete materials. Hädanefter används konkret material som förklaring till representationsformer med bilder och fysiskt plockmaterial (exempelvis klossar, kulor eller knappar) och abstrakt form används som förklaring till verbal samt symbolisk representationsform.

Styrdokument

Ett långsiktigt mål i matematikundervisningen är att varje elev ska kunna använda sina matematikkunskaper i olika situationer, såväl för framtida studier som i vardagslivet (Skolverket, 2019a, s. 11). Grunden till utvecklade kunskaper inom matematik och aritmetik är förståelse för relationen inom och mellan tal. Mötet med tal och olika beräkningar i ett utvidgat talområde främjar ett djupare aritmetiskt tänkande (Skolverket, 2017, s. 12). Undervisningen ska därför behandla egenskaperna hos de naturliga talen och hur de kan delas upp (Skolverket,

(8)

5 2019a, s. 55). Kommentarmaterialet förtydligar att elever ska kunna bedöma vilka räknesätt som är mest effektiva för situationen (Skolverket, 2017, s. 14). Med kunskap om metoder och relationen mellan räknesätten kan elever fokusera på problemet istället för att koncentrera sig på beräkningen (Skolverket, 2017, s. 8). I kunskapskraven för matematik står det att elever efter årskurs 3 ska kunna använda matematiska metoder för att göra beräkningar samt beskriva sitt tillvägagångsätt med matematikens olika uttryckssätt (Skolverket, 2019a, s. 60).

(9)

6

3 Syfte

Syftet med denna litteraturstudie är att utifrån matematikdidaktisk forskning belysa elevers förståelse för matematiska principer genom addition och subtraktion.

Syftet vill vi uppnå genom att besvara följande frågor:

- Hur kan förståelse för addition och subtraktion underlätta för elever när de utvecklar kunskap om inverse principle och complement principle?

- Vilken betydelse har konkret material för elevers förståelse för inverse principle och complement principle?

(10)

7

4 Metod

Informationssökning

Datainsamlingen är gjord utifrån en systematisk informationssökning där tidigare forskning inom ett avgränsat område analyserats. Informationssökningen har syftat till att samla in forskning som genomförts under begreppen inverse principle och complement principle. Nilholm (2017, s. 40) menar att ett precist begrepp underlättar sökningsprocessen då begreppet kan användas som sökord, vilket både inverse principle och complement principle är.

De databaser som använts är Educational Resources Information Center (ERIC) och PsycINFO. Både ERIC och PsycINFO användes då det är databaser som innehåller material som relaterar till pedagogik. Sökmotorn Google Scholar har använts för att få tillgång till fulltexter som ERIC och PsycINFO inte haft. Som grund för informationssökningen ligger begreppen inverse principle, complement principle, mathematical principle, part-whole relation, addition, subtraction och arithmetic principle. Till en början gav sökningarna för många resultat för att det skulle vara hanterbart och därför har trunkering, frassökning och parenteser kombinerat med AND eller OR använts för att begränsa antalet träffar.

Materialet har granskats utifrån två kriterier. Det första kriteriet var att materialet skulle vara peer reviewed för att säkerställa att sökningen gav vetenskapligt material. Materialet har därefter granskats utifrån det andra kriteriet som innebar att titel och abstract skulle innehålla något av begreppen inverse principle, complement principle eller part-whole relations (svenskans del-helhetsrelationer) samt räknesätten addition eller subtraktion. Artiklar skrivna på annat språk än engelska eller svenska har exkluderats då vi inte behärskar andra språk. Informationssökningen har haft ett matematikdidaktiskt perspektiv med fokus på elevers förståelse för inverse principle och complement principle i relation till addition och subtraktion. Figur 1 visar hur en sökning som gett relevant material har utförts.

(11)

8 Exemplet visar att den första sökningen i databasen ERIC gav 280 träffar. Då ett kriterium var att materialet ska vara vetenskapligt avgränsades sökningen till att endast visa material som var peer reviewed, sökningen gav då 167 träffar. För att ytterligare begränsa antalet träffar användes sökorden add* och subtract* vilket gav 50 träffar. För att hitta material som överensstämde med det andra kriteriet valdes ämnet mathematical concepts, vilket gav 18 träffar. Efter granskning av titel och abstract inkluderades 4 av de 18 träffarna i litteraturstudien.

Sökningarna har resulterat i att 11 vetenskapliga artiklar har analyserats. Av de 11 artiklarna har två artiklar exkluderats då de innehöll studier som inte relaterade till vårt syfte samt har tre artiklar exkluderats då innehållet i dem inte behandlade inverse principle, complement principle eller del-helhetrelationer. Utöver sökningar har material framkommit genom kedjesökningar. Kedjesökningarna har utförts i det redan insamlade materialet där titlar i referenslistorna har granskats, vilket resulterade i att fyra artiklar tillkom. Det slutliga analysmaterialet består därför av 10 vetenskapliga artiklar, vilka presenteras i tabell 1.

"complement* principle*" OR "inverse principle*" OR "part-whole" Träffar: 280 "complement* principle*" OR "inverse principle*" OR "part-whole" Avgränsning: peer reviewed Träffar: 167 ("complement* principle*" OR "inverse principle*" OR "part-whole") AND (add*

OR subtract*) Avgränsning: peer reviewed Träffar: 50 ("complement* principle*" OR "inverse principle*" OR "part-whole") AND (add*

OR subtract*) Avgränsning: peer reviewed Ämne: mathematical concepts Träffar: 18 Inkluderat material: 4

(12)

9 Tabell 1: Översikt över inkluderat material i litteraturstudien

Författare Titel År Publikationstyp

Baroody, A. J. Children’s Relational Knowledge of Addition and Subtraction

1999 Tidskriftsartikel

Baroody, A. J., & Lai, M.

Preschoolers’’ Understanding of the Addition-Subtraction Inverse Principle: A Taiwanese Sample

2007 Tidskriftsartikel

Canobi, K. H. Children’s profiles of addition and subtraction understanding

2005 Tidskriftsartikel

Canobi, K.H, & Berthune, N.E.

Number words in young children’s conceptual and procedural knowledge of addition, subtraction and inversion

2008 Tidskriftsartikel

Ching, B. H. H., & Nunes, T.

Children’s understanding of the commutativity and complement principles: A latent profile analysis

2017 Tidskriftsartikel

Dowker, A. Young children’s use of derived fact strategies for addition and subtraction

2014 Tidskriftsartikel

Gilmore, C. K., & Bryant, P.

Individual differences in children’s understanding of inversion and arithmetical skill

2006 Tidskriftsartikel

Nunes, T., Bryant, P., Hallet, D. Bell, D., & Evans, D.

Teaching Children About the Inverse Relation Between Addition and Subtraction

2009 Tidskriftsartikel

Sophian, C. & Vong, K. I.

The Parts and Wholes of Arithmetic Story Problems: Developing Knowledge in the Preschool Years

1995 Tidskriftsartikel

Torbeyns, J., Peters, G., De Smedt, D., Ghesequiere, P., & Verschaffel, L.

Children’s understanding of the addition/subtraction complement principle

(13)

10 Materialanalys

Materialet har analyserats ett flertal gånger. Materialet analyserades först utifrån titel och abstract vilka skulle behandla något av begreppen inverse principle, complement principle eller del-helhetsrelationer. Om materialet innefattade något av begreppen lästes det i sin helhet. Materialet lästes av båda skribenter och oklarheter kring innehållet markerades. Även studiens design och det innehåll som relaterade till något av de ovanstående begreppen markerades. Därefter diskuterades och jämfördes markeringarna samt egna anteckningar som förts. Diskussionen gav möjlighet till en gemensam bild och förståelse av materialet. Materialet sorterades sedan utifrån vilken matematisk princip som behandlades. Analysen av materialet visade även att konkret material kan vara av stor vikt för elevers lärande för de matematiska principerna. Därför inkluderades även konkret material i litteraturstudien. Sorteringen gav till en början endast en överblick av den redan framtagna forskningen och inte vad resultat av studierna visade. Därför utfördes en andra sortering som visade vad materialet presenterade för studier och resultatet av dem.

Materialet från den andra sorteringen fördes in i en översiktstabell (se bilaga) där författare, år, syfte, design, land och resultat presenteras. Översiktstabellen gav en helhetsbild av elevers förståelse och användning av inverse principle och complement principle samt relationen dem emellan, vilket är grunden för litteraturstudien. Genom översiktstabellen kunde likheter och skillnader mellan studierna analyseras och därigenom visa om det insamlade materialet var tillräckligt omfattande. Översiktstabellen visade att deltagande elever i det analyserade material var i 4–10 års åldern och litteraturstudien kunde därför riktas mot elever i förskoleklass och årskurs 1–3.

(14)

11

5 Resultat

Förståelse för inverse principle och complement principle

Gilmore och Bryant (2006, s. 328) framhåller att elever tidigt utvecklar förståelse för del-helhetsrelationer, vilket är en viktig grund för att elever ska utveckla förståelse för inverse principle. Baroody och Lai (2007, s. 163) betonar att om elever förstår innebörden av inverser tidigt kan det hjälpa dem att söka efter mönster och relationer mellan tal, vilket är en central del i matematik. Sophian och Vong (1995, s. 476) och Canobi (2005, s. 241) framhåller att det är svårt att veta när elever börjar visa kunskap om inverse principle och elever som är yngre än fem år har visat svårigheter med att förstå principen. Canobi understryker även att lärande om inverse principle är utmanande för elever i de yngre åldrarna och många elever tycks inte använda principen utan att bli uppmanade till det. Hur elever förstår inverse principle är individuellt och det kan bero på hur uppgifterna presenteras för dem.

Det stödjs i Baroody och Lais (2007, s. 165–167) studie av 48 elever i 4–6 års åldern. Undersökningen syftade till att ta reda på när förståelsen för inverse principle börjar utvecklas hos elever. Undersökningen resulterade i att de 4-åriga eleverna visade mindre förståelse för inverse principle jämfört med 5–6 åringarna, som visade viss förståelse för inverse principle. Det kan bero på att 5–6 åringarna befann sig i den proximala utvecklingszonen och de kunde därför bemästra principen. För att förstå inverse principle behöver elever ha grundläggande kunskaper om addition och subtraktion. Undervisningen om inverse principle bör utgå från de tal som eleverna är bekanta med, både i addition och subtraktion. Över tid utvecklar eleverna förståelse för hur de på ett logiskt sätt kan ta fram och använda sin kunskap om inverse principle på uppgifter och i vilken kontext de kan använda principen. Elever anses förstå principen när de kan applicera sin kunskap på kända som okända uppgifter oavsett vilka tal som finns i uppgiften (Baroody & Lai, 2007, s. 164). Det är skillnad på om elever förstår vad de matematiska principerna och relationerna betyder, och hur och när de tillämpar dem (Dowker, 2014, s. 7). Baroody (1999, s. 137) och Canobi (2005, s. 244) betonar att relationen mellan addition och subtraktion är komplex och sällan självklar för elever.

_____________________________________________

1Proximala utvecklingszonen: Den proximala utvecklingszonen är enligt Vygotskij den zon där elever anses vara

särskilt öppna för lärande. Eleven ska utsättas för utmaningar på gränsen till sin förmåga för att uppnå maximalt lärande.

(15)

12 Nunes, Bryant, Hallet, Bell och Evans (2009, s. 76) undersökte hur undervisning om inverse principle utvecklade 60 elevers förmåga att lösa uppgifter som innefattar inverse principle och complement principle. Av studien framgår det att både inverse principle och complement principle är abstrakta principer och att det därför kan vara svårt att förstå innebörden av dem. Det framgår även av Torbeyns, Peters, De Smedt, Ghesquière och Verschaffel (2016, s. 386– 388) resultat när de undersökte 67 elever i årskurs två och tre i deras förståelse för complement principle. Undersökningen syftade till att se om eleverna uttryckte sig använda complement principle och hur lång tid eleverna tog på sig att svara. Resultat visar stor variation av elevers förståelse för complement principle och svårigheter med att använda principen.Torbeyns et al. (2016, s. 392) undersökte om elever tog hjälp av föregående presenterade uppgift för att hitta svaret på den uppgift de hade framför sig, exempelvis om den föregående uppgiften var 48 + 45 = 93 och eleverna använde den uträkningen för att lösa 93 − 48 = _, visade det att de förstod complement principle. Ett stort antal elever i studien visade inte någon användning av complement principle, vilket gör att även deras resultat tyder på att det är en abstrakt och svår princip att bemästra.

Canobi (2005, s. 223–224) undersökte elevers förmåga att känna igen och förklara inverse principle och complement principle. De deltagande eleverna var i 7–9 års åldern och totalt studerades 24 elever. Resultatet från Canobis (2005, s. 229–230) studie visade att skillnaden i elevers förståelse för addition och subtraktion grundar sig i vilken grad de förstår del-helhetsrelationer. Yngre elever tycks förstå att två delar, oavsett i vilken ordning delarna läggs samman, bildar en helhet. Det betyder däremot inte att de förstår konsekvensen av att ta bort en del från helheten. Canobi menar att det tyder på att eleverna utvecklar förståelse för addition innan de utvecklar förståelse för subtraktion. Även Baroody (1999, s. 137) stödjer det i sin studie när han testade 40 elever i åldern 4–7 år i deras förmåga att avgöra om ett additionsuttryck kunde vara till hjälp för att lösa en subtraktionsuppgift. Eleverna fick till exempel frågan om 5 + 3 = 8 kan hjälpa dem för att lösa 8 − 5 = _. Om eleverna endast kopplar subtraktion till att ta bort en del kan de inte relatera det till kunskapen om additiva del-helhetsrelationer (Baroody, 1999, s. 149). Baroody (1999, s. 163) såg att det inte var uppenbart för eleverna att lösa en subtraktionsuppgift med hjälp av addition. Nästan hälften av eleverna tycktes inte hjälpas av additionsuttrycket och de ansågs därför inte förstå complement principle. Däremot visade resultatet att om termerna i additionsuttrycket var de samma, exempelvis 3 + 3 = 6, så kunde eleverna använda uttrycket för att lösa subtraktionsuppgiften 6– 3 = _ . Uttryck med två likadana termer är bland det första eleverna lär sig när de utvecklar förståelse för

(16)

del-13 helhetsrelationer. Eleverna kan därför upptäcka complement principle genom att se sambandet mellan två likadana termer och på så sätt upptäcker de hur subtraktion relaterar till addition. Det här visar att elever kopplar ihop sin förståelse för subtraktion till sin redan befästa kunskap om additiva del-helhetsrelationer (Baroody. 1999 s. 166).

Betydelsen av konkret material

Forskning (Canobi, 2005, s. 228; Ching & Nunes, 2017, s. 73; Gilmore & Bryant, 2006, s. 329) visar att elever ofta har svårt att lösa problem som är relaterade till inverse principle och complement principle när problemen presenteras med endast ord eller när eleven själv ska sätta ord på och förklara principen. Canobi och Bethune (2008, s. 685) framhåller att en svårighet för eleverna när de utvecklar kunskap om inverse principle är att de sällan stöter på problem i verkligheten där föremål adderas för att sedan direkt subtraheras.

I en studie av Gilmore och Bryant (2006, s. 328) testades 68 elever i åldern 6–9 år i sin noggrannhet när de löste uppgifter som innefattade inverse principle. Eleverna löste både uppgifter där de behövde använda sin förståelse för inverse principle och kontrolluppgifter där principen inte kunde användas. Uppgifterna presenterades skriftligt, muntligt samt med bilder, vilket ges exempel på i figur 3, och studien mätte hur eleverna svarade på respektive representationsform.

(17)

14 Resultatet visade att oavsett vilken nivå eleverna befann sig på i matematik presterade de bättre på uppgifter som innefattade inverse principle än vad de presterade på uppgifter när principen inte kunde användas (Gilmore & Bryant, 2006, s. 317). När uppgifterna presenterades med hjälp av bilder lyckades eleverna lösa uppgifter relaterat till inverse principle bättre än vad de gjorde när uppgifterna presenterades med siffor. Att presentera uppgifter genom bilder bidrog till att synliggöra inverse principle för eleverna (Gilmore & Bryant, 2006, s. 319).

I den studie av Nunes et al. (2009, s. 76) som tidigare presenterats fick eleverna inledningsvis göra ett förkunskapstest, för att få en inblick i elevernas förförståelse om inverse principle. Eleverna delades därefter slumpmässigt in i tre grupper. Eleverna fick olika typ av undervisning om inverse principle, antigen i konkret eller abstrakt form. En av grupperna var en kontrollgrupp som fick uppgifterna presenterade för sig i abstrakt form men inte presenterade sammanhängande, exempelvis hjälpte inte föregående uppgift dem att lösa nästkommande uppgift. Efter undervisning i ämnet följde ett sluttest för att se om elevernas förståelse och användningen av inverse principle hade förbättrats (Nunes et al., 2009, s. 66).

Det inledande testet och sluttestet presenterades verbalt och innehöll följande uppgifter:

1. Inverse (a + b – b =?) items designed to assess understanding of the inverse relation between addition and subtraction; in some of these items, the last term differed from the second term by 1 or by 2.

2. Transfer (a + b=c; c–a=?) items, which involved the complement relation, and which might be solved more easily by those who understand the inverse relation than by those who do not.

3. Control (a + a – b =?) items, which did not involve the inverse relation.

Nunes et al. (2009, s. 64)

Talen i uppgifterna var exempelvis 18 + 7 − 7 =? eller 11 + 11 − 4 =?. Grupperna visade olika resultat beroende på vilken undervisning de fått. De två grupper som fått undervisning i konkret eller abstrakt form förbättrade sina resultat på uppgifter som behandlade inverse principle. Den grupp som fått undervisning i abstrakt form men inte uppgifterna presentade sammanhängande visade inte någon väsentlig förbättring på sluttestet (Nunes et al., 2009, s. 66–68). Trots att ingen av grupperna blivit undervisade i complement principle löste gruppen som blivit presenterade med konkret material uppgifter med hjälp av den principen. Nunes et al. (2009, s. 76–77) menar därför att undervisning om inverse principle med konkret material kan förbättra elevernas förståelse för complement principle.

(18)

15 Liknande resultat fann Ching & Nunes (2017, s. 69–70) när de vid två tillfällen undersökte hur 115 6-åringar förstod complement principle och vilken betydelse konkret material har för lärande. Vid det första tillfället fick eleverna se hur en uppgift löstes för att sedan själva lösa uppgifter av samma karaktär. Eleverna fick då frågan: kan du lösa nästa uppgift genom att titta tillbaka på föregående lösta uppgift. Frågan syftade till att se om eleverna använde complement principle. Vid det andra tillfället representerades uppgifterna med klossar för att undersöka vilken betydelse konkret material har för elevers lärande. Utifrån hur eleverna svarade och visade förståelse för principerna, återfanns tre grupper (Ching & Nunes, 2017, s. 73). Eleverna i grupp 1 visade bra resultat på uppgifter med både konkret material och på uppgifter i abstrakt form. Grupp 2 presterade bra när konkret material användes som representation men de presterade mindre bra på uppgifter i abstrakt form. Grupp 3 visade inte förståelse för uppgifter som innefattade complement principle, oavsett om uppgifterna presenterades med konkret material eller inte. Elever som presterade bra på uppgifter som presenterades i abstrakt form presterade även bra i de uppgifter som presenterades med konkret material. Det var alltså ingen elev som endast presterade bra på uppgifter i abstrakt form. Ching och Nunes (2017, s. 74) menar att resultatet tyder på att elever först utvecklar sin förståelse för complement principle genom konkret material. Resultatet visar även att konkret material kan främja elevers additiva resonemangsförmåga samt utveckla deras förståelse genom att de går från en konkret till mer abstrakt form. Ching och Nunes (2017, s. 76) slutsats är att det kan vara till stor hjälp att presentera problem med konkret material för att synliggöra den annars abstrakta principen. Om principen inte konkretiseras tillräckligt kan det bli svårt för eleverna att förstå innebörden av den. Elever presterar ofta bättre på problem som innefattar complement principle när de får referera till konkret material i sin omgivning. Både Gilmore och Bryant (2006, s. 329) och Ching och Nunes (2017, s. 73) skriver att det kan vara till stor hjälp att presentera problem med konkret material för att synliggöra både inverse principle och complement principle.

Canobi (2005, s. 228) menar däremot att övergången från konkret material till abstrakt form inte gynnar alla elever, vilket visar sig i hennes studie på elever i 7–9 års åldern. Till skillnad från resultatet av Gilmore och Bryant (2006), Nunes et al. (2009) och Ching och Nunes (2017) fann Canobi (2005, s. 244) en grupp elever som inte blev hjälpta av att använda konkret material. Eleverna i den gruppen behövde inte koppla matematiken till fysiskt material och hade svårare för att känna igen principerna när de presenterades med konkret material eller bilder. Canobi drar därför slutsatsen att konkret material inte hjälper alla elever att utveckla sin förståelse för complement principle och inverse principle. Elever utvecklar olika strategier för

(19)

16 addition och subtraktion och de varierar i sitt sätt att förstå del-helhetsrelationer och i vilken utsträckning konkret material hjälper dem.

(20)

17

6 Diskussion

Metoddiskussion

Utifrån våra frågeställningar drar forskningen vi hittat liknande slutsatser, vilket ger en större trovärdighet till vårt resultat och diskussion. Det har dock gjort att det varit svårt att se skillnader och likheter och ställa studierna mot varandra. Det är två forskare som varit särskilt framträdande inom ämnesområdet; Baroody och Canobi. Majoriteten av de forskare som återfinns i litteraturstudien refererar till och framför liknande resultat som Baroody och Canobi. Det ser vi som positivt då båda forskarna har gjort ett stort antal studier kring både elevers förståelse samt utifrån ett undervisningsperspektiv. Studierna som har analyserats har undersökt elevers förståelse och användning av inverse principle och complement principle. Samtliga studier har främst haft ett elevperspektiv, vilket kan anses vara både en styrka och en svaghet. En styrka är att resultatet bygger på liknande datainsamling och det ger oss skribenter en god grund för vår litteraturstudie. Det kan däremot vara en svaghet i den aspekten att vi går miste om olika perspektiv och förhållningssätt.

I det inledande analysarbetet fokuserade inte sökningarna till att undersöka vilken ålder eleverna hade utan att se vad det fanns för material att tillgå. Det framkom då att allt material vi samlat in var inriktat mot de lägre årskurserna och vi såg att elever lär sig inverse principle och complement principle i de lägre årskurserna. Vi såg det som positivt då vi ville att litteraturstudien skulle syfta till att undersöka elever i de lägre årskurserna. Hade sökningarna gett ett bredare åldersspann på eleverna i studierna hade vi behövt precisera våra sökningar med sökord som primary, early childhood education eller young children.

Konkret material var återkommande i ett flertal studier även fast det inte var ett begrepp vi sökte på för att samla in material. Studierna visade att elever kan gynnas av att inhämta kunskap genom olika undervisningsformer, då de matematiska principerna är abstrakta. Vi såg därför att konkret material är av betydelse för elevers lärande och har därför inkluderat konkret material i litteraturstudien. Vid analysarbetet har vi tagit hänsyn till hur omfattande studierna har varit. Vi har lagt fokus på antal deltagare i studierna då vi anser att ju större antal deltagare en studie har desto mer tillförlitligt resultat. Om studierna endast gjorts på ett fåtal elever ställer vi oss frågande till om resultatet är tillförlitligt för vårt syfte.

(21)

18 I vår sökprocess har endast engelska begrepp använts då vi inte har hittat en vedertagen översättning för complement principle till svenska. Det kan ha påverkat resultatet eftersom vi kan ha gått miste om forskning som berör ämnet men där andra begrepp används även forskningsmaterial inom ämnet på svenska kan därför ha missats. Ett svenskt perspektiv hade kunnat bidra till ett mer relevant perspektiv för svenska elever, och gett tydligare kopplingar till läroplanen. Då vårt modersmål är svenska och samtliga artiklar är skrivna på engelska kan eventuella feltolkningar ha gjorts. Därför valde vi att analysera samtliga artiklar flera gånger för att sedan diskutera innehållet, vilket ökade vår förståelse och kan ha bidragit till en mer korrekt tolkning av materialet.

Resultatdiskussion

I studierna som har granskats har elevers förståelse för inverse principle och complement principle undersökts. Forskarna är eniga om att det inte är självklart för elever hur addition och subtraktion relaterar till varandra. En diskussion som kan föras är om resultatet av studierna har påverkats av att elever svarade rätt på uppgifter som innefattade inverse principle eller complement principle utan att de förstod hur principerna fungerar. Om eleverna svarade rätt på en fråga genom att använda sig av huvudräkning istället för att använda principerna kan det gett rätt svar på uppgiften, men resultatet av studien kan ha blivit felaktigt för att de har använt huvudräkning och inte principerna. Baroody (1999), Canobi (2005) och Torbeyns et al. (2016) har använt tid som en del för att se hur lång tid eleverna tog på sig för att lösa uppgifterna. Genom att ta tid kunde de lättare bedöma om eleverna använde principerna eller inte. Torbeyns et al. (2016, s. 392) såg att de elever som visade förståelse för complement principle var de som hade kortast svarstid. Det är däremot otydligt om resterande forskare har tagit hänsyn till hur lång tid det tog för eleverna att lösa uppgifterna. Vi ser det därför viktigt att som lärare ta hänsyn till flera aspekter än endast det rätta svaret vid bedömning av elevers visade kunskaper.

Vi ställer oss frågande till Torbeyns et al. (2016) då de i sin studie har valt att inkludera elever som redan undervisats i subtraktion i två och ett halvt år och exkluderat de 20% elever som visade lägst resultat i matematik. Vi ställer oss även frågande till Baroodys (1999) studie då han beskriver att han endast inkluderat matematiskt starka elever, med motiveringen att maximera sina bevis för att elever tidigt utvecklar förståelse för complement principle. Det kan diskuteras hur resultaten av deras studier hade blivit om urvalskriterierna varit annorlunda. Hade de då sett skillnader i hur elever uppfattar inverse principle och complement principle beroende på vilken nivå i matematik eleverna befinner sig.

(22)

19 En annan faktor som vi tar hänsyn till i vår diskussion är hur resultatet har påverkats av hur uppgifterna har presenterats. I en del studier presenterades uppgifterna i en kontext så att eleverna kunde ta till sig principerna under tiden testet gjordes. Baroody (1999, s. 139) menar att varje gång ett korrekt eller inkorrekt svar gavs stärktes elevernas förståelse för principerna, då de kan ha upptäckt ett mönster för hur principerna fungerar. Utifrån Baroodys argument kan möjligheten finnas att elever uppmärksammar strukturen för principerna om läraren väljer att i sin undervisning inkludera uppgifter som innefattar principerna. Vi ställer oss därför frågande till hur elever presterar på uppgifter när de inte är i en uppstyrd kontext där eleverna kan se om föregående uppgift kan hjälpa dem att lösa nästkommande uppgift.

Ett flertal studier (Ching & Nunes, 2017, s. 66; Baroody, 1999, s. 146; Canobi, 2005, s. 226) visar även att användandet av complement principle kan sättas i relation till kommutativitet. Baroody (1999) och Ching och Nunes (2017) såg att elever visade större förståelse för kommutativitet än complement principle. Ching och Nunes (2017) finner det intressant då både complement principle och kommutativitet har sin grund i tals del-helhetsrelationer. Canobi (2005, s. 228–229) drog slutsatsen att förståelsen för addition och subtraktion grundar sig i elevernas kunskap om tals del-helhetsrelationer. Hon såg att elevers kunskap om principerna utvecklas från att först endast förstå additiv kommutativitet till att även förstå inverse principle och complement principle. Vi finner det intressant att diskutera vad som ligger till grund för att elever ska kunna bemästra principerna och bli effektiva i sitt räknande. Utifrån resultatet ser vi att det inte finns en tydlig väg till hur elever lär sig använda inverse principle och complement principle. Vi har sett att den kommutativa lagen är något som årskurs 1–3 arbetar mycket med. Det är även ett återkommande inslag i de läroböcker som vi sett användas under vår verksamhetsförlagda utbildning. Av våra erfarenheter behandlar undervisningen redan den kommutativa lagen och tals del-helhetsrelationer. Till viss del behandlar undervisningen även inverse principle då som addition och subtraktion som motsatser. Vi ställer oss frågande till vad som då behöver utvecklas för att elever ska fördjupa sina kunskaper om inversen mellan addition och subtraktion.

Ur resultatet framgår det av flera forskare att elevers lärande av nya begrepp främjas genom att de introduceras med olika representationsformer. Deltagarna från tre studier (Gilmore & Bryant, 2006; Canobi, 2005; Ching & Nunes, 2017) visade positiva resultat kring hur olika representationsformer hjälper elever att utveckla förståelse för principerna. Canobis (2005) resultat skiljer sig från övriga då hon menar att konkret material inte nödvändigtvis hjälper

(23)

20 eleverna att själva använda principerna. Det framgick i hennes studie att eleverna hade svårare för att muntligt förklara principerna än att identifiera och använda principerna för att lösa okända problem. Det skulle kunna uppfattas som att eleverna kan ha kunskap om principerna men att de kan behöva konkret material för att förklara dem. Nunes et al. (2009, s. 76) uppmärksammade att eleverna presterade bättre på uppgifter med complement principle än uppgifter med inverse principle när de testade elevernas förkunskaper. Resultatet är intressant då de även såg att undervisning om inverse principle bidrog till att eleverna utvecklade förståelse för complement principle. Vi har genom vår verksamhetsförlagda utbildning fått erfara att elever generellt är mer vana vid uppgifter som endast innefattar en operation med två termer följt av en summa eller differens (𝑎 + 𝑏 = 𝑐 eller 𝑎 − 𝑏 = 𝑐), vilket även är fallet i uppgifter med complement principle (𝑎 + 𝑏 = 𝑐 eller 𝑐 − 𝑏 = 𝑎). Uppgifter med inverse principle omfattar däremot två operationer i samma uppgift och där summan eller differensen är samma som första termen (𝑎 + 𝑏 − 𝑏 = 𝑎 eller 𝑎 − 𝑏 + 𝑏 = 𝑎). Det behöver däremot inte tyda på att eleverna förstod complement principle bättre än inverse principle. Möjligheten finns, att eleverna gjorde en beräkning på uppgifterna med complement principle utan att ta hänsyn till att 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 och 𝑐 − 𝑏 = 𝑎 relaterar till varandra.

Tolkning av styrdokument

Vad läroplanen lyfter angående inverse principle och complement principle ser vi som tolkningsbart och allmänt skrivet, vilket kan ses som både ett hinder och en fördel i lärarens arbete. I kursplanen för matematik står det att eleverna ska utveckla kunskaper om matematikens uttrycksformer och hur de kan användas i vardagen (Skolverket, 2019a, s. 54). Med kommentarmaterialet som stöd till kursplanen så framgår det att eleverna ska utveckla sådana kunskaper om räknesätten att de enkelt kan avgöra vilket räknesätt som är mest effektivt för problemet (Skolverket, 2017). I de lägre årskurserna handlar det om att som lärare hjälpa eleverna att utveckla effektiva metoder för att i senare årskurser kunna tillämpa dessa i ett utvidgat talområde och på okända problem.

(24)

21

7 Avslutande kommentarer

Sammanfattning av resultat

Vi har genom litteraturstudien sett att elevers förståelse för addition och subtraktion underlättar för dem när de utvecklar kunskap om inverse principle och complement principle. För att svara på frågan hur förståelse för addition och subtraktion kan underlätta för elever när de utvecklar kunskap om inverse principle och complement principle visar resultatet av litteraturstudien att elever utvecklar förståelse för addition innan de utvecklar förståelse för subtraktion. Elever kopplar subtraktion till sin redan befästa kunskap om additiva del-helhetsrelationer. Det visar sig att förståelse för uttryck med två likadana termer (3 + 3 = 6) underlättar för eleverna när de ska lösa del-helhetsuppgifter som innefattar subtraktion (6 − 3 = 3). Därför behöver undervisningen om principerna utgå från tal som eleverna är bekanta med. Både inverse principle och complement principle utgår från förståelsen för tals del-helhetsrelationer. De båda principerna är abstrakta och kan vara svåra för eleverna att förstå. Inverse principle kan vara svårt för eleverna att förstå då de kan finna det svårt att koppla principen till verkligheten. Det visade sig att elever sällan använder complement principle utan uppmaning. Elever visade mer användning av principen när de blev uppmärksammade på att det kunde hjälpa dem. För att svara på frågan om vilken betydelse konkret material har för elevers förståelse för inverse principle och complement principle visar resultatet av litteraturstudien att konkret material kan utveckla elevers förståelse för inverse principle och complement principle. Det visade sig vara viktigt för eleverna att möta konkret material när de utvecklar förståelse för inverse principle och complement principle. Genom att använda konkret material i undervisningen synliggörs principerna och det kan hjälpa eleverna att själva sätta ord på och förklara principerna. Konkret material kan underlätta för eleverna när de utvecklar kunskaper om hur addition och subtraktion relaterar till matematiska principer. Däremot behöver man som lärare ha i åtanke att en och samma undervisningsform inte passar för alla elever.

Egna reflektioner

Viktigt att påpeka är att det inte endast finns en väg att gå för att utveckla förståelse för inverse principle och complement principle, vilket kan utläsas av resultatet i vår litteraturstudie. Om undervisning om inverse principle och complement principle skulle få större utrymme i matematikundervisningen, skulle det kunna bidra till att eleverna utvecklar effektiva metoder för addition och subtraktion. Vi har inte sett tydlig undervisning som syftar till varken inverse principle eller complement principle. Det kan dock vara så att principerna berörs men att de

(25)

22 undervisas om som tre tal i en relation och inte som just inverse principle och complement principle. Våra egna erfarenheter av matematikundervisning är att addition och subtraktion behandlas som åtskilda räknesätt och undervisning om hur det omvända räknesättet kan användas för att lösa ett problem visade sig vara få. Vi hoppas därför att litteraturstudien kan bidra till en mer nyanserad bild av relationen mellan addition och subtraktion. Som blivande lärare ser vi vikten av att elever får kunskap om de olika räknesätten och hur de använder sin kunskap som ett verktyg. För att elever inte ska uppfatta att addition endast innebär att lägga till och subtraktion endast innebär att ta bort ser vi att undervisningen som bedrivs behöver diskutera addition och subtraktion i relation till varandra och inte som två åtskilda räknesätt. Vi ser vikten av att inkludera inverse principle och complement principle i vår undervisning för att eleverna ska lära sig effektiva metoder för att lösa problem.

Vidare forskning

Fortsatt forskning behövs inte minst för att complement principle är ett komplext begrepp. Det behövs även för att studera den problematik som lyfts av forskarna angående elevers svårigheter för principen. En fråga vi ställer oss är vad lärare vet om inverse principle och complement principle. Då undervisningen ofta syftar till att se tals del-helhetsrelationer undrar vi hur lärare använder inverse principle och complement principle. I relation till den allmänt skrivna läroplanen skulle fortsatt forskning kunna behandla ett undervisning- och lärarperspektiv för att undersöka hur undervisningen i matematik behandlar addition och subtraktion som ej skilda räknesätt. Då vi ser en avsaknad av att inverse principle och complement principle berörs i läromedel ser vi det intressant att genomföra en läromedelsgranskning. Vi ställer oss frågande till om inkludering av inverse principle och complement principle i läromedel skulle bidra till att elever utvecklar förtrogenhet med att använda principerna. De läromedel vi har sett lyfter inte inverse principle och complement principle och vi ställer oss frågande till om det finns andra läromedel som gör det och i så fall på vilket sätt de framställs.

(26)

23

8 Referenslista

Baroody, A. J. (1999). Children’s Relational Knowledge of Addition and Subtraction. Cognition and Instruction, 17(2), 137-175. https://doi.org/10.1207/S1532690XCI170201 Baroody, A. J. (2016). Curricular approaches to connecting subtraction to addition and fostering fluency with basic differences in grade 1. PNA, 10(3), 161–190.

Baroody, A. J., & Lai, M. (2007). Preschoolers’ Understanding of the Addition-Subtraction Inverse Principle: A Taiwanese Sample. Mathematical Thinking and Learning, 9(2). 131-171. https://doi.org/10.1080/10986060709336813

Baroody, A.J., Torbeyns, J., Verschaffel. L. (2009). Young Children’s Understanding and Application of Subtraction-Related Principles. Mathematical Thinking and Learning, 11(1-2), 2-9. http://doi.org/10.1080/10986060802583873

Canobi, K. H. (2005). Children’s profiles of addition and subtraction understanding. Journal of Experimental Child Psychology, 92(3). 220-246. https://doi.org/10.1016/j.jecp.2005.06.001 Canobi, K.H, & Berthune, N.E. (2008). Number words in young children’s conceptual and procedural knowledge of addition, subtraction and inversion. Cognition, 108, 675-686. https://doi.org/10.1016/j.cognition.2008.05.011

Ching, B. H. H., & Nunes, T. (2017). Children’s understanding of the commutativity and complement principles: A latent profile analysis. Learning and Instruction, 47, 65-79. http://dx.doi.org/10.1016/j.learninstruc.2016.10.008

Dowker, A. (2014). Young children’s use of derived fact strategies for addition and subtraction. Frontiers in Human Neuroscience, 7, 1-9. https://doi.org/10.3389/fnhum.2013.00924

Gilmore, C. K., & Bryant, P. (2006). Individual differences in children’s understanding of inversion and arithmetical skill. British Journal of Educational Psykologi, 76, 309–331. https://doi.org/10.1348/000709905X39125

(27)

24 Heiberg Solem, I., Alseth, B., & Nordberg, G. (2012). Tal och Tanke – matematik undervisningen från förskoleklass till årskurs 3. Lund: Studentlitteratur

Häggblom. L. (2013). Med matematiska förmågor som kompass. Lund: Studentlitteratur.

Kiselman, C. & Mouwitz, L. (2008). Matematiktermer för skolan. Göteborg: Nationellt centrum för matematikundervisning (NCM), Göteborgs universitet.

Löwing, L. (2017). Grundläggande aritmetik: matematikdidaktik för lärare. Lund: Studentlitteratur

McIntosh, A. (2008). Förstå och använda tal - en handbok. Göteborg: Nationellt centrum för Matematikutbildning.

Neuman, D. (2013). Att ändra arbetssätt och kultur inom den inledande

matematikundervisningen. Nordic Studies in Mathematics Education, 18(2), 3–46.

Nilholm, C. (2016). SMART – ett sätt att genomföra forskningsöversikter. Lund: Studentlitteratur.

Nunes, T., Bryant, P., Hallet, D. Bell, D., & Evans, D. (2009). Teaching Children About the Inverse Relation Between Addition and Subtraction. Mathematical Thinking and Learning, 11(1-2), 61-78. https://doi.org/10.1080/10986060802583980

Skolverket. (2017). Kommentarmaterial till kursplanen i svenska. Stockholm: Skolverket. Hämtad från https://www.skolverket.se/getFile?file=3808

Skolverket. (2019a). Läroplan för grundskolan, förskoleklass och fritidshemmet 2011: Reviderad 2019. Stockholm, Sverige.

Skolverket. (2019b). Provresultat i grundskolan läsåret 2018/2019. Hämtad från

https://www.skolverket.se/skolutveckling/statistik/arkiverade-statistiknyheter/statistik/2019-11-28-provresultat-i-grundskolan-lasaret-2018-2019

(28)

25 Sophian, C. & Vong, K. I. (1995). The Parts and Wholes of Arithmetic Story Problems: Developing Knowledge in the Preeschool Years. Cognition and Instruction, 13(3), 469-477. https://doi.org/10.1207/s1532690xci1303_5

Torbeyns, J., Peters, G., De Smedt, D., Ghesequiere, P., & Verschaffel, L. (2016). Children’s understanding of the addition/subtraction complement principle. British Journal of Educational Psychology, 86, 382-396. https://doi.org/10.1111/bjep.12113

(29)

Bilaga

Författare Titel Tidskrift Publikationsår

Syfte Design Resultat

Baroody, A. J.

Children's Relational Knowledge of Addition and Subtraction

COGNITION AND INSTRUCTION 1999

Undersöka hur undervisningen kan utformas för att främja lärandet av

complement principle hos elever i årskurs 1 följt av vad som ligger till grund för

förståelsen.

Studie 1: 40 barn och elever mellan 4 och 7 år, med olika mycket kunskap inom aritmetik, intervjuades individuellt.

Studie 2: 21 elever mellan 6 och 7 år i årkurs 1 intervjuades individuellt.

Undersökningen genomfördes i Illinois.

Complement principle är inte självklar för alla elever. De elever som ännu inte fått undervisning om skriftlig subtraktion kunde heller inte använda complement principle, tillskillnad från elever som hade fått undervisning om både addition och subtraktion.

På uppgifter som berörde complement principle var det få elever som visade att de bemästrade strategin. Resultatet visar att det generellt är svårt för barn att förstå strategin, framförallt om de inte besitter kunskap om symbolisk eller skriftlig operation med subtraktion.

Baroody, A. J., & Lai, M.

Preschoolers’ Understanding of the Addition-Subtraction Inverse Principle: A Taiwanese Sample Mathematical Thinking and Learning 2007

Kedjesökning

Undersöka och förstå när den informella förståelsen för inverse principle börjar att utvecklas hos barn.

48 barn och elever mellan 4 och 6 år deltog i undersökningen.

Undersökningarna genomfördes i Taiwan och USA.

Undersökningen resulterade i att de 4-åriga deltagarna visade mindre förståelse för inverse principle jämfört med 5–6 åringarna. Det kan bero på att 5-6åringarna befann sig i den proximala utvecklingszonen och de kunde därför bemästra principen. De såg även att eleverna behöver ha förståelse för addition och subtraktion innan undervisningen om inverser börjar.

Undervisningen bör utökas succesivt så eleverna hinner bekanta sig med talen, både i addition och subtraktion.

(30)

Canobi, K. H.

Children’s profiles of addition and subtraction understanding

Journal of Experimental Child Psychology

2005

Utforska barns förmåga att känna igen och förklara matematiska principer samt

undersöka förhållandet mellan barns olika förståelser för principerna.

Studie 1: 24 elever mellan 7 och 9 år deltog i studien. Eleverna kom från en lägre till medel socioekonomisk bakgrund.

Studie 2: 20 elever i årskurs 1 och 20 elever i årskurs 2 deltog. Eleverna kom från en lägre till medel socioekonomisk bakgrund.

Undersökningen genomfördes i Storbritannien.

Barns begreppsmässiga förståelse för inverse principle och complement principle varierar beroende på deras kunskap om additiva

del-helhetsrelationer. Resultatet tyder på att kunskaper om subtraktions utvecklas efter addition. Det visar sig att kommutativitet utgör en del i att förstå principen och att förståelse för inverse principle och complement principle utvecklas med erfarenhet. Resultatet visar att konkret material och att referera till objekt i omgivningen hjälper barn att förstå och förklara principerna. Däremot gäller det inte för alla, en del elever blir hjälpa av konkret material medan andra har ett mer abstrakt tänkande.

Canobi, K.H., & Berhune., N.E Number words in young children’s conceptual and procedural knowledge of addition, subtraction and inversion Cognition

2008

Kedjesökning

Undersöka vilken roll konkret material och räkneord har för elevers förståelse för inverse principle och för att bättre förstå deras utveckling av inverser.

Eleverna kom från tre förskolor och en skola i ett medel socioekonomisk bakgrund. 30 elever gick i förskoleklass och 30 elever gick i skolan. Eleverna från skolan ingick i studien då tidigare resultat hade visat att yngre elever presterade mindre bra på uppgifter med inverser. Undersökningen genomfördes i Australien.

Elevers förståelse för hur konkret material anknyter till den verkliga världen visade sig ha en viktig roll i elevernas förståelse för relationen mellan inverser. Resultatet visar att elever både använder addition och subtraktion korrekt på textuppgifter som på icke verbala problem.

Ching, B. H. H., & Nunes, T. Children’s understanding of the commutativity and complement principles: A latent profile analysis Learning and Instruction

2017

Undersöka mönster i elevers olika förståelse om kommutativa lagen och complement principle, i kontexter både med och utan konkret material.

115 grundskoleelever som alla låg på en medelgod nivå i matematik testades. Testerna berörde kommutativa lagen och complement principle följt av beräkningar och att resonera med hjälp av konkret material.

Undersökningen genomfördes i Hong Kong.

Elevernas svar resulterade i fyra olika mönster av förståelse:

1. God förståelse för kommutativitet och complement principle i både med konkret material och abstrakt form.

2. God förståelse för kommutativitet i både konkret och abstrakt form, god förståelse för complement principle bara med konkret material.

3. God förståelse endast för kommutativitet, både med konkret material och abstrakt form.

Eleverna verkar utveckla kunskaper genom att gå från konkret till abstrakt tänkande. Kommutativitet är lättare att förstå för eleverna än complement principle.

(31)

Dowker, A.

Young children’s use of derived fact strategies for addition and subtraction Frontiers in Human Neuroscience 2014

En studie som syftar till att undersöka

användandet av strategier baserade på addition och

subtraktion.

144 elever mellan 6 och 7 år testades i användandet av matematiska principer. Undersökningen genomfördes i Oxford.

De elever som inte kunde utföra additioner med två termer på ett tillförlitligt sätt visade heller ingen förståelse för inverse principle. Även resultatet för subtraktion med två termer visade att elever som inte kunde utföra

subtraktioner med två termer på ett tillförlitligt sätt inte visade förståelse för inverse principle eller complement principle. Resultatet visar att när eleverna visar svårigheter med att använda inverse principle för addition eller subtraktion samt complement principle för subtraktion kan det tyda på att de har svårt att förstå sambandet mellan addition och subtraktion. Gilmore, C. K., & Bryant, P.

Individual differences in children’s understanding of inversion and arithmetical skill

British Journal of Educational Psychology 2006 Undersöka barns förståelse av inverse principle och förhållandet mellan deras konceptuella förståelse och aritmetiska färdigheter.

127 elever mellan 6 och 9 år, deltog i undersökningen.

Undersökningen genomfördes på elever med god språklig förmåga i engelska.

Elevernas prestationer skiljdes åt beroende på om konkret material eller bildstöd användes eller inte. En del barn visar begreppsmässig kunskap i linje med deras beräkningsförmåga, medan andra visar begreppskunskaper som är mer avancerade än vad som förväntades utifrån deras generella kunskaper i aritmetik. Elever kunde, oavsett ålder, förstå inverse principle när de presenterades med konkret material eller bildstöd. Svårare var det när problemen bara presenterades med ord och siffror.

Nunes, T., Bryant, P., Hallet, D. Bell, D., & Evans, D.

Teaching Children About the Inverse Relation Between Addition and Subtraction

Mathematical Thinking and Learning 2009

Kedjesökning

Genom två studier undersöka hur olika typer av undervisning påverkar elevers förståelse för inverse principle och

complement principle.

Studie 1: 60 elever i årskurs 1 och 2, alla från olika socioekonomisk status, deltog.

Studie 2: 39 elever från två olika skolor, alla från olika socioekonomisk status, deltog i testet. Undersökningarna genomfördes i

Storbritannien.

De elever som hade fått muntlig undervisning med konkret material som stöd presterade bättre än de elever som inte hade fått någon undervisning om inverse principle. Resultatet visar att eleverna kunde även lösa uppgifter baserade på complement principle genom undervisningen om inverse principle. Förståelse för inverse principle kan alltså hjälp elever att förstå complement principle.

(32)

Sophian, C. & Vong, K. I.

The Parts and Wholes of Arithmetic Story Problems: Developing Knowledge in the Preeschool Years Cognition and Instruction

1995 Kedjesökning

En studie som fokuserar på tidig problemlösning för att klargöra när barn börjar använda kunskapen om del-helhetsrelationer för att lösa problem.

24 4 åringar, som ännu inte börjat i

förskoleklass och 24 5 åringar i förskoleklass, testades individuellt.

Skillnaden mellan 4 åringar och 5 åringar fanns i deras förmåga att lösa problem med hjälp av sin förståelse för del-helhetsrelationer. 4 åringarna visade att de inte kunde ta till förståelse för del-helhetsrelationer när de löste problem, även fast det bara var en term som adderades eller subtraherades. 5 åringarna visade att de kunde använda sin förståelse för del-helhetsrelationer och applicera den förståelsen på de presenterade problemen, även när beräkningarna blev större.

Elevers förmåga att ta till sig del-helhetsrelationer och använda dem utvecklas i förskoleklass och är viktig för elevers förmåga att lösa

problemuppgifter. Elevernas förståelse utvecklas i 5 års åldern när eleverna går i förskoleklass och är en grund för elevernas fortsatta utveckling inom matematik.

Torbeyns, J., Peters, G., De Smedt, D., Ghesequiere, P., & Verschaffel, L.

Children’s understanding of the addition/subtraction complement principle

British Journal of Educational Psychology

2016

Undersöka barns förståelse av

complement principle med verbala och icke-verbala tekniker.

Individuella tester

genomfördes på 67 elever i årskurs 3 och 4. Undersökningen genomfördes i Belgien.

Majoriteten av eleverna använde strategin’’talsorter för sig’’, både vid uppgifter som krävde beräkning samt där tidigare uppgift kunde vara till hjälp för att resonera fram

lösningen. Complement principle verkar vara svår att förstå även för äldre elever medan kommutativa lagen verkar vara enklare att förstå. De elever som använde complement principle var också de som var snabbast, vilket visar att strategin är effektiv.

References

Related documents

Svårigheten att kunna förklara sambandet mellan räknesätten återkommer när eleverna ska förklara vilka strategier de använder för att komma fram till lösningen.. En

A) Nämnarna lika: Addera respektive subtrahetar täljarna direkt.. Addition och subtraktion av bråk i blandad form. A) Addera respektive dividera heltalen för sig och

A) Nämnarna lika: Addera respektive subtrahetar täljarna direkt.. Addition och subtraktion av bråk i blandad form. A) Addera respektive dividera heltalen för sig och

On the other hand, we have calculated an implementation activ- ity average cost for each of the MNDR components; these include com- munity death notification, verbal autopsy,

Kärrholm skriver: ”I det kalla krigets världsbild ingick en räcka föreställningar och en metaforik som utgjorde en övergripande förståelseram, ett slags stor berättelse om

Enligt både Murray (2000, 2002) och Sloper (2000) upplevde syskonen att de fick för lite information om varifrån sjukdomen kom, hur den hade utvecklats och hur cancern behandlas

Utifrån detta har jag för avsikt att i denna studie undersöka elevernas användning av konkret material som till exempel pengar eller tiobasmaterial i additions-

Detta är intressant i vår analys av Prima matematik då vi undersöker i vilken utsträckning läromedlet ger eleverna möjlighet att utveckla strategier för att hantera olika