Förståelse av funktioner - faktorer som har bidragit till begreppsutvecklingen

Malmö högskola

Lärarutbildningen

Natur, Miljö, Samhälle

Examensarbete

15 högskolepoäng

Förståelse av funktioner

Faktorer som har bidragit till begreppsutvecklingen

Understanding of Functions

Factors contributing to the learning and understanding of mathematical concepts

Kajsa Toft

Lärarexamen 270 hp Examinator: Per-Eskil Persson Matematik och lärande

Sammanfattning

Syftet med denna uppsats är att undersöka matematikstudenters uppfattningar kring begreppet funktion samt vilka faktorer som inverkat positivt på deras förståelseutveckling. Tidigare forskning på området begreppsutveckling tar upp faktorerna, att skapa relationer, att utöka och använda sig av matematisk kunskap, att reflektera kring sina erfarenheter, att formulera vad man vet samt att göra matematisk kunskap till sin egen. I resultatet återfanns tre av dessa, nämligen att utöka och använda sig av matematisk kunskap, att reflektera kring sina erfarenheter samt att formulera vad man vet. Dessutom framkom en tydlig bild av den grafiska representationens vikt för studenternas förståelse av funktionssambandens mening.

Nyckelord

Algoritm, begreppsutveckling funktioner, förståelse, graf, inlärning, matematik, matematikundervisning, uppfattningar, verklighetsanknytning

Innehållsförteckning

Sammanfattning...3 Nyckelord ...3 Innehållsförteckning ...5 Inledning...7 Bakgrund ...7 Syfte ...7 Litteraturgenomgång...8 Funktioner...8 Definition...9 Historik ...9

Funktioner i svenska skolan... 11

Syn på kunskap och förståelse... 11

Tidigare forskning... 13

Begreppsbild och begreppsdefinition... 13

Transfer mellan funktioner och verkligheten ... 16

Funktionsbegreppet hon lärarstudenter ... 17

Metod... 20

Intervjuteknik... 20

Val av metod... 22

Utförande ... 23

Resultat... 25

Vilken begreppsuppfattning har de kring begreppet funktioner? ... 25

Person 1 ... 25 Person 2 ... 25 Person 3 ... 26 Person 4 ... 26 Person 5 ... 27 Sammanfattning ... 27

Hur ser deras minnesbild av inlärningen av funktioner ut?... 28

Person 1 ... 28 Person 2 ... 28 Person 3 ... 29 Person 4 ... 29 Person 5 ... 30 Sammanfattning ... 30

Vilken koppling finns mellan det egna lärandet och lärarens undervisning?... 30

Person 1 ... 30

Person 2 ... 31

Person 5 ... 31

Sammanfattning ... 32

Vilka hjälpmedel använde de sig av för att skapa en relationell förståelse? ... 32

Person 1 ... 32

Person 2 ... 32

Person 4 ... 33

Sammanfattning ... 33

Hur kopplar de det abstrakta matematiska till verkliga processer? ... 33

Person 1 ... 33

Person 3 ... 34 Person 4 ... 35 Person 5 ... 35 Sammanfattning ... 35 Diskussion ... 37 Källor ... 41 Tryckta källor... 41 Internetkällor ... 42

Inledning

Bakgrund

Funktionsbegreppet var för mig länge fullständigt obegripligt. Jag kunde hantera funktionsuttrycken och utföra de operationer som krävdes men förstod inte den grafiska representationen. Så länge jag inte gjorde det såg jag bara funktioner som en utveckling av algebran. Sen en dag i samband med att läraren förklarade någonting med derivator i matematik kurs C, förstod jag plötsligt den grafiska representationen och en helt ny värld öppnade sig. Nu kunde jag se funktionerna framför mig och förstå hur de kunde beskriva olika typer av skeenden i verkligheten. Från den dagen var matematik inte längre svårt och obegripligt utan roligt och spännande. Det var inte längre bara att räkna för att få ett svar, utan ett språk. Detta språk kunde många gånger beskriva processer i fysiken och kemin effektivare än det vanliga skriftliga eller talade språket.

En kollega till mig berättade en dag hur hon varit på ett föredrag med en professor i matematik och hur han pratat om att matematiken för honom var ett vackert språk. Min kollega som inte är matematiker kopplade detta till estetiska språk som hon var mer bekant med, och jämförde matematiken med dansen. Dans är också ett språk med få invigda i dess abstrakta natur och precis som med matematiken så kan den invigda läsa hela berättelser där den oinvigda bara ser rörelser eller i matematikens fall siffror och bokstäver.

Då denna förändrade syn på matematiken i samband med förståelsen av funktionsbegreppet var avgörande för mitt intresse och mina fortsatta studier i matematik tyckte jag att det vore intressant att se hur tankegångarna hos de elever som väljer att läsa vidare inom matematik ser ut. Hur de ser på begreppet funktioner och vad som invigt dem i matematikens abstrakta språk.

Syfte

Syftet är att spåra upp faktorer som påverkat studenternas förståelseutveckling positivt. Detta genom att undersöka vilken begreppsbild matematikstudenter, första terminen på universitetet, har kring funktioner och hur de upplever att den har utvecklats under utbildningens gång. Därigenom vill jag försöka kartlägga vilka

moment, representationer, bilder, verktyg eller tillämpningar som verkat positivt för deras förståelseprocess. Hur kopplar de det abstrakta matematiska till verkliga processer? Vilken koppling finns mellan det egna lärandet och lärarens undervisning? Anledningen till att universitetsstudenter som studerar matematik valts att undersökas är att dessa troligtvis har en förståelse för funktionsbegreppet som så många andra aldrig får. Då kan det vara intressant att se vad det varit som fungerat.

Frågeställning

Frågeställningen i denna undersökning är indelad i fem forskningsfrågor som presenteras nedan.

1. Vilken begreppsuppfattning har matematikstuderande, första terminen på universitetet, kring begreppet funktioner?

2. Hur ser deras minnesbild av inlärningen av funktionsbegreppet ut?

3. Vilka samband mellan det egna lärandet och de undervisningssätt de mött anger studenterna?

4. Vilka hjälpmedel använde matematikstuderande, första terminen på universitetet, sig av för att skapa en relationell förståelse?

5. På vilket sätt kopplar matematikstuderande, första terminen på universitetet, samman det abstrakta matematiska med verkliga processer?

Litteraturgenomgång

Funktioner

Syftet är att spåra faktorer som påverkat studenternas begreppsuppfattning kring funktioner positivt. Det blir då viktigt att först och främst beskriva vad en funktion är, hur begreppet utvecklats genom historien och hur begreppet behandlas i den svenska skolan.

Definition

En funktion är ett samband mellan en oberoende variabel, x, och en beroende variabel,

y, sådant att det för varje värde på x finns ett och endast ett värde för y. Mängden av

alla möjliga värden för x utgör definitionsmängden, X, och på motsvarande vis utgör mängden av alla möjliga värden för y värdemängden, Y. (Björk & Bolin 2004) Definitionsmängden är alltså alla de objekt som funktionen tillåts verka på och värdemängden är det resulterande intervallet. (Persson & Böiers 2007) Man säger att funktionen är definierad från x till y det vill säga y är en funktion av x vilket vanligen betecknas y f

 

x . (Nationalencyklopedin1)

Historik

En sak som utmärker funktioner är dess många representationsformer. Genom historien har funktioner betraktats som tabeller, grafer, regler, formler, samband mellan variabler, transformationer, en samling ordnade par eller som en operation. Hur man ser på funktioner har förändrats utifrån vilket behov funktionerna skall tillfredsställa. (Kleiner 1993)

Matematikens historia sträcker sig långt bakåt i tiden och de tidigaste dokumentationerna som återfunnits härrör från 2000-talet före vår tideräkning. Funktionsbegreppet hör dock inte till denna urgamla matematik, utan är förhållandevis modern då den första gången benämndes funktion av Leibniz på 1700-talet. Det går dock att se spår av funktionstänkande i mer simpla former så långt tillbaka i tiden som 1800 före vår tideräkning, då de i Babylonien använde sig av tabeller för att se sammanhang gällande till exempel tal i kvadrat eller kubik. (Kleiner 1993)

I det forna Grekland använde man sig av matematiska relationer för att beskriva förhållanden i geometriska figurer eller hur en ton beror av en strängs längd. Detta beskrevs som saker och tings proportioner. De använde sig även utav kurvor så som spiralen, som erhölls genom att något avlägsnades från mittpunkten med en konstant fart samtidigt som det roterade kring mittpunkten med en konstant vinkelhastighet. (Kleiner 1993)

Under 1200- och 1300-talen låg världens vetenskapliga centrum i London och Paris. Där studerades ickelikformig rörelse så som en fallande kropp vilket presenterades i en graf, detta var första gången som en fysikalisk lag presenterades på detta vis. Den matematiskt förankrade fysiken utvecklades under 1500- och 1600-talen då Kepler och Galilei med flera studerade bland annat himlakropparnas rörelser. Även Fermats och Descartes skapande av den analytiska geometrin innebar ett avgörande steg framåt för skapandet av funktionsbegreppet. De använde då sig av algebraiska uttryck och kurvor för att beskriva rörelsen hos en pendel, en fritt fallande kropp eller utseendet hos ett rep som hängs upp mellan två punkter. De gjorde det även möjligt att uttrycka kända kurvor med hjälp av algebraiska uttryck som innehöll två variabler. Detta gjorde det i sin tur möjligt att få fram ett oändligt antal kurvor genom att först uttrycka dem algebraiskt. I början av 1600-talet introducerade Fermat den oändliga familjen av parabler och hyperbler, det vill säga ykxn för x0. Det formulerades dock ingen definition av funktioner vid denna tid då ingen differentierade den beroende variabeln från den oberoende. (Klenier 1993)

I början av 1700-talet upptäckts behovet av att formulera en definition för funktioner och den förste som gjorde detta formellt var Johann Bernoulli 1718. Denna definition innebar att en funktion var ett algebraiskt uttryck. Definitionen utvecklades senare av Euler som 1748 utgav den första läroboken i funktionsteori, "Introductio in analysin

infinitorum". Enligt Kleiner lyder Eulers definition av funktionsbegreppet som följer: ”A function of a variable quantity is an analytic expression composed in any manner from that variable quantity and numbers or constant quantities.” (Kleiner 1993 s 187)

Det kan vara bra att notera att funktioner där olika funktionssamband gäller för olika delar av definitionsmängden inte ansågs vara funktioner vid denna tid. (Klenier 1993)

Det var dock Leibniz som gav namn åt begreppet funktioner. Bland de första funktioner som utvecklades fanns bland annat de trigonometriska funktionerna och exponentialfunktioner. Efterhand som fysiken utvecklades upptäcktes behovet av andra typer av funktioner och under 1800-talet ägnades mycket matematisk forskning

åt att utvidga funktionsbegreppet. (Nationalencyklopedin1) Den moderna definitionen av funktioner ställdes upp av Peter Dirichlet och kallas för Dirichlet-Bourbaki definitionen. (Nationalencyklopedin2och Vinner & Dreyfus 1989)

Newton och Leibniz skapade differentialkalkylen, läran om derivator och integraler. (Nationalencyklopedin5) De arbetade dock inte med funktioner utan utarbetade under andra halvan av 1700-talet en uppsättning algoritmer för att behandla kurvor skrivna med hjälp av algebraiska uttryck. Detta var främst ett verktyg för att lösa geometriska och kinematiska problem så som att bestämma arean under en kurva och momentanhastigheten hos en kropp som rör sig enligt en känd kurva. Detta kan inte ses som funktionskalkyl enligt dagens definition av funktioner utan snarare som kurvanalys. (Kleiner 1993)

Funktioner i svenska skolan

I svenska skolan introduceras funktionsbegreppet i slutet av grundskolan. Ett av uppnåendemålen inom matematiken för årskurs nio är att eleverna skall kunna tolka grafiska representationer av funktioner som beskriver verkliga processer. (Skolverket1 2000) I gymnasieskolan behandlas funktioner i så gott som alla nationella kurser. I kurs A behandlas linjära funktioner och enklare exponentialfunktioner. Dessa båda skall eleven kunna applicera på verkliga skeenden. (Skolverket2 2000) Först i B kursen skall eleverna kunna beskriva vad som kännetecknar en funktion. De skall även kunna använda sig av grafritande hjälpmedel för att arbeta med funktioner. I denna kurs kommer fler ickelinjära funktioner in och även dessa skall anknytas till verkliga processer. (Skolverket3 2000) I matematik kurs C introduceras begreppet derivata och fokus på funktioner blir i och med det mer omfattande än i tidigare kurser. Derivatan av en funktion skall kunna användas för att bestämma olika egenskaper hos funktionen. (Skolverket42000) De trigonometriska funktionerna behandlas i matematik kurs D. Dessa funktioner skall kunna anknytas till periodiska förlopp i verkligheten. I denna kurs fördjupas elevernas kunskaper kring derivator och begreppet integraler genomsyrar stora delar av kursinnehållet. (Skolverket52000)

Syn på kunskap och förståelse

Syftet med denna uppsats är att spåra faktorer som på ett påverkat studenternas förståelseutveckling positivt. För att kunna beskriva detta måste begrepp så som

förståelse först klargöras. Det är även viktigt att utreda vad tidigare forskning säger om lärande och förståelse inom matematiken, framför allt gällande funktioner.

Begreppet förståelse delas av Skemp (1976) in i två typer, relationell och operationell. Den operationella förståelsen består i att kunna upprepa konkreta tillvägagångssätt, till exempel algoritmer. Den relationella förståelsen å andra sidan innebär att ett begrepp befästs genom att knytas samman med tidigare kunskap. Detta kan till exempel innebära insikten att division är inversen av multiplikation eller förmågan att koppla samman en funktions grafiska representation med dess funktionsuttryck. Enligt Skemp är matematikundervisningen oftast upplagd så att varje begrepp eller algoritm först tränas operationellt för att sedan förankras relationellt av de elever som har tid. Han anser dock att det är lämpligare att börja med den relationella kunskapen så att allt får ett sammanhang innan färdighetsträningen inleds. Detta är något som även Carpenter och Lehrer (1999) förespråkar. De menar att inlärning genom förståelse är generativ då den ger eleverna möjlighet att lösa nya problem genom att relatera dem till sin tidigare kunskap. Om ingen förståelse uppnåtts blir dock varje ny del av den inlärda kunskapen isolerad och i stora drag oanvändbar då den enbart kan tillämpas på sådana exempel som redan har behandlats. Förståelse är inte ett väl definierat tillstånd som en individ antingen uppnått eller inte uppnått, utan en mer gradvis utveckling av det kognitiva nätverket kring ett begrepp. (Carpenter & Lehrer 1999)

Carpenter och Lehrer presenterar fem aktiviteter som de anser genererar förståelse av matematiska begrepp. Att skapa relationer, att utöka och använda sig av matematisk kunskap, att reflektera kring sina erfarenheter, att formulera det man vet samt att göra kunskapen till sin egen. Att skapa relationer är viktigt då förståelse skapas när ett nytt begrepp knyts an till redan befintlig kunskap. Om så inte sker kommer de olika delarna av kunskapen att förbli skilda åt och elever kan skapa sig två oberoende matematiksystem där det ena bara är användbart i skolan och det andra är vad de använder i sin vardag för att lösa matematiska problem. (Carpenter & Lehrer 1999) Enligt Wedege (2002) är detta ett fenomen som ofta kvarstår upp i vuxenlivet. I sin artikel, ”Mathematics - that´s what I can´t do” - Peoples affective and social relationship with mathematics, beskriver hon hur många upplever att de inte kan någon matematik och aldrig heller använder sig av den. Vid fallstudier kan hon dock

se att de visst använder sig av matematik, men inte utav de algoritmer som de lärt sig i skolan och då uppfattar de inte det som matematik.

För att skapa en förståelse gäller det inte bara att anknyta ett begrepp på en punkt. Den inneboende kunskapen kan ha strukturen av en kedja eller ett nät där olika begrepp kan vara befästa i ett eller flera andra begrepp. Ju fler anknytningar som finns till ett begrepp desto bättre befäst är det och blir då även svårare att glömma. Det är viktigt att redan från början anknyta matematiska begrepp och operationer till verkliga tillämpningar för att ge eleverna möjlighet att knyta an på så många punkter som möjligt. Att börja med att lära sig regler och algoritmer utan ett sammanhang för att först senare tillämpa dessa är ett vanligt misstag som grundar sig i en tro på att det är nödvändigt. Så är dock inte fallet, det är mycket möjligt för elever att lära sig en algoritm utifrån en verklig tillämpning. (Carpenter & Lehrer 1999)

Att reflektera kring sin kunskap och sin lärandeprocess är en del av förståelsen. För att förstå något måste man även veta att man förstår det. En sådan vetskap fås sällan genom repetitiva uppgifter utan oftast vid lösande av nya typer av problem. Sådan problemlösning innebär ofta att gammal kunskap undersöks och appliceras på det nya problemet. (Carpenter & Lehrer 1999)

Att kunna kommunicera sin kunskap till andra genom tal, text, bilder, tabeller och grafer är inte bara ett kunskapsmål i sig utan en viktig del i att skapa förståelse. Genom att formulera sin kunskap och förmedla den synliggörs den för individen, och på så vis stimuleras eleven att reflektera kring sin kunskap. (Carpenter & Lehrer 1999)

Tidigare forskning

Syftet med denna undersökning var att identifiera positiva faktorer i

matematikstuderandes begreppsutveckling kring funktionsbegreppet. Innan en praktisk undersökning genomförs bör tidigare forskning på området studeras och

sammanfattas. Denna sammanfattning pressenteras nedan.

Begreppsbild och begreppsdefinition

1989 publicerade Vinner och Dreyfus en artikel i Journal for research in mathematics education där de presenterar sina resultat från en studie i Israel där högskolestudenter och lärare för motsvarande grundskolans senare år undersöktes. Högskolestudenterna

kom från olika utbildningar och delades in efter hur mycket matematikundervisning som ingick i deras utbildning. På den högsta nivån, matematisk nivå, återfanns de som hade matematik eller fysik som huvudämne. Nästa nivå, hög nivå, innefattade de som hade biologi, kemi, teknik som huvudämne. De studenter som hade ekonomi eller jordbruk som huvudämne kategoriserades in under medelnivå och slutligen blev studenterna inom industridesign placerade på låg nivå.

Vinner och Dreyfus använder sig av begreppen begreppsbild och begreppsdefinition. Där begreppsbilden är personens alla uppfattningar och mentala bilder sammankopplade med ett begrepp. Detta kan vara bilder, symboler, grafer och så vidare och är ett resultat av personens samlade erfarenheter kring begreppet. Begreppsdefinitionen å andra sidan är personens officiella definition av begreppet, det vill säga det de skulle ange om de tillfrågades om begreppets definition. Det är mycket möjligt för någon att vid en direkt fråga kunna beskriva definitionen av en funktion, men då de skall bestämma om ett exempel är en funktion använder de sig istället av begreppsbilden. Detta kan ge upphov till motsägelsefulla svar från eleverna och benämns av Vinner och Dreyfus som compartmentalizatin phenomenon.

Vinner och Dreyfus studie gick ut på att se hur väl dessa människors begreppsbild av funktioner överensstämde med den så kallade Dirichlet-Bourbaki definitionen. För att kunna analysera sina resultat skapade de sex kategorier som studenternas svar sedan placerades in i.

1) Funktionssamband: Denna kategori består av den officiella Dirichlet-Bourbaki definitionen av funktioner. Det innebär att personens begreppsbild sammanfaller med den regelrätta definitionen med värdemängd och definitionsmängd och sambandet dem emellan.

2) Beroenderelation: Denna kategori innefattar uppfattningar om att funktioner är en beroenderelation mellan två variabler där den ena är beroende och den andra oberoende.

3) Regel: Denna kategori innehåller uppfattningar som går ut på att en funktion är en regel eller relation som sammankopplar två variabler.

4) Operation: Denna kategori innebär att funktioner uppfattas som en relativt allmän operation som översätter ett värde till ett anat.

5) Formel: Denna kategori innehåller uppfattningar så som att en funktion är en formel, ett algebraiskt uttryck eller en ekvation.

6) Representation: I denna kategori utgörs begreppsbilden av en representationsform för funktioner till exempel en graf.

Resultaten av deras studie visade att andelen studenter vars uppfattning föll under kategorin funktionssamband ökade i samband med mängden studerad matematik. De kunde dock ofta se exempel på att studenternas begreppsbild skiljde sig från deras begreppsdefinition då de till exempel beskrev funktionssambandet enligt Dirichlet-Bourbaki definitionen men i senare frågor hänvisade till funktioner som algebraiska uttryck. Vinner och Dreyfus identifierade fyra punkter i definitionen av funktioner som studenterna använde för att förklara varför vissa saker var eller inte var en funktion.

1) Ett värde: Funktionssambandet ger exakt ett värde för varje element i definitionsmängden.

2) Diskontinuitet: Det finns hål i grafen, det vill säga funktionen är inte definierad för alla värden.

3) Delad mängd: Detta innebär att definitionsmängden kan delas in i delmängder där varje sådan har ett eget funktionssamband. Olika delar av grafen kommer då att få olika karakteristik.

4) Undantagspunkt: Det finns en punkt där den gängse regeln inte gäller.

Studenterna uppvisade stora skillnader i sina uppfattningar kring dessa aspekter. Samma aspekt kunde av vissa användas för att motivera att någonting var en funktion och av andra för att avfärda exemplet. De stora skillnaderna mellan de olika nivåerna av matematikutbildning låg i motivationen av de svar som var korrekta. Här använde sig de med en högre matematisk nivå sig av bättre och mer varierande argument. Studiens enligt Vinner och Dreyfus viktigaste och intressantaste resultat var att den så tydligt visade på inkonsekvens i uppfattningarna kring matematiska begrepp. Av alla som deltog i studien uppvisade 56% ett inkonsekvent beteende som innebar att de kunde ange den korrekta definitionen men sen inte använde sig av denna då de arbetade med funktionsbegreppet. Hos försöksgrupperna med låg- eller medelnivå på matematikutbildningen var detta ett allomfattande problem. (Vinner & Dreyfus 1989)

Transfer mellan funktion och verklighet

Funktionsbegreppet är avgörande för fördjupade studier inom matematikämnet som sådant då det är det grundläggande begrepp som hela den matematiska analysen bygger på. Det är också viktigt ur ett mer allmängiltigt perspektiv då en förståelse för funktionssamband är nödvändig för att kunna tolka till exempel grafiska representationer av samhälleliga förändringar, befolkningstillväxt eller utsläppsstatistik. Kunskap om funktioner kan även komma till användning för att tolka elräkningar och för att kunna fatta välgrundade ekonomiska beslut om till exempel lån. (Blomhøj 1997)

I den danska skolans matematikundervisning har funktionsbegreppet en central roll under framför allt gymnasiet. Det introduceras dock så tidigt som i klass 2 till 3 där de arbetar med så kallade funktionsmaskiner och avbildningar av funktionssamband i koordinatsystem. Funktionerna är på detta stadium främst konkreta tillämpningsexempel av framför allt linjära funktioner. Efter hand utvecklas elevernas funktionsbegrepp till att även omfatta omvänd proportionalitet, andragradspolynom och exponentialfunktioner. Vid övergången till gymnasiet och den där mer abstrakta och mångsidiga bilden av funktioner uppstår dock ofta problem. Detta bland annat på grund av att funktionsbegreppet är starkt knutet till en mycket stor begreppsväv som eleverna skall tillgodogöra sig. I denna process skall elevernas förståelse gå från en operationell förståelse till en relationell förståelse. Detta är kognitivt mycket krävande och tar ofta mycket lång tid för eleverna. Funktionerna har dessutom flera olika representationsformer så som grafisk, tabell eller funktionsuttryck och eleverna måste kunna genomföra omvandlingar dem emellan. Blomhøj anser att elevernas breda erfarenhet av att avbilda funktioner inte tas till vara när de börjar arbeta mer systematiskt med funktionsbegreppet i skolans senare delar. Han ser funktionsbegreppet som ett lysande exempel på problematiken i matematikundervisningen i samband med övergången mellan två skolformer (grundskolan och gymnasiet). (Blomhøj 1997)

Blomhøj anser det tvivelaktigt huruvida färdighetsträning i att rita grafer verkligen hjälper elever i åttonde och nionde klass. Han menar att det snarare snärjer fast dem i en luddig begreppsuppfattning som saknar anknytning till resten av begreppsväven kring funktionsbegreppet. Denna begränsade begreppsförståelse tar sig ofta uttryck då

de kan lösa problem med likheter och rita grafer om de presenteras som uppgifter, tagna ur sitt sammanhang, på matematiken. De kan dock inte utföra samma operation när de på fysiken skall ställa upp funktionssambandet mellan ström och spänning. Blomhöj anser att detta grundar sig i en fokusering på de olika representationsformerna i stället för att ge eleverna mening med begreppen. Han anser att det är bättre att ägna sig åt aktiviteter där eleverna gradvis får skapa mening med symboler och grafiska representationer genom att arbeta med konkreta problemsituationer. Dessa upplevelser bör behandlas systematiskt och med hänsyn till deras anknytning till matematiska begrepp. (Blomhøj 1997) Detta menar han kan åstadkommas med hjälp av matematisk modellering, då det ger en tydlig anknytning mellan matematiken och verkligheten. Samtidigt är det en stimulerande aktivitet som stärker elevernas begreppsbildning. En viktig del i modelleringsprocessen är att utvärdera en modells giltighet vilket tvingar eleverna att tänka kritiskt kring sitt eget tänkande. Det lär dem även att förhålla sig kritiska till matematiska modellers giltighet och användning i andra sammanhang. Matematisk modellering kan vara ett naturligt inslag i den högre matematiken, men Blomhøj menar att detta är ett lämpligt verktyg även för elever som ännu inte har tillgodogjort sig det matematiska innehållet som vanligtvis anses nödvändig. Han menar att det snarare kan användas som en väg att leda in eleverna på begrepp kring funktioner så som värdemängd och definitionsmängd. (Blomhøj 2007)

Funktionsbegreppet hos lärarstudenter

Örjan Hansson doktorerade 2006 i matematikdidaktik och i samband med det publicerades hans doktosavhandling, Studying the Views of Preservice Teachers on the

Concept of Functions. Han har undersökt matematiklärarstudenters kunskaper och

uppfattningar kring funktionsbegreppet. Detta då funktioner är ett centralt begrepp inom matematiken och lärarens uppfattning och föreställningar på området i sin tur påverkar elevernas förutsättningar för en bra inlärning.

Syftet med Hanssons forskning var dels att undersöka lärarstudenters uppfattningar kring funktionsbegreppet utifrån följande tre matematiska påståenden y=x+5, y=πx2 samt xy=2. Dels att undersöka hur lärarstudenter reagerar på uppgiften att konstruera begreppskartor utifrån matematiska begrepp. (Hansson 2006)

Studien i sin helhet byggde på fem olika undersökningar var och en med sin egen uppsättning frågeställningar. Generellt kan dessa frågeställningar sammanfattas som gällande studenternas uppfattningar kring funktionsbegreppet som sådant, hur det tar sig uttryck i skolmatematiken, vilken signifikans och roll funktionsbegreppet har inom matematiken samt hur det anknyts till andra begrepp inom matematiken. Allt detta utifrån ett eller flera av de matematiska uttryck som presenterats ovan. Ytterligare frågeställningar gällde hur lärarstudenternas uppfattningar utvecklats under deras utbildning, eller till följd av speciell undervisning, hur de arbetade med begreppskartor och hur dessa kartor tog sig uttryck, samt hur de reagerade på arbetet med begreppskartor. (Hansson 2006)

Undersökningarna gjordes med hjälp av enkäter med öppna frågor, intervjuer och olika typer av begreppskartor. Bland annat fick studenter göra begreppskartor som utgick från det matematiska påståendet y=x+5. Detta för att se om något samband kunde knytas mellan lärarstudenternas och elevernas uppfattningar. Samtliga studenter som undersöktes utbildades vid samma högskola vilket till viss del begränsar resultatens allmängiltighet. (Hansson 2006)

Resultaten av Hanssons studier visar bland annat att studenterna främst ser funktioner som tillämpbara inom matematiken och fysiken och inte som någonting med praktiska vardagstillämpningar. De ansåg det även som någonting som egentligen inte hörde hemma i grundskolan förutom som fördjupning för de mer ambitiösa eleverna. Detta var dock en uppfattning som ofta förändrades i samband med intervjuer då de fick granska sina argument kring frågan. De kom då fram till att funktioner egentligen är en del av grundskolans matematik redan på ett ganska tidigt stadium, men att de då är dolda och inte explicit benämnda funktioner. (Hansson 2006)

Angående studenternas uppfattningar kring funktionsbegreppet visade det sig att så gott som alla bortsåg från begrepp som värdemängd och definitionsmängd då de skulle ange vad en funktion var. De beskrev funktioner i stället som ett beroende mellan två variabler vilket tyder på att deras kunskap på området främst är operationell. I begreppskartorna framgår att denna operationella kunskap inte kopplas samman med andra närliggande begrepp så som vore fallet om kunskapen i en större utsträckning varit relationell. En utveckling hos studenternas uppfattningar från en numerisk

tolkning av ett funktionsuttrycket y=x+5, i början av utbildningen till en linjär tolkning eller funktions tolkning i slutet av den sjätte terminen kunde dock ses. Det visade sig även att typen av funktion var avgörande för om studenterna ansåg det falla under kategorin funktioner. Benämningar så som ”den räta linjens ekvation” hindrade i flera fall studenterna från att se linjära funktioner som funktioner. Allt detta tyder på en svag kognitiv struktur kring begreppet funktioner hos studenterna. (Hansson 2006)

Utifrån sina undersökningar drar Hansson slutsatsen att det finns behov av reflektion kring funktionsbegreppet. Han anser att större vikt måste läggas på att förankra den officiella definitionen av funktioner hos de framtida lärarna. Detta arbete måste ske genomgående då begreppsuppfattningar förändras mycket långsamt. (Hansson 2006) Förändringar av lärares uppfattningar är någonting som Pehkonen (2001) har studerat. Han menar att personen i fråga först måste göras uppmärksam på sina befintliga uppfattningar. Därefter kommer ett långt arbete med att förändra dessa. Även Pehkonen är mycket noga med att påpeka att detta tar lång tid.

Metod

Utgående från syftet har en kvalitativ undersökningsmetod valts, i detta fall kvalitativa samtalsintervjuer. I detta avsnitt pressenteras en sammanfattning av teorin bakom kvalitativa samtalsintervjuer. Därefter motiveras valet av just denna metod och slutligen beskrivs utförandet av undersökningen.

Intervjuteknik

Enligt Kvale (1996) kan man dela in intervjuprocessen i sju steg;

1) Tematisering. Denna del av processen består i att formulera syftet med undersökningen. Innan frågor som hur skall besvaras är det viktigt att ge svar på frågorna vad och varför. ( Kvale 1996)

2) Design. När frågorna vad och varför är besvarade så att undersökningen har en riktning kan intervjufrågorna formuleras. Intervjufrågorna skall formuleras så att de kan ge svar på forskningsfrågorna, men det är oftast inte bra att ställa de faktiska forskningsfrågorna då dessa oftast är krångligt formulerade och onaturliga i ett samtal. De frågor som ställs i en intervju kan vara av olika karaktär. Det kan finnas inledande frågor, uppföljningsfrågor, fördjupande frågor, specificerande frågor, direkta frågor, indirekta frågor, strukturerade frågor, förtydligande frågor och tystnad. De olika typerna av frågor används beroende på vad som eftersöks och kan ses som verktyg för den som intervjuar. Intervjufrågorna sätts ihop till en intervjuguide som sedan används vid själva intervjuerna. Hur ingående intervjuguiden är avgör vilken typ av svar som fås. Frågornas formuleringar avgör också vilken typ av svar som ges. För att få en mer kvalitativ intervju bör frågorna vara relativt öppna. Ledande frågor bör undvikas i största möjliga mån. (Kvale 1996)

Etiska aspekter kring undersökningen bör tas i beaktande redan vid frågeformulerandet. Om svaren kan vara av känslig natur kan det vara bra att överväga hur detta skall behandlas för att undvika kränkningar. Det är även viktigt att tänka på alla de följande stegen i undersökningsprocessen vid frågeformuleringen så att analys och rapportering underlättas. (Kvale 1996)

3) Intervjugenomförande. Detta steg innefattar genomförandet av intervjuerna utifrån intervjuguiden. Det är då viktigt att ta hänsyn till praktiska arrangemang så som var intervjun genomförs, hur den dokumenteras, hur många som skall intervjuas och hur lång tid intervjuerna tar. En pilotstudie kan vara till stor hjälp för att optimera både intervjuguiden och gemomförandeförhållandena. (Kvale 1996)

4) Transkribering. Transkriberingen innebär att intervjumaterialet förbereds för analys genom att överföra det från tal till text. Detta är en process som innebär en viss tolkning eftersom talat språk och skriftligt språk skiljer sig åt. Betoningar och röstlägen går förlorade och punkter och kommatecken skall placera in även om det inte alltid är tydligt var en mening börjar och slutar. (Kvale 1996)

5) Analys. Vilka analysverktyg som kan vara lämpliga att använda bestäms utifrån intervjumaterialet och forskningsfrågorna. Det kan till exempel vara kategorisering efter innebörd, destillation av innebörd, berättande innebördsstrukturering, meningstolkning eller en blandad metod för generalisering av innebörd. Ofta förkortas uttalanden ned innan de kategoriseras. (Kvale 1996)

6) Verifiering. När materialet analyserats måste des validitet och reliabilitet bedömas. Hur bra stämmer svaren överens sinsemellan och hur väl stämmer frågan överens med svaret? Eventuellt måste vidare undersökningar göras för att resultatet skall kunna användas. (Kvale 1996)

7) Rapportering. För att andra skall kunna ta del av forskningsresultaten måste de presenteras i en rapport. Denna skall vara skriftlig och uppbyggd enligt de mallar som institutionen eller företaget föreskriver. Här är det åter viktigt att tänka på att deltagarna i undersökningen skyddas, så att de inte känner sig kränkta eller utlämnade. (Kvale 1996)

Val av metod

Då syftet är att spåra vilka faktorer som påverkat studenternas inlärning positivt, har jag valt att använda mig av en kvalitativ undersökningsmetod, i detta fall kvalitativa forskningsintervjuer. Enligt Nationalencyklopedin3(2010) avser kvalitativ metod inom samhällsvetenskaplig forskning ett försök att fånga såväl en handlig som den bakomliggande orsaken till denna handling. Detta för att ge en mer omfattande och mångsidig bild av det som undersöks. För att detta skall vara möjligt att genomföra brukar kvalitativa undersökningar begränsas till en liten undersökningsgrupp och forskaren deltar aktivt i det som studeras till exempel genom en interaktiv intervju. För att undersöka en större population används istället ofta kvantitativa metoder.

Kvantitativ metod är en mer allmänt accepterad metod inom samhällsvetenskaplig

forskning. Det är systematisk insamling av stor mängder data som behandlas enligt strikta regler för statistiska undersökningar. De olika stegen i processen är väl definierade och åtskilda. Urvalet sker enligt regler för att få ett så representativt urval som möjligt ur den stora populationen. Kvantitativa arbetsformer anses ofta mer objektiva då forskaren ställs utanför sammanhanget och således inte anses påverka den insamlade datan. (Nationalencyklopedin4) Kvale (1996, s67) menar att kvalitativ forskning kan svara på frågor som hur något är till sin natur medan kvantitativ snarare svara på frågor om hur mycket eller hur stort någonting är.

Kvalitativa forskningsintervjuer syftar till att undersöka individens upplevelser utifrån dennes uppfattningar kring händelser och meningen bakom dessa. Detta sker genom ett samspel mellan den som intervjuar och den som blir intervjuad. Det kan innebära att den intervjuade ändrar sin syn på en händelse under tiden som intervjun pågår utifrån frågeställningarna. Den intervjuade kan under tiden reflektera kring sin syn på något och i och med att han eller hon medvetandegjorts om en uppfattning kan denna förändras. (Kvale 1996 s29-36)

Utförande

I denna undersökning söks svar på frågor som gäller studenters uppfattningar, minnesbilder och resonemang. För att söka svar på frågor av denna typ är en kvalitativ metod att föredra. Samtalsintervjuer valdes då detta ger en möjlighet att följa upp intressanta påståenden och på så vis ge en fördjupad uppfattning om ens pesons världsbild.

Då syftet fastställts utformades de fem forskningsfrågorna. Utifrån dessa frågeställningar formulerades en intervjuguide som bestod av två huvudfrågor samt ett antal hjälpfrågor, vilka syftade till att förtydliga och vidareutveckla den intervjuades uttalande kring huvudfrågorna. Intervjuguiden prövades i en pilotstudie på en lärarstudent som har matematik som huvudämne. Därefter modifierades vissa frågor som visade sig vara oklara, men i stort sett behölls intervjuguiden i sitt ursprungliga utförande. Intervjufrågorna återfinns i Bilaga 1.

Urvalet skedde genom att en grupp studenter som studerar matematik på Lunds universitet uppsöktes och tillfrågades om de kunde tänka sig att ställa upp och bli intervjuade. Fem personer anmälde sig som frivilliga, fyra kvinnliga och en manlig student. Samtliga kommer i resultatdelen av denna uppsats att benämnas hon. Detta då det i annat fall blir lätt att identifiera den enda manliga studenten. Att skilja på könen skulle även kunna tyda på ett genusperspektiv som varken undersökts eller tagits hänsyn till. Vid tillfället för intervjuerna befann de sig i mitten av första terminen. Denna termin innefattade två kursen, en i linjäralgebra och en i analys. Dessa två kurser lästes parallellt under hela terminen. I Analysen hade de nyligen börjat behandla funktionsbegreppet utifrån dess definition. Samtliga deltagare i intervjuerna hade på gymnasiet läst till och med matematikkurs D.

De intervjuade informerades om att deras identiteter skulle förbli konfidentiella samt att ingen intervju skulle presenteras i sin helhet eller på ett sådant vis att den intervjuades identitet kunde utläsas. Intervjuerna genomfördes enskilt i ett avsides rum och spelades in med hjälp av en diktafon. Intervjuerna transkriberades senare genom att inspelningarna avlyssnades och det som sades nedtecknades.

Det insamlade materialet sammanfattades i flytande text uppdelat utifrån frågeställningarna för var och en av de intervjuade. I de fall där kategorisering utifrån tidigare forskning varit möjlig har detta gjorts.

Resultat

Resultaten av intervjuerna har sammanställts och presenteras nedan utifrån de olika forskningsfrågorna. Varje persons svar har sammanfattats och i vissa fall inordnats i lämplig kategori. I de fall där en person inte givit något svar på en fråga, eller bara svarat med ovidkommande saker har dessa svar inte tagits med i redovisningen.

Vilken begreppsuppfattning har studenterna kring begreppet

funktioner?

Person 1

Denna person uppgav på en direkt fråga om vad funktioner är att det är något som beskriver hur två mängder, värdemängden och definitionsmängden, korrelerar. Hon förklarar att man får precis ett värde ur värdemängden för varje värde i definitionsmängden med hjälp av funktionen. Personen i fråga beskrev även hur funktioner kan beskrivas av grafer i ett x-y - koordinatsystem. Denna graf kunde antingen ta sig uttryck som en kurva eller en linje. Detta antyder att diskreta och diskontinuerliga funktioner inte ingår i begreppsbilden. De funktionstyper som angavs som exempel var också kontinuerliga. De begrepp som hon ansåg viktiga var förutom värdemängd och definitionsmängd, derivata och andraderivata som ansågs viktiga då de kunde användes för att ta reda på hur funktionen såg ut.

Enligt Vinner och Dreyfus kategorisering kan denna persons begreppsdefinition placera i kategori 1, funktionssamband. Begreppsbilden å andra sidan är något mer begränsad, troligtvis till följd av att de funktionstyper som behandlats i undervisningen till största del varit kontinuerliga. Av de fyra identifieringspunkterna som Vinner och Dreyfus identifierade hänvisade denna person till ett värde som identifierande drag hos funktionen.

Person 2

Denna person hade en tämligen fraktionerad begreppsbild sammansatt av olika representationer av funktioner och en uppfattning om att det är ett uttryck där man kan ”stoppa in ett värde” för att få ut ett annat. Som exempel på funktionstyper angavs exponentiella, logaritmiska och polynomfunktioner. Det fanns även en medvetenhet om att funktionen inte måste vara definierad för alla värden.

Denna person såg derivatan som ett viktigt begrepp i anslutning till funktioner. Hon angav även integraler, intervaller och extremvärden som viktiga och reflekterade kring att alla begreppen hänger samman så att det blir svårt att dra en gräns för vad som har med funktioner att göra och vad som ligger för många steg bort för att räknas. Detta innebär att en medvetenhet om begreppens inbördes struktur finns även om den inte är helt tydlig.

Personen saknar i princip en begreppsdefinition och har bara sin begreppsbild att tillgå. Denna begreppsbild kan placeras i någon av kategorin Regel eller operation då hon främst såg funktioner som någonting där man kan stoppa in ett värde och få ut ett annat. Begreppet definitionsmängd är inte explicit benämnt men hon har en uppfattning om att något med detta ändamål förekommer. Hon verkar även medveten om att begreppen hänger samman i någon form av nätstruktur. Hon verkar dock inte ha studerat sin egen begreppsstruktur närmare.

Person 3

Denna person beskrev funktioner som en beroenderelation mellan två variabler där den ena är beroende och den andra oberoende och uppvisade inga tecken på medvetenhet om mängdbegreppen. Denna begreppsdefinition kan inordnas i kategorin

beroenderelation enligt Vinner och Dreyfus. De exempel som ges på funktioner är

förutom logaritmfunktioner sådana som typiskt förekommer i gymnasiet. De är kontinuerliga och lätta att rita upp i ett koordinatsystem. Hon uppvisar dock en medvetenhet om att det finns många funktionstyper som hon inte känner till eller kommer ihåg vid intervjutillfället. Viktiga begrepp i samband med funktioner ansågs var derivatan, absolutbelopp, rötter, naturliga logaritmer och talet e. Hon beskriver även hur varje typ av funktioner för henne är en enskild del av kunskapen där sammanlänkningarna är mycket svaga eller obefintliga.

Person 4

Denna person hade en mycket luddig begreppsdefinition. Hon beskrev funktioner som någonting sammansatt av olika uttryck med okända variabler. Någonting där man kan stoppa in ett värde och få ut ett annat, dock är det inte säkert att funktionen är definierad för alla värden och då kan bara vissa värden stoppas in. Denna begreppsbild kan kategoriseras som en regel enligt Vinner och Dreyfus kategoriseringssystem.

Existensen av en grafisk representation i ett koordinatsystem sågs som en utmärkande egenskap. Detta är inte en egenskap som enligt Vinner och Dreyfus brukar anges som karakteristiskt för funktioner och är heller inte något som är specifikt för funktioner då även andra typer av samband kan representeras grafiskt. Som exempel på funktioner angavs exponentialfunktioner och polynomfunktioner. Hon uttryckte även en övertygelse om att det finns många fler typer än de som angavs. Som viktiga anslutande begrepp angav denna person derivator, integraler och koordinatsystem.

Person 5

Denna persons begreppsdefinitions innebar att ett funktionssamband sammanknöt de båda mängderna, värdemängd och definitionsmängd. Dock förbisågs exklusiviteten, det vill säga att varje värde i definitionsmängden enbart svarar mot ett värde i värdemängden. Denna begreppsdefinition kan klassificeras som funktionssamband även om vissa delar av definitionen saknas. Även denna person angav exponentialfunktioner, polynomfunktioner och logaritmfunktioner som exempel på funktionstyper. Hon utryckte även en medvetenhet om att detta bara är liten del av alla möjliga typer av funktioner. De viktiga begrepp som togs upp var definitionsmängd, värdemängd, invers och logaritmer.

Sammanfattning

De olika personerna som deltog i denna undersökning hade varierande begreppsbilder kring funktionsbegreppet, från en uppfattning om funktioner som en regel eller operation till de som införlivat stora delar av begreppsdefinitionen i sin begreppsbild så att deras begreppsbild kan klassificeras som funktionssamband.

Alla nämnde ungefär samma funktionstyper som exempel och det var polynomfunktioner, exponentialfunktioner och logaritmfunktioner. Detta beror troligtvis på att dessa typer av funktioner behandlats flitigt under gymnasietiden samt i deras nuvarande matematikundervisning. Några nämnde även de trigonometriska funktionerna som även de behandlas på gymnasiet.

När det gällde anslutande begrepp så var derivatan det som framhölls framför allt. Detta kan ha att göra med att derivata är ett centralt begrepp i gymnasiematematiken

och att den mest förekommande räkneoperationen som utförs på funktioner är just derivering.

Hur ser studenternas minnesbild av inlärningen av

funktionsbegreppet ut?

Person 1

Denna person tror sig ha kommit i kontakt med funktioner för första gången någon gång på högstadiet. Då i form av linjära funktioner som till en början bara framställdes grafiskt. Den första representationsformen för funktioner var således grafisk och den kopplades gradvis samman med funktionsuttrycket. Andragradsfunktioner kom in i undervisningen på gymnasiet. Trotts detta anser hon sig först nu förstå vad en funktion faktiskt är då hon nu pressenterats för definitionen. Tidigare anser hon sig kunnat använda funktioner utan att riktigt kunna sätta ord på vad de egentligen var.

Hon uttrycker en viss frustration över att gymnasieundervisningen inte gett henne tillräckligt med språkliga redskap och matematiska definitioner för att kunna strukturera kunskapen. Hon menar att gymnasiematematiken främst ger exempel på hur man skall göra och sen förväntas eleverna upprepa denna process på ett antal likadana uppgifter, vilket i och för sig är viktigt det också, men ingenting som man behöver lägga undervisningstid på då hon anser att man lika gärna kan göra det hemma.

Person 2

Denna persons första minne av funktioner var att de på gymnasiet deriverade dem. Därefter lärde de sig att göra teckenstudie och rita funktionerna. Det var då hon fick en uppfattning om vad funktioner var. Hon ansåg att det som varit svårt för henne har varit att funktioner från början bara var funktionsuttryck som behandlades som algebraiska tal i boken. Detta hade hon svårt att koppla till att de även kunde beskrivas av en kurva. Dock blev den grafiska representationen efterhand den som hon hade lättast att relatera till. Om hon enbart fick en funktion som ett uttryck så visste hon vilka algoritmer hon skulle använda för att få fram olika saker, men fick ingen förståelse för vad uttrycket egentligen beskrev. Hon upplever det fortfarande som problematiskt när läraren skriver upp uttryck på tavlan utan att visa en graf eller berätta vad de beskriver. En muntlig återgivelse av hur sambandet beter sig kan alltså

också användas för att ge henne en inre bild som hon kan relatera de matematiska operationerna till.

Hon anser att det egentligen är först nu som hon verkligen förstår sammanhanget kring vad en funktion är. En mer sammankopplande och övergripande bild tycker hon hade varit bra om man kunnat få redan på gymnasiet även om alltför komplicerade saker bör lämnas till universitetet.

Person 3

Denna person minns att funktionerna introducerades någon gång på högstadiet då de arbetade med enkla exempel. Från början jobbade de med linjära funktioner där de fick en funktionsformel och skulle rita ut grafen. Sen övergick de till andragradsfunktioner som behandlades på motsvarande vis. Denna persons förståelse är till största delen operationell och de minnesbilder som pressenteras är också av rent operationsmässig karaktär. Till exempel sågs meningen med att derivera funktioner som att få dem till andragradsfunktioner så att den allmänna lösningsformeln för andragradspolynom sedan kunde tillämpas på dem. Utvecklingen ser hon i form av att hon lärt sig nya ”knep” för att angripa problem.

Person 4

Denna person tror sig ha börjat med funktioner i enklare former så tidigt som på mellanstadiet även om minnesbilderna var väldigt diffusa. Funktionsuttrycket skall i alla fall ha kommit före den grafiska representationen. Kopplingen dem emellan ansåg hon var fullkomligt logisk då det bara var att stoppa in olika värden på x vilket gav y-värdena varefter det bara var att pricka in talparen i koordinatsystemet. Den grafiska representationen var dock den representationsform som gjorde funktionerna begripliga för henne, och hon upplevde svårigheter i de fall där hon inte fick se hur en funktion såg ut.

Hon förklarade att på gymnasiet hade allt ett sammanhang och olika funktioner var egentligen bara varianter på samma tema. Så länge hon fick en grafisk representation att hänga upp funktionssambandet på så tyckte hon att det var logiskt. Vissa typer av funktioner kan hon på ett ungefär se framför sig utan att först ha ritat upp dem på papper eller med hjälp av en grafritande räknare. Då har hon lättare för att förstå vad som skall göras med dem och varför.

Sin begreppsutveckling ser hon mest som att de lagts till fler typer av funktioner efterhand. Grundtanken bakom är dock fortfarande den samma för alla typer av funktioner och hon föreställer sig dem i ett koordinatsystem på samma sätt som hon gjort sedan hon höll på med linjära funktioner i början av gymnasiet.

Person 5

Denna person ansåg att funktionsbegreppet introducerades första eller andra året på gymnasiet och då som grafer. Detta minne hänger hon upp på att de fick köpa grafritande räknare som kostade ganska mycket. Från början tänkte hon på funktioner som ekvationer som kunde ritas i räknaren. Men kopplingen mellan uttrycket och grafen blev ganska tidigt klar då de studerade linjära funktioner där de kunde sätta in olika värden på x och sen dra en linje genom punkterna. På detta vis fick hon en bild av funktioner som är starkt anknuten till den grafiska representationen.

Sammanfattning

Uppfattningarna om när funktionsbegreppet introducerades varierar kraftigt och även huruvida den grafiska representationen kom först eller om funktionsuttrycket gjorde det. Det är dock ingen som nämner tabeller som en representationsform, eller som ett steg mellan grafen och formeln. Så gott som alla påpekar att grafen är den representationsform som säger dem mest och att en funktion inte får någon riktig betydelse förrän de sett dess grafiska representation. Det är stora skillnader i hur utvecklat deras mentala begreppsnätverk är. Någon ser varje typ av funktion som en enskild företeelse med specifika operationer knutna till dem. Någon annan anser att alla typer av funktioner är sammankopplade genom att de alla kan representeras grafiskt.

Vilka samband mellan det egna lärandet och de

undervisningssätt de mött anger studenterna?

Person 1

På gymnasiet bestod lärarens genomgångar ofta av att de visade ett typexempel varpå eleverna skulle upprepa utförandet på uppgifter i boken. Detta ställer hon sig i viss mån skeptisk till då hon anser att de kunnat gå igenom mer satser och bevis, istället för

enbart algoritmerna. Framför allt i de senare kurserna efterlyser hon en mer universitetsliknande undervisning.

Från och med att hon passerade sin far i matematikkunskaper var det framförallt läraren som hjälpte henne. Denna hjälp bestod till stor del av att svara på frågor. Sådan hjälp ansåg denna person kunna vara mer eller mindre givande. I de fall där läraren bara ger svaret eller säger ”gör så här” utan att förklara sammanhanget blir hjälpen ganska meningslös. Den bästa hjälpen enligt denna person är när den består i en ledtråd eller ett litet tips som leder in i nya tankebanor men fortfarande ger henne möjlighet att själv komma fram till svaret.

Person 2

Denna person insåg att läraren säger mycket bra saker på lektionerna men hade svårt att koncentrera sig och ta till sig informationen på det viset. Det var istället när hon själv fick sitta och försöka komma fram till ett tillvägagångssätt, som hon förstod det. Ibland krävdes det att läraren svarar på någon fråga eller gav henne den sista pusselbiten för att allt skulle falla på plats. Denna sista del i processen kunde även komma från diskussioner med någon klasskamrat. Arbete i grupp ansåg hon dock både ha negativa och positiva effekter. Negativa så till vida att hon finner det svårt att fokusera när det finns många andra i närheten och positivt när diskussionerna leder till att hon förstår något nytt. Hon poängterade dock att alla tänker olika och att det är viktigt för henne att tänker igenom saker själv så att hon kan förstå det på sitt sätt.

Person 5

Denna person jämförde lärandet med hjälp av lärare med att själv försöka lära sig genom att till exempel läsa en bok. Läraren såg han som en mer flexibel källa till kunskap än en bok eftersom läraren kan svara på frågor direkt och förklara på olika vis om ett sätt inte är begripligt. Boken innehåller mycket kunskap, men om man inte förstår finns det inte mycket annat att göra än att läsa det igen eller fortsätta och hoppas på att förstå senare. Hon tycker även att det är lättare att förstå när hon får höra och se saker samtidigt, än när hon läser i boken. Detta kan ju dock vara väldigt olika från person till person påpekar hon.

Utöver lärarens hjälp har hon haft mycket hjälp av sina klaskamrater. Hon anser att kunskap uppnås genom att arbeta tillsammans där de gemensamt försökt reda ut

frågetecken kring begreppen. Att förklara för andra hur någonting fungerar ansåg hon vidareutvecklade hennes egen förståelse för begreppen. De frågetecken som kvarstod då de gemensamt diskuterat ett problem fick läraren hjälpa dem med.

Sammanfattning

De flesta som deltagit i denna studie såg lärarens främst som någon som svarar på frågor som inte gått att lösa själv eller med hjälp av kompisarna. Att föreläsningar och genomgångar hade ett värdefullt innehåll var de också ganska ense om, men huruvida de kunde ta till sig information den vägen skiljde sig mellan de olika personerna. Att arbeta tillsammans i grupp för att lösa problemen var också något som de hade gemensamt. De underströk vikten av att få diskutera problemen, att kunna förklara för andra, eller få förklarat för sig av någon som är på ungefär samma matematiska nivå. Detta uteslöt dock inte att arbeta på egen hand vilket även det ansågs som viktigt för att befästa tankemönster och få tänka på sitt eget vis.

Vilka hjälpmedel använde studenterna sig av för att skapa en

relationell förståelse?

Person 1

Vid förfrågan om vilka tekniska hjälpmedel som hjälpt denna person så svarade hon grafritande räknare. I samma andetag sa hon även att det ju egentligen är fusk, men kan vara ganska bra ändå. Hon såg det som ett facit då uppgiften var att skissa en graf och påpekade uppgiften blir meningslös om man bara ritar av räknaren. Vid mer ingående frågor framkom att hon ansåg det vara viktigt att ha en så pass bra uppfattning om hur man skissar grafer och hur de bör se ut i förhållande till sitt uttryck för att kunna förhålla sig kritisk till resultat från räknaren eller ett datorprogram. Dock ansåg hon att man borde använda sig av hjälpmedlen när man väl förstått vad de gjorde och kunde bedöma om det blivit något fel.

Person 2

Denna person angav grafritande räknare som det hjälpmedel hon har använt sig av i arbetet med funktioner. Hon upplevde det som roligt när de fick arbeta med miniräknarna på gymnasiet i samband med att rita funktioner och derivera dem. Detta för att hon då förstod vad de höll på med. Förståelsen i sin tur anser hon komma från

att hon fick bilder av hur funktionerna såg ut. Utöver detta använde hon sin räknare för att kontrollera de resultat som beräknats på annat vis.

Person 4

Räknaren har varit viktig för denna person som främst använt den till att rita upp funktionerna för att få en mer lättöverskådlig bild av hur de uppför sig. Hon tyckte att det kändes lättare när hon visste hur det såg ut och hänvisade till grafen som mer verklig än funktionsuttrycket. Hon menar att verkligheten är det lättaste att relatera till och funktionsuttrycket det mest abstrakta och mellan de båda ytterligheterna ligger grafen som en översättare. Det är lättare att se att grafen föreställer en verklig händelse eller hur en verklig händelse skulle ritas som en graf. För att skapa denna koppling är räknaren ett hjälpmedel som med en gång kan ge en konkretiserande bild.

Sammanfattning

Den grafritande räknaren används till att rita upp funktioner för att få en bild av dem. Den grafiska representationen ses som mer konkret än funktionsformeln.

Datorprogram för anpassning av funktioner till värden från till exempel experimentella undersökningar nämndes inte explicit, detta kan antingen bero på att de inte använt sig av detta eller att de inte ansåg att det varit deras utveckling behjälplig.

På vilket sätt kopplar matematikstuderande, första terminen

på universitetet, samman det abstrakta matematiska med

verkliga processer?

Person 1

Som exempel på användningsområden för funktioner angavs tidsberoende variationer där framför allt fysikaliska processer lyftes fram. Förutom de fysikaliska tillämpningarna sågs bara teoretiska möjligheter att använda funktioner utanför en skolsituation. Personen i fråga kunde inte erinra sig att hon någonsin gjort det. Dock såg hon en poäng i att funktioner används i matematiken och kan få finnas för sin egen skull.

När det gällde verklighetsanknytningen i matematikundervisningen så ansåg hon att denna varit bristfällig. Förvisso fanns det tillämpade uppgifter i slutet av varje avsnitt, men hon önskade att man fått berättat för sig vad det skulle användas till från början.

Dessutom kunde hon inte komma på något annat än fysik som man faktiskt använder funktioner till. Där å andra sidan fick matematiken en verklighetsanknytning och användbara tillämpningar.

Person 2

Personen i fråga hade till en början svårt att se några användningsområden för funktioner, ”Det är ju bara matte”. Därefter gavs några exempel på matematiska operationer som kan utföras på funktioner. Beskrivandeaspekten framkom efterhand, och hon förklarade hur funktioner kan användas till att beskriva till exempel hur radioaktivt sönderfall minskar med tiden enligt ett exponentiellt samband. Utöver de fysikaliska och kemiska tillämpningarna fanns en föreställning om att funktioner förekommer dolt i teknisk utrustning som används dagligen så som datorer men att hon inte medvetet använde funktioner utanför en skolkontext. Dock ansåg hon att ekonomer kunde ha användning för funktioner även om hon var oklar om hur.

Denna person påstod att de aldrig arbetat med verkliga exempel eller utgått ifrån verkligheten i arbetet med funktioner på matematiken. I fysiken å andra sidan är allting lätt, till exempel i kärnfysiken för då har man ett verkligt exempel att utgå ifrån, till exempel radioaktivt sönderfall och då förstått hon allting för det är logiskt. Hon tyckte inte att matematik var roligt för att hon inte förstod och inte kunde se det i sitt sammanhang. Det är först då hon förstår och ser sammanhanget som hon kan veta varför hon gör någonting och först då blir det roligt.

Person 3

De exempel på tillämpningar som gavs var framförallt sådana som används i matematikböcker som textuppgifter. Exempelvis hur räntor varierar från år till år. Dessutom angavs vissa matematiska operationer som tillämpningar så som att lösa andragradsekvationer och rita funktioner. I Fysiken ansåg hon sig ha använt funktioner framför allt i elläran, men kunde inte komma på några konkreta exempel.

I undervisningen kan hon inte minnas att funktionerna var verklighetsanknutna på matematiklektionerna. Men vid laborationer i andra ämnen, framför allt fysiken, har de kommit in. Vid mer ingående frågor kan hon dock dra sig till minnes att de arbetat med exempel på ekonomisk tillväxt och räntor och liknande på gymnasiet. Hon menar dock att dessa exempel inte kändes relevanta vid tillfället.

Person 4

Funktionernas användningsområden angavs som först och främst företagsekonomiska. Det vill säga för at beräkna hur vinsten beror av olika variabler så som inköpspriser och produktionskostnader, och i förlängningen maximera vinsten. Sen ansåg hon även att funktioner har rent matematiska tillämpningar samt fysikaliska tillämpningar så som att beskriva samband mellan olika storheter, till exempel ström och spänning.

På gymnasiet fick de många kopplingar till verkligheten i form av tillämpningsuppgifter i boken. Det rörde då till exempel temperaturförändringar och hur kostnader varierade. Detta anser hon ha gjort funktionsbegreppet mer logiskt även om hon aldrig faktiskt använt sig av funktioner för att lösa denna typ av problem utanför skolan. Hon menar även att hon kan ha använt sig av funktioner utan att vara medveten om det och att hon alltid inbillat sig att hon kommer att få nytta av kunskapen så småningom. Hon tyckte även att hon borde ha använt sig av funktionerna inom fysiken men kan inte komma ihåg något exempel på detta.

Person 5

Denna person uttryckte en övertygelse om att man med funktioner kan beräkna alla möjliga saker bara man har rätt sorts funktioner. Detta begränsades sen till saker där det finns ett samband mellan olika variabler. Som ett konkret exempel användes hur temperaturen i en mugg med kaffe avtar som funktion av tiden, vilket kunde användas för att beräkna hur länge man bör vänta med att dricka för att inte bränna tungan. Hon reflekterade dock över att hon inte skulle använda funktioner på detta vis utanför skolan.

I undervisningen ansåg denna person att verkligheten kom in i form av textppgifter i boken och i fysiken. Hon ansåg dock inte att detta var varken roligt eller relevant utan föredrog att göra mer renodlade beräkningar för deras egen skull.

Sammanfattning

Som exempel på verkliga tillämpningar nämndes ofta sådant som matematikböckerna tar upp som textuppgifter. Dessa exempel visade sig dock inte vara någonting som de faktiskt använt funktioner till i verkliga livet. De fyller dock en funktion, då de konkretiserar problemen. Därefter nämndes ofta fysiken och i viss mån kemin som

exempel på annan skolverksamhet där funktioner använts för att beskriva olika typer av processer. Det förekom även uppfattningar om att funktioner använts omedvetet, antingen direkt eller indirekt.

I matematikundervisningen har verkligheten i de flesta fall anknutits främst genom textuppgifter i boken. Dessa har behandlats först efter att de rena ppgifterna gjorts och algoritmerna behärskats. Tillämpningar av funktionsbegreppet har dock skett i fysikundervisningen. Huruvida denna verklighetsanknytning är viktig råder det delade meningar om. Vissa anser det som avgörande för utvecklingen av en förståelse kring begreppet, medan någon tycker att det är tråkigt och irrelevant.