Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur, miljö, samhälle
Examensarbete
10 poäng
Om strategier vid problemlösning i
matematik
About strategies for problem solving in mathematics
Rehana Shkala
Borislav Zdrnja
Lärarexamen 140 poäng Matematik och lärande Höstterminen 2006
Examinator: Nanny Hartsmar Handledare: Helena Mühr
Sammanfattning
Studien undersöker huruvida elever använder sig av olika strategier vid problemlösning i matematik, då de arbetar enskilt eller i grupp och vad de tycker om problemlösning i mate-matik? 32 elever i år 4 i en skola i södra Sverige fick arbeta med problemlösningsuppgifter i matematik, enskilt och i grupp.
Som grund för analys av elevers olika strategier vid problemlösning har vi använt ett urval av Mölleheds (2001) faktorer för problemlösning, nämligen följande fem: textförståelse, talförståelse, räkneförmåga, logik och matematiska begrepp.
Undersökningen visar att eleverna hade sämre resultat när de arbetade med uppgifterna i grupp i jämförelse med de som arbetade enskilt.
Innehållsförteckning
1 INLEDNING ... 7 1.1 SYFTE... 8 1.2 FRÅGESTÄLLNINGAR... 8 2 TEORI ... 9 2.1 STYRDOKUMENT... 9 2.2 VAD ÄR PROBLEMLÖSNING? ... 102.3 FAKTORER SOM PÅVERKAR PROBLEMLÖSNING... 12
2.4 SPRÅK OCH KOMMUNIKATION... 15
2.5 VARFÖR BÖR ELEVER ARBETA I GRUPP? ... 16
2.6 LÄRARENS ROLL VID PROBLEMLÖSNING... 18
2.7 BEGREPPSDEFINITION... 19 2.8 SAMMANFATTNING AV TEORI... 20 3 METOD... 22 3.1 URVAL... 23 3.2 DATAINSAMLINGSMETOD... 24 3.3 PROCEDUR... 24
3.4 VALIDITET OCH RELIABILITET... 25
4 RESULTAT... 27
4.1 HUR SKILJER SIG STRATEGIER FÖR PROBLEMLÖSNING ÅT OM ELEVER ARBETAR ENSKILT KONTRA I GRUPP? ... 28
4.1.1 Resultat av problemlösning när eleverna arbetar enskilt... 28
4.1.2 Resultat av problemlösning när eleverna arbetar i grupp ... 30
4.1.3 Resultat av observation... 31
4.2 VAD TYCKER ELEVER OM PROBLEMLÖSNING I MATEMATIK? ... 31
4.2.1 Vad kan problemlösning i matematik vara? ... 32
4.2.2 Hur tyckte du uppgifterna var?... 32
4.2.3 Kan du komma på ett annat sätt att lösa uppgifter?... 33
4.2.4 Hur ofta påträffar du i ditt vardagsliv sådana situationer som nämns i uppgifterna? ... 33
4.2.5 Hur tycker du det är att arbeta i grupp respektive enskilt med problemlösning? 34 5 DISKUSSION MED ANALYS OCH SLUTSATSER... 35
5.1 HUR SKILJER SIG STRATEGIER FÖR PROBLEMLÖSNING ÅT OM ELEVER ARBETAR ENSKILT KONTRA I GRUPP? ... 35
5.2 VAD TYCKER ELEVER OM PROBLEMLÖSNING I MATEMATIK? ... 37
5.3 AVSLUTANDE DISKUSSION... 38
6 REFERENSER ... 41
1 Inledning
Vi är två lärarstuderande som läser huvudämnet Matematik och lärande vid Lärarutbild-ningen i Malmö. Vi har valt att skriva vårt examensarbete om problemlösning inom mate-matik eftersom det är ett viktigt moment inom matemate-matiken.
Vår erfarenhet från utbildningen och från den verksamhetsförlagda tiden (vft) är att många elever upplever problemlösning som svår och besvärlig och att grupparbete under matema-tiklektioner sällan bedrivs, vilket ger till resultat av att eleverna saknar diskussion kring uppgifterna de ska lösa. Enligt Kronqvist och Malmer (1993) ska eleverna utveckla sina matematiska kunskaper genom att själva få undersöka, uppleva och upptäcka matematik. När eleverna samverkar i grupp får de möjlighet att dela med sig av nya tankar och idéer. Vår uppfattning om problemlösning i skolan är att eleverna inte får tillräckligt med tid att lösa problemuppgifter.
I Lpo 94 står att eleverna genom gruppsamtal får tillfälle att visa sin förmåga att förklara muntligt och att argumentera för sitt tänkande. I kursplanen för matematik (2000) finner man att syftet med ämnet är att:
ge eleven möjlighet att utöva och kommunicera matematik i meningsfulla och relevanta situa-tioner i ett aktivt och öppet sökande efter förståelse, nya insikter och lösningar på olika problem (s.26).
Skolverket (2003) har i Lusten att lära undersökt elevers syn på innehållet i matematiklek-tioner. Där nämnde de att arbete med problemlösning i grupp var roligt och lärorikt. Ett grupparbete kan exempelvis vara upplagt så, att eleverna får välja svårighetsgrad på pro-blemlösning och sedan redovisa lösningarna i stora grupper. Enligt elevernas åsikt var detta givande
för man fick idéer om hur man kunde räkna ut olika saker när andra redovisade sina uppgifter. Ibland lär man sig mer när kompisar förklarar (s. 30).
Enligt egna erfarenheter menar vi att problemlösning i grupp medför goda resultat och att samspelet mellan elever, lärare och elever i en anpassad miljö ger positiva effekter för att utveckla matematiska kunskaper. Neuman (1997) refererar till Vygotsky som menar att barn har en utvecklingszon som gör att elever klarar av mer om de får arbeta tillsammans med någon annan som kan mycket mer, än när de arbetar på egen hand.
I Lusten att lära (Skolverket 2003) står det att varierande undervisningsinnehåll och arbets-sätt formar många intresserade och aktiva elever som väljer att arbeta både individuellt och i grupp. Utifrån detta är våra frågeställningar i arbetet utformade.
Vårt problemområde består av elevers syn på problemlösning och hur strategier för pro-blemlösning skiljer sig åt när de arbetar i grupp kontra enskilt.
1.1 Syfte
Syftet med vårt arbete är att undersöka hur strategier för problemlösning skiljer sig åt när elever arbetar i grupp respektive enskilt. Vidare undersöks elevers syn på problemlösning i matematik.
1.2 Frågeställningar
1. Hur skiljer sig strategier för problemlösning åt om elever arbetar enskilt kontra i grupp?
2 Teori
I detta avsnitt kommer vi att redogöra för relevanta teorier som har samband med syfte och frågeställningar. Inledningsvis tar vi upp vad styrdokumenten säger om problemlösning och definitionen av problemlösning inom matematik. Därefter lyfter vi fram
faktorer som påverkar problemlösningsförmågan hos elever samt vilken betydelse språk och kommunikation har vid grupparbete. Slutligen har vi fokuserat på lärarens roll vid pro-blemlösning.
2.1 Styrdokument
Undervisningen i matematik har förändrats både vad det gäller innehåll och metodik. I Lgr 80 anges problemlösning som huvudmoment och målet kopplas till baskunskaper.
Det grundläggande målet för ämnet matematik är att alla elever ska förvärva god förmåga att lösa sådana problem av matematisk natur som man möter i hem och samhälle. För att kunna lösa sådana problem krävs vanligen att
• man kan förstå problemet och har en lösningsmetod, • man kan analysera, värdera och dra slutsatser av resultatet.
Problemet bör i första hand väljas utifrån elevernas erfarenheter och intressen samt från närmil-jön men bör också kunna belysa samhälls- och vardags problem. Beräkningarna måste vara väl avpassade efter varje elevs färdigheter. (s. 99 f.)
I jämförelse med Lgr 80 står det i kursplanen för matematik (2000) under rubriken ”Ämnets karaktär och uppbyggnad” att
Problemlösning har alltid haft en central plats i matematikämnet. Många problem kan lösas i di-rekt anslutning till konkreta situationer utan att man behöver använda matematikens uttrycks-former. Andra problem behöver lyftas ut från sitt sammanhang, ges en matematisk tolkning och lösas med hjälp med matematiska begrepp och metoder. Resultaten ska sedan tolkas och värde-ras i förhållande till det ursprungliga sammanhanget. Problem kan också vara relaterade till ma-tematik som saknar direkt samband med den konkreta verkligheten. För att framgångsrikt kunna
utöva matematik krävs en balans mellan kreativa, problemlösande aktiviteter och kunskaper om matematiska begrepp, metoder och uttrycksformer. Detta gäller alla elever, såväl de som är i be-höv av särskilt stöd som elever i bebe-höv av särskilda utmaningar. (s. 27 f.)
I Lpo 94 finner man att skolans uppdrag är att förmedla kunskaper. Vidare står att kunskap inte är ett entydigt begrepp utan att den kan uttryckas i olika former – ”såsom fakta,
förstå-else, färdighet och förtrogenhet” (s.8) där de olika formerna samspelar med varandra.
Dessutom står i Lpo 94 att skolan ska sträva efter att varje elev • lär sig att arbeta både självständigt och tillsammans med andra, • lär sig att använda sina kunskaper som redskap för att
– formulera och pröva antaganden och lösa problem, – reflektera över erfarenheter och
– kritiskt granska och värdera påståenden och förhållanden. (s.9) I Kursplan för matematik (2000) står att
skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven utveckla sin förmåga att formulera, gestalta och lösa problem med hjälp av matematik, samt tolka, jämföra och värde-ra lösningarna i förhållande till den ursprungliga problemsituationen. (s.26)
Vidare står det att eleverna ska i slutet av det femte skolåret
ha förvärvat sådana grundläggande kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer och lösa konkreta problem i elevens närmiljö. (s.28)
2.2 Vad är problemlösning?
Pólya (1970) menar att när man försöker lösa ett problem måste man imitera och observera hur andra människor går till väga när de löser problem. Genom att arbeta på detta sätt ut-vecklas en förmåga hos individen att lösa problem. Han talar om fyra olika faser som är
viktiga vid problemlösning. För det första måste man förstå problemet. Med detta menar han att eleverna bör inte bara förstå problemet utan de bör också ha intresse för att kunna lösa det. Valet av problem bör vara naturligt och intressant och det ska vara väl anpassat efter elevernas nivå. Det betyder att problemet inte ska vara för svårt och inte för lätt och att eleverna ska vara medvetna om att det tar tid att lösa ett problem. För det andra måste man förstå hur de olika delarna i problemet hänger ihop med varandra. För att man ska kunna komma fram till en idé om hur lösningen ska se ut och göra en plan måste man ha förståel-se för hur det som söks har samband med det som är givet i problemet. Man ska vara med-veten om att vägen från det att vi förstår problemet till dess att vi gör upp en plan kan vara lång. Nästa fas bygger på att genomföra planen. För att sammanställa en plan och att lyckas nå fram till en lämplig lösning krävs det att en individ har tidigare kunskaper, kloka tanke-vanor och koncentration. Författaren lägger stor vikt på den sista och fjärde fasen där man måste se tillbaka på den färdiga lösningen. Genom att se tillbaka, granska och diskutera den bekräftar eleverna sina kunskaper och utvecklar sin förmåga att lösa problem.
Möllehed (1993) skriver att de problem som räknas som problemlösning är de, som elever-na inte har träffat på tidigare och inte har några bestämda lösningsstrategier för från början. Han menar att eleverna genom reflektion och egen lösningsmetod kan söka sig fram till svaret.
Möllehed (2001) hänvisar till Kilpatrick, som uttrycker att det som är problem för dig idag inte är problem för mig idag och inte heller för dig imorgon. I anknytning till Kilpatrick, anser Möllehed (2001) att matematikundervisning bör ha tillgång till olika problem med olika svårighetsgrader, som kan ta hänsyn till elever med olika förutsättningar.
Unenge (1988) definierar problemlösning som ett mål där matematik används som ett hjälpmedel. Han betonar vikten av problemlösning och vill gärna se en koppling mellan vardagen och problemlösningen. Författaren delar upp vardagsproblem i två grupper:
vardagsproblem som återkommer så ofta att de blir rutinuppgifter vardagsproblem som uppkommer vid enstaka tillfällen.” (s.104)
Den första typen av problem blir en rutin eftersom man påträffar dem oftare. Den andra typen av problem återkommer enbart vid enstaka tillfällen. Problem som ingår i dessa två grupper löses erfarenhetsmässigt.
Enligt Hagland m.fl. (2005) är ett problem en uppgift som en individ vill eller behöver lösa, som saknar given procedur och som kräver ansträngning för att lösa den. De anser även att ett problem ska uppfylla ytterligare några kriterier såsom att problemet ska:
- presentera olika lösningsstrategier och viktiga matematiska idéer - vara lättbegripligt och erbjuda möjligheter att arbeta med
- utmana elever samt kräva ansträngning - ha flera olika lösningars strategier
- bidra till diskussion utifrån elevernas idéer och olika lösningsstrategier - fungera som förbindelse mellan olika områden inom matematik - väcka nya intressanta problem hos elever och lärare
Rönnlund (1989) sammanfattar det grundläggande kännetecken för ett matematiskt pro-blem i följande tre grupper. Att lösningen av det matematiska propro-blemet leder till nya kun-skaper, att problemet ska belysa olika delar inom matematik och att det som är problem på lågstadiet inte behöver vara problem på högstadiet.
Lester (1983) skriver att det inte finns någon enkel metod eller algoritm som löser proble-met. Vidare påpekar författaren att uppgifterna som kan lösas rutinmässigt kan inte betrak-tas som problem.
2.3 Faktorer som påverkar problemlösning
Möllehed (1993) anser att det finns en rad olika faktorer som påverkar problemlösning. Han delar in de samverkande faktorerna i tre olika kategorier: erfarenhetsmässiga, affektiva och kognitiva. Han förklarar vidare att en framgångsrik problemlösning innebär att man sam-ordnar sina kunskaper och erfarenheter för att nå resultat trots att det inte finns någon lös-ningsmetod från början.
Bild 1: Mölleheds indelning av faktorer som påverkar problemlösning i matematik
Möllehed (2001) sammanställer ovan sexton faktorer som påverkar problemlösning i ma-tematik i grundskolan. Han finner dessa allmänna faktorer som påverkar eleverna vid pro-blemlösning utifrån bristerna som eleverna har i sina lösningar. En del av dessa omfattar faktorer som är knutna till elevernas kunnande i matematik och faktorer som är beroende av undervisningen och elevernas tänkande inom en kognitiv struktur.Vi lyfter i det följande fram fem faktorer som vi finner relevanta att använda i vår studie.
Textförståelse: Eleverna missuppfattar information i texten, missförstår sammanhanget i
meningarna eller tolkar felaktig enstaka detaljer.
Matematiska begrepp: Eleverna misstolkar matematiska begrepp och har även svagheter i
att använda formler och metoder som behövs vid beräkning av olika uppgifter.
Talförståelse: Eleverna feltolkar decimaltal och rationella tal.
Räkneförmåga: Eleverna räknar fel med hela tal, decimaltal och rationella men även vid
tidsberäkningar.
Vidare skriver han att om man ska lyckas lösa ett matematiskt problem måste man ha en grund att stå på. Det betyder att en individ ska uppnå en sådan nivå i sin mognad, att han/hon kan tolka information som får. Eleverna ska utveckla vissa begrepp för att lösa problem samt kan klartgöra relationerna mellan föremål i olika situationer.
Nilsson (1993) refererar till Schoenfeld som delar in problemlösningsförmåga i fyra stadier:
Resurser: De innefattar individens förmåga att utföra algoritmiska beräkningar,
förtrogen-het med rutiner i matematik, kunskaper om fakta och definitioner och omfattar även indivi-dens informella och intuitiva kunskap om problemområdet.
Heuristik: Den handlar om allmänna problemlösningsstrategier inom matematik som kan
användas på många olika problem.
Kontroll: Den handlar om hur en individ kontrollerar sina kunskaper i matematik vad gäller
planering, värdering och beslut under lösningsprocesser.
Trossystem: Det handlar om själva individen, dess omgivning eller ämnet som påverkar
problemlösningsbeteendet.
Enligt Gran (1998) påpekar Lester (1983) en rad olika faktorer som inverkar på problemlös-ningsförmågan. I likhet med Mölleheds faktorsindelning talar Lester också om tre samver-kande faktorer, affektiva, erfarenhetsmässiga och kognitiva. I var och en av dessa tre fakto-rer ingår en rad andra faktofakto-rer som samverkar med varandra. De affektiva faktofakto-rerna är stress - tryck, ängslan, intresse – motivation, villighet att ta risker, uthållighet och självför-troende. Till de erfarenhetsmässiga faktorerna hör ålder, matematisk bakgrund, förtrogenhet med lösningsstrategier och problemsammanhang. I de kognitiva faktorerna ingår läsförmå-ga, minne, räknefärdighet och analytisk förmåga.
2.4 Språk och kommunikation
I Kursplanen för matematik (2000) under ”Mål att sträva mot” kan man läsa följande: Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven …
förstå och kan använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande (s. 26)
Malmer (1999) betonar vikten av att ”tala matematik” i form av att samtala, diskutera och argumentera. Tankeprocessen hos elever utvecklas genom att formulera tankar i ord – muntligt eller skriftligt. Andras reaktioner och åsikter ställer ett krav på individen som leder till utveckling av tänkandet och möjligheter till ett fördjupat lärande. På samma sätt betonar Rönnlund (1989) vikten av att låta eleverna ”prata” matematik. Han menar att eleverna på detta sätt noggrant får beskriva hur de tänker vid problemlösning. Genom att diskutera olika lösningsmetoder, som eleverna använt, får de möjlighet att se på problemet från olika syn-vinklar.
Engström (1998) anser att språket spelar en viktig roll för utvecklingen av vårt tänkande och lärande i matematik. Med erfarenheterna som grund utvecklar vi tillsammans med and-ra de matematiska begreppen genom språket. En tendens som finns bland matematikfors-karna att språket är en förutsättning för tänkandet, anser författaren är fel. Han menar att problemlösning i vissa sammanhang t.ex. i geometri löses spatialt dvs. ickespråkligt. ”Ur ett evolutionärt perspektiv är människans förmåga att tänka i bilder betydligt äldre än för-mågan att tänka med ett språk” (s. 148).
Enligt Engström (1998) presenteras fortbildningssatsningar av matematiklärare under 1980-talet med starka krav på att eleverna skulle prata mer på matematiklektionerna och räkna mindre. Lärarens uppgift är att hålla igång samtalet genom att ställa frågor till elever-na t.ex. ”Hur har du tänkt?”. Läraren ska även stödja eleverelever-nas gruppkommunikation ge-nom att uppmuntra dem till att lyssna på varandra.
Även Unenge (1988) betonar vikten av samtal under matematiklektionen och hur man kan få igång en dialog istället för tyst räkning. Om elevernas tankar ska vara utgångspunkten för dialog och diskussion måste eleverna få chans att uttrycka sina tankar i ord och lärarna måste anstränga sig för att lyssna. Dessutom menar Unenge att språket är nödvändigt för att kunna fånga in matematiska begrepp, termer och metoder.
Löwing & Kilborg (2002) menar att om språket i uppgifterna är svårt får vissa elever pro-blem med att förstå uppgiften. En lösning kan vara att man för tillfället förenklar språket i uppgiften. Vidare tar författarna upp den viktiga åsikten att en individ lär sig lösa problem genom att lösa problem samt att man lär sig läsa genom att läsa. Om man vill att eleverna ska bli goda problemlösare eller läsare så bör inte lärare lämna dem att lära på egen hand utan utmana och uppmuntra dem.
Malmer (1999) skriver att i dagens skola finns en skarp gränslinje mellan matematik och svenska. Lärarnas roll är att överbygga klyftorna mellan dessa ämnen. Författaren anser att språkets betydelse i elevernas utveckling är avgörande och hon poängterar att lärarna i ma-tematik måste vara medvetna om det. Lärare bör lägga vikt på att lyssna på elevernas spon-tana berättande som ger till resultat att läraren får kunskaper om elevernas språkliga förmå-ga. Genom att eleverna använder språket till att kommunicera med varandra utvecklar de sin förmåga i olika ämnena. Enligt Malmer finns det undersökningar som tyder på ett otill-fredsställande språk hos barn vid skolstarten. Anledningen till detta kan vara att vuxna inte är medvetna om att språket utvecklas i ett socialt samspeloch därförsamtalar för litet med sina barn.
2.5 Varför bör elever arbeta i grupp?
I Lpo 94 betonas vikten av grupparbete och att skolan ska sträva efter att varje elev
lär sig att arbeta både självständigt och tillsammans med andra (s. 9).
Ahlberg (1991) hänvisar till Ljung som anser att eleverna sällan får tillfälle till samarbete och möjlighet att hjälpa varandra på matematiklektionerna och
det är uppenbart att vi fortfarande har en obalans mellan olika arbetsformer i ämnet matema-tik, en obalans som ej är i överensstämmelse med läroplanens intentioner (s.85).
Ahlberg (1991) påpekar att ett vanligt mönster i matematikundervisning är att eleverna ar-betar enskilt en stor del av lektionerna. Författaren skriver vidare att om man vill hjälpa eleverna att se problem från olika perspektiv bör man ge dem möjlighet till diskussion och samtal. Ahlberg menar att när elever löser problem i grupp blir de medvetna om sina egna tankar och samtidigt kan de kontrollera och styra sitt tänkande. Vidare anser författaren att läraren har en central roll i grupparbetet. Hon menar att läraren är den som uppmuntrar ele-ver att lyssna och presentera sina idéer. Pólya (1970) skriele-ver att om lärare vill att eleele-verna ska vara goda problemlösare måste lärarna ge dem riktiga tillfällen att härma och öva samt gradvis försöka öka elevernas intresse för problem.
Även Nämnaren (1995) understryker vikten av grupparbete och att samtal mellan grupp-medlemmar verkar väldigt positivt för elevers lärande. Vidare står att lärare bör tänka på att gruppmedlemmarna ska vara på samma nivå.
Homogena grupper har fördelen att medlemmarna ligger på ungefär samma prestationsnivå. Det blir lättare att kunna aktivera eleverna… (s. 61).
I Nämnaren (1996) står att grupparbete bygger på ett utbyte av idéer och information mel-lan gruppmedlemmar, där varje individ på allvar ska bli respekterad för sina ansträngningar att hitta en lösning. Eftersom en idé kan föda nya idéer hos gruppmedlemmar är det viktigt att gruppmedlemmar på ett positivt sätt stödjer och uppmuntrar varandras förslag som leder arbetet vidare. I grupparbete utvecklas elevernas eget tänkande och förståelse när de ger uttryck för egna erfarenheter och kommer med förslag till strategier. På samma sätt skriver Malmer (1999) att arbete i mindre grupper eller i par är mest utvecklande eftersom eleverna på detta sätt får tillgång till flera förslag och idéer. När eleverna arbetar i grupp kommer de på nya lösningsstrategier.
Möllehed (1993) skriver också om fördelen med grupparbete. Han menar att eleverna i grupparbete får möjligheter att byta åsikter, reflektera och diskutera med varandra vilket i sin tur lämnar positiva effekter vid problemlösning. Han skriver också att lärarens roll är att observera eleverna och att ta reda på brister hos eleverna och ge dem styrka.
Gran (1998) hänvisar till Sjöströms utvecklingsarbete som visar hur barnen genom dialog med kamraterna utvecklar uppfattningen av sitt eget tänkande. När eleverna beskriver för andra hur man tänkt i en problemsituation får eleverna en klar bild av sitt tänkande och upptäcker sina egna misstag. För att få en bättre bild av sitt tänkande bör eleverna jämföra eget tänkande med kamraternas.
2.6 Lärarens roll vid problemlösning
Unenge (1988) hänvisar till Marton m.fl. som skriver om inlärning:
Lärarens främsta uppgift är att som katalysator gå in här och där, när de egna frågorna saknas, och skapa konflikter i det felaktiga resonemang som eleven byggt upp. Genom att sätta igång denna konflikt har läraren inte tänkt i stället för eleven. Han tillför den lärandes eget tänkande det bränsle som krävs för att upptäckten eller insikten skall förbli en personlig egendom som inte faller bort några dagar senare (s.138).
Unenge anför att innebörden av detta citat kan vara förutsättning för en metod som kan användas i grupparbete där elevernas olika tankar lyfts och där en lärare kan fungera som ”katalysator”. Lärarens viktiga uppgift är att vara lyhörd och uppmuntra eleverna som kommer med goda förslag under samtalet.
Malmer (1999) anser att grupparbete är mest utvecklande, eftersom eleverna får tillgång till flera idéer när de reflekterar och diskuterar i grupp. Författaren skriver vidare att många elever har fått uppfattningen under sin skolgång att när de diskuterar en lösning med en kamrat räknas det som fusk. Många matematiksvaga elever är rädda för att formulera sina tankar och räknar själv utan att fråga ”hur man ska göra” (s. 59). Författaren skriver vidare
att det inte är lätt att bryta detta mönster men att man alltid kan försöka. Lärarens roll för-ändras från den styrande till den vägledande, vilket betyder att en lärare ska anvisa väg men låta eleverna gå själva, ställa frågor men vara försiktig med svar. En överaktiv lärare får negativa effekter på elevernas utveckling, vilket innebär att de blir mycket passiva. Det kan vara skadligt om eleverna får för mycket hjälp.
Skoogh & Johansson (2001) tycker att det är nödvändigt att prata med eleverna om pro-blemlösningsinnebörden och går genom olika lösningsmetoder. Lärarens roll blir att förbe-reda eleverna att försöka lösa problem utan hjälp, att alltid spara anteckningarna från sina försök och att bearbeta problemet innan det ska diskuteras.
2.7 Begreppsdefinition
Grupparbete syftar på ett samspel mellan elever som arbetar tillsammans för att utföra ett
arbete, lösa en uppgift eller gemensamt nå ett mål. Haglund m. fl. (2005) menar att
grupparbete är när elever, som har liknande erfarenheter och kunskaper, tillsammans disku-terar ett matematiskt begrepp och kritiserar varandras lösningar.
Kommunikation förklaras i detta arbete som det muntliga samspelet mellan två eller flera
elever. Enligt Wistedt (2001) kommer ordet kommunikation från latinets communicare, som betyder att skapa gemensam förståelse. Att kommunicera betyder alltså att skapa och utbyta innebörder i samspel med andra.
Problemlösning innebär i detta arbete att eleverna löser ett matematiskt problem. Möllehed
(1993) menar att de problem som räknas som problemlösning är de, som eleverna inte tidi-gare har träffat på och för vilka de inte har bestämda lösningsstrategier från början. Även i Lgr 80 definieras problemlösning som
en frågeställning som man vill lösa och som kan lösas med en matematisk modell, som inte är given (s.16).
2.8 Sammanfattning av teori
Problemlösning har fått en dominant plats i de två senare läroplanerna. Alla de
kunskaper som eleven tagit till sig skall användas till att lösa de problem och situationer som uppstår inte bara i skolan utan även i vardagslivet och i hemmiljön. Möllehed (2001) betonar vikten av att lärarna bör använda sig av problemlösning för att dels uppfylla målen i läroplanen och dels för att utveckla eleverna till goda problemlösare.
Möllehed (1993) och Hagland m.fl. (2005) definierar problemlösning som något som elever inte tidigare mött och där inga lösningsstrategier är tillgängliga från början. Eleven måste därför själv söka efter svar och finna tänkbara lösningsstrategier. Unenge (1988) definierar problemlösning som ett mål där matematik används som hjälpmedel. Lester (1983) påpekar att uppgifterna som kan lösas rutinmässigt inte kan studeras som problem. Det grundläg-gande kännetecknet för ett matematiskt problem sammanfattar Rönnlund (1989) i tre grup-per. Att lösningen av problemet leder till nya kunskaper, problemet ska belysa olika delar genom matematik och att det som är problem på lågstadiet inte behöver vara problem på högstadiet. För att sammanfatta definitionen av problem och problemlösning vill vi lägga till att det oftast är uppgifter som kan lösas på flera olika sätt och kräver operationer i flera steg.
Möllehed (1993) och Lester (1983) har gjort en sammanställning av en rad olika faktorer som påverkar problemlösning i matematik i grundskolan. Författarna delar in de samver-kande faktorerna i tre olika kategorier: erfarenhetsmässiga, affektiva och kognitiva. Till skillnad från Möllehed (1993) och Lester (1983) delar Schoenfeld in problemlösningsför-måga i fyra stadier som resurser, heuristik, kontroll och trossystem. Alla tre författarna har samma uppfattning vad det gäller allmänna faktorer som påverkar problemlösning i mate-matik men deras tolkning och beskrivning av faktorerna skiljer sig åt. T.ex. i Mölleheds och Lesters erfarenhetsmässiga faktorer ingår ålder, tidigare matematisk bakgrund, förtrogenhet med lösningsstrategier och problemsammanhang medan i Schoenfelds indelade stadier till-hör dessa faktorer till resurser.
Ett av skolans mål att sträva mot i undervisning i matematik är att elever utvecklar sin för-måga att förstå samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande. Malmer (1999), Rönnelund (1989) och Engström (1998) anser att när elever tillsammans med andra prata matematik och diskutera olika lösningsmetoder som eleverna använt, får de möjlighet att se på problemet från olika synvinklar. Dessutom menar Unenge (1988) att språket är nödvändigt för att kunna fånga in matematiska begrepp, termer och metoder. Malmer (1999), Unenge (1988), Engström (1998) och Löwing & Kilborn (2002) lägger tonvikten på att läraren måste anstränga sig för att lyssna och försöka att överbygga klyftor mellan olika ämnen. Lärarnas uppgift är att hålla ingång samtalet under lektionerna och även stödja elevernas gruppkommunikation genom att inspirera och sätta fart på dem. I Lpo 94 betonas vikten av grupparbete genom att varje elev ska kunna arbeta båda själv-ständigt och tillsammans med andra. Ahlberg (1991) hänvisar till Ljung som skriver om en obalans som finns mellan olika arbetsformer i matematik. Att elever sällan får tillfället till samarbete och möjlighet att hjälpa varandra. I likhet med Ljung skriver Ahlberg (1991) att elever arbetar vanligtviss en stor del av matematiklektion enskild. Ahlberg (1991), Pólya (1970), Malmer (1999) och Möllehed (1993) skriver om fördelar med grupparbete där ele-verna får möjligheter till ett utbyte av idéer och information mellan gruppmedlemmar. Att arbete i mindre grupper eller i par är mest utvecklande och att lärare bör tänka på att gruppmedlemmarna ska vara på samma nivå.
Unenge (1988), Malmer (1999) och Skoog & Johansson (2001) betonar lärarens roll vid problemlösning i matematik. De menar att den lärarens förhållningssätt till lärande är det viktigaste faktor i utformningen av undervisningen. Malmer (1999) skriver att lärare inte ska förmedla och lära ut färdiga kunskaper utan att själv vara aktiv i olika slag av lärande-processer. Hon menar att lärarens roll är vägledande vilket betyder att läraren visar vägen för eleverna men låter dem ”gå själv”. Enligt Malmer (1999), Unenge (1988) och Skoog & Johansson (2001) bör läraren visa och tillsammans med eleverna diskutera olika strategier som kan användas vid problemlösning samt ge dem den tid som behövs vid problemlös-ning. Läraren anses ha en viktig roll att uppmuntra och stimulera eleverna att söka nya kun-skaper.
3 Metod
Undersökningen innehåller både kvalitativ och kvantitativ metod. Anledningen till att vi valde kvantitativ undersökning som metod var att man utgår från insamlad data och fokuse-rar på mängd, frekvens och ett antal variabler som kan bearbetas statistiskt. Metoden är till stort hjälp då man vill undersöka speciella delar av en helhet och att man vill finna struktur i sina data (Eggeby & Söderberg 1999). Risken med denna typ av undersökningen kan vara att datainsamlingsinstrument man använder i sin undersökning skapar problem och att man inte säkert vet att man får information om just det man vill. Man vet inte heller hur pass säker informationen i sig är (Patel & Davidson 2003).
Undersökningen byggde på två problemuppgifter som utfördes i två klasser A och B med sammanlagt 32 elever. Eleverna fick lösa uppgifter i grupp och enskilt.
För att skaffa oss kunskap om vad och hur eleverna diskuterar, hur de fungerar i grupp och hur begreppsanvändning fungerar hos dem valde vi även observation som en del av under-sökningen. Egenskaper som utvecklas vid ett grupparbete kan vara att kunna formulera sina tankar och uttrycka dem i ord och kunna reflektera och dra egna slutsatser. Patel & Davids-son (2003) beskriver att observation är en lämplig metod som används när man vill samla in information om individens beteende. Vidare skriver Patel & Tebelius (1987) om för- och nackdelar med observation. Fördelen med observation är att man studerar elevernas beteen-de och utveckling i ett naturligt sammanhang i samma stund som beteen-det äger rum. En nackbeteen-del med observation är att det är svårt ”att fånga in och predicera förekomsten av spontana beteende” (s.95). I detta arbete användes ostrukturerad observation. Enligt Patel & Tebelius (1987) rekommenderas ostrukturerade observationer, för att kunna skaffa så mycket infor-mation som möjligt kring ett problemområde.
För att ta reda på elevernas inställning till problemlösning valde vi den kvalitativa intervjun som metod. Enligt Lundahl & Skärvad (1999) är nackdelen med denna metod svårighet att dra generella slutsatser eftersom för få människor studeras. Däremot kan man göra en nog-grann beskrivning av problemet som undersöks. Patel & Davidsson (2003) anser att förde-len med intervju är att man kan ställa följdfrågor och på detta vis skaffadjupare kunskap
om individens uppfattning Vi intervjuade sex elever som saknade eller fick fram felaktiga lösningar i den kvantitativa delen av studien, för att kunna ta reda på orsaker till dessa.
3.1 Urval
Vi valde att utföra vår undersökning på en skola i södra Sverige. I undersökningen deltog två klasser med 37 elever i år fyra. Fem elever saknades. Vi valde inte klasserna slumpmäs-sigt utan vi träffade dem ett antal gånger när vi var ute och vikarierade. Enligt matematiklä-rarens och vår uppfattning var klasserna kunskapsmässigt snarlika.
Eftersom båda klasserna var kunskapsmässigt snarlika valde vi den ena klassen till att lösa uppgifterna enskilt och den andra gruppvis. Den klass som arbetade gruppvis delade vi in i sex grupper med tre elever i varje grupp och i samtliga grupper ingick både pojkar och flickor. Emanuelsson m.fl. (1991) refererar till Webb som menar att flickor inte är lika aktiva i kommunikation som pojkar är. I vår undersökning har vi tagit hänsyn till Emanu-elsson m.fl. (1991) som beskriver att antalet medlemmar i gruppen bestäms av uppgiftens omfattning och medlemmarnas erfarenhet av gruppsamverkan.
För att öka validitet och reliabilitet i vår undersökning valde vi att observera två av dessa sex grupper slumpmässigt. Vi observerade samarbete, kommunikation, beteende och be-greppsanvändning hos dessa två grupper.
När det gäller intervju med elever valde vi sex elever av de 32, som saknade eller hade fel-aktiga svar på uppgifterna i den första delen av undersökningen. Syftet med att vi valde just dessa elever till intervjun var att vi ville samtala om anledningen till varför de inte kunde klara uppgifterna. Valen grundades på Kvales (1997) teorier om att man i en intervjusitua-tion kan fånga en mängd olika personens uppfattningar om ett ämne samt lära känna andra människor och får veta något om deras erfarenheter. Intervjun med elever kan utvidga och ändra forskarens inställning om undersökningen med att eleverna drar fram nya och ovän-tade momenten av undersöknings fenomen som medför nya diskussioner under analysen av intervjumaterialet.
3.2 Datainsamlingsmetod
Eleverna fick två problemlösningsuppgifter (Bilaga 1) under två 60 minuters matematiklek-tioner. Valet av uppgifter grundades på vår erfarenhet om att eleverna var bekanta med så-dana uppgifter när de arbetade med problemlösning i läroboken. Uppgifterna var tagna från Malmer (1990). Vi anser att det är viktigt att eleverna får tillräckligt tid med uppgifterna och att inte avbryta arbetet i förtid. Båda uppgifterna var samma för alla elever därför att vi ville se, hur strategierna för problemlösning skiljer sig åt när eleverna arbetade enskilt kont-ra i grupp.
För att kunna se hur eleverna fungerar i grupp och hur de använder olika matematiska be-grepp valde vi ostrukturerad observation till denna del av undersökningen.
Den kvalitativa undersökningen i vår studie grundades på resultatet av den kvantitativa un-dersökningen. De eleverna som misslyckades vid den första delen av undersökningen valde vi till andra delen av undersökningen. Vi intervjuade (Bilaga 2) eleverna för att ta reda på deras inställning till problemlösning. Enligt Patel & Davidsson (2003) är fördelen med in-tervju att man kan ställa följdfrågor och på detta vis skaffa djupare kunskap om individens uppfattning.
3.3 Procedur
Arbetet påbörjades med att vi kontaktade den aktuella skolan. Efter att vi har fått ett väl-komnande besked ifrån skolan, började vi inledningsvis skicka ett skriftligt meddelande till målsman för eleverna (Bilaga 3). Brevet började med en kort presentation om oss själva samt med information om våra undersökningsmetoder. I brevet utlovades eleverna anony-mitet. Målsman har haft möjlighet att välja om deras barn skulle delta eller inte i undersök-ningen. Brevet som målsman fick skulle undertecknas och skickas tillbaka till skolan. Undersökningen utfördes i två klasser A och B. I A-klassen skulle eleverna utföra problem-lösningsuppgifter enskilt och i B klassen gruppvis. Möllehed (2001) hänvisar till Vygotsky
som säger att när en individ samarbetar med någon eller några som är båda kunskaps- och erfarenhetsmässigt bra i ämnet leder det till att individen utvecklas och lyfts till nya och högre nivåer och förbättrar sina prestationer. I A-klassen inledde vi undersökningen med en kort presentation av arbetssättet och delade därefter ut uppgifterna till eleverna. Eftersom undersökningen utfördes på en matematiklektion informerades eleverna om att de kunde fortsätta räkna i matematikboken efter att de blivit klara med uppgifterna i vår undersök-ning. Eleverna i B-klassen fick samma information om arbetssätt och därefter delade vi dem i sex grupper med tre elever i varje grupp. Undersökningen ägde rum i klassrummet och i ett mindre grupprum. Två grupper som arbetade i grupprummet valde vi att observera. Grupperna informerades om syftet med arbetssättet, i detta fall grupparbete. Till observa-tionen använde vi papper och penna.
Efter att vi studerat elevernas skriftliga lösningar valde vi från båda klasserna sex elever som saknade eller hade felaktiga svar, för intervju. För att vi skulle kunna ta reda på elever-nas uppfattning om problemlösning gjorde vi individuella intervjuer som spelades in på bandspelare. Fördelen med intervjuerna var att vi kunde ställa följdfrågor som stimulerade elevernas tankar kring uppgifterna.
3.4 Validitet och reliabilitet
Patel & Davidsson (2003) anser att reliabilitet kan tolkas som tillförlitlighet och i vårt arbe-te stärkas det genom att undersökningen genomfördes av två personer. För att försöka höja reliabiliteten intervjuades alla eleverna av samma person med samma frågor och under samma omständigheter. Vi har även förberett följdfrågor och spelade in intervjuerna på band för att ytterligare stärka reliabilitet.
Validitet innebär att våra mätmetoder mäter just det vi avser att mäta (Patel & Davidsson, 2003). Vi insåg att det fanns olika tolkningar av de händelser som förekom i observationer av grupparbete och elevernas lösningar på uppgifterna vilket betyder att det finns utrymme
och möjlighet för att man kan förvänta sig att få ett annat resultat vid en likadan undersök-ning.
4 Resultat
En sammanställning av elevernas lösningar, intervjuer och observationer beskrivs under respektive frågeställning.
Möllehed (2001) har sammanställt 16 allmänna faktorer som påverkar elever vid problem-lösning i matematik i grundskolan utifrån bristerna som de har i sina problem-lösningar.
Som grund för analysen av elevers olika strategier vid problemlösning har vi använt ett urval av Mölleheds faktorer, nämligen följande fem: textförståelse, talförståelse, räkne-förmåga, logik och matematiska begrepp.
4.1 Hur skiljer sig strategier för problemlösning åt om elever arbetar
enskilt kontra i grupp?
4.1.1 Resultat av problemlösning när eleverna arbetar enskilt Sammanställning av de 14 elevernas lösningar.
Tabell 1: Sammanställning av resultat vid enskilt arbete
Uppgift 1 (antal elever)
Uppgift 2 (antal elever)
Textförståelse
Att missförstå innebörden i texten 3 3
Att missförstå vissa ord i texten 3 4
Att genomföra fel beräkningar 5 4
Talförståelse/Räkneförmåga
Att ha en felaktig uppfattning av ett heltal
1 1
Att missförstå värde av olika heltal 3 2
Logik
Att inte kunna dra en riktig slutsats 3 4
Att ha en ofullständig tankegång 3 3
Matematiska begrepp
Att inte skilja mellan addition och subtraktion
3 3
Att använda en felaktig metod 3 4
Att förutsätta ett samband som inte gäller
3 4
Ur ovanstående tabell går att utläsa att 4 av de totala 14 eleverna har visat brist i textförstå-else. Det vanligaste felet, som framgår av tabellen ovan, är att eleverna inte förstår själva innebörden i texten d.v.s. att de inte läser uppgifterna noga utan hoppar över de viktiga ord
t.ex. ”efter” och ”före”. Om eleverna tänker bara på ordet ” prishöjning”, som vanligtvis betyder att addera två givna tal i uppgiften, då missförstår de antingen innebörden i texten eller vissa ord som leder till att beräkningar utförs fel. Två elever har brister i talförståel-se/räkneförmåga. Bristen som vi har upptäckt i elevernas lösningar är fel placering av tal vid algoritmberäkningar t.ex. att de skrev de det större talet under det mindre talet och att siffrornas placering inte var riktiga. Tre av det totala antalet elever uppvisar brister i det logiska tänkandet vilket ger till resultat att elevernas förmåga att dra en slutsats och att få en fullständig tankegång vid problemlösningen är otillräcklig. Några genomförde t.ex. uppgift 2, ”9 + 9 = 18” och ”Anna är 9 år”. 3-4 elever har brister vad det gäller de matematiska begreppen. Elevernas otillräckliga kunskaper om de matematiska begreppen t.ex. ”hälften”, före”, ”efter” och ”prishöjning” leder till att eleverna förväxlar olika räknesätt som t.ex. addition och subtraktion.
4.1.2 Resultat av problemlösning när eleverna arbetar i grupp
Sammanställning av de totalt 18 elevernas lösningar.
Tabell 2: Sammanställning av resultat vid grupparbete
Uppgift 1 (antal grupper) Uppgift 2 (antal grupper) Textförståelse Att missförstå innebörden i texten 0 3
Att missförstå vissa ord i texten 0 3
Att genomföra fel beräkningar 0 3
Talförståelse/Räkneförmåga
Att missförstå värde av olika heltal 0 2
Logik
Att inte kunna dra en riktig slutsats 0 3
Att ha en ofullständig tankegång 0 3
Matematiska begrepp
Att inte skilja mellan addition och subtraktion
0 2
Att använda en felaktig metod 0 3
Att förutsätta ett samband som inte gäller
0 3
Eftersom elevernas lösningar inte har visat några brister i den första uppgiften redovisar vi bara resultatet av den andra uppgiften.
Ur ovanstående tabell går att utläsa att 3 av de totala 6 grupper uppvisar brister i textförstå-else. Bristerna i talförståelse/räkneförmåga upptäcks i två grupper. Tre av de totala 6 grup-per har brister i det logiska tänkande vid lösning av problemet. Brister i de matematiska begreppen upptäcks i tre grupper.
4.1.3 Resultat av observation
I vår undersökning studerar vi hur eleverna samarbetar, kommunicerar och använder de olika matematiska begreppen kring de två tilldelade uppgifterna när de arbetar i grupp. Un-der observationerna antecknar vi de viktiga punkter som hjälper oss att nå svaret på våra frågeställningar.
Eleverna i den första gruppen inleder sitt arbete genom att läsa uppgifterna och därefter börjar de diskutera innehållet i uppgifterna. De vanligaste kommentarer var följande: ”Jag förstår inte det”, ”Vad menar man med det”, ”Vad är prishöjning?”, ”Hur ska vi lösa?”. Efter några minuter kommer de på att i första uppgiften räkna ut biljettpriset ”före prishöj-ning”. Eleverna kommer fram till det rätta svaret med hjälp av algoritm. Andra uppgiften gör de genom att pröva sig fram. Några vanliga elevkommentarer vid detta tillfälle var: ”Om Anna är 4 år och Bertil 8 år då är de tillsammans 12 år”, ”Om t.ex. jag är 10 och du är 5”.
Den andra gruppen verkar lite trött och ointresserad. De börjar prata direkt om lösningssätt utan att bearbeta texten i uppgifterna. Samarbetet mellan gruppmedlemmarna fungerar inte riktigt bra. För att eleverna ska sättas igång frågar vi: ”Vad är det som är givet i texten?”, ”Vad bör ni ta reda på?”, ”Kan man koppla uppgifter till vardagen?”. Några elevers kom-mentarer är: ”Jag fattar ingenting”, ”När slutar vi?”, “När ska vi gå på rasten?”. Observatö-ren ställer en följdfråga: ”Vad är det som är svårt?”. Eleverna påpekar att orden ”före” och ”efter prishöjning” i första uppgiften och ”hälften” i den andra uppgiften är mest krångliga. När vi förklarar dessa ord lyckades de att genomföra åtminstone en uppgift.
4.2 Vad tycker elever om problemlösning i matematik?
För att kunna ta reda på elevernas syn på problemlösning i matematikvalde vi att intervjua sex av de 32 elever, som saknade eller hade felaktiga svar på uppgif-terna.
4.2.1 Vad kan problemlösning i matematik vara?
Någon elev visste inte riktigt hur sådana uppgifter kan se ut. T.ex. Elev1 svarar ”Jag vet inte”. De flesta svarade emellertid att uppgifterna som innehållet text är problemlösning. En av dem tyckte att problemlösning är jobbig:
Elev 5: Långa texter och jobbiga.
Intervjuare: Vad menar du med jobbiga? Elev 5: Ju, när det är svårt att förstå och lösa.
Den vanligaste uppfattningen bland de intervjuade eleverna om deras syn på problemlös-ning kan tolkas som att uppgifter som innehåller text är synonymt med problemlösproblemlös-ning.
4.2.2 Hur tyckte du uppgifterna var?
Tre elever tyckte att uppgifterna var svåra på grund av innebörden i texten. ”För att det är svårt att förstå vad som ska räknas.” Två elever ansåg att uppgifterna var intressanta och roliga med anknytning till deras vardag. ”Jag har lillesyster som är fem år gammal.” Elev 3 var något tveksam och föredrog att uppgifterna var både lätta och svåra:
Elev 3: Både lätt och svårt. Intervjuare: Kan du förklara mer? Elev 3: Vissa ord blandar man ihop. Intervjuare: Kan du ge ett exempel?
4.2.3 Kan du komma på ett annat sätt att lösa uppgifter?
Två av tillfrågade eleverna svarade att man kan använda t.ex. laborativa material vid lös-ning av problemet. ”Kanske, med hjälp av pinnar eller stenar. Man kan rita.” Elev 6 ansåg att:
Elev 6: Kanske… chansa.
Intervjuare: Vad menar du med det?
Elev 6: Man kan pröva sig fram, ge ett förslag. Intervjuare: Brukar du lösa uppgifter på detta sätt? Elev 6: Bara när jag inte kan hitta något annat sätt.
Resten av eleverna hade inget förslag till annanlösnings metod. Elev 2 svarar: ”Hm, … jag måste tänka. Nej.”
Elevernas kommentarer kan sammanfattas med att de inte är vana att lösa problemuppgif-terna på flera sätt. Detta verkar inte vara något som uppmuntras. Svaret ”Bara när jag inte kan hitta något annat sätt” är ganska talande.
4.2.4 Hur ofta påträffar du i ditt vardagsliv sådana situationer som nämns i uppgif-terna?
De flesta tillfrågade elever kunde se en koppling mellan innehållet i uppgifterna och var-dagslivet. Här är några elevers kommentarer:
Elev 2: Ofta.
Intervjuare: Vad menar du med det? Elev 2: När man reser.
Elev 4: Ibland.
Intervjuaren: Kan du ge något exempel?
Någon visste inte riktigt hur sådana uppgifter kunde knytas till vardagen förrän vi ställde följdfrågor:
Elev 1: Jag vet inte.
Intervjuare: Är det möjligt att uppgifterna är tagna från en vardagssituation? Elev 1: Ja, det tycker jag.
Intervjuare: Kan du förklara mer?
Elev 1: Ja t ex första uppgiften när man åker på semester.
Elev 3 kunde inte se något samband mellan uppgifterna och vardagslivet ens när vi ställde följdfrågor.
4.2.5 Hur tycker du det är att arbeta i grupp respektive enskilt med problemlösning?
Uppfattningarna om att arbeta i grupp eller enskilt varierade. Tre elever ansåg att det var viktigt att arbeta med matematik tillsammans med några kamrater. Förklaringen var, att man då har fler att jämföra och diskutera med. ”Man kan fråga andra om man fastnar.” De andra ville mer eller mindre gärna arbeta ensamma, eftersom de menade att man annars diskuterar mycket annat vid grupparbetet. Bland de negativa kommentarerna fanns bland annat följande:
Elev 5: Jag tycker inte om att arbeta i grupp. Intervjuare: Varför?
Elev 5: För att jag blir störd. Intervjuare: Hur?
Elev 5: De pratar om något annat istället för att jobba.
Vi uppfattar att det är möjligt att eleverna tänker på att lösa många uppgifter rutinmässigt och komma långt i läroboken snarare än att diskutera olika lösningsstrategier med andra.
5 Diskussion med analys och slutsatser
I detta avsnitt kommer vi att diskutera resultaten och presentera slutsatserna av undersök-ningen utifrån våra två frågeställningar. Vi är medvetna om att undervisningsmetoder i oli-ka skolor skiljer sig åt samt att elevernas bakgrund och tidigare erfarenheter eleverna på-verkar deras svar,. Det går inte att genom denna undersökning dra några generella slutsatser vad det gäller elevers syn på och strategier för problemlösning i allmänhet. Slutsatserna grundas endast utifrån den undersökta urvalsgruppen.
5.1 Hur skiljer sig strategier för problemlösning åt om elever arbetar
en-skilt kontra i grupp?
Utifrån det samlade materialet och sammanställningen av tabeller drar vi slutsatsen att 4 av de 14 eleverna som arbetat enskilt och 9 av 18 elever som har arbetat i grupp har problem med textförståelse. Det vanligaste problemet, vilket framgår i vår undersökning, är att ele-verna inte förstår själva innebörden i texten. Det betyder att de inte kan se sambandet mel-lan olika delar i uppgifterna. Vissa ord som t.ex. ”före”, ”efter prishöjning” och
”hälften”, leder till att eleverna tolkar dem på ett felaktigt sätt. Enligt Möllehed (2001) fo-kuserar eleverna mer på att ge ett rätt svar än att finna en lösningsmetod i sina beräkningar i uppgifterna. Författaren skriver vidare att de brister som eleverna visar i textförståelse är oftast en misstolkning av hela eller mindre delar av texten. Med hänsyn till våra insamlade data drar vi slutsatsen att eleverna fungerar bättre vid problemlösning när de arbetar en-samma.
Brister i talförståelse/räkneförmåga uppvisar 2 elever vid enskilt arbete och 6 elever vid grupparbete. En vanlig brist som vi upptäcker i elevernas lösningar är hantering av posi-tionssystemet, där eleverna misslyckas att placera siffrorna rätt vid algoritmberäkningar. Detta stämmer överens med Möllehed (2001), som anser att om lärarna inte reagerar i god tid på det korrekta skrivsättet i matematik, kan eleverna senare få problem vid räkning med t.ex. negativa tal. Möllehed skriver vidare att många lärare latar sig med elevernas sätt att
uttrycka ett räknesätt, framför allt på lägre stadier. Efter bearbetning av materialet kommer vi fram till att eleverna även i detta avseende uppvisat bättre resultat i talförståelse och räk-neförmåga när de arbetar enskilt.
Tre av det totala antalet elever som arbetar enskilt och 9 som arbetar i grupp har svårigheter med det logiska tänkandet. Elevernas förmåga att dra en riktig slutsats och att ha en full-ständig tankegång vid problemlösning ligger väldigt lågt vilket kan jämföras med Möllehed (2001) som säger att logik är komplicerat i de flesta elevernas beteende och åtgärder. Det är möjligt att upptäcka ett logiskt resonemang i elevernas lösningar av ett matematiskt pro-blem även om lösningen är felaktig. Vidare refererar Möllehed till Piaget som anser att när en förmåga att förstå konstans eller proportionalitet utvecklas hos en individ, uppstår olika logiska strukturer, vilka uppkommer genom logisk-matematiska operationer. Här drar vi också en slutsats att elevernas prestation i logiskt tänkande fungerar bättre vid enskilt arbete jämfört med i grupp.
Svårigheter hos eleverna vad det gäller matematiska begrepp, när de arbetar enskilt, har 3-4 elever respektive 9 elever när de arbetar gruppvis. Ofta förväxlar eleverna olika räknesätt. T.ex. använder de addition istället för subtraktion eller tvärtom. Därför tycker vi att elever-nas kunskap om de matematiska begreppen ännu inte är tillräckligt utvecklad. Möllehed (2001) visar att elever med bristande kunskaper om matematiska begrepp ofta förväxlar räknesätten t.ex. använder de ibland addition istället för multiplikation och även förväxlar de namn på olika geometriska figurer och olika storheter. Även här är det mest domineran-de arbetssätt enskilt arbete.
Efter att vi har observerat de båda grupperna kan vi dra slutsatsen att eleverna i dessa två grupper, har engagerat sig och motiverat olika sätt att utföra uppgifterna i grupp. En vanlig brist hos elever, även när de arbetar i grupp, är textförståelse. I jämförelse med detta beto-nar Malmer (1999) att språket används som ett instrument för att uppnå kunskap. Möllehed (2001) skriver att en vanlig brist hos elever vad gäller textförståelse är, att eleverna inte förstår några ord och uttryck, vissa detaljer samt själva innebörden i texten. Resultatmässigt kan vi konstatera att det mest besvärliga för eleverna är textuppgifter, oavsett om texten är
”lätt” eller ”svår”. Elevernas språkfärdigheter räcker inte till för tolkning och bearbetning av problemuppgifter i matematik. Möllehed (2001) hänvisar till både Piaget och Vygotsky som beskriver att ordens betydelse och relationerna mellan dem är grunden för förståelse av en text. Detta underlättar för barnet att bli mer medvetet om sig själv och innebörden i olika händelser.
En annan slutsats som vi drar från observationerna är att eleverna inte är särskilt vana att arbeta i grupp. Grupparbete grundar sig på diskussion och samarbete mellan gruppmed-lemmar vilket inte har fungerat riktigt i dessa grupper eftersom eleverna har negativa erfa-renheter och inte vill samarbeta med andra och inte tar grupparbete på allvar. Som kom-plement till detta skriver Malmer (1999) att arbete i små grupper är det mest utvecklande eftersom eleverna får möjlighet till reflektion och kan utbyta idéer med varandra. Vidare anser Malmer att det sociala samspelet mellan eleverna inte alltid är lätt men att lärare kan bli en bra vägledare och anvisa vägen, men låta eleverna gå själva.
5.2 Vad tycker elever om problemlösning i matematik?
Elevernas förklaring till vad problemlösning innebär för dem, visar att de flesta betraktar uppgifter som innehåller text som problemlösning. I motsats till detta anser Möllehed (1993) att de problem räknas som problemlösning är sådana som eleverna inte tidigare har träffat på och som inte har bestämda lösningsstrategier från början. Eleverna kan söka sig fram till svaret genom reflektion och egen lösningsmetod. De flesta av de intervjuade ele-verna tyckte att texten är den mest besvärliga delen i uppgifterna. Det tyder på att de i första hand inte tänker på lösningsstrategier utan fokuserar på texten i uppgiften oavsett om den är lätt eller svår. Den vanligaste anledningen till att eleverna upplever problemlösning som besvärlig och krävande anser vi är att de saknar förmåga att förstå och tolka innebörden i texten. Det kan jämföras med Pólyas (1970) första steg för problemlösning som innebär att man bör bearbeta texten i uppgiften så att man kan klargöra för sig själv vad man vill veta och vilka data som redan finns i den. Det kan även jämföras med Möllehed (1993) som anser att eleverna ofta inte läser hela texten utan tar bara numeriska värden och gissar sig till en lämplig uträkning, vilken för det mesta leder till målet.
De flesta av de tillfrågade eleverna kunde se samband mellan vardagsliv och problemupp-gifter. Det kan bero på att uppgifter i de nya läroböckerna är mer eller mindre anpassade efter en vardagskontext. De nyexaminerade lärarnas undervisningsmetoder och deras in-ställning till matematik kan också vara en anledning till att eleverna kan knyta situationer i uppgifterna till olika vardagssituationer. Ytterligare en anledning kan vara att våra uppgifter var knutna till konkreta vardagssituationer och det kan bero på att många elever därför hit-tar ett samband mellan uppgifterna och vardagslivet.
Undersökning om elevers inställningar till grupp- respektive enskilt arbete och att lösa pro-blemuppgifter på mer än ett sätt avslöjar att våra tillfrågade elevers syn på detta är jämnt fördelad. Det kan vara så, att de elever som föredrar att arbeta ensamma möjligtvis inte har lätt för att lära i samspel med någon annan, koncentrera sig i grupp eller inte är vana att arbeta i grupp. Därför uppskattar de att arbeta ensamma och hinna med att lösa många upp-gifter i läroboken. Detta står i motsats till Möllehed (1993) som skriver att eleverna i grupparbete byter åsikter med varandra och får möjlighet att diskutera och reflektera. Anledningen till att eleverna inte kan lösa problem på flera sätt , kan bero på elevernas bakgrund och olika erfarenheter som de har i bagaget. Dessa erfarenheter kan variera från elev till elev, dels beroende på i vilken kultur och samhälle man har växt upp i och dels beroende på lärarens inställning till ämnet och olika undervisningsmetoder. Möllehed (1993) anser att de sociala och kulturella faktorerna inverkar på individens utveckling. Den matematik som en individ lär sig av sin omgivning kan vara en grund till elevernas fortsatta framgång i matematik.
5.3 Avslutande diskussion
Problemlösning är ett aktuellt ämne och har diskuterats världen över i mer än 20 år och har ännu inte nått någon riktig framgång. I Möllehed (2001) har problemlösning i matematik och dess betydelse belysts på nationell och internationell nivå. Författaren skriver vidare att det som dominerar matematikundervisningen i de flesta länder är att arbete med
problem-lösning sker rent rutinmässigt. Lpo 94 lägger tonvikten på problemproblem-lösningsinnebörden med hänsyn till elevernas utveckling och den matematiska språkförståelsen.
Möllehed (1993) skriver att grupparbete medför positivt resultat. Detta stämmer inte över-ens med vårt undersökningsresultat eftersom elevernas förmågor, med att t.ex. att förstå texten blivit försvagade. En anledning till att elevernas förmågor blir sämre vid grupparbe-te, anser vi kan bero på att deras självförtroende blir svagt och att de inte vågar uttrycka sina tankar. Ofta blir dessa elever påverkade av sina kamrater och litar på deras tankar och lösningar. En annan anledning kan vara att eleverna inte är vana vid att arbeta i grupp och om de gör det, istället för att tala om de aktuella uppgifterna talar om något helt annat. Det-ta leder till att gruppmedlemmar, som gärna vill arbeDet-ta med gruppuppgiften Det-tappar intresset, blir trötta och i fortsättningen vill de inte arbeta tillsammans med andra.
Vi ser fortfarande positivt på grupparbete som ges ordentliga förutsättningar, eftersom detta arbetssätt ger eleverna en chans att samverka med andra gruppmedlemmar och byta idéer med varandra vid själva problemlösningen.
Resultattolkningen av de tillfrågade elevernas svar ger oss en klar bild av elevernas kompe-tens vid problemlösning. Den visar att eleverna inte är vana att lösa problem på flera olika sätt och att problemlösning mest upplevs som krävande och besvärlig. Vi tycker att innehål-let i problemlösning måste vara anpassat i svårighetsgrad efter elevernas utvecklingsnivå. Ett lämpligt problem måste vara vardagsrelaterat och utmanande för eleverna, annars blir de negativa till problemlösning. Regelbundna övningar i problemlösning med varierande arbetssätt och lämpliga strategier är betydelsefullt för elevernas utveckling. Lärarna bör vara beredda att kunna observera och uppmuntra eleverna och vid behov ge dem ledtrådar för att komma igång. För att matematikundervisningen ska bli lärorik och intressant för både eleverna och läraren har vi som lärare i uppgift att reflektera över våra undervis-ningsmetoder och försöka hitta vägar till problemlösande aktiviteter genom att t.ex. arbeta laborativt och använda olika spel. Vi menar att man vinner mycket om man påbörjar pro-blemlösning med en gemensam diskussion i hela klassen, så att ord och meningar som är obegripliga kan förklaras. För att eleverna ska kunna ta del av varandras lösningar och sam-tidigt lära sig hur och när man använder en viss strategi bör man gå genom elevernas
lös-ningar i hela klassen. Om man vill nå framgång med problemlösningsuppgifter vill vi beto-na att det är mycket viktigt att man anslår en bestämd tid åt detta. Ofta ser man i verklighe-ten att lärare inte hinner med alla momenverklighe-ten och känner sig stressade. Det finns naturligt-viss andra viktiga delar i matematikundervisningen som man ska hinna med som t.ex. be-greppsbildning, men om man vill få bättre resultat vid inlärning av problemlösning bör man försöka arbeta på ovanstående sätt. Begreppsbildning sker på ett naturligt sätt i problemlö-sande sammanhang.
De kunskaper som vi fått genom vår undersökning kommer vi att kunna använda till att förbereda framtida elever för kommande studier och livet utanför skolan. Vi hoppas att vår undersökning ger ett underlag för andra pedagoger så att man kan förebygga elevers svå-righeter gällande problemlösning.
6 Referenser
Ahlberg, Ann. (1991). Att lösa problem i grupp. I: Emanuelsson, G m.fl. Problemlösning. Lund: Studentlitteratur.
Björkqvist, Ole. (2001). Matematisk problemlösning. I: Grevholm, Barbro (red.),
Matematikdidaktik – ett nordiskt perspektiv. Lund: Studentlitteratur.
Carlsson, Bertil. (1996). Kvalitativa forskningsmetoder. Stockholm: Liber AB.
Eggeby, Eva. & Söderberg, Johan. (1999). Kvantitativa metoder. Lund : Studentlitteratur.
Emanuelsson, Göran, Johansson, Bengt & Ryding Ronnie. (1991). Problemlösning. Lund: Studentlitteratur.
Engström, Arne. (red.). (1998). Matematik och reflektion. Lund: Studentlitteratur. Gran, Bertil. (1998). Matematik på elevens villkor. Lund: Studentlitteratur.
Hagland, Kerstin. (2005). Rika matematiska problem – inspiration till variation. Stock-holm: Liber.
Kronqvist, Karl - Åke & Malmer, Gudrun. (1993). Räkna med barn. Solna: Ekelunds För-lag AB.
Kvale, Steinar (1997). Den kvalitativa forskningsintervjun. Lund: Studentlitteratur.
Lester, Frank. (1983). Trends and issues in mathematical problem solving research. (kap. 8) I: Lesh, Richard. (Red). Acquisition of mathematics concepts and processes. New York: Academic Press.
Lundahl, Ulf. & Skärvald, Per-Hugo (1999) Utredningsmetodik för samhällsvetare och
ekonomer. Lund: Studentlitteratur.
Löwing, Madeleina. & Kilborn, Wiggo. (2002). Baskunskaper i matematik för skola, hem
och samhälle. Lund: Studentlitteratur.
Malmer, Gudrun. (1990). Kreativ matematik. Solna: Ekelunds förlag AB. Malmer, Gudrun. (1999). Bra matematik för alla. Lund: Studentlitteratur.
Möllehed, Ebbe. (1993). Problemlösning i matematik i grundskollärarutbildningen Nr 3. Malmö: Lärarhögskola, Utvecklingsavdelningen.
Möllehed, Ebbe. (2001). Problemlösning i matematik. En studie av påverkansfaktorer i
årskurserna 4-9. Malmö: Institutionen för pedagogik. Doktorsavhandling. Lärarhögskolan i
Malmö.
Neuman, Dagmar. (1997). Diagnoser i matematik år 2. Varför – hur – vad ger resultatet?
Nordisk matematikkdidaktikk, 5 (1), 33-58.
Nilsson, Hans. (1993). ”Problemlösning/Inlärning – praktisk vägledning till effektiva
studi-er i naturvetenskapliga ämnen”, Lund: Studentlittstudi-eratur. Bokförlaget Kritan.
Nämnaren. Temanummer (1995). Matematik – ett kärnämne, Institutionen för ämnesdidaktik, Göteborgs universitet.
Nämnaren. Temanummer (1996). Matematik – ett kommunikationsämne, Institutionen för ämnesdidaktik, Göteborgs universitet.
Patel, Runa. & Tebelius, Ulla. (1978). Grundbok i forskningsmetodik. Lund: Studentlittera-tur.
Patel, Runa. & Davidsson, Bo. (2003). Forskningsmetodikens grunder Att planera,
genomföra och rapportera en undersökning. Lund: Studentlitteratur.
Pólya, George. (1970). Problemlösning – en handbok i rationellt tänkande. Stockholm: Prisma
Rönnlund, Bo. (1989). Matematik. Luleå: Norrlands Skolkonsult.
Skolöverstyrelsen. (1982). Kommentarmaterial Lgr 80. Att räkna. En grundläggande
fär-dighet. Stockholm: Liber.
Skolverket. (1994). Läroplaner för det obligatoriska skolväsendet och de frivilliga
skolformerna. Stockholm: Skolverket.
Skolverket. (2000). Grundskolans kursplaner och betygkriterier. Stockholm: Skolverket. Skolverket. (2003). Lusten att lära – med fokus på matematik. Skolverket rapport nr 221. Stockholm: Statens skolverk.
Skoogh, Lenart & Johansson, Hans. (1991). Att undervisa i problemlösning. I: Emanuelsson Göran m fl, Problemlösning. Lund: Studentlitteratur.
Unenge, Jan. (1988). Matematik – didaktik för grundskolan. Lund: Studentlitteratur.
Wistedt, Inger. (2001). Rum för samtal – om dialogen som möjlighet att demokratisera un-dervisningen. I: Grevholm, Barbro (red.), Matematikdidaktik – ett nordiskt perspektiv (pp. 219-229). Lund: Studentlitteratur.
7 Bilagor
Bilaga 1
Undersökningsfrågor:
Rita eller skriv hur du löser de två uppgifterna!
1. Efter en prishöjning med 260 kr kostade en flygbiljett 1380 kr. Hur mycket kostade den före prishöjningen?
2. Anna är hälften så gammal som Bertil. Tillsammans är de 18 år. Hur gamla är var och en av dem?
Bilaga 2
Intervjufrågor:
1 Vad kan problemlösning i matematik vara? 2 Hur tyckte du uppgifterna var?
3 Kan du komma på ett annat sätt att lösa uppgifterna?
4 Hur ofta påträffar du i ditt vardagsliv sådana situationer som nämns i uppgifterna? 5 Hur tycker du det är att arbeta i grupp respektive enskilt med problemlösning?
Bilaga 3
Brev till föräldrar
Hej föräldrar!
Vi heter Borislav Zdrnja och Rehana Shkala och går sista terminen på lärarutbildningen vid Malmö högskola. Vi skriver examensarbete som ska baseras på olika metoder t.ex. inter-vjuundersökning. Examensarbetet ska handla om elevers syn på matematik.
Vi tänker genomföra våra undersökningar i ert barns klass under de närmaste veckorna. För att kunna göra detta behöver vi spela in intervjuerna. De som deltar i vår undersökning kommer att vara anonyma till både namn och skola.
Vi skulle vara glada om vi får svaret så snart som möjligt.
Med vänlig hälsning
Borislav Zdrnja och Rehana Shkala
_______________________________________________________________________
Barnets namn: ________________________________________________ Ja, mitt barn får delta i intervju
Nej, mitt barn får inte delta i intervju
