Malmö Högskola
Lärarutbildningen
Natur, Miljö, Samhälle
Examensarbete
10 poängAnvändandet av den grafritande räknaren i
gymnasieskolans matematikundervisning
The use of graphic calculator in upper secondary mathematics education
AnnaKarin Davidsson
Jenny Mårtensson
Lärarexamen 180 poäng Examinator: Per Jönsson Matematik och lärande
Sammanfattning
Detta arbete behandlar den grafritande räknaren som hjälpmedel i
matematikundervisningen. Syftet med studien var att undersöka hur gymnasielärare använder den grafritande räknaren i undervisningen. Kvalitativa intervjuer genomfördes med sex stycken gymnasielärare i matematik fördelade på två olika gymnasieskolor i södra Sverige. Resultaten visade att lärarna använder den grafritande räknaren för att visualisera grafer och effektivisera undervisningen. Undervisningen bedrevs på ett
ickekonstruktivistiskt vis och hade inte anpassats till den grafritande räknarens didaktiska möjligheter. Den metod som användes vid undervisning av den grafritande räknaren var demonstrationer där läraren visar och eleverna gör likadant.
Innehållsförteckning
1. Inledning... 7 1.1 Syfte... 8 2. Bakgrund... 9 2.1 Begreppsdefinitioner ... 9 2.2 Pedagogisk teori...10 2.3 Litteraturgenomgång ...11 2.4 Frågeställningar...19 3. Metod ...20 3.1. Litteratursökning...20 3.2 Undersökningsmetod ...20 3.3 Konstruktion av intervjuguide...21 3.4 Urval...23 3.5 Genomförande ...24 3.6 Analys ...253.7 Validitet och reliabilitet ...25
4. Resultat ...27 4.1 Frågeställning 1...27 4.1.1 Demonstration...28 4.1.2 Stenciler...28 4.2 Frågeställning 2...29 4.2.1 Funktionsstudier...29 4.2.2 Ekvationer...30 4.3 Frågeställning 3...30 4.3.1 Tillgänglighet...30 4.3.2 Visualisering...31 4.3.3 Effektivisering...31 4.3.4 Kompletterande metod...31
4.4 Frågeställning 4...32
4.4.1 Kollegor ...33
4.4.2 Skriftliga källor...33
4.4.3 Fortbildning ...33
4.4.4 Olika källor...34
5. Diskussion och slutsatser...35
Referenser...39
Bilaga 1 - Intervjufrågor ...42
Bilaga 2 – Uppgiftslösningar...44
Lösning 1 – Algebraisk Lösning...44
Lösning 2 – Grafisk Lösning...46
Bilaga 3 – Missiv...48
1. Inledning
Utvecklingen av redskap som har uppgiften att hjälpa människan att räkna har varit snabb de senaste 50 åren. Odhners räknesnurra som tidigare var en populär mekanisk
räkneapparat ersattes av de elektroniska räknemaskinerna när de introducerades under 1960-talet. I skolan var räknestickan en populär mekanisk räkneapparat fram till slutet av 1970-talet, då den ersattes av den elektroniska miniräknaren (Dahland, 1998). Från det att miniräknaren introducerats i skolan har det skett en avsevärd utveckling vad gäller dess kapacitet. Detta har medfört att man kan dela in de elektroniska räkneapparaterna i flera olika kategorier beroende på kapacitet. Den första kategorin innehåller enkla räknare vars främsta syfte är att ersätta huvudräkning där de fyra räknesätten används. Nästa kategori som introducerats är funktionsräknaren. Funktionsräknaren har utökats med matematiska funktioner som det tidigare krävdes tabeller för att beräkna, exempelvis logaritmer och trigonometriska funktioner. I skolan har funktionsräknarna sedan slutet av 1970-talet varit vanligt förekommande på matematikintensiva utbildningar (Dahland, 1998). Räknaren som behandlas i denna studie tillhör den tredje kategorin, den grafritande räknaren som
introducerades i slutet av 1980-talet. Benämningen kommer av att räknarna har grafritande möjligheter och att man med hjälp av dem kan undersöka grafer (Dahland, 1998).
Sven-Erik Liedman (2001) beskriver kunskap som ett för människan oändligt och oavslutat äventyr. Kunskap ser han som ett ständigt pågående arbete med att göra det obegripliga begripligt. Denna studie vill belysa ett hjälpmedel, den grafritande räknaren som kan användas i detta oändliga äventyr. En ytterligare anledning till studien är att styrdokument för gymnasieskolan har förändrats. Nu (hösten 2006) finns det ett avsnitt som säger att den grafritande räknaren ska användas i undervisningen. Så tidigt som i kursplanen för
Matematik A står det att ”Eleven skall ha vana att vid problemlösning använda dator och grafritande räknare för att utföra beräkningar och åskådliggöra grafer och diagram”
(Skolverket, a). Detta innebär att det inte ska finnas någon elev på gymnasiet som inte kan använda sig av den grafritande räknaren eftersom Matematik A är obligatorisk på alla gymnasiala utbildningar.
För vidare matematikstudier på gymnasiet kan man bland annat läsa i kursplanen för Matematik C att ”Eleven skall känna till hur datorer och grafiska räknare kan utnyttjas som hjälpmedel vid studier av matematiska modeller i olika tillämpade sammanhang”
(Skolverket, b).
1.1 Syfte
Utvecklingen av elektroniska räknare har gjort tillgängligheten till dem större i skolan. Tillgängligheten till räknare öppnar för nya möjligheter vilket visar sig i att kursplaner och undervisning kan förändras. Vi vet inte om den grafritande räknaren har förändrat
undervisningen, vi vet heller inte om kursplanernas nya mål i användandet av den uppnås. Vi anser att den grafritande räknaren kan användas som ett hjälpmedel i
matematikundervisningen. Man kan med hjälp av grafritande räknare utföra beräkningar som inte var möjliga tidigare. Redskapet kan bli en stor tillgång om lärare och elever vet hur det kan användas. Vi vill mot denna bakgrund undersöka några aspekter av
användandet av den grafritande räknaren i matematikundervisningen genom att låta lärare själva beskriva situationen.
2. Bakgrund
2.1 Begreppsdefinitioner
Denna studie har några centrala begrepp som behöver definieras. Studien behandlar den grafritande räknaren som är ett ganska nytt redskap i matematikundervisningen jämfört med till exempel linjalen. Den grafritande räknaren som i denna studie ses som ett
hjälpmedel i undervisningen kräver elevens mentalt aktiva roll för att inlärningen inte ska bli mekanisk utan konstruktivistisk. Detta hjälpmedel har en mindre betydelse för själva inlärningen i traditionell undervisning. Traditionell undervisning har beskrivits av Olof Magne (1998) som en mekanisk inlärningsfilosofi som kan benämnas som behavioristisk. I denna studie menas traditionell undervisning vara precis det.
Redskap som används i matematikundervisning är artefakter det vill säga att de är skapade av människan till skillnad från objekt som inte är det. En artefakt kan ses som ett dött ting då det inte används för det ändamål som det är skapat för (Säljö, 2005), exempelvis är blyertspennan en artefakt tills man skriver med den. Detta arbete avser undersöka användandet av den grafritande räknaren som är en artefakt. För att betona att det är hur den grafritande funktionen i räknaren används, har beteckningen grafritande räknare valts för detta arbete. Sammandragningen ”grafräknare” som ofta används i talspråk är mindre lämplig eftersom räknaren inte används för att räkna grafer (Dahland, 1998).
För att närmare beskriva att det är den grafritande räknaren i egenskap av hjälpmedel som undersöks i denna studie krävs att hjälpmedel, verktyg och redskap definieras.
Definitionerna nedan utgår från en artikel där Dahland (2001) behandlar just den
grafritande räknaren. Hjälpmedel används som beteckning för en artefakt som används för att genomföra vissa arbetsuppgifter som utan hjälpmedlet skulle vara omöjliga för
användaren. Ett hjälpmedel är även ett redskap för att underlätta en situation eller
arbetsuppgift. Verktyg är i princip tillverkat för att användas av mästare inom ett bestämt område men har även egenskaper som gör att det kan användas av oerfarna personer; med talang och envishet kan man utveckla sin förmåga att utnyttja verktyget. Det går att
sammanfatta det hela som att ett verktyg, till exempel en grafritande räknare kan användas som hjälpmedel; då man vet hur verktyget kan utnyttjas i till exempel undervisningen så är det ett utomordentligt bra hjälpmedel. För elever är den grafritande räknaren ett bra
hjälpmedel om de vet hur verktyget fungerar. Ordet redskap används som ett neutralt ord för både verktyg och hjälpmedel, detta ord används då man inte speciellt vill framhålla de egenskaper som ett verktyg respektive hjälpmedel har (Dahland, 2001).
2.2 Pedagogisk teori
Pedagogik är en benämning på kunskaper om metoder som används i uppfostran och undervisning. Olika pedagogiska teorier har skapats av psykologer och pedagoger med olika syn på kunskapsutveckling (Husén, 2006). För denna undersökning ligger intresset i pedagogiska teorier och tankar som rör kunskapsutveckling där man kan använda sig av artefakter som hjälpmedel. Den grad av aktivitet som behövs och de processer som ska ske för att den grafritande räknaren ska bli ett hjälpmedel väljer vi att beskriva utifrån ett konstruktivistiskt perspektiv. Denna studie utgår ifrån konstruktivismen eftersom denna fokuserar på elevens mentalt aktiva roll vid inlärning till skillnad från en mekanisk inlärning styrd av läraren som kallas behaviorism.
Den konstruktivistiska synen på inlärning och utveckling innebär att barns och ungdomars kunskap utgör en aktiv process där det är individen själv som konstruerar sin kunskap (Evenshaug & Hallen, 2001). Konstruktivismen kommer av psykologerna Jean Piagets och Lev. S Vygotskijs teorier om hur människan skapar sig kunskap. Personlig utveckling sker genom att personen själv gör en tolkning och skapar en förståelse av sin omgivning genom att observera, manipulera och dra slutsatser om hur världen fungerar (Säljö, 2000).
Människor gör sina erfarenheter begripliga genom att tolka dem och dra slutsatser. Piaget talar om två processer som krävs för att människor ska kunna skapa sin egen kunskap, de kallas assimilation och ackommodation. Assimilation är den process där nya erfarenheter tolkas med hjälp av tidigare erfarenheter. Med de nya erfarenheterna strukturerar man om sitt sätt att tolka en ny situation, denna omstrukturering kallas ackommodation
funktion istället för att rita funktioner med papper och penna kan det beskriva som en assimilationsprocess. Eleven tolkar de nya erfarenheterna med den grafritande räknaren, utifrån de gamla med papper och penna. När eleven har tolkat hur denna teknik kan användas när funktioner ritas så strukturerar hon eller han om sina valmöjligheter i ackommodationsprocessen. Eleven väljer sedan att använda den grafritande räknaren istället för papper och penna. Om eleven vid ett senare tillfälle, exempelvis vid problemlösning får en uppgift där funktioner ska ritas så väljer eleven att visualisera problemet med hjälp av den grafritande räknaren. Detta på grund av att hon eller han med sin nya kunskap om användningen av den grafritande räknaren numera anser att detta är ett enklare sätt att visualisera funktioner på.
2.3 Litteraturgenomgång
I denna del har vi valt att behandla rapporter och artiklar inom samma intresseområde som vår studie där materialets innehåll och allmänna inriktning först beskrivs. En betydelsefull referens för oss har varit Göte Dahlands (1998) doktorsavhandling. Denna
doktorsavhandling består av två delar där den första delen är en sammanfattning av tidigare rapporter som han producerat dels själv och dels tillsammans med andra forskare. I den andra delen redovisas en ny studie där syftet var att undersöka ”hur gymnasielärare i matematik i sin undervisning har påverkats av tillgången till moderna elektroniska hjälpmedel” (s. 210). Utöver Göte Dahlands doktorsavhandling har rapporter av Olof Magne (1990; 1994; 1998) använts. Dessa rör frågan huruvida skolmatematiken bör förändras eller inte. En undersökning gjord av Carlene Beckmann, Denisse Thompson och Sharon Senk (1999) berör hur elever ska kunna bedömas när nya elektroniska hjälpmedel har tagit plats i undervisningen. Vidare finns projekt där elevgrupper med tillgång till grafritande räknare jämförs med en kontrollgrupp utan tillgång till dessa hjälpmedel. En författare som tagit upp detta är Kenneth Ruthven (1990) dessutom har Aimee Ellington (2006) gjort en sammanställning av 42 sådana studier. Det framkommer positiva effekter då den grafritande räknaren har använts men i de olika studierna framgår det inte om och på vilket sätt undervisningen har förändrats. Det är inte räknaren i sig som gör
mekaniskt. Det framkommer inga tydliga förändringar i undervisningen. Vi har inte hittat någon undersökning som har fokuserat på hur undervisningen har förändrats då grafritande räknare har införts. Vi behandlar först de nämnda forskningsrapporterna och därefter artiklar av Tomas Bergqvist, Joseph Mercer och Anita Solow som vi anser ha en lägre grad av vetenskaplighet på grund av att de artiklarna inte utgår ifrån forskningsresultat.
I en artikel tar Magne (1998) upp frågan om matematikundervisningen behöver förändras eller inte. Artikeln bygger på en rapport som beskriver det så kallade Medelstaprojektet där diagnostiska matematiktester utförda av elever i grundskolan från årskurs ett till nio
analyseras. Testerna är utförda 1977 respektive 1986, på en grundskola i en svensk genomsnittskommun utvald enligt statistiska centralbyråns kriterier. Vid de olika
tidpunkterna tillämpades olika läroplaner, Lgr 69 och Lgr 80. Magne tar upp diskussionen kring de traditionella tankemönster (se 2.1 Begreppsdefinitioner) som finns kring
matematikundervisningen. Författaren menar att diskussionen alltmer ansluter sig till konstruktivism och andra uppfattningar som är kritiska mot det Magne kallar traditionell undervisning. Magne (1990) har utifrån hur diagnoserna var konstruerade, hur de
besvarades och hur läroplanerna såg ut vid de aktuella tillfällena, antagit att undervisningen varit organiserad enligt den traditionella meningen. Han antog att undervisningen
genomfördes på ett liknande sätt och att det var vanligt med frontalundervisning med ett kortare pass med gemensam genomgång av inlärningsstoff och sedan långa pass med enskilt räknande. Uppgifterna vid det enskilda räknandet antogs vara ett upprepande av samma typ av uppgifter. Magne (1994) menar att det finns en skoltradition där ”eleverna förutsätts att lära sig matematik genom att följa lärarens och räknelärans mönster och att, som uppföljning, träna många anvisade likartade övningar” (s. 3f). Magne skriver vidare om hur skoltradition, där läraren förutsätts förmedla momenten i kursplanerna och undervisningen som bedrivs kollektivt genom att läraren ”lär ut” till eleverna, leder till kollektivt organiserat övande. Denna skoltradition beskriver Magne som en, ofta på ett ofördelaktigt sätt, konserverande faktor. Organisationen av undervisningen kritiseras då metoden, där läraren dominerar, gör att eleverna blir osjälvständiga. Anledningen till att traditionell undervisning bedrivs kan bero på att många lärare har en stor respekt för ämnets traditionella krav (Dahland, 1998). Magne har tolkat elevernas resultat på
diagnoserna som att undervisningen har påverkat deras studieresultat negativt. Deras kunskap tycktes inte tyda på någon djupare insikt i varför och hur räknemetoder används. Trots gedigen övning var det många elever som hade låg färdighet i uppställd räkning med papper och penna. Dessutom menar författaren att den dominerande behavioristiska
undervisningsformen var ansvarig för de svagare elevernas kunskapsbrister (Magne, 1998). Kritiken mot den traditionella undervisningsformen grundas på en neråtgående trend i diagnosresultaten där eleverna tenderade att lösa årskurstypiska uppgifter med allt lägre lösningsfrekvens ju högre upp i årskurserna de kom (Magne, 1990). Magne menar att den traditionellt genomförda undervisningsrutinen inte stimulerar eleverna till självständigt konstruktivt tänkande och skriver att det genomförda Medelstaprojektet ledde till hans åsikt att nya idéer bör införas i hur eleverna skall arbeta i matematik (Magne, 1998).
Magne (1998) kritiserar de bedömningsmetoder som användes i Medelstaprojektet och menar att nya metoder behövs för att utvärdera elevernas kunskaper. Författaren har efter sin studie klargjort sin åsikt och menar att många traditionella prov- och diagnostyper behöver bytas ut, mot mer öppna, kreativa och konstruktiva uppgiftsformer i såväl undervisning som elevbedömning. Liknande åsikter har Charlene Beckmann, Denisse Thompson och Sharon Senk (1999) som i en artikel skriver att för att kunna bedöma om eleverna förstår, måste uppgifterna i matematikundervisningen förändras. Detta grundar de på en tidigare undersökning de gjort, där de konstaterade att nästan alla lärare ofta
använder olika former av tekniska redskap i sitt klassrum, men när de sedan ska bedöma elevernas kunskaper används teknologin mycket lite. Författarna vill anpassa
matematikuppgifterna bättre till användningen av tekniska hjälpmedel. Dessutom vill de utveckla uppgifterna så att eleverna blir tvungna att motivera sina svar. Dessa förändringar menar Beckmann m.fl. leder till att eleverna inte kan komma fram till svaren bara genom att trycka på knappar utan att förstå vad de gör. Detta i sin tur gör att blir det lättare för läraren att bedöma elevernas förståelse.
Dahland (1998) skriver utifrån sin studie att tekniska frågor dominerar då ny teknik introduceras. Författaren menar att, för att kunna använda den grafritande räknaren i
undervisningen krävs det att läraren har en tillfredställande färdighet i användandet av verktyget. Dessutom krävs det att läraren har en öppen inställning för nya metodiska ansatser. Både lärare och elever behöver ha en så kallad dubbel kompetens, dels den tekniska kunskapen men även relevanta ämneskunskaper för att kunna tolka och förstå resultat som erhålls från den grafritande räknaren. För att kunna utnyttja den grafritande räknaren som ett kraftfullt hjälpmedel behöver man kunna svara på frågor av typen ”hur gör man” och för att sedan rätt kunna uppfatta resultaten behöver man kunna besvara ”vad betyder det”. Dahland beskriver hur kraftfulla räknare används till relativt triviala
beräkningar eller situationen då ett komplicerat beräkningsbehov finns, men kunskap om hur räknaren ska användas saknas.
Då elever ska bedömas sätts lärarens dubbla kompetens på prov. Dahland (1998) konstaterar utifrån sin studie att då elever löser uppgifter med hjälp av till exempel grafritande räknare, försvåras arbetet med att avgöra lösningens värde. Följden till detta, som Dahland kom fram till i sin studie, blir ofta att bedömningen av elevernas lösningar blir strängare. Dahland menar att detta kan tyda på en omedveten attityd hos läraren, som kan vara ett avståndstagande från verktyget eller en försvarsåtgärd för en osäkerhet i den egna kunskapen. Ett skäl till sträng bedömning kan dock vara att eleven har formella brister vid presentationen av sin lösning. Lärare och elever kan ha delade meningar om vad en lösning av en provuppgift bör innehålla gentemot hur eleven har uttryckt innehållet. En anledning till det kan vara att bakgrunden för vad som krävs i redovisningen på ett prov är oklar för eleven. Att eleven saknar ord för att uttrycka sig tillräckligt eller om lärare och elev inte följer samma normer kan vara andra anledningar till denna meningsskiljaktighet. Detta menar Dahland, är en fråga om kommunikation som är oberoende av användandet av räknare och är något som går att träna på och kan utgöra en del av undervisningen.
Dahland skriver att flera lärare har angett att de tror att elever ibland avstår från att lösa en uppgift om de tror att det krävs en annan metod än vad de skulle kunna åstadkomma med hjälp av en räknare.
Dahland (1998) skriver att lärarna i hans studie har en varierad syn på hur tillgången på tekniska hjälpmedel har påverkat matematikundervisningen. Det finns både en respekt för ämnets traditionella krav hos många lärare och en öppenhet för förändringar kopplade till skolans och samhällets utveckling. Dahland skriver att det förekommer åsikter där
användandet av räknare enbart ses som ett knapptryckande. Detta förekommer bland lärare som avstår att använda olika typer av räknare i undervisningen, men i allmänhet är lärarna positivt inställda till elektroniska verktyg. Lärare som väljer att undervisa i miniräknares och datorers användning, gör detta på grund av att de upplever att hjälpmedlen stödjer elevernas arbete i matematik. Lärare som väljer att inte undervisa om
användningsområdena motiverar detta med att eleverna redan kan, att behovet saknas eller att det tar tid ifrån väsentliga delar av undervisningen. Dahland konstaterar att
matematikämnets innehåll i allmänhet inte har påverkats av tillgången på kraftfulla verktyg, i någon större grad. Flera lärare har dock angett i studien att innehållet skulle kunna förändras inom flera program, där Samhällsprogrammet och vissa yrkesprogram var tydligt utpekade. Många lärare tenderar att arbeta länge inom samma program och därmed utvecklas en kompetens som är anpassad för just det behov av IT-stöd som finns på det programmet. Det kan då vara svårt för dem att anpassa undervisningen på ett annat program än det som de vanligtvis undervisar på. Det som lärarna däremot anger har förändrats är de undervisningsmetoder som de använder. I studien framgår att lärarna ofta strävar mot den allmänna föreställningen om vikten av individualisering och alternativa arbetsformer. De vill göra undervisningen mer intressant och de vill nå elever med
särskilda behov. Författaren skriver att lärarna har angett att det dagliga arbetet främst styrs av kursomfång, läromedel, tid och elevernas möjligheter. Vidare menar Dahland att
utvecklingen inom området med miniräknare går fort och att de kraftfullaste räknarna generellt sett är oanvända och relativt obekanta för många lärare. Utifrån studien konstateras att de kraftfullaste miniräknarna praktiskt taget enbart används på gymnasieprogram med flera matematikkurser, det vill säga framför allt på det Naturvetenskapliga programmet. Detta trots att det samtidigt rapporteras positiva pedagogiska effekter då datorstöd omväxlat med andra arbetsformer användes på yrkesprogram (Dahland, 1998).
Kenneth Ruthven (1990) beskriver i en artikel en studie med Englands motsvarighet till svenska gymnasieelever. En grupp elever som hade grafritande räknare som
standardverktyg i matematikundervisningen jämförs med elever som inte hade tillgång till dessa. Eleverna blev testade på två olika typer av uppgifter, dels uppgifter där eleverna algebraiskt fick beskriva grafer och dels där eleverna utförligt fick beskriva
verklighetsanknutna grafer muntligt. Resultaten i studien visade att tillgången på tekniska hjälpmedel kan ha betydande inverkan både på elevernas matematiska tillvägagångssätt och på deras matematiska färdigheter. När det gällde uppgifterna där graferna skulle beskrivas algebraiskt visade det sig att de grafritande räknarna gav eleverna överlägsna färdigheter jämfört med den andra gruppen.
Aimee Ellington (2006) har gjort en sammanställande analys av 42 tidigare utförda studier där elever med tillgång till grafritande räknare har jämförts med elever som inte haft tillgång till dessa. Studierna valdes ut ur databaser på tre premisser. För att en studie skulle bli utvald skulle den innehålla (a) en försöksgrupp med elever med tillgång till grafritande räknare och en kontrollgrupp utan grafritande räknare. Studierna skulle dessutom (b) visa medelvärden och standardavvikelser eller annan kvantitativ data samt (c) vara baserade på en undersökning i en typisk klass i skolår åtta eller senare. Ellington kom fram till att då den grafritande räknaren tilläts att användas under lektionerna, men inte vid
bedömningstillfällena, drog eleverna nytta av användandet av den grafritande räknaren för att skapa de färdigheter som är viktiga för att förstå matematiska begrepp. Resultaten visade dock att eleverna varken blev hjälpta eller att det hindrade deras utveckling, gällande deras färdigheter att använda matematiska formler och tillvägagångssätt. Då den grafritande räknaren fick användas både under lektionerna och då eleverna skulle bedömas visade resultaten att de utvecklades positivt gällande alla tre färdigheterna;
tillvägagångssätt, begreppsuppfattning och allmänna matematiska prestationer.
Tomas Bergqvist (1998) beskriver två uppgifter som den grafritande räknaren kan ha vid problemlösning. Den första uppgiften är att vara ett hjälpmedel för att komma runt matematiska svårigheter, som annars skulle hindra eleverna. Den andra uppgiften är att
vara en katalysator som inspirerar till olika sätt att angripa ett problem. Efter att ha iakttagit elevers tillvägagångssätt vid problemlösning menar författaren att, genom att utnyttja ett verktyg som grafritande räknare, kan eleverna föra en diskussion kring den matematiska modellen och vilka antaganden de har gjort i en uppgift. Om eleverna istället uppmanas att enbart utföra en algebraisk lösning menar Bergqvist att algoritmen skymmer matematiken och eleverna fokuserar så mycket på denna att de inte ser den övergripande matematiska idén. Bergqvist skriver även att grafritande räknare, enligt kursplaner och läroplaner, bör ha en central roll i elevernas arbete och att dessa tankar även finns hos forskare i
matematikdidaktik. Bergqvist menar dock att det kommer att ta lång tid att införa den grafritande räknaren som en naturlig del i undervisningen.
Författaren Joseph Mercer (1992) diskuterar i en artikel de argument som finns mot att använda olika typer av räknare i matematikundervisningen. Exempel på dessa argument är att elevers förmåga att utföra huvudräkning försämras och att elever som inte klarar av de aritmetiska algoritmerna inte kommer klara av högre kurser som till exempel algebra. Mercer menar dock att algebra bör ses som något mer än algoritmetiska färdigheter och att elever i första hand behöver utveckla en känsla för algebra, vad algebraiska uttryck betyder och vad grafer beskriver. Mercer menar att arbete med enkla räknare, symbolhanterande hjälpmedel eller grafiska miniräknare kan främja elevers talkänsla och analytiska förmåga och kan även effektivisera undervisningen. Mercer anser att det är viktigt att eleverna skaffar sig analytiska färdigheter och blir problemlösare. Magne (1994) har ifrågasatt om skolans strikta räkneuppställningar och räknedrill verkligen behövs. Han menar att både elever och människor i allmänhet klarar sig utan dessa och att läraren mer borde behandla vissa algoritmer som kuriosa. Magne menar att problemlösning är betydelsefull och att den traditionella undervisningen bör beskäras. Istället vill Magne att eleverna ges mer tid till mer konstruktivt arbete inom matematiken.
Anita E. Solow (1994) genomförde datorlaborationer som en naturlig del av sin undervisning i matematisk kalkyl. Hennes studenter samlade på sig data under
Eftersom arbetet med laborationen och analysen skedde vid olika tillfällen, ledde det till att rapporternas slutsats motsade insamlad data från laborationen. Detta på grund av att
studenterna inte hann ägna någon tid åt tänkande och analys under laborationen. Då det inte fanns tillräckligt många datorer begränsades examinationsuppgifterna till matematik med papper och penna, även då de under lektionerna hade kunnat använda sig av datorn. Solow övergick senare till att genomföra samma laborationer som tidigare, men med grafritande räknare. Detta gjorde att studenterna gjorde mycket bättre ifrån sig. Slutsatserna stämde bättre överens med data i studenternas laborationsrapporter och nivån, som
diskussionerna och frågorna låg på under laborationerna, var mycket högre. Eftersom studenterna hade tillgång till grafritande räknare hela tiden, kunde de nu ta sig tid under laborationen att tänka igenom istället för att, som tidigare då studenterna var tvungna att samla ihop all data under en och samma lektion, bara stressa igenom laborationen. Solow upplevde dessutom att hon själv fick en bättre bild av vad studenterna gjorde och hur mycket de förstod då hon kunde gå runt och diskutera med de olika
laborationsgrupperna. Solow menar att användandet av grafritande räknare har den konsekvensen att mer ansvar läggs över på studenterna. När de snabbt kan visualisera en funktion, genom att rita grafen i den grafritande räknaren, krävs att studenten tar ansvar för hur väl deras svar överensstämmer med grafen. Som exempel ger Solow en uppgift, där lutningen för en tangent efterfrågas. Om lutningen är negativ, måste studenten förklara varför svaret inte är korrekt om det ger en positiv lutning. Liknande ifrågasättanden använder Solow, för att visa på att rena aritmetiska fel har mindre betydelse medan fel på begrepp är mer allvarliga. Att det går fortare att göra sina beräkningar när grafen kan ritas med hjälp av grafritande räknare, medför att mer tid kan läggas på det viktiga momentet att diskutera och förklara sitt svar.
Alla de fysiska redskap som skapats av människan, så kallade artefakter kan användas som verktyg eller hjälpmedel. Utvecklingen av artefakter går hand i hand med utvecklingen av idéer och människans kunskaper. Människan skapar ständigt nya fysiska redskap att använda som hjälpmedel i sin kultur. Det finns i utvecklingen ett intimt samspel mellan människan och artefakterna (Säljö, 2000). Beträffande den grafritande räknaren och dess användningsområden är det viktigt att betona att det inte är artefakten, den grafritande
räknaren som ska göra en lektion betydelsefull. När man som lärare väljer att använda sig av ett tekniskt hjälpmedel krävs en analys av relationen mellan ämnesinnehållet och framställningsformen. Formen för hur den grafritande räknaren ska användas måste vara genomtänkt och ge lektionen högre kvalitet. Kvalitén kan höjas för områden som till exempel begreppsbildning, fördjupning av stoff, elevintresse eller pedagogiska vinster genom variation av undervisningsmetod. Det är också viktigt att den metodiska ansatsen blir klargjord eftersom den är avgörande för kvaliteten på lektionen (Dahland, 1998). Det är även betydelsefullt att påpeka att artefakten inte tränar alla färdigheter som är intressanta i ett sammanhang men det som gör artefakten så framgångsrik är att man har införlivat rader av mänskliga begrepp och operationer som personer på ett mycket tillgängligt sätt kan använda sig av (Säljö, 2005).
2.4 Frågeställningar
Efter genomgången litteraturstudie saknade vi undersökningar om och hur gymnasielärare själva lägger upp sin matematikundervisning kring den grafritande räknaren. Vi ville därför undersöka i vilka moment och områden i matematikundervisningen som gymnasielärare väljer att använda den grafritande räknaren och hur de använder sig av den. Vi var även intresserade av att ta reda på om lärarna har en genomtänkt idé för användandet av den grafritande räknaren och varifrån denna idé kom.
Våra frågeställningar är följande:
1. Hur använder gymnasielärare den grafritande räknaren i matematikundervisningen enligt dem själva?
2. Till vad anger gymnasielärare att de använder den grafritande räknaren i matematikundervisningen?
3. Vad anger gymnasielärare är anledningen till att de väljer att använda den grafritande räknaren i matematikundervisningen?
4. Varifrån anger gymnasielärare att de får information och idéer om hur den grafritande räknaren kan användas i matematikundervisningen?
3. Metod
3.1. Litteratursökning
Artikelsökning har gjorts via: Elin, Eric, Artikelsök. De sökord som använts i litteratursökningen är:
Graphic calculator, Grafritande räknare, Matematikundervisning, Educational Technology, Tekniska Hjälpmedel, Matematik, Pedagogiska hjälpmedel, samt kombinationer av dessa sökord på både svenska och engelska.
3.2 Undersökningsmetod
När det gäller val av metod till ett projekt är det syftet som ska avgöra. Om syftet gäller att förstå eller att hitta mönster (Trost, 1997) och då egenskaper hos någonting ska beskrivas bör en kvalitativ metod användas (Larsson, 1986). Eftersom syftet i denna studie är att beskriva hur den grafritande räknaren används och varför den används har vi valt en kvalitativ metod. Den kvalitativa metod som vi har valt är intervjun. Andra metoder som skulle kunna användas är till exempel observationer eller enkäter. Anledningen till att vi inte valde att använda oss av observationer beror på att vi hade behövt genomföra
observationer vid flera tillfällen för att få svar på våra frågeställningar och detta hade tagit för mycket tid. Dessutom hade vi inte kunnat få svar på varför lärarna valt att använda den grafritande räknaren med hjälp av observationer. En enkät hade inte heller varit lämplig eftersom vi då inte hade haft möjlighet att ställa följdfrågor och säkerställa tillräckligt uttömmande svar. Vi ville även ha möjligheten att förändra ordningsföljden på frågorna under pågående intervju för att samtalet skulle flyta naturligt, därför användes
halvstrukturerade intervjuer för denna undersökning. En halvstrukturerad intervju är varken ett öppet samtal eller ett strängt strukturerat frågeformulär. Detta gör att det finns möjlighet att förändra frågornas form och ordningsföljd efter hand (Kvale, 1997).
3.3 Konstruktion av intervjuguide
Intervjuguiden till denna undersökning (bilaga 1) utformades med ambitionen att våra frågeställningar skulle kunna besvaras. Graden av standardisering var hög då frågorna var konstruerade i förväg. Meningen var att frågorna skulle ställas på samma sätt vid alla intervjuer. Hög grad av standardisering är viktig då undersökningen ska användas för att kunna göra jämförelser och generalisera (Patel & Davidson, 2003). Frågorna i
intervjuguiden är formulerade så att svarsutrymmet är öppet, det vill säga utan fasta svarsalternativ. Därför anses graden av strukturering för intervjun vara låg
(Patel & Davidson, 2003). Låg grad av strukturering är bra i denna undersökning för att vi ska kunna få så utförliga svar som möjligt. Intervjufrågor kan tolkas på olika vis av olika personer. Det innebär att konstruktionen av en intervjufråga kan påbörjas på allvar först när man vet hur någon svarar på frågan (Larsson, 1986). Därför gjordes en pilotintervju med en kurskamrat som efter intervjun gav konstruktiv kritik på våra frågor. Pilotintervjun ledde till att vi fick revidera intervjuguiden innan studiens intervjuer påbörjades.
Intervjun inleds med en övergripande förklaring om vilka frågor som kommer att
diskuteras under intervjun. För att sedan få en uppfattning om vem det är vi intervjuar och vad denna person har för egenskaper som kan påverka hans eller hennes lärarroll ställs neutrala frågor som rör intervjupersonernas bakgrund. Därefter kommer frågor som berör huruvida intervjupersonerna tar del av forskning och undersökningar kring
matematikundervisning. Detta för att ta reda på dels om de är intresserade av utveckling inom matematikdidaktik och dels för att undersöka om de testar nya metodiska idéer i sin undervisning. Efter det följer frågor där vi är intresserad av att få veta olika
användningsområden för den grafritande räknaren, skillnader mellan olika moment i matematikundervisningen, skillnader i olika matematikkurser samt skillnader mellan olika gymnasieprogram. Frågorna ovan som berör användningsområden, moment i
matematikundervisningen samt skillnader mellan olika gymnasieprogram är direkt kopplade till vår andra frågeställning. Efter detta ställs frågor kring elevernas tillgång till grafritande räknare. Vi vill ha reda på om alla elever får samma förutsättningar när det gäller tillgång till grafritande räknare. Vi vill också ta reda på om det finns program eller
matematikkurser där användningsområdena är fler. Sedan följer frågor som besvarar vår första frågeställning kring hur den grafritande räknaren används i klassrummet samt om för- och nackdelar diskuteras med eleverna. Därefter får intervjupersonerna svara på hur de upplever att deras eget användande av grafritande räknare i undervisningen har förändrats under de år de har arbetat som lärare, för att få en uppfattning om de själva känner att de följer med i utvecklingen och uppdaterar sig för nya metodiska idéer. Frågorna kring lärarnas eget användande av den grafritande räknaren ger svar på vår fjärde frågeställning.
För att få en bild av om och hur intervjupersonerna värderar användandet av grafritande räknare i förhållande till andra metoder vid uppgiftslösning, visas sedan en uppgift med två lösningsmetoder (bilaga 2). Den ena lösningen är en rent algebraisk lösning medan lösning nummer två är en grafisk lösning där en graf har anpassats till tre punkter med hjälp av den grafritande räknaren. Efter att lösningsförslagen har diskuterats frågar vi vad lärarna anger vara anledningen till att de använder sig av den grafritande räknaren i vissa moment, detta för att få svar på vår tredje frågeställning. Sedan följer en fråga om intervjupersonerna har genomfört lektioner med samma innehåll vid olika tillfällen med och utan grafritande räknare. Detta för att undersöka om de har sett någon skillnad i elevernas engagemang och intresse vid de olika lektionsgenomförandena. Därpå återkommer frågan angående om de tar del av forskning, nu specifikt kring den grafritande räknaren, vi är intresserade av om nya idéer till lektionsupplägg framkommit ur forskningen. Intervjupersonerna får även svara på om de får idéer någon annanstans ifrån än vad som tidigare angivits. Bland dessa frågor om idéer till användandet av den grafritande räknaren får vi svar på vår fjärde frågeställning.
Efter det handlar några frågor om intervjupersonerna erbjudits och deltagit i någon fortbildning för användandet av grafritande räknare och vad det har gett dem och om de inte har deltagit, vad det beror på. Vi är intresserade av att få veta alla olika källor där lärarna fått information och kunskap i användandet av den grafritande räknaren. Även dessa frågor kring idéer med den grafritande räknaren ger oss svar på vår fjärde frågeställning. Vidare får intervjupersonerna ange deras uppfattning om hur
matematiklärare i allmänhet använder den grafritande räknaren och deras kunskaper i användandet. Sedan följer frågor som rör hur användandet ser ut på de olika programmen de undervisar på nu och de program som de tidigare har undervisat på. Detta för att återigen få en uppfattning om alla elever har samma förutsättningar eller om det ser olika ut för olika elever.
3.4 Urval
För denna undersökning gjordes ett så kallat bekvämlighetsurval av tidsbesparande skäl. Ett bekvämlighetsurval görs just för att det är bekvämt och enkelt. Undersökningsgruppen väljs ut för att den är lättillgänglig, för att den finns i närheten eller finns till hands genom personliga kontakter. Nackdelen med att göra ett sådant urval är att det inte återspeglar hela populationen (Hartman, 2004). För att i denna studie ge en så bred återspegling av
populationen som möjligt, trots bekvämlighetsurvalet, valdes informanterna noga ut.
Undersökningsgruppen i denna studie består av sex stycken matematiklärare jämnt fördelade på två gymnasieskolor i södra Sverige. Skolorna ligger i två olika kommuner. I en kvalitativ studie strävar man efter att få så många olika uppfattningar som möjligt (Larsson, 1986). Därför valdes med noggrannhet lärarna ut för att representera olika kategorier, meningen var att personerna i de olika kategorierna skulle ge oss så många uppfattningar som möjligt. Lärarna som intervjuades består av tre kvinnor och tre män. De delades i tre kategorier efter hur lång tid de varit yrkesverksamma matematiklärare, två lärare finns i varje kategori. De två första lärarna har arbetat i cirka fem år, den andra kategorin består av två lärare som arbetat i 20 år. Sista gruppen av lärare har arbetat cirka 35 år vilket innebär att de har ungefär fem år kvar till pensionering. Denna indelning har gjorts för att sprida informanterna över hela den möjliga arbetslängden som är cirka 40 år. De lärare som arbetat kortast tid har nyare idéer ifrån lärarutbildningen och arbetar tror vi, på ett annorlunda vis jämfört med de lärare som arbetat längre. Lärarna vi valt ut
undervisar i matematik på tre olika gymnasiala program. Tre av lärarna undervisar på det Naturvetenskapliga programmet, två av dessa lärare undervisar även på teknikprogrammet medan den tredje har viss undervisning på Byggprogrammet, Omvårdnadsprogrammet och
Handels och administrationsprogrammet. Av de andra lärarna undervisar två på
Teknikprogrammet. Den sjätte läraren undervisar på Medieprogrammet och bedriver även viss undervisning på det Estetiska programmet. Vi gjorde spridningen på olika program dels för att olika många matematikkurser undervisas på dessa program dels för att få lärare som arbetar både på teoretiska och praktiska utbildningar. Det är enbart på
Teknikprogrammet och det Naturvetenskapliga programmet som alla matematikkurser undervisas, det vill säga Matematik A till E. På Medieprogrammet är Matematik A och B obligatoriska medan på de övrigt nämnda är enbart Matematik A obligatorisk.
3.5 Genomförande
De utvalda lärarna tillfrågades om de ville ställa upp på intervju och informerades om intervjuns syfte och själva intervjuförfarandet. Vid en intervju är det viktigt att
informanterna är medvetna om undersökningens syfte och hur materialet kommer att behandlas. Personerna i intervjuerna deltar frivilligt och har rätt att dra sig ur när som helst (Kvale, 1997). Vid undersökningens intervjutillfälle delades ett missiv (bilaga 3) ut, där lärarna fick godkänna sitt deltagande i intervjun och gav sitt samtycke till att intervjun spelades in. Lärarna intervjuades på sina egna respektive skolor, enskilt i en konferenslokal på avtalad tid. Alla de planerade intervjuerna genomfördes, därmed inget bortfall.
Vid intervjutillfällena närvarade båda författarna till detta arbete, det var dock en och samma person som ledde samtliga intervjuer. Detta gör graden av standardisering högre, det vill säga att alla intervjuer liknar varandra mer. Att det är samma person som genomför alla intervjuerna minskar även risken för att reliabiliteten, pålitligheten av intervjuerna, blir låg (Johansson & Svedner, 2001). En annan intervjuare hade eventuellt ställt frågorna annorlunda och informanten hade tolkat frågan på ett annat sätt. En annan intervjuare hade kanske ställt andra följdfrågor vilket medfört att intervjuerna hade blivit mindre
standardiserade. Intervjuerna spelades in på en digital diktafon för att underlätta vidare arbete och analys av intervjuerna. Personen som inte ställde frågorna i intervjun
antecknade gester och liknande för att underlätta vid transkribering och analys. Hon skulle också se till att intervjuaren inte missade någon fråga som var av relevans för att få svar på frågeställningarna.
Efter genomförda intervjuer transkriberades materialet. Tystnadsplikt och konfidentialitet vid behandling av en intervju är ofrånkomlig då intervjupersonerna inte ska behöva känna att det finns en risk att de kan identifieras i undersökningen (Lantz, 1993). Därför
skickades en kopia av den transkriberade intervjun till respektive intervjuperson för att de skulle läsa igenom denna, bekräfta sina svar och eventuellt komma med synpunkter innan materialet analyserades. Alla transkriberingarna godkändes av respektive lärare utan ändringar.
3.6 Analys
Efter genomförda intervjuer transkriberades dessa för att analysen av materialet skulle vara lättare. Våra digitala ljudfiler var tydliga, vi hade inga problem med att höra vad
intervjuaren och informanten sa vilket underlättade transkriberingen. Om man ska göra en noggrann analys så är det svårt att lita på vad man minns av intervjun eller att endast lyssna på den inspelade ljudfilen (Larsson, 1986). Intervjumaterialet analyserades därför utifrån den transkriberade texten. Tanken var att jämföra lärarnas uppfattningar kring undervisning med grafritande räknare med forskning kring användandet. Analysen genomfördes av båda författarna tillsammans. I resultatet redovisas svar som framkommit i intervjuerna.
Lärarnas svar som redovisas ger oss svar på frågeställningarna.
I de flesta fall är det lämpligt att disponera resultatavsnittet efter frågeställningarna
(Johansson & Svedner, 2001), vilket vi valde att göra. Svaren från intervjuerna analyseras och sammanfattas sedan i diskussionen.
3.7 Validitet och reliabilitet
Validitet och reliabilitet har inte samma innebörd i kvantitativ och kvalitativ forskning. Vid en kvantitativ studie kopplas begreppen framför allt till datainsamlingen, att rätt sorts data är insamlade på ett tillförlitligt sätt. I kvalitativ forskning gäller validiteten och
reliabiliteten däremot under hela forskningsprocessen, såväl under datainsamlingen som under den efterföljande analysen (Patel och Davidson, 2003).
Validiteten i en kvalitativ undersökning har som ambition att upptäcka företeelser medan samma begrepp för en kvantitativ undersökning betecknar att rätt företeelse studeras. Begreppet reliabilitet är inom kvantitativ forskning kopplat till tillförlitlighet och handlar om hur väl ett för studien utvalt mätinstrument, står emot slumpinflytanden av olika slag. En hög reliabilitet medför att den kvantitativa studien är reproducerbar. Att en och samma intervjufråga i en kvalitativ studie, vid olika tillfällen får olika svar, behöver inte betyda att reliabiliteten är låg. Detta på grund av att i den kvalitativa studien bör varje svar ses och tolkas mot bakgrund av den unika situation som råder vid intervjutillfället. Inom den kvalitativa forskningen ligger de två begreppen mycket nära varandra. De är så
sammanflätade att kvalitativa forskare sällan använder begreppet reliabilitet och begreppet validitet får då istället en bredare mening (Patel och Davidson, 2003).
Vid genomförandet av ett examensarbete kan det vara svårt att mäta tillförlitligheten i arbetet det är därför viktigt att tydligt ange hur undersökningen genomförs
(Johansson & Svedner, 2001). I metodavsnittet har vi noggrant beskrivit hur intervjuerna förbereddes, genomfördes och efterarbetades. Detta för att senare kunna föra en diskussion kring hur tillförlitlig vår studie kan anses vara.
4. Resultat
I denna del har vi valt att presentera resultatet utifrån undersökningens frågeställningar. Anledningen till att vi inte valt att presentera resultatet utifrån intervjuguidens frågeordning är att undersökningens frågeställningarna blir besvarade genom olika frågor vid olika tillfällen under intervjun. Svaren från intervjuerna har vi valt att dela in i olika kategorier efter typiska ord som lärarna svarade med. Namnet på kategorierna beskriver de svar som ingår.
4.1 Frågeställning 1
Hur använder gymnasielärare den grafritande räknaren i matematikundervisningen enligt dem själva?
Här redogörs för de uttalanden som svarar på den första frågeställningen. Svaren har vi valt att dela in i två kategorier: demonstration och stenciler. Det framkom inte några skillnader i hur lärarna svarade som tyder på att kön, vilket program de undervisar på eller antal
yrkesverksamma år har någon inverkan på deras användning av den grafritande räknaren. När det gällde användandet av den grafritande räknaren på olika program angav lärarna att de enbart använder den på Naturvetenskapliga programmet och på Teknikprogrammet. Ingen av lärarna som nu eller tidigare har undervisat i matematik på något yrkesprogram angav att de hade använt den grafritande räknaren på dessa program. Detta berodde på att eleverna på yrkesprogrammen inte själva har en grafritande räknare med sig på lektionen. Lärarna menade dessutom att skolorna inte hade ekonomiska resurser att köpa in
klassuppsättningar av dessa. Alla lärare uppgav dock att om möjligheten hade funnits hade de gärna utnyttjat hjälpmedlet även på yrkesprogrammen. De tre lärarna som undervisar på Naturvetenskapliga programmet uppgav att de upplevde att tiden inte räckte till för att kunna till exempel anpassa lektionsinnehåll och utforma anpassade uppgifter till den grafritande räknaren.
4.1.1 Demonstration
Det som alla lärarna angav vara det vanligaste tillvägagångssättet var att de demonstrerar den grafritande räknarens funktioner efter hand som behovet uppkommer. Vid
demonstrationen visar de vilka knappar som eleverna ska trycka på och hur de olika funktionerna fungerar. Lärarna visar eleverna hur man ska få den grafritande räknaren att utföra en viss sak och sedan får eleverna göra likadant. Två av lärarna anger att de flitigt använder tillbehöret OH-plattan vid demonstration medan en av lärarna inte tyckte att detta tillbehör var till någon hjälp då det största problemet ansågs vara för eleverna att hitta och komma ihåg vilka knappar de skulle trycka på. Alla lärare angav att de upplevde att de fick lägga mycket tid på att gå igenom räknarens funktioner. Det framkom att de tyckte att detta var värt den tiden, då de istället vann tid på att mer effektivt till exempel kunna rita fler grafer. Endast en lärare angav att demonstrationerna växlades med att eleverna fick testa sig fram själva. Alla de intervjuade lärarna beskrev upplägget för sina matematiklektioner i allmänhet på ett liknande sätt. Dessa inleddes med problem eller frågor från tidigare avsnitt och sedan en genomgång av det nya avsnittet. Därefter fick eleverna arbeta på egen hand med uppgifter ur läroboken. Två av lärarna poängterade att de ville att genomgången skulle bedrivas mer som ett samtal med eleverna än en genomgång i traditionell bemärkelse.
Alla lärare i intervjun angav att de efter hand som situationer dyker upp, tar upp fördelar och nackdelar med den grafritande räknaren. De menar att det är viktigt att tydliggöra för eleverna att räknaren inte är en garanti för att en uppgift blir korrekt löst. En lärare
förklarar: ”Samtidigt får man inte plocka bort förståelsen, för risken finns ju att det kan bli lite för mycket hokus pokus, att det bara ramlar ut ett svar utan att man vet varifrån det kommer.”
4.1.2 Stenciler
Två av lärarna angav att utdelning av stenciler med beskrivningar var ett annat sätt för eleverna att lära sig den grafritande räknarens funktioner. Stencilerna kunde även innehålla övningar anpassade till den grafritande räknaren. ”Eleverna kan ibland få egna
använda räknaren för att hitta maximi- och minimivärden istället för att göra det
algebraiskt, använda räknaren för att hitta skärningspunkter till ekvationssystem.” Syftet med dessa stenciler var dels att eleverna skulle lära sig räknarens funktioner och dels att lära sig använda denna nya metod för att lösa ett matematiskt problem.
4.2 Frågeställning 2
Till vad anger gymnasielärare att de använder den grafritande räknaren i matematikundervisningen?
Här redogörs för de uttalanden som svarar på den andra frågeställningen. Svaren har vi valt att dela in i två kategorier: funktionsstudier och ekvationer. Dessa kategorier finns som avsnitt i matematikböcker. Inte heller för denna frågeställning visade svaren från intervjuerna någon skillnad som tyder på att kön, vilket program de undervisar på eller antal yrkesverksamma år spelar någon betydande roll när det gäller hur de använder den grafritande räknaren. Studien visar att lärarna inte har någon planerad, medveten strategi där undervisningen utgår från den grafritande räknaren. Istället är det läromedlet som styr.
4.2.1 Funktionsstudier
Lärarna svarar att det huvudsakligen är vid funktionsstudier som de använder den grafritande räknaren. Alla lärarna angav att de använde den grafritande räknaren i till exempel vid ritning av kurvor, avläsningar av olika slag som derivata, maximivärde och minimivärde och nollställen. Ett exempel på hur lärarna svarade: ”Räta linjen, är ju typiskt för grafritande räknare. Andragradsekvationer och andragradsfunktioner, att visa
nollställen och så, och se hur funktionerna ser ut. (…) om man låter eleverna rita olika linjer på räknaren, så får de då luska ut: vad är det som gör att de inte ser lika dana ut? (…) Likadant om man ritar upp olika andragradsfunktioner och ser hur de ser ut och var de ligger och vad det är som gör att de är vända på det ena eller det andra hållet.” Även den grafritande räknarens möjligheter att anpassa funktioner till givna värden anges av hälften lärarna vara användbart. Dessutom talade en av lärarna om den grafritande räknarens numeriska möjligheter som till exempel att numeriskt räkna ut derivator.
4.2.2 Ekvationer
Ett annat användningsområde som alla lärarna nämnde var mer algebraiska till exempel ekvationer av olika grad samt lösningar av ekvationssystem. Den grafritande funktionen används vid lösning av ekvationssystem då man kan se skärningspunkter mellan
funktionerna som ekvationerna i ekvationssystemet beskriver.
4.3 Frågeställning 3
Vad anger gymnasielärare i matematik är anledningen till att de väljer att använda den grafritande räknaren i matematikundervisningen?
Här redogörs för de uttalanden som svarar på den tredje frågeställningen. Svaren har vi valt att dela in i fyra kategorier: tillgänglighet, visualisering, effektivisering och kompletterande metod. Svaren som tillhörde de två första kategorierna antydde inte någon skillnad som berodde på kön, vilket program de undervisar på eller antal yrkesverksamma år. En viss skillnad gick dock att utläsa av svaren som gällde värdering av två lösningsmetoder.
4.3.1 Tillgänglighet
Lärarna i vår studie nämner att de gärna vill visualisera grafer med hjälp av tekniska hjälpmedel som till exempel datorer. Problemet med datorer är att det oftast inte finns möjlighet att boka datasalar där alla eleverna i klassen får plats och där de program som behövs finns installerade. Därför ser lärarna en stor fördel med den grafritande räknaren som eleverna kan ha med sig till varje lektion. På de skolor vi genomfört vår undersökning har eleverna på Naturvetenskapliga programmet och Teknikprogrammet möjlighet att låna en grafritande räknare under hela gymnasieutbildningen. De lärare som inte enbart
undervisar på dessa program angav att ett stort problem var att inte alla elever har tillgång till den grafritande räknaren. En lärare sa så här: ” Om alla hade haft tillgång, om skolan hade haft oändliga resurser och varje elev fick låna en grafritande räknare, då har vi ju större möjligheter på de andra programmen.”
4.3.2 Visualisering
De anledningar som lärarna angav för att använda den grafritande räknaren var främst att ge eleverna en uppfattning av hur grafer till olika funktioner ser ut. Alla lärarna angav att det är lättare för eleverna att förstå vad som påverkar grafers utseende när de kan
åskådliggöras.”(…) fördelarna med den grafritande räknaren är att man får ytterligare ett sätt att se på problemen att åskådliggöra problemet visuellt och för vissa elever är det en väldig fördel för att de behöver just det visuella för att riktigt förstå problemet.”
4.3.3 Effektivisering
Även om grafer kan åskådliggöras med papper och penna så angav fyra av lärarna att de tyckte det var mer effektivt att använda den grafritande räknaren. Detta sparar tid och man kan titta på flera grafer samtidigt för att jämföra dessa. Två av lärarna nämnde att de upplevde den grafritande räknaren som ett bra hjälpmedel då den gör det möjligt att rita upp mer komplicerade funktioner än vad som är möjligt att göra för hand. Detta då siffrorna inte behöver anpassas för att få jämna koordinater som krävs för noggrannheten om man ritar för hand. En lärare angav även att den grafritande räknaren kan vara en hjälp att komma runt problemet att elever som inte kan rita med tillräcklig noggrannhet
misslyckas med till exempel avläsningar i grafen.
4.3.4 Kompletterande metod
Fyra av lärarna angav att de tycker att användandet av den grafritande räknaren är ett bra komplement till andra matematiska metoder. Att eleverna kan använda flera olika metoder för att lösa problem tror lärarna ökar förståelsen för problemet. En annan anledning som alla lärarna angav till att använda den grafritande räknaren, var att det är ett roligt moment och intresseväckande för eleverna.
Då lärarna i intervjun fick värdera de två lösningsexemplen (bilaga 3 och 4) visade det sig att det fanns delade meningar. Det fanns ingen tydlig könsskillnad eller skillnad med tanke på hur länge de hade arbetat gällande de delade meningarna. En viss skillnad fanns i hur de
bedömde lösningarna beroende på vilket program lärarna undervisade på. Lärarna på det Naturvetenskapliga programmet tenderade att värdera den algebraiska lösningen högre, medan de andra lärarna som undervisade på Medieprogrammet och Teknikprogrammet var mer öppna för den grafiska lösningen. De lärare som värderade den algebraiska lösningen högre motiverade detta med att den metoden tydligare visar på rena matematiska
färdigheter. ”Matematiskt sett så kräver ju den algebraiska lösningen mer, så matematiskt sett bedömer jag den algebraiska lösningen som bättre.” Alla lärarna sa att de tyckte att båda metoderna var bra, men att de tyder på olika färdigheter och förståelse. Lärarna säger att den algebraiska lösningen visar att eleven har lärt sig hur man löser ett ekvationssystem. Uppgiften kan lösas på detta sätt utan att eleven behöver ha förståelse för hur en
andragradsfunktion ser ut. Denna metod anges av lärarna vara mer tidskrävande och det är lättare att göra ett misstag i beräkningen så att hela lösningen blir fel. De menar att med den grafiska lösningen visar eleven kunskap om den grafritande räknarens funktioner. Eleven har förstått att lösningen till uppgiften är en andragradsfunktion vars graf har anpassats till de tre givna punkterna.
Alla lärare angav att det fanns tillfällen då de tyckte att den grafritande räknaren inte fick användas. Detta gällde framförallt vid olika uppgifter, inte inom hela moment. Detta motiverade de med att eleverna behöver kunna använda sig av olika metoder. En lärare sa speciellt att eleverna gärna väljer att använda den grafritande räknaren då de själv får välja metod och detta måste då enligt läraren begränsas. Hälften av lärarna angav att de vid provtillfällena ofta har en del med enbart huvudräkning, där den grafritande räknaren alltså inte är tillåten och en del där eleverna får använda den. Detta på grund av att lärarna vill kunna testa att eleverna behärskar olika metoder.
4.4 Frågeställning 4
Varifrån anger gymnasielärare att de får information och idéer om hur den grafritande räknaren kan användas i matematikundervisningen?
Här redogörs de uttalanden som svarar på den fjärde frågeställningen. Svaren har vi valt att dela in i fyra kategorier: kollegor, skriftliga källor, fortbildning och olika källor. Det fanns
skillnader i vilken typ av fortbildning lärarna deltagit i. Förutom dessa fanns inga andra tydliga skillnader i deras svar som tyder på att kön, vilket program de undervisar på eller antal yrkesverksamma år har någon inverkan på varifrån lärarna får information och idéer om användningsområden för den grafritande räknaren.
4.4.1 Kollegor
Alla de intervjuade lärarna ser sina kollegor som en viktig källa till information och inspiration för nya idéer till hur den grafritande räknaren kan användas i
matematikundervisningen. En av lärarna angav att den upplevda tidsbristen dock gör att de inte hinner med diskussioner kring dessa idéer i den utsträckning som hade önskats.
4.4.2 Skriftliga källor
De skriftliga källor som angavs var bland annat tidskrifterna Nämnaren och NOMAD. Några fullständiga forskningsrapporter var det ingen av lärarna som uppgav att de läst, däremot hade alla ett intresse för artiklar med didaktiskt innehåll. När det gällde att ta del av artiklar och undersökningar ansåg alla lärarna att tidsbristen var ett stort hinder.
4.4.3 Fortbildning
Det var ingen av lärarna som angav att de hade deltagit i någon kurs som enbart behandlat den grafritande räknaren. Däremot hade hälften av dem deltagit i kurser om tekniska hjälpmedel eller alternativa undervisningsmetoder, där den grafritande räknaren ingick. De lärare som deltagit i dessa kurser undervisade på Medie-, Teknik- och Naturvetenskapliga programmet, vilket inte tyder på att lärare från något särskilt program är representerat på kurserna. Vidare hade två av lärarna som undervisade på Naturvetenskapliga programmet deltagit i en intern studiecirkel om den grafritande räknaren på sin skola tillsammans med andra lärare. Av de intervjuade lärarna tyckte alla bortsett ifrån en att det inte fanns något behov av vidare fortbildning, eftersom de ansåg sina färdigheter vara tillräckliga. ”Jag vet inte om jag, det låter kanske dumt, men jag tycker att jag behärskar det mesta nu.”
Den lärare som ansåg att behovet av fortbildning fanns, angav att tidsbristen utgjorde hindret till att inte kunna delta.
4.4.4 Olika källor
Samtliga lärare angav att deras idéer till att använda den grafritande räknaren ofta kom ifrån olika källor som de inte specifikt kunde precisera. En lärare uttryckte sig: ”det
snappade jag upp någonstans, var jag läste det, det kommer jag inte ihåg. Man snappar upp lite här och lite där, så där i flykten!” Lärarna söker inte aktivt information och idéer om hur den grafritande räknaren kan användas i matematikundervisningen.
5. Diskussion och slutsatser
Upplägget för denna diskussion följer samma ordning som resultatdelen. Avsnittet avslutas med diskussion kring studiens tillförlitlighet och förslag till ett framtida
undersökningsområde.
I intervjuerna framkom att den vanligaste metoden som lärarna använder då eleverna ska introduceras i hur den grafritande räknaren kan användas var demonstration. Lärarna i vår undersökning beskrev upplägget för sina matematiklektioner i allmänhet på det sätt vi definierat som traditionell. Tillvägagångssättet som de beskriver anser vi inte vara i linje med vår tolkning av den konstruktivistiska synen som lägger tonvikt vid elevens aktiva process vid inlärning. Alla de intervjuade lärarna angav att det de fick lägga mest tid på vid demonstration av den grafritande räknare var att visa eleverna vilka knappar de skulle trycka på. Det är just dessa tekniska frågor som Dahland (1998) nämner som är
dominerande. Det är viktigt att lägga tid på att grundligt gå igenom hur man går tillväga för att använda funktionerna i den grafritande räknaren. Om man inte kan använda räknaren så har man ingen nytta av hjälpmedlet. Dahland (1998) skriver om den dubbla kompetens som är viktig för såväl lärare som elever som innebär att man besitter både tekniska färdigheter och ämneskunskaper för att kunna tolka och förstå resultat som tas fram med hjälp av grafritande räknare. Behovet av den dubbla kompetensens bekräftas i vår studie av att lärarna lägger tid på att demonstrera tekniken grundligt men att de samtidigt betonar vikten av att eleverna behöver ha förståelse för den bakomliggande matematiken. Detta kan dock tyckas motsägelsefullt då lärarna beskriver att de demonstrerar på ett traditionellt sätt. Det kan antingen bero på att tonvikten inte läggs vid elevernas förståelse eller så bedrivs inte undervisningen på det traditionella sätt som lärarna anger.
De moment som lärarna angav att de använde den grafritande räknaren vid var
funktionsstudier och ekvationer. Detta var inte särskilt oväntade svar med tanke på att detta är självklara användningsområden. Arbetet i dessa områden bygger mycket på grafer, därför är den grafritande räknaren bra att använda till detta.
Det som lärarna i intervjuerna angav vara anledning till att de valt att använda sig av grafritande räknare i matematikundervisningen var att visualisera grafer på ett effektivt sätt. Solow (1994) upplevde när hon använde grafritande räknare istället för datorer att eleverna gav bättre och tydligare redovisningar på samma laborationer. Detta berodde på att eleverna hade möjlighet att tolka och analysera under laborationen. Då datorerna användes skedde datainsamling och analysen vid skiljda tillfällen vilket försvårade
analysen. Lärarna i vår studie tror att det är lättare för eleverna att förstå vad som påverkar grafers utseende när de kan åskådliggöras. Genom att eleverna har den grafritande räknaren tillgänglig ökar möjligheten att åskådliggöra flera grafer. Det är viktigt att eleverna har en grundlig förståelse för vad den grafritande räknaren kan användas till samt hur de kan använda den. Det är först när eleven har lärt sig detta som han eller hon kan strukturera om sitt sätt att tolka nya situationer och vågar använda den grafritande räknaren. Lärarna i vår studie tror att förståelsen för ett problem ökar då eleverna använder flera olika metoder för att lösa ett problem. De tycker att den grafritande räknaren är ett bra komplement till andra metoder
I litteraturstudien framkom att lärare ofta använder olika former av elektroniska hjälpmedel under lektionerna, men mycket lite vid bedömningstillfällena (Beckmann m.fl., 1999). Lärarna vi har intervjuat anger att de använder den grafritande räknaren i undervisningen och vid provtillfällen. När de fick värdera de två lösningsexemplen framkom att hälften av lärarna, trots att de tillät den grafritande räknaren vid prov, värderade den algebraiska lösningen högre på grund av att de ansåg att den visade tydligare på matematiska färdigheter. Dahland (1998) menar att det är viktigt att det är klargjort för eleverna hur svaren på matematikuppgifter ska redovisas. Eleverna kan vara osäkra på hur de ska formulera fullständiga lösningar när de har fått fram svar med hjälp av räknaren. För att komma ifrån dessa problem behöver matematikuppgifterna förändras så att de bättre passar användningen av tekniska hjälpmedel och att eleverna blir tvungna att motivera sina svar (Beckmann m.fl., 1999). Detta underlättar bedömningen och gör att både elever och lärare vet vad som krävs.
Lärarna söker inte aktivt information om nya användningsområden. Detta kan bero på att de själva tycker att de har den kunskap och det material som är tillräckligt för de program de undervisar på (Dahland, 1998). Lärarna anger även tidsbristen som hinder för dem att söka kunskap om nya användningsområden.
Lärarna i vår studie valdes ut för att ge en så bred återspegling av populationen som möjligt. Urvalsgruppen i studien är liten vilket medför att vi inte kan generalisera våra resultat till att gälla hela lärarpopulationen. Resultaten visar att lärarna i vår studie har liknande inställning till användandet av den grafritande räknaren vilket kan ge en uppfattning av vad lärare i allmänhet anser. Intervjuguiden formulerades i förväg med ambition att studiens frågeställningar skulle kunna besvaras. Att alla intervjuerna
genomfördes med så lika förutsättningar som möjligt ökade resultatens pålitlighet. Syftet med studien var att undersöka hur gymnasielärare anger att de använder den grafritande räknaren i matematikundervisningen. Förutsatt att lärarna har svarat sanningsenligt vid intervjuerna är trovärdigheten i våra resultat hög och undersökningen uppfyller syftet. Observationer hade varit lämpligt som ett komplement till intervjuerna för att öka trovärdigheten i vårt resultat, för att vi då hade kunnat avgöra om vad de uppgav vid intervjun om användandet av den grafritande räknaren stämde överens med hur de gjorde i klassrummet.
Resultaten från vår undersökning bekräftar tidigare forskning om hur undervisning bedrivs. Flera referenser i vår litteraturgenomgång är ifrån 1990-talet och kritiken mot
undervisningsmetoden (Magne, 1990;1994;1998) kan jämföras med resultaten i vår studie vilken tyder på att matematikundervisningen inte har förändrats. Med tanke på att
kursplaner har anpassats till användandet av den grafritande räknaren så borde det ha skett en större förändring i hur den används i undervisningen. Lärarna i vår studie har inte anpassat sin undervisningsmetod till den grafritande räknaren. Det är läromedlet som styr undervisningen och läromedlet har inte heller anpassats till den grafritande räknaren. Bergqvist (1998) tror att det kommer att ta lång tid innan grafritande räknare ingår i
central roll. Vi tror att orsaken till att så lite har förändrats kan vara det som lärarna i denna undersökning nämner, nämligen tidsbristen och att alla elever inte har tillgång till den grafritande räknaren. Lärarna anger att de vill utveckla användandet av detta hjälpmedel på matematiklektionerna men att de nämnda faktorerna hindrar dem.
Med tanke på att vi enbart ställde en fråga kring bedömning av uppgifter så har vi inte tillräckligt med stöd för att kunna generalisera lärares tankar kring bedömning. Vi tror dock att värderingsskillnader finns och kan bero på att lärarna inte vet hur de ska bedöma olika metoder. Om detta är fallet så är det en sak som kanske bör diskuteras i större omfattning.
