Är abstrakt konkret?: eleverns upplevelse av abstrakt och konkret matematik, lätt eller svårt?

Full text

(1)2005:043. EXAMENSARBETE. Är abstrakt konkret? Eleverns upplevelse av abstrakt och konkret matematik, lätt eller svårt?. Petra Backe Fredrik Emanuelsson Monica Lind Gunilla Norberg. Luleå tekniska universitet Lärarutbildning Allmänt utbildningsområde C-nivå Institutionen för Utbildningsvetenskap. 2005:043 - ISSN: 1652-5299 - ISRN: LTU-LÄR-EX--05/043--SE.

(2) Förord Vi vill tacka alla elever och pedagoger som tog sig tid för vår enkät. Vi vill också tacka vår handledare Anna Wedestig som har stöttat oss i vårt arbete och medverkade till idén om att tillföra det praktiska materialet (cuisinairestavarna) i samband med enkäten. Detta gav, enligt vår åsikt, en ny och viktig dimension i vår undersökning. Speciellt tack till Kjell Johansson som såg till att vi fick rättigheter att använda Fronter för samordning av vårt arbete. Övertorneå 2005-05-15 Petra Backe Monica Lind. Fredrik Emanuelsson Gunilla Norberg.

(3) Abstrakt Syftet med vår undersökning var att beskriva elevernas upplevelser av matematik med avseende på ålder, intresse, förståelse samt pedagogens kunskap om elevernas förståelse. Försökspersonerna omfattade totalt 40 elever och 40 pedagoger som representerade år 3, 6, 9 på grundskolan samt år 3 på gymnasieskolan. Enkäterna utformades med nivåanpassade uppgifter. Resultatet visade att grundskolans pedagoger har kunskap om att eleverna tycker att abstrakt matematik är svår. Däremot visste inte pedagogerna på gymnasiet att deras elever upplever det konkreta som svårt. För vår kommande lärargärning innebär resultatet att elever på gymnasiet kan uppleva konkreta uppgifter som svåra eftersom de är vana vid abstrakta uppgifter. Elever i grundskolan är mer vana att arbeta med ett praktiskt material och upplever detta som lätt..

(4) Innehållsförteckning Förord Abstrakt Innehållsförteckning Bakgrund Matematik från början ........................................................................................................1 Matematik i förskolan.........................................................................................................2 Matematik i grundskolan ....................................................................................................3 Matematik i gymnasieskolan...............................................................................................4 Förståelseinriktad matematikundervisning ..........................................................................5 Lust att lära matematik .......................................................................................................6 Syfte.......................................................................................................................................9 Metod.....................................................................................................................................9 Konstruktion av uppgifterna .............................................................................................10 Försökspersoner................................................................................................................11 Material ............................................................................................................................12 Procedur ...........................................................................................................................12 Tidsplan............................................................................................................................12 Databearbetningsmetoder .................................................................................................12 Resultat ................................................................................................................................13 Sammanställning av elev och pedagogenkäter...................................................................13 Diskussion............................................................................................................................18 Validitet/Reliabilitet .........................................................................................................18 Resultatdiskussion ............................................................................................................19 År 3 och år 6, grundskolan. ...........................................................................................19 År 9, grundskolan .........................................................................................................21 År 3 gymnasieskolan ....................................................................................................22 Jämförande analys ............................................................................................................23 Pedagogiska tillämpningar ................................................................................................23 Förslag på fortsatt forskning .............................................................................................24 Referenser ............................................................................................................................25 Bilagor.

(5) 1 I vårt samhälle är matematik av tradition ett ämne som har hög status. Den allmänna inställningen är att om man är duktig i matematik så är man begåvad inom det mesta. Det senaste året, har elevers alltmer bristande intresse för matematik, varit ett omdiskuterat ämne i olika medier. Under vår verksamhetsförlagda utbildning har vi kunnat följa debatten och dess efterverkningar, bland annat genom fortbildningar och projekt i matematik, på nära håll i olika skolor. Eftersom matematiken har stor betydelse för vardagsliv och samhälle, så anser vi att det är viktigt, att barn tidigt utvecklar en gynnsam inställning till matematik. Många av oss lärarstudenter har upplevt att intresset för matematik avtar när eleverna kommer upp i högre ålder. Vi menar att det egentligen borde vara tvärtom - att intresset för inlärning ökar i takt med att kunskaperna och förståelsen ökar. En utökad användning av kunskaperna ger självtillit och stimulerar lusten till ytterligare ny inlärning som ökar kunskaperna, förståelsen och så vidare. Motivation och intresse är, enligt vår åsikt, en oerhört viktig grund för lärandet. Självklart finns det fler viktiga behov som måste uppfyllas för att eleverna ska ha lust att lära, till exempel är förståelse ett sådant behov. Huruvida man förstår, exempelvis matematik, beror sedan på fler saker som till exempel svårighetsgrad. Inför våra yrkesroller som pedagoger, känns det väsentligt att försöka ta reda på hur elever i olika åldrar upplever matematiken i skolan. Vi börjar med en studie av litteratur för att kunna gjuta en bra grund för hur vi ska utforma vår undersökning.. Matematik från början Matematik finns beskrivet i en ofantlig mängd litteratur, inte minst den matematik som eleverna möter i skolan. Många är de författare som debatterar matematikundervisningens olika sidor samt för- och nackdelar. De flesta verkar dock överens om att en alltför ensidig inriktning av undervisningen mot att arbeta med matematik i räkneboken kan medföra att eleverna uppfattar att matematik enbart handlar om att lösa uppgifterna i boken. Enligt till exempel Ahlberg (1995) innebär skolstarten att bli delaktig i en ny och annorlunda kultur och de krav som ställs på eleven i skolan står i kontrast till deras tidigare erfarenheter från vardagsliv och förskola. I början tycker eleven att det är roligt att arbeta i den nya räkneboken, menar Ahlberg vidare, men efter en tid är risken stor att glädjen försvinner om undervisningen blir alltför ensidig. Nyfikenheten kan ersättas med känslor av otillräcklighet och tvång och en hel del elever uppfattar att det viktigaste med räkning är att så fort som möjligt finna det rätta svaret. Det blir då svårt för eleven att inse att matematik är ett redskap som de kan använda när de löser problem både i vardagsliv och i skola. Våra erfarenheter är att många av oss vuxna kan ha drabbats av just detta, då vi fortfarande bär på inställningen att vi aldrig kunnat räkna eller lösa matematiska uppgifter. En del av oss kanske till och med gör allt för att undvika matematik. Ahlbergs resonemang leder fram till tolkningen att en undervisning som inte har koppling till elevernas behov, känslor och intressen istället kan hämma deras intresse för matematik. Ahlberg (1995) visar sedan på den djupa klyfta som hon menar finns mellan barnens och skolans matematik. Barnen har i hemmet eller under lek med kamrater på förskolan lärt sig räkna och lösa problem. Deras kunskaper är knutna till erfarenheter och upplevelser i vardagslivet. De har kanske svårt att förklara hur de löser problem eftersom kunskapen är intuitiv och kopplad till de handlingar som barnen utför med föremål i sitt dagliga liv. Därför skiljer sig deras sätt att räkna markant från den formella matematiken som är uppbyggd på skriftliga symboler, räkneprocedurer och abstrakt tänkande. Det är, menar Ahlberg, pedagogens uppgift att överbrygga denna klyfta så att det enskilda barnet kan bygga vidare på sina tidigare kunskaper och erfarenheter..

(6) 2 Vilka är då dessa kunskaper och erfarenheter? Naturligtvis är det så att den matematik barnen möter i vardagslivet och hemmet ser väldigt olika ut. Men enligt Ahlberg (1995) sker deras inträde i matematikens värld vid mycket tidig ålder. Undersökningar visar att redan vid tre månaders ålder kan barn urskilja det största av två föremål. Den matematiska kompetensen grundar sig i tidiga former av matematiska begrepp som sedan fortlöpande byggs upp genom barnens samspel med omvärlden. Begreppen innefattar barnens förståelse av form, storlek, mängd och massa som barnen tillgodogör sig vid lek och samtal. De små barnen ordnar och grupperar föremål, de jämför, upptäcker likheter och skillnader. De lägger märke till olika handlingar som de själva eller andra utför med saker i omgivningen och kan genom detta uppfatta minskning, ökning och delning. Barnet kan till exempel uppfatta en minskning i form av att mamma lägger upp ett visst antal köttbullar på tallriken och sedan tar bort några stycken.. Matematik i förskolan Hur ser då matematiken i förskolan ut? Även denna ser naturligtvis olika ut från förskola till förskola. Efter att ha tagit del av bland annat Doverborgs och Pramlings (2003) tankar har vi dock förstått att matematikens vara eller inte vara i förskolan är av betydelse. Det är helt avgörande för förskolans framtid, och dess utveckling mot att skapa det ”livslånga lärandet”, att alla antar utmaningen att möta och skapa ett intresse för grundläggande matematik hos förskolebarn, och därigenom grundlägga en matematisk förståelse i tidig ålder. (Doverborg och Pramling, 2003, s. 2). Doverborg och Pramling anser vidare att detta måste göras på barns villkor och att det är synd att många förskolepedagoger inte har diskuterat sina egna erfarenheter och syn på hur de mött matematiken under sin egen skoltid. De flesta har inte heller under utbildningen fått kunskaper om hur yngre barn börjar erövra matematikens värld. Författarna menar att genom att ge barn förutsättningar att utvidga sin omvärld ger man dem också förutsättningar att uppleva matematiken i omvärlden. Men då krävs det att pedagogerna ser matematiken i vardagen och kan hjälpa barnen att se och sätta ord på den. Det handlar om en ständigt pågående interaktion, ett känsligt samspel, mellan lyhörda pedagoger och barn som är eller blir intresserade när de väl upptäcker matematikens värld. Fast vardagen redan är fylld av möjligheter till att skapa matematisk förståelse är det inte självklart att barnen får uppleva detta. Det behövs en vägledare som ger dem verktyg till att uppfatta matematiska aspekter av sin omvärld. Även Malmer (1999) berör detta samspel i förskolan som går ut på att varsamma, guidande, lyhörda pedagoger uppmärksammar och väcker intresse hos barnen för att på lång sikt erövra relationer mellan det konkreta och det abstrakta symbolspråket. Detta är grunden för lärandet i förskolan. I förskolan är lek och lekfullhet en viktig dimension i barns lärande skriver Ahlberg (2000). Barns utforskande och försök till att förstå sig själva och sin omvärld sker oftast genom lek. Därför är lek och lärande tätt sammantvinnade. Dahl och Rundgren (2004) menar att barn i förskoleåldern har en nyfikenhet och ett spontant intresse som det gäller att ta vara på och att uppmuntra ett fritt och fantasifullt tänkande. Även Dahl och Rundgren berör de vuxnas viktiga roll för att matematiken i vardagen ska synliggöras för barnen. Det är de vuxna som måste sätta ord på matematiken, exempelvis när vi dukar – hur många är det som ska äta -, låta barnen sortera och sedan beskriva hur de sorterat, lyfta matematiken i temaarbeten och så vidare. Det gäller att utmana barnen i vardagliga situationer..

(7) 3 Förskolan utgör alltså en viktig grund för barnens fortsatta relation till matematik. Vad säger då styrdokumenten om vilken matematisk kunskap barnen ska erövra? I Utbildningsdepartementet (1998) finns bland annat som strävandemål att utveckla barns matematiska intresse. Förskolan ska sträva efter att varje barn ”tillägnar sig och nyanserar innebörden i begrepp, ser samband och upptäcker nya sätt att förstå sin omvärld” (Utbildningsdepartementet, 1998, s. 13). Ett sätt att förstå sin omvärld på är att bli medveten om vissa företeelser och sedan kunna uttrycka dem även med matematiskt symbolspråk, enligt Doverborg och Pramling (2003). Förskolan ska sträva efter att varje barn ”utvecklar sin förmåga att upptäcka, och använda matematik i meningsfulla sammanhang” (Utbildningsdepartementet, 1998, s 13). I och med detta, skriver Doverborg och Pramling, förväntas barn att, i en rikt stimulerande miljö, få ett intresse för och börja uppfatta matematik som något som har med deras värld att göra. Det som är meningsfullt för barn är saker som de visar intresse för, är engagerade i och av fri vilja bryr sig om eller har lust att göra. Detta uttrycks aktivt genom tanke och handling. Läroplanen säger vidare att förskolan ska ansvara för att barn ”utvecklar en sin förståelse för grundläggande egenskaper i begreppen tal, mätning och form samt sin förmåga att orientera sig i tid och rum”. (Utbildningsdepartementet 1998 s. 13) Målet för matematik i förskolan kan sammanfattas dels i att barn ska tycka att det är lustfyllt så att de kan utveckla ett positivt förhållningssätt till matematik, dels i att de har börjat bli medvetna om grundläggande egenskaper i begreppen tal, mätning och form samt tid och rum. Problemlösning, som många menar är ett centralt innehåll i matematiken (se Ahlberg, 1992), presenteras inte som ett innehåll i förskolans strävandemål utan som en didaktisk aspekt som har med allt lärande att göra – inte specifikt matematik.. (Doverborg. & Pramling, 2003, s. 11). Problemlösning blir alltså istället en metodisk aspekt – det vill säga hur pedagoger problematiserar för att få barn att fundera. Problemlösning betraktas mer som ett förhållningssätt för att barn ska kunna utveckla en tilltro till sin egen förmåga. Våra erfarenheter av litteraturen är alltså att redan i förskolan bör det satsas friskt för att barnen ska tycka att matematik är lustfyllt och att de får utveckla ett positivt förhållningssätt till matematik. Vi har också förstått att pedagogerna i både förskola och skola har en viktig roll när det gäller barns intresse för matematik. Vi kan utläsa att speciellt de pedagoger som arbetar ”på var sin sida” av övergången mellan förskola – skola har en extra viktig roll. Det är här som barnens resa mellan det konkreta och abstrakta påbörjas, deras väg över ”klyftan” mot den formella matematiken. Hur denna fortskrider har troligtvis betydelse för resten av barnens utveckling inom skolans värld.. Matematik i grundskolan Om vi då går vidare och ser på matematiken i skolan, vad säger till exempel styrdokumenten? I Utbildningsdepartementet (1999), definieras undervisningens innehåll i två olika typer av målbeskrivningar. ”Mål att sträva mot” anger inriktningen för skolans arbete och ”mål att uppnå” uttrycker vilka kunskaper eleverna minst ska ha tillägnat sig i slutet av skolår fem respektive nio. Det första vi stöter på i kursplanen för matematik är följande mål att sträva mot; ”Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och att använda matematik i olika situationer,..”. (Skolverket, 2000, s. 26).

(8) 4 Enligt Ahlberg (2000) kan bristande tilltro till den egna matematiska förmågan skapa känslor av underlägsenhet och misslyckande. Något som hon menar till viss del kan bero på den roll matematiken har och har haft i vårt samhälle. Det fanns en tid då det matematiska symbolspråket enbart behärskades av en liten skara utvalda människor. Det är en medeltida uppfattning om matematik som slår igenom även i vår tid. Denna kollektiva bild om att matematisk förståelse endast innehas av människor med speciell begåvning kan forma uppfattningen om hur barn lär sig matematik, menar Ahlberg. Elevers och föräldrars inställning påverkas av denna bild, som troligen också en del pedagoger omedvetet bär med sig. En föreställning som får konsekvenser för den undervisning läraren bedriver. En förutsättning för att barn ska bli intresserade av matematik och upptäcka matematikens många användningsområden är att de har tilltro till sin egen förmåga att förstå och lära. Därför, skriver Ahlberg (2000), måste pedagogens övergripande intention i arbetet med matematik, ständigt vara att sträva mot att elevernas självtillit och tro på den egna förmågan ska stärkas. Författaren stärker vår inledningstes om vikten av motivation och intresse för inlärningen bland annat i följande stycke: I matematikundervisningen står oftast elevernas kunskaper och färdigheter i fokus för intresset. Det är också väsentligt att elevernas känslomässiga inställning till matematik uppmärksammas. Elevernas attityder har avgörande betydelse för deras förhållningssätt till matematik och påverkar i stor utsträckning deras lärande. En av lärarens viktigaste uppgifter är därför att motverka att vissa elever redan under de första skolåren upplever uppgivenhet och får rädsla för matematik. Om en negativ föreställning grundläggs redan i den inledande matematikundervisningen kan den sedan följa eleverna genom skolåren upp i vuxen ålder. (Ahlberg, 2000, s. 28.). Möjligheterna för att eleverna ska få tilltro till sitt eget tänkande och utveckla sitt matematiska kunnande utökas om de möter en matematik som knyter an till deras egen erfarenhetsvärld, en matematik som de kan ”prata” på sitt eget språk och som de kan uttrycka i olika handlingar, till exempel som att tala och rita. När matematiken blir meningsfull och vardagsnära kan alla elever få tilltro till sin förmåga och uppleva att de både kan och vill lära sig, enligt Ahlberg (1995). Vikten av detta uttrycks också i kursplanen i matematik; ”Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven inser värdet av och använder matematikens uttrycksformer.” (Skolverket, 2000, s. 26) Även när det gäller att upptäcka matematikens språk lyfter Ahlberg (2000) fram hur viktigt det är att knyta an till elevernas erfarenhetsvärld. Hon menar att elevernas egna upplevelser och erfarenheter bildar innehållet i undervisningen. De är på väg att erövra ett nytt språk, ett språk som ofta har betraktats som svårtillgängligt. För att de matematiska symbolerna ska få en innebörd för eleverna måste de kopplas till deras eget språk. Därför måste de matematiska symbolerna föras in i undervisningen med varsamhet, skriver Ahlberg vidare. När eleverna kan koppla matematiken till sitt eget sätt att tänka ökar deras möjligheter att skapa innebörd i matematikens begrepp och symboler.. Matematik i gymnasieskolan Matematiken i gymnasieskolans utbildning bygger vidare på kunskaper motsvarande de eleverna uppnår i grundskolan. Här sker en breddning och fördjupning av ämnet. Bland strävansmålen finner vi först den redan så välbekanta formuleringen om att eleverna ska utveckla ”sin tilltro till den egna förmågan att lära sig mera matematik, att tänka matematiskt.

(9) 5 och att använda matematik i olika situationer.” (Skolverket, 2005) Sammantaget ser strävansmålen för gymnasieskolans matematik ut som grundskolans strävansmål. Formuleringarna skiljer sig åt i vissa delar och är mer utvecklade. Kraven är högre ställda men grundtankarna känns igen från grundskolan kursplan. Här finns förstås även en del tillskott, till exempel följande strävansmål: ”Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleverna utvecklar sin förmåga att reflektera över sina erfarenheter av begrepp och metoder i matematiken och sina egna matematiska aktiviteter.” (Skolverket, 2005) Att det även i gymnasieskolans matematik är viktigt med anknytning till erfarenhet och verklighet finner vi i nedanstående formulering: Matematikens idéhistoria kan bidra till en bild av hur olika begrepp och samband utvecklats. Detta kan motverka uppfattningen om matematiken som ett opersonligt färdigt ämne som är uppbyggt av fasta regler som endast skall läras utantill. Matematikens kraft som verktyg för förståelse och modellering av verkligheten blir tydlig om ämnet tillämpas på områden som är välbekanta för eleverna. (Skolverket, 2005). Av styrdokumenten för gymnasieskolan (Skolverket 2005) förstår man, att pedagogens viktiga roll inte nog kan understrykas, när det gäller hur eleverna upplever matematiken i skolan. Dessa formar undervisningen och har till uppgift att se till att undervisningen utgår från varje elev med dess erfarenheter och mognad i fokus så att eleven kan få självtillit i sin inlärning och skapa ett intresse för matematik.. Förståelseinriktad matematikundervisning En stor del av den litteratur som behandlar ämnet matematik tar upp de stora fördelarna med en för eleverna vardagsnära och verklighetsanknuten matematik, oavsett ålder. Som vi kunnat läsa av många författare och enligt våra styrdokument är detta viktiga utgångspunkter för lusten att lära matematik, ett ämne där abstraktionen hela tiden är närvarande. Matematik är en levande mänsklig konstruktion som omfattar skapande, utforskande verksamhet och intuition. Matematik är också en av våra allra äldsta vetenskaper och har i stor utsträckning inspirerats av naturvetenskaperna. Matematikämnet utgår från begreppen tal och rum och studerar begrepp med väldefinierade egenskaper. All matematik innehåller någon form av abstraktion. Likheter mellan olika företeelser observeras och dessa beskrivs med matematiska objekt. Redan ett naturligt tal är en sådan abstraktion.. (Skolverket, 2000, s. 27) Egentligen borde alltså enorma ansatser läggas ner på att göra matematikämnet så konkret och förståeligt som möjligt. Istället ger flera författare en motsatt bild av hur matematikundervisningen i svenska skolor ser ut. Matematik är ju ett ämne med betydelse för många livsområden. Man kan tycka att detta borde speglas även i skolan, det vill säga matematikens samverkan med andra skolämnen torde vara högst naturlig. Som vi uppfattar det, har skolmatematiken kört fast i gamla uppkörda hjulspår. Fastän de övergripande målen tydligt utgår från ämnets sociokulturella betydelse, så följer uppnåendemål och strävansmål de gamla spåren. Man ställer inte de viktiga frågorna vem som skall använda matematiken eller för vilket syfte. Frågan verkar istället vara om man möjligen kan hitta någon praktisk tillämpning till de formler man av gammal vana fortsätter att undervisa om. Det här innebär att de elever som främst behöver ett verktyg för att tolka.

(10) 6 omvärlden och behärska vardagens matematik, istället får lära sig de förkunskaper som anses viktiga för vidare studier av matematik. Det innebär också att den viktiga samverkan mellan matematik och andra ämnen uteblir. (Löwing och Kilborn, 2002, s. 17). Redan för tio år sedan, skrev Ahlberg (1995) om behovet av en mer förståelseinriktad matematikundervisning om eleverna ska kunna bli ”kunskapare” enligt målet i Utbildningsdepartementet (1999). Detta innebär att eleverna ska utveckla förmågan att formulera och utveckla problem, komma fram till slutsatser och göra bedömningar. Ahlberg skriver att förmåga att lösa problem betraktas som en nödvändighet i dagens samhälle och att många matematiker och forskare menar att matematik i grunden handlar om problemlösning, och därför borde problemlösning genomsyra skolans matematikundervisning. Vidare påstår författaren att i läroplaner i matematik världen över betonas vikten av att eleverna får ägna sig åt problemlösande aktiviteter. Här framhålls problemlösning både som ett mål och som ett medel för matematikundervisningen. När det gäller färdighetsträning i matematikundervisningen anses den, enligt Löwing och Kilborn (2003) av många pedagoger vara ett nödvändigt ont men behöver det verkligen vara så? Löwing och Kilborn understryker det viktiga med mål och motivation samt en omväxlande och stimulerande undervisning. Att färdighetsträning i matematikundervisningen anses vara tråkig beror snarast på att man som lärare gjort den tråkig och att eleverna inte ser något mål för, eller några påtagliga resultat av, det som tränas. Men det behöver inte vara så. Övandet kan göras både intressant och stimulerande. (Löwing & Kilborn, 2003, s. 42). I Utbildningsdepartementet (1999) har förståelsens betydelse för barns lärande fått en ännu mer framträdande plats än i tidigare läroplan. Detta har trots allt inte fått något starkt gensvar i undervisningen enligt Ahlberg (1995). Resultaten från den nationella utvärderingen i matematiken (Ljung & Petterson 1990) visar att eleverna på låg- och mellanstadiet huvudsakligen tränar färdigheter. Träning av räknefärdigheter har naturligtvis sin plats i undervisningen, men om undervisningen ska vara förankrad i läroplanen borde inte enskild tyst räkning vara det huvudsakliga inslaget vid matematiklektionerna på lågstadiet. (Ahlberg, 1995, s. 16). Denna typ av undervisning, med tysträkning som huvudsakligt inslag, är förhoppningsvis inte så vanlig längre i landets skolor, åtminstone inte på lågstadiet, vad vi kan förstå av egna erfarenheter. Lust att lära matematik I Lusten att lära – med fokus på matematik (Skolverket, 2003) har man bland annat observerat att undervisningspraktiken skiftar kraftigt under åren i grundskolan. Elevernas lust att lära förändras oftast mycket påtagligt och särskilt i matematik. Författarna säger att det finns en märkbar kulturskillnad mellan de tidigare och senare skolåren i olika avseenden. I förskoleklassen och de tidigare skolåren tar arbetet med lärandet en naturlig utgångspunkt i barnens och elevernas intressen och omvärld, samt i läroplanens övergripande mål. Man ser till hela barnet / eleven på ett uttalat sätt som man inte kan hitta i grundskolans senare år och i gymnasieskolan. Där dominerar istället ämnes- och kursmål på bekostnad av övergripande läroplans- och programmål (gymnasieskolan), som blir sekundära. Det tycks alltså vara.

(11) 7 svårare att upprätthålla en helhetssyn på eleven som individ och på elevens totala situation ju högre upp i skolåren man kommer. Många pedagoger och skolledare konstaterar, enligt författarna till kvalitetsgranskningen (Skolverket 2003), att så gott som alla elever i de tidigaste skolåren har lust att lära men att många av dem förlorar den genom åren i grundskolan. Speciellt vad gäller matematik, märks relativt tidigt skillnader mellan elever som inte lyckats förstå matematik och de som upplever spännande utmaningar när uppgifterna blir svårare. Omkring skolår 4-5 verkar dessa skillnader bli tydliga för att sedan förstärkas under resten av skoltiden. Skiljelinjen går mellan dem som har lätt för matematik och de som inte har det. En del tycker att de får göra det de redan kan och skulle vilja ha större utmaningar och mer omväxling. Många efterlyser begriplighet och relevans. Lusten att lära matematik hänger samman med om de förstår. Matematik är det kritiska filter som en del matematikdidaktiker talar om. Skillnaderna tycks delvis ha att göra med att den individuella förmågan att gå från det konkreta sammanhanget till en allt högre abstraktionsnivå varierar kraftigt vid en och samma ålder. Skillnaderna förefaller ha samband med den undervisningskultur och tradition som är förhärskande. (Skolverket, 2003, s. 19). Denna förmåga kan påverkas och utvecklas med lämpligt anpassad pedagogik, enligt författarna. Det är dock sällan undervisningen individualiseras i detta avseende, såvida inte eleven får hjälp av specialpedagog att konkretisera och visualisera begrepp. Det tycks även vara så att många elever i behov av en mer konkret undervisning istället alltför tidigt tvingas arbeta med matematik utan andra representationsformer än text och talat språk. Den dominerande undervisningsmodellen i matematik verkar bestå av; genomgång ibland, enskilt arbete i boken och diagnos / prov. Däremellan går pedagogen runt bland eleverna och hjälper dem individuellt. (Skolverket 2003) Granskningen har vidare belyst vilka faktorer som främjar lusten att lära. Även här finner vi stöd för många av de tankar vi lyfte fram inledningsvis. Behovet av att förstå ”Att känna att man kan och förstår, att man lyckas och att man lär sig är det första elever, oavsett ålder, svarar på frågan vad som påverkar lusten att lära positivt. Lusten och glädjen uppstår i känslan av att lyckas med någonting vilket i sig är starkt motiverande”. (Skolverket, 2003, s. 26) Och omvänt betyder detta, att elever som möter ständiga misslyckanden i skolarbetet, inte minst i matematik, raskt förlorar motivation och lust att lära. Relationen mellan uppgifternas svårighetsgrad och elevernas motivation eller vilja till engagemang finns också belagd i forskning enligt författarna (Skolverket 2003). God självtillit – bra för lärandet ”Tilltron till den egna förmågan att lära, i vårt fall matematik, framstår i enkätstudien som den viktigaste faktorn för lusten att lära. God självtillit tenderar att höja prestationer utöver vad man ”objektivt” kan och en dålig självtillit kan då på motsvarande sätt sänka den.” (Skolverket, 2003, s. 27) Behovet av begriplighet i skolarbetet ”Eleverna uttrycker ofta i intervjuerna att matematik är roligt när de förstår, tråkigt blir det när man inte förstår.” (Skolverket, 2003, s. 29).

(12) 8 Behovet av en varierad undervisning ”Variation, flexibilitet och att undvika det monotona i undervisningen är viktigt för lusten att lära. Formen för inlärning behöver växla för att tillgodose elevers olika sätt att lära. Det gäller såväl innehåll, relevanta arbetsformer, arbetssätt och läromedel.” (Skolverket, 2003, s. 30) Kommunikation mot bakgrund av elevernas tankar ”Elever som beskrivit en undervisning med gemensamma samtal i matematik som utgår från deras tankar, där de är aktiva och där olika lösningsstrategier diskuteras och värderas, har beskrivit det som något mycket positivt.” (Skolverket, 2003, s. 30) Utifrån intervjuresultatet tycks elever med sådana erfarenheter, enligt författarna, ha ett positivt förhållningssätt till matematik. Enkätstudien visar dock att den här typen av undervisning inte är så vanlig. Delaktighet och påverkan – en framgångsfaktor ”Många elevers uppfattning är att det blir roligare i alla ämnen om de får möjlighet att påverka sina studier, både innehåll och redovisningsformer.” (Skolverket, 2003, s. 31) Möjligheterna till detta inom matematikämnet förefaller dock vara små jämfört med andra ämnen, enligt författarna. Behovet av varierad återkoppling ”Elevers självtillit och lust att lära skulle otvivelaktigt stärkas om också något av all den kunskap de producerar kom till användning på ett konstruktivt sätt. Det gäller också de utvärderingsformer som används och den återkoppling som ges.” (Skolverket, 2003, s. 33) God arbetsmiljö innebär tid och arbetsro Tid är en resurs som, om den utnyttjas rätt, kan skapa god miljö för lärande. ”Arbetsro kring lärandet är en nödvändig förutsättning för barns och elevers lust att lära i skolan, är det många som framhåller.” (Skolverket, 2003, s 34) Pedagogens betydelse är avgörande ”Läraren anges samstämmigt av eleverna som den absolut viktigaste faktorn för lusten att lära. Det gäller alla elevgrupper vid alla enheter. Lärarens engagemang och förmåga att motivera, inspirera och kunna förmedla att kunskap är en glädje i sig är central.” (Skolverket, 2003, s. 34) Enligt kvalitetsgranskningen (Skolverket,2003) är alltså dessa faktorer avgörande för lusten att lära, sett i ett livslångt perspektiv. Undervisningsformen har stark betydelse men behovet av förståelse, god självtillit samt pedagogens roll verkar sammanfattningsvis vara mest betydande. När det gäller förståelsen, uppgifternas svårighetsgrad och abstraktionsnivå, så finner vi även hos andra författare teorier om detta. Ahlberg (1995) skriver till exempel att många elever tycker det är tråkigt och svårt att lösa så kallade lästal eller benämnda uppgifter. ”Detta kan tyckas underligt eftersom de benämnda uppgifterna ofta handlar om realistiska situationer och ibland har ett innehåll som anknyter till elevernas erfarenheter.” (Ahlberg, 1995, s. 56) Dessa problem borde egentligen därför vara lättare än uppgifter som innebär att eleverna ska göra en uppställning och räkna ut. Thompson (1996) menar dock att det är steget mellan verkligheten och matematikens värld som är besvärligt att ta. Eleverna har svårigheter, för att de måste använda de matematiska symbolerna, när de själva ska utföra kopplingen mellan verkligheten och symbolerna. Enligt.

(13) 9 rekapitulationstesen så upprepar (rekapitulerar) den enskilda mänskliga individen under sitt korta jordeliv hela det mänskliga släktets kognitiva utveckling. När det gäller matematiken så innebär det att vi lär oss matematik i samma ordning som den har utvecklats i under historien. Vi följer en viss väg mot den matematiska förståelsen, från konkret och verklighetsnära till abstrakt, mindre verklighetsförankrad matematik. Ju mer vi lär oss och ju äldre vi blir – desto mer abstrakt tenderar alltså matematiken att bli. Enligt Thompson (1996) så sökte Jean Piaget det mänskliga tänkandets ursprung. En tillämpning av rekapitulationstesen är Piaget teori att om vi tar reda på hur barn tänker så får vi reda på hur våra förfäder tänkte. En konsekvens av detta blir att vi måste ägna extra mycket energi åt vissa matematiska moment, genom att vi upprepar den historiska begreppsbildningen. Vår utgångspunkt för arbetet med att kartlägga elevers upplevelser av skolmatematiken har varit de många och intressanta diskussioner vi haft tillsammans om hur man kan uppleva något och vad den upplevelsen i sin tur beror på. Det är naturligtvis en mängd olika faktorer som tillsammans påverkar en upplevelse men vi valde, att utifrån våra nyvunna kunskaper, fokusera på intresse och förståelse. Vi tänker oss att intresset måste vara starkt beroende av vilken förståelse man har av ett ämne, exempelvis matematik. Förståelsen i sin tur kan bland annat påverkas av ämnets abstraktionsnivå och svårighetsgrad. Vi har därför valt att i vår undersökning ta reda på huruvida elever bedömer matematik som lätt eller svår beroende av abstraktionsnivå samt om elevens intresse för matematik har ett samband med detta. Vår ansats är att eleverna borde bedöma mer abstrakt matematik som svår och mindre abstrakt matematik som lätt. Enligt de kunskaper vår litteraturstudie givit oss borde den mer verklighetsnära och mer konkreta matematiken vara lättare för eleverna att ta till sig. Vi vill också se om pedagogernas uppfattningar om elevernas bedömningar stämmer överens med verkligheten, det vill säga vet pedagogerna vad eleverna tycker? Detta är naturligtvis högintressant eftersom det är pedagogerna som formar matematikundervisningen i skolan. En annan bild som vi är intresserade av är om och i så fall hur elevernas upplevelser skiljer sig åt mellan olika åldersgrupper. Stämmer det att elevernas matematikintresse avtar med stigande ålder och kan detta i så fall ha ett samband med att matematiken, enligt rekapitulationstesen, blir alltmer abstrakt ju äldre eleverna blir? Vi vill därför ge undersökningen en bredd som utgörs av olika åldersgrupper inom grundskola och gymnasieskola.. Syfte Syftet med vår undersökning är att beskriva elevers upplevelser av matematik med avseende på ålder, intresse, förståelse samt pedagogens kunskap om elevernas förståelse.. Metod Vi valde ett kvantitativt angreppssätt på vår undersökning eftersom urvalet av elever och lärare var så stort. Undersökningen omfattade årskurs 3 till och med gymnasiet, och eftersom vi bedömde att kvalitativa intervjuer hade blivit för tidkrävande då undersökningen kom att omfatta 80 individer. ”Utrymmet för intervjuareeffekter är dessutom större i en kvalitativ undersökning än i en kvantitativ. I en intervju, som liknar ett samtal, är det ytterst lätt att med hjälp av inpass, utrop och minspel styra intervjun i en oförutsägbar riktning.” (Metodboken, 2003, s. 164). Vi valde det kvantitativa undersökningssättet för att få ett mer precist resultat,.

(14) 10 och vi såg också möjlighet att jämföra eleven med läraren genom rangkorrelation Rudberg (1993). Därigenom förutsåg vi då möjligheten att få en god överblick av det omfattade rådata. Användningen av mätningar, kvantifiering med hjälp av matematik och statistik, har medfört att vissa metoder kommit att benämnas kvantitativa. Det är med andra ord sådana metoder som utmynnar i numeriska observationer eller låter sig transformeras i sådana. Hit hör exempelvis experiment, kvasiexperiment, test, prov, enkäter och frågeformulär m.m. En annan grupp av metoder betecknas som kvalitativa och kännetecknas av att de inte använder sig av siffror eller tal. De inbegriper eller resulterar i verbala formuleringar, skrivna eller talade. Utsagor sker verbalt och instrumenten består av det traditionella ”ordet”. (Backman, 1998 s. 31). Undersökningen bestod av enkäter där svarsalternativen var givna, men med möjlighet till motivering av svar. Enkäten låg till grund för alla försökspersonerna i hela undersökningen. Eleverna i år 3 och år 6 besvarade enkäten tillsammans med oss, då vi antecknade deras motivering. Vi bedömde att eleverna i år 9 och år 3 på gymnasiet, samt pedagogerna kunde besvara enkäten på egen hand. I undersökningen fick eleverna, till att börja med ange sitt intresse för matematik på en skala, roligt – neutralt – tråkigt, med kort motivering. De fick sedan rangordna uppgifterna utifrån svårighetsgrad även här med kort motivering. Motiveringen för svarsalternativen frågade vi efter, dels för att se om eleverna förstått frågan och dels för att förstärka svaret. Uppgifterna som eleverna fick rangordna hade en färgrand i kanten (ljusblå, orange och mörkblå), vi valde att inte använda siffror eller bokstäver för att eleverna inte skulle upptäcka att de hade en viss inbördes ordning. Uppgifterna i sammanställningen benämnde vi som A, B, C. Som A (ljusblå) benämnde vi den mest abstrakta uppgiften och i vår mening den svåraste. Som C (mörkblå) benämnde vi den konkreta uppgiften och den lättaste enligt oss. På enkäten (Bilaga 1) fick eleverna även ange kön, ifall att vi i senare i vår analys skulle anse oss behöva den informationen. För att se om pedagogerna har kunskap om elevernas förståelse, fick pedagogerna rangordna samma uppgifter som eleverna (Bilaga 2).. Konstruktion av uppgifterna För att kunna konstruera uppgifterna (Bilaga 3) till enkäterna började vi med att definiera viktiga begrepp. Abstrakt; något som inte kan uppfattas med sinnena utan endast i tanken eller fantasin. Konkret; något som direkt kan uppfattas med sinnena och i princip beröras. (Norstedts svenska ordbok, 2003). För att mäta om eleverna bedömer abstrakta uppgifter som svårare än dom konkreta så använde vi begreppsbildningen genom historien som utgångspunkt, och därmed rekapitulationstesen. Vi sökte efter olika nivåer av abstraktion i matematikens historia där de äldre matematiska begreppen utgör en mer konkret matematik än den moderna. Thompson (1996) säger att introduktionen av räkning med negativa tal inträffar i tiden efter den symboliska abstraktionen (Bilaga 6)..

(15) 11 Uppgifterna (Bilaga 3) vi konstruerade, var alltså av olika svårighetsgrad om man ser till hur abstrakta de är, enligt rekapitulationstesen och kurslitteratur i ämnet matematik i de olika årskurserna. Vår ansats är således att sifferuppgiften är svårast och den praktiska uppgiften är lättast. Som en praktisk uppgift valde vi, på inrådan av vår handledare Anna Wedestig, att använda oss av materialet Cuisinairestavar. Detta material består av 214 stavar i tio längder och varje längd har en färg. En uppsättning innehåller flera stavar av samma färg. Den kortaste staven är en kub med sidorna 1 cm och den längsta är en tio gånger så lång stav. Stavarna är inte indelade i enheter, för att en och samma stav ska kunna representera vilket tal som helst. Cuisenairestavarna ska användas som ett relationsmaterial och inte som ett material för antalsuppfattning. Stavarna finns i trä, plast och OH-material. Upphovsmannen till stavarna är belgaren George Cuisenaire. Vi ansåg materialet som ändamålsenligt eftersom vi ville ha med ett så konkret material som möjligt, utan någon som helst koppling till antal. Vi konstruerade uppgifter, som vi ansåg lämpliga, för var och en av de fyra åldersgrupperna. Med utgångspunkt av Thompsons resonemang valde vi att skapa 3 nivåer av abstraktion för elever i år 9 på högstadiet och år 3 på gymnasiet, där den första nivån är den mest abstrakta. Enligt rekapitulationstesen så är uppgiften med de negativa talen, mer abstrakt än uppgiften med polynomet som är en typisk uppgift för den symboliska abstraktionen. 1. En uppgift med negativa tal 2. En uppgift med ett polynom (symbolisk abstraktion) 3. En uppgift med ett praktiskt material. För elever i år 3 och år 6 i grundskolan valde vi 3 uppgifter som ska motsvara nivåerna av abstraktion för de senare åren, men anpassade för elevens kunskapsnivå. 1. En multiplikationsuppgift med siffror 2. Ett lästal 3. En uppgift med ett praktiskt material.. Försökspersoner Våra undersökningsgrupper omfattade 10 elever i varje åldersgrupp. Elever från år 3, år 6, år 9 och år 3 på gymnasiet. Varje åldersgrupp bestod av 5 pojkar och 5 flickor, för att få en så jämn fördelning som möjligt. I vår undersökning ingick 10 pedagoger per åldersgrupp som undervisar i matematik. Vår undersökning genomfördes i en liten kommun där de flesta skolorna är små. Skolornas storlek och elevantal fick styra urvalet av undersökningspersoner i de berörda åldersgrupperna och antalet pedagoger som undervisar i matematik. För att få en så bred grund som möjligt bestämde vi oss för att ha med 40 elever och 40 pedagoger i undersökningen. Bortfallet var 1.25 % (vilket motsvarar en pedagog, 1/80 av enkätsvaren). Försökspersonerna har fått vara anonyma, detta har vi kunnat garantera genom att koda elevernas svar efter årskurs och kön. Pedagogernas svar har vi kodat efter vilken åldersgrupp de svarat på..

(16) 12. Material Till enkätundersökningen och intervjuerna använde vi oss av inplastade matematikuppgifter, cuisinairestavar, penna och sudd. För att sammanställa enkäterna använde vi oss av Fronter, Word och Excel.. Procedur Vi delade upp antalet elever och pedagoger mellan oss. Innan eleverna fick svara på enkäterna talade vi om för dem att det handlade om vad de tycker om matematik samt vilken av uppgifterna på de inplastade korten de skulle bedöma som svårast respektive lättast. Vi berättade att vi behövde deras svar för vårt examensarbete. Vi genomförde enkätundersökningen med eleverna vid ett lämpligt tillfälle. Eleverna i år 3 och år 6 svarade på enkäten tillsammans med en av oss. De hade ingen tidspress, varje elev fick den tid de behövde för att svara på enkäten. Enkäten och de olika uppgifterna lämnade vi till pedagogerna, så de enskilt fick fylla i rangordningen och motivera den. De fick ett antal dagar på sig att svara och vi kom överens om var vi kunde samla in svaren. De hade då möjlighet att svara utan större tidspress. Alla enkätsvar sammanställdes med hjälp av statistiska tekniker i diagramform. I första skedet använde vi oss av färger (ljusblå, orange och mörkblå) för att särskilja uppgifterna i enkäterna. När vi sammanställde svaren i diagrammen använde vi oss av bokstäver (A, B och C) för att lättare kunna utläsa svaren och kunna skilja diagrammen från rangkorrelationen, där svaren sammanställdes i siffror (1, 2 och 3).. Tidsplan V 3-5 v. 11-13 v. 14-15 v. 16-17 v.18-22. Under denna period formulerades syftet och upplägget av arbetet/undersökningen. Informationsinhämtning för att bereda underlag för intervjufrågor och enkäter. Litteraturgenomgång och tidigare forskning fördjupade vi oss i inför formulering och bearbetning av enkät- och intervjufrågorna som skedde under denna period. Enkäterna lämnades ut och vi genomförde intervjuerna. Vi sammanställde alla svaren från elev- och pedagogenkäter, samt elevintervjuer. Vi arbetade med rapportens olika delar och färdigställde den under perioden.. Databearbetningsmetoder Vi genomförde enkäten med 40 elever där vi hade 4 grupper med 10 elever i varje grupp. Dessa 10 elever gjorde rangordningar av de 3 uppgifterna. En ordning på 123 innebar att eleven hade rangordnat den abstrakta uppgiften som den svåraste och den konkreta uppgiften som den lättaste. Utifrån denna sammanställning så valde vi ut den rangordning som var mest representativ för varje grupp på 10 elever, där denna representativa rangordning är redovisad längst ned i matrisen i bilaga 4 (3:3). Den representativa rangordningen valdes genom att vi räknade flest antal av en viss rangordning. Om man tillexempel har 3 olika rangordningar.

(17) 13 123, 123, 321 så är för dessa 123 representativ eftersom 2 av 3 har angett den abstrakta uppgiften som den svåraste, och 2 av 3 har angett den konkreta uppgiften som den lättaste. Enligt samma princip sammanställde vi den mest representativa rangordningen för pedagogernas svar. Nästa steg var att utföra beräkningar för rangkorrelation enligt Rudberg (1993). Resultatet av dessa beräkningar redovisade vi i en matris för rangkorrelation (Bilaga 4). Matrisen konstruerade vi i Excel där vi jämförde kolumn med en rad enligt horisontelltvertikalt där alla grupper relaterades till varandra med syfte att söka intressanta samband. När vi analyserade matrisen så tog vi ut de samband vi fann mest intressanta och presenterade dessa i grafisk form i resultatet. Metod för att analysera resultatet För att analysera resultatet så använde vi Rangkorrelation enligt Rudberg (1993). Vi gjorde en analys av alla gruppers rangkorrelation (Bilaga 4) som redovisas i form av stapeldiagram (Figur 2). För att hitta en förklaring till resultaten så analyserade vi motiveringarna som eleverna kopplat till sina val. I många fall hittade vi motiveringar som stämde med vad resultaten visade. Dessa motiveringar har vi presenterat i samband med varje diagram som vi redovisar.. Resultat Sammanställning av elev- och pedagogenkäter. Bedömning av uppgifterna 100% 80% 60% 40% 20% 0% Uppgift A svårast. Uppgift B svårast. Uppgift C svårast. Uppgift A lättast. Uppgift B lättast. uppgift C lättast. Totala antalet elever Elever år 3. Elever år 6. Elever år 9. Elever år 3 Gymnasiet. Figur1. Diagrammet visar vilken av uppgifterna som eleverna har bedömt som svårast respektive lättast. Diagrammet visar att en övervägande del av eleverna i år 3, 6 och 9 tycker att den abstrakta uppgiften (uppgift A) är svårast. Övervägande delen av gymnasieeleverna tycker att den konkreta uppgiften (uppgift C) är svårast. Endast ett fåtal av eleverna i år 3, 6 och 9 tycker.

(18) 14 den är svårast. 60 % av eleverna i år 3, 70% av eleverna i år 6 och 50 % av eleverna i år 9 tycker den konkreta uppgiften (uppgift C) är lättast. Ur gymnasieelevernas motiveringar kan man se att de tycker att den konkreta uppgiften är jobbig eftersom man måste läsa och det är svårt att sätta sig in i det praktiska problemet. Gymnasieeleverna upplever att de mer abstrakta uppgifterna är lätta eftersom de är vana vid dem och det är enkelt att bara lägga in värdena och lösa uppgifterna. Eleverna i år 3, 6, och 9 upplever den konkreta uppgiften som lättast och ur eleverna motiveringar kan man avläsa att de är vana att arbeta med Cuisinairestavar. De flesta i år 3, 6, och 9 tycker att den abstrakta uppgiften är den svåraste eftersom de upplever multiplikation som jobbigt och svårt. Rangkorrelation pedagoger – elever 1,20 1,00. Rangkorrelation. 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00 -0,20. elever-pedagoger år elever-pedagoger år elever-pedagoger år 3 6 9. elever-pedagoger gymn. -0,40 -0,60. Figur2. Diagrammet visar sambandet mellan pedagogernas kunskap om elevernas bedömning av uppgifterna och elevernas faktiska bedömning. Vad gäller elever och pedagoger år 3,6 och 9 kan vi se ett tydligt samband. Detta betyder att pedagogerna har kunskap om elevernas bedömning av uppgifterna. Däremot, när det gäller gymnasieeleverna och gymnasiepedagogerna så finns ett samband som säger att de har gjort helt olika bedömningar. Detta betyder att pedagogerna inte har någon kunskap om elevernas bedömning av uppgifterna. Av pedagogernas motiveringar kan vi se att de bedömer att eleverna har lätt att arbeta med konkret material. Däremot tror de att eleverna har svårare med den abstrakta uppgiften eftersom de måste kunna multiplikationstabellen och eventuellt algoritm. När det gäller gymnasiepedagogernas motiveringar kan vi alltså se att deras bedömning överensstämmer med pedagogerna för år 3, 6 och 9, alltså att den konkreta uppgiften bör vara lättast och den abstrakta svårast..

(19) 15. Jämförelse i intresse mellan de olika åldergrupperna 100% 80% 60% 40% 20% 0% år3. år6 Roligt. år9 Neutral. år 3 på gymnasiet. Tråkigt. Figur3. Diagrammet visar intressefördelningen i de olika åldersgrupperna. Andelen elever som tycker att matematik är roligt ökar fram till och med år 9. I år 3 på gymnasiet har andelen elever som tycker att matematik är roligt halverats. Andelen elever som ställer sig neutrala till matematik är i år 3, 50 % och i år 3 på gymnasiet 80 %. I år 9 är det endast 40 % som förhåller sig neutrala till matematik. Överlag är det få elever som tycker att matematik är tråkigt. Flera elever i år 3 och 6 som är neutrala till matematik, motiverar sitt val med att ämnet ibland är roligt och ibland tråkigt. Elevernas bedömning av uppgifterna utifrån intresse. 100% 80% 60% 40% 20% 0% Uppgift A Uppgift B Uppgift C Uppgift A Uppgift B Uppgift C svårast svårast svårast lättast lättast lättast Roligt. neutral. Tråkigt. Figur4. Diagrammet visar hur det totala antalet elever bedömer uppgifterna utifrån sitt intresse för matematik. Övervägande delen av de elever som tycker att matematik är roligt (75 %) tycker att den abstrakta uppgiften (uppgift C) är svårast..

(20) 16. Bedömning av uppgifterna utifrån intresse 100% 80% 60% 40% 20% 0% Uppgift A Uppgift B Uppgift C Uppgift A Uppgift B Uppgift C svårast svårast svårast lättast lättast lättast Elever år 3 Roligt. Neutral. Tråkigt. Figur5. Diagrammet visar hur eleverna i år 3 har bedömt uppgifterna utifrån sitt intresse för matematik. Alla eleverna i år 3 som tycker att det är roligt med matematik har bedömt den abstrakta uppgiften som svårast. Bedömning av uppgifterna utifrån intresse 100% 80% 60% 40% 20% 0% Uppgift A Uppgift B Uppgift C Uppgift A Uppgift B Uppgift C svårast svårast svårast lättast lättast lättast Elever år 6 Roligt. Neutral. Tråkigt. Figur6. Diagrammet visar hur eleverna i år 6 har bedömt uppgifterna utifrån sitt intresse för matematik. Även i år 6 har de elever som tycker matematik är roligt bedömt den abstrakta uppgiften som svårast..

(21) 17. Bedömning av uppgifterna utifrån intresse 100% 80% 60% 40% 20% 0% Uppgift A Uppgift B Uppgift C Uppgift A Uppgift B Uppgift C svårast svårast svårast lättast lättast lättast Elever år 9 Roligt. Neutral. Tråkigt. Figur7. Diagrammet visar hur eleverna i år 9 har bedömt uppgifterna utifrån sitt intresse för matematik. Eleverna i år 9 har bedömt den abstrakta uppgiften som svårast. Bedömning av uppgifterna utifrån intresse 100% 80% 60% 40% 20% 0% Uppgift A Uppgift B Uppgift C Uppgift A Uppgift B Uppgift C svårast svårast svårast lättast lättast lättast Elever år 3 gymnsaiet Roligt. Neutral. Tråkigt. Figur8. Diagrammet visar hur eleverna i år 3 gymnasiet har bedömt uppgifterna utifrån sitt intresse för matematik. Eleverna på gymnasiet har bedömt den konkreta uppgiften som svårast..

(22) 18. Diskussion Validitet/Reliabilitet Vår avsikt är att mäta elevernas upplevelse av matematik i avseende på lätt och svårt relaterat till vår definition av abstrakt och konkret. Instrumentet vi konstruerar är enkätfrågor som har begreppsbildningen enligt rekapitulationstesen som grund. Mätningen mynnar ut i en statistisk sammanställning där kärnan är en matris innehållande rangkorrelationerna mellan alla grupper som vi genomför undersökningen på. Ur Matrisen kan vi utläsa tydliga samband som vi presenterar i grafisk form. Vår bedömning är att konstruktionen kan ses som ett väl fungerande instrument för mätning av sambandet mellan eleverna och pedagogerna, som mäter rangkorrelationen mellan grupperna och visar på tydliga samband. Noggrannheten kan förbättras genom att införa fler uppgifter i enkäten, men det kan i sin tur medföra att det blir svårt för eleverna att sortera uppgifterna i en inbördes ordning. Många av eleverna och pedagogerna tvekar, då de ska sortera ekvationen och de negativa talen, vilket kan tyda på att nivåskillnaden inte är tillräckligt stor, mellan dessa två uppgifter. I vissa fall så lämnar vi ut enkäten till pedagogerna för att de på egen hand ska svara på frågorna, vilket påverkar undersökningen, eftersom de då kan diskutera frågorna, och svara likartat. Dessutom kan de då ha tid att diskutera med eleverna. Undersökningen kan göras bättre genom att man försöker separera eleverna och pedagogerna vid undersökningstillfället så att inte yttre påverkan sker. Då enkäten genomförs så provar en del elever att lösa den praktiska uppgiften, och andra gör det inte, dessutom så tar vissa längre tid på sig, vilket medför att bedömningen kan påverkas av dessa faktorer. När en gymnasieelev svarar att det praktiska materialet upplevs som svårt, så kan det vara så att eleven egentligen menar att det praktiska materialet är tråkigt, eftersom det innebär en läsuppgift. Eller så är det helt enkelt så, att de känner sig mer bekant med de negativa talen och ekvationen i enkäten. Bland elevernas motiveringar så finns det svar ifrån elever som tyder på att eleverna känner sig bekant med negativa tal och ekvationer, men vi kan inte avgöra vad eleverna egentligen avser med sina svar, då dessa rangordnar det konkreta som svårast, och vad den verkliga anledningen är till denna ordning. Undersökningen kan generaliseras, eftersom sambanden tror vi gäller generellt för elever som har undervisning som bedrivs på samma sätt som i undersökningsgruppen. Mätinstrumentet är konstruerat med tre frågor, där nivån av abstraktion går från det konkreta materialet med stavarna som stöd till läsuppgiften, fram till det abstrakta, med negativa tal för de senare åren och gymnasieskolan. Samma princip följer de övriga enkäterna för tidigare åren, men med en anpassning för kunskapsnivån, där vi ersätter de negativa talen med en enkel multiplikations uppgift med siffror. För de senare åren och gymnasieskolan så utgår vi ifrån att de negativa talen kommer senare än den symboliska abstraktionen enligt Thompson (1996), vilket följer med rekapitulationstesen. När vi översätter detta till de tidigare åren och år 6, så gör vi en bedömning att läs talet är mer konkret än multiplikationen. Vi förlitar oss till våra kunskaper och gör en rimlig bedömning, för att få en skillnad i abstraktion enligt den matematiska historien. Om våra bedömningar är felaktiga och nivåerna inte ökar i samma grad för de tidigare åren och år 6, som för de senare åren och gymnasiet så påverkas resultatet och undersökningens noggrannhet samt tillförlitlighet..

(23) 19 Den mest abstrakta nivån och den mittersta nivån för samtliga grupper följer rekapitulationstesen men det konkreta materialet ses som mest konkret enligt definitionen ifrån ordboken, där abstrakt definieras som något som inte kan uppfattas med sinnena utan endast i tanken eller fantasin. Med konkret menar vi något som direkt kan uppfattas med sinnena och i princip beröras (Norstedts svenska ordbok, 2003). I detta fall konstruerar vi uppgifterna enligt två definitioner av det abstrakta och konkreta, dels vår egen definition där vi utgår ifrån rekapitulationstesen, samt dels definitionen ifrån ordboken, vilket också påverkar undersökningens tillförlitlighet.. Resultatdiskussion Vi anser att vi uppnått syftet med arbetet som var att beskriva elevers upplevelser av matematik med avseende på ålder, intresse, förståelse samt pedagogernas kunskap om elevernas förståelse. Vi valde att göra en kvantitativ undersökning med enkäter som grund och med tyngdpunkten på statistisk analys av resultatet. Vi tycker att vi i stort fått ett intressant resultat och vi avser här nedan att diskutera, analysera och dra slutsatser av detta. Vår diskussion läggs upp med utgångspunkt från de olika åldergrupperna för att sedan avslutas med en jämförande analys mellan dem. År 3 och år 6, grundskolan. När det gäller elevernas förståelse av matematik som hänger ihop med svårighetsgrad och abstraktionsnivå, så tror vi att resultatet betyder att deras upplevelser av matematik har en stark verklighetsförankring. Resultatet är ingen direkt överraskning eftersom vi vet att eleverna använder matematiken i det vardagliga, konkreta, och deras kunskaper bygger på erfarenheter och upplevelser från vardagsliv och förskola. Vår kunskap från litteraturen, bland annat enligt Ahlberg (1995), är ju att barnens inträde i matematikens värld sker redan i mycket tidig ålder. De små barnen lägger märke till handlingar som de själva eller andra utför med föremål i omgivningen och uppfattar på så sätt minskning, ökning och delning. Just detta, att barnens kunskap är intuitiv och erfarenhetsbunden gör att sättet att räkna skiljer sig från den formella matematiken som är uppbyggd på skriftliga symboler, räkneprocedurer och abstrakt tänkande. Det är viktigt att eleverna möter en matematik som knyter an till deras egen erfarenhetsvärld. På så vis kan de utveckla tilltro till sitt eget tänkande och matematiska kunnande. Många av eleverna som tyckte att den mest abstrakta uppgiften var svårast, uttryckte räknesättet multiplikation som jobbigt och svårt, vilket får oss att minnas Ahlbergs (2000) resonemang om att de matematiska symbolerna måste kopplas till elevernas eget språk för att de ska få en innebörd. Symbolerna måste föras in i undervisningen med varsamhet och när eleverna kan koppla matematiken till sitt eget sätt att tänka ökar deras möjligheter att skapa innebörd i matematikens begrepp och symboler. De egna erfarenheter vi har från våra olika verksamhetsförlagda utbildningar samt arbetslivserfarenhet från de lägre åren i grundskolan, säger oss att eleverna alltmer får arbeta med konkreta material, främst i matematik men även i andra ämnen. De har tillgång till olika relationsmaterial, spel med mera. På många skolor utgörs undervisningen av ett tematiskt arbetssätt där matematiken ingår som ett av redskapen för eleverna då de söker kunskap om en större helhet, exempelvis temat trafik eller människokroppen. Den nationella kvalitetsgranskningen i matematik (Skolverket,2003) nämner att det finns en märkbar kulturskillnad mellan de tidigare och senare skolåren i olika avseenden. I förskoleklassen och de tidigare skolåren tas en naturlig utgångspunkt i elevernas intressen, omvärld samt i.

(24) 20 läroplanens övergripande mål. Författarna menar att man ser till hela eleven på ett uttalat sätt som inte existerar i grundskolans senare år och på gymnasieskolan. Vi noterade att många av eleverna uttryckte sig igenkännande om det konkreta materialet, Cuisinairestavarna, under vår undersökning. Det tycker vi visar på, att dessa elever i alla fall har någon sorts erfarenhet, av att arbeta konkret med matematik. Enligt våra erfarenheter, är Cuisinairestavarna ett alldeles utmärkt material, som man kan använda redan med förskolebarn. Materialet används för att jämföra relationer och man använder endast enkla och konkreta begrepp, exempelvis dubbelt/hälften så stor, lika stor/liten och så vidare. Ett material som utgår från det mycket konkreta men som så småningom kan vara en bro på vägen mot att skapa en förståelse för de abstrakta symbolerna. Att eleverna kände igen materialet kan dock vara en faktor som påverkat vårt resultat. Om man har vana av att arbeta med ett material så kan det upplevas som lätt. Detta kan då ställas i relation till att en del elever motiverade den abstrakta uppgiften som svår då de inte räknat den sortens uppgifter tidigare, det vill säga de hade ingen erfarenhet av just sådana uppgifter. Att pedagogerna vet hur elevernas förståelse ser ut är viktigt enligt bland annat den nationella kvalitetsgranskningen (Skolverket, 2003). I undersökningen framkom att pedagogens betydelse är avgörande för elevernas motivation, inspiration och kunskapsförmedling. Vi tycker därför att det var ett positivt resultat för dessa elever att pedagogerna känner sina elever väl. Pedagogerna har, enligt vår mening, en bra utgångspunkt när de ska utforma och anpassa undervisningen efter elevernas erfarenheter, kunskaper och behov. Pedagogerna är också medvetna om att elevernas svårigheter ligger i att använda multiplikationstabellen och eventuellt även vilken algoritm de ska använda sig av. Detta är värdefull information som pedagogerna har att utgå ifrån. Det gäller förstås att de använder sina kunskaper för att ge eleverna en så god undervisning som möjligt. Vi anser att man som pedagog måste bygga på elevernas erfarenhet i hög grad och finner stöd för detta i den nationella kvalitetsgranskningen (Skolverket 2003), där man sammanfattningsvis lyfter fram en rad punkter, som anses kunna förbättra utbildningskvaliteten. Man efterlyser en mer varierad undervisning som präglas av större flexibilitet och bättre anpassning till olika elevers/elevgruppers verkliga förkunskaper, förförståelse, intresse och studieinriktning. Vidare behövs ett relevant och begripligt innehåll med större utrymme för fantasi, kreativitet och nyfikenhet. Utmanade uppgifter, fler inslag av praktiska tillämpningar och konkreta upplevelser av den abstrakta matematiken är också viktiga, enligt författarna. Pedagogens ansvar är också tydligt beskrivet i de av regeringen fastslagna riktlinjerna; ”Läraren skall utgå från varje individs behov, förutsättningar, erfarenheter och tänkande, stärka elevernas vilja att lära och elevens tillit till den egna förmågan,” (Utbildningsdepartementet, 1999 s. 14). I den nationella kvalitetsgranskningen (Skolverket, 2003) uttrycker författarna vidare att man relativt tidigt, kan märka skillnader mellan de som inte lyckats förstå matematik och de som upplever spännande utmaningar när uppgifterna blir svårare. De menar att dessa skillnader blir tydliga vid skolår 4-5 för att sedan förstärkas under resten av skoltiden. När det gäller elevernas motiveringar om intresset för matematik i vår undersökning, minns vi att ett fåtal av eleverna i år 6 efterlyser fler utmanande uppgifter i matematik, vilket stämmer överens med Skolverkets granskning. När det gäller förståelsen, kan vi, vid en jämförelse mellan år 3 och år 6 inte se några stora skillnader mellan åldergrupperna. Inte heller när det gäller intresset kan vi märka att någon större skillnad mellan åldersgrupperna. Man kan tänka sig att fler elever i år 6 än i år 3 skulle tycka att matematik är tråkigt om de inte förstår uppgifterna. Istället är det inga elever som tycker matematik är tråkigt i år 6 jämfört med 20 % i år 3. Däremot kan man undra varför det i år 6 är så många fler som ställer sig neutrala till.

No results found