Vad finns det för värden i matematikböcker? : En analys av värden förmedlade i läromedel för gymnasieskolans kurs i matematik A

Full text

(1)Linköpings universitet Lärarprogrammet. David Pettersson. Vad finns det för värden i matematikböcker? En analys av värden förmedlade i läromedel för gymnasieskolans kurs i matematik A.. Examensarbete 10 poäng LIU-LÄR-L-EX--05/168--SE. Handledare: Maria Bjerneby Häll Matematiska institutionen.

(2) 2.

(3) `ba c

(4) )E-d& egfKf$R*h,Te%hieHT.

(5)

(6)

(7)

(8)

(9) "!$#%&('*),+ -./&0!1243%576893%57:<;7=*3>:@?A;(57:B57CD5E:BFG?H61? I:B?A=KJKLA:B?HM$;NCH?H:@OK6PE;7:Q5E65 RKSHTUSKV9WYX[Z\]^AX[Z_. jk

(10) l*mHn oD),!*p"q%),p"& OG61?A;7=%3$s rDt 6uD:@;7v Xr. wba kkxAl*1,yzk {&0'g"+-

(11) |()E-&(p""+} 3g861?A;E3gPE6576 X ~ h CHLALA;73g5E; X. j> j w LIU-LÄR-L-EX--05/168--SE j$l% $ Y$l% zcc$l j

(12) j -&,Hd&0+ &07#%!1q*.g&0+ !*p. w l $nz1l% 1n$l%

(13) 3KubA?A?A;uD615/JKP/O%gP,uD61? :z893%5E61893%5E:B=J,=G61P" ¢¡ ~ ?£3K?A3g¤@¥D;3*OO*KPEuH61?bJKPE8>6uD¤<3KuD6¦:¤<gPEFK86uD6¤JKP MK¥8?A3G;(:@6;7=KFG¤@3K?A;Y=CHP,;N:893%5E61893%5E:B=b§©¨ -&ª),q*&0!¦«1¬z&0*®¦q*'*'g&0+d&0|0"!*%),+}¦|®*1".)E-d®&(.)E-|0z-d&i¯1-dg1"° ±/ l a 1 a l%b² 3*O:@u ³6575761P,;E;(FG? ´ q-®*"+ j a cc a da 1

(14)

(15) ´ * -+),|0µ

(16) uD6?H?A3¦CHLHL;73g5E;;(57CAuD6PE3G;JKPE61=KFG89;05E61?¶3*O·O%KPEuD6?¶:DMG61FG8>6157PE:B=%3KLH:Q5E61¤:H¤<gPEFK86uH61¤$JKPMK¥8?A3G;(:@6;7=KFG¤@3K?A;243%576893%57:@=¸§¸¨ ?©865EFu©A3K;761P,3Ku¢LA¹/:@?H?H6vA¹g¤@¤@;E3g?3g¤@¥;;(FG8º3K?$O%K?G5,;z:K6?·57:<uD:@MG3KP76»;(57CAuH:B6»FG8¼JGP76=KFG8;(53*O½O%KPEuD6?·:G3K¤BMG61HP,3g=%3gLA:Q5E61¤gvA3KP O~$:<uH3KP76CD57OG6,=¤@3g5E;¨ r 3g8893g?H¤<3gMK5¾ RKR CALHLHMK:B[576P:DMK6FK865EP7:@=%3gLH:B57¤@61?¶:618¿FG¤B:@=%3½¤<gPEFKJD,=K61PvA3gP3K?A3g¤@¥D;(6PE3g5E;¨À/6;(CA¤Q5,3%57615 O$:<;E3gPULA¹ 61?Á;7=$:@¤@¤B?A3Gu486¤B¤<3g?Â:B?$5E61?$57:@FK?H6P7?3:»MG¥8>?3K;7:B6;(=GFK¤<3g?A;¢;050¥P,uDFK=CH861?$5UFD,vÂuD615©CD57PE¥88>6FG¤B:@=%3bO%KPEuD6?ÃMG6;¨ Ä OG61?Å;(=:@¤B¤@?A3KuH61P/861¤@¤@3K? uH65CD5EP7¥886©;05ECAuD61P,3KuH6¦¤<gPEFK86uD61¤ÆMK6P¹%5/FK¤@:@=*3>O%gP,uD6?bvA3KP/LA¹*O:@;E3%5,;1¨. ÅynAl% MG61FK86157PE::@?H?H6vA¹g¤@¤<;73K?A3g¤@¥D;1Ç¤<gPEFK86uD6¤ÇD893g5761893g57:@=$CA?AuD61PEO:@;7?H:@?HMAÇO%gP,uD6? È&i}¬z"+ *p"&0"./&0-+}1#*|("!-&(!-),!*), }7#*.)E-®*&0.)E-|(z-&(),|®*!*p*#%-&i¯-g"°17#%,),q*&0.

(17) 4.

(18) Sammanfattning I denna uppsats studeras förekomsten av värden i geometrikapitel i läromedel för gymnasieskolans Matematik A. En metod baserad på innehållsanalys som använts i en tidigare studie om förekomst av värden i algebrakapitel har vidareutvecklats. Sammanlagt 955 uppgifter i geometrikapitlen i fem olika läroböcker har analyserats. Resultatet visar på en skillnad mellan intentionerna i gymnasieskolans styrdokument och det utrymme olika värden ges. Även skillnader mellan det utrymme studerade läromedel ger åt olika värden har påvisats.. Tackord Först vill jag tacka min fru Ingela och mina barn Benjamin och Hanna som uthålligt visat sitt tålamod med mitt ständiga studerande. Ett stort tack även till min handledare Maria Bjerneby Häll för värdefulla kommentarer och mycket uppmuntran. Tack!. 5.

(19) 6.

(20) Innehåll 1 Bakgrund. 11. 1.1. Motiv till studien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. 1.2. Tidigare undersökningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. 1.3. Styrdokumentens syn på matematikämnet . . . . . . . . . . 13. 2 Syfte. 15. 3 Presentation av böcker. 17. 3.1. Matematik 3000, grundbok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. 3.2. Matematik 3000, programbok — Hotell och restaurang, Livsmedel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. 3.3. Exponent A, Grön . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. 3.4. Exponent A, Blå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. 3.5. Matematik från A till E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. 4 Metod och genomförande. 21. 4.1. Innehållsanalys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. 4.2. Utveckling av kodningsinstruktioner . . . . . . . . . . . . . . 22. 4.3. Analysenheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. 4.4. Praktiska detaljer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24. 4.5. Reliabilitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24. 4.6. Validitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25. 5 Kodningsinstruktioner. 27. 5.1. Uppgiftsbeteckningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27. 5.2. Allmänna instruktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28. 5.3. Relevans←−−− −−−−→Teoretisk kunskap . . . . . . . . . . . . . 29. 5.4. 5.3.1. Relevans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29. 5.3.2. Teoretisk kunskap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31. 5.3.3. Kommentarer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. Tillgänglighet←−−−− −−−−−→Specialism . . . . . . . . . . . . . 33 7.

(21) 5.5. 5.4.1. Tillgänglighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 5.4.2. Specialism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 5.4.3. Uppgifter som kodats neutralt med avseende på Tillgänglighet och Specialism . . . . . . . . . . . . . . . .. 35. 5.4.4. Kommentarer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35. Beräkningar←−−−−−−−→Resonemang . . . . . . . . . . . . .. 37. 5.5.1. Beräkningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37. 5.5.2. Resonemang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38. 5.5.3. Uppgifter som kodats neutralt med avseende på Beräkningar och Resonemang . . . . . . . . . . . . . . .. 40. 5.5.4. Kommentarer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41. 6 Analysmodellen tillämpad på läroböckernas geometriavsnitt 6.1. 6.2. 6.3. Relevans←−−− −−−−→Teoretisk kunskap . . . . . . . . . . . . .. 43. 6.1.1. Alla uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43. 6.1.2. Övningsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. 6.1.3. Jämförelse med tidigare undersökningar . . . . . . .. 45. Tillgänglighet←−−−− −−−−−→Specialism . . . . . . . . . . . . .. 47. 6.2.1. Alla uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47. 6.2.2. Övningsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48. 6.2.3. Jämförelse med tidigare undersökningar . . . . . . .. 49. Beräkningar←−−−−−−−→Resonemang . . . . . . . . . . . . .. 50. 6.3.1. Alla uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50. 6.3.2. Övningsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51. 6.3.3. Jämförelse med tidigare undersökningar . . . . . . .. 52. 7 Jämförelse mellan läromedlen 7.1 7.2 7.3. 43. 55. Relevans←−−− −−−−→Teoretisk kunskap . . . . . . . . . . . . . Tillgänglighet←−−−− −−−−−→Specialism . . . . . . . . . . . . .. Beräkningar←−−−−−−−→Resonemang . . . . . . . . . . . . . 8. 56 57 58.

(22) 8 Diskussion. 61. 8.1. Metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61. 8.2. Resultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 8.2.1. Kodningsanvisningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62. 8.2.2. Förmedlade värden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62. 8.2.3. Skillnader mellan böckerna . . . . . . . . . . . . . . . 64. 8.3. Vilken nytta kan man ha av studien? . . . . . . . . . . . . . . 65. 8.4. Frågor för fortsatt forskning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66. A Ordlista. 67. 9.

(23) 10.

(24) 1 Bakgrund Här presenteras vad som motiverat mig till att göra denna studie, följt av en kort redogörelse för tidigare liknande undersökningar. Bakgrunden avslutas med en snabb genomgång av styrdokumentens syn på matematik.. 1.1 Motiv till studien När man lär sig ett ämne lär man sig inte bara ämnets innehåll utan man får även en bild av vad ämnet är och hur ämnet “känns”. För den som, likt mig, läser till matematiklärare är det viktigt att veta hur undervisningen färgar elevernas bild av matematikämnet. Påverkan kan komma från flera olika källor, som t.ex lärarens undervisning, böckernas genomgångar, illustrationer och uppgifter samt klasskompisars attityder. En viktig källa till vår bild av matematikämnet är läroböcker i ämnet. Nationella kvalitetsgranskningar visar att läroböcker i själva verket styr matematikundervisningen i större utsträckning än vad de gör i andra skolämnen (Skolverket 2003).. 1.2 Tidigare undersökningar Det har förekommit ett antal undersökningar om vilken bild av matematiken som matematikläromedel förmedlar. Här följer en kort redogörelse för två av dessa. För en bild av vad som gjorts inom området hänvisas till Seah och Bishop (2000). Seah och Bishop (2000) har försökt mäta i vilken grad olika värden förmedlas av matematikböcker för första och andra klass i secondary school1 i Singapore och i den australiensiska delstaten Victoria. Begreppet värden står för känslomässiga variabler, t.ex trosföreställningar och attityder. De värden som vi omfattar påverkar det sätt vi uppfattar världen (Seah och Bishop 2000). De värden som Seah och Bishop (2000) letat efter är dels inommatematiska värden (Mathematical values), dels Värden i matematikutbildningen specifikt (Mathematics educational values)2 . De inommatematiska värdena berörs inte i detta arbete. 1. Eleverna börjar i secondary school vid 11 års ålder. Översättningar av termer från engelska till svenska i detta arbete är hämtade från (Karlsson 2005) där inget annat anges. 2. 11.

(25) Relevans←−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→Teoretisk kunskap (Relevance). (Theoretical). Tillgänglighet←−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→Specialism. (Accessibility). (Specialism). Beräkningar←−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→Resonemang (Evaluating). (Reasoning). Figur 1.1: Tre kontinuum av värden som beskriver hur matematiken uppfattas. Fritt efter Karlsson (2005). Värden i matematikundervisningen specifikt som beskrivs av Seah och Bishop (2000) består av tio olika värdekluster. Dessa värdekluster ordnar parvis in sig som ändpunkterna i fem värdekontinuum. Två av dessa kontinuum är relaterade till synen på matematikundervisningen, dessa är kontinuumet mellan Formalism (Formalism) och Aktivism (Activism) samt mellan Instrumentell (Instrumental) och Relationell (Relational). Vi skall inte gå in närmare på dessa två värdepar. De tre övriga värdekontinuumen relaterar till hur matematiken uppfattas och ger vardera svar på en av frågorna Vad?, Vem? och Varför? (Seah och Bishop 2000). Vad är då matematik? Matematiken kan uppfattas som ett verktyg att använda i olika sammanhang. Den motsatta uppfattningen är att matematiken är en teoretisk konstruktion utan koppling till världen utanför. Seah och Bishop (2000) betecknar det tidigare synsättet Relevans (Relevance) och det senare Teoretisk kunskap (Theoretical). Vem är då matematiken till för och vem klarar av att lära sig matematik? Synsättet att matematik är något för alla benämns Tillgänglighet (Accessibility) och det motsatta synsättet, att matematik är något ett fåtal kan ta till sig, Specialism (Specialism) (Seah och Bishop 2000). Varför lär man sig matematik? Matematiken kan å ena sidan ses som ett antal metoder för att lösa ett antal olika problem och å andra sidan som ett hjälpmedel för kommunikation och resonemang. Seah och Bishop (2000) benämner det första synsättet Beräkningar (Evaluation) och det andra Resonemang (Reasoning). Vid studiet av textmaterial i böckerna fann man, både när det gäller läromedel från Singapore och Victoria, en liten övervikt för Teoretisk kunskap över Relevans och stor övervikt för Specialism över Tillgänglighet och Beräkning över Resonemang (Seah och Bishop 2000). Karlsson (2005) har med hjälp av Seah och Bishops (2000) analysmodell 12.

(26) försökt att mäta vilka värden som förmedlas av svenska matematikböckers övningsuppgifter. Karlsson (2005) har studerat algebraavsnittet i tre olika svenska läroböcker för gymnasiets kurs Matematik A, nämligen Nya Delta, Matematik 30003 samt Matematik från A till E. Resultaten från Karlssons (2005) studie är liknande de från Seah och Bishops (2000). Både Seah och Bishop (2000) och Karlsson (2005) har analyserat valda delar ur läromedlen. Seah och Bishop (2000) har delat in böckerna efter innehåll och valt de två innehållsliga delar som sammanlagt tar upp störst antal sidor i böckerna. Detta gjorde att man analyserade avsnitt som tog upp “frekvens, andel och procent”, samt “area, omkrets och volym”. I undersökningen analyserades hela texten men inte bilder, layout mm. Karlsson (2005) valde ut böckernas algebrakapitel eftersom algebra ofta upplevs som svår och för att hon anar en föreställning om att algebran är objektiv och neutral. Det är mig okänt om någon förutom Karlsson (2005) har studerat förekomst av värden i svenska läromedel i matematik vilket gör att endast mycket sparsam kunskap om området finns tillgänglig. Det skulle trots allt kunna vara så att de algebraavsnitt som Karlsson (2005) studerat förmedlar andra värden än avsnitten om geometri i samma böcker. Karlsson (2005) hävdar i sin metoddiskussion att för “en fullständig analys av värden i matematikläroböcker skulle instrumentet behöva testas på andra områden, i andra läroböcker och i andra matematikkurser och årskurser” (Karlsson 2005, s 43). Dessutom har endast övningsuppgifter4 analyserats i arbetet, vilket givetvis endast ger en bild av vilka värden som förmedlas genom dessa. Vidare har Karlsson (2005) redovisat de tre böckerna samlat utan att göra en jämförelse mellan dem.. 1.3 Styrdokumentens syn på matematikämnet Lpf 94 framhåller matematikens Relevans genom målet att alla elever efter slutfört gymnasieprogram ska kunna “formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för yrkes- och vardagsliv” (Skolverket 1994, under Mål att uppnå). Det närmaste stödet för tanken att matematik är en Teoretisk kunskap i läroplanen eller ämnes- och kursmål som jag funnit är målet att eleverna ska “erfara något av matematikens skönhet och logik” (Skolverket 2000a). 3. Version avsedd för estetiskt och samhällsvetenskapligt program. Jag går här inte in närmare på vilka uppgifter i de olika böckerna som faller under denna kategori utan hänvisar till källan. 4. 13.

(27) I Skolverkets ämnesmål för matematik framförs att eleverna ska utveckla en förmåga att “tolka, förklara och använda matematikens språk, symboler, metoder, begrepp och uttrycksformer” (Skolverket 2000a). Detta kan ses som ett uttryck för Specialism eftersom det är matematikspecialistens vokabulär som eleverna ska lära sig. Tydligare märks dock Tillgänglighet eftersom skolan ska sträva efter att alla elever “utvecklar sin tilltro till den egna förmågan att lära sig mera matematik”. Resonemang visar sig i Skolverkets ämnesmål för matematik under flera punkter. T.ex ska eleverna utveckla en förmåga att “följa och föra matematiska resonemang” (Skolverket 2000a). Betygskriterierna för Matematik A kräver dessutom för betyget Godkänd att eleven kan genomföra skriftliga och muntliga resonemang (Skolverket 2000b). Det som syns av Beräkningar i betygskriteriet för Godkänd i matematik A är att eleven ska kunna använda lämpliga metoder och kunna utföra beräkningar för att nå betyget Godkänd (Skolverket 2000b). Liknande tankar finns även i ämnesmålen (Skolverket 2000a). Sammanfattningsvis kan man säga att även om värdena Teoretisk kunskap, Specialism och Beräkningar finns i styrdokumenten så ligger betoningen på Relevans, Tillgänglighet och Resonemang.. 14.

(28) 2 Syfte Det är, som påpekats i föregående avsnitt, viktigt att veta hur undervisningen färgar elevernas syn på matematikämnet. Att reda ut hur alla olika källor påverkar eleverna är en allt för omfattande uppgift för detta arbete, varför jag valt att begränsa mig till att undersöka vilka värden läromedlen förmedlar genom uppgifterna. För att begränsa studien ytterligare kommer endast vilka värden som förmedlas att studeras, inte hur eller i vilken grad eleverna blir påverkade av dessa. Jag begränsar dessutom studien till att enbart omfatta de “värden i matematikundervisningen specifikt” som berör hur matematiken uppfattas. Endast böckernas geometrikapitel har att studerats eftersom det inte fanns tid till att analysera alla uppgifter i böckerna. Valet av geometri beror på att geometri och statistik är de delar av Matematik A som jag uppfattar vara mest olika kursens algebrainnehåll. Det är av intresse att veta om det finns någon skillnad mellan olika kapitel i läroböckerna och om det finns någon skillnad mellan olika läroböcker. Den metod som Karlsson (2005) utvecklat och använt sig av behöver utvecklas ytterligare för att bli mer lättanvänd och för att ge mer utförlig information om de uppgifter som analyseras. De frågor jag har ställt mig inför studien är: • Hur kan Karlssons (2005) metod utvecklas och anpassas till analys av geometriuppgifter? • Förmedlas de olika värdena i samma grad i geometrikapitlen som Karlsson (2005) fann att de gjorde i algebrakapitlen? • Är det samma värden som dominerar i olika läromedel?. 15.

(29) Disposition I avsnitt 3 ges en kortfattad presentation av de böcker som ingår i studien och i avsnitt 4 beskrivs den metod som har använts och hur arbetet genomförts. I avsnitt 5, 6 och 7 finns resultaten från studien. Avsnitt 5 innehåller en redogörelse för de kodningsinstruktioner som utvecklats och använts i arbetet. Avsnitt 6 är en redovisning av hur frekvent de olika värdena förekommer och avsnitt 7 ger en jämförelse mellan de olika läromedlen. Till sist följer en diskussion om metod, resultat och frågor för vidare forskning i avsnitt 8.. 16.

(30) 3 Presentation av böcker Här ges en kortfattad introduktion till böckerna. Det som redovisas är böckernas målgrupp, disposition samt vilka uppgifter som är att betrakta som övningsuppgifter. Målgruppen är den som framgår av baksidetext, inledning eller motsvarande. I redovisningen av undersökningens resultat kommer vi att skilja på övningsuppgifter och övriga uppgifter. Eftersom Karlsson (2005) enbart kodat övningsuppgifter ger detta en större reliabilitet vid jämförelse med hennes resultat. Karlsson (2005) har för varje bok angett vilka uppgifter som analyserats istället för att ge en definition av vad som utgör en övningsuppgift. För varje bok har jag därför valt ut vilka av uppgifterna som skall betraktas som övningsuppgifter baserat på det urval Karlsson (2005) har gjort och anger detta urval i samband med bokpresentationerna nedan.. 3.1 Matematik 3000, grundbok Bokens målgrupp är elever på yrkesförberedande program, Samhällsvetenskapsprogrammet och Estetiska programmet. För de olika programmen finns dessutom komplettering- eller programböcker som är tänkta att användas tillsammans med grundboken. Boken är indelad i sex kapitel med följande rubriker “Att arbeta med tal”, “Procent”, “Statistik”, “Ekvationer och formler”, “Geometri” samt “Grafer och funktioner”. Kapitel 5 “Geometri” inleds med en “Inledande aktivitet” följt av avsnitt med genomgångar: “Areor och volymer”, “Vinklar”, “Skala”, “Pythagoras sats och kvadratrötter” samt “Geometri i konst och natur” Avsnitten är indelade i underavsnitt bestående av genomgångar, lösta exempel och uppgifter. Uppgiftsavsnitten inleds i de flesta fall med några uppgifter under rubriken “Kan du det här?”. Dessa uppgifter testar att eleven förstått genomgången och följs av några uppgifter eleven skall göra om inte ett visst antal rätt uppnåtts på de förstnämnda uppgifterna. Därefter följer ytterligare uppgifter på vad boken kallar A-nivå. I somliga avsnitt finns dessutom några uppgifter efter uppmaningen “Lös så många uppgifter som möjligt.” I slutet av avsnittet om Pythagoras sats finns en sida med historisk information om Pythagoras. 17.

(31) Efter det sista avsnittet med genomgångar följer fyra aktiviteter, “Hemuppgifter”, och “Sammanfattning”. Kapitlet avslutas med avsnitten “Problemlösning”, “Blandade övningar” och “Arbeta utan räknare”. Som övningsuppgifter betraktas i detta arbete endast uppgifter på A-nivå samt uppgifterna som följer efter uppmaningen “Lös så många uppgifter du kan.” Totalt innehåller kapitlet 280 uppgifter varav 129 är övningsuppgifter.. 3.2 Matematik 3000, programbok — Hotell och restaurang, Livsmedel Boken är avsedd som komplement till Matematik 3000, grundbok för de elever som läser på Hotell och restaurangprogrammet eller på Livsmedelsprogrammet. Boken är indelad i sex kapitel. Kapitelrubrikerna är samma som för Matematik 3000, grundbok. Kapitel 5 “Geometri” inleds med tre teman på varsitt uppslag: “Hotellets utbyggnad”, “Livsmedelsförpackningar” och “Kräftodling, dammar och diken”. Dessa avsnitt har en inledande presentation av temat följt av ett antal uppgifter. I det sista temat ges även tre lösta exempel. Dessa teman följs av tre fördjupningsavsnitt: “Cirkelsektor”, “Längd-, areaoch volymskala” samt “Problemlösning” innehållande genomgångar, lösta exempel och uppgifter. Kapitlet avslutas med “Blandade övningar” och “Uppgifter från Nationella prov för kurs A”. De blandade övningarna är indelade efter svårighet i A-, B- och C-nivå. Som övningsuppgifter betraktas uppgifter i temaavsnitten samt uppgifter i “Blandade övningar”. De sistnämnda betraktas som övningsuppgifter eftersom de närmast motsvaras av de uppgifter på A-, B- och C-nivå i Matematik 3000, lärobok SP/ES som ingick i Karlssons (2005) undersökning. Totalt innehåller kapitlet 88 uppgifter varav 58 övningsuppgifter.. 3.3 Exponent A, Grön Bokens målgrupp är elever som tänkt att endast läsa A-kursen i matematik. 18.

(32) Boken är indelad i sex kapitel med följande rubriker: “Tal”, “Procent, promille och ppm”, “Statistik”, “Uttryck, formler och ekvationer”, “Geometri” samt “Funktioner”. Kapitel 5 “Geometri” inleds med en kort historisk notis om geometrins ursprung. Därefter följer fem avsnitt med genomgångar: “Vinklar och sträckor”, “Omkrets och area”, “Kvadratrötter och Pythagoras sats”, “Volym och begränsningsyta” samt “Geometri i natur, konst och arkitektur”. Dessa avsnitt är indelade i underavsnitt med genomgångar, lösta exempel och uppgifter. Uppgifterna är indelade i tre svårighetsgrader, markerade med ingen, en eller två trianglar framför uppgiften. Därefter följer uppgiftsavsnitten “Reflektera” och “Tester”. Boken avslutas med avsnitten “Sammanfattning”, “Blandade övningar” och “Utmaningar”. Som övningsuppgifter betraktas uppgifterna i de fem första avsnitten. Totalt innehåller kapitlet 198 uppgifter varav 110 är övningsuppgifter.. 3.4 Exponent A, Blå Boken vänder sig till elever som vill ha baskunskaper i A-kursen. Boken är indelad i sex kapitel med följande rubriker: “Tal”, “Procent”, “Statistik”, “Uttryck, formler och ekvationer”, “Geometri” samt “Koordinatsystem, grafer och funktioner”. Kapitel 5 “Geometri” inleds med ett exempel följt av fyra avsnitt med genomgångar: “Vinklar”, “Omkrets och area”, “Förminskning och förstoring”, samt “Volym”. Dessa avsnitt är indelade i underavsnitt innehållande genomgångar, lösta exempel och uppgifter under rubriken “Träning”. Uppgifter under rubriken “Hajaru?” finns i somliga av underavsnitten och är ett sätt för eleven att se att den hängt med så långt. Efter en del av avsnitten finns dessutom ett självtest under rubriken “Kvaltävling” och en “Utmaning” i form av en lite svårare uppgift. I ett av avsnitt finns en historisk notis om Archimedes. Kapitlet avslutas med “Sammanfattning” och “Blandade övningar”. Som övningsuppgifter betraktas uppgifterna under rubriken “Träning”. Totalt innehåller kapitlet 120 uppgifter varav 58 övningsuppgifter. 19.

(33) 3.5 Matematik från A till E Boken är den enda i undersökningen som riktar sig till alla elever på kurs A i matematik. Boken är indelad i nio kapitel med rubriker: “Numerisk räkning”, “Procent”, “Uttryck och ekvationer”, “Geometri”, “Funktioner”, “Statistik”, “Repetitionsuppgifter”, “Fördjupningsavsnitt” och “Laborationer”. Kapitel 4 “Geometri” inleds med ett avsnitt om π med betoning på detta tals historia följt av ytterligare tio avsnitt med genomgångar: “Area och omkrets”, “Enhetsbyte”, “Vinklar”, “Skala”, “Vilken är skalan?”, “Enheter och volym”, “Beräkning av volymer”, “Problemlösning med ekvationer” samt “Pythagoras sats”. Dessa avsnitt innehåller genomgångar, lösta exempel och uppgifter. Avsnittet “In English” innehåller uppgifter på engelska. Dessa uppgifter berör inte geometri. “NOG-uppgifter” innehåller uppgifter från högskoleprov. Kapitlet avslutas med en “Sammanfattning”, “Blandade uppgifter” och “Test”. De allra flesta av uppgifterna i testet finns som lösta exempel tidigare i boken. Utspridda på lite olika ställen i kapitlet finns uppgifter benämnda tankenötter. I geometrikapitlet hänvisas eleven till ett avsnitt vardera i kapitlen “Repetitionsuppgifter” och “Fördjupningsavsnitt”. Dessa båda avsnitt har därför tagits med i studien. Dessutom finns det laborationer, varav två berör geometri, i det sista kapitlet. Laborationerna har inte tagits med i undersökningen eftersom det inte hänvisas till dessa i geometrikapitlet. Som övningsuppgifter betraktas uppgifter i de elva första avsnitten förutom tankenötterna. Totalt innehåller kapitlet med tillhörande repetitionsuppgifter och fördjupningsavsnitt 269 uppgifter varav 126 övningsuppgifter.. 20.

(34) 4 Metod och genomförande Först ges en kortfattad introduktion till innehållsanalys med fokus på det som är relevant för detta arbete följt av en redogörelse för hur kodningsinstruktionerna utvecklats. Sedan förklaras den indelning i analysenheter som har gjorts följt av en del praktiska detaljer. De två sista avsnitten berör reliabilitet respektive validitet hos metoden.. 4.1 Innehållsanalys Enligt Boréus och Bergström (2005) används termen innehållsanalys “framför allt om analyser där tillvägagångssättet består i att kvantifiera, dvs. räkna förekomsten av eller mäta, vissa företeelser i texter” (Boréus och Bergström 2005, s. 43). Innehållsanalys används för att studera vad som finns i en text men kan inte visa hur en mottagare påverkas av texten (Neuman 2003). Enligt Neuman (2003) identifieras i innehållsanalys en eller flera av följande drag hos innehållet i en text: Frekvens, riktning, intensitet och utrymme5 . Frekvensen är antalet gånger någonting förekommer i texten. Riktning anger åt vilket håll någonting lutar, t.ex positivt eller negativt. Intensitet anger med vilken styrka riktningen visas i ett budskap. Utrymme anger hur stort utrymme som upptas av ett visst budskap eller ämne i texten. Utrymmet kan t.ex mätas i antal ord, sidor eller cm2 (Neuman 2003). Vidare så finns två huvudinriktningar av innehållsanalys, manifest respektive latent kodning. När manifest kodning används kodar man det på ytan synliga i en text. Det kan röra sig om hur många gånger ett ord förekommer. Manifest kodning kan göras med mycket god reliabilitet men har istället brister när det gäller validiteten. T.ex så kan ett ord betyda olika saker på olika ställen i texten, om man då kodar antal förekomster säger detta ingenting om vad ordet står för på de olika ställena (Neuman 2003). Latent kodning innebär att man noterar förekomster av det underliggande i en text (Neuman 2003). I detta arbete har t.ex antalet uppgifter där ett visst värde förmedlas noterats. Enligt Neuman (2003) är det svårare att genomföra latent kodning med god reliabilitet eftersom tolkningar måste göras och tolkningar ofta beror på den som tolkar. Validiteten kan dock bli bättre än vid manifest kodning 5. “Frequency”, “direction”, “intensity” och “space” (min översättning).. 21.

(35) Beräkningar. Resonemang. Figur 4.1: Kontinuumet mellan Beräkningar och Resonemang. Uppgifter som är i område I på skalan kodas till Beräkningar och uppgifter i område III till Resonemang. Uppgifter i område II kodas neutralt. eftersom hänsyn kan tas till det underförstådda och till det sammanhang texten finns i (Neuman 2003). Det är svårt att bearbeta hela texten på en gång varför denna delas in i analysenheter. Enligt Boréus och Bergström (2005) är en analysenhet en textenhet som behandlas separat. I likhet med Karlsson (2005) betraktar jag varje uppgift som en analysenhet och analyserar denna med hänsyn till det sammanhang den står i, se mer om indelningen i analysenheter i avsnitt 4.3. I detta arbete används alltså latent kodning för att komma åt vilka värden som förmedlas “mellan raderna” i läroböckernas uppgifter. Det som kodas är riktning och utrymme. Givet ett klusterpar förmedlar en uppgift värden som ligger någonstans på ett kontinuum mellan de båda klustren. Uppgiften kodas till det kluster som är närmast, dvs klustret i samma riktning från mitten av kontinuumet. Somliga uppgifter hamnar nära mitten av kontinuumet och kan därför vara svåra att koda till endera klustret. Dessa har jag därför valt att inte koda dessa uppgifter till något av klustren utan koda dessa neutralt, se figur 4.1. Utrymmet som ett visst kluster upptar räknas i antalet uppgifter som kodats till detta kluster. Skillnaden mot Karlssons (2005) metod är att hon kodat samtliga uppgifter till något av klustren medan jag kodat somliga uppgifter neutralt. Seah och Bishop (2000) har räknat hur många gånger värden hörande till de olika klustren förmedlas, dvs man har kodat frekvens och riktning.. 4.2 Utveckling av kodningsinstruktioner En del i detta arbete har bestått av att utveckla kodningsanvisningar eftersom det inte helt går att följa Karlssons (2005) anvisningar. Dels är Karlssons (2005) kodningsinstruktioner inte tillräckligt utförliga för att med enkelhet tolkas och dels är de framtagna med läroböckernas avsnitt om algebra i fokus, och det är inte säkert att de olika värdena visar sig på samma 22.

(36) sätt i alla avsnitt i läroböckerna. Då Karlsson (2005) i sin tur har tolkat hur Seah och Bishop (2000) har kodat6 har jag valt gå tillbaka till dessa då tveksamheter uppstår. Dessutom måste kodningen av en uppgift motsvara vilket värde som denna förmedlar vilket får vara det alla kodningsinstruktioner tolkas mot. I en första runda testades Karlssons (2005) kodningsinstruktioner för alla värdekluster på böckernas kapitel om procent. Detta för att träna in kodningsinstruktionerna utan att den inledande testkodningen skulle påverka den slutliga kodningen av de uppgifter som arbetet gäller, dvs uppgifterna i geometrikapitlen. Jag valde därefter att koncentrera mig på ett värdeklusterpar i taget. Efter att 186 uppgifter i geometrikapitlen kodats med avseende på ett värdekluster sågs kodningsinstruktionerna över. Speciell hänsyn togs vid översynen till uppgifter där kodningen markerats som tveksam. Vid det här laget hade jag fått en bild av på vilka sätt de olika värdeklustren visade sig. Därför delades uppgifterna in i olika underkategorier7 som fick bli en del av de nya kodningsinstruktionerna.. 4.3 Analysenheter Som tidigare nämnts är varje uppgift en analysenhet. I det fall tveksamhet uppstått om vad som utgör en uppgift, har jag betraktat den minsta enheten med en egen nummerbeteckning som en uppgift. När en grupp av uppgifter består av uppgifter markerade med bokstäver betraktas därför gruppen som en analysenhet. T.ex är följande en analysenhet: 1234 En cirkel har radie 5 mm. a) Beräkna cirkelns omkrets.. b) Beräkna cirkelns area.. 6. Seah och Bishop (2000) anger inte sina kodningsinstruktioner explicit utan förklarar endast hur olika värden oftast visat sig i olika läromedel samt ger exempel på hur olika uppgifter tolkats. Detta gör det omöjligt att veta exakt hur deras kodningsinstruktioner sett ut. 7 Ordet kategori ska i denna uppsats inte tolkas som att en uppgift enbart stämmer in på en beskrivning. Uppgifterna har däremot kodats efter vilken beskrivning som stämmer bäst och därmed enbart till en kategori. På så sätt har beskrivningarna av kategorierna blivit mindre omständliga.. 23.

(37) I grupper som har uppgifter markerade med siffror har uppgifterna behandlats som egna analysenheter. T.ex är följande två analysenheter: Aktivitet 5: Konservburken 1. Ange lämpliga mått för en cylinderformad konservburk. Burken ska rymma ungefär 1 dl. 2. Räkna ut burkens begränsningsarea. Jag har valt att göra på det sättet för att få en så konsekvent indelning som möjligt. Se även avsnitt 4.6.. 4.4 Praktiska detaljer Ett protokoll har tagits fram där kodningarna kan noteras. På varje rad i protokollet finns plats för sidnummer, uppgiftstyp, uppgiftsnummer, hur uppgiften kodats samt kommentarer. Om man kodar alla uppgifterna i en bok först, sedan alla i nästa bok, så kan det påverka reliabiliteten så att en jämförelse mellan böckerna blir meningslös. Även om man har bra kodningsinstruktioner finns risk att tolkningen av dessa kan påverkas med tiden. Därför har jag valt att koda endast några uppgifter ur en bok och sedan byta till nästa bok. Antalet uppgifter väljs till mellan två och tio beroende på bok på så sätt att den sista uppgiften i varje bok kodas samma runda. Totalt gås geometrikapitlen igenom på 30 rundor. Varje runda ändras den ordning böckerna kodas i cykliskt genom att boken som kodades först nästa runda kodas sist. För att kodningen med avseende på ett värdeklusterpar inte skulle påverka kodningarna av de andra noterades dessa i olika protokoll. Kodningen av varje värdeklusterpar kodades dessutom färdigt innan kodningen av nästa påbörjades.. 4.5 Reliabilitet Om man ska koda det som är underförstått i en text krävs att detta impliceras tydligt av texten. Annars kan man inte uppnå en god reliabilitet (Boréus och Bergström 2005). Det är därför viktigt att försöka undersöka hur god reliabiliteten är. För att förbättra reliabiliteten kan man träna de som kodar och använda skrivna kodningsinstruktioner (Neuman 2003). Träning och framtagande av instruktioner finns beskrivet i avsnitt 4.2. 24.

(38) Under pilotstudien gjordes en kontroll av hur god reliabilitet metoden ger. Denna utfördes under arbetet med det första klusterparet, Relevans och Teoretisk kunskap, genom att kodningarna från två olika kodningsomgångar där de första 186 uppgifterna analyserats jämfördes. Fem uppgifter hade kodats olika de båda gångerna. För tre av dessa hade kodningen ändrats pga att kodningsinstruktionerna förändrades något mellan gångerna. De andra två får räknas som kodningsfel eller att analysen gett olika resultat de båda gångerna. Av detta drar jag slutsatsen att metoden ger en god reliabilitet för detta klusterpar. Det har inte funnits tid att göra ett reliabilitetstest för de övriga klusterparen men under arbetes gång har jag fått en uppfattning av graden av svårighet valet av underkategorier har för varje kluster. En uppskattning av hur god reliabilitet metoden kan väntas ge för de olika klusterparen görs därför i samband med att kodningsinstruktionerna presenteras, se avsnitt 5.3.3, 5.4.4 och 5.5.4.. 4.6 Validitet Detta arbete har till syfte att avgöra i vilken grad och på vilka sätt olika värden förmedlas genom läroböcker i matematik. Det som mäts i undersökningen är antal uppgifter som förmedlar de olika värdena. Ovan har jag försökt ge en bild av hur god reliabilitet undersökningen har, dvs om undersökningen görs om, hur troligt är det att resultatet inte skiljer sig för mycket från det i detta arbete. Det är även intressant att veta hur det som mäts förhåller sig till det man försöker mäta, dvs metodens validitet. Det är inte säkert att någonting som förekommer ofta i en text påverkar läsaren mer än det som förekommer sällan (Boréus och Bergström 2005). I resultatet har enbart antal analysenheter som kodats till de olika värdeklustren räknats, hänsyn har inte tagits till hur stor del av texten som en analysenhet tar eller hur väl denna är exponerad i boken genom layout och disposition, eller hur troligt det är att uppgiften kommer med i en lärares lektionsplanering. Indelningen i analysenheter har till viss del påverkat resultatet. “Aktivitet 5” på sidan 24 består av två analysenheter varav den första skulle kodas till Resonemang och den andra till Beräkningar. Om hela aktiviteten betraktades som en analysenhet skulle denna kodas till Resonemang. Resultatet blir därför beroende av indelningen. Exempel på uppgifter där kodningen påverkats på detta sätt är aktiviteterna på sidan 201 i Matematik 3000, grundbok. 25.

(39) 26.

(40) 5 Kodningsinstruktioner Detta är den första delen av resultatet från studien och innehåller de kodningsinstruktioner som utvecklats. En viktig del i resultatet är de funna underkategorierna eftersom de indikerar vilka olika sätt värdena visar sig i böckerna. Då kategorierna är till hjälp vid analysen presenteras dessa här som en del av instruktionerna. I avsnitt 5.1 anges hur böckernas uppgifter kommer att betecknas härefter. Därefter följer allmänna instruktioner för hur kodningen skall gå till i avsnitt 5.2. Specifika instruktioner för varje värdekluster finns i avsnitt 5.3, 5.4 och 5.5. Dessa tre avsnitt avslutas med en kommentar om instruktionerna, hur klustren delats in i underkategorier och en bedömning av med hur stor reliabilitet kodningen till dessa kan göras. Instruktionerna för varje kluster består av en beskrivning av uppgifter som skall kodas till detta kluster. Dessa beskrivningar inleds med de delar av instruktionerna som hämtats från Karlsson (2005). Därefter följer mina utvecklingar av instruktionerna, vilka främst består av beskrivningar av de olika underkategorierna till klustret. Till varje underkategori ges ett eller två exempel på uppgifter som kodats till denna.. 5.1 Uppgiftsbeteckningar Uppgifterna anges med en kodbeteckning bestående av en bokstav som anger bok följt av sidnummer, kommatecken och uppgiftsnummer eller uppgiftsnamn. Böckernas bokstavskoder finns i tabell 5.1. Uppgift B 155, 5013 är således uppgift 5013 på sidan 155 i Exponent A, Blå. Ibland är inte en uppgift entydigt bestämd av bok, sida och uppgiftsnummer, i dessa fall har uppgiftsnumret ersatts av avsnittsbeteckning eller avsnittsnummer följt av kolon och uppgiftsnummer. Exponent A, Grön Exponent A, Blå Matematik 3000, grundbok Matematik 3000, programbok HR/LP Matematik från A till E. G B T P E. Tabell 5.1: Böckernas bokstavskoder i uppgifternas kodbeteckning. 27.

(41) Uppgiftsexemplen har av praktiska skäl återgetts istället för att kopieras ifrån böckerna. Detta innebär att texten inte är typsatt på samma sätt, t.ex med samma radbrytningar, och att bilder inte är exakt likadana som originalen.. 5.2 Allmänna instruktioner Som redan nämnts består instruktionerna nedan främst av beskrivningar av olika underkategorier samt exempel på uppgifter som kodats till dessa. En uppgift är inte en isolerad företeelse i boken utan måste ses i sitt sammanhang. T.ex kan en uppgift signalera Resonemang i en bok, därför att eleven själv måste tänka ut hur denne skall gå till väga vid lösningen. I en annan bok kan samma uppgift ge uttryck för att matematik är Beräkningar eftersom eleven vid lösning bara behöver kopiera ett liknande exempel. Vid analysen ska man se till helheten i analysenheten. En uppgift kan t.ex ge en bild av att höra till Specialism i en deluppgift och Tillgänglighet i en annan. Uppgiften ska då kodas till det klustret som helhetsintrycket från uppgiften visar på. Alla uppgifter i geometrikapitlen handlar inte om geometri. T.ex förekommer övningar på moment som inte hör till geometrin men som behövs som förkunskap för denna. Dessa uppgifter kodas till de underkategorier som passar bäst. Ingen anpassning av kategorierna har gjorts för att dessa uppgifter ska passa in.. 28.

(42) 5.3 Relevans←−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→Teoretisk kunskap. Jag har funnit sju underkategorier till Relevans och två till Teoretisk kunskap. 5.3.1 Relevans. Hit kodas uppgifter som ger bilden av att matematik är ett ämne som är till för att användas. Uppgifter som har en ickematematisk kontext skall kodas hit. Även om det är en kontext konstruerad enbart för att användas i matematikundervisning så skall uppgiften kodas hit (Karlsson 2005). Uppgifter som inte innehåller explicit uttryckt sammanhang men som behandlar “ickematematiska” objekt räknas också hit. Uppgifterna i detta kluster kan delas in i sju kategorier: “Utommatematiska objekt”, “Andrahandsmått”, “Skala”, “Slutsatsdragning”, “Konstruktion”, “Utommatematisk kunskap” samt “Fysikaliska beräkningar”. Utommatematiska objekt: Dessa uppgifter rör vardagsföremål eller andra objekt av utommatematisk art. Föremålen som man räknar på skulle kunna bytas mot ett inommatematiskt objekt utan att momenten som krävs för att lösa uppgiften ändras. Uppgift G 228, Test 1:1 Hur stor är vinkeln medurs respektive moturs mellan följande siffror på en urtavla? a 12 och 3 b 3 och 5 c 7 och 3 Uppgift E 279, 7088 Kalle deltar i ett landsvägslopp. Han springer glatt 5/7 av sträckan, därefter joggar han 20% av sträckan. Till slut går han, helt utmattad, loppets sista 3 km. Hur långt var landsvägsloppet. Andrahandsmått: Geometrisk beräkning om utommatematiskt objekt som används för att beräkna någonting mer om objektet. Uppgift T 165, 5171 En stålkula har radien 5,2 cm. Stål har densiteten 7,8 ton/m2 . Hur mycket väger kulan? Uppgift B 159, 5021 Fridas rum är 5 m långt och 4,5 m brett. Vad kostar det att på hela golvet lägga in en matta vars pris är 84 kr/m2 . 29.

(43) Skala: Som utommatematiska objekt, men uppgiften rör enkelt användande av skala. Uppgift P 102, 508 På en ritning i skala 1:50 är en hotellmatsal 24 cm lång och 18 cm bred. a) Vilka mått har matsalen i verkligheten? b) Man ska rita in ett bord på ritningen. Vilka mått ska ett bord som är 80 cm × 140 cm ha på ritningen?. Uppgift E 177, 4051 På en husritning i skala 1:200 är ett garage 3 cm brett. Hur brett är garaget i verkligheten? Slutsatsdragning: Eleven förväntas dra slutsatser eller fatta beslut om någonting utommatematiskt.. Uppgift T 192, 5450 Ytterdörren är 95 cm bred och 200 cm hög. Kan man ta in en spånskiva genom dörren om skivans mått är 220 cm × 300 cm. Konstruktion: Eleven förutsätts konstruera ett utommatematiskt objekt. Konstruktionen innebär inte enbart att beräkna mått utan rymmer ett inslag av kreativitet. Uppgift P 91, 9 Man ska tillverka en cylindrisk förpackning som rymmer 0,5 liter. Bestäm diameter och höjd för två olika cylindrar som ger denna volym. Utommatematisk kunskap: Förmedlar kunskap utan direkt koppling till matematikämnet. Det kan t.ex röra sig om historia eller om hur man använder en kompass. Uppgift G 178, 5008 Ett varv runt jorden delas in i 360◦ och en grad delas in i 60 minuter. En distansminut är den sträcka vid jordens ekvator som motsvarar en sextiondels (1/60) grad. Hur många meter är en distansminut om jordens omkrets vid ekvatorn är 4000 mil? En distansminut kallas också för sjömil eller nautisk mil och är en vanlig enhet inom sjö- och luftfart. 30.

(44) Fysikaliska beräkningar: Beräkningar av fysikalisk art. Dessa uppgifter kunde lika gärna ha förekommit i en fysikbok. Uppgift G 183, 5021 Ljudets hastighet i luft är ungefär 300 m/s. Hur många meter hinner ljudet på 5,5 s? 5.3.2 Teoretisk kunskap Uppgifter där kontext saknas eller där kontexten är inommatematisk kodas hit (Karlsson 2005). Även uppgifter där utommatematisk kontext finns men där denna endast utgör bakgrund utan egentlig koppling till uppgiften räknas till detta kluster. Uppgifterna i detta värdekluster kan delas in i två kategorier: “Kontext saknas” och “Inommatematisk kontext” Kontext saknas: Uppgiften ges utan någon kontext. Uppgift B 155, 5013 Omkretsen hos en likbent triangel är 48 cm. Hur lång är varje sida? Uppgift P 95, 4 I en cirkelsektor med radien 5,0 cm är bågens längd 4,5 cm. a) Bestäm medelpunktsvinkeln v. b) Bestäm cirkelsektorns area. Inommatematisk kontext: Uppgift där kontexten är matematisk. Uppgift T 148, 2 (Illustration utelämnad) Du har 12 rutor som är 1 cm × 1 cm. Lägg eller rita så många olika rektanglar du kan. Till varje rektangel ska du använda alla 12 rutorna. a) Hur många cm2 är arean? b) Hur många cm är omkretsen?. 31.

(45) 5.3.3 Kommentarer Kategorierna “Utommatematiska objekt” och “Skala” visar på Relevans på samma sätt och skulle därför ha kunnat utgöra en enda kategori. I båda fallen kan de utommatematiska objekten bytas mot ett inommatematiskt utan att uppgiftens lösning i grunden förändras. Uppgifterna som kodas till skala utgör dock en stor och väl avgränsad grupp av uppgifter varför det är av intresse att kunna urskilja dessa i statistiken. “Andrahandsmått” utgör en kategori som tydligare visar på Relevans än de två ovanstående kategorierna. Detta eftersom eleven skall räkna ut någonting mer om objektet som oftast har en större relevans. T.ex är det oftast mer relevant att veta vad det kostar att lägga ny matta i ett rum än vad det är att veta arean av mattan, jämför uppgift B 159, 5021 återgiven på sidan 29. Ännu tydligare visar kategorierna “Slutsatsdragning” och “Konstruktion” på Relevans. “Utommatematisk kunskap” är en intressant kategori på så sätt att uppgiften i sig inte har någon eller endast liten utommatematisk relevans, men att den är satt i ett relevant sammanhang. “Fysikaliska beräkningar” ger matematiken relevans genom att den används som redskap för ett annat skolämne. Hur tydligt denna kategori visar på Relevans beror givetvis på elevens bild av hur relevant fysikämnet är. Uppgifter kodade till Teoretisk kunskap är indelade i två kategorier, “Kontext saknas” och “Inommatematisk kontext”. Uppgifterna kodade till den senare skiljer sig alla markant från det exempel på uppgift med en inommatematisk kontext som Karlsson (2005) ger. Det är därför inte säkert att jag tolkat begreppet på det sätt som avsetts. Det är dock klart att uppgifterna i denna kategori skall kodas till Teoretisk kunskap. Kategorierna som berörts här är väl åtskilda och det går därför att koda dessa med en hög reliabilitet.. 32.

(46) 5.4 Tillgänglighet←−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→Specialism Jag har funnit två underkategorier till Tillgänglighet och tre till Specialism. De uppgifter som kodats neutralt är kodade till en kategori. 5.4.1 Tillgänglighet Uppgifter som kodas hit förmedlar bilden av att matematik är någonting för alla. Detta kan göras genom att uppgiften inte kräver allt för omfattande förkunskaper och genom att uppgiften kan lösas utan att använda ett formellt matematiskt resonemang (Karlsson 2005). Bland de uppgifter som kodas till detta värdekluster har jag funnit två underkategorier: “Utan matematiktermer” och “Med vardagsspridda matematiktermer”. Utan matematiktermer: Uppgifter som inte använder termer eller begrepp från matematik eller naturvetenskapliga ämnen. Ordlistan i appendix A är vägledande. Uppgift E 161, 4010 Ett golv som är 9,2 m långt och 7,5 m brett ska lackas två gånger. Hur många liter lack måste man köpa om man räknar med att 1 liter räcker till 10 m2 ? Uppgift T 161, 5159 En oljetank rymmer 3,2 m3 . Hur länge räcker en full tank om förbrukningen är 20 liter per dygn? Med vardagsspridda matematiktermer: Dessa uppgifter använder termer från matematik som har fått en allmän användning med samma eller liknande mening. Ordlistan i appendix A är vägledande. Uppgift B 173, 5042 En modellbil är tillverkad i skala 1:37. Hur lång är bilen i verkligheten, om modellen är 10 cm lång? Uppgift T 160, 5147 Ett betongrör har ytterdiametern 0,3 m och är 180 m långt. Hur stort utrymme tar röret? Svara i hela kubikmeter. 33.

(47) 5.4.2 Specialism Hit kodas uppgifter som signalerar att matematik är något för specialister. Detta kan visas genom användning av matematiska termer eller genom att det krävs att eleven besitter mycket tidigare kunskaper (Karlsson 2005). Jag har delat in detta kluster i tre underkategorier: “Använder matematikterminologi”, “Övar matematikterminologi” och “Kräver förkunskap”. Använder matematikterminologi: Hit kodas uppgifter där matematikterminologi används. Ordlistan i appendix A är vägledande. Uppgift E 163, 4015 I en rektangel är sidorna 35 cm och 5 m. Bestäm omkretsen i m. Uppgift G 230, Test 5:2 Bestäm den tredje sidan i en rätvinklig triangel om a kateterna är 15 cm och 20 cm b hypotenusan är 39 cm och en katet är 15 cm c hypotenusan är 58 mm och en katet är 40 mm Övar matematikterminologi: Hit kodas uppgifter som har som huvuduppgift lära ut matematiska termer. Uppgift G 178, 5005 a Namnge den räta vinkeln till höger. b Vilka vinklar är spetsiga eller trubbiga? Kräver förkunskap: Hit kodas uppgifter som kräver relativt mycket förkunskap, inklusive förkunskap från andra skolämnen. Uppgift E 185, 4087 Hur mycket väger en silverkula med diametern 1,2 cm? Silver har densiteten 10,5 g/cm3. 34.

(48) 5.4.3 Uppgifter som kodats neutralt med avseende på Tillgänglighet och Specialism Uppgifter som inte visar tydligt på vare sig Tillgänglighet eller Specialism har kodats till en kategori: “Enhetsomvandlingar”. Enhetsomvandlingar: Uppgifter som enbart övar enhetsomvandlingar har inte bedömts signalera vare sig Tillgänglighet eller Specialism Uppgift T 161, 5153 Hur många kubikcentimeter (cm3 ) är a) 3 dm3 b) 7,5 dm3 c) 6700 mm3 ? Uppgift B 179, 5050 Ordna i storleksordning med störst först 50 cl 3 dl 80 ml 0,7 l. 5.4.4 Kommentarer Vid analysen med avseende på klusterparet Tillgänglighet←−→Specialism är det främst vilka ord som används och hur stora förkunskaper som behövs för att lösa uppgifterna som avgör kodningen. Uppgifterna som kodas till Specialism har delats in i tre kategorier, “Använder matematikterminologi”, “Övar matematikterminologi” och “Kräver förkunskap”. De uppgifter där matematisk terminologi används tränar givetvis även användandet av ett matematiskt språk. Kategorin “Övar matematikterminologi” är för de uppgifter där huvudsyftet med uppgiften är att öva matematiska ord och symboler. En del matematiska ord används ofta utanför matematiska sammanhang med en likartad mening. En elev som ser ordet kon i en bok tänker förmodligen mer på en vägkon än på att språket är matematiskt. Uppgifter som innehåller matematiska ord men ger bilden av att matematik är till för alla har kodats till kategorin “Med vardagsspridda matematiktermer”. Hur bekant ett ord känns är givetvis olika från elev till elev. Detta gör att det är svårt att få en god validitet i en jämförelse som baserar sig på vilka ord som används. För att uppnå en högre reliabilitet har ordlistor skapats och använts för att avgöra hur ett ord påverkar kodningen, se appendix A. 35.

(49) Tack vare ordlistorna har kodningen med avseende på ordval kunnat göras med en hög reliabilitet. Det kan dock vara svårt att avgöra om en uppgift har så högt ställda förkunskapskrav att den skall kodas till Specialism på grund av dessa. Därför bedömer jag att reliabiliteten är något sämre när det gäller att välja mellan denna kategori och de övriga och därmed även mellan Tillgänglighet och Specialism.. 36.

(50) 5.5 Beräkningar←−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→Resonemang Jag har funnit fyra underkategorier till Beräkningar och sex till Resonemang. De uppgifter som kodats neutralt har indelats i två kategorier.. 5.5.1 Beräkningar Hit kodas uppgifter där fokus ligger på att hitta rätt svar eller som går ut på att öva in en metod (Karlsson 2005). Jag har funnit fyra underkategorier till detta värdekluster: “Enkla beräkningar”, “Flerstegsberäkningar”, “Typuppgifter” och “Steg för steg”. Enkla beräkningar: Uppgifter som övar ett moment som kan utföras rent mekaniskt. Uppgift P 95, 4 En cirkelsektor har radien 6,2 cm och medelpunktsvinkeln 38◦ . Rita en figur och beräkna a) bågens längd b) sektorns area. Uppgift B 175, 5045 Andreas ritar av världens minsta ryggradsdjur, smörbulten (Trimmatom nanus), som är en fisk. På teckningen blir fisken 129 mm lång. Hur lång är fisken i verkligheten, om teckningen är gjord i skala 15:1 Flerstegsberäkningar: Uppgifter som består av flera steg. Det är ingen större svårighet att se vilka steg som behövs. Uppgift G 213, 5085 Bassängen på ett utomhusbad är 25 m lång och 12,5 m bred. Vattendjupet är 1,5 m. En riktigt varm sommar avdunstar 1% av vattnet. Hur många liter vatten måste man fylla på för att behålla vattendjupet? Uppgift E 161, 4008 Hjulet på en leksaksbil har diametern 1,5 cm. Hur långt har bilen förflyttats då hjulen har rullat 2 varv? 37.

(51) Typuppgifter: Uppgifter där man skall följa en given mall, t.ex i form av ett löst exempel. Följande uppgift (med 79 bytt mot 20) finns som löst exempel överst på samma sida i boken. Uppgift G 204, 5062 En kvadrat har arean 79 cm2 . Bestäm kvadratens omkrets. Steg för steg: Uppgifter där eleven lotsas steg för steg genom uppgiften. Uppgift T 181, 5338 Triangel DEF är en förstoring av triangel ABC. Trianglarna är likformiga.. a) b) c) d). Vilken sida i triangeln DEF svarar mot sidan AB i triangeln ABC ? Bestäm förstoringen. Vilken sida i triangeln DEF svarar mot sidan BC i triangeln ABC ? Bestäm x.. 5.5.2 Resonemang Till detta värdekluster för Karlsson (2005) uppgifter där elever får kommunicera matematik, t.ex genom diskussioner och gruppövningar där fokus ligger på processen istället för på produkten. Just att fokus ligger på processen har under arbetets gång visat sig vara en bra kriterium för att avgöra om en uppgift uppmuntrar till resonemang eller inte. Jag har funnit sex sätt som resonemang visar sig på i böckernas geometrikapitel: “Tankearbete”, “Uppskatta gissa”, “Dra slutsats”, “Kommunicera”, “Avgöra informationsbehov” och “Visualisera”. Tankearbete: Uppgifter där lösningsgången inte är lätt att hitta och där eleven förväntas klura sig fram eller testa olika vägar för att nå målet. 38.

(52) Uppgift G 225, 5110 (Illustration utelämnad) Varför går det inte att lägga en golvmosaik med fotbollsmönstret? Uppskatta, gissa: Uppgifter där eleven förväntas göra en uppskattning eller göra en lämplig konstruktion. Det som övas i dessa uppgifter är just förmågan att välja mellan lämpliga alternativ. Hit räknas dessutom uppgifter där eleven får pröva sig fram för att hitta rätt lösning. Uppgift E 205, T13 Dra fyra räta linjer genom alla punkter utan att lyfta pennan.. Dra slutsats: Uppgifter som uppmuntrar eleven att dra egna slutsatser eller att generalisera resultat eller idéer. Hit hör även uppgifter där eleven skall försöka hitta för och nackdelar med ett val. Uppgift T 148, 2, här återgiven på sidan 31. Kommunicera: Uppgifter som uppmuntrar eleverna till kommunikation. Hit hör uppgifter där något skall beskrivas, eller där eleverna förväntas samarbeta. Uppgift P 105, 527 Du ska bygga ett akvarium av glas på ca 160 liter. Föreslå lämpliga mått. Beskriv hur du kom fram till dessa mått och rita en skiss av akvariet med måtten angivna. (ht 95) Avgöra informationsbehov: Hit hör uppgifter där eleven måste avgöra vilken information som behövs för att lösa en uppgift. Det kan röra sig om uppgifter med för mycket eller för lite information given eller uppgifter där tillräcklig information skall väljas ut. 39.

(53) Uppgift T 206, 6 Text som föregår uppgiftsavsnittet:. “. Räcker dina data? Om det i uppgiften finns för många data väljer du de som behövs. Om det finns för få data sätter du ett rimligt värde på det som saknas. Sedan löser du uppgiften.. Uppgiften: En papplåda med innehåll väger 6,4 kg och har måtten 3 cm × 4 cm × 2 cm. Hur många liter rymmer den? Visualisera: Eleven skall åskådliggöra någonting eller hämta information ifrån en figur. I detta fall är bilden en viktig del av uppgiften. Ingen av uppgifterna som kodats till “Visualisera” kan återges här på ett tillfredsställande sätt. Exempel är B 151, 5004 och T 194, 5504. 5.5.3 Uppgifter som kodats neutralt med avseende på Beräkningar och Resonemang Uppgifter som inte visar tydligt på vare sig Beräkningar eller Resonemang har kodats till en av två olika kategorier: “Öva beteckningar” och “Resonemang för metodinlärning”. Öva beteckningar: Förbereder för matematisk kommunikation genom att öva matematiska “glosor”. Dock uppmuntrar dessa uppgifter inte till resonerande i sig. Uppgift G 178, 5005, här återgiven på sidan 34. Resonemang för metodinlärning: Resonemang används för att lära ut en metod eller formel. Uppgift T 157, 5131 I en cirkel är radien 13 cm. a) Hur får du cirkelns omkrets? b) Beräkna omkretsen. c) Avrunda svaret till heltal. 40. ”.

(54) 5.5.4 Kommentarer Uppgifter kodade till “Enkla beräkningar”, “Typuppgifter” och “Steg för steg” ger en tydligare indikation på Beräkningar än “Flerstegsuppgifter”. Uppgifter kodade till “Öva beteckningar” kan inte sägas ge uttryck för vare sig Beräkningar eller Resonemang. I och för sig förbereder dessa eleven på att kunna kommunicera matematik, men lösandet av uppgifterna innehåller ingen form av resonerande. “Resonemang för metodinlärning” visar däremot på Resonemang, samtliga fall jag funnit uppmuntrar till kommunikation, men syftet är inlärning av en metod eller formel. Dessa uppgifter visar således även på Beräkningar. Det har visat sig svårt att välja mellan “Typuppgifter” och övriga kategorier till klustret Beräkningar under analysen, vilket påverkar reliabiliteten negativt. Uppgifter som ger uttryck för Resonemang stämmer ofta in på flera av de olika underkategorierna. I detta arbete har den kategori som stämmer bäst in valts. Detta gör att man kan vänta sig en mindre reliabilitet vid kodningen mellan olika underkategorier till Resonemang än vid kodning till underkategorier till andra kluster. Val av underkategori för uppgift som inte kodats till Beräkningar eller Resonemang kan göras med god reliabilitet. Det är även relativt lätt att avgöra om en uppgift hör till Beräkningar eller Resonemang.. 41.

(55) 42.

(56) 6 Analysmodellen tillämpad på läroböckernas geometriavsnitt Detta är det andra avsnittet med resultat och det innehåller en genomgång av hur frekvent olika värden förmedlas i läroböckerna. I detta avsnitt ges endast den totala bilden, inte skillnader mellan böckerna. För varje klusterpar redovisas först resultatet för alla 955 uppgifterna, sedan för enbart de 481 övningsuppgifterna. Vilka uppgifter som räknas som övningsuppgifter är angivet i avsnitt 3. En jämförelse med resultaten från detta arbete och de gjorda av Karlsson (2005) och Seah och Bishop (2000) ges för varje klusterpar.. 6.1 Relevans←−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→Teoretisk kunskap 6.1.1 Alla uppgifter Av samtliga 955 behandlade uppgifter kodades 391, eller 41%, till Relevans och övriga 564, eller 59% till Teoretisk kunskap, se figur 6.1. Fördelningen av uppgifter kodade till underkategorier till värdeklustret Relevans finns i tabell 6.1. Motsvarande fördelning för Teoretisk kunskap finns i tabell 6.2. Relevans 41%. Teoretisk kunskap 59%. Figur 6.1: Förhållandet mellan förekomsten av Relevans och Teoretisk kunskap. Alla 955 uppgifterna.. 43.

(57) Underkategori. Frekvens. Relativ frekvens. 212 84 55 16 14 6 4. 54% 21% 14% 4% 4% 2% 1%. Utommatematiska objekt Skala Andrahandsmått Slutsatsdragning Konstruktion Utommatematisk kunskap Fysikaliska beräkningar. Tabell 6.1: Förhållandet mellan underkategorierna till Relevans. (391 uppgifter). Underkategori. Frekvens. Relativ frekvens. 559 5. 99% 1%. Kontext saknas Inommatematisk kontext. Tabell 6.2: Förhållandet mellan underkategorier till Teoretisk kunskap. (564 uppgifter). 6.1.2 Övningsuppgifter Av de 481 övningsuppgifterna kodades 226, eller 47%, till Relevans och övriga 225, eller 53% till Teoretisk kunskap, se figur 6.2. Fördelningen av uppgifter kodade till underkategorier till värdeklustret Relevans finns i tabell 6.3. Motsvarande fördelning för Teoretisk kunskap finns i tabell 6.4. Relevans 47%. Teoretisk kunskap 53%. Figur 6.2: Förhållandet mellan förekomsten av Relevans och Teoretisk kunskap. De 481 övningsuppgifterna. 44.

(58) Underkategori. Frekvens. Relativ frekvens. 124 48 25 11 9 5 4. 55% 21% 11% 5% 4% 2% 2%. Utommatematiska objekt Skala Andrahandsmått Slutsatsdragning Konstruktion Utommatematisk kunskap Fysikaliska beräkningar. Tabell 6.3: Förhållandet mellan underkategorier till Relevans bland övningsuppgifter. (226 uppgifter). Underkategori. Frekvens. Relativ frekvens. Kontext saknas. 255. 100%. Tabell 6.4: Förhållandet mellan underkategorier till Teoretisk kunskap bland övningsuppgifter. (255 uppgifter). 6.1.3 Jämförelse med tidigare undersökningar Av tabell 6.5 framgår fördelningen mellan värdeklustren Relevans och Teoretisk kunskap från såväl denna undersökning som från de utförda av Seah och Bishop (2000) och Karlsson (2005). Jämför man resultaten kan man se att det inte är någon större skillnad mellan de tidigare resultaten och det resultatet för alla uppgifter i denna undersökning. Det är dock mer rimligt att jämföra Karlssons (2005) resultat med resultatet från övningsuppgifterna, detta pga hennes urval av uppgifter. Där kan vi notera att det är en liten övervikt för Teoretisk kunskap i Karlssons (2005) medan ingen sådan finns i mina resultat.. 45.

(59) Relevans Teoretisk kunskap Seah och Bishop (2000) Karlsson (2005) Detta arbete: Alla uppgifter Övningsuppgifter. 38% 39%. 62% 61%. 41% 47%. 59% 53%. Tabell 6.5: Jämförelse med resultatet från två tidigare arbeten med avseende på Relevans och Teoretisk kunskap. 46.

No results found