• No results found

Ranka den som Perron-Frobenius : Sporttabellen du aldrig sett förut

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Ranka den som Perron-Frobenius : Sporttabellen du aldrig sett förut"

Copied!
63
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Institutionen för naturvetenskap och teknik

Ranka den som

PerronFrobenius

Sporttabellen du aldrig sett förut

Emelie Borg

(2)

Örebro universitet

Institutionen för naturvetenskap och teknik Matematik C, 76  90 högskolepoäng

Ranka den som PerronFrobenius

Sporttabellen du aldrig sett förut

Emelie Borg Johanna Johansson

Januari 2013

Handledare: Niklas Eriksen Examinator: Marcus Sundhäll

Självständigt arbete, 15 hp Matematik, Cnivå, 76  90 hp

(3)

Sammanfattning

Uppsatsen är skriven för att ta fram ett alternativt sätt att ranka lag i olika serier. Vi har lagt störst fokus på fotbollsallsvenskan, men även tabellerna i fotbolls-EM, basketligan och elitserien i hockey kommer att jämföras. Vi kommer att introducera Perron-Frobenius sats med en kortare beskrivning och förklara hur Google använder satsen genom PageRank för att du ska kunna hitta just den artikel eller hemsida som du letar efter.

Senare i uppsatsen beskriver hur vi använder PerronFrobenius sats för att få fram en alternativ ranking till den som används idag. Därefter följer jämförelser och resultat av de olika metoderna. Vi undersöker dessutom om det med hjälp av det nya rankingsystemet blir lättare att förutse hur serien slutar.

För att förstå alla matematiska begrepp och resonemang krävs Matema-tik B på universitet eller motsvarande. Med ett gediget sportintresse kan man ändå få ut något av att läsa uppsatsen men för att inte helt tappa intresset hoppa över kapitel 3.

(4)
(5)

Innehåll

1 Introduktion 6

1.1 Bakgrund . . . 6

1.2 Uppsatsens struktur . . . 7

2 PageRank 8 2.1 Hur fungerar det praktiskt? . . . 8

2.2 Hur fungerar det matematiskt? . . . 8

2.2.1 Räkna ut egenvektorn med hjälp av potensmetoden . . 10

2.2.2 En alternativ lösning . . . 12

2.2.3 Lösa knytpunkter . . . 12

2.2.4 Ett starkt sammanknutet internet . . . 13

2.2.5 Google-matrisen . . . 14

2.2.6 Att bestämma α . . . 14

2.2.7 Så används α i uppsatsen . . . 15

3 Perron-Frobenius sats 16 3.1 PerronFrobenius sats . . . 16

3.2 Närmanden till ett bevis . . . 17

3.3 Användningsområden för satsen . . . 19

4 Rankingmetoden 20 4.1 Vi skapar en matris . . . 20

4.2 Vi lägger till ett β-värde . . . 22

4.3 Ranking . . . 23

5 Sport 25 5.1 Poängsystemet i fotboll  Allsvenskan . . . 25

5.2 Poängsystemet i fotboll  EM . . . 26

5.3 Poängsystemet i basket  Basketligan . . . 26

5.4 Poängsystemet i ishockey  Elitserien . . . 27

6 Resultat och jämförelser 28 6.1 Fotboll  allsvenskan . . . 28

(6)

6.1.2 Mål . . . 30

6.1.3 Kommentarer . . . 30

6.2 Fotboll  EM 2012 . . . 31

6.2.1 Vinster och förluster . . . 31

6.2.2 Mål med β1 . . . 32

6.2.3 Mål med β2, β3 och β4 . . . 33

6.2.4 Kommentar . . . 33

6.3 Basket  basketligan . . . 33

6.3.1 Vinster och förluster . . . 33

6.3.2 Mål . . . 34

6.4 Ishockey  elitserien . . . 35

6.4.1 Vinster och förluster . . . 36

6.4.2 Mål . . . 37

7 Slumpade omgångar 38 7.1 Allsvenskan 2011  25 omgångar . . . 38

7.1.1 Resultat och analys av 25 omgångar . . . 38

7.2 Allsvenskan 2011  15 omgångar . . . 40

7.2.1 Resultat av 15 omgångar . . . 41

8 Slutsats 43 8.1 Det som talar för poänggivningsmetoden . . . 43

8.2 Det som talar för rankingmetoden . . . 44

8.3 Avslutande kommentar . . . 45

A Matchresultat i matriser 46 A.1 Fotboll  allsvenskan . . . 46

A.2 Fotboll  EM . . . 48

A.3 Basket  basketligan . . . 50

A.4 Ishockey  elitserien . . . 51

B Omgångar i tabeller 54 B.1 Poänggivningsmetoden  15 och 25 slumpade omgångar . . . 54

B.2 Rankingmetoden  15 och 25 slumpade omgångar . . . 56

C Matchresultat i fotbollsEM 2012 58 C.1 Gruppspel . . . 58

(7)
(8)

Kapitel 1

Introduktion

Sport. Ett ord som kan locka fram hur många olika associationer som helst, beroende på vem man frågar. Roligt, engagerande, viktigt, spännande, pre-stigefyllt, blodigt allvar, lek, tråkigt, utmanande, fanatiskt eller fantastiskt? Lagsporter är ofta extra engagerande och i många länder, däribland Sverige, är fotboll sporten som får folk att ursäktande lämna matborden tidigare. Fotboll ger en outtalad tillåtelse att utan vidare lägga beslag på TVdosan och byta kanal för att kunna betrakta viktiga matcher och resultat, oavsett vad den som redan satt vid TV:n tittade på.

Fotboll, vilken prestige det är att vara bra på, vilken prestige att bo i en stad som har ett bra lag eller leva i ett land som kan kamma hem VMtitlar. Vem är då bäst på fotboll? Den som vinner mest tänker de esta nu, men här pausar vi bandet. Tänk om est vinster inte är det mest optimala sättet att vaska fram en vinnare ur en serie, det kanske nns ett mer lämpligt sätt att mäta storheten hos ett lag i denna ärofyllda sport? Vi kanske kan använda matematik för att utveckla ett nytt sätt att vinna.

Om vi tar oss igenom ytterligare några sidor i denna uppsats kommer vi se hur matematiken kan öppna upp nya vägar för framgång inom sport.

1.1 Bakgrund

I fotbollsallsvenskan, fotbollsEM, basketligan och elitserien i hockey an-vänds ett poängsystem som handlar om vinster och förluster. Detta system kommer vi att benämna med poänggivningsmetoden. Rangordningen av la-gen i vardera serie görs la-genom parvisa jämförelser mellan varje lag och avgörs av antalet poäng som laget tjänat in genom de matcher som spelats dittills. Vad gäller rangordning inom sport så är det matchernas resultat som används i jämförelsen mellan två lag.

Så hur fungerar poänggivningsmetoden som rankingsystem? För att be-skriva detta utgår vi från allsvenskan där lagen belönas med tre poäng för varje vinst och ett poäng för varje match de spelar lika, det lag som förlorar

(9)

matchen blir utan poäng. På liknande sätt delas poäng ut till lagen under fotbollsEM, i basketligan och under elitserien i hockey.

Vi kommer i denna uppsats att jämföra detta poängsystem med ett an-nat som vi kallar rankingmetoden. I rankingmetoden ställs resultaten upp i en matris till vilken en specik egenvektor beräknas som då kommer att motsvara tabellens ranking. Kriterierna som matrisen måste uppfylla för att detta ska fungera formuleras i PerronFrobenius sats.

Jämförelser som tidigare gjorts är till största delen från USA där serier med collegelag rankas med hjälp av Perron-Frobenius sats. Det nns era olika sätt att använda sig av denna sats, både direkt och indirekt i ranking-en. Dessutom nns metoder för att jämföra lagens ranking både vad gäller vinster och förluster och mål. De största skillnaderna mellan rankingsyste-men är med de matematiska algoritmerna och inte med de olika system som idag alltså används [7].

Största skillnaden mellan det som gjorts tidigare och vad vi kommer att göra är att vi jämför lag där alla möter alla, vilket inte är situationen vid collgefotboll där lagen möter sin region och därefter går vidare till spel mot de bästa lagen inom varje region. Dessutom är poängsystemet inte på samma sätt vad gäller ranking för collegelagen. Egentligen är det svårt att bestämma hur bra ett rankingsystem är eftersom varje ranking är subjektiv, det vill säga att inget rankingsystem egentligen är rätt eftersom varje system har sina egna fördelar och nackdelar speciellt beroende av vem som observerar rankingen [6], [7].

Ett annat sätt att använda Perron-Frobenius sats är till att ranka la-gen först både oensivt och defensivt och sedan lägga ihop dessa till en gemensam ranking i form av en kvot. Detta rankingsystem kallas oense-defense-metoden och har utvecklats av Govan, Langville och Meyer i [4].

1.2 Uppsatsens struktur

I kapitel 2 beskriver vi hur Google använder PageRank för att du ska kunna hitta just den artikel eller hemsida som du letar efter, ty PageRank baseras på samma teori som rankingmetoden. I kapitel 3 introduceras Perron-Frobenius sats med en kort beskrivning.

Senare i uppsatsen under kapitel 4 beskriver vi hur vi använder Perron Frobenius sats för att få fram den alternativa rankingen och i kapitel 5 för-klarar vi hur tabellerna i de olika serierna rangordnas idag. Därefter följer jämförelser och resultat av de olika metoderna. Vi undersöker dessutom om det med hjälp av det nya rankingsystemet blir lättare att förutse hur serien slutar.

(10)

Kapitel 2

PageRank

Har du någonsin undrat hur Google, bland alla miljoner hemsidor som nns på internet, kan hitta och presentera för dig precis vad du letar efter och ofta lyckas med att visa den exakta hemsidan du vill ha allra först? Jo, det kallas PageRank. Det är en rankingmetod som utvecklades i slutet av nittiotalet av två doktorander i datavetenskap från USA. Dessa två studenter, Larry Page och Sergey Brin, använde sina studentrum som kontor för sitt nya företag som senare utvecklade sig till just Google [9].

2.1 Hur fungerar det praktiskt?

PageRank i sig är en väldigt genial lösning på ett enormt problem. Matema-tiken bakom principen grundar sig på Perron-Frobenius sats. I korta drag så går PageRank ut på att den skapar ett rankingsystem för alla internetsidor i vilken den mäter hur viktiga alla sidor är genom att räkna länkarna de har till sig. Dessa länkar räknas inte bara genom antal, det är inte alltid den som har est länkar till sig som får högst ranking utan även efter hur viktig sidan som länken kommer ifrån är. Så en länk från en viktig sida kan ge högre ranking än era länkar från fullständigt oviktiga sidor. Viktigheten hos en sida mäts i en ranking, så kallad PageRank.

Eftersom att länkar hela tiden ändrar sig, folk tar bort eller lägger till, så är rankingen i konstant rörelse, man skulle kunna kalla ranking för en färskvara. Dessvärre fungerar det inte att Google till varje sökning räknar ut rankingen, det tar alldeles för lång tid. Istället görs varje månad en ge-nomgång av alla sidor som Google hittar och låter datorer ställa upp dem i en gigantisk matris där egenvektorn räknas ut. Egenvektorn som genereras representerar sidornas ranking.

2.2 Hur fungerar det matematiskt?

(11)

Denition 2.2.2. Utlänk är en länk som pekar från en sida.

Vi antar att sida Si har Li ut-länkar. Om Si har en utlänk till sidan

Sj så ger Si värdet 1/Li av sin egen vikt till Sj. Alltså om Si är värd 1 och

totalt har två länkar till olika sidor så får båda sidorna 1

2 vardera i vikt. Om

Si däremot bara hade en utlänk så skulle den sidan få all vikt. Därefter

kan Sj:s vikt beskrivas som summan av alla inlänkars vikt till sidan Sj,

uppsättningen av alla dess sidor som skickar en länk till Sj kallar vi för Uj.

Vi kallar vikten V (Sj)för sidan Sj:s PageRank. Detta skrivs

V (Sj) = X Si∈Uj V (Si) Li . (2.1)

Redan här dyker det upp ett väldigt intressant problem. Vi ser att för att veta hur viktig Sj är så måste vi redan veta hur viktiga alla sidor som

länkar till Sj är. För att veta hur viktiga de är så måste vi redan veta hur

viktiga alla sidor som länkar till dem är. Det fortsätter i oändligheten och vi har ett problem som liknar det med hönan och ägget [2]. Hur löser vi detta? Jo, vi formulerar om problemet och beskriver detta med ett litet mini internet som består av endast fem sidor. Figuren 2.1 kommer att ge oss sidorna S1, S2, S3, S4 och S5 som ger L1 = 1, L2 = 1, L3 = 4, L4 = 3 och

L5 = 1.

Figur 2.1: Illustration av hur länkarna i ett småskaligt internet skulle kun-na se ut, där pilarkun-na motsvarar länkar och fyrkantekun-na motsvarar de olika internetsidorna.

Vi ställer upp resultatet från gur 2.1 i en matris A där kolumnerna representerar de länkar som sidorna ger till varandra och raderna de länkar som sidorna får. Komponenterna i matrisen A får följande utseende

(12)

Aij = ( 1 Li : Si∈ Uj 0 : Si∈ U/ j . (2.2) Där U1 = {S2, S3, S4}, U2 = {S3, S4}, U3 = {S1}, U4 = {S3, S5} och U5 = {S3, S4}så att A =       0 1 14 13 0 0 0 14 13 0 1 0 0 0 0 0 0 14 0 1 0 0 14 13 0       . (2.3)

Vi har nu fått ut en matris som uppfyller kraven för Perron-Frobenius sats, vilket beskrivs i kapitel 3. Kolumnerna är normerade och satsen ger då att det nns en egenvektor som svarar till egenvärdet 1. Vi tittar tillbaka på problemet som sa att för att veta hur viktig Sj är så måste vi redan veta hur

viktiga alla sidor som länkar till Sj är. Om vi ställer upp det i en rekursiv

formel på följande sätt Vk+1(Sj) = X Si∈Uj Vk(Si) Li (2.4)

så ser det inte längre helt omöjligt ut.

Vk+1(Sj)är alltså rankingen som sidan Sj har efter k +1 steg. Med hjälp

av denna formel och matrisen A så kan vi göra ett försök till att räkna ut miniinternetets ranking från gur 2.1 [5].

2.2.1 Räkna ut egenvektorn med hjälp av potensmetoden För att överkomma problemet med att man måste börja någonstans så ger vi sidorna en första ursprunglig ranking som kommer att ändras när vi tar er steg i ekvation 2.4. Den ursprungliga rankingen får vikten 1

n, där n står

för det totala antalet sidor som vi har. I gur 2.1 innebär det att alla sidor startar med värdet 1

5. Den första rankingen staplar vi upp i en vektor v som

ger att

v0 = (V0(S1), V0(S2), V0(S3), V0(S4), V0(S5)) . (2.5)

Genom att använda oss av att vi faktiskt har ett värde på vad alla länkar V0(Si) är värda så kan vi räkna ut V1(Sj).

(13)

V1(S1) = V0(S2) L2 +V0(S3) L3 +V0(S4) L4 = 1 5 + 1 20 + 1 15 = 19 60, V1(S2) = V0(S3) L3 +V0(S4) L4 = 1 20 + 1 15 = 7 60, V1(S3) = V0(S1) L1 = 1 5, V1(S4) = V0(S3) L3 +V0(S5) L5 = 1 20 + 1 5 = 1 4, V1(S5) = V0(S3) L3 +V0(S4) L4 = 1 20 + 1 15 = 7 60. (2.6)

Från detta kan vi nu räkna ut värdet på vektorn v1, som är

v1= (V1(S1), V1(S2), V1(S3), V1(S4), V1(S5)) =  19 60, 7 60, 1 5, 1 4, 7 60  . (2.7) Hur mycket vi än skulle kunna hoppas är detta inte den slutgiltliga ran-kingen. För om vi nu upprepar proceduren i ekvation 2.6 får vi ytterligare nya värden. Det vi letar efter är när de här värdena konvergerar och går mot ett och samma värde oavsett hur många gånger vi utför proceduren.

Vektorerna som vi precis har fått fram kan man uttrycka som en vektor matrismultiplikation med vår matris A. Där v1 = Av0 och

vk+1 = Avk, k = 0, 1, 2, 3, . . . . (2.8)

Då vektor vk är beroende av ursprungsvärdet v0så kan vi uttrycka detta

som en potens av A multiplicerat med ursprungsvärdet och får då att vk= Akv0, k = 1, 2, 3, . . . . (2.9)

Det är här vi börjar leta efter var funktionen konvergerar. Om vk

konver-gerar nns det ett gränsvärde i form av en vektor u. Gränsvärdet där detta sker skriver vi som

lim

k−→∞A kv

0= u. (2.10)

Vad gäller exemplet vi har tittat på med miniinternet genereras vektorn u = 151 (4,2,4,3,2).

Så länge matrisen A uppfyller kraven i PerronFrobenius sats så kommer gränsvärdet att existera och vektorn u kommer att vara positiv, detta kallas för potensmetoden. Läs mer om satsen och varför vektorn konvergerar i kapi-tel 3. För att helt garantera att A uppfyller dessa krav så måste vi se till att det nns en koppling mellan alla sidor. När A uppfyller detta så har vi nått fram till Googlematrisen som genererar det slutgiltliga PageRankvärdet [5].

(14)

2.2.2 En alternativ lösning

Med hjälp av Gauss-eliminering kan man räkna ut egenvektorn u till mini-internet på ett smidigare sätt.

Om egenvektorn har utformningen

u = (V (S1), V (S2), V (S3), V (S4), V (S5)) (2.11)

så vet vi med hjälp av formel 2.1 att

Au = λu. (2.12)

Detta kan skrivas om till

(A − I)u = 0 (2.13)

där 0 motsvarar nollvektorn, eftersom u är egenvektorn till egenvärdet λ = 1. Därför kan u bestämmas med Gauss-eliminering genom att beräkna

Null(A − I). (2.14)

Eftersom hela internet är gigantiskt kan vi inte använda oss av Gauss-eliminering, därför återgår vi nu till att med hjälp av potensmetoden hitta Google-matrisen.

2.2.3 Lösa knytpunkter

Problemet som vi stöter på här är om exempelvis en sida inte har några ut-länkar. Då kommer denna sidan att äta upp rankingen eftersom den aldrig ger ut någon ranking till någon annan. Detta kan även ske om det är en liten grupp av sidor som inte har ut-länkar till någon annan sida utanför gruppen. Fenomenet kallas för lösa knytpunkter och vi löser problemet om vi gör om Atill att alltid vara en stokastisk matris.

Denition 2.2.3. En stokastisk matris har inga negativa komponenter och summan av alla komponenter i varje kolumn är ett.

Om vi för att illustrera detta skapar en nollkolumn i matrisen A så får vi

A =       0 1 14 13 0 0 0 14 13 0 0 0 0 0 0 0 0 14 0 1 0 0 14 13 0       . (2.15)

För att undvika problemet som uppstår ändrar vi alla komponenter i nollkolumnen till 1

(15)

A =       1 5 1 1 4 1 3 0 1 5 0 1 4 1 3 0 1 5 0 0 0 0 1 5 0 1 4 0 1 1 5 0 1 4 1 3 0       . (2.16)

Så denna sida som inte länkade till någon sida bidrar nu ändå till att fördela ut sin vikt till alla andra sidor inklusive sig själv. Syftet med detta är att tillfredsställa den så kallade slumpmässige surfaren, där tanken är att hen sitter och surfar på internet. Eftersom surfaren är slumpmässig går hen in på en sida, trycker slumpmässigt på en länk med sannolikheten 1

Li och tar

sig vidare.

Så håller surfaren på tills hen kommer till en sida utan utlänkar. För att surfaren inte ska fastna där så vill man tillåta att hen istället kan teleportera sig till vilken annan sida som helst. Surfaren fastnar om det just är så att hen kommer till en sida som representeras av en kolumn i matrisen som är noll.

Om man då ser till att inga kolumner är noll, utan istället är normerade som alla andra, så kommer surfaren inte kunna fastna utan alltid kunna förytta sig.

2.2.4 Ett starkt sammanknutet internet

Om internet hade varit starkt sammanknutet, alltså om de esta sidor haft länkar till de esta andra sidor, ja, då hade vi inte behövt göra så mycket mer. Saken är den att internet snarare uppfyller motsatsen. Det är väldigt ont om länkar mellan de esta sidorna. Även om mini-internet i gur 2.1 har relativt gott om länkar så använder vi den som ett exempel för att illustrera hur man kan försäkra sig om att matrisen man räknar ut är irreducibel. Denition 2.2.4. En matris är reducibel om och endast om den kan re-duceras till en övre-triangulär form genom rad- eller kolumn-permutationer. Dessutom är matrisens komponenter inte starkt sammankopplade [19]. Denition 2.2.5. En irreducibel matris är inte reducibel.

Vi använder matrisen J =       1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1       (2.17)

till att skapa en matris F , där F = 1

5J. Om detta istället appliceras på

hela internet använder man sig av ett J med storlek n × n och F = 1 nJ, där

(16)

Vi får att A + F =       1 5 6 5 9 20 8 15 1 5 1 5 1 5 9 20 8 15 1 5 6 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 9 20 1 5 6 5 1 5 1 5 9 20 8 15 1 5       . (2.18)

Nu har vi garanterat ett starkt sammankopplat mini-internet [5]. Det är till och med så att alla sidor har länkar till varandra (om än olika värda). 2.2.5 Google-matrisen

Nu börjar vi närma oss G, det A + F saknar är att normeras. Vi väljer ett α mellan 0 och 1 och använder oss av att α + (1 − α) = 1 och får då att

G = αA + (1 − α)F. (2.19)

Eftersom vi nu vet att G alltid kommer att uppfylla Perron-Frobenius sats kan vi med gott samvete ersätta A med G i ekvation 2.10, så att

lim

k−→∞G kv

0 = u. (2.20)

Där komponent m i vektorn u motsvarar m:te internetsidans PageRank [5].

Här kommer den slumpmässige surfaren åter in. När vi har sett till att sidorna vi sätter upp i vår matris är starkt sammanknutna så har vi ock-så försäkrat oss om att oavsett var vår surfare benner sig på internet ock-så kommer hen alltid att kunna teleportera sig vart som helst då alla sidor är länkade till varandra.

2.2.6 Att bestämma α

Hur hittar man det optimala värdet för α? Vi tittar på ekvationen 2.19, där vi ser att om α = 1 är G = A. Det gör att alla dessa ändringarna som vi har gjort för att förbättra matrisen inte betyder något och vi får samma resultat som om vi bara använde A. Om däremot α = 0 så blir G = F , vilket innebär att vi skulle jobba med ett internet där alla sidor har lika stark koppling till varandra och PageRank blir helt oanvändbart. Därför vill vi ha ett α som är så nära 1 som möjligt så att strukturen som vi har hittat ändå spelar någon roll, men nackdelen är att u konvergerar långsammare ju närmare α är 1. Page och Brin kom utifrån detta fram till kompromissen att ge α värdet 0,85 [2].

(17)

2.2.7 Så används α i uppsatsen

Då potensmetoden inte är det enda sättet att räkna fram vektorn u så kom-mer vi senare i uppsatsen inte att använda oss av α på exakt detta sätt, istället används ett värde som vi kallar för β. Relationen mellan α och β i PageRank förhåller sig som β = 1 − α, men då vi vill kunna använda värden på β som är större än 1 så ger det

β = 1 − α

α . (2.21)

Vilket ger matrisen G utseendet 1

αG = A + βF. (2.22)

Eftersom matriserna som vi kommer att behandla inte heller är i närheten av att vara lika stora som Googlematrisen G så försvinner även behovet av matrisen F . Hur det istället förhåller sig kommer vi till efter att vi gått igenom PerronFrobenius sats mer grundläggande.

(18)

Kapitel 3

Perron-Frobenius sats

Oskar Perron tog fram satsen om irreducibla positiva matriser år 1907, som senare under år 1912 utvecklades av Ferdinand Frobenius till att även fungera för icke-negativa matriser. Då ingen av matriserna som vi kommer att arbeta med kommer att vara ickenegativa tas inte det med i satsen.

3.1 PerronFrobenius sats

Sats 3.1.1. För positiva matriser

Låt A vara en positiv kvadratisk matris. Då gäller:

• Det nns ett positivt egenvärde λ till A som har en tillhörande positiv egenvektor v.

• λ är till beloppet större än alla andra egenvärden till A. • λ har algebraisk multiplicitet 1.

Då A är en irreducibel matris så gäller att egenvektorn v är strikt positiv [7].

Satsen säger att för en positiv matris A nns en positiv egenvektor v, med tillhörande postivt egenvärde λ. Om A är irreducibel gäller att v är strikt positiv, enkel och unik, och dessutom att λ är det största egenvärdet för matrisen A.

Denition 3.1.1. Spektralradien är det största egenvärdet för primitiva ma-triser.

Denition 3.1.2. Låt A vara en ickenegativ matris. Då är A primitiv om det för någon positiv skalär m gäller att Am är en positiv matris.

Då man upphöjer den positiva matrisen A med ett tal så kommer det positiva och största egenvärdet λ att konvergera mot matrisens spektralradie,

(19)

som maximalt är 1. Om spektralradien är mindre än 1 kommer matrisen konvergera mot 0 vilket inte skulle ge något bra resultat vid rankning av lagen i en serie [10].

3.2 Närmanden till ett bevis

Eftersom beviset för Perron-Frobenius sats är så pass komplicerat och långt så skulle enbart beviset vara en uppsats i sig, därför kommer vi inte att bevisa det i sin helhet. För den nykne matematikern så nns beviset i Suieon Khim [8]. Däremot är det möjligt att bryta ner beviset till mindre delar där vi kan bevisa att 1 är ett egenvärde till en symmetrisk matris och att det endast nns en egenvektor med enbart positiva komponenter för symmetriska n × n matriser.

Sats 3.2.1. Låt A vara en positiv och symmetrisk matris som har kolumn-och radsummorna 1. Då gäller att:

1. ett egenvärde till A är 1;

2. om A är starkt sammanknuten, har egenvärdet 1 multiplicitet 1. Bevis. 1. Låt u = [1, 1, ..., 1]t. Då gäller att Au = 1u, eftersom summan

av alla komponenter i raderna i matrisen A är 1, så 1 är ett egenvärde till A.

2. Låt x = [x1, x2, ..., xn]t beteckna en egenvektor där alla komponenter

inte är lika. Anta att xj är den komponent i x med störst absolutbelopp.

Vi får då |(Ax)j| = | X j ajixi| ≤ X j aji|xi| ≤ X j aji|xj| = |xj|. (3.1)

Om någon av dessa olikheter är strikt kommer absolutbeloppet av egen-värdet att vara strikt mindre än 1. Den första olikheten kan endast bli en likhet om alla komponenter i x har samma tecken och den andra olikheten kan endast vara en likhet om alla komponenter i x har sam-ma värde, något som skulle göra x till en multipel av u. På grund av detta kommer den totala olikheten att vara strikt, så att u är den enda egenvektorn till egenvärdet 1 som därmed har multiplicitet 1.

Lemma 3.2.1. För en positiv symmetrisk n × n matris A gäller följande: • Matrisen A är ortogonalt diagonaliserbar.

(20)

• Matrisen A har enbart reella egenvärden.

• Egenvektorer från olika egenrum är ortogonala [1].

Sats 3.2.2. Det nns enbart en positiv egenvektor till en symmetrisk matris A.

Bevis. Enligt lemma 3.2.1 är egenvektorerna till matrisen A ortogonala vilket betyder att skalärprodukten mellan varje egenvektor u och v är 0. Det här betyder i sin tur enligt formeln

cos(θ) = u · v

k(u)k k(v)k (3.2)

att cos(θ) = 0. För att detta ska gälla måste θ = π

2 eller θ = − π

2. Därmed

har vi bevisat att vinkeln mellan varje egenvektor är π

2 och då kan det bara

nnas en egenvektor med enbart positiva komponenter.

Vi ska nu göra ännu ett närmande till bevis men nu vad gäller konver-gensen av ekvation 2.10, för fullständigt bevis se [8]. För att kunna göra detta använder vi oss av en matris A har kolumnsumman 1 i alla kolumner och alla komponenter är icke-negativa. Genom detta följer även att om man multiplicerar en icke-negativ vektor v0 med A så kommer vektorn v1 som

genereras i Av0 = v1 att vara icke-negativ. Om summan av komponenterna

dessutom är 1 i denna vektor v0 kommer även komponenterna i v1 att vara

det.

Att v0 är normerad gör att [1, . . . , 1]v0 = 1, då alla kolumner i A är

nor-merade följer även med hjälp utav matris-multiplikation att [1, . . . , 1]Av0 =

[1, . . . , 1]v0 = 1.

Då vi tidigare har sett utvecklingen av ekvation 2.8 till ekvation 2.9 vet vi att vi kan formulera om Av0 = v1 till Akv0 = vk. Vektorn vkär alltså

icke-negativ, summan av alla dess komponenter är 1 och den kan användas för att beräkna olika fall av sannolikhet, därför kallas den för en sannolikhets-vektor. Detta kan vi koppla samman med den slumpmässige surfaren, som slumpmässigt trycker på länkar. Komponenterna i vektorn skulle i detta fall representera olika sidor som i sin tur visar på sannolikheten att hamna på just den sidan.

Om vi utvecklar vektorn vk till ett gränsvärde v∞ är även det en

san-nolikhetsvektor. För att utveckla vk till ett gränsvärde så måste vi försäkra

oss om att detta gränsvärde alltid nns. Vi kommer nu att bevisa att detta gränsvärde existerar vid egenvärdet λ1= 1och förklara vad som händer med

resterande egenvärden.

Sats 3.2.3. Om A är en positiv matris där summan i varje kolumn är 1 så är det största egenvärdet λ1 = 1 och att egenvektorn c1u1 fås vid detta

(21)

Bevis. För att ta fram vektorn vk börjar vi med att uttrycka v0 som

v0 = c1u1+ c2u2+ · · · + cnun. (3.3)

Som vi tidigare har visat så får vi fram v1 genom att

v1 = Av0 = A(c1u1+ c2u2+ · · · + cnun)

= c1Au1+ c2Au2+ · · · + cnAun

= c1λ1u1+ c2λ2u2+ · · · + cnλnun.

(3.4)

Det sista steget i formel 3.4 sker då Au1= λ1u1, då λ1= 1 får vi formel

Av0 = c1u1+ c2λ2u2+ · · · + cnλnun. Utvecklar vi detta ytterligare så får vi

endast högre och högre potenser till λ. Enligt

v2 = Av1 = c1u1+ c2(λ2)2u2+ · · · + cn(λn)2un

...

vk = c1u1+ c2(λ2)ku2+ · · · + cn(λn)kun.

(3.5)

Att λ1 = 1 är dominant och därför unikt följer från sats 3.2.1. Då alla

andra värden på λ följer enligt 1 = λ1> |λ2| ≥ . . . |λn| ≥ 0får vi

lim k−→∞(λm) k= 0, m = 1,2,3, . . . , n. (3.6) Som ger lim k−→∞vk= c1u1. (3.7) Vi ser att Akv

0 = vk konvergerar och att v∞ alltid existerar vid λ1 = 1

[8].

3.3 Användningsområden för satsen

• PageRank  Googles sätt att ranka internetsidor [9].

• Crosstalk  Att räkna ut den optimala ljudnivån i exempelvis en re-staurangmiljö med era bord. Där problemet som kan uppstå är att ljudnivån ökar succesivt när personer från olika bord försöker överrösta varandra, istället för att ligga på en stadig ljudnivå [11].

• Prissättning av råvaror  Flera olika industrier som behöver varandras hjälp för att producera sin produkt behöver komma överens om värdet på råvarorna [11].

(22)

Kapitel 4

Rankingmetoden

Med hjälp av PerronFrobenius sats 3.1.1 kan vi skapa ett nytt rankingsy-stem som är lite mer komplicerat än det som används idag. Att helt enkelt räkna ihop vilket lag som har vunnit est matcher kan man göra hemma i TV soan. Men när man gör en matris av problemet, så ökar det en aning i dimension.

Att ranka ett lag handlar om den relativa betydelsen av ett lag i en se-rie. Rankingen är i de allra esta fall en injektiv avbildning från lagen till mängden {1,2, . . . , n} (där n är antalet lag i serien). I vissa fall hamnar två eller era olika lag på samma ranking, vilket kräver ett visst rankingsystem för att lösa. För att ranka lagen så rättvist som möjligt används jämförelser mellan lagen för att skapa ett poängsystem som beror av någon typ av in-formation som nns tillgänglig. Denna inin-formation berör i de allra esta fall antalet vinster, förluster eller lika matcher i serien dittills, men information som kan vara värdefull är mål, bollinnehav, oensiv och defensiv spelteknik med mera.

Ranking av lagen görs genom parvisa jämförelser lagen emellan, där i princip alla nuvarande systemen har gemensamt att oberoende av vilket lag vinsten är emot ger det alltid samma poäng.

Låt oss nu titta på vad som händer om vi använder oss av sats 3.1.1 och skapar ett nytt rankingsystem.

4.1 Vi skapar en matris

Denition 4.1.1. Rankingmetoden är den metod som med hjälp av sats 3.1.1 utvecklats för att beräkna rankingen av olika lag inom sporter.

Denition 4.1.2. Poänggivningsmetoden är den metod som idag används för att beräkna rangordningen av olika lag inom sporter.

I allsvenskan möter alla lag varandra två gånger. Om ett lag vinner så tilldelas de i första steget av rankingmetoden 1 poäng och om man spelar

(23)

lika så får båda lagen 1

2 poäng. En förlust belönas inte med några poäng alls.

Vi skapar en matris B, där raderna är poängen som lagen totalt har skrapat ihop och kolumnerna poängen som lagen delar ut.

För att visa hur detta kan bli till att se ut så sätter vi in resultatet från allsvenskan 2011 i matrisen B där laget som vann allsvenskan det året, Helsingborg, representeras av den första raden och den första kolumnen. Därefter föjler lagen, både kolumn- och radvis, i fallande ordning efter vem som ck mest poäng med poänggivningsmetoden.

B =                              0 12 1 32 32 1 2 2 1 2 32 32 1 2 2 2 3 2 0 1 2 3 2 1 1 1 1 1 2 3 2 2 2 1 2 2 1 32 0 1 1 1 32 12 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 1 3 2 1 2 2 1 2 3 2 2 2 3 2 3 2 3 2 2 1 2 1 1 1 0 1 1 1 1 3 2 3 2 1 0 2 2 2 1 1 1 12 1 0 32 0 1 2 1 0 32 2 2 2 0 1 12 32 1 12 0 23 1 1 1 1 32 2 12 2 0 1 32 0 1 2 12 0 1 0 1 2 2 1 1 32 1 1 1 32 1 1 1 1 0 12 1 1 32 32 0 32 0 0 1 12 12 0 1 2 32 0 1 2 32 1 1 1 1 2 3 2 0 0 1 2 1 1 1 1 1 0 1 0 3 2 1 2 1 2 0 0 0 1 2 1 0 1 0 1 0 2 1 3 2 3 2 1 0 1 12 2 12 12 0 12 12 2 0 0 1 2 1 0 1 0 12 0 0 0 1 21 1 12 1 1 0 2 32 0 0 1 12 0 0 32 1 2 1 1 12 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 0 12 21 1 0 12 1 12 32 0                              . (4.1)

Det syns tydligt att de välpresterande lagen enligt poänggivningsmetoden mycket oftare har gått obesegrade än de sämre presterande lagen. Ett lag som har spelat bra enligt poänggivningsmetoden behöver bara ha så många höga siror som möjligt i sin rad. Om laget däremot ska ha presterat bra enligt rankingmetoden så måste de höga sirorna vara mot de lag som inte delar ut så mycket poäng till andra, både vad gäller beräkningarna på antal vinster och på antal gjorda mål.

Störst fokus ligger vid antal vinster och förluster men vi kommer också undersöka hur resultaten ser ut om rankingmetoden appliceras på antalet mål som lagen gör. Med rankingmetoden får lagen ett poäng för varje mål de gör, vilket betyder att ett lag får en större andel av rankingen om de gör er mål.

För att beräkna rankingen tittar vi på hur många poäng som alla lag delar ut till varandra. Innan spelen börjar har alla lag värdet 1. Lagets etta delas ut proportionellt till lagen som har vunnit över eller spelat lika mot dem. För att lagen ska dela ut en etta var måste vi normera kolumnerna, men innan vi gör detta måste vi se till att rätta till en sak.

(24)

4.2 Vi lägger till ett β-värde

Låt oss anta att ett lag har gått obesegrade ur turneringen. Då delar de inte ut någonting av sin etta utan äter massvis med ranking från alla andra, som beskrivits närmare i kapitel 2. För att undvika detta problem så adderar vi en liten positiv konstant β till alla komponenter så att det inte uppstår några hål som äter rankingen. Vi låter

C = B + βJ, (4.2)

där J är en matris med värdet 1 på alla komponenter. Oavsett hur lagen spelar gör β att slutmatrisen som vi räknar ut endast har positiva värden i sig, den ser även till att matrisen C är stokastisk och irreducibel.

Med hjälp av MatLab har vi kunnat jämföra olika värden på β för opti-malt resultat. Vi startade med β = 0,15 ty det var detta värde som gett bäst resultat i Google-matrisen. För att inte ta för givet att detta är bäst även vid ranking av lag så har vi testat olika alternativ.

De olika β-värden vi undersökt i allsvenskan är β1 = 0,15, β2 = 1 och

β3 = 2. Det vi ser när vi väljer ett större β är att skillnaden i rankingen

minskar då vi jämför med poänggivningsmetoden. Därför förkastar vi β2och

β3, då vi vill att rankingen ska ha en hög inverkan på resultatet. Syftet

med att använda β är att försäkra sig om att matrisen är stokastisk och irreducibel, inte att få resultatet så likt poänggivningsmetoden som möjligt. Men rankingmetoden kan också bli orättvis om det är få lag som möter varandra och det som är avgörande är antalet mål, i exempelvis ett grupp-spel. Detta är anledningen till att vi också testar olika β för EM-grupp-spel. De β vi valt är β1 = 0,15, β2 = 1, β3 = 2 och β4 = 3. Ett exempel på detta är

om Lag A vinner mot alla lag och därmed gör mål mot alla lag, då borde Lag A vara det bästa laget. Men om Lag B gör det enda målet på Lag A så får Lag B hela Lag A:s utdelning och kan då gå om dem i ranking. Därför undersöker vi resultatet med ett högre β. Med hjälp av ett högre β får vi faktiskt en rättvisare ranking, då betydelsen av exakt vilket lag just Lag B gör mål mot minskar en aning.

Vi valde dessutom att jämföra poängresultaten i basketligan eftersom ett lag i varje match kan göra uppåt 100 poäng jämfört med fotboll där fyra mål räknas som mycket. Vi valde att jämföra β1 = 0,15, β5 = 15, β6 = 100 och

β7 = 400. Anledningen till att vi valde just dessa värden på β är att vi ville

ha ett värde som inte påverkar poängskillnader så mycket, ett värde som ligger i underkant och ett som ligger i överkant på poängsumman av alla möten mellan två lag. Det vi upptäckte var att oavsett värde genererar det samma ranking tabellmässigt.

För att försäkra oss om att β1 verkligen är det ultimata värdet,

un-dersöker vi också β8 = 0,1 och β9 = 0,2 i allsvenskan. Eftersom så små

(25)

0,15.

4.3 Ranking

Matrisen C består av kolumnvektorerna c1, c2, c3, . . . , c16. Vi låter D vara

C:s normerade vektorer. Alltså är

D =  c1 kc1k c2 kc2k c3 kc3k . . . c16 kc16k  . (4.3)

Den normerade matrisen D får detta utseende

D =                              1 66 13 248 23 258 10 129 33 298 23 298 43 328 43 338 23 338 43 368 33 388 33 398 23 398 43 448 43 468 43 538 1 6 3 248 13 258 10 129 23 298 23 298 23 328 23 338 23 338 43 368 13 388 43 398 43 398 23 448 43 468 43 538 23 198 33 248 1 86 23 258 23 298 23 298 33 328 1 26 23 338 1 16 43 388 43 398 23 398 43 448 23 468 43 538 13 198 13 248 23 258 1 86 23 298 33 298 13 328 43 338 1 26 33 368 43 388 43 398 33 398 33 448 11 156 43 538 13 198 23 248 23 258 23 258 3 298 23 298 23 328 23 338 23 338 33 368 33 388 23 398 3 398 43 448 43 468 43 538 23 198 23 248 23 258 13 258 23 298 3 298 33 328 3 338 23 338 43 368 23 388 3 398 33 398 43 448 43 468 43 538 1 66 23 248 13 258 10 129 23 298 13 298 3 328 33 338 23 338 1 16 23 388 23 398 33 398 43 448 1 36 43 538 1 66 23 248 11 86 1 86 23 298 43 298 13 328 3 338 23 338 3 368 23 388 43 398 43 398 23 448 23 468 33 538 23 198 23 248 23 258 10 129 23 298 23 298 23 328 23 338 3 338 13 368 23 388 23 398 33 398 33 448 1 156 33 538 1 66 3 248 23 258 13 258 13 298 3 298 23 328 43 338 33 338 3 368 23 388 43 398 33 398 23 448 23 468 23 538 13 198 33 248 1 86 1 86 13 298 23 295 23 328 23 338 23 338 1 16 3 388 23 398 3 398 33 448 23 468 43 538 13 198 3 248 1 86 1 86 23 298 43 295 23 328 3 338 23 338 3 368 23 388 3 398 43 398 23 448 11 156 33 538 23 198 3 248 23 258 13 258 43 298 13 295 13 328 3 338 1 26 13 368 43 388 3 398 3 398 23 448 43 468 23 538 1 66 23 248 1 86 13 258 3 298 3 298 3 328 23 338 1 26 1 16 13 388 23 398 23 398 3 448 43 468 33 538 1 66 3 248 23 258 13 258 3 298 3 298 33 328 23 338 43 338 1 16 23 388 13 398 33 398 3 448 1 156 13 538 1 66 3 248 1 86 1 86 3 298 3 298 3 328 1 26 1 26 1 16 3 385 13 398 23 398 13 448 11 156 3 538                              . (4.4) För att beräkna detta så har vi använt dataprogrammet MatLab. Alla siror matas in till en matris och datorn räknar ut matrisens alla egenvek-torer och egenvärden. Enligt sats 3.1.1, så är det största egenvärdet 1 och egenvektorn som genereras av detta egenvärde representerar rankingen, där laget som har blivit tilldelat det högsta värdet, har den högsta rankingen. Egenvektorn E genereras av egenvärdet 1 till matrisen D, så att

(26)

E =                              0,3345 0,3189 0,3107 0,2896 0,2731 0,2783 0,2507 0,2530 0,2821 0,2185 0,2151 0,1994 0,2225 0,1570 0,1742 0,0964                              . (4.5)

Det översta talet står för det första inmatade lagets ranking..

Sådär, rankingmetoden är utvecklad och i nästa kapitel beskrivs hur po-ängsystemen ser ut idag för fotboll, basket och ishockey.

(27)

Kapitel 5

Sport

Nedan följer några korta texter som förklarar hur man idag räknar poäng och tabeller inom de sporter som vi har valt att titta närmare på. Vi har valt era olika sporter för att kunna jämföra skillnader i antal mål, olika antal matcher mot varandra och för att kunna se vad som händer när alla lag inte möter varandra.

5.1 Poängsystemet i fotboll  Allsvenskan

I allsvenskan nns det 16 lag, alla lagen möter varandra två gånger, en hem-mamatch och en bortamatch. Lagen får ett poäng för varje mål de gör, det lag som efter ordinarie speltid gjort est mål vinner. Om lagen gör lika många mål sker ingen förlängning under matcherna i grundserien.

Poäng som räknas in i tabell ges enligt följande: • 3 poäng för vinst.

• 1 poäng för lika.

• 0 poäng för förlust [17].

Om två eller er lag har lika poäng efter serien används denna ordning för att skilja lagen åt:

• Bäst målskillnad i serien. • Flest antal gjorda mål.

• Inbördes resultat, det vill säga den som ck est poäng i mötet lagen emellan, där mål på bortaplan räknas som dubbla poäng.

• Skiljematch, för att skilja ut vilket/vilka lag som ska få priser och vid risk för nedplacering [16].

(28)

5.2 Poängsystemet i fotboll  EM

I fotbolls EM är det 16 deltagande lag. I EM ger, liksom i allsvenskan, varje mål ett poäng och det lag som gjort est mål vinner matchen. EMspel är speciellt på det sättet att alla inte möter alla lag. För att ta reda på vilka lag som ska möta vilka sker en lottning av alla deltagande lag för att skapa fyra grupper om fyra lag. Inom varje grupp utförs ett slags miniseriespel, där lagen möter varandra en gång vardera. Under dessa seriespel beräknas poäng in i tabell enligt följande:

• 3 poäng för vinst. • 1 poäng för lika. • 0 poäng för förlust.

När seriespelet är över går varje grupps etta och tvåa vidare till nalspel, vilket bestäms av vilka lag som har est poäng. Om två eller er lag har lika poäng efter gruppspelet används denna ordning för att skilja lagen åt:

• Inbördes möten, det vill säga den som ck est poäng i mötet mellan lagen.

• Om er än två lag hade samma poäng:

1. Bäst målskillnad i matchen mellan lagen med samma poäng, det vill säga störst dierens mellan gjorda och insläppta mål.

2. Störst antal mål i matchen mellan lagen. • Bäst målskillnad i gruppen.

• Flest antal gjorda mål i gruppen. • Högst placering i Uefas ranking.

• Bäst fair play uppförande, under slutspelet, där Uefa betygsätter be-teendet hos samtliga lag.

• Lottning [18].

5.3 Poängsystemet i basket  Basketligan

När ett lag kastar bollen genom korgen så får de poäng. Om spelaren som skjuter står innanför korgområdet så får laget två poäng. Om spelaren där-emot står utanför och skjuter ett längre kast så får laget tre poäng. Kor-gområdet sträcker sig 6,25 meter från korgen. Om en spelare träar bollen i korgen under ett strakast får laget en poäng.

(29)

En basketmatch i basketligan, som vi har utgått ifrån i våra beräkningar består av fyra tio minuters perioder. Om lagen efter denna tid ligger lika så blir det förlängning och man fortsätter med förlängningar tills ett av lagen vinner. En match i basketligan kan alltså inte sluta oavgjort.

När alla matcher i serien har spelats har alla lag mött varandra två gånger hemma och två gånger borta. Från varje match får lagen med sig ett antal poäng till seriespelet där man tävlar mot alla andra lag om mest poäng i grundserien.

Poäng som räknas in i tabell ges enligt följande: • 2 poäng för vinst.

• 0 poäng för förlust [14].

5.4 Poängsystemet i ishockey  Elitserien

I ishockey ger varje mål ett poäng, den som har gjort est mål vid slutsignalen vinner matchen. Om matchen efter ordinarie speltid är oavgjord, spelas en förlängning, så kallad sudden death, med en spelare färre i vardera laget under maximalt 5 minuter. Anledningen till att förlängningen kallas sudden death är att så fort ett av lagen gjort ett mål (under förlängningen) så är matchen avgjord. Om inget mål gjorts under förlängningen följer straäggning. Lagen får då turas om att lägga tre straar och det lag som gör est mål av dessa vinner matchen. Om det därefter fortfarande är lika får lagen slå varsin stra tills ett avgörande kommer. När serien är slut har alla lagen mött varandra fem gånger.

Poäng som räknas in i tabellen ges enligt följande: • 3 poäng för vinst under ordinarie tid.

• 2 poäng för vinst efter förlängning eller straar. • 1 poäng för förlust efter förlängning eller straar. • 0 poäng för förlust under ordinarie tid [15].

Låt oss nu jämföra tabellerna för poänggivningsmetoden och rankingme-toden.

(30)

Kapitel 6

Resultat och jämförelser

Totalt räknade vi ut resultaten för vårt poängsystem på två olika sätt, an-tingen med att antalet vinster eller med att antalet mål/poäng gav ranking. Vi analyserade två olika säsonger från vardera tre olika sporter. Hur tabel-lerna konstruerats har redovisats i tidigare kapitel. I basket kan som bekant matcherna inte sluta lika och lagen får istället 1 poäng för vinst och 0 för förlust. I ishockey tilldelas lagen i den första matrisberäkningen 1 poäng för vinst, 0,75 poäng för vinst efter ordinariespeltid, 0,25 poäng för förlust efter ordinariespeltid och 0 poäng för förlust.

När tabellen beräknas på mål uppstår förändringar i hela tabellen. Det beror på att lagen kan få med sig poäng även om de inte vunnit matchen. I detta system räknas poängen för varje mål laget gör och inte beroende på om de vinner eller förlorar.

För fullständiga matriser som har genererat våra resultattabeller i detta kapitel se bilaga A.

Nedan följer de sammanfattande resultaten.

6.1 Fotboll  allsvenskan

Denition 6.1.1. Topplagen är de lag som i den verkliga tabellen placerade sig bäst.

Denition 6.1.2. Bottenlagen är de lag som i den verkliga tabellen place-rade sig sämst.

Resultaten från säsongen 2011 nns att betrakta i tabell 6.1 och säsongen 2012 nns i tabell 6.2. I tabellerna har vi i kolumn 1 listat lagen som spelade i allsvenskan säsong 2011 och 2012. Helsingborg IF står överst i tabell 6.1 för att de var det lag som vann enligt poängsystemet som används idag och IF Elfsborg står längst upp i tabell 6.2 eftersom de vann allsvenskan 2012. Lagen som är listade i kolumn fyra representerar den ordning som lagen hade kommit i om man använt sig av rankingmetoden där man räknar med vinster

(31)

och lagen i kolumn fem visar ordningen som det hade blivit om man räknar med antal mål.

Lag enligt tabell Lag enligt vårt system Lag enligt antal mål

1 Helsingborg IF Helsingborg IF Helsingborg IF

2 AIK -3 AIK IF Elfsborg

3 IF Elfsborg +1 IF Elfsborg BK Häcken

4 Malmö FF -6 Malmö FF GAIS

5 GAIS -2 +1 Gee IF FF AIK

6 BK Häcken +3 BK Häcken Trelleborgs FF

7 IFK Göteborg -2 GAIS IFK Göteborg

8 Kalmar FF Kalmar FF Kalmar FF

9 Gee IF FF +4 -3 IFK Göteborg Örebro SK

10 Mjällby AIF -1 -4 IFK Norrköping FK Malmö FF

11 Djurgården IF -1 Mjällby AIF Djurgården IF

12 Örebro SK -1 +3 Djurgården IF Gee IF FF

13 IFK Norrköping FK +3 Örebro SK IFK Norrköping FK

14 Syrianska FC -1 -2 Trelleborgs FF Mjällby AIF

15 Trelleborgs FF +1 +9 Syrianska FC Halmstad BK

16 Halmstad BK +1 Halmstad BK Syrianska FC

Tabell 6.1: Fotboll  allsvenskan 2011: Kolumn 2 syftar till lagets förändrade placering i tabell från kolumn 1 till kolumn 4, kolumn 3 syftar till lagets förändrade placering i tabell från kolumn 1 till kolumn 5.

6.1.1 Vinster och förluster

Största skillnaden mellan rankingmetoden och poänggivningsmetoden i ta-bell 6.1 är det som sker för Gee IF FF och IFK Norrköping FK.

Gee IF FF puttar ner GAIS och IFK Göteborg eftersom Gee IF FF spelar bättre mot topplagen än vad GAIS gör och GAIS vinner er matcher mot sämre lag som då inte kan väga upp med rankingmetoden. På samma sätt gick Gee IF FF om IFK Göteborg.

IFK Norrköping FK petar ner Mjällby AIF, Djurgården IF och Örebro SK ett steg vardera. IFK Norrköping FK vinner en match mot topplagen vilket är bra i jämförelse med att Djurgården IF och Örebro SK endast spelar lika en gång vardera och Mjällby AIF förlorar allt mot topplagen.

Det intressanta fallet i tabell 6.2 är AIK som går om både BK Häcken och Malmö FF eftersom de har er vinster mot topplagen. AIK har en vinst i kombination med en lika mot topplagen där IF Elfsborg enbart fått till en vinst mot dessa lag.

(32)

Lag enligt tabell Lag enligt vårt system Lag enligt antal mål

1 IF Elfsborg -1 -2 AIK BK Häcken

2 BK Häcken -1 +1 IF Elfsborg Helsingborg IF

3 Malmö FF -1 -2 BK Häcken IF Elfsborg

4 AIK +3 -3 Malmö FF IFK Norrköping FK

5 IFK Norrköping FK +1 IFK Norrköping FK Malmö FF

6 Helsingborg IF +4 Helsingborg IF Åtvidaberg FF

7 IFK Göteborg -2 IFK Göteborg AIK

8 Åtvidaberg FF -2 +2 Kalmar FF Kalmar FF

9 Djurgården IF -1 Djurgården IF IFK Göteborg

10 Kalmar FF +2 +2 Åtvidaberg FF Djurgården IF

11 Gee IF FF -5 Gee IF FF GIF Sundsvall

12 Mjällby AIF Mjällby AIF Mjällby AIF

13 Syrianska FC -1 GIF Sundsvall Syrianska FC

14 GIF Sundsvall +1 +3 Syrianska FC Örebro SK

15 Örebro SK +1 Örebro SK GAIS

16 GAIS +1 GAIS Gee IF FF

Tabell 6.2: Fotboll  allsvenskan 2012: Kolumn 2 syftar till lagets förändrade placering i tabell från kolumn 1 till kolumn 4, kolumn 3 syftar till lagets förändrade placering i tabell från kolumn 1 till kolumn 5.

6.1.2 Mål

I tabell 6.1 gör Trelleborg FF en klättring från 15:e till sjätte plats där de går om mer än halva tabellen. Anledningen till att de går om så många lag är för att de sammanlagt gjort er mål än dessa. Utmärkande gjorde de fyra mål mot Helsingborg IF vilket inget annat lag lyckades med. De gjorde även tre mål mot vardera IF Elfsborg och Malmö FF som hjälpte till att ta dem förbi de andra lagen med sämre målstatistik.

Malmö FF som tappar sex placeringar gör många mål mot de två sämre lagen men inte tillräckligt många mot de bra, vilket alltså inte räcker för att hålla sig i toppen av tabellen. I jämförelse med de fem bottenlagen i tabell 6.2 gör Gee IF FF få mål mot topplagen vilket placerar dem på 16:e plats. 6.1.3 Kommentarer

Oavsett om vi väljer att titta på vinster eller antal mål så åker Syrianska FC ur allsvenskan enligt rankingmetoden i tabell 6.1, detta eftersom de varken gör tillräckligt många mål eller vinner mot de värdefulla lagen i toppen av tabellen.

Till skillnad från Syrianska FC så skulle Gee IF FF klara sig om man tittar på vinster och förluster. Tittar man däremot på antalet mål skulle det

(33)

kosta Gee IF FF en plats i allsvenskan enligt rankingmetoden, då de inte gjort tillräckligt många mål.

6.2 Fotboll  EM 2012

Resultaten från detta mästerskap nns att betrakta i tabell 6.3. Här har vi listat i kolumn 1 lagen som spelade i fotbollsEM 2012. Lagen som är listade i kolumn fyra representerar den ordning som lagen hade kommit i om man använt sig av rankingmetoden där man räknar med vinster och lagen i kolumn fem visar ordningen som det hade blivit om man räknar med antal mål.

I bilaga C nns fullständiga resultat av matcherna som spelades under fotbollsEM 2012.

Lag enligt tabell Lag enligt vårt system Lag enligt antal mål

1 Tjeckien -1 -1 Ryssland Ryssland

2 Ryssland +1 +1 Tjeckien Tjeckien

3 Grekland Grekland Grekland

4 Polen Polen Polen

1 Tyskland -1 Tyskland Danmark

2 Portugal -1 Portugal Tyskland

3 Danmark +2 Danmark Portugal

4 Holland Holland Holland

1 Spanien -1 Spanien Italien

2 Italien +1 Italien Spanien

3 Kroatien Kroatien Kroatien

4 Irland Irland Irland

1 England -1 England Sverige

2 Frankrike -1 Frankrike England

3 Sverige +2 Sverige Frankrike

4 Ukraina Ukraina Ukraina

Tabell 6.3: Fotboll  EM 2012: Kolumn 2 syftar till lagets förändrade place-ring i tabell från kolumn 1 till kolumn 4, kolumn 3 syftar till lagets förändrade placering i tabell från kolumn 1 till kolumn 5. I EM är de 16 lagen uppdelade i fyra olika grupper som skiljs åt av de horisontella linjerna i tabellen.

6.2.1 Vinster och förluster

Då Ryssland är det enda laget som vinner över Tjeckien så får de hela deras värde i utgående ranking i grupp 1. Eftersom Tjeckien dessutom inte besegrar Ryssland så får Ryssland tillräckligt hög ranking för att gå om Tjeckien.

(34)

Lag med Lag med ranking ranking β1 β2, β3 och β4 1 Ryssland Ryssland 2 Tjeckien Tjeckien 3 Grekland Grekland 4 Polen Polen 1 Danmark -2 Tyskland 2 Tyskland +1 Portugal 3 Portugal +1 Danmark 4 Holland Holland 1 Italien -1 Spanien 2 Spanien +1 Italien 3 Kroatien Kroatien 4 Irland Irland 1 Sverige Sverige 2 England England 3 Frankrike Frankrike 4 Ukraina Ukraina

Tabell 6.4: Fotboll  EM 2012 beräknat på mål med olika β: Kolumn 3 syftar till lagets förändrade placering i tabell från kolumn 2 med β1 = 0,15

till kolumn 4 med β2 = 1, β3 = 2 och β4 = 3, eftersom dessa gav samma

resultat. I EM är de 16 lagen uppdelade i fyra olika grupper som skiljs åt av de horisontella linjerna i tabellen.

I grupp 2 sker inga förändringar då det inte nns några oavgjorde mat-cher och varje lag vinner över alla de lag som enligt poänggivningsmetoden presterade sämre än dem.

I grupp 3 och 4 sker heller inga förändringar då de lag som spelat bäst enligt poänggivningametoden även spelar bäst enligt rankingmetoden. 6.2.2 Mål med β1

Då Sverige i grupp 4 gör två mål mot både England och Frankrike får de

2

3 av vardera lags utdelning. Detta ger Sverige en högre ranking än de båda

lagen, då England och Frankrike endast får 1

3 vardera. Detta leder till att

Sverige vinner sitt gruppspel och går vidare till slutspel.

Danmark går om både Tyskland och Portugal i grupp 2 då de får hälften av båda lagens utdelning. Då både Tyskland och Portugal har gjort mycket mål mot Danmark och Holland ger de målen inte lika hög ranking.

I grupp 3 går Italien om Spanien för att de får hela Spaniens utdelning och Spanien endast får halva Italiens utdelning. Så trots att Spanien gör fyra mål på Irland som ger 4

9 av Irlands utdelning och Italien bara får 2

(35)

Italien.

6.2.3 Mål med β2, β3 och β4

Under rubriken 4.2 kommer vi fram till att β1 inte är det mest optimala

värdet när det gäller just EMspel där resultatet avgörs av antal mål. Därför redovisar tabellen 6.4 för hur resultatet förändras med ett högre βvärde.

Som tidigare beskrivit får Danmark höga poäng från både Tyskland och Portugal i grupp tre. Då detta kanske inte är helt rätt förtjänat eftersom de inte vunnit någon av matcherna mot dessa lagen så rättar det högre βvärdet till detta.

6.2.4 Kommentar

Värt att kommentera är att Italien och Spanien gick till nal vilket betydde att de var de bästa lagen. Från det här kan man spekulera om hur bra Kroa-tien och Irland var. Eftersom de mötte de bästa lagen i gruppspelet åkte de ut. Om de istället hade placerats i en annan grupp hade kanske möjligheten funnits att de tagit sig vidare längre i mästerskapet. Prestationsmässigt hade de kunnat hamna på en tredje eller fjärde plats om lottningen varit till deras fördel. Alternativet är att de faktiskt inte var tillräckligt duktiga för att be-segra några lag och ta sig vidare från gruppspelet. Varken rankingmetoden eller poänggivningsmetoden har någon bra lösning på problemet.

6.3 Basket  basketligan

Resultaten från säsongen 2010/11 nns att betrakta i tabell 6.5 och säsongen 2011/12 nns i tabell 6.6. I tabellerna har vi listat i första kolumnen lagen som spelade i basketligan säsong 2010/11 och 2011/12. Sundsvall Dragons står överst i tabell 6.5 för att de var det lag som vann enligt poänggivnings-metoden och Norrköping Dolphins står överst i tabell 6.6 då de vann denna säsong. Lagen som är listade i kolumn fyra representerar den ordning som lagen kommit i om man använt sig av rankingmetoden där man räknar med vinster och lagen i kolumn fem visar ordningen som det hade blivit om man räknar med antal mål.

6.3.1 Vinster och förluster

Varken i tabell 6.5 eller 6.6 sker det några större förändringar.

Mot de bättre lagen spelar LF Basket och Sundsvall Dragons varannan gång bättre i tabell 6.5. Men LF Basket får med sig högre poäng från dessa och de två topplagen byter placering.

(36)

Lag enligt tabell Lag enligt vårt system Lag enligt antal poäng

1 Sundsvall Dragons -1 LF Basket Sundsvall Dragons

2 LF Basket +1 -1 Sundsvall Dragons Norrköping Dolphins 3 Norrköping Dolphins +1 Norrköping Dolphins LF Basket

4 Södertälje Kings -5 Södertälje Kings Borås Basket

5 Uppsala Basket -2 Solna Vikings Uppsala Basket

6 Solna Vikings +1 Jämtland Basket Solna Vikings

7 Borås Basket -1 +3 Uppsala Basket Jämtland Basket

8 Jämtland Basket +2 +1 Borås Basket ecoÖrebro

9 08 Stockholm HR -1 -1 ecoÖrebro Södertälje Kings

10 ecoÖrebro +1 +2 08 Stockholm HR 08 Stockholm HR

Tabell 6.5: Basket  basketligan 2010/11: Kolumn 2 syftar till lagets föränd-rade placering i tabell från kolumn 1 till kolumn 4, kolumn 3 syftar till lagets förändrade placering i tabell från kolumn 1 till kolumn 5.

Lag enligt tabell Lag enligt vårt system Lag enligt antal poäng 1 Norrköping Dolphins -5 Norrköping Dolphins Borås Basket 2 Södertälje Kings -5 Södertälje Kings Sundsvall Dragons 3 Sundsvall Dragons -3 +1 Uppsala Basket Solna Vikings

4 Borås Basket +3 Borås Basket Jämtland Basket

5 Uppsala Basket +2 -3 LF Basket LF Basket

6 LF Basket +1 +1 Sundsvall Dragons Norrköping Dolphins 7 Solna Vikings -1 +4 08 Stockholm HR Södertälje Kings

8 08 Stockholm HR +1 -1 Solna Vikings Uppsala Basket

9 Jämtland Basket +5 Jämtland Basket 08 Stockholm HR

10 ecoÖrebro ecoÖrebro ecoÖrebro

Tabell 6.6: Basket  basketligan 2011/12: Kolumn 2 syftar till lagets föränd-rade placering i tabell från kolumn 1 till kolumn 4, kolumn 3 syftar till lagets förändrade placering i tabell från kolumn 1 till kolumn 5.

08 Stockholm HR vann mot LF Basket men har därefter förlorat mot de fyra efterföljande lagen jämfört med ecoÖrebro som istället förlorade mot LF Basket och vann mot de fyra efterföljande lagen.

I tabell 6.6 har Sundsvall Dragons inte presterat lika bra mot topplagen som de tre efterföljande lagen gjort vilket gör att de tappar tre placeringar. 6.3.2 Mål

Det mest intressanta fallet i tabell 6.5 är att Södertälje Kings faller hela fem placeringar. Detta beror på att de gjort färre poäng än alla lagen nedanför

(37)

sig i tabellen bortsett från 08 Stockholm HR.

I tabell 6.6 faller Norrköping Dolphins och Södertälje Kings fem place-ringar vardera eftersom de inte gör lika många poäng som efterföljande lag i tabellen. Norrköping Dolphins förlorar sin förstaplacering och Södertälje Kings mister sin andra plats.

Jämtland Basket gör mycket poäng mot topplagen jämfört med de lag som ligger över dem i tabellen. Det ger dem tillräckligt hög ranking för att gå upp fem placeringar.

I princip gäller med rankingen med avseende på mål att det inte spe-lar någon större roll hur många poäng lagen släpper in, det enda som är väsentligt och som rankingen beräknas på är hur många poäng lagen gör.

6.4 Ishockey  elitserien

Resultaten från säsongen 2010/11 nns att betrakta i tabell 6.7 och säsongen 2011/12 nns i 6.8. I tabellerna har vi listat i första kolumnen lagen som spelade i elitserien säsong 2010/11 och 2011/12. HV 71 står överst i tabell 6.7 för att de var det lag som vann enligt poängsystemet som används idag och Luleå HF står överst i tabell 6.8 då de vann denna säsong. Lagen som är listade i kolumn fyra representerar den ordning som lagen hade kommit i om man använt sig av rankingmetoden där man räknar med vinster och lagen i kolumn fem visar ordningen som det hade blivit om man räknar med antal mål.

Lag enligt tabell Lag enligt vårt system Lag enligt antal mål

1 HV 71 HV 71 HV 71

2 Färjestad BK -2 -1 Skellefteå AIK Skellefteå AIK

3 Skellefteå AIK +1 +1 Luleå HF Färjestad BK

4 Luleå HF +1 -8 Färjestad BK Brynäs IF

5 Linköping HC -2 -3 Brynäs IF MODO Hockey

6 Djurgårdens IF Djurgårdens IF Djurgårdens IF

7 Brynäs IF +2 +3 Linköping HC Timrå IK

8 AIK -4 -3 Frölunda HC Linköping HC

9 Frölunda HC +1 -1 Timrå IK Södertälje SK

10 Timrå IK +1 +3 MODO Hockey Frölunda HC

11 Södertälje SK +2 Södertälje SK AIK

12 MODO Hockey +2 +7 AIK Luleå HF

Tabell 6.7: Ishockey  elitserien 2010/11: Kolumn 2 syftar till lagets föränd-rade placering i tabell från kolumn 1 till kolumn 4, kolumn 3 syftar till lagets förändrade placering i tabell från kolumn 1 till kolumn 5.

(38)

Lag enligt tabell Lag enligt vårt system Lag enligt antal mål

1 Luleå HF -9 Luleå HF HV 71

2 Skellefteå AIK -2 Skellefteå AIK MODO Hockey

3 HV 71 -1 +2 Brynäs IF Brynäs IF

4 Brynäs IF +1 +1 HV 71 Skellefteå AIK

5 Frölunda HC -1 Frölunda HC AIK

6 Färjestad BK -3 Färjestad BK Frölunda HC

7 AIK +2 AIK Linköping HC

8 MODO Hockey +6 MODO Hockey Växjö Lakers Hockey

9 Växjö Lakers Hockey -1 +1 Linköping HC Färjestad BK

10 Linköping HC +1 +3 Växjö Lakers Hockey Luleå HF

11 Djurgården IF Djurgården Djurgården

12 Timrå IK Timrå IK Timrå IK

Tabell 6.8: Ishockey  elitserien 2011/12: Kolumn 2 syftar till lagets föränd-rade placering i tabell från kolumn 1 till kolumn 4, kolumn 3 syftar till lagets förändrade placering i tabell från kolumn 1 till kolumn 5.

6.4.1 Vinster och förluster

Viktigaste förändringen i tabell 6.7 står AIK för, då de tappar fyra place-ringar från åttonde till sista plats. AIK får endast en vinst efter ordinarie speltid mot de två topplagen där bottenlagen vunnit tre till fem matcher. AIK vinner många matcher mot bottenlagen, men det räcker inte.

Vad gäller Brynäs IF och Linköping HC så spelar Brynäs IF bättre mot övre halvan av tabellen än vad Linköping HC gör, vilket är avgörande och resulterar i byte av placering. HV 71 behåller sin förstaplats oavsett vilken metod vi använder oss av.

I tabell 6.8 sker inga större förändringar, men det intressanta med just denna tabell är att de som har bytt plats på något sätt, byter med den som de fått samma poäng som med poänggivningsmetoden.

Brynäs IF vinner er av matcherna mot topplagen än vad HV 71 gör. De vann dessutom fyra matcher mot både MODO Hockey och Växjö Lakers Hockey där HV 71 endast vann två matcher sammanlagt under ordinarie speltid. Därför byter de plats i tabellen.

Placeringen mellan Växjö Lakers Hockey och Linköping HC ändrades också, där nns dock ingen extremt utstående skillnad mellan lagen. Vid en första anblick kan förändringen se ut som felaktig, men det som faktiskt skett är att Linköping HC gått om tack vare att de poäng som de fått har varit mot bättre lag.

(39)

6.4.2 Mål

I tabell 6.7 gör både Luleå HF och MODO Hockey drastiska förändringar. Luleå HF tappar hela åtta placeringar eftersom de inte gör tillräckligt många mål mot de fem topplagen.

Att MODO Hockey yttas upp sju placeringar i tabellen är för att de sammanlagt gör väldigt mycket mål mot de esta andra lagen.

Det som är intressant i tabell 6.8 är Luleå HF:s förändring med hela nio placeringar. Luleå HF går alltså från första plats till tredje sista. Skillnaden beror på att Luleå HF vinner många matcher men gör inte alls lika mycket mål, speciellt vad det gäller topplagen där bland annat HV 71 och Brynäs IF gör mer mål mot i princip varje lag.

MODO Hockey gör återigen en radikal omplacering och hamnar sex plat-ser längre upp i tabellen. Om man i båda säsongerna tittar på alla lags sam-manlagda målstatistik så ligger MODO Hockey bland topplagen trots att de inte vinner så mycket matcher.

(40)

Kapitel 7

Slumpade omgångar

Ett fenomen som nns i sportvärlden är att innan alla omgångar är spelade, försöker experter lista ut hur det kommer att sluta. För att lyckas med detta behövs ett rankingsystem som är så stabilt som möjligt. När det bara är fem omgångar kvar så borde laget med dittills sämst ranking inte kunna vinna, istället bör det bli en strid mellan lagen som då ligger i toppen.

I allsvenskan så spelar alla lag totalt 30 omgångar, där varje omgång består av åtta matcher och varje lag har en match att spela. När vi har slumpat ut de olika omgångarna har vi använt olika slumpningar för ran-kingmetoden och poänggivningsmetoden. Nedan tittar vi närmare på hur stabil rankingmetoden är.

Fortsättningsvis i detta kapitel så kommer rankingmetoden att betecknas som RM och poänggivningsmetoden som PGM.

För fullständiga tabeller se bilaga B.

7.1 Allsvenskan 2011  25 omgångar

Vi använder MatLab för att slumpa fram 25 olika omgångar i allsvenskan 2011. Vi räknar ut hur lagen ligger till rankingmässigt efter 25 omgångar och resultatet av tre olika beräkningar redovisas i tabell 7.1. När alla lag har fem matcher kvar att spela är det fortfarande en del placeringar som kan kastas om. Att lag yttas om en eller två placeringar är inget konstigt alls men även omplaceringar på fem steg är något som kan förekomma med RM. 7.1.1 Resultat och analys av 25 omgångar

Om ett lag i allsvenskan vinner alla de fem sista matcherna så tilldelas de 15 poäng. Beroende på vilket lag i tabellen som väljs att betrakta, innebär 15 poäng att laget teoretiskt sett kan komma att yttas sex steg upp eller ned i tabellen. För att se hur det fungerar praktiskt slumpade vi era gånger fram 25 omgångar som vi räknade samman med PGM. Skillnaden mellan de

(41)

Lag i vår tabell Omgång 1 Omgång 2 Omgång 3 1 Helsingborg IF -1 -4 -2 IF Elfsborg IF Elfsborg Malmö FF

2 AIK -4 -2 Helsingborg IF AIK IF Elfsborg

3 IF Elfsborg +2 +2 +1 Malmö FF Malmö FF Helsingborg IF

4 Malmö FF +1 +1 +3 GAIS Gee IF FF AIK

5 Gee IF FF +1 Gee IF FF Helsingborg IF Gee IF FF

6 BK Häcken -1 -2 -1 AIK IFK Göteborg IFK Göteborg

7 GAIS +3 -1 BK Häcken GAIS BK Häcken

8 Kalmar FF -2 -1 -2 IFK Göteborg BK Häcken GAIS

9 IFK Göteborg +1 +3 +3 Örebro SK Kalmar FF Mjällby AIF

10 IFK Norrköping -4 -4 Kalmar FF IFK Norrköping Kalmar FF

11 Mjällby AIF -1 -1 +2 Djurgården Örebro SK Örebro SK

12 Djurgården +1 -1 Mjällby AIF Mjällby AIF Djurgården

13 Örebro SK +4 +2 +2 Trelleborg FF Djurgården Trelleborg FF 14 Trelleborg FF +1 +1 IFK Norrköping Trelleborg FF IFK Norrköping

15 Syrianska FC Syrianska FC Syrianska FC Syrianska FC

16 Halmstad BK Halmstad BK Halmstad BK Halmstad BK

Tabell 7.1: Fotboll 2011 25 slumpade omgångar: Kolumn 2 syftar till lagets förändrade placering i tabell från kolumn 1 till kolumn 5. Kolumn 3 syftar till lagets förändrade placering i tabell från kolumn 1 till kolumn 6. Kolumn 4 syftar till lagets förändrade placering i tabell från kolumn 1 till kolumn 7. slumpade omgångarna med RM och PGM i tabell visar att sirorna i PGM generellt är lika stora eller lägre än de enligt RM.

Omgång 1 2 3 4 5 6

Antal lag som har yttats med PGM 13 9 6 11 9 11 Antal lag som har yttats med RM 13 10 12 12 12 12 Antalet steg som lagen sammanlagt 24 14 6 14 14 14

har yttats med PGM

Antalet steg som lagen sammanlagt 26 19 24 29 31 29 har yttats med RM

Tabell 7.2: Fotboll 2011 25 slumpade omgångar: Tabelljämförelse mellan PGM och RM.

Vi tittar närmare på de slumpade omgångarna med rankingmetoden för att besluta om den är tillräckligt stabil för att vara användbar. I tabell 7.1 är de allra esta förändrade placeringarna maximalt två steg, så mycket som 233 av 256 möjliga föryttningar. Alla dessa kan vi klassa som fullständigt normala och förväntade.

(42)

de sex olika slumpade omgångar som vi beräknade så var den största om-placeringen fem steg, vilket endast inträade 13 av 256 gånger. Då dessa tal varken är ovanligt stora eller inträar särskilt ofta så kan vi anta att tabellen är användbar. Då det faktiskt är något av de fyra lagen som spelat bäst efter 25 omgångar som vinner och det är något av de fyra lagen som dittills spelat sämst som förlorar. Faktum är att Halmstad BK spelat så dåligt att oavsett vilken kombination av de sex olika 25 omgångarna vi tittar på så förlorar de. Att Helsingborg IF inte lyckas placera sig som det ledande laget tyder på att det inte var många matcher som fällde avgörandet men att just dessa slumpats bort.

Efter 25 omgångar får man en bra bild om hur det kan tänkas sluta.

7.2 Allsvenskan 2011  15 omgångar

Vi använder MatLab för att slumpa fram 15 olika omgångar i allsvenskan 2011. Vi räknar ut hur lagen ligger till rankingmässigt efter 15 omgångar och resultatet av tre olika av dessa beräkningar redovisas i tabell 7.3.

Lag i vår tabell Omgång 1 Omgång 2 Omgång 3

1 Helsingborg IF -3 -5 Helsingborg IF IF Elfsborg IF Elfsborg

2 AIK -1 -9 -10 BK Häcken BK Häcken IFK Göteborg

3 IF Elfsborg -1 +2 +2 AIK Gee IF FF BK Häcken

4 Malmö FF -2 -1 IF Elfsborg Helsingborg IF Malmö FF

5 Gee IF FF +2 -4 Gee IF FF Malmö FF Helsingborg IF

6 BK Häcken +4 +4 -1 Malmö FF IFK Göteborg Gee IF FF

7 GAIS -4 -2 +4 Djurgården Örebro SK Mjällby AIF

8 Kalmar FF -1 -6 -1 IFK Göteborg IFK Norrköping GAIS

9 IFK Göteborg +1 +3 +7 Kalmar FF GAIS Trelleborg FF

10 IFK Norrköping +2 -2 IFK Norrköping Djurgården Kalmar FF

11 Mjällby AIF -2 -2 +2 GAIS AIK Örebro SK

12 Djurgården +5 +2 -1 Örebro SK Syrianska FC AIK

13 Örebro SK +1 +6 +3 Mjällby AIF Mjällby AIF Djurgården

14 Trelleborg FF -1 -1 +5 Syrianska FC Kalmar FF Syrianska FC 15 Syrianska FC +1 +3 +1 Trelleborg FF Trelleborg FF IFK Norrköping

16 Halmstad BK Halmstad BK Halmstad BK Halmstad BK

Tabell 7.3: Fotboll 2011 15 slumpade omgångar: Kolumn 2 syftar till lagets förändrade placering i tabell från kolumn 1 till kolumn 5. Kolumn 3 syftar till lagets förändrade placering i tabell från kolumn 1 till kolumn 6. Kolumn 4 syftar till lagets förändrade placering i tabell från kolumn 1 till kolumn 7.

References

Related documents

Enligt vår uppfattning har årsredovisningen och koncern-redovis- ningen upprättats i enlighet med årsredovisningslagen och ger en i alla väsentliga avseenden rättvisande bild

Siffrorna gäller spelade matcher och gjorda mål och bara de spelare som varit inne på planen under spelet. ”Bänkmatcher” räknas

Fysiske egenskaper ved 20°C: Fast Inneholder halogener: Vet ikke Inneholder tungmetaller: Vet ikke Tåler frost: Vet ikke Tåler varme: Vet ikke Flammepunkt

Nihil ut fere de malis & in vita communi eft frequentius, aerumnis plurimis homines quam que- relani inftituant, atque fatorum etiam non- nunquam incufent inclementiam, quod non

The selected hardware and programmed sofiware allow using the unit in many different applications and keep the overall device price very low?. The open question

directed to Longiunguis donacis (Pass.), a lUediterranean species, but our insect differs from donacis by its relativety longer processus terminalis and

som går igen i hela väst- världen – att unga män inte söker sig till högre studier, säger Inga-Lena Tofte till Arbetaren.. KRISTINA PERSDOTTER är utbildningspolitisk utre- dare

Som etnograf är det viktigt att man säkerställer tillgång till information från olika perspektiv för den aktuella frågeställningen (Bryman och Bell, 2005, s. Med detta