Föreläsningar 2 och 3 i Inledande matematik för
Z/TD. Skalärprodukten,
vektorprodukten (eller
kryssprodukten), skalär trippelprodukten.
Introduktion till Skalärprodukten
Vi kommer att betrakta ett nytt begrepp i det kapitlet: skalärprodukten u v av två vektorer u och v.
Praktiska användning av det begreppet är följande.
1. Skalärprodukten låter beräkna cos( ) av vinkeln mellan dessa två vektorer som annars inte alls syns från koordinater hos u och v.
2. Skalärprodukten visar på ett enkelt sätt om två vektorer u och v är vinkel-räta eftersom då måste skalärprodukten vara lika med noll: u v:
3. Skalärprodukten låter beräkna projektioner av en vektor u på annan vektor v på två sätt:
a) som längden av sträckan längs v, eller
b) som vektorkomponentet av vektorn u längs vektorn v.
1
Skalärprodukten
Betrakta två vektorer i R2 : !u = u1 u2 = u1!i + u2!j , och !v = v1 v2 = v1!i + v2!j (där !i = 1 0 ; !j = 0 1 ). De…nitionSkalärprodukten (dot product in Adams) av !u och !v är ett reelt tal som beräk-nas enligt formeln:
!u !v = u1
u2
v1
v2
= u1v1+ u2v2
Det är lätt att observera att
!u !u = u1u1+ u2u2 = !u 2 Betrakta två vektorer i R3 : !u = 2 4 uu12 u3 3 5 = u1!i + u2!j + u3!k, och !v = 2 4 v1 v2 v3 3 5 = v1!i + v2!j + v3!k , där !i = 2 4 1 0 0 3 5; !j = 2 4 0 1 0 3 5, !k = 2 4 0 1 0 3 5 : De…nition
Skalärprodukten av !u och !v i R3(dot product in English in Adams) är ett reelt tal som beräknas enligt formeln:
!u !v = 2 4 u1 u2 u3 3 5 2 4 v1 v2 v3 3 5 = u1v1+ u2v2+ u3v3
Det är lätt att observera att
!u !u = u1u1+ u2u2+ u3u3 = !u 2
Man använder ofta en alternativ beteckning, speciellt i böcker om fysik: !u !v = !u; !v
Beräkningsregler för skalärprodukten följer direkt från skalärproduktens de…ni-tion: !u !v = !v !u !u !v + !w = !u !v + !u !w t!u !v = t !u !v !u !u = !u 2 Exempel. 2 4 1 11 3 3 5 2 4 0 1 2 3 5 = (1) (0) + ( 11) (1) + (3) ( 2) = 0 11 6 = 17 Lägg märke till att i i = 1: j j = 1; k k = 1; i j = j k = i k = 0 !i = 2 4 1 0 0 3 5; !j = 2 4 0 1 0 3 5 =) i j = 2 4 1 0 0 3 5 2 4 0 1 0 3 5 = 0 + 0 + 0 = 0 Detta medför att samma beräkning kan genomföras i den formen:
(1i 11j + 3k) (0i + 1j + ( 2)k) = (1) (0) + ( 11) (1) + (3) ( 2) = 17
1.1
Satsen om geometriska egenskaper hos skalärprodukten.
Skalärprodukten av två vektorer är lika med produkt av deras längder gånger cosinus av vinkeln mellan dem.
!u !v = !u !v cos( ) där 0 ör vinkeln mellan riktingar i !u och !v. Proof
Använd cosinussatsen för triangeln med sidor !u; !v , !u !v på bilden: !u 2 + !v 2 2 !u !v cos( ) = !u + ( 1)!v 2 = !u !v !u !v = !u !u !v !v !u !v = !u !u !u !v !v !u + !v !v = !u 2+ !v 2 2!u !v =) !u !v cos( ) = !u !v
Exempel
Bestäm vinkeln mellan vektorer u = 2i+1j +( 2)k och v = 3i+( 2)j +( 1)k. Lösning. Vi kan lösa ekvationen !u !v = !u !v cos( ) för .
cos( ) = !!u !v u !v = arccos !!u !v u !v ! = arccos (2)(3) + (1)( 2) + ( 2)( 1)p 4 + 1 + 4p9 + 4 + 1 = arccos 6 3p14 = arccos 2 p 14 1: 006 9 57; 69
Projektioner. Skalära och vektor - projektioner.
Observera att vektorn 1 j!vj
!v har samma riktbing som vektorn !v och har längden 1. 1 !v !v = 1 !v !v = 1 De…nition. !u !v = !u !v cos( )
Skalärprojektionen s av vektorn u längs vektorn v beräknas från triangeln på bilden.
s = !u cos( )
Skalär produkten ger os möjligheten att beräkna kombinationen !u !v cos( )utan att kunna vinkeln mellan vektorer.
!u !v = !u !v cos( ) =) !u!!v v = !u cos( ) s = !u cos( ) = !1 v !u !v = !u 1 !v !v ! De…nition.
Vektorprojektionen !u!v av en godtycklig vecktor !u längs en vektor !v 6=!0;är röda vektorn på bilden:
Den vektorn har längden s och riktningen parallell med !v. !u!
v är då lika med produkten sbv av enhetsvektorn bv i riktningen av vektorn !v
med en skalär s som är lika med skalär projektion av !u längs vektorn !v. !u!
v = sbv
Enhetsvektorn bv beräknas med formeln: bv = !1
v !v
Kolla att det bv verkligen är en enhetsvektor: jbvj = !1
v
!v = 1 Detta medför att
!u! v = sbv = !1 v !u !v ! | {z } s 1 !v !v ! | {z } b v
och en användbar formel för vektorprojektionen som är lätt att komma ihåg: !u! v = !u !v !v 2 ! | {z } ett_tal !v |{z} en_vektor Exempel. Framställ vektorn 3i + j = 3
1 som summan av två vektorer u och v där u är parallell med vektorn i + j = 1
1 och v är vinkelrät mot u: Lösning.
Framställ u som
u= t(i + j)
med en okänd konstant t som ger en godtycklig vektor parallell med (i + j). Använd vilkoret att v och (i + j) är vinkelräta som är ekvivalent med att deras skalärprodukt är noll: v (i + j) = 0.
Vi vill få att
u+ v = 3i + j
Betrakta följande skalär produkt av den ekvationen med (i + j) : (u + v) (i + j) = (3i + j) (i + j) u (i + j) + v (i + j) = (3i + j) (i + j) Sätt in uttrycket för u ovan t(i + j) | {z } u (i + j) + 0 = 3 + 1 = 4 2t = 4; =) t = 2 u = 2(i + j); v = 3i + j u= 3i + j 2(i + j) = i j
Vektorer i
R
nAlla beräkninar i R3 kan generaliseras till "punkter" som har n koordinater: P =
(x1; x2; :::; xn). Mängden av dessa "punkter" betecknas med Rn.
Man kan på ett liknande sätt som tidigare införa kolonnvektorer!V = 2 6 6 6 6 6 4 V1 V2 .. . Vn 1 Vn 3 7 7 7 7 7 5 .
Vi kan inte visualisera dessa objekt men alla begepp och alla beräkninar som längd, skalär produkt och projektion, kan de…nieras på ett liknande sätt.
Standart bas för vektorer i Rnbestår också av vektorer e
1, e2, ...en, som har alla
komponenter lika med noll förutom ett som är lika med 1:Till exempel e2 =
2 6 6 6 6 6 4 0 1 0 .. . 0 3 7 7 7 7 7 5 . jxj = q x2 1+ x22+ x23+ ::: + x2n x y = x1y1+ x2y2+ x3y3+ :::xnyn
Kryssprodukten i
R
3och dess tillämpningar
2
Introduktion
Vi kommer att betrakta två nya begrepp i det kapitlet: vektorprodukten u v av två vektorer och skalär trippelprodukten w (u v). Praktiska syftet med dem är följande.
1. Vektorprodukten u v låter bygga en vektor som är vinkelrät till två givna vektorer u och v:
2. Vektorprodukten u v låter beräkna arean av parallelogramm spänd av två givna vektorer u och v (fylld med rosa färgen på bilden), och arean av triangeln byggt på u och v som är halvan av parallelogrammen.
3. Skalär trippelprodukten u (v w)av tre vektorer låter beräkna volymen av
en parallelepiped spänd av dessa tre vektorer:
4. Skalär trippelprodukten u (v w) av tre vektorer låter bestämma om dessa tre vektorer ligger i samma plan.
Determinanter av kvadratiska matriser.
De…nition
En n n matris är en tabell med n rader och n kolonner med reella tal (n är ett hel tal)
Vi kommer att betrakta här bara små matriser av storlek 2 2 och 3 3: a b c d 2 4 a b c d e f g h i 3 5
Ett bättre sätt att beteckna elementen i matriser är att numrera elementen med två index: det första - för rader och det andra - för kolonner:
A = 2 4 AA1121 AA1222 AA1323 A31 A32 A33 3 5 De…nition.
För varje av dessa matriser kan de…nieras ett tal som kallas för determinant. Det kan betecknas med
det a b
c d eller som i Adams med
a b c d och beräknas enligt formeln
det a b
Exempel. det 3 1
5 2 = 6 ((5)( 1)) = 11.
De…nition
Determinanten av matriser med storlek 3 3 de…nieras enligt en
mycket
mera komplicerad formel:det 2 4 a b c d e f g h i 3 5 =
= aei + bf g + cdh ahf bid cge (omöjligt_att_memorera!!!) Det …nns en livsräddande alternativ formulening:
det 2 4 a b c d e f g h i 3 5 = a det e f h i b det d f g i + c det d e g h = a (ei hf ) b (di f g) + c (dh ge)
= aei ahf + bf g bid + cdh cge = aei + bf g + cdh ahf bid cge
där determinanter av små 2 2matriser är beräknade enligt de…nitionen ovan given för 2 2matriser.
Man kan observera att 2 2 matriser i sista formeln fås från 3 3 matrisen 2 4 a b c d e f g h i 3
5om man strycker bort en rad och en kolonn där det står elementen a; b; c från första raden.
Liknande utvecklingar för 3 3 determinanter kan genomföras längs en godtycklig rad eller kolonn i matrisen. Minus och plus tecken för elementen från den raden eller kolonnen väljas enligt följande tabell:
+ +
+
+ +
Till exempel beräkna samma determinant genom utvecklig längs andra raden: det 2 4 a bd e fc g h i 3 5 = :::
Man kann vinna med att välja en rad eller en kolonn med ‡era nollor och göra mindre meräkningar. Exempel. Beräkna determinanten 2 4 1 4 2 3 1 0 2 2 3 3 5 = ( 3) det 4 2 2 3 +1 det 1 2 2 3 0 det 1 4 2 2
= 3 ((4)( 3) ((2)( 2)) + (1( 3) (2)( 2)) = 23:
Vi samlar en del lämpliga egenskaper hos determinanter:
Huvudegenskapen hos determinanter är att determinanter är linjära funk-tioner av sina rader och sina kolonner:
Speciellt multiplikation av
en
vilken som helst rad med ett tal:det 2 4 a b c d e f sx sy sz 3 5 = s det 2 4 a b c d e f x y z 3 5
Addition i
en
vilken som helst rad:det 2 4 a b c d e f x + l y + m z + n 3 5 = det 2 4 a b c d e f x y z 3 5 + det 2 4 a b c d e f l m n 3 5 Linjär kombination i
en
vilken som helst rad:det 2 4 a b c d e f sx + tl sy + tm sz + tn 3 5 = s det 2 4 a b c d e f x y z 3 5 + t det 2 4 a b c d e f l m n 3 5 Andra lämpliga egenskaper är:
1) Om vi växlar två rader eller två kolonner i en determinant, så ändras bara tecknet av determinanten. Till exempel det
2 4 a b c d e f x y z 3 5 = det 2 4 d e f a b c x y z 3 5 : 2) Om två rader i en determinant är lika så är den lika med noll.
det 2 4 a b c d e f d e f 3 5 = 0
3) Om en skalär multipel av en rad adderas till en annan rad i en determinant, så bebaras värdet av determinanten.
det 2 4 a b c d e f g h i 3 5 = det 2 4 a b c d + ta e + tb f + tc g h i 3 5
Den sista egenskapen låter förenkla beräkningar av determinanter väldigt my-cke! 4) det 2 4 a b c d e f x y z 3 5 =det 2 4 a d x b e y c f z 3 5
Senare i kursen i Linjär algebra kommer ni att betrakna även determinanter av större matriser. De de…nieras enligt samma idee som determinanter av 3 3 matriser.
2.1
Kryssprodukten som determinant.
Betrakta två vektorer: u = u1i+u2j +u1koch v = v1i+v2j +v3k.
De…nition.
Kryssprodukten (vektorprodukten) u vav två vektorer u och v är en annan vektor som beräknas enligt följande formel
u v = det 2 4 i j k u1 u2 u3 v1 v2 v3 3 5 = det u2 u3 v2 v3 i det u1 u3 v1 v3 j+ det u1 u2 v1 v2 k = (u2v3 u3v2) i + (v1u3 u1v3) j+ (u1v2 u2v1) k
som formell determinant.
Algebraiska egenskaper hos kryssprodukten
v v= 0
u v = v u
u (u v) = 0
u (v + w) = u v+ u w
Bevisen är baserade på egenskaper hos determinanter.
Geometriska egenskaper hos kryssprodukten
En längre men direkt beräkning visar att kryssproduktens längd kan framställas med hjälp av nästa formel:
ju vj = juj jvj sin( ) där är vinkeln mellan u och v:
ju vj2 = juj2jvj2sin2( ) = juj2jvj2(1 cos2( )) = juj2jvj2 (u v)2 =
:::lang_ber•akning::: jwj2
Observera att formeln juj jvj jsin( )j har en enkel geometrisk mening. Den pro-dukten är lika med arean av parallelogramm spännd av vektorer juj och jvj : Alternativt är den betraktas som dubbel arean av triangeln som är spännd av vektorer juj jvj :
,
Man kan direkt se att u v och u är vinkelräta (deras skalärprodukt är noll). Det samma gäller u voch v :
u (u v) = u1(u2v3 u3v2) + u2(v1u3 u1v3) + u3(u1v2 u2v1) = 0
v (u v) = v1(u2v3 u3v2) + v2(v1u3 u1v3) + v3(u1v2 u2v1) = 0
Sista fråga är vilken riktning som u vhar med avseende på planet dä u och v ligger.
Vi ser på bilden att det är skruvregeln som gäller för riktningen på (u v). Det är enkelt att kolla för standarta basvektorer.
a) Beräkna i i= 0, i j= k; i k= j, k i= j. i j= det 2 4 i j k 1 0 0 0 1 0 3 5 = i det 0 0 1 0 jdet 1 0 0 0 + k det 1 0 0 1 = k Observera skruvregeln b) (2i + j 3k) ( 2j + 5k) = ::::::: = i 10j 4k (2i + j 3k) ( 2j + 5k) = det 2 4 i j k 2 1 3 0 2 5 3 5 = =i det 1 3 2 5 jdet 2 3 0 5 + k det 2 1 0 2 = i 10j 4k Exempel 3 A
Beräkna arean av triangeln med hörnpunkter A = (1; 1; 0), B = (3; 0; 2) och C = (0; 1; 1)
!
AB =OB! OA = 2i! j+ 2k, AC =! OC! OA =! i 2j + k: O är origo som vanligt. Arean av triangeln ABC är hälften av arean av parallelogramm spänt av vektorer AB! ochAB.!
arean = 1 2 ! AB AC =! 1 2 det 2 4 i j k 2 1 2 1 2 1 3 5 ! AB AC = det! 2 4 i j k 2 1 2 1 2 1 3 5 = 3i 4j ((2)( 2) ( 1)( 1))) 5 k
Arean av parallelogramm = AB! AC =! j3i 4j 5kj = p32+ 42+ 52 =
p
9 + 16 + 25 =p50 = 5p2 arean = 12 AB! AC =! 52p2:
Skalär trippelprodukt
De…nition. Uttrycket
u (v w)
där kryssprodukten v wav vektorer v och w multipliceras skalärt med vektorn u kallas för skalär trippelprodukt (scalar tripple produt in Adams).
Det uttrycket har en lämplig geometrisk mening: dess absolut belopp är lika med volumen av en parallelepiped som är spänt på vektorer u, v och w. Uttrycket u (v w) är positivt om v, w, u satis…erar skruvregeln som detta gör standarta basvektorer i, j, k, och är negativs annars.
V olum =ju (v w)j = jv wj juj cos( ) | {z }
h•ojden_i_parallelepipeden
Det följer direkt från de…nitionen och egenskaper hos skaläraprodukten att skalär trippelprodukten är lika med följande determiant.
u (v w) = det 2 4 u1 u2 u3 v1 v2 v3 w1 w2 w3 3 5 Geometriska egenskaper hos skalärprodukten med för att
u (v w) = juj j(v w)j cos( ) där är vinkeln mellan u och v w (se på bilden).
Geometriska egenskaper hos kryssprodukten medför att vektorn v wär rät mot planet där parallelogrammen spånd av v och w ligger. Betrakta nu vinkel-räta triangeln mellan vektorer u och v w med vinkeln mellan dem. Observara att juj jcos( )j = h på bilden och h är höjden i parallelepipeden. Lägg märke till att för trubbiga blir cos( ) negativ, så man behöver ha absolut belopp där.
j(v w)j är lika med arean av parallelogramm i botten av (rosa) parallelepipeden - enligt egenskaper hos kryssprodukten.
Arean j(v w)j av botten i parallelepipeden gånger höjden h = juj jcos( )j i parallelepipeden ger volumen av parallelepipeden.
Detta medför den sökta geometriska egenskapen.
Den formeln visar att om tre vektorer u, v, w ligger i samma plan (eller kan ‡yttas parallelt till samma plan) så är determinanten noll
det 2 4 u1 u2 u3 v1 v2 v3 w1 w2 w3 3 5 = 0
eftersom parallelepiped som dessa vecktorer spänner har volumen lika med noll. Man kan också motivera detta med hjäp av determinantsegenskaper.
Observation.
Uttrycket u (v w) är positivt om v, w, u satis…erar skruvregeln som de standarta basvektorer i, j, k gör, och är negativt annars.
Exempel (Exercise 10.3.16)
Betrakna en kub med kanter lika med a. Beräkna volumen av parallelepiped som är spänned av diagonaler i tre sidor som trä¤as i samma hörn.
VI placerar kuben i första oktanten så att ett hörn sitter i origo och kanterna som trä¤as i det hörnet går längs koordinataxlarna. Diagonalerna är döpta till v, w, u är markerade på bilden.
Vi beräknar komponenter av vektorerna v, w, u: v= 2 4 a a 0 3 5; w = 2 4 0 a a 3 5; u = 2 4 a 0 a 3 5
V olum =ju (v w)j = (ai + ak) det 2 4 i j k a a 0 0 a a 3 5 = j(ai + ak) (a2i a2j+ a2k) j = 2 4 a0 a 3 5 2 4 a 2 a2 a2 3 5 =ja3+ a3 j = 2a3:
