Elevers olika sätt att uppfatta tal : En kvalitativ studie med elever i årskurs 1

46  Download (0)

Full text

(1)

Elevers olika sätt att uppfatta tal

En kvalitativ studie med elever i årskurs 1

KURS:Examensarbete för grundlärare F-3

PROGRAM: Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i förskoleklass och grundskolans årskurs 1-3

FÖRFATTARE: Saga Johansson

EXAMINATOR: Anna- Lena Ekdahl

(2)

JÖNKÖPING UNIVERSITY School of Education and Communication

Examensarbete för grundlärare f-3, 15 hp Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i förskoleklass och

grundskolans årskurs 1-3, VT 21

SAMMANFATTNING

_______________________________________________________________________ Saga Johansson

Elevers olika sätt att uppfatta tal

En kvalitativ studie med elever i årskurs 1

Antal sidor: 35

_______________________________________________________________________ Taluppfattning är en grundläggande förmåga som elever behöver utveckla för att klara av matematiken. Studien har inspirerats av fenomenografin och resultatet grundar sig på kvalitativa intervjuer med elever i årskurs 1. Studien syftar till att bidra med insikt om hur elever i årskurs 1 uppfattar aspekter inom taluppfattning. I resultatet beskrivs utvalda aspekter inom taluppfattning, dessa områden rör mönster i talföljder, siffrans platsvärde och uppdelning av tal. Resultatet visar ett antal olika uppfattningar som elever har gällande dessa områden. Vid mönster i talföljder fokuserar eleverna antingen på

differensen mellan varje tal i talföljden, talföljdens sista tal, mönstrets uppbyggnad eller uppåt- eller nedåträkning. Vad gäller siffrans platsvärde kunde två uppfattningar

urskiljas. Den första handlade om att eleverna skrev ut talet som det låter och den andra uppfattningen innebar att eleverna hade utvecklat en god kunskap om talfakta. Vid uppdelning av tal fokuserade eleverna på talfakta, konkretisering eller att udda tal inte går att dela i två delar. Dessa olika uppfattningar är något som lärare bör uppmärksamma när undervisning planeras och genomförs.

_______________________________________________________________________ Sökord: taluppfattning, matematik, mönster i talföljder, siffrans platsvärde, uppdelning

(3)

JÖNKÖPING UNIVERSITY School of Education and Communication

Degree Project for Teachers in

Preschool Class and School Years 1-3, 15 hp.

Teacher Education Program for Primary Education - Preschool and School Years 1-3, Spring semester 2021

ABSTRACT

______________________________________________________________________ Saga Johansson

Students' various ways of experience numbers A qualitative study with students in grade 1

Number of pages: 35 _______________________________________________________________________ Number sense is a basic ability that students must develop to be able to perform in mathematics. The study is inspired by phenomenography and the results are based on qualitative interviews with students in grade 1. The study aims to contribute with insight in how students in grade 1 experience aspects of number sense. The result describes selected aspects of number sense. These aspects are patterns in number sequences, the place value of numbers and decomposition of numbers. The results show several different ways of experience that students have regarding these aspects. Regarding patterns in number sequences, students focus on either the difference between each number in the number sequence, the last number of the number sequence, the structure of the pattern or counting of numbers. As for the place value of the number, two ways of experiencing could be distinguished. The first were that students wrote the numbers as it sounds and the other implies that the students have developed knowledge of number related facts. When decomposing numbers, students focused on number fact,

concretization, or that odd numbers cannot be divided into two parts. These different ways of experience are something that teachers should be aware of when planning their teaching.

(4)

Innehållsförteckning

Innehållsförteckning ... 4

Inledning ... 1

Bakgrund ... 2

Vad innebär taluppfattning? ... 2

Varför är det viktigt att utveckla kunskaper om taluppfattning? ... 4

Styrdokument ... 4

Centralt innehåll ... 4

Nationell kartläggning av taluppfattning för årskurs 1 ... 5

Taluppfattning och matematiksvårigheter ... 5

Kända missuppfattningar och svårigheter ... 7

Syfte och frågeställningar ... 9

Metod ... 10 Val av metod ... 10 Datainsamling ... 11 Urval... 12 Genomförande ... 12 Skriftligt test ... 12 Intervjuerna ... 13 Analys av material ... 13 Etiska ställningstaganden ... 16 Resultat ... 17 Mönster i talföljder... 17 Aritmetisk talföljd ... 17

Talföljd med flera okända tal ... 19

(5)

Uppdelning av tal ... 25

Diskussion... 28

Metoddiskussion ... 28

Tillförlitlighet och äkthet ... 30

Resultatdiskussion ... 31 Mönster i talföljder ... 31 Siffrans platsvärde ... 33 Uppdelning av tal ... 34 Referenslista ... 36 Bilaga 1 ... Bilaga 2 ...

(6)

1

Inledning

Att ha en god taluppfattning utgör enligt flertalet forskare grunden för att utveckla kunskaper i matematik och är väsentlig för att barn ska lära sig utföra räkneoperationer med tal (Andrews et al., 2015; Lunde, 2011; Löwing, 2017; McIntosh, Reys & Reys, 1992; Shumway, 2011; Unenge, Sandahl, & Wyndhamn, 1994). Löwing (2017) jämför läsning med taluppfattningsförmågan och menar att för att kunna läsa med flyt krävs det att den som läser kan avkoda bokstäver för att bilda ord. Denna process sker snabbt utan att den som läser reflekterar över det. På samma sätt krävs en sådan känsla för tal och hur de är uppbyggda för att framgångsrikt kunna utföra beräkningar (Löwing, 2017).

Taluppfattning handlar alltså om att förstå tals betydelse, relation och storlek och är grundläggande kunskaper för den fortsatta matematikutvecklingen (Skolverket, 2017). Lunde (2011) menar att utvecklingen av taluppfattning till viss del beror på den

neurologiska utvecklingen men också att den utvecklas genom erfarenheter och lärande. En god undervisning och att tidigt upptäcka barns brister inom den grundläggande taluppfattningen är därför väsentlig för att elever inte ska riskera att utveckla

matematiksvårigheter (Lunde, 2011). Undervisningen i kunskapsområdet taluppfattning

och tals användning innefattar enligt Skolverket (2017) kunskaper om tal och hur tal

hanteras, olika metoder för beräkning och hur dessa metoder kan tillämpas i både vardagliga och matematiska sammanhang.

Under arbetet med en tidigare litteraturstudie (Svensson & Johansson, 2020) insåg jag hur viktigt det är att barn utvecklar en grundläggande taluppfattning och därför väcktes intresset att undersöka detta område ytterligare. Då tidiga insatser inom området taluppfattning är viktiga för elever som riskerar att hamna i svårigheter valde jag att i denna studie undersöka hur elever i årskurs 1 uppfattar utvalda aspekter inom

taluppfattning. Undersökningen fokuserar på intervjuer med elever i årskurs 1 och om hur de resonerar kring matematiska uppgifter som rör vissa aspekter av taluppfattning. Kunskapen som studien frambringar hoppas jag kunna hjälpa både mig själv i min kommande yrkesroll samt redan yrkesverksamma lärare att förstå och stötta elever att utveckla taluppfattning.

(7)

2

Bakgrund

I bakgrunden presenteras tidigare forskning om taluppfattning. Avsnittet innehåller vad begreppet innebär, varför taluppfattningsförmågan är viktig att utveckla, hur

taluppfattning behandlas i styrdokumenten samt matematiksvårigheter och missuppfattningar kopplat till taluppfattning.

Vad innebär taluppfattning?

Vilka förmågor som definierar om en elev har utvecklat en god taluppfattning har inom forskning beskrivits på olika sätt. Taluppfattning är ett komplext begrepp som innehåller många olika komponenter (Shumway, 2011). Nedan presenteras några beskrivningar av taluppfattning.

Andrews och Sayers (2015) beskriver åtta förmågor som är kopplade till grundläggande taluppfattning. Den första beskrivs som att ha kunskap om symboler för tal och handlar om att känna igen symbolens namn och betydelse. Den andra förmågan handlar om

systematisk räkning och innebär att eleven ska kunna räkna framåt och bakåt från ett

bestämt tal. Nästa förmåga handlar om att förstå sambandet mellan tal och mängd och det innefattar ett- till- ett principen samt att det sist räknade i en mängd är dess totala antal. Den fjärde förmågan handlar om att eleven ska kunna urskilja åtskillnad mellan

mängder, vilket innebär att kunna jämföra storlekar och förstå begrepp som fler, färre,

större och mindre. Eleverna ska dessutom förstå olika representationer för tal, till exempel siffersymboler eller konkreta objekt. Nästa förmåga inom grundläggande taluppfattning är uppskattningsförmågan vilket är nödvändig för att eleverna ska kunna uppskatta en mängds antal eller ett objekts storlek. Grundläggande aritmetik tillhör också förmågorna för den grundläggande taluppfattningen och innebär att eleverna ska kunna utföra enkla additions- eller subtraktions uppgifter. Sista förmågan som Andrews och Sayers (2015) beskriver handlar om att kunna se mönster i talföljder. Denna förmåga handlar om att elever exempelvis ska kunna identifiera tal som fattas i en talföljd samt kunna fortsätta ett mönster i en talföljd. Om elever har kunskaper om mönster i talföljder stärks dessutom deras förmåga att räkna och utföra beräkningar (Andrews & Sayers, 2015). Ekdahl (2014) beskriver att elever bör möta olika typer av talföljder i

undervisningen. Den första är aritmetisk talföljd och innebär att det är en konstant ökning mellan varje tal i talföljden, till exempel 10, 12, 14, 16, 18. Talen kan även minska i en aritmetisk talföljd, till exempel 10, 8, 6, 4, 2. En annan typ av talföljd är geometrisk

(8)

3 talföljd som betyder att kvoten mellan ett tal och talet före är konstant, till exempel 40, 80, 160, 320 eftersom 80 40= 2, 160 80 = 2 och 320 160= 2 (Ekdahl, 2014).

En annan beskrivning av grundläggande taluppfattning beskrivs av McIntosh et al. (1992). De beskriver begreppet utifrån tre kategorier. Kunskap om och ordning av tal är den första kategorin och handlar om att ha kunskap om tals ordning i talraden, olika representationsformer för tal, ha uppfattning om ett tals relativa och absoluta storlek samt ha ett känt referenssystem för att jämföra tal och storheter. Den andra kategorin innebär att ha kunskap om att utföra operationer och betyder att eleven ska förstå olika typer av operationer och hur de relaterar till varandra. Den tredje kategorin handlar om att kunna

tillämpa kunskap om tal och operationer till beräkningar med beräkningsverktyg och algoritmer. Detta innebär att förstå vilken beräkningsmetod som är mest lämplig för

uppgiften, medvetenhet om olika strategier vid beräkning samt att välja den mest passande representationsformen för uträkningen (McIntosh, et al., 1992).

Löwing (2017) beskriver ytterligare en förklaring av taluppfattning. Löwing (2017) menar att en god taluppfattning innebär att kunna talens ordning och talens grannar, positionssystemet med 10- och 100-tals övergångar, behärska grundläggande räknelagar, dela upp tal samt kunna storleksordning och avrunda tal. Dessutom poängterar Löwing (2017) att subitizing är grundläggande för taluppfattningen. Subitizingsförmågan innebär att barn redan tidigt kan uppfatta och avgöra ett visst antal föremål, upp till sex- sju stycken utan att räkna dem. Barn kan känna igen speciella mönster som föremål är ordnade efter, till exempel prickarna på en tärning, och därefter avgöra antalet. Denna förmåga kopplas samman med uppskattningsförmågan som betyder att människor snabbt kan avgöra antalet på en mängd mellan fem och nio föremål även när de är oordnade. Denna snabba uppskattningsförmåga är dessutom kopplad till arbetsminnet vilket i sin tur påverkar hur bra vi kan utföra invecklade uträkningar i huvudet (Löwing, 2017).

Som Löwing (2017) nämner är uppdelning av tal en förmåga kopplat till taluppfattning. Neuman (2013) beskriver att tals del-helhetsrelation är kärnan i aritmetiken. För att kunna räkna additions- och subtraktionsuppgifter behöver eleverna förstå basbegreppen. Med det menas att elever direkt ska kunna se kombinationer av tal, till exempel 4 2 6 som både 4+2=6, 2+4=6, 6-2=4, 6-4=2, vilket innebär att eleverna måste upptäcka sambandet mellan addition och subtraktion. Det finns totalt 25 kombinationer för de tio

(9)

4 bastalen (1- 10) som elever bör kunna och när elever behärskar dessa kombinationer skapas förutsättningar för dem att förstå tals del- helhetsrelation. (Neuman, 2013). Det kan konstateras att forskare definierar taluppfattning på delvis olika sätt men tydligt är att de är överens om några grundläggande aspekter gällande taluppfattning.

Sammanfattningsvis handlar det om att förstå positionssystemets uppbyggnad där flera aspekter inverkar (platsvärde, talraden, mönster i talföljder, 10- och 100-tals övergångar), tals uppbyggnad, olika representationsformer för tal, aritmetik och

uppskattningsförmåga.

Varför är det viktigt att utveckla kunskaper om taluppfattning?

Genom att förstå tals egenskaper, storlek och relationer till varandra skapas en god förutsättning för fortsatt utveckling inom matematiken. Många elevers svårigheter inom matematiken har sitt ursprung i en bristande taluppfattning (Lunde, 2011; Shumway, 2011; Unenge et al., 1994). Shumway (2011) menar att utan en utvecklad taluppfattning kommer elever ha svårt att utföra beräkningar och ekvationer samt förstå relationer mellan tal. Det är dessutom mer ansträngande att lösa uppgifter som rör mätningar, geometri och statistik om taluppfattningen inte är tillräckligt utvecklad. Med andra ord är taluppfattningen fundamental för all matematik. När elever utvecklar en god

taluppfattning upplever de dessutom att matematiken blir mer meningsfull och att det handlar mer om att skapa förståelse snarare än att följa matematiska regler och rutiner. Om elever utvecklar en stark taluppfattning blir de mer benägna att försöka lösa problem och förstå syftet med matematiken (Shumway, 2011).

Styrdokument

Styrdokumenten är de föreskrifter som skolans arbete måste utgå ifrån. I det centrala innehållet i läroplanen står det vad undervisningen i de olika skolämnena ska innehålla. Det nationella kartläggningsmaterialet testar årskurs 1 elevers taluppfattning och beskrivs också i detta stycke.

Centralt innehåll

I det centrala innehållet för årskurs 1-3 i matematik under rubriken ”Taluppfattning och

tals användning” (Skolverket, 2019a) beskrivs hur taluppfattningen ska komma till

(10)

5 kommentarmaterialet i matematik, kunskaper om tal och hur tal hanteras samt olika beräkningsmetoder och dess koppling till både matematiska och vardagliga sammanhang. Genom att eleverna får möta tal och beräkningar stegvis under årskurserna fördjupas deras förståelse och uppfattning för både tal och beräkningar (Skolverket, 2017). De delar av det centrala innehållet för årskurs 1-3 som rör taluppfattning är naturliga tal och dess egenskaper, hur tal kan delas upp, hur tal används för att benämna antal och ordning samt hur positionssystemet för de naturliga talen är uppbyggt. Taluppfattning innefattar dessutom en del inom algebran som handlar om att utveckla förmågan att konstruera, beskriva och uttrycka enkla mönster i talföljder (Skolverket, 2019a).

Nationell kartläggning av taluppfattning för årskurs 1

I årskurs 1 genomförs Skolverkets (2019b) obligatoriska nationella kartläggning i matematik. Bedömningsstödet prövar främst elevers taluppfattning. Anledningen till detta är att en god taluppfattning är en förutsättning för att elever ska fortsätta utveckla sina matematikkunskaper. Om eleverna inte har förstått det grundläggande inom taluppfattning kommer beräkningar bli problematiska i senare årskurser.

Kartläggningsmaterialets uppgifter behandlar talraden, talets grannar, namnge tal, göra koppling mellan antal och siffra, minska (subtrahera), se skillnad mellan mängder, dela upp tal, matematiska begrepp (fler, färre, hälften, dubbelt), storleksordning, talföljder, tallinjen, skriva olika representationsformer för tal, lösa tal i bråkform, behärska de fyra räknesätten samt förstå likhetstecknets betydelse (Skolverket, 2019b).

Taluppfattning och matematiksvårigheter

Lunde (2011) menar att det finns en tydlig koppling mellan matematiksvårigheter och svag taluppfattning. Redan i förskolan kan barn som riskerar att få matematiksvårigheter urskiljas då det visat sig att en stor andel barn med bristande taluppfattning senare

tenderar att utveckla matematiksvårigheter. Genom att tidigt identifiera kännetecken som kan tyda på svag taluppfattning kan matematiksvårigheter i stor utsträckning förebyggas (Lunde, 2011). Malmer (1996) (refererad i Lunde, 2011) listar åtta kännetecken på sådant som lärare ska vara uppmärksamma på när det gäller elevers visade matematikkunskaper. Det första kännetecknet är att eleven spegelvänder siffror och tal (till exempel 14 och 41). Nästa kännetecken är Brister i ordningsföljder vid till exempel jämförelser samt sättet att lösa en algoritm eller uppgift i dess olika led. Det tredje kännetecknet beskrivs som osäkerhet gällande symboler, eleven förstår inte symbolens betydelse och

(11)

6 användningsområde. Brister i den spatiala förmågan handlar om hur eleven uppfattar siffror, symboler och objekt. Denna förmåga är grundläggande för att elever ska utveckla god taluppfattning. Korttidsminnet eller arbetsminnet påverkar elevens förmåga att göra beräkningar, till exempel minnas de tal som sagts eller står i läroboken och som ska användas vid en uträkning. Brister i långtidsminnet kan göra att eleven inte kommer ihåg talfakta och det kan också göra att de inte minns beräkningsstrategier som hos andra elever är automatiserade. Begreppsbildningen kan skapa svårigheter i matematiken för elever med ett svagt ordförråd och språksvårigheter. Det sista kännetecknet handlar om

bristande kognitiv förmåga och handlar om svaga färdigheter i hjärnans funktioner (ta in,

lagra, bearbeta och plocka fram information) (Malmer, 1996, refererad i Lunde, 2011). Ytterligare kännetecken för matematiksvårigheter är om elever allt för länge fortsätter att räkna enkla aritmetiska uppgifter med hjälp av fingerräkning kan detta tyda på

begynnande räknesvårigheter. Dessa elever har svårt att lära sig talfakta och förlitar sig istället på fingerräkning (Lundberg & Sterner, 2006). Neuman (2013) menar att elever som använder fingrarna för dubbelräkning får svårt att utveckla abstrakt aritmetiskt tänkande. Dubbelräkning innebär att en uträkning för uppgiften 8-6 ser ut på följande sätt: 8 1 finger, 7 2 fingrar, 6 3 fingrar, 5 4 fingrar, 45 fingrar, 3 6 fingrar vilket gör att det blir svårt att hålla reda på vilka tal som ska räknas bort och vilka tal som representerar den återstående delen. Däremot menar Ekdahl (2020) att fingrarna kan användas som ett verktyg att för att strukturera tals relationer. Genom att se fingrarna som ett strukturerat mönster kan elever få chans att urskilja tals relationer och därmed gynnas inlärningen av tals del-helhetsrelationer.

Talfakta innebär enligt McIntosh (2008) att eleverna har en känsla för tal, förstår hur tal är uppbyggda (till exempel tals del- helhetsrelation) samt kunskap om grundläggande räknestrategier. Vidare menar Lundberg och Sterner (2006) att elever som har svårt med talfakta ofta måste använda fingrar eller annat konkret material för att klara uträkningar. Svårigheter i att lära sig talfakta är signifikant för elever i matematiksvårigheter

(Lundberg & Sterner, 2006). Vidare tecken på matematiksvårigheter är elever som saknar förmåga att identifiera mönster i talföljder vilket är en stark antydan på senare

(12)

7 Kända missuppfattningar och svårigheter

I detta avsnitt beskrivs ett antal kända missuppfattningar och svårigheter som är kopplat till taluppfattning och matematik.

Det är vanligt att elever har svårt med tiotalsövergångar, de räknar till exempel fyrtioåtta, fyrtionio, fyrtiotio, fyrtioelva och så vidare eftersom de följer mönstret nio, tio, elva. En del barn kan också ha svårt att räkna i steg, till exempel 2- steg (2, 4, 6, 8), 5- steg (5, 10, 15, 20) eller 10- steg (10, 20, 30, 40) (McIntosh, 2008). Svårigheter gällande

positionssystemet kan uttrycka sig genom att eleverna har svårt att förstå att siffran 1 i talet 14 står för 10. Att förvandla tresiffriga tal till siffror kan också medföra svårigheter hos elever, till exempel att de skriver trehundraett som 3001 och därmed inte förstår siffrans platsvärde. Svårigheter med positionssystemet kan också uttryckas genom att eleven har svårt att placera ut tal på en tom tallinje, detta kan också tyda på svårigheter i att uppskatta (McIntosh, 2008,).

Vid beräkningar kan elevers svårigheter uttrycka sig i att de alltid börjar räkna från ett när de ska addera två tal (3+3 räknas som 1,2,3,4,5,6) istället för att börja räkna från det första talet som ska adderas (4,5,6). Senare kan dessa svårigheter uttrycka sig i att eleverna alltid räknar uppåt på additions uppgifter och ned vid subtraktionsuppgifter vilket tyder på att de inte har utvecklat huvudräkningsmetoder. Vanligt är då att de tappar bort sig och räknar fel och att de räknar med det talet de utgår ifrån. De kan till exempel räkna 4+8 genom att räkna 4,5,6,7,8,9,10,11: rätt svar är 11. Eller att

subtraktionsuppgifter som 12-7 räknas 12,11,10,9,8,7,6: rätt svar är 6 (McIntosh, 2008,). Inom området mönster i talföljder menar Erixson, Frostfeldt Gustavsson, Kerekes och Lundberg (2013) att elever har svårt att beskriva och konstruera talföljder. Det är därför viktigt att elever i undervisningen får chans att upptäcka kritiska aspekter kopplat till mönster i talföljder. Ekdahl (2014) definierar ett antal aspekter som elever behöver få syn på gällande talföljder. Det första handlar om att upptäcka att talföljden är ordnad utefter en viss regelbundenhet. Den andra aspekten innebär att eleverna ska se att alla talföljder inte är uppbyggda på samma sätt utan det kan finnas olika samband mellan de ingående talen. Nästa aspekt handlar om att förstå att talföljden fortsätter på samma sätt även efter de tomma strecken eller rutorna som de ska fylla i. Den sista aspekten innebär att eleven

(13)

8 ska kunna urskilja talens relation till varandra och hur talföljden ser ut i helhet. Det räcker alltså inte att se skillnaden mellan två av talen för att förstå hur mönstret är uppbyggt (Ekdahl, 2014).

(14)

9

Syfte och frågeställningar

Syftet med studien är att ge en bild av vilka uppfattningar elever i årskurs 1 har av några centrala aspekter inom taluppfattning.

Detta syfte avser jag uppfylla genom att besvara följande frågeställning:

- På vilka skilda sätt uppfattar elever i årskurs 1 centrala aspekter av taluppfattning; så som mönster i talföljder, siffrans platsvärde och uppdelning av tal?

(15)

10

Metod

I metodavsnittet beskrivs hur studien har genomförts. Avsnittet redogör för studiens teoretiska bakgrund, val av metod, datainsamlingsmetod, urval, genomförande, analys samt etiska ställningstaganden.

Val av metod

Den metod som har använts för att besvara studiens frågeställning och syfte är inspirerad av den fenomenografiska metoden. Fenomenografi är en kvalitativ forskningsmetod vars syfte är att undersöka hur människor uppfattar fenomen i sin omvärld. Kvalitativa

metoder handlar om att gestalta, beskriva eller karaktärisera något. Fenomenografins huvudsakliga fokus är att undersöka skillnaden mellan vad något är och hur något

uppfattas. En kvalitativ forskningsansats kan utgå från beskrivningar från både första-

och andra ordningens perspektiv. Fenomenografin utgår från den andra ordningens perspektiv vilket innebär att det som undersöks är en persons upplevelse om något eller hur ett fenomen ter sig för den personen. Till skillnad från första ordningens perspektiv som istället fokuserar på fakta och syftar till att ta reda på vad som är rätt eller fel. Något kan därför vara sant ur andra ordningens perspektiv då en person upplever det som sant medan det ur första ordningens perspektiv klassas som falskt (Larsson, 1986). För att ta reda på elevernas uppfattningar användes kvalitativa semistrukturerade intervjuer. Kvalitativa intervjuer är ett effektivt redskap för att fånga människors upplevelser och tankar (Rabionet, 2011). En semistrukturerad intervju innebär enligt Bryman (2018) att den som intervjuar utgår ifrån ett antal teman som ska behandlas under intervjun, även kallat intervjuguide. Den som blir intervjuad har vid denna typ av intervju stor möjlighet att svara på frågorna fritt. Frågorna behöver inte komma i samma ordning som planerat och frågor som eventuellt kommer upp under intervjun men som inte är bestämda från början är också tillåtna att ställa (Bryman, 2018, s.562). En semistrukturerad intervju erbjuder forskaren att styra in intervjupersonerna på de områden som är intressanta för studien samtidigt som intervjupersonernas egna berättelser och upplevelser får komma till tals (Rabionet, 2011).

Då syftet med studien är att ta reda på elevers uppfattningar kring centrala aspekter inom taluppfattning föredras ett djup snarare än en bredd i beskrivningarna. Valet av en kvalitativ forskningsansats ansågs därför mest lämplig för att kunna ge en så rik

(16)

11 beskrivning av elevernas uppfattningar möjligt. För att besvara studiens syfte och

frågeställning genomfördes ett individuellt skriftligt test som sedan efterföljdes av kvalitativa semistrukturerade intervjuer med en elev åt gången. Syftet med det skriftliga testet var att urskilja ett större antal elevers olika kunskaper kring centrala aspekter av taluppfattning. Utifrån testerna valdes elever som skulle intervjuas ut. De kvalitativa semistrukturerade intervjuerna utgick ifrån en intervjuguide (se bilaga 1) som till största del baserades på elevernas egna svar på uppgifterna i testerna. Intervjuerna syftade till att få en djupare bild av elevernas uppfattningar kring uppgifterna i testet.

Datainsamling

Datainsamlingen började med att genomföra ett skriftligt test för att ta reda på vilka delar inom taluppfattningen som elevernas uppfattningar kan skilja sig åt. Det skriftliga testet syftade till att testa elevernas kunskaper inom olika aspekter av taluppfattning samt som ett verktyg för att välja ut eleverna som skulle delta i intervjuerna. För att säkerställa att eleverna i årskurs 1 har mött innehållet som avses testas så har uppgifterna inspirerats av det skriftliga nationella bedömningsstödet som genomförs på vårterminen i årskurs 1 (Skolverket, 2019b). Testet behandlade därmed följande delar: positionssystemet

(platsvärde, talraden, tiotalsövergångar), tallinjen, mönster i talföljder, uppdelning av tal och grundläggande aritmetik. Nästa steg i datainsamlingen innebar rättning och en

kvalitativ analys av testerna för att urskilja elevernas kunskaper där fokus låg på att hitta olikheter i svaren.

Den sista fasen i datainsamlingen bestod av kvalitativa semistrukturerade intervjuer. Intervjuguiden (se bilaga 1) baserades på de skriftliga testerna och frågorna handlade om de områden där en variation i elevernas svar hade upptäckts. Intervjun kompletterades också med ytterligare frågor som bidrog till att få fram elevernas uppfattningar kring centrala aspekter av taluppfattning för att på så sätt få ett djup i empirin.

Trost (2014) menar att intervjua barn inte skiljer sig särskilt mycket från att intervjua vuxna. Det finns dock vissa aspekter som skiljer sig och är viktiga att tänka på vid intervjuer med barn. Intervjuer med barn ofta är korta då barn har svårt att koncentrera sig. Det är dessutom viktigt att fånga barns intresse och skapa motivation för att barnen ska vara villiga att resonera. Intervjuaren måste därför förstå barnets perspektiv i en

(17)

12 intervjusituation och att sätta sig in i en sjuårings värld jämfört med en jämngammal kan kännas svårt och ovant (Trost, 2014).

Urval

Undersökningen utgick från ett målstyrt urval. Ett målstyrt urval innebär att urvalet inte bestäms slumpmässigt utan deltagare väljs strategiskt utifrån forskningens syfte.

Urvalsgruppen ska gärna representera en variation vilket innebär att respondenterna bör representera skilda egenskaper eller aspekter. Ett målstyrt urval kan således inte

generalisera till en hel population då urvalet inte har skett slumpmässigt (Bryman, 2018). För att kunna urskilja en variation av ett större antal elevers olika kunskaper genomfördes ett skriftligt test i helklass där 24 elever var närvarande vid testtillfället.

Utifrån analysen av de skriftliga testerna valdes sedan 10 elever ut för intervju. Eftersom det inom fenomenografin är intressant att finna variation av uppfattningar (Larsson, 1986) valdes därför elever som hade lyckats olika bra på testet. På detta vis skulle skilda sätt på vilket eleverna resonerade om tal kunna synliggöras under intervjuerna.

Genomförande

I detta avsnitt beskrivs hur genomförandet av det skriftliga testet och intervjuerna gick till.

Skriftligt test

Det skriftliga testet inleddes med att i helklass gå igenom testets uppgifter och visa lösningsexempel. Detta för att ge alla elever samma chans att förstå vad som förväntades av dem samt ställa frågor om oklarheter. Testet avsåg mäta elevernas matematiska förmåga och inte deras språkliga, därför var det viktigt att tydligt gå igenom vad som stod i uppgiftsbeskrivningen så att de hade chans att utföra uppgiften på rätt sätt. Eleverna hade sedan 50 minuter till sitt förfogande att genomföra testet. Testet gjordes individuellt och eleverna fick inte hjälp att lösa uppgifterna i testet under tiden men de fick fråga om hjälp om de inte förstod uppgiften. Det tog mellan 20–50 minuter för eleverna att göra färdigt och efteråt samlades testet in för att senare rättas och analyseras. Utifrån analysen av testerna gjordes valet av intervjudeltagare.

(18)

13

Intervjuerna

Intervjuerna genomfördes sex dagar efter testet där elevernas lösningar låg till grund för elevernas resonemang. Intervjuerna pågick i 6–10 minuter och de genomfördes med en elev i taget i ett grupprum som låg i anslutning till klassrummet och som eleverna var väl bekanta med. Innan intervjuerna hade elevernas vårdnadshavare skrivit på och lämnat in en samtyckesblankett (se bilaga 2) där de medgav att eleverna fick delta i studien. Vid intervjuerna togs ljudupptagningar och för att underlätta analysprocessen fördes även anteckningar där elevernas kroppsspråk och andra viktiga detaljer noterades.

Analys av material

Analysen av de skriftliga testerna gjordes genom att systematiskt rätta uppgifterna för att se vid vilka typer av uppgifter som elevernas svar skiljer sig. De olika uppgifterna testade positionssystemet (talraden, tiotalsövergångar, siffrans platsvärde), tallinjen, mönster i talföljder, uppdelning av tal samt grundläggande aritmetik. Uppgifterna samanställdes i en tabell (se tabell 1) för att ge en överskådlig bild över antal rätt och fel elevgruppen hade. De uppgifter där det fanns en tydlig variation av svar var de som rörde siffrans platsvärde, mönster i talföljder, tallinjen samt uppdelning av tal. De resterande uppgifterna svarade övervägande antalet elever rätt på. Då syftet med studien är att försöka identifiera variation i elevers uppfattningar anser jag att de uppgifter där de flesta elever har rätt på inte är intressant att undersöka vidare. Tabellen nedan visar antal elever utav 24 stycken som hade fel på respektive uppgift. De rödmarkerade siffrorna markerar de resultat där 25% eller fler av elever svarade fel. De svarta markeringarna i tabellen utmärker att uppgifterna inte hade någon d uppgift.

(19)

14

Tabell 1: Visar antal fel eleverna hade på respektive uppgift i testet.

a b c d

Uppgift 1, Talraden, tiotalsövergångar

Inga fel Inga fel Inga fel 4

Uppgift 2, Mönster i talföljder

8 6 12 XXXC

Uppgift 3, Talraden Inga fel 1 8 XXXX

Uppgift 4, Siffrans platsvärde 1 Inga fel 13 15 Uppgift 5, Tallinjen 4 4 8 XXXX Uppgift 6, Uppdelning av tal 7 8 8 XXXX Uppgift 7, Grundläggande aritmetik addition 2 2 4 3 Uppgift 7, Grundläggande aritmetik subtraktion 3 5 3 2

Tabellen visar att de uppgifter eleverna hade svårast med var siffrans platsvärde, mönster i talföljder, tallinjen, talraden och uppdelning av tal. Slutsatsen drogs att det förmodligen finns störst skillnader i hur elever löste just dessa uppgifter och därför behandlades följande aspekter av taluppfattning: siffrans platsvärde, mönster i talföljder, tallinjen och

uppdelning av tal i intervjuerna.

Det krävs enligt Larsson (1986) återupprepad läsning och reflektion av det insamlade materialet och kritiskt granskande av empirin för att upptäcka olika dimensioner i svaren. Det centrala i analysen är att jämföra likheter och skillnader mellan olika svar för att på så sätt kunna karaktärisera och särskilja en uppfattning från en annan (Larsson, 1986). Intervjuerna analyserades med inspiration av tematisk analysmetod. Tematisk analys är en kvalitativ analysmetod som används för att identifiera, analysera och redogöra för teman, kategorier eller mönster som representeras i den insamlade empirin. Tematisk analys kan användas för att urskilja likheter och skillnader i det material som analyseras.

(20)

15 Intervjuerna har analyserats med inspiration från Braun och Clarke (2016) analysprocess som består av sex steg. Jag har valt att använda kategorier och inte teman i min analys. Analysen av intervjuerna började direkt efter att alla intervjuer var genomförda för att lättare komma ihåg viktiga detaljer som kunde vara viktiga för resultatet. Anteckningarna granskades och de inspelade intervjuerna lyssnades igenom i sin helhet medan initiala idéer och tankar noterades. Intervjuerna och anteckningarna lyssnades och lästes sedan igenom upprepade gånger för att lära känna empirin och för att börja urskilja olika uppfattningar.

Efter att ha lärt känna empirin kunde en djupare analys av uppfattningarna göras. Under resterande del av analysen bearbetades empirin utifrån nedan beskrivna faser.

- Utdrag från intervjuerna noteras för att identifiera intressanta uppfattningar. - Likheter och skillnader i uppfattningarna identifieras.

- Relaterade uppfattningar och strategier delas in i olika kategorier utifrån elevernas tankar och resonemang.

- Kategorierna granskades genom att kontrollera om uppfattningarna och strategierna i samma kategori kan relateras till varandra.

- Kategorierna namngavs utifrån kategoriernas innehåll.

- Kategorierna definierades genom att beskriva kategoriernas utmärkande drag. - Till sist sammanställdes materialet utifrån studiens syfte och frågeställning vilket

resulterade i studiens resultat.

De frågor som låg till grund för analysen och som användes som stöd vid kategoriseringen av empirin var följande:

- Hur beskriver eleven sina lösningar? - Vilket fokus har de i sina beskrivningar?

- Vilka resonemang använder eleven när den förklarar sin lösning?

I analysprocessen rörde jag mig ofta fram och tillbaka mellan de ovan beskrivna faserna för att revidera, komplettera och precisera materialet. Då det inte gick att finna

gemensamma drag i elevernas uppfattningar kring de olika huvudfrågorna i intervjun skapades separata kategorier utifrån respektive aspekt av taluppfattning. Mönster i

(21)

16 varje typ av talföljd. Talföljderna delades in i aritmetisk talföljd där två kategorier kunde urskiljas och talföljd med flera okända tal där två kategorier kunde urskiljas. Utifrån empirin som rörde siffrans platsvärde och uppdelning av tal skapades separata kategorier för vardera område. För siffrans platsvärde kunde två kategorier identifieras och i

uppdelning av tal kunde tre kategorier identifieras. I studiens resultatavsnitt redovisas en närmare beskrivning av kategorierna.

Etiska ställningstaganden

Studien har under datainsamling och analys följt Vetenskapsrådet (2017) riktlinjer för forskningsetiska principer. Vetenskapsrådets riktlinjer består av fyra huvudkrav,

informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet.

Informationskravet uppfylldes genom att ge lärare och vårdnadshavare till eleverna i forskningen skriftlig information om studiens syfte. Eleverna delgavs muntligen information om studiens syfte samt att de har rätt att avbryta sin medverkan. För att uppfylla samtyckeskravet och säkerställa de deltagandes samtycke fick eleverna själva delge muntligt samtycke om de ville göra testet och intervjuerna. Föräldrarna fick skriva på samtyckesblankett för medverkan. Konfidentialitetskravet uppfylldes genom att intervjupersonerna avidentifierades och fick fingerade namn. De skriftliga proven publiceras inte någonstans vilket innebär att elevernas namn inte visas i studien. Nyttjandekravet innebär att information som har insamlats endast ska användas i forskningssyfte och får inte lånas ut eller användas i andra syften (Vetenskapsrådet, 2017).

(22)

17

Resultat

Resultatavsnittet är indelat i tre delresultat där respektive rubrik redogör för olika aspekter av taluppfattning. Resultatet omfattar aspekterna mönster i talföljder, siffrans platsvärde och uppdelning av tal. Under rubrikerna beskrivs olika kategorier av uppfattningar och elevers strategier med tillhörande elevexempel och utdrag från intervjuer.

Mönster i talföljder

I resultatets första del presenteras kategorier av uppfattningar kring två olika typer av mönster i talföljder. De olika talföljderna är aritmetisk talföljd och talföljd med flera

okända tal.

Aritmetisk talföljd

Den första typen av talföljd som presenteras är aritmetisk talföljd. Detta resultat grundar sig på uppgift 2 a, b och c i testet (se figur 1).

Figur 1, uppgift 2 a, b och c.

Utifrån det analyserade materialet kunde två kategorier av uppfattningar urskiljas. Tabell 2 ger en kort beskrivning av respektive kategori som hör till aritmetisk talföljd. Sedan följer en närmare beskrivning av respektive kategori med tillhörande elevexempel och utdrag från intervjuer.

Tabell 2: Aritmetisk talföljd

Kategorier, aritmetisk talföljd Beskrivning

Kategori 1: Fokus på differensen mellan talen

Eleven urskiljer skillnaden mellan varje tal i talföljden och gör konstanta förflyttningar på tallinjen.

Kategori 2: Fokus på talföljdens sista kända tal

Eleven utgår endast ifrån sista talet i talföljden och fortsätter sedan räkna framåt eller bakåt.

(23)

18

Kategori 1, fokus på differensen mellan talen

Kategori 1 innebär att eleverna erfar talmönstret genom att jämföra avståndet mellan två efterföljande tal i talföljden. Utmärkande för denna kategori är att eleven söker efter vad det är för skillnad mellan två tal. Eleverna fortsätter sedan talföljden genom att hoppa över de tal som utgör skillnaden. De gör jämna förflyttningar på talraden från ett tal till ett annat med en konstant intervall. Gemensamt för elevernas resonemang är att de beskriver dessa förflyttningar som ”hopp” eller skutt”. Utdrag 1 beskriver hur elev 9 beskriver sin uppfattning av talföljden och vilken strategi som användes för att urskilja mönstret.

Utdrag 1 från intervju angående uppgift 2 a.

Intervjuaren: Hur tänkte du när du skrev tio här?

Elev 9: Det står inte i ordning, det går i tvåordning, hoppar två skutt. Intervjuaren: Hur såg du att det var två hopp här då?

Elev 9: Därför det står två där och där är fyra.

Utdrag 1 visar att eleven har uppfattat de tal i mönstret som står med och kan därför urskilja att talföljden har en konstant differens på två mellan varje tal i talföljden. Eleven beskriver att hen hoppar skutt på något som kan uppfattas som en tänkt tallinje.

Elev 2 (se utdrag 2) uppfattar också talföljden som ”två hopp” men använder en annan strategi för att ta reda på differensen mellan talen i talföljden.

Utdrag 2 från intervju angående uppgift 2a.

Intervjuare: Hur såg du att det var två hopp? Elev 2: För två plus två är fyra.

Utdrag 2 visar att eleven har erfarit avståndet mellan talen genom att räkna ut differensen mellan två kända tal i talföljden. Eleven använder därmed addition som strategi för att förflytta sig framåt på tallinjen (+2+2+2) i ett konstant flöde.

Kategori 2 Fokus på talföljdens sista kända tal

I denna kategori fokuserar eleven på det sista kända talet i talföljden och följer sedan talraden framlänges eller baklänges (1,2,3,4 eller 4,3,2,1 osv). Eleven urskiljer talföljden genom att titta på varje tal för sig och uppfattar därmed inte talföljden i sin helhet. Eleverna i denna kategori har inte urskilt ett mönster i talföljden utan fortsätter bara från

(24)

19 det sista talet och räknar som vanligt. Figur 2 och 3 visar två elevlösningar som tydligt visar att eleverna har fokuserat på det sista talet i talföljden och därmed missat helheten.

Figur 2, elevlösning, elev 5

Figur 3, elevlösning, elev 7

Dessa elevexempel visar att eleverna inte har fokuserat på förändringen som sker mellan varje tal utan endast fortsätter talraden efter det sista talet i talföljden. De fortsätter inte talföljden med samma regelbundenhet som de angivna talen i talföljden. Denna strategi resulterar i att eleverna misslyckas med att följa det mönster som talföljden är uppbyggt av. De elever som hade denna uppfattning hade vid intervjuerna svårt att förklara hur de tänkte när de löste uppgiften, de kunde inte ge tydliga resonemang för sina uppfattningar och strategier.

Sammanfattningsvis finns det viktiga skillnader mellan dessa två kategorier. I kategori 1 fokuserar eleven på att hoppa framåt på en tänkt tallinje utifrån att ha identifierat

avståndet mellan två efterföljande tal i talföljden. Elever som tillhör kategori 2 fokuserar bara på ett tal utan att titta på talföljden i sin helhet. Dessa elever utgår endast på det senaste talet i talföljden och fortsätter räkna uppåt eller nedåt från det talet. De har därmed inte uppfattat talföljdens mönster tillskillnad från eleverna i kategori 1.

Talföljd med flera okända tal

Den sista talföljden som presenteras är talföljd med flera okända tal. Denna uppgift var inte med i testet utan användes som underlag vid intervjuerna för att undersöka elevernas strategier och uppfattningar kring denna typ av mönster i talföljd. I denna uppgift (se figur 4) finns det ett logiskt mönster där talen är organiserade i rader om tio finns vilket gör att entalen hamnar i samma lodrätta kolumn. Uppgiften är inspirerad av McIntosh (2008) och NCM (u.å.).

(25)

20

Figur 4, talföljd med flera okända tal

Till detta talmönster kunde två kategorier av uppfattningar upptäckas. Dessa kategorier beskrivs kortfattat i tabell 3 följt av en mer ingående beskrivning av kategorierna med tillhörande utdrag från intervjuer.

Tabell 3: Talföljd med flera okända tal

Kategorier, talföljd med flera okända tal Beskrivning

Kategori 1: Fokus på talmönster Eleven urskiljer de okända talen genom att ta hjälp av talmönstret.

Kategori 2: Fokus på räkning Eleven urskiljer de okända talen genom att räkna uppåt ett tal i taget.

Kategori 1, fokus på talmönster

I denna kategori har eleven urskilt ett mönster i talföljden och använder det till hjälp för att ta reda på de okända talen. Eleven har uppfattat att varje rad innehåller tio rutor och kan därifrån urskilja de okända talen genom att räkna baklänges eller framlänges från närmsta tiotal. I utdrag 3 beskriver elev 8 hur hen uppfattar talföljden och vilken strategi som användes för att komma fram till de okända talen.

Utdrag 3

Intervjuare: Vad gömmer sig under de svarta prickarna? Elev 2: Sju, arton, fyrtiotre.

Intervjuare: Räknade du?

Elev 2: Nej. tio, tjugo (pekar på rutan med 10 och rutan under med en tom cirkel) när jag var på tio räknade jag baklänges.

Intervjuare: Och när du räknade ut denna (pekar på den svarta pricken längs ner)?

Elev 2: Började tio, tjugo, trettio, fyrtio (pekar på rutorna i kolumnen längst till höger) sedan räknade jag baklänges.

1

2 3 4

10

11

13 14

(26)

21 Trots att eleven på sista talet svarade 43 istället för det korrekta som är 33 så är det

tydligt att hen har använt ett mönster för att ta reda på svaren. Eleven behövde alltså inte räkna från början upp till varje okänt tal utan urskilde talen i kolumnen längst till höger och räknade sedan bakåt till det okända talet.

Elev 9 (se utdrag 4) använder en liknande strategi men räknar istället uppåt efter att ha identifierat vilka tal som gömmer sig i kolumnen längst till vänster.

Utdrag 4

Intervjuare: Och där, den sista? (pekar på den svarta pricken längst ner) Elev 9: Trettiotre.

Intervjuare: Hur tänkte du då?

Elev 9: För där är tjugoett då är det trettiotvå eller jag menar trettioett (pekar på rutan under 21) då är nästa trettiotvå och den trettiotre.

I utdraget har eleven upptäckt att den först kolumnen innehåller talen 1, 11, 21 och 31 och kan utifrån det räkna upp till det okända talet med hjälp av att använda mönstret i talföljden.

Kategori 2, fokus på räkning

I kategori 2 tar eleven reda på de okända talen genom att räkna uppåt från 1 eller från det senast givna talet som ses i mönstret. Eleven räknar upp till det okända talet (den svarta pricken) och konstaterar vilket tal som gömmer sig bakom.

Utdrag 5

Intervjuare: Vad är det för tal som är under de svarta prickarna här? Elev 10: (Eleven pekar på de tomma cirklarna och räknar tyst) sju. Intervjuare: Och nästa?

Elev 10: (Eleven pekar på de tomma cirklarna och räknar tyst) arton. Intervjuare: Räknade du för att komma fram till det?

Elev 10: Ja.

I detta utdrag är det tydligt att eleven inte använder talmönstret som strategi för att komma fram till de rätta svaren utan använder uppåträkning. Elever som uppfattar talföljden på detta sätt har inte urskilt att finns ett mönster att följa för att ta reda på de okända talen.

(27)

22 Sammanfattningsvis finns en framträdande skillnad mellan hur eleverna uppfattar

talföljden och vilka strategier de använder för att komma fram till det okända talet. Eleverna som finns i kategori 2 måste använda en mer tidskrävande och komplicerad strategi för att urskilja de okända talen. De har ännu inte uppfattat att det finns ett logiskt mönster som kan vara till stor hjälp för att upptäcka denna typ av talföljd. Detta mönster har eleverna som beskrivs i kategori 1 upptäckt vilket gör att de snabbare och mer effektivt kan avgöra de tal som efterfrågas.

Siffrans platsvärde

Denna del av resultatet redovisar hur elever uppfattar siffrans platsvärde. Utdragen med elevernas resonemang grundar sig i uppgift 4 c och d i testet (se figur 5) och hur de uppfattar siffrans betydelse i talen 15 och 234.

Figur 5, uppgift 4 c och d.

Utifrån intervjuerna kunde två kategorier av uppfattningar identifieras. I tabell 4 beskrivs kategorierna kortfattat och sedan beskrivs en mer detaljerad beskrivning av kategorierna.

Tabell 4: Siffrans platsvärde

Kategorier, siffrans platsvärde Beskrivning

Kategori 1: Talrelaterad erfarenhet Eleven har genom talrelaterade erfarenheter och träning lärt sig grundläggande talfakta.

Kategori 2: Fokus på hur talet sägs Eleven skriver talen som det låter och använder sina kunskaper om tal för att konstruera talen.

Kategori 1, talrelaterad erfarenhet

Eleverna i denna kategori har visat att de har en förståelse för tals uppbyggnad och kan därmed redogöra för siffrors platsvärde i ett tal. Eleverna förstår alltså vad en siffra i ett givet tal står för och kan också skriva ut tal korrekt. Utmärkande för denna kategori är att eleverna har tillräckligt mycket talrelaterade erfarenheter och kunskaper att de lärt sig

(28)

23 utantill hur talen ska skrivas. De har utvecklat en intuitiv känsla för talens uppbyggnad och behöver inte tänka efter särskilt länge när de ska redogöra för siffrans platsvärde.

Utdrag 6 angående uppgift 4 c och d.

Intervjuare: Hur vet du att man skriver etthundrafem och tvåhundratio så här? Elev 9: Därför jag har tränat det hemma.

Intervjuare: Jaha.

Elev 9: För jättelänge, när jag var sju år jag tränade.

Intervjuare: Hur vet du att det inte ska se ut såhär (skriver upp 1005 och visar eleven)? Elev 9: Därför det blir ettusenfem.

Intervjuare: Så du vet bara att det ska stå så (pekar på elevens svar)? Elev 9: (eleven nickar)

Intervjun fortsätter sedan med elevens uppfattningar om talet 234.

Utdrag 7

Intervjuare: Och nu tar vi ett nytt tal, tvåhundratrettiofyra, vad betyder tvåan då?

Elev 9: Det är skitlätt, två och tre och fyra, två de betyder tvåhundra och om man har en trea det betyder trettio och fyran det blir tvåhundratrettiofyra.

Eleven i utdraget kan enkelt redogöra för hur talen skrivs ut och har tydliga resonemang för sina tankar. Eleven motiverar sina svar med att hen tränat länge och därför vet hur det ska vara. Dessutom kan eleven siffrans betydelse i ett relativt högt talområde vilket ytterligare indikerar på att eleven har god talrelaterad erfarenhet.

Kategori 2, fokus på hur talet sägs

I denna kategori fokuserar eleven på hur talet sägs och skriver ut talet som det låter. Eleven urskiljer delar av talet som den hör och lägger samman de delarna efter varandra. Talet 105 kan elever till exempel uppfatta som 1005 eller talet 210 kan skrivas som 20010 eller 210010 (se figur 6). Utmärkande för denna kategori är att eleverna har urskilt hur varje enhet av talet skrivs men har ännu inte förstått platsvärdet i talen och kan därför inte bilda talet på ett korrekt sätt. Eleverna skriver talet som en slags utvecklad form (100+5 eller 200+10) men utan additionstecknet. I denna kategori är det också

utmärkande att eleverna inte förstår siffrans betydelse i ett tal när de blir tillfrågade. De har uppfattningen om att siffran 1 i talet 15 bara betyder 1 och inte 10 eller att 2.an i 2 i 234 står för 2 och inte 200.

(29)

24

Figur 6, elev 8 svar på uppgift 4 c och d i testet

Utdrag 8 beskriver hur elev 8 resonerade när hen löste denna uppgift.

Utdrag 8 från intervju angående uppgift 4 d.

Intervjuare: Hur tänkte du när du skrev det här talet (tvåhundratio)?

Elev 8: Jag tänkte att när man säger det säger man en två sen en etta och sen säger man hundra därför skrev jag två nollor och en etta sen sa man tio så därför skrev jag tio.

Eleven skriver talet som det låter och använder sådan talfakta som hen känner till. Till exempel att hundra skrivs med två nollor och en etta framför (100). Eleven har också urskilt att det har att göra med två därför skrivs siffran 2 först, eleven förmodar att hundratal skrivs 100 därför skrivs tvåhundra som 2100. Vidare lägger eleven till talet 10 för att det är så hen hör talet sägas.

Vidare följer ett utdrag där elev 6 resonerar om hur talet etthundrafem skrivs i siffror.

Utdrag 9 från intervju angående uppgift 4 c.

Intervjuaren: Hur vet du att man skriver etthundrafem så här?

Elev 6: Vi tar bort dom (håller för 5 med fingret) då blir det hundra sen vi lägger till (tar bort fingret).

Eleven i denna intervju visar tydligt hur hen har tänkt när talet skrivs. Eleven har urskilt talen 100 och 5 utifrån hur talet låter och skriver sedan helt enkelt ihop dem efter varandra.

Sammanfattningsvis så visar dessa kategorier tydligt på vilka skilda sätt elever uppfattar siffrans platsvärde. Elever som beskrivs i kategori 1 har urskilt sådan talfakta som behövs för att förstå tals uppbyggnad. De använder en strategi som bygger på inlärd kunskap och känsla för tal. Till skillnad från eleverna som beskrivs i kategori 2 där eleverna ännu inte har upptäckt hur tal skrivs ut på ett korrekt sätt. Eleverna i kategori 2 har heller inte urskilt betydelsen av siffrans värde i ett tal.

(30)

25 Uppdelning av tal

Sista delen av resultatet redogör för elevernas uppfattningar kring uppdelning av tal. Resultatet grundar sig i uppgift 6 a, b och c i testet (se figur 7) samt hur eleven delar upp talet 7 och 10 när de blir tillfrågade under intervjun.

Figur 7, uppgift 6 a, b och c.

Under analysen identifierades tre kategorier av uppfattningar. I tabell 5 ges en kortfattad beskrivning av de olika kategorierna följt av en bredare beskrivning med tillhörande elevexempel och utdrag från intervjuer.

Tabell 5: Uppdelning av tal

Kategorier, uppdelning av tal Beskrivning

Kategori 1: Fokus på talfakta Eleven har en väl utvecklad känsla för tal så att de utantill kan urskilja tals delar.

Kategori 2: Fokus på att konkretisera

Eleven urskiljer talets delar genom att använda konkret material eller en ritad bild.

Kategori 3: Fokus på att dela talet i lika stora delar

Eleven urskiljer inte att tal går att dela upp med olika stora delar utan uppfattar att talet måste gå att dela lika.

Kategori 1, fokus på talfakta

Kategori 1 innebär att eleven har sådan kunskap om talens uppbyggnad så att de i huvudet kan urskilja relationen mellan tals helhet och delar. Utmärkande är att eleverna inte behöver tänka efter särskilt länge när de får frågan om att dela upp ett tal utan det är en inre process som sker automatiskt.

Utdrag 10 angående uppgift 6 a, b och c.

Intervjuare: Hur tänkte du när du skulle dela upp det här?

Elev 2: Att tre plus två är lika med fem, två plus fyra är sex, att fyra plus fem är nio. Intervjuare: Om du ska dela upp talet sju hur gör du då?

(31)

26 Elev 2: (eleven svarar snabbt) två och fem.

Intervjuare: Och om du har talet tio? Elev 2: (eleven svarar snabbt) sex och fyra.

Vid frågan om hur talet sju och tio delas upp visar eleven tydligt att hen har kunskap om hur talen är uppbyggda. Eleven svarar snabbt och korrekt utan att behöva använda fingrarna eller något annat hjälpmedel vilket innebär att eleven har utvecklat en taluppfattningsförmåga som gör att hen snabbt kan urskilja och dela upp tal genom huvudräkning.

Kategori 2, fokus på att konkretisera

I denna kategori redovisar eleverna sina kunskaper genom att använda fingrar eller att rita som stöd för uträkningen. Eleverna i denna kategori har svårt att uppfatta talets delar utan att konkretisera talet framför sig. Elev 10 (se figur 8) har ritat för att konkretisera

talet.

Figur 8, elevlösning, elev 10

I utdrag 11 beskrivs elev 10 uppfattning om varför denna strategi användes.

Utdrag 11 angående uppgift 6 b och c.

Intervjuare: Jag ser att du har använt lite ringar här, hur använde du dem?

Elev 10: De här två (pekar på uppgift b och c) var jättesvåra så jag målade ringar för att göra det lättare.

Elev 10 visar på vilket sätt hen har tagit hjälp av en visuell bild för att dela upp talet. Eleven ritar upp det hela antalet ringar och stryker sedan över det antalet som står i den första rutan för att till sist räkna ut hur många som är kvar. Eleven konkretiserar på så vis talet för att göra det mer begripligt.

Utdrag 12 exemplifierar ytterligare en elev som hade fokus på att konkretisera. Denna elev använder fingrarna till hjälp.

(32)

27

Utdrag 12

Intervjuare: Kan du dela upp talet sju i två delar?

Elev 8: Jag har först två och här fem (visar två respektive fem fingrar på händerna) och sen…. (eleven använder sina fingrar och räknar) dom får två och dom får två och dom får två och dom får två tre. Jag hade två där så hade jag två där och jag la den till dom så tog jag den som var på denna sidan då fick dom här tre och dom fick tre.

Intervjuare: Så tre och tre? Elev 8: ja

Eleven visade först två och fem vilket är korrekt men använder sedan fingrarna för att försöka dela upp talet igen eller kontrollräkna. När eleven räknar ett- till- ett på fingrarna tappar hen förmodligen bort sig då svaret tillslut blev tre och tre. Detta är ett exempel på att eleven kan ha känt sig osäker på talets delar och använder därför fingrarna som verktyg för att kontrollräkna.

Kategori 3, fokus på att dela talet i lika stora delar

I denna kategori har eleverna uppfattningen att ett ojämnt tal inte går att dela upp. Uppfattningen är alltså att ett tal måste delas i lika stora delar. Utmärkande för kategorin är att eleven inte har urskilt att ett tal kan vara summan av olika stora delar.

Utdrag 13

Intervjuare: Hur skulle du dela upp talet sju med två talkamrater? Elev 1: Man kan inte.

Intervjuare: Du kan inte dela det?

Elev 1: Nej man kan inte göra hälften av det, man behöver samma tal i varje sida. Intervjuare: Om du delar upp talet tio?

Elev 1: Det går, det blir fem och fem.

Elev 1 ger ett tydligt resonemang på hur eleven uppfattar uppdelning av tal. Eleven har inte uppfattat att talet kan delas i olika stora delar och uppfattar därför ojämna tal som odelbara.

Sammanfattningsvis använder eleverna i kategori 1 och 2 olika strategier för att dela upp talen. För kategori 1 använder eleverna en inre tankeprocess medan eleverna i kategori 2 konkretiserar talet för att komma fram till lösningen. Eleverna i kategori 3 har

uppfattningen om att talen inte går att dela om det inte är lika stora delar och har därmed inte utvecklat strategier för att dela upp tal i olika stora delar.

(33)

28

Diskussion

Diskussionsavsnittet innehåller metoddiskussion, tillförlitlighet och äkthet samt resultatdiskussion. I metoddiskussionen beskrivs resonemang om metodval och under rubriken tillförlitlighet och äkthet diskuteras studiens trovärdighet. I Resultatdiskussionen diskuteras studiens resultat i förhållande till yrkesrollen och tidigare forskning.

Metoddiskussion

Att låta en elevgrupp genomföra ett skriftligt test och där efter välja ut elever för intervju var ett passande sätt att organisera det målstyrda urvalet. Bryman (2018) menar att ett målstyrt urval innebär att deltagare väljs utifrån studiens syfte och att urvalsgruppen gärna ska representera en variation av erfarenheter (Bryman, 2018). Analysen av testet kunde indikera att eleverna hade olika uppfattningar vilket var positivt för studiens resultat. Urvalet kan dock ha påverkat studiens resultat då deltagarna valdes från samma klass. Kanske hade utfallet blivit annorlunda om deltagarna var från olika klasser eller skolor. Syftet var att elevernas enskilda uppfattningar skulle undersökas och inte

klassens. Så länge studiens syfte uppfylls spelade det alltså ingen roll att eleverna gick i samma klass. Antalet intervjupersoner var tillräckligt för att besvara studiens

frågeställning och tio deltagare gav därmed ett mättat resultat. Inga bortfall i urvalet förekom då alla elever som planerades delta i intervjun kunde närvara vid

intervjutillfället. Att använda kvalitativa semistrukturerade intervjuer för att samla in empirin var ett metodval som lämpade sig väl för att svara på studiens syfte och

frågeställning. Frågorna i intervjuguiden samt följdfrågor bidrog till att eleverna kunde utveckla sina resonemang. Innan jag gjorde intervjuerna tog jag del av information om hur semistrukturerade intervjuer fungerar samt vad som kan vara viktigt att tänka på vid intervjuer med barn. Med hjälp av den informationen så kände jag mig tryggare i min roll som intervjuare. Min upplevelse av intervjusituationen var att de flesta intervjuerna flöt på bra och eleverna kunde känna sig trygga och svara obehindrat. Det fanns dock vissa omständigheter med intervjuerna som kan ha gjort att resultatet har påverkats och vissa bortfall har uppstått. Bryman (2018) beskriver att bortfall är en felkälla som kan

uppkomma om intervjupersonen inte vill samarbeta, inte går att nå eller av någon anledning inte kan svara på frågorna (Bryman, 2018). Många av eleverna som intervjuades har ett annat modersmål än svenska och har enligt klassläraren svårt att uttrycka sig i svenska språket. Detta kan ha resulterat i att några elever kan ha haft svårt

(34)

29 att formulera sina tankar eller haft svårt att förstå intervjufrågorna. Några elever mindes inte hur de hade svarat eller visste inte hur de hade tänkt på testet vid intervjutillfället. Därför kunde inte deras uppfattningar tas med vilket kan ses som ett bortfall. Även att intervjuerna var korta så var det några elever som hade svårt att koncentrera sig mot slutet. Detta ledde till att det inte gick att få konkreta svar på de sista frågorna från dessa elever och kan därför ses som bortfall. Trots dessa omständigheter var övervägande antal intervjuer lyckade och de resulterade i varierade uppfattningar kring uppgifterna i testet. Eftersom intervjuerna behandlade olika aspekter av taluppfattning så var analysen och kategoriseringen av materialet svårt och tidskrävande. Det var svårt att strukturera upp resultatet på ett logiskt sätt till en början. Braun och Clarke (2016) tematiska

analysprocess samt mina tre frågeställningar hur beskriver eleven sina lösningar?, Vilket

fokus har de i sina beskrivningar?, Vilka resonemang använder eleven när den förklarar sin lösning? hjälpte mig att till slut kategorisera uppfattningarna samt att behålla fokus på

studiens syfte och frågeställning.

Valet av att använda ljudinspelningar vid intervjuerna ansåg jag var lyckat. Trost (2014) menar att det finns både för- och nackdelar med att spela in en intervju. Fördelarna kan vara att det går att höra vilket tonfall och ordval intervjupersonen använder samt att det går att lyssna på intervjuerna flera gånger och att det går att transkribera. Nackdelarna med ljudupptagning kan vara att det kan ta tid att lyssna igenom och att det är svårt att spola fram och tillbaka för att hitta detaljer (Trost 2014). Jag upplevde att fördelarna vägde över nackdelarna då jag såg det som positivt att kunna lyssna flera gånger på intervjuerna. Anteckningarna som fördes under intervjun var en viktig komplettering till ljudinspelningarna och underlättade analysprocessen. Viktiga gester som eleverna gjorde kunde noteras vilket ledde till en mer detaljerad gestaltning av empirin. Det är svårt att säga om eleverna på något sätt påverkades av att anteckningar fördes vid intervjuerna. Det kan tänkas att de kände att de inte kunde uttrycka sig fullt ut när de märkte att det skrevs ner, om så är fallet kan detta ha påverkats studiens resultat. Något som hade kunnat göra analysprocessen lättare hade kunnat vara om intervjuerna videoinspelades. Mina egna erfarenheter och kunskaper kan ha påverkat tolkningen av empirin då det vid kvalitativa studier är nära omöjligt att inte låta det hända. Det finns risk att jag omedvetet har tolkat elevernas svar eller kroppsspråk på ett sätt som de egentligen inte menade. För att minimera mitt eget tolkningsutrymme så mycket som möjligt var jag noga med att

(35)

30 ställa följdfrågor som klargjorde elevernas resonemang. En positiv aspekt av att ha god erfarenhet och kunskap inom området är att jag har kunnat utforma uppgifter och intervjufrågor som har varit relevanta för studiens syfte. Då materialet blev massivt kan jag i efterhand fastställa att en aspekt av taluppfattning hade räckt att undersöka. Det hade kunnat ge en djupare bild av just det fenomenet. Arbetet resulterade i stället i en något ytligare analys av flera aspekter. Dock kan jag se det som positivt att få erfara elevernas tankar och uppfattningar inom flera områden inför min kommande yrkesroll. Tillförlitlighet och äkthet

Kvalitativa studier bör enligt Bryman (2018) bedömas och värderas utifrån kriterierna

tillförlitlighet och äkthet. Tillförlitlighet inbegriper i kvalitativa studier fyra delkriterier

vilka är trovärdighet, överförbarhet, pålitlighet och objektivitet. Äkthet innefattar bland annat att ge en rättvis bild av undersökningen och de uppfattningar som finns bland personerna som har undersökts (Bryman, 2018).

För att säkerställa studiens tillförlitlighet och äkthet har ljudupptagningar tagits när intervjuerna genomfördes. Ljudupptagningarna kan stärka det resultat som har

presenterats för att visa att det stämmer överens med den verklighet som har skildrats. Filmupptagningar hade kunnat styrka trovärdigheten ytterligare vilket kan ses som en svaghet i studien då det medvetet valdes bort. Trost (2014) menar att videoinspelningar gör att gester och kroppsspråk lättare kan dokumenteras till skillnad från att bara göra ljudupptagningar (Trost, 2014). Nackdelen med videoinspelning kan dock vara att eleverna känner sig iakttagna och hindras därför att uttrycka sina tankar så som de hade velat. Intervjuerna och studiens genomförande följer Vetenskapsrådets etiska principer som visar på att studien har genomförts enligt de etiska reglerna. Studien visar endast ett fåtal elevers uppfattningar vilket gör att resultatet inte är generaliserbart så en liknande studie kan därför visa en annan bild av elevers uppfattningar. Studiens syfte var dock att ge en djupare bild av några elevers resonemang och inte en generell beskrivning.

Studiens pålitlighet och objektivitet säkerställs genom att studiens tillvägagångssätt har beskrivits i metodavsnittet där läsaren systematiskt kan följa val av metod, datainsamling, genomförande, analysprocess och etiska ställningstaganden.

(36)

31 Resultatdiskussion

Flertalet forskare är eniga om att en god taluppfattning är grundläggande för elevers fortsatta lärande inom matematik (Andrews et al., 2015; Lunde, 2011; Löwing, 2017; McIntosh, Reys & Reys, 1992; Shumway, 2011; Unenge, Sandahl, & Wyndhamn, 1994). Då matematiksvårigheter kan grunda sig i en bristande taluppfattning (Lunde, 2011; Shumway, 2011; Unenge et al., 1994) är det viktigt att vi som lärare är medvetna om hur elever uppfattar och erfar centrala aspekter av taluppfattning. Genom denna medvetenhet kan vi stötta elever i sitt lärande utifrån elevens perspektiv. Denna studie kan förhoppningsvis hjälpa blivande och yrkesverksamma lärare att få en inblick i hur olika elever i årskurs 1 kan uppfatta centrala aspekter av taluppfattning så som mönster i talföljder, siffrans platsvärde och uppdelning av tal och därigenom synliggöra dessa aspekter i undervisningen. I följande avsnitt ställs resultatet i relation till tidigare forskning och yrkesrollen.

Mönster i talföljder

Studiens resultat visar att elever uppfattar mönster i talföljder på skilda sätt. Utifrån de olika kategorierna av uppfattning kan det konstateras att eleverna använder olika strategier när de försöker urskilja struktur i talföljdens mönster. Andrews och Sayers (2015) menar att kunna se mönster i talföljder är en viktig förmåga kopplat till grundläggande taluppfattning. Om denna förmåga är väl utvecklad bidrar det till att elevers förmåga att räkna och utföra beräkningar också stärks (Andrews och Sayers, 2015).

Vid intervjuerna upptäcktes att mönster i talföljder var svårt för eleverna och de elever som hade svarat fel på testet hade också svårt att resonera kring sina tankar. I och med att deras resonemang var svåra att tolka kan det ha bidragit till att resultatet inte har beskrivit alla uppfattningar och strategier som eleverna hade. Även analysen av testet kan bekräfta att mönster i talföljder var svårt. Över 25 % av eleverna svarade fel uppgifterna som handlade om mönster i talföljder vilket kan vara viktigt att uppmärksamma. Elever som saknar förmågan att se mönster i talföljder skulle kunna löpa stor risk för att senare hamna i matematiksvårigheter (Clarke & Shinn, 2004, refererad i Andrews & Sayers, 2015).

Figure

Tabell 2: Aritmetisk talföljd

Tabell 2:

Aritmetisk talföljd p.22
Tabell 3: Talföljd med flera okända tal

Tabell 3:

Talföljd med flera okända tal p.25
Tabell 4: Siffrans platsvärde

Tabell 4:

Siffrans platsvärde p.27

References

Related subjects :