Institutionen för naturvetenskap och teknik
Ringar, Euklides och polynom
Från ring till polynom
Örebro universitet
Institutionen för naturvetenskap och teknik Matematik C, 76 – 90 högskolepoäng
Ringar, Euklides och polynom
Från ring till polynom
Timmy Jahrl
Mars 2014
Handledare: Holger Schellwat Examinator: Marcus Sundhäll
Självständigt arbete, 15 hp Matematik, C–nivå, 76 – 90 hp
Sammanfattning
Heltalen och polynom kan tyckas ha flera gemensamma egenskaper. En av heltalens egenskaper är aritmetikens fundamentalsats som säger att alla hel-tal kan skrivas som en produkt av primhel-tal. Polynomen har en motsvarande egenskap, faktorsatsen, som innebär att varje polynom kan skrivas som en produkt av rotfaktorer. Dessa gemensamma egenskaper hos heltalen och po-lynom beror inte på en slump utan på att de är besläktade.
Egenskaper hos många välanvända mängder, de reella talen, de rationella talen samt heltalen kan beskrivas med gruppteori. Dessa egenskaper gäller endast över en binär operation men många intressanta och användbara egen-skaper kräver två operationer. I denna uppsats undersöks den algebraiska strukturen ringar och deras egenskaper. Efteråt studeras en speciell typ av ring kallad Euklidiska domän. Där många egenskaper som tillhör heltalen existerar i generaliserade former inom denna ring. Detta kapitel innehåller bevis som har generaliserats. Även polynomens struktur studeras och visar sig vara en Euklidisk domän. I studien används ett annat tillvägagångsätt än den traditionella där det bevisas genom idealer och PID. Uppsatsen avslutas med en kort studie av flervariabelpolynom där de egna bevisen finns varvid det ses att flervariabelpolynom med samma mängd variabler är isomorfa.
Innehåll
1 Ringar och deras egenskaper 7
1.1 Från grupp till ring . . . 7
1.2 Definitionen . . . 7
1.3 Axiomens konsekvenser . . . 8
2 Egenskaper hos ringar 13 2.1 Speciella egenskaper samt element . . . 13
2.2 Underringar . . . 19
2.3 Homomorfi . . . 22
2.4 Euklidisk Domän . . . 24
3 Polynom i en variabel 33 3.1 Ringar . . . 33
4 Polynom i flera variabler 43
Index 47
Kapitel 1
Ringar och deras egenskaper
1.1
Från grupp till ring
Grupper kan användas för att förklara många av de fenomen som återfinns inom många välkända strukturer inom matematiken, till exempel heltalen, de rationella talen samt de reela talen. Gruppteorins begränsning är att den gäller bara endast för en binär operation. De strukturer vi använder ofta har dock fler än en binär operation. Vi utvecklar därför grupper vidare genom att involvera ytterligare en binär operation som har en relation mellan de båda binära operationerna.
1.2
Definitionen
Definitionen av en ring har skiftat historiskt och skiftar än idag. Den defini-tion vi kommer använda av oss nedan är den som Marlow Anderson använder inom A first course in abstract Algebra
1.2.1 Definition. En ring (R, +, ·) är en mängd R med två binära opera-tioner, addition som betecknas + samt multiplikation som vi
betecknar ·, sådant att
1. (R, +) är en abelsk grupp som medför att (a) Sluten, ∀a, b ∈ R : a + b ∈ R
(b) Nollan, ∃0R∈ R : (∀a ∈ R, a + 0R= 0R+ a = a) (c) Kommutativ, ∀a, b ∈ R : a + b = b + a
(d) Associativ, ∀a, b, c ∈ R : a + (b + c) = (a + b) + c (e) Negativa, ∀a ∈ R : ∃ − a ∈ R, a + (−a) = 0R 2. För operationen multiplikation gäller
(a) Sluten, ∀a, b ∈ R : a · b ∈ R 7
8 KAPITEL 1. RINGAR OCH DERAS EGENSKAPER (b) Associativ, ∀a, b, c ∈ R : (a · b) · c = a · (b · c)
(c) Distributiv över addition
i. ∀a, b : c ∈ R, a · (b + c) = a · b + a · c ii. ∀a, b : c ∈ R, (b + c) · a = b · a + c · a
Dessa kriterier är valda då många ringar som används regelbundet upp-fyller dessa kriterier. V ikallar operationerna för addition och multiplikation analogt med exemplet av heltalen, Z. Heltalen utgör en ring under normal addition och multiplikation. Vi kräver inte att en ring har inverser till ele-menten över multiplikation eller att en etta existerar.
För de negativa kan vi underlätta notationen genom att skriva a + (−b) som a − b samt för multiplikation gäller a · b = ab
1.3
Axiomens konsekvenser
Med definitionen given är det av intresse för oss att undersöka vilka deriver-bara egenskaper ringarna har utifrån definitionen. Dessa lemman är grund-läggande och visar att våran definition uppfyller kriterier för de redan kända ringarna.
1.3.1 Lemma. Kancelleringslagen för addition gäller. ∀a, b, c ∈ R, a + b = a + c =⇒ b = c
∀a, b, c ∈ R, b + a = c + a =⇒ b = c
Bevis. För tre godtyckliga element a, b, c ∈ R, har vi a + b = a + c(∗) (−a)+ =⇒ −a + (a + b) = (−a + a) + b = 0R+ b = b ∗ = −a + (a + c) = (−a + a) + c = 0R+ c = c =⇒ b = c
1.3. AXIOMENS KONSEKVENSER 9 Då är höger kancelleringslagen sann och för vänster gör vi samma sätt.
b + a = c + a(∗) +(−a) =⇒ (b + a) − a = b + (a − a) = b + 0R = b ∗ = (c + a) − a = c + (a − a) = c + 0R = c =⇒ b = c
Då har vi kancelleringslagen för addition fastställd. Denna säkerställer att vi kan dra många slutsatser.
1.3.2 Lemma. För nollan, 0R, inom ringen (R, +, ·) gäller följande: 1. Nollan är unik, @0∗R∈ R\{0R} : (∀a ∈ R, a + 0
∗ R= 0
∗
R+ a = a) 2. För nollan gäller följande unikt, 0R+ 0R= 0R.
3. Implicerad nolla, ∀a ∈ R, a + b = a =⇒ b = 0R. 4. Nollan är sin egen negativa, 0R= −0R.
Bevis. För (1) antar vi att det finns ett element 0∗R∈ R : (a + 0∗
R= 0∗R+ a = a), ∀a, b ∈ R gäller följande a + 0R= a
b + 0∗R= b Då vi sätter b = 0Roch a = 0∗R erhålls
0∗R= 0∗R+ 0R = 0R+ 0∗R = 0R
10 KAPITEL 1. RINGAR OCH DERAS EGENSKAPER Del (2) följer naturligt av definitionen av identiteten enligt 1.2.1.1.b, ∀a ∈ R : a + 0R = a. Om vi substituerar a för 0R blir identiteten synlig. Härnäst demonstrerar vi att nollan är unik. Antag att det existerar ett ele-ment som uppfyller det, ∃b : (b + b = b), då gäller
b + b = b =⇒−b b + (b − b) = b − b =⇒
b + 0R= 0R =⇒ b = 0R
Eftersom b är lika med nollan blir det det enda elementet med denna egen-skap. För (3) har vi a + b = a −a+=⇒ (−a + a) + b = −a + a =⇒ 0R+ b = 0R =⇒ b = 0R
(4) följer ifrån (2) då vi har 0R+ 0R= 0Rsamt definitionen av den negativa, 0R− 0R= 0R, varvid vi erhåller att
0R+ 0R= 0R− 0R −0R+
=⇒ 0R= −0R
Då är nollan unik och säkerställd. Efteråt säkerställer vi att de negativa elementen, vilket vi kallar hädanefter för de negativa, är unika.
1.3.3 Lemma. De negativa är entydigt bestämda inom ringen (R, +, ·). @a∗ ∈ R/{−a} : (a + a∗ = a∗+ a = 0R)
Bevis. Antag att ∃a∗ ∈ R/{−a} : (a + a∗ = a∗+ a = 0R). Enligt Definition 1.2.1.1.d har vi denna likhet a∗+ (a − a) = (a∗+ a) − a.
V L = a∗+ (a − a) = a∗+ 0R= a∗ HL = (a∗+ a) − a = 0R− a = −a Varvid vi har a∗= −a
1.3. AXIOMENS KONSEKVENSER 11 Härnäst undersöker vi hur de negativa förhåller sig till multiplikation. 1.3.4 Lemma. Inom en ring, (R, +, ·), gäller följande påståenden för de negativa samt nollan
1. ∀a ∈ R, a · 0R= 0R· a = 0R
2. ∀a, b ∈ R, (−a) · b = a · (−b) = −ab 3. ∀a, b ∈ R, (−a) · (−b) = −(−ab) = ab Bevis. För (1) observerar vi att
0R· a = (0R+ 0R) · a = 0R· a + 0R· a
Vilket från lemma 1.3.2.2 vi vet att 0R· a = 0R. Liknande kan göras för att visa att a · 0R= 0R
För (2) visar vi det genom att använda distributivitet ab + (−a) · b = (a − a) · b = 0R· b = 0R ab + a · (−b) = a · (b − b) = a · 0R = 0R
Detta betyder att (−a) · b och a ·(−b) måste vara det negativa till ab, vilket också är −ab, då enligt lemma 1.3.3 är de negativa entydigt bestämda, varvid det ger oss
(−a) · b = a · (−b) = −ab
För (3) får vi det ifrån (2), (−a)(−b) = −(−ab) vilket ger oss att −(−ab) är det negativa till −ab vilket är också ab då ab − ab = 0R
Vi finner dessa egenskaper inom heltalen, Z. Heltalen är prototypiska då de är den första ringen vi stöter på. Ringen Z har egenskaper i sig själv som går utöver de minimala kriterierna för en ring.
Kapitel 2
Egenskaper hos ringar
Definitionen av en ring är bred, eftersom den skall inkludera många olika strukturer. Priset för detta är att vi inte kan säga mycket om ringar i all-mänhet. Om vi grupperar ringarna enligt deras specifika egenskaper som vi finner värdefulla, kan vi säga mera om ringarna inom dessa grupperingar.
2.1
Speciella egenskaper samt element
Ringar som har analoga egenskaper till addition över multiplikation är av speciellt intresse. Kommutativitet är en egenskap som underlättar om den finns närvarande.
2.1.1 Definition. Ringen (R, +, ·) är en kommutativ ring då multiplikation är kommutativ, d.v.s.
∀a, b ∈ R, a · b = b · a .
Vi ställer inget krav på att multiplikation skall ha något identitetsele-ment likt nollan för addition. Ett sådant eleidentitetsele-ment är ofta önskvärt.
2.1.2 Definition. Ringen (R, +, ·) är en ring med etta då det finns ett element som när det multipliceras med vilket annat element som helst inom ringen så förblir det andra elementet oförändrad. Med andra ord,
∃1R∈ R : (∀a ∈ R, a · 1R= 1R· a = a) .
Vi har tidigare sett att nollan, 1.2.1.1.b, multiplicerat med något element blir alltid nollan. Det finns ringar där andra element över multiplikation kan ge nollan som resultat. Modulo ringar demonstrerar detta under multiplika-tion, t.ex 2 · 3 = 0Z6 i Z6. Två nollskilda element kan då vid multiplikation ge oss nollan inom ringen. Dessa två element kallas då för nolldelare.
14 KAPITEL 2. EGENSKAPER HOS RINGAR 2.1.3 Definition. Med två element a, b ∈ R, då sägs a dela b, vilket skrivs som a|b om det existerar ett element h sådant att b = h · a, det vill säga
a|b ⇐⇒ ∃h ∈ R : (b = a · h)
2.1.4 Lemma. För 3 godtyckliga element a, b, c ∈ R gäller det att om a|b och b|c då gäller a|c.
Samt gäller det att om c|a och c|b medför detta att c|(a + b)
Bevis. Om b|c gäller då har vi för något n ∈ R att c = nb. Likaså har vi att för något m ∈ R att a|b =⇒ b = ma, följaktligen ser vi då att c = nb = nma. Detta medför då att a|c.
För c|(a + b) har vi att för något n, m ∈ R gäller det att a = nc och b = mc. Detta medför då att
a + b = nc + mc = (n + m)c och vi har att c|(a + b)
2.1.5 Lemma. Nollan har alla element som delare och ettan är delare till alla element.
Bevis. Låt a ∈ R vara godtyckligt, om vi har a|0Rdå finns det något element n ∈ R sådant att 0R= an, är n = 0R får vi det genast
För ettan visar vi det liknande, 1R|a betyder att för något n ∈ R har vi a = 1Rn och då n = a är likheten uppfylld.
2.1.6 Definition. Två element a och b inom R\{0R} sägs vara nolldelare om de uppfyller kraven att vara nollskilda och deras produkt blir noll. Det vill säga a · b = 0R eller b · a = 0R
2.1.7 Definition. Ringen (R, +, ·) är en ring utan nolldelare om ringen sak-nar nolldelare.
Dessa två definitioner ger oss verktygen att ta an en egenskap ofta veder-tagen, nämligen multiplikationens kancelleringslag. För addition hade vi att a + b = a + c =⇒ b = c, detta gäller inte nödvändigtvis för multiplikation och det näst kommande lemma visar oss vilken faktor som avgör under vilka omständigheter kancelleringslagen för multiplikation gäller.
2.1. SPECIELLA EGENSKAPER SAMT ELEMENT 15 2.1.8 Lemma. Inom ringen (R, +, ·) gäller det att för godtyckligt nollskilda element a ∈ R\{0R} samt ∀b, c ∈ R att kancelleringslagen för multiplikation gäller om och endast om a är inte en nolldelare.
∀a ∈ R\{0R} ∀b, c ∈ R
((ab = ac) ∨ (ba = ca) =⇒ b = c) ⇐⇒ @n ∈ R : (an = na = 0R) Bevis. =⇒
∀a, b, c ∈ R, a 6= 0R Först visar vi att om
(ab = ac) ∨ (ba = ca) =⇒ b = c
gäller så måste a inte vara en nolldelare. Det gör vi genom att visa att om ab = 0R då är b = 0R. Vi antar ∃b ∈ R : (ab = 0R). Samtidigt gäller det att a · 0R= 0R enligt lemma 1.3.3.1. Med vilket vi får
ab = 0R= a · 0R
Då enligt kancelleringslagen får vi b = 0R. På liknande sätt visas ba = 0R =⇒ b = 0R
⇐=
Härnäst visar vi att kancelleringslagen gäller då a är inte en nolldelare. Vi har då
∀a ∈ R\{0R}, ∀b, c ∈ R, ab = ac
Då får vi ab − ac = a(b − c) = 0R, då a är nollskild och inte en nolldelare måste b − c = 0R =⇒ b = c, samma resonemang används för ba = ca. 2.1.9 Lemma. Låt a, b ∈ R, där R är en ring utan nolldelare, samt att a · b = 0R, då gäller det att a = 0R eller b = 0R
Bevis. Detta följer ifrån lemma 2.1.8, då ringen saknar nolldelare är varken a eller b nolldelare och vi kan skriva likheten som
a · b = 0R= 0R· b eller
a · b = 0R= a · 0R
16 KAPITEL 2. EGENSKAPER HOS RINGAR Kommutativitet, identitet och nolldelare är egenskaper som är oberoen-de av varandra. Vad vi kan göra är att oberoen-definiera ytterligare ringar som är permutationer av dessa egenskaper. Har vi en ring som inte har nolldelare samt är en kommutativ ring med etta då har vi ett Integritetsområde. 2.1.10 Definition. En ring R är ett integritetsområde om den är en kom-mutativ ring med etta som saknar nolldelare.
Det prototypiska exemplet på integritetsområde är heltalen, Z. Det är från heltalen våra analoga notationer av identiteter som 0Roch 1Rkommer, dessa två antas alltid vara skilda från varandra, 0R6= 1R.
2.1.11 Lemma. Om 1R= 0R inom ringen (R, +, ·) gäller det att R = {0R} Bevis. För alla a ∈ R måste följande gälla a = a · 1R = a · 0R = 0R enligt lemma 1.3.4.1, och då alla element gånger identiteten blir 0R måste den nollan vara det enda elementet inom ringen.
Denna ring kan betraktas som en ring med etta då den har ett element som uppfyller 1R· a = a · 1R= a = 0R, men för att slippa göra undantag för satser anses ringar av R = {0R} inte vara en ring med etta.
2.1.12 Lemma. De negativa är relaterade till ettan, om den existerar, en-ligt följande.
∃1R∈ R =⇒ −a = (−1R) · a = a · (−1R) Bevis. Från definitionen av de negativa har vi
0R= a − a = a · 1R− a · 1R = a · (1R− 1R) = = a · (1R+ (−1R)) = a · 1R+ a · (−1R) = a + a · (−1R)
Då de negativa är entydigt bestämda följer påståendet av detta.
För addition har vi de negativa till alla elementen. Vi har sett att detta är användbart och lika så är det om det finns inverser för multiplikation också. Först definierar vi en egenskap.
2.1.13 Definition. Låt (R, +, ·) vara en ring med etta. Om det för a exi-sterar en multiplikativ invers, a−1, sådant att a · a−1 = a−1· a = 1R= 1, då sägs dessa två vara en enhet.
2.1. SPECIELLA EGENSKAPER SAMT ELEMENT 17 Inom en given ring kan det finnas många olika enheter och det är praktiskt att gruppera dessa då de delar egenskaper. Mängden av alla enheter inom en ring (R, +, ·) skriver vi som R∗.
2.1.14 Lemma. Inversen är entydigt bestämt.
∀a ∈ R\{0R} =⇒ @a∗∈ R\{0R}\{a−1} : (a · a∗= a∗· a = 1R) Bevis. Antag att ∃a∗: (aa∗ = a∗a = 1R) då gäller följande likheter
a∗· (a · a−1) = (a∗· a) · a−1 V L = a∗· (a · a−1) = a∗· 1R= a∗ HL = (a∗· a) · a−1 = 1R· a−1 = a−1 vilket ger oss då att a∗= a−1
2.1.15 Lemma. Mängden R∗ innehåller alltid elementen 1R och −1R Bevis. Detta följer då 1R· 1R= 1R och (−1R) · (−1R) = 1R
2.1.16 Lemma. Mängden R∗ utgör en grupp under multiplikation (R∗, ·)
Bevis. Operationen är redan associativ och identiteten har vi redan i 2.1.15 och inverser existerar till varje element från definitionen. Sedan visar vi att de är slutna. Låt a, b ∈ R∗ vara godtyckliga, då finns a−1, b−1 ∈ R∗ också ifrån definitionen. Då har vi
(a · b) · (b−1· a−1)
(a · b) · (b−1· a−1)1.2.1.2.b= a · (b · b−1) · a−1 = a · (1R) · a−1
= a · a−1 = 1R
Vilket ger oss att b−1· a−1 är inversen till a · b vilket ger oss både b−1· a−1 och a · b ligger i R∗. Då är det en grupp.
Två element a, b ∈ R inom en ring sägs vara associerade om för något c ∈ R∗ gäller det a = bc.
18 KAPITEL 2. EGENSKAPER HOS RINGAR 2.1.17 Lemma. Element inom R∗ är aldrig nolldelare
Bevis. Antag att det inom R∗ finns nolldelare till a ∈ R∗ som vi kallar a∗, då har vi (a∗· a) · a−1= a∗· (a · a−1) 0R= 0R· a = (a∗· a) · a−1 = a∗· (a · a−1) = a∗· 1R = a∗
0R kan inte finnas inom R∗ och då finns inga nolldelare inom R∗ 2.1.18 Definition. En ring (K, +, ·) är en divisionsring om
∀a ∈ K\{0K} =⇒ a ∈ K∗
För att underlätta notationen av den multiplikativa inversen skriver vi a · b−1 som a ÷ b = ab.
En divisionsring ställer inget krav på kommutativitet. Från definition ställs det på krav på att ettan skall finnas, då multiplikationen av ett element och dess invers skall resultera i ettan. En divisionsring som är kommutativ är en kropp, om den inte är kommutativ är den en skevkropp
2.1.19 Definition. En ring (K, +, ·) sägs vara en kropp om den är en kom-mutativ divisionsring
∀a ∈ K\{0K} =⇒ a ∈ K∗ ∀a, b ∈ K : a · b = b · a
2.1.20 Definition. En ring (K, +, ·) sägs vara en skevkropp om den är en icke-kommutativ divisionsring, det vill säga
∀a ∈ K\{0K} =⇒ a ∈ K∗ ∃a, b ∈ K, a · b 6= b · a .
2.2. UNDERRINGAR 19 2.1.21 Lemma. En divisinsring uppbyggd av de båda grupperna (K\{0K}, ·) och (K, +)
Bevis. Att (K, +) är en grupp följer ifrån definition av en ring, och ifrån tidigare vet vi att alla icke-noll element ligger inom mängden K∗som skapar en grupp och därmed är lemmat sant
För addition har alla elementen en negativ, varvid nollan är negativ till sig själv. För multiplikation gäller det inte att alla element har en invers då ett element aldrig kan ha en invers.
2.1.22 Lemma. Nollan kan inte ha en invers
@0−1R ∈ R : (0−1R · 0R= 0R· 0−1R = 1R)
Bevis. Detta följer ifrån lemma 1.3.4.1, för ∀b ∈ R gäller b · 0R= 0R och då kan inversen inte existera
Normalt kan vi inte säga lika mycket om multiplikation då dess egenska-per inte är specifika. Om vi använder oss av kroppar då erhåller vi analoga lemman för multiplikation som de lemman addition har.
2.1.23 Lemma. För ettan, 1K, inom kroppen (K, +, ·), är sin egen invers Bevis. Vi tar definitionen av ettan, 1K· 1K = 1K samt att definitionen av inversen, 1K÷ 1K = 1K, då får vi 1K· 1K = 1K÷ 1K =⇒ 1K = 1−1K .
2.2
Underringar
En ring är sällan ensam; ibland går vi mellan dem och ibland måste vi hålla oss inom mindre delar av en större ring. Inom en grupp kan det existera delmängder som är slutna under operationen och bildar då en undergrupp. Konceptet av underringar definieras analogt med undergrupper.
2.2.1 Definition. Ringen (S, +, ·) är en underring till (R, +, ·) om följande kriterier är uppfyllda
1. S är en delmängd till R, S ⊆ R d.v.s ∀a ∈ S =⇒ a ∈ R 2. (S, +, ·) är en ring
Vi definiera underkropp analogt med underringar, då det gäller kroppar istället för allmänna ringar. Låt oss undersöka några fundamentala egenska-per för underringar.
20 KAPITEL 2. EGENSKAPER HOS RINGAR 2.2.2 Lemma. S = {0R} och S = R är underringar till (R, +, ·)
Bevis. Då S = R är trivialt då S är hela R och därmed alla element inom S är i R och S är en ring. För S = {0R} är det enkelt att se att då är fallet, 0Rär sin egen negativa, nollan och är sluten under addition och multiplikation.
Dessa två underringar kallas för triviala underringar då de alltid finns inom ringen. Dessutom kallas S = {0S} för nollringen. Notationen för un-derringar är att om S är en underring till R noterar vi S ≤ R. Kan S inte vara hela R, S 6= R, sägs det vara en äkta underring och vi skriver S < R.
Definitionen av underringar säger ingenting om elementens egenskaper inom underringen, bara att det måste finnas någon nolla och de negativa inom underringen. Vi skall se att dessa är identiska med ursprungs ringens nolla och de negativa.
2.2.3 Lemma. De negativa och nollan inom ringen (S, +, ·) är identisk med dem för (R, +, ·) då S ≤ R.
0S = 0R −aS = −aR
Bevis. Från definition vet vi att ∀a ∈ S =⇒ a ∈ R och a + 0R= a
a + 0S = a
då får vi a + 0R= a + 0S vilket ger oss att 0R= 0S ifrån kancelleringslagen för addition. För inversen har vi a − aR = 0R = 0S = a − aS vilket medför då att −aR= −aS
2.2.4 Lemma. Ettan och inverserna inom underkroppen (S, +, ·) är identisk med dem för kroppen (K, +, ·) då S ≤ K.
1S = 1K a−1S = a−1K
Bevis. Ifrån definition av underkroppar vet vi att ∀a ∈ S =⇒ a ∈ K och a · 1K= a
a · 1S = a
då får vi a · 1K = a · 1S vilket ger oss att 1K = 1S. För inversen har vi a · a−1K = 1R= 1S = a · a−1S
2.2. UNDERRINGAR 21 Att se om en ring är en underring är en process av att kolla många axiom. Det finns en lättare metod att göra det än att konfirmera alla axiomen för en ring och delmängden.
2.2.5 Lemma. Låt S vara en delmängd till R, S ⊆ R, då är S en underring om och endast om S 6= ∅, ∀a, b ∈ S =⇒ a − b, a · b ∈ S
(S 6= ∅) ∧ (a, b ∈ S =⇒ (a − b ∈ S) ∧ (a · b ∈ S)) ⇔ S ≤ R
Bevis. =⇒ Först visar vi att om S 6= ∅ och att a, b ∈ S =⇒ a − b ∈ S ∧ a · b ∈ S är sanna så är S en underring. Om S 6= ∅ då finns det minst ett element i S. Om ∀a, b ∈ S =⇒ a − b ∈ S är sann då bildar (S, +) en abelsk grupp, Om vi har för ∀a, b ∈ S =⇒ ab ∈ S då gäller det att
∀a, b, c ∈ S
a · (b · c) = (a · b) · b ∈ S a · (b + c) = ab + ac ∈ S Då multiplikationen, · , är distributiv och associativ över alla element inom R och a ∈ S =⇒ a ∈ R, likaså fås för (b + c) · a
⇐=
Denna del är lätt att se att den måste vara sann, om S ≤ R måste dess negativa, nollan för R finnas samt differens och produkterna av operationer-na.
2.2.6 Lemma. Låt S vara en delmängd till K, S ⊆ K, då är S en under-kropp om och endast om S 6= ∅, ∀a, b ∈ S =⇒ a − b, a ÷ b ∈ S
Bevis. Detta är en utveckling av tidigare lemma, och då en kropp är en divisionsring kan vi applicera delgrupps kriterier på (K, +) och (K\{0K}, ·) och då har vi lemmat bevisat.
Dessa lemman gör det enklare för oss att undersöka om en delmängd är en underring eller underkropp då den garanterar att axiomen är uppfyllda. Emellanåt är det av intresse för oss att undersöka om en mängd element som finns inom två eller flera olika underringar samtidigt.
2.2.7 Lemma. Låt L vara en mängd underringar till R.
Då gäller för ringen som utgör snittet av mängderna att den är en underring till R.
L :=\L≤ R
Bevis. Låt S, T ∈ L vara godtyckliga. Då 0S= 0T = 0R, enligt lemma 2.3.3, så vet vi att L 6= ∅.
Härnäst antar vi att a, b ∈ L då gäller att a − b, a · b ∈ S och a − b, a · b ∈ T vilket medför att a − b, a · b ∈ L.
22 KAPITEL 2. EGENSKAPER HOS RINGAR
2.3
Homomorfi
Vi kan skapa avbildningar mellan grupper som bevarar gruppstrukturen. Vi kan applicera homomorfin på elementen var för sig för att erhålla deras produkt. Vi utvecklar denna definition på sådant sätt att den fungerar för ringar.
2.3.1 Definition. Låt (R, +, ·) och (S, +, ·) vara två ringar, då är avbild-ningen φ : R → S en ringhomomorfi om
1. φ(a + b) =φ(a) + φ(b) 2. φ(a · b) =φ(a) · φ(b)
Utifrån denna definition får homomorfierna ett antal egenskaper. 2.3.2 Lemma. För homomorfin φ : R → S gäller följande
1. Homomorfin φ bevarar nollan,φ(0R) = 0S.
2. Homomorfin φ bevarar de negativa, φ(−aR) = −φ(aR) = −aS.
3. Homomorfin φ bevarar underringar, d.v.s om R∗≤ R så är φ(R∗) ≤ S. Bevis. (1) kommer naturligt från definitionen
φ(aR) = aS samtidigt gäller det att
φ(0R) = φ(0R+ 0R) = φ(0R) + φ(0R)
då måste φ(0R) = 0S för att homoformin skall vara uppfylld. (2) visas från (1) och definitionen (2.3.1.1).
0S= φ(0R)
= φ(aR+ (−aR)) = φ(aR) + φ(−aR) =⇒ φ(−aR) = −φ(aR) = −aS
För (3) gäller R∗ ≤ R samt S∗ = φ(R∗) ≤ S. Då R∗ 6= ∅ gäller S∗ 6= ∅. Sedan har vi
∀aS, bS ∈ S∗ =⇒ ∃aR, bR∈ R∗ : (φ(aR) = aS, φ(bR) = bS) aS− bS = φ(aR) − φ(bR) = φ(aR− bR)
aS· bS= φ(aR) · φ(bR) = φ(aR· bR)
Då elementen i R∗ avbildar till underringen S∗ så är S∗ enligt L2.2.5 en underring till S
2.3. HOMOMORFI 23 Dessa egenskaper gäller för ringar i allmänhet, multiplikationens motsva-righeter kan vi inte etablera utom då det är en kropp.
2.3.3 Lemma. för kropphomomorfin φ : K → S gäller följande för en kropp 1. Homomorfin φ bevarar multiplikativa identiteten, φ(1K) = 1S.
2. Homomorfin φ bevarar multiplikativa inversen, φ(a−1K ) = (φ(aK))−1= a−1S .
3. Homomorfin φ bevarar underkroppar, φ(R∗) = S∗. Bevis. (1) är lätt att visa ifrån definitionen av ettan φ(aK) = aS samtidigt gäller det att
as= φ(aK) = φ(aR· 1K) = φ(aK) · φ(1K) = aS· φ(1K)
då måste φ(1K) = 1S, då en kropp saknar nolldelare, för att homomorfin skall vara uppfylld.
(2) visas ifrån (1) och definitionen.
1S = φ(1K) = φ(aK· a−1K ) = φ(aK) · φ(a−1K ) = aS· φ(a−1K ) =⇒ φ(a−1K ) = a−1S
För (3) vet vi från lemma 2.3.2 att homomorfin bevarar ringar, då skall vi visa att den bevarar multiplikativa inversen.
För aS, bS ∈ S∗ =⇒ ∃aK, bK∈ K∗ : (φ(aK) = aS, φ(bK) = bS) aS÷ bS= φ(aK) ÷ φ(bK) = φ(aK÷ bK)
24 KAPITEL 2. EGENSKAPER HOS RINGAR
2.4
Euklidisk Domän
Heltalen är något vi som studenter ofta arbetar med redan tidigt inom ut-bildning. Flera av heltalens egenskaper, bland annat den så kallade divi-sionsalgoritmen och aritmetikens fundamentalsats, kan vara specialfall av en generaliserad egenskap. I detta kapitel bevisas att detta är fallet och visar att egenskaperna tillhör en speciell typ av ring. Först måste dock Euklidisk evaluering definieras.
2.4.1 Definition. Vi definierar avbildningen δ : R → N, med följande egenskap, låt a, b ∈ R\{0R}. då gäller det att
δ(a) ≤ δ(a · b)
Vi kallar denna för Euklidisk evaluering, Euklidisk norm eller bara norm. Denna funktion gör att vi kan definiera en ny ring. Definitionen vi använ-der är den som finns inom R.B.J.T Allenbys bok Rings, Fields and Groups - An introduction to abstract algebra.
2.4.2 Definition. Låt (D, +, ·) vara ett integritetsområde. (D, +, ·) är ett Euklidiskt område, ett ED om den har en norm, δ, och det existerar något m, r ∈ D för varje element a ∈ D relativt till ett annat givet element b ∈ D\{0D} sådant att
a = m · b + r där r = 0D eller
δ(r) < δ(b)
Vi skriver en ring som är en Euklidisk domän som D istället för den all-männa R. Heltalen är ett exempel på denna ringtyp, då δ(a) = |a|. Ett annat exempel på en Euklidisk domän är de Gaussiska heltalen. Där för g ∈ D har vi att g = a + bi med i2 = −1 och a, b ∈ Z, och att dess evaluering är δ(g) = a2+ b2. Dessa ringar innehåller många intressanta egenskaper som vi skall utforska
Om resttermen r är nollan, r = 0D, får vi att a = mb ifrån a = m · b + r. Detta säger oss att elementen kan handskas med det tidigare konceptet av delare.
2.4.3 Lemma. För a, b ∈ D om a|b och b|a medför det att a = ub med u ∈ D∗, att a och b är associerade.
Bevis. För a|b gäller det att b = na samt gäller det att b|a =⇒ a = mb vilket medför att b = (mn)b. Påståendet är bara sant om n, m ∈ D∗ och nm = 1D och då är lemmat bevisat.
2.4. EUKLIDISK DOMÄN 25 Denna egenskap knyter samman med konceptet av största gemensamma delare.
2.4.4 Definition. Största Gemensamma Delaren för två element a och b, där den ena måste vara nollskild, är det element, c, som är delare till båda elementen a och b, samt att alla andra element som är delare till a och b också är delare till c. Vi skriver detta som c = gcd(a, b) ifrån engelskans Greatest common divisor , samt gäller det att gcd(0, 0) = 0. Det vill säga att för godtyckliga a, b, c, d ∈ D gäller följande.
c = gcd(a, b) =⇒ c|a ∧ c|b d|a ∧ d|b =⇒ d|c
Detta koncept har vi nytta av senare. Härnäst etablerar vi några enklare lemman om SGD.
2.4.5 Lemma. För några a, b ∈ R låt c = gcd(a, b), då gäller c|(ma + nb)
för n, m ∈ D.
Bevis. För b gäller att ∃r ∈ D : (b = cr) samt för a, ∃s ∈ D : (a = cs) Då har vi
am + bn = csm + crn = c(sm + rn)
Vi finner att det finns en relation mellan SGD och de två elementen ifrån definitionen. Detta bevis kommer från Allenbys bok, dock har den generali-serats.
2.4.6 Lemma. Då a, b ∈ D och en är nollskild. Då gäller att gcd(a, b) = a · m + b · n för något n, m ∈ D
∃n, m ∈ D : (a · n + b · m = gcd(a, b))
Bevis. Vi har att a, b ∈ D och minst en är nollskild, sedan låter vi S vara alla möjliga kombinationer av a och b, där vi inte inkluderar de negativa.
S = {z ∈ D : z = a · m + b · n : m, n ∈ D, @ − z : z − z = 0R}
Vi vet då att S 6= ∅, för att om a 6= 0D gäller att z = a · 1D = a ∈ S, samma för b eller den negativa för a eller b. Följaktligen har vi att det måste finnas ett element d ∈ S sådant att
26 KAPITEL 2. EGENSKAPER HOS RINGAR är minsta värde för a och b tillsammans för något n och m, då 0N ≤ δ(t) ∈ N. Varje element inom x ∈ S ⊆ D kan skrivas som x = qd + r med r = 0D eller δ(r) < δ(d) då x ∈ S =⇒ x ∈ D. Antag att d - x då gäller att x 6= qd och δ(r) > 0N.
Samtidigt gäller det att
∃v, w ∈ D : x = va + wb = qd + r =⇒ r = x − qd = (va + wb) − q(am + bn) = (v − qm)a + (w − qn)b =⇒ (r ∈ S) ∧ (δ(r) < δ(d))
Här ser vi att r här måste finnas i S men samtidigt ha δ(r) < δ(d) vilket går emot att d är det element med det minsta δ(d), då är våra antagande att d - x falskt och r = 0D, detta ger oss att d delar alla element inom S då x = qd.
∀x ∈ S, d|x
Vi vet att a, b ∈ S, då a = 1D· a + 0D· b likaså för b, och då d|a, d|b vilket ger oss att d| gcd(a, b) från definition 2.4.4. Från lemma 2.4.5 vet vi att
gcd(a, b)|am + bn = d
då gcd(a, b)|d och d| gcd(a, b) gäller det att d = u gcd(a, b) för något u ∈ D∗ ifrån lemma 2.4.3. Är det inte så att u = 1D då kan vi korrigera elementen med att multiplicera med enheten u∗ ∈ D∗, där u∗u = 1D, så att vi får u = 1D.
Läsaren är troligen också bekant med ett annat sätt att erhålla SGD, Euklides algoritmen.
2.4.7 Lemma. Låt a, b ∈ D, minst en nollskild. Då a = qb + r gäller det att gcd(a, b) = gcd(b, r)
Bevis. gcd(b, r)|b och gcd(b, r)|r enligt definitionen för största gemensamma delare, samtidigt enligt L.2.2.5 delare gcd(b, r) också a, då gcd(b, r) delare både a och b är det en gemensam delare och gcd(b, r) delare gcd(a, b) enligt definitionen för största gemensamma delare.
gcd(b, r)| gcd(a, b)
Omvänt gäller det att r = a − qb vilket medför enligt samma resonemang att gcd(a, b)| gcd(b, r)
2.4. EUKLIDISK DOMÄN 27 Nu kan vi bevisa att Euklides algoritmen gäller för alla Euklidiska do-mäner och inte bara heltalen, Z.
2.4.8 Lemma. gcd(a, b) kan beräknas inom en Euklidisk domän genom Euklides algoritm.
Bevis. Enligt definitionen för ED kan vi skriva a = q1b + r1 an= qn+1bn+ rn+1
Notationen här är att an = qn, bn = rn och b0 = b, ao = a. Då för varje δ(rn+1) < δ(bn), om inte rn+1= 0, och att de är inom en ED. Ifrån L.2.4.7 vet vi att gcd(an, bn) = gcd(bn, rn+1).
Då δ(rm) minskar kommer den tillslut nå en punkt där den kan inte bli mindre och blir lika med noll i nästa steg. Då har vi från kedjan av största gemensamma delare ifrån lemma 2.4.7 att den sista resten med δ(r) > 0 är den största gemensamma delaren, då alla element delar nollan.
Detta är ett sätt att finna största gemensamma delare. Vi kan säga är att SGD måste finnas då 1D är delare till alla element. Vi kan så här långt antagit att SGD är skild från 1D då ettan inte är intressant. Ettan är endast av intresse då den ger oss möjlighet att definiera en relation.
2.4.9 Definition. a, b ∈ D, sägs vara relativa prima om gcd(a, b) = 1D
och vi skriver detta som a ⊥ b
Skrivsättet a ⊥ b är tagen från Thomas Judsons Abstract algebra - Theory and applications. Vi använder det då dessa element kan ses som ortogonala då vinkeln mellan två ortogonala vektorer är cos α = 1.
2.4.10 Lemma. om a ⊥ b inom D då gäller att ∃n, m ∈ R : am + bn = 1
Bevis. Detta fås ifrån definition 2.4.9 och lemma 2.4.6. Då a ⊥ b gäller det att gcd(a, b) = 1 och ifrån lemma 2.4.6 har vi att
∃n, m ∈ R : am + bn = gcd(a, b) = 1
Relativt prima säger ingenting om primtal. Till exempel 15 ⊥ 8 där varken 15 eller 8 är primtal.
28 KAPITEL 2. EGENSKAPER HOS RINGAR 2.4.11 Lemma. Låt a, b, c ∈ D vara godtyckliga. Om a och b är relativt prima, a ⊥ b, och a dela bc, a|bc, medför detta att a delar c.
a ⊥ b ∧ a|bc =⇒ a|c Bevis. Från lemma 2.4.9 har vi
am + bn = 1 c·
=⇒ c = c · (am + bn) = cam + bcn
Då har vi att a|cam och a|bcn. Vilket ger att a|(cam + bcn), men vi har att cam + bcn = c och då gäller det att
a|c .
Med detta har vi nu de verktyg som behövs för att demonstrera att relationer inom heltalen kan generaliseras till Euklidiska domäner. Härnäst anger vi primtalens generaliserade form.
2.4.12 Definition. Ett element inom D\D∗, π, sägs vara ett irreducibelt element om den inte är en enhet och om den är en produkt av två faktorer är en av dem en enhet.
π = bc =⇒ b ∈ D∗ eller
c ∈ D∗
2.4.13 Definition. Ett element inom D\D∗, π, sägs vara ett primelement om för alla a ∈ D\D∗\{π}, om π|ab då delar π a eller b.
∀a ∈ D\{0, π} π = bc =⇒ π|a ∨ π|b
Läseren bör notera att dessa är relaterade men ej nödvändigtvis ekviva-lenta.
2.4.14 Lemma. Alla primelement är irreducibla
Bevis. För primelementet π = bc för något b, c ∈ D säger vi att π|b, om annat namnger vi elementen så att det håller sig sant då den måste göra det för b eller c. Vi har då att b = mπ samt att π = bc vilket medför att b = bcm, detta i sin tur medför att cm = 1D =⇒ c, m ∈ D∗
2.4. EUKLIDISK DOMÄN 29 Alla primelement är irreducibla element, som vi har sett, men inte alla irreducibla element är primelement. Ett exempel på detta kommer ifrån ring-en Z[√5i] där 3|(2 +√5i)(2 −√5i) = 9, trean delar produkten men ingen av delarna. Vi kallar irreducibla element kort för irreducibla och primelement blir till prim.
2.4.15 Lemma. Två olika irreducibla, a, b ∈ D, u ∈ D∗: a 6= bu, är relativt prima
Bevis. För detta antar vi att de två irreducibla, a, b ∈ D, inte är relativt prima. Då finns det något n ∈ D där n = gcd(a, b) 6= 1D där vi har att a = ni och b = nj för något i, j ∈ D. Har vi att i, j ∈ D∗ har vi att a = bu för något u ∈ D∗ varvid de inte är olika. Har vi att i, j ∈ D\D∗ erhåller vi att a = ni, b = nj där n, j och i är alla icke enheter, varvid vi har att a och b inte är irreducibla. Denna motsägelse bevisar detta.
Härnäst visar vi att element som inte är irreducibla är element som kan skrivas som en unik produkt av irreducibla. Dessa element kallas ofta för reducibla element, även för sammansatta element samt komposita element, här kommer vi kalla dem för kompositer.
2.4.16 Lemma. Låt a ∈ D vara irreducibelt och b, c ∈ D, samt att a|bc, då gäller det att a delar b eller c
a|bc =⇒ a|b ∨ a|c
Bevis. Antag att a - b då gäller a ⊥ b och ifrån lemma 2.4.11 vet vi att a|c Antag att a - c då gäller a ⊥ c och ifrån lemma 2.4.11 vet vi att a|b
Nu kan vi demonstrera att primtalsupdelningen från heltalen en applice-ring av en generaliserad princip.
2.4.17 Lemma. Låt Γ ∈ D vara komposit, då är Γ möjlig att uttrycka som produkten av irreducibla.
Γ =Y i
πi
Bevis. För att bevisa detta antar vi motsatsen och skapar mängd S bestå-ende av de element i D som kan ej beskrivas som en produkt av irreducibla.
S = {Γ ∈ D : ∀πi, Γ 6= Y
πi}
Ifrån S tar vi elementet Γ sådant att normen av Γ, δ(Γ), är det minsta inom S. Då Γ inte är en irreducibel utan en komposit, kan vi skriva Γ = uv för något u, v ∈ D\D∗
30 KAPITEL 2. EGENSKAPER HOS RINGAR För D har vi att δ(v) ≤ δ(uv) = δ(Γ), δ(u) ≤ δ(uv) = δ(Γ), då Γ har det minsta värdet för normen inom S kan inte u och v vara inom S. De kan då skrivas som en produkt av irreducibla, vilket ger oss att Γ går också att beskrivas som en produkt av irreducibla då den är en produkt av u och v, varvid vi har en motsägelse.
2.4.18 Lemma. För kompositen Γ ∈ D, då faktoriseras Γ unikt utan hänsyn till ordningen. Γ = m Y i πi = n Y j πj∗
Då πi, πj∗∈ D är irreducibla och det finns en bijektion mellan πi och πj∗ Bevis. Antag att det är falskt, då har vi för kompositen Γ ∈ D
Γ = m Y i πi = n Y j πj∗
och för minst något πi och π∗j kommer de inte att associeras. Vi vet att πm|Γ πm| Y πi πm| Y π∗j
Ifrån lemma 2.4.16 vet vi att πm, utan inskränkning av allmängiltighet är m < n, delar något element π∗k för något k då de är relativt prima, πm|πk∗. Alla πj∗ är dock irreducibla likt πi vilket ger, ifrån 2.4.12, då att, för något u ∈ D∗, πm = uπ∗j, men då har vi a = bπm med
b = m−1
Y i
πi= u · π1∗. . . π∗j−1π∗j+1. . . πn∗
Detta kan göras för resterande element och då får vi att element πi och π∗j kommer att associeras och då får vi att n = m och därmed är teoremet sant med denna motsägelse.
Med detta kan vi nu visa att irreducibla är liktydiga med prim inom Euklidiska områden.
2.4.19 Lemma. Irreducibla inom Euklidiska domänen D är också prim. Bevis. Antag att π ∈ D är irreducibel och är inom den unika faktoriseringen av ab, π|ab om någon av elementen är en enhet då delar π det andra
a ∈ D∗ =⇒ π|b
2.4. EUKLIDISK DOMÄN 31 Aritmetikens fundamentalsats, att varje tal kan skrivas som en produkt av primtal, är inte ett specialfall utan bara en applikation av den generella satsen för alla Euklidiska domänerna.
Kapitel 3
Polynom i en variabel
Inom matematiken löser vi många problem genom att använda polynom och har gjort det sedan Babyloniernas tid då de började med andragradspolynom. Vi kommer att se här att polynom skapar en ringstruktur. Detta ger oss möjligheten att analysera polynom med tidigare lemman som har etablerats samt förklara varför polynom tycks ha en del egenskaper som motsvarar heltalens egenskaper. Först definieras begreppet polynom.
3.1
Ringar
3.1.1 Definition. Låt (R, +, ·) vara en kommutativ ring med etta. Vi kallar ett element för ett polynom om den kan skrivas som
p(x) = ∞ X i=0
aixi
där aitill hör en ringen R, ai∈ R och bara ett ändligt antal av koefficienterna är nollskilda, d.v.s för
A := {i ∈ N : ai6= 0R} gäller det att
|A| 6= ∞ .
Varför vi låter summan gå upp till oändligheten är för att undvika mul-tipla representationer för samma polynom.
p(x) = x2− 3x = n X i=0
aixi
där vi har a0 = 0, a1 = −3,a2 = 1 och alla ai där i > 2 är lika med noll. För de olika n ≥ 2 får vi polynom med olika antal termer som representerar
34 KAPITEL 3. POLYNOM I EN VARIABEL samma polynom. Definitionen försäkrar att detta problem inte uppstår och vi kan då definiera likhet mellan polynom genom att de har samma koefficienter i varje term. 3.1.2 Definition. För p(x) = ∞ X i=0 aixi f (x) = ∞ X j=0 bjxi
då ai, bj ∈ R gäller det att p(x) = f (x) om alla termer gäller att ai = bi för alla i.
Av notationsskäll kommer vi att skriva summan utan oändlighets teck-net och bara notera vilken variabel som används, eftersom det underlättar skrivandet. ∞ X i=0 aixi= X i aixi
Härnäst definierar vi multiplikation och addition av polynomen. 3.1.3 Definition. för p(x) =X i aixi f (x) =X j bjxi Då definierar vi 1. Addition enligt: p(x) + f (x) =P i(ai+ bi)xi 2. Multiplikation enligt: p(x) · f (x) =P icixi, där ck= k X i=0 ai· bk−i= X i+j=k ai· bj
Vi väljer dessa definitioner sådant att de är analoga med hur vi har arbetat med polynom tidigare i studierna. Härnäst inför vi en notation för detta. I vanliga fall skriver vi polynomen som p(x) då det utgör en funktion av en okänd variabel x, i vårt fall är ett polynomen ett element inom en ring. Vi skriver därmed
p ∈ R[x]
Vi utläser R[x] som polynomringen över R med obekant x. Vi skall vissa att R[x] utgör en ring. Framöver har vi för a ∈ R[x] att a =P
3.1. RINGAR 35 3.1.4 Lemma. R[x] är en ring. Inom denna är nollan p för vilket det gäller att pi = 0R. För negationerna −p gäller det att koefficienterna är det negativa av original polynomets koefficienter,−p =⇒ −pi.
Bevis. Detta kan visas genom analogi till heltals polynom men här kommer vi gå igenom det i detalj för att säkerställa att det verkligen förhåller sig på sådant sätt.
Låt p, f, g ∈ R[x].
För nollan skriver vi 0(x) = 0R[x] = 0R=Pi0Rxi.Vi har då p ∈ R[x] p + 0R[x]= X i (pi+ 0R)xi= X i pixi = p
då är 0Rnollan och vi kallar den för nollpolynomet. 0R= p − p = p + (−p) =X i (pi− pi)xi =X i (pi+ (−pi))xi =X i pixi+ X j (−pj)xj
Då ser vi att det negativa för ett polynom fås ifrån det negativa av alla koefficienter. För associativiet över addition har vi för ∀p, q, t ∈ R[x]
p + (q + t) =X i pixi+ X i qixi+ X i tixi =X i pixi+ X i (qi+ ti)xi =X i (pi+ (qi+ ti))xi =X i ((pi+ qi) + ti)xi =X i (pi+ qi)xi+ X i tixi = X i pixi+ X i qixi +X i tixi = (p + q) + t
36 KAPITEL 3. POLYNOM I EN VARIABEL Kommutativitet för addition med ∀p, q ∈ R[x]
p + q =X i pixi+ X i qixi =X i (pi+ qi)xi =X i (qi+ pi)xi =X i qixi+ X i pixi = q + p
För multiplikation ser vi att f · p ∈ R[x] då ck=Pi+j=kfi· pj ∈ R då R är en ring. Vad vi behöver se är om vår definition är associativ och distributiv.
p · (f · g) = X i pixi ! · X j fjxj ! · X k gkxk !! = X i pixi ! X j X k+l=j fk· gl ! xj ! =X i X j+m=i pm· X k+l=j fk· gl !! xi =X i X j+k+l=i pj· fk· gl ! xi =X i X j+m=i X k+l=j pk· fl ! · gm ! xi = X j X k+l=j pk· fl ! xj ! X i gixi ! = X i pixi ! · X j fjxj !! · X k gkxk ! = (p · f ) · g
3.1. RINGAR 37 På liknande sätt bevisar vi distrubutivitet
p · (f + g) = X i pixi ! · X j fjxj+ X k gkxk ! = X i pixi ! · X j (fj+ gj)xj ! = X i i X j+k=i (pj· (fk+ gk)) ! xi ! = X i X j+k=i (pjfk+ pjgk) ! xi ! = X i X j+k=i pjfk+ X j+k=i pjgk ! xi ! =X i X j+k=i pjfk ! xi+X i X j+k=i pjgk ! xi = X i pixi ! X j fixj ! + X i pixi ! X j gixj ! = p · f + p · g
På liknande sätt kan det visas att (f + g) · p = f · p + g · p.
Då polynom är ringar vet vi en hel del om dem med de redan etablerade lemmana. Polynom har ett par egenskaper som skiljer dem ifrån andra ringar vi är vana vid till exempel heltalen. En sådan egenskap är polynomets grad, då vi ofta talar om andragradare till exempel.
3.1.5 Definition. Avbildningen grad : R[x] → N är Gradfunktionen av ett polynom. För ett polynom, p ∈ R[x], p 6= 0R, ger funktionen det största värde för i har då koefficienten är nollskild.
grad p = n =⇒ ∀i ∈ N : (i > n), pi = 0R 3.1.6 Lemma. För p, q ∈ R[x] då R saknar nolldelare gäller att
grad pq = grad p + grad q
Bevis. Denna är enkelt att se från definitionen av multiplikation. För koef-ficienten ci gäller
ci= X i+j=k
piqj
Vilket ger oss att det största värde av k som är nollskild är det värde på i + j då pi och qj är nollskilda, och dessa i och j är grad p och grad q vilket ger oss då lemmat.
38 KAPITEL 3. POLYNOM I EN VARIABEL Skulle det vara så att R har nolldelare kan det genom multiplikation ge noll och då sänks graden av polynomet. Möjligheten att erhålla noll är anledningen till att vi inte kan säga vad graden blir under addition.
3.1.7 Lemma. Om K är en kropp, då är K[x] ett Euklidisk område med δ(a) = grad a för a ∈ K[x]
Bevis. Först sätter vi att
δ(p) = grad p
Detta kan vi se är en avbildning ifrån K[x] till N samt ifrån tidigare lemma vet vi att grad (p) ≤ grad (pq) och gradfunktionen är vår norm. Detta bevisar vi genom induktion över grad a för a, b ∈ K[x] först tar vi grundfallen, a = 0K sätter vi då att r = q = 0K i a = bq + r, sedan sätter vi då m = grad a < grad b = n att q = 0K och r = a.
Varefter vi antar att m ≥ n, vi skall visa då att om det är sant för m − 1 då är formeln sann för m. Vi antar att det är sant för m − 1, det är att för något polynom av grad m − 1 kan vi skriva det som a∗= q∗b + r.
Vi har a och då definierar då vi
a∗ = a −am bn
xm−nb
där xm−n försäkrar oss om att den högsta exponenten bland termen för x inom b har samma potens som a:s högsta, samtidigt försäkrar vi att koef-ficienten för den största potensen hos polynomet, an
bnx
n−mb, är den samma för a då termen med den högsta exponenten för x inom b är bmxm och då subtraheras samma term som den högsta exponenten inom a och därmed blir a∗ en grad mindre än a. Detta är möjligt då koefficienterna tillhör kroppen K. Enligt induktion har vi då att
a∗ = q∗b + r∗ =⇒ a = a∗+am bn xm−nb = q∗b + am bn xm−nb + r∗ och utifrån hur vi konstruerade a∗ har vi att
a = qb + r med q = q∗+am
bnx
m−n och r∗ = r, därmed är K[x] en ED
Läsaren bör vara sedan tidigare bekant med polynomdivision, enligt for-men av a = pb + q där grad b > grad q. Denna division påminner om divi-sionen hos heltalen. Det beror på att de båda är en applikation av samma egenskap hos Euklidiska domäner. En annan egenskap hos Euklidiska domä-ner är primelementen som är hos heltalen primtalen. Vi undersöker härnäst vilken form primen tar inom polynom ringar.
3.1. RINGAR 39 3.1.8 Definition. Om S ≤ K och p ∈ K[x] definierar vi avbildningen φα: S[x] → K för något α ∈ K som Φα(p) = Φα X i pixi =X i piαi
Denna kallar vi för evalueringshomomorfin
Definitionen av evalueringshomomorfin är en formel definition av det or-dinarie sättet att evaluera polynom.
3.1.9 Lemma. Avbildningen φα är en homomorformism Bevis. Först kollar vi för addition för elementen p, q ∈ K[x]
φα(p + q) = X i (pi+ qi)αi =X i piαi+ X i qiαi = φα(p) + φα(q) Sedan för multiplikation φα(p · q) = X i X k+j=i pkqjαi = (X i piαi)( X i qiαi) = φα(p) · φα(q) och därmed är beviset klart
Denna homomorfi tar ett element och evaluerar det till ett värde inom underkroppen S. Homomorfin är konstruerad sådant att den fungerar analogt med den mer bekanta formuleringen
f (x) =X i fixi =⇒ f (α) = X i fiαi
från tidigare studier av polynom.
3.1.10 Definition. För homomorfin Φα : K[x] → K gäller att om Φα(p) = 0K
40 KAPITEL 3. POLYNOM I EN VARIABEL Med detta har vi nu de verktyg som behövs för att finna vad prim för polynomringar är.
3.1.11 Lemma. För s, p, q ∈ K[x] gäller det att om s = pq och Φα(s) = 0K
att då evalueringen av p eller q är lika med noll.
Φα(s) = 0K =⇒ Φα(p) = 0K∨ Φα(q) = 0K Bevis.
Φα(s) = Φα(pq) = Φα(p)Φα(q) = 0D
Utifrån tidigare lemman vet vi att inom kroppar, som saknar nolldelare, då måste en av elementen vara noll för att produkten skall bli noll.
Faktorsatsen för polynom säger oss att ett polynom p(x) = Q
i(x − αi) där αi är polynomets olika rötter. Vi skall härnäst se att detta beror på att Euklidiska domän har prim. Dessa produktpolynom är egentligen komposi-ter.
3.1.12 Lemma. För p ∈ K[x] är α ∈ K ett nollställe till p om och endast om
t = (x − α), t|p Bevis. =⇒
Vi har Φα(p) = 0K, då K är en kropp så är K[x] en Euklidisk domän enligt lemma 3.1.7, vi kan skriva p som
p = qt + r
för något q, r ∈ K[x], med r = 0K eller grad r < grad t, men grad t = 1 då den högsta nollskilda koefficienten är framför x1 termen, då måste vara någon konstant inom K, r = cK. Med evalueringshomomorfin får vi då
Φα(p) = Φα(qt + cK) = Φα(qt) + Φα(cK) = 0K+ cK = cK= 0K Då måste cK = 0K för att likheten skall förbli.
⇐=
om t|p så kan vi skriva det som
p = qt för något q ∈ K[x] och då den evalueras får vi
Φα(p) = Φα(qt) = Φα(q)Φα(t) = Φα(q) · 0K= 0K och därmed är α ett nollställe.
3.1. RINGAR 41 3.1.13 Lemma. Primpolynom inom K[x] är polynom av lägsta grad och har de nollställen som kompositionen har
Bevis. Vi skall visa att primpolynomen är mindre polynom som har nollstäl-len som kompositpolynom de bygger upp. Antag att vi har p ∈ K[x] som är en komposit. Då har vi
p =Y i
πi På denna applicerar vi evalueringshomomorfin
Φα(p) = Φα Y i πi =Y i Φα(πi) = 0K
Och då ser vi att för att få noll måste ett av elementen evalueras till 0K, samt är alla πi primelement, de går ej att reduceras och då måste primen vara de polynom med den minsta graden med nollställen och kompositerna är en produkt av dessa.
Detta gäller endast om alla nollställen befinner sig inom K. Befinner sig nollställen utanför K är inte alla π ∈ K[x] av grad 1.
3.1.14 Lemma. Prim inom K[x] tar någon av dessa former med ki∈ K 1. grad π = 1, π = x − ki
2. grad π = n > 1, π =P xik i
Där fall 1 är då α ∈ K och fall 2 gäller om och endast om nollställena ej finns inom kroppen K
α /∈ K
Bevis. Den första fallet är en omskrivning av lemma 4.1.14. Det andra fallet skall vi visa nu.
=⇒
Antag att π är ett prim inom K och har ett nollställe, α inom K, enligt Lemma 3.2.12 kan vi skriva det som
π = pπ∗
där π∗ = (x − α), från lemma 3.1.6 vet vi att grad p + grad π∗ = grad π, vilket betyder att graden för p och π∗ är mindre än för π vilket går emot att π är ett prim-element då de är av den lägsta graden med nollställena ⇐=
Antag att π saknar nollställen men kan faktoriseras som π =Q π∗
i, Antigen består den av element med grad πi∗ > 1, men om dessa finns gör vi denna process på dem istället, vi kan säga elementen måste vara av grad 1. Då har vi, för s = (x − α) för något α ∈ K, π = sπ∗, men enligt lemma 3.1.12 då måste s ha ett nollställe inom K och vi får en motsägelse
Kapitel 4
Polynom i flera variabler
I detta kapitel redovisas inga bevis tagna från facklitteraturen. Författarna utelämnar nämligen ofta beskrivning av polynom av flera variabler i detalj. Därför presenterar jag egna bevis sådant att bevisen finns tillgängliga för läsaren. Vi har hittills hållit oss till polynom av en variabel där vi har en-dast en obekant. Många fenomen inom matematiken och verkligheten kräver dock flera variabler för att kunna beskrivas. Vi behöver då konstruera dessa flervariabelpolynom från polynom med färre variabler. Här kommer fokus sätta på endast två variabler men principen kan enkelt utvecklas vidare. No-tationen som används här är att vi har ett element p[x],i ∈ R[x]. Elementet är då ett polynom inom R[x], där [x] inom p[x],i hänvisar till variabeln inom den polynomring elementet tillhör, medan indiciet i ger oss vilket index den tillhör då flervariabelpolynomet konstrueras.
4.0.15 Definition. Polynom ringen (R[x])[y] är definierat enligt att poly-nomet har koefficienter inom R[x], vi skriver detta även som R[x, y]
∀p ∈ R[x, y] p[x],j ∈ R[x] pi,j ∈ R p =X j p[x],jyj =X j X i pi,jxi yj =X j X i pi,jxiyj =X i,j pi,jxiyj 43
44 KAPITEL 4. POLYNOM I FLERA VARIABLER Koefficienterna inom polynomet skiftar beroende på både i och j, som är exponenten till x och y, men likt envariabelpolynom är bara ett ändligt antal koefficienter nollskilda.
4.0.16 Lemma. För addition och multiplikation för polynomringen R[x, y] gäller följande. ∀p, q ∈ R[x, y] p + q =X i,j (pi,j+ qi,j)xiyj p · q =X i,j X m+n=i s+t=j pm,sqn,txiyj Bevis. ∀p, q ∈ R[x, y] För addition har vi p + q =X j (p[x],j+ q[x],j)yj =X j X i pi,jxi+ X i qi,jxi yj =X j X i (pi,j+ qi,j)xi yj =X j X i (pi,j+ qi,j)xiyj =X i,j (pi,j+ qi,j)xiyj För multiplikationen har vi p · q = X j p[x],jyj · X j q[x],jyj =X i X m+n=i (p[x],mq[x],n)yi =X i X m+n=i X s ps,mxs X s qs,nxs yi =X i X m+n=i X s X p+t=s pt,mqp,nxs yi =X i,j X m+n=i s+t=j ps,mqt,nxiyj
45
Ringen R[x, y] är isomorfa till R[y, x] och ordningen spelar då ingen roll men för att visa detta måste vi introducera en homomorfi.
4.0.17 Definition. Avbildningen θ : R[x, y] → R[x, y] är exponentavbild-ning och definieras enligt
θ(p) = θ X i,j pi,jxjyi =X i,j pi,jxiyj
4.0.18 Lemma. Exponentavbildningen θ : R[x, y] → R[x, y] är en homo-morfi
Bevis. Först måste vi visa att den fungerar över addition
θ(p + q) = θ X i,j (pi,j+ qi,j)xjyi =X i,j (pi,j+ qi,j)xjyi = X i,j pi,jxjyi + X i,j qi,jxjyi = θ X i,j pi,jxiyj + θ X i,j qi,jxiyj = θ(p) + θ(q)(∗)
46 KAPITEL 4. POLYNOM I FLERA VARIABLER Och för multiplikation använder vi oss av resultatet vi fick ifrån addition, (∗), θ(p · q) = θ X i,j X k+l=i m+n=j pk,mql,nxiyj =X i,j X k+l=i m+n=j pk,mql,nxjyi ∗ = X k,m pk,mxmyk · X l,n ql,nxnyl = X i,j pi,jxjyi · X i,j qi,jxjyi = θ X i,j pi,jxiyj · θ X i,j qi,jxiyj = θ(p) · θ(q)
4.0.19 Lemma. Exponenthomomorfin θ : R[x, y] → R[x, y] är en isomorfi Bevis. Att den är bijektiv är lätt att se då den gäller för alla element och är sin egen invers.
θ(θ(p)) = θθ X i,j pi,jxiyj = θ X i,j pi,jxjyi =X i,j pi,jxiyj
47 Sist kollar vi in att homomorfin gäller för R[x, y] → R[y, x].
4.0.20 Lemma. Homomorfin θ är en avbildning från R[x, y] till R[y, x] Bevis. Vi har elementet
p =X i p[x],jyi = X i,j pi,jxiyj ∈ R[x, y] θ(p) = θ X i p[x],iyi = θ X i,j pi,jxiyj =X i,j pi,jxjyi =X i,j pi,jyixj =X i p[y],ixi =⇒ θ(p) =X i p[y],ixi∈ R[y, x]
Med denna isomorfi ser vi att ringarna R[x, y] och R[y, x] är isomorfa. De båda ringarna är därmed de samma bara omstrukturerade och vi kan använda vilken som helst av dem för våra arbeten. Av traditions skäll skriver vi alltid variabler i alfabetisk ordning dock.
Litteraturförteckning
[1] R.B.J.T Allenby , 1991 , Rings, Fields and Groups - An introduction to abstract algebra
[2] Per-Anders Svensson, 2001, Abstrakt Algebra
[3] Thomas W. Judson,1994, Abstract Algebra - Theory and Applications [4] Richard A. Dean, 1966, Elements of Abstract Algebra
[5] David S. Dummit, Richard M. Foote, 2004, Abstract Algebra
