• No results found

Elever med fallenhet för matematik och problemlösningsuppgifters möjliga inverkan på dessa

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Elever med fallenhet för matematik och problemlösningsuppgifters möjliga inverkan på dessa"

Copied!
38
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Examensarbete

Elever med fallenhet för

matematik och

problemlösningsuppgifters

möjliga inverkan på dessa

Författare: Jonathan Stark & Tobias

Bergfors

Handledare: Andreas Ebbelind Examinator: Hanna Palmér Datum: HT2016

Kurskod: 4GN002 Ämne: Matematikdidaktik

(2)

Abstrakt

Den här systematiska litteraturstudien är uppdelad i två resultatdelar. Den första delen har fokus på de två första frågeställningarna i studien och består av två mindre forskningsöversikter angående vad som utmärker en elev med fallenhet, samt definitionen av problemlösningsuppgifter. Den andra delen har frågeställning tre som grund och är en metaanalys som visar vad problemlösningsuppgifter har för möjlig inverkan på elever med fallenhet. Resultaten visar att en elev med fallenhet för matematik ständigt hittar lämpliga tillvägagångssätt för att komma fram till rätt svar. De har en matematisk förmåga utöver en normalbegåvad elev och de utmärker sig i tidig ålder genom att vara nyfikna. Genom analysen framkom det att elever med fallenhet för matematik har en möjlighet att utveckla flera av sina matematiska förmågor vid problemlösning.

Nyckelord

Fallenhet, matematik, problemlösning, nyfikenhet, motivation, matematiska förmågor, kreativitet

Tack

Ett varmt tack riktas till handledaren Andreas Ebbelind som genom ett stort engagemang och återkommande konstruktiv feedback möjliggjort genomförandet av denna studie. Tack riktas även till de klasskamrater som kommit med tips och ideér under diverse opponeringstillfällen.

(3)

Innehållsförteckning

1 Inledning ____________________________________________________________ 1 2 Syfte och frågeställningar ______________________________________________ 2

2.1 Syfte ___________________________________________________________ 2 2.2 Frågeställningar __________________________________________________ 2 3 Begrepp _____________________________________________________________ 3 3.1 Fallenhet ________________________________________________________ 3 3.2 Problemlösning ___________________________________________________ 3 4 Metod ______________________________________________________________ 5 4.1 Val av metod _____________________________________________________ 5 4.2 Metod för datainsamling ____________________________________________ 5 4.3 Manuellt urval ___________________________________________________ 6 4.4 Övrig litteratur ___________________________________________________ 7 4.5 Etiska riktlinjer ___________________________________________________ 7

5 Elever med fallenhet för matematik _____________________________________ 9

5.1 Vad som utmärker en elev med fallenhet för matematik ___________________ 9

5.1.1 Elever med fallenhet ur ett historiskt perspektiv ______________________ 9 5.1.2 Krutetskiis nio förmågor _______________________________________ 10 5.1.3 Ytterligare forskning __________________________________________ 10

5.2 Vilka sociala faktorer som påverkar en elev med fallenhet för matematik ____ 12

5.2.1 Familjens påverkan ___________________________________________ 12 5.2.2 Klassrummets påverkan ________________________________________ 12 5.2.3 Vänners påverkan ____________________________________________ 13

5.3 Sammanfattning _________________________________________________ 13

6 Problemlösning _____________________________________________________ 14

6.1 Utmärkande drag för en problemlösningsuppgift ________________________ 14 6.2 Vilka förmågor tränar problemlösning? _______________________________ 15 6.3 Vad krävs av eleverna? ____________________________________________ 16

7 Problemlösningsuppgifters inverkan på elever med fallenhet _______________ 18

7.1 Motivation & Nyfikenhet __________________________________________ 19 7.2 Matematiska förmågor ____________________________________________ 19 7.3 Kreativitet ______________________________________________________ 20

8 Diskussion __________________________________________________________ 21

8.1 Resultatdiskussion _______________________________________________ 21 8.2 Elever med fallenhet för matematik __________________________________ 21 8.3 Problemlösningsuppgifters möjliga inverkan på elever med fallenhet _______ 21 8.4 Metoddiskussion _________________________________________________ 22 8.5 Vidare forskning _________________________________________________ 23

9 Populärvetenskaplig sammanfattning ___________________________________ 24 Referenser ___________________________________________________________ 25 Bilagor _______________________________________________________________ I

(4)

1 Inledning

Alla elever har rätt till en individanpassad undervisning som ska främja dennes kunskapsutveckling. I praktiken innebär detta att undervisningen måste anpassas så den stimulerar varje individs krav och förutsättningar, oavsett om eleven är låg- eller högpresterande, är i svårigheter eller har fallenhet för ett eller flera ämnen (Skolverket 2011). Enligt Pettersson (2011) är studier som berör forskningsområden för elever med fallenhet inom skolväsendet begränsade i relation till forskning om elever som befinner sig i svårigheter i olika ämnen. Forskningsområden som fokuserar på elever med fallenhet för matematik är än färre. Sett ur ett historisk perspektiv har den s.k. individanpassade undervisningen huvudsakligen främjat elever i svårigheter i jämförelse med de elever som antas kunna genomföra sin utbildning utan särskilt stöd. Pettersson ifrågasätter om den svenska skolan verkligen är till för alla, som den utnämns att vara. Denna bortprioritering av elever med fallenhet går att urskilja även i dagens skola, vilket har lett till att elever med fallenhet för matematik missgynnas även ur ett nutida perspektiv.

Elever bör utvecklas långsiktigt och denna utveckling handlar om att gå från memorerande av metoder till att skapa ett kreativt- och problemlösande handlande. I läroplanen för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet (2011) fastställs det att matematikundervisningen ska ge eleven förutsättningar att tolka vardagliga händelser och problem för att sedan kunna lösa dessa genom att använda sig av matematiska uttrycksformer. Hur detta uppnås finns det olika teorier kring, men många studier påvisar att en problemlösningsuppgift, som ger eleven möjlighet att hitta skillnader och likheter, ger eleven tid att reflektera över sina metoder och lösningar, samt ger eleven möjlighet att hitta sammanhang utifrån tidigare erfarenheter främjar det kreativa tänkandet och ger eleven möjlighet till att tolka problem och vardagliga händelser (Pettersson 2011).

Utifrån detta utvinns en intressant aspekt med utgångspunkt hur elever med fallenhet för matematik angriper problemlösningsuppgifter och vilka förmågor de utvecklar genom arbete med problemlösning. Studien kommer belysa dessa frågor och eftersom det inte är någon självklarhet att problemlösningsuppgifter har en positiv inverkan på elever med fallenhet för matematik kommer även dessa avvägningar göras för att motivera vilka för- och nackdelar problemlösningsuppgifter har på elever med fallenhet för matematik.

(5)

2 Syfte och frågeställningar

2.1 Syfte

Syftet med studien är att genomföra en systematisk litteraturstudie, där elever med fallenhet för matematik är i fokus. Syftet med undersökningen kommer riktas mot hur

elever med fallenhet för matematik beskrivs, samt i vilken grad

problemlösningsuppgifter lämpar sig för dessa elever.

2.2 Frågeställningar

Vad utmärker en elev med fallenhet för matematik?

Vilka sociala faktorer påverkar utvecklingen av en elev med fallenhet för matematik? Vilken inverkan kan problemlösningsuppgifter ha på elever med fallenhet för matematik?

De två första frågeställningarna besvaras i avsnitt 5. I avsnitt 6 beskrivs problemlösning

ur olika perspektiv med syfte att förtydliga vad som utmärker en

problemlösningsuppgift, vilka förmågor som tränas och vad som krävs av eleverna. Avsnitt 7 besvarar frågeställning tre och utgör även arbetets analysdel där resultat från två olika systematiska litteraturstudier sammanförs.

(6)

3 Begrepp

I detta avsnitt kommer begreppen fallenhet och problemlösning kort och översiktligt beskrivas. Under rubriken som redogör för begreppet fallenhet kommer det även föras diskussioner kring valda begrepp och förklaringar angående varför vissa begrepps

uteslöts. Underrubriken som fokuserar på problemlösning separerar

problemlösningsuppgifter från andra sorters matematiska uppgifter, samtidigt som Chamberlins (2010) definition av problemlösningsuppgifter kategoriseras.

3.1 Fallenhet

I forskning förekommer olika benämningar på elever med fallenhet för matematik, till exempel Matematiskt särskilt begåvade elever, elever med särskilda förmågor och

elever med fallenhet och förmåga för matematik. I denna studie kommer begreppet elever med fallenhet användas för att kategorisera alla benämningar bakom ett

gemensamt begrepp. Valet föll just på elever med fallenhet eftersom detta var ett återkommande begrepp och eftersom begreppet var flitigt använt under utbildningen inom ämnet. I bilaga 2 och 3 kommer det vara tydligt formulerat vilka benämningar de olika källorna använde sig av för att en tydlig överskådlighet ska finnas att tillgå.

Enligt Pettersson (2008) har lärare i många fall en skev bild angående vilka elever som har fallenhet för matematik. Hon beskriver att lärare i allmänhet uppfattar elever som arbetar snabbt, självständigt och presterar bra på tester som elever med fallenhet, vilket hon påpekar att är felaktigt. Mellroth, Arwidsson, Holmberg, Lindgren Persson, Nätterdal, Perman, Sköld och Thyberg (2016) urskiljer två begrepp, som i praktiken i många fall felaktigt ses som synonymer. Begreppen de särskiljer är elever med fallenhet och högpresterande elever. De karakteristika skillnaderna är många och tydligt särskilda, vilket ger en klar bild av att dessa två begrepp inte kan ses som synonymer till varandra. Författarna sammanfattar karakteriseringen och menar att en högpresterande elev nödvändigtvis inte behöver ha fallenhet för matematik och vice versa. Det som karakteriserar en högpresterande elev gentemot en elev med fallenhet är att den högpresterande eleven vet svaret medan elever med fallenhet för matematik ställer frågorna. Ytterligare drag som skiljer de båda begreppen åt är att elever med fallenhet älskar att lära, men detta behöver nödvändigtvis inte ske i skolan, och är självkritisk, medan den högpresterande eleven ofta trivs i skolan och är nöjd över vad denne har lärt sig.

3.2 Problemlösning

Björn, Aunola och Nurmi (2016) beskriver problemlösning ur ett globalt perspektiv och förklarar att problemlösning är ett fält på frammarsch, vilket tydligt visas i de olika läroplaner som används världen över. En kategorisering av olika matematiska uppgifter är dock svår att genomföra och Chamberlin (2010) förklarar att detta beror på den enorma variation av matematikuppgifter som finns att tillgå. Däremot urskiljer han fyra olika nivåer i en tabell som fungerar som en stegring från rutinuppgifter till autentiska

(7)

textproblem och matematiska problem. I studien kommer de två första nivåerna som

innefattar rutin- och textuppgifter ignoreras på grund av att dessa inte innefattar någon relevans, sett till syfte och frågeställning. Chamberlins (2010) beskrivning av matematiska problem och autentiska matematiska problemlösningsuppgifter påminner i stora drag om varandra. Den enda stora särskiljning författaren har gjort är att de autentiska matematiska problemlösningsuppgifterna har en verklighetsanknytning, vilket nivån han nämner som matematiska problem nödvändigtvis inte behöver innefatta. Hans modell som kategoriserar matematikuppgifter finns att granska nedan.

Nivå Namn Exempeluppgift i årskurs fyra

Nivå 1 Rutinuppgifter 488/8

Nivå 2 Textuppgifter Ted har 15 stenkulor och Anna har 21

stenkulor. Hur många har de tillsammans?

Nivå 3 Matematiska problem Addera siffran 1 till 73 och berätta för mig

vad de två sista siffrorna blir.

Nivå 4 Autentiska matematiska

problemlösningsuppgifter

Genom att använda den data du fått fram ska du identifiera den bästa mobiltelefons-planen för dina behov. Motivera ditt val

Figur 1. Chamberlins (2010) modell som han använder för att kategorisera matematikuppgifter i fyra olika nivåer.

Peng och Sollervall (2014) för samman matematiska problem och autentiska matematiska problemlösningsuppgifter och förklarar att en verklighetsanknytning av problemet är av stor betydelse eftersom elever i allmänhet har lättare att anknyta, och därmed presterar bättre, till uppgifter som går att relatera till verkligheten. Författarna menar även att en verklighetsanknytning av uppgifterna har en positiv effekt på elevens motivation eftersom de kan relatera uppgiften till situationer i vardagen. De andra forskarna som är representerade i studien har även de fört samman dessa två olika nivåer och sammanfattar dem under ett gemensamt begrepp som de valt att benämna som problemlösningsuppgifter. Studien kommer fokusera på problemlösning och det

Chamberlain (2010) valde att kategorisera som autentiska matematiska

(8)

4 Metod

I den här delen presenteras och behandlas val av metod. Under den första rubriken återfinns metoden för genomförandet av studien och stycket därefter presenterar vald metod för datainsamling. Utifrån sökträffarna genomfördes sedan ett urval som beskrivs under rubriken manuellt urval. Denna rubrik beskriver det manuella urval som genomfördes och vilka ytterligare begränsningar som litteraturundersökningen utgick efter. Övrig använd litteratur belyses under en egen rubrik där ytterligare urval utöver den systematiska litteraturundersökningen presenteras. Avslutningsvis beskrivs de etiska överväganden som studien förhåller sig till.

4.1 Val av metod

I enighet med Backmans (2016) förklaring av forskningsöversikt kommer de två begreppen fallenhet och problemlösning definieras utifrån olika studiers beskrivningar. Han menar att en forskningsöversikt bör genomföras då indikationer pekar på att området saknar en överblick över forskningsområdet, vilket är fallet angående elever med fallenhet och problemlösning. I resultatdelen kommer sedan en metaanalys genomföras där de två forskningsöversikterna kopplas samman.

4.2 Metod för datainsamling

Datan som har samlats in har i enighet med Eriksson Barajas, Forsberg och Wengström (2013) samlats in och sammanställts efter tydligt beskrivna metoder och kriterier angående urval och sökning efter artiklar. De kriterier som har följts för att studien ska kunna bedömas som systematisk är att det finns en utvald sökstrategi, ett bifogat sökschema som bekräftar detta och en metaanalys där de olika studiernas resultat och infallsvinklar vägs samman till ett gemensamt resultat (Eriksson Barajas, Forsberg & Wengström 2013). Det sista kriteriet kommer uppfyllas genom en sammanställning i resultatdelen och genom en analys i den avslutande diskussionsdelen.

De databaser som har använts för att kunna genomföra denna systematiska litteraturundersökning är ERIC, SwePub och Libris. Motiveringen till valet att använda fler än en databas är att utöka träffarna och därmed kunna granska och sortera ut de olika vetenskapliga artiklarna mer kritiskt. Detta erbjuder i sin tur möjlighet att välja artiklar på en hög nivå som är generaliseringsbara. Sökorden är formulerade både på svenska och engelska eftersom enbart svenska begrepp gav för få sökträffar. Begreppen är sammankopplade med OR eller AND för att ge mer precisa sökträffar. Eriksson Barajas, Forsberg och Wengström (2013) presenterar olika söktips och förklarar hur AND och OR används för att begränsa, alternativt utvidga sökningen. AND används för att begränsa sökningen eftersom det syftar till att sökningen ska innehålla sökord A och B, medan OR ger ett bredare resultat eftersom sökningen då inkluderar ord som innehåller antingen sökord A eller B. Författarna beskriver också hur ett begrepp kan trunkeras, genom att en asterisk appliceras i slutet av sökordet. I praktiken innebär detta att olika varianter av sökordet inkluderas i sökningen. Studien har haft dessa två tips i åtanke och sökningen är genomförd efter ovan nämnda råd.

(9)

Sökandet efter ändamålsenliga och precisa sökord var nyckeln till att hitta relevanta artiklar. För att få fram relevanta vetenskapliga artiklar som fokuserade på elever med fallenhet för matematik, användes till en början begreppet (högprestera*

(high-performance), i kombination med matematik* (mathematic) och grundskol* (primary-school). Detta gav sökträffar som inte hade kunnat besvarat studiens syfte och

frågeställningar, eftersom det finns tydliga skillnader mellan att vara en högpresterande elev och en elev med fallenhet. För att få ett resultat som relaterade mer till studiens syfte och frågeställningar byttes sökordet högprestera* (high-performance) ut mot

fallenhet* OR talang* OR begåv* (gifted). Denna justering resulterade i mer precisa

träffar. Sökordet grundskol* (primary-school) lades till och togs bort i vissa sökningar beroende på om faktan som söktes fram gick att generalisera utanför grundskolan. I de databaser där det fanns möjlighet att begränsa sökningen efter enbart vetenskapliga artiklar som var tillgängliga i fulltext genomfördes även denna avgränsning. Bortfallet av artiklar i databasen SwePub berodde på begränsade tillgångar till artiklar tillgängliga i fulltext.

Då de utvalda referenserna där begreppet fallenhet i matematik ansågs fullbordad, vidgades sökningen så elever med fallenhet för matematik sattes i ett perspektiv där problemlösning låg i fokus. Den tidigare sökningen kompletterades därmed med begreppet problemlösning* vilket ledde till mer begränsade och specifika sökträffar. Då sökorden enbart gav en träff vidgades sökningen genom att den formulerades på engelska. Sökorden som användes var (“problem solving” AND gifted AND

mathematic*). Sökningen gav 239 resultat men efter en avgränsning där endast

referentgranskade artiklar som fanns tillgängliga i fulltext på ERIC visades så återfanns endast 14 sökträffar, varav ett flertal av dessa ansågs relevanta.

För att få fram en tydlig bild av vad som kännetecknar begreppet problemlösning och vilka för- och nackdelar dessa sorters uppgifter har i praktiken genomfördes även en sökning som enbart fokuserade på problemlösning. Begreppen som användes var (mathematic* AND “problem solving” AND “primary school”). För att få mindre och mer relevanta sökträffar begränsades sökningen så endast de referentgranskade artiklarna som fanns med i fulltext visades. Även publikationsdatumet begränsades till artiklar skrivna från och med 2014 för att få fram nutida forskning om ämnet. 23 sökresultat från denna sökning fanns nu till förfogande. Det ska tilläggas att ytterligare sökningar har genomförts men då resultaten saknade relevans uteslöts dessa ur arbetet.

4.3 Manuellt urval

Utifrån ovan nämnda restriktioner genomfördes sedan ett manuellt urval av de sökträffar som de olika databaserna fick fram. En exkludering av andraspråkselever utfördes eftersom de inte ansågs vara relevant, sett till studiens syfte och frågeställning. En annan restriktion som togs i beaktande var att den litteratur som fokuserade på elever i andra länder skulle vara generaliserinsbar. Därefter skedde ytterligare ett urval utifrån artikelns rubrik och abstract där studier som inte ansågs bidra med relevant forskning

(10)

sållades bort. I de fall där det fortfarande rådde en osäkerhet kring om artikeln berörde studiens problemområde lästes även artikelns olika delar med syfte att få en tydligare bild av artikelns innehåll.

I urvalet av vetenskapliga artiklar eftersträvades studier som definierade de olika begreppen. I litteratursökningar som fokuserade på begreppet fallenhet låg fokus på att samla studiers olika definitioner och uppfattningar, med utgångspunkt i vad som utmärker en elev med fallenhet. Angående begreppet problemlösning riktades fokus åt att hitta olika definitioner av problemlösningsuppgifter innebörd, samt vilka kunskapsområden och förmågor dessa uppgifter tränar. I kombination med fallenhet eftersträvades forskning som syftade till att ge problemlösning ett perspektiv där elever med fallenhet var det centrala fokuset.

4.4 Övrig litteratur

I studien berörs även litteratur utanför den systematiska litteraturundersökning som genomfördes. Denna övriga litteratur som tagits med är i flera fall vald utifrån ett

nominerat urval. Eriksson Barajas, Forsberg och Wengström (2013) förklarar begreppet

nominerat urval och menar att detta i praktiken innebär att ytterligare litteratur läggs till utifrån förslag från tidigare källor. Detta urval har använts i studien eftersom den ansågs relevant, samtidigt som den berikar studien genom att innehållet ges möjlighet att lyftas fram ur flera perspektiv. Exempel på litteratur som är utvald utifrån ett nominerat urval är Sheffield (2003), Silver och Cai (1996) och Wistedt (1992). Dessa är utvalda eftersom de berikade studien med ytterligare synvinklar som ansågs relevanta sett till studiens syft och frågeställningar. Ett strategiskt urval har även genomförts med syfte att inkludera de forskare som ses som viktiga informanter. Eriksson Barajas, Forsberg och Wengström (2013) beskriver ett strategiskt urval som ett val som görs för att inkludera de forskare som anses tillförlitliga och för att en variation vill uppnås. Exempel på författare som är valda utifrån ett strategiskt urval är Krutetskii (1976) och Polya (1945). Dessa är valda ur ett strategiskt urval eftersom de ses som förgrundspersoner inom forskning om fallenhet, repsektive problemlösning.

4.5 Etiska riktlinjer

Denscombe (2014) förklarar att de valda källornas validitet måste fastställas och att innebörden ska vara tydligt framställd. Källans autencitet behöver också klargöras, vilket i praktiken innebär att läsaren ställer sig kritisk till frågan om dokumentet är ursprungligt och äkta. Gustafsson, Hermerén och Petersson (2005) presenterar olika etiska överväganden och menar även att den forskning som inte stöder den hypotes författarna vill få fram bör redovisas för att göra studien mer subjektiv. Det är även av betydelse att inte försköna eller förvränga de resultat tidigare forskning för fram för att stödja sin tes. De valda artiklarna i studien är utvalda efter ovanstående kriterier och därmed är deras validitet fastställd.

Med de etiska övervägandena i vetskap genomfördes en fördjupning i de olika artiklarna som berör de två begreppen. Denna fördjupning redovisas i bilaga 2 och 3. Syftet med

(11)

fördjupningen var att kategorisera de olika artiklarna efter inriktning, fallenhet för matematik eller problemlösning, och därefter utifrån vald teori, karakteristiska drag för begreppet, metod av datainsamling, resultat och urval. I bilaga 2, som fokuserar på begreppet fallenhet, återfinns även en sjätte kategori som redogör för vilket, eller vilka, begrepp vald litteratur valt att använda sig av.

(12)

5 Elever med fallenhet för matematik

Detta avsnitt fokuserar på de två första frågeställningarna. Under rubriken, vad som

utmärker en elev med fallenhet för matematik, ges ett historiskt perspektiv på elever

med fallenhet. Krutetskiis (1976) nio förmågor angående med elever med fallenhet för matematik, samt ytterligare forskning inom området, återfinns även under denna rubrik med syfte att ge en nyanserad bild av forskning angående elever med fallenhet för matematik. Under rubriken, vilka sociala faktorer som påverkar en elev med fallenhet

för matematik, ges en beskrivning av de sociala faktorer som påverkar en elev med

fallenhet för matematik. Avsnittet avslutas med en kort sammanfattning vars syfte är att summera de delar som beskrivs i avsnittet.

5.1 Vad som utmärker en elev med fallenhet för matematik

5.1.1 Elever med fallenhet ur ett historiskt perspektiv

Enligt Pettersson (2011) har människor med fallenhet för matematik alltid varit ett intressant område för människor. Genom mänsklighetens historia har fallenhet setts som en gudomlig egenskap och det finns olika myter om orsaker till att vissa personer innehar denna begåvning. Pettersson menar att “himmelska barn” var en av de första beskrivningarna som användes för barn med begåvning inom ämnet matematik. Den benämningen gjordes av Platon, som föddes på 400-talet f.kr. och sedan dess har det kommit över hundra olika definitioner på dessa individer.

En av pionjärerna bland forskning av barn med fallenhet är Lewis Terman. Han började sina studier 1921, då han studerade barn med högt IQ. Hans forskningsområde innefattade utmärkande drag hos dessa barn och hur dessa barn utvecklades och anpassade sig senare i livet. Han ville ta reda på om barn med högt IQ var asociala och fysiskt svaga, eftersom detta var något som talades om i folkmun och kom fram till att barn med högt IQ inte bara var akademiskt begåvade, de var även friskare än normalbegåvade och hade ett normalt socialt beteende (Winner 1999). Piaget, däremot, ansåg att IQ-tester som exempelvis Terman använde sig av inte gav svar på om ett barn var begåvat eller inte. Han menade att kunskap är något individen skapar själv och det är en färskvara som behöver underhållas (Pettersson 2008). I dagens forskning finns det delade meningar angående IQ-tester och Deal och Wismer (2010) anser att IQ-test inte avgör om en elev har fallenhet för matematik. De menar att elever kan få ett bra resultat på ett IQ-test men samtidigt inte vara speciellt bra på matematik. De förklarar vidare att elever som presterar bra på dessa tester möjligtvis kan ha exceptionella verbala kunskaper, men samtidigt inte behöver besitta utmärkande matematiska färdigheter. Krutetskii var liksom Terman intresserad av att ta reda på karakteriserande drag på elever med fallenhet. Han var dock mer intresserad av att få reda på utmärkande matematiska egenskaper i jämförelse med Termans socialt inriktade forskning. Han började med sina studier på 1950-talet i gamla Sovjetunionen. I 12 år studerade och observerade han elever som var mellan 6 till 17 år. I studierna använde han sig av både kvalitativa- och kvantitativa forskningsmetoder för att komma fram till sina slutsatser. I

(13)

studierna jämförde han elever som var begåvade inom matematik med elever som var genomsnittliga i ämnet. Krutetskiis forskning ligger som grund för stora delar av den senare forskningen inom ämnet (Dahl 2012; Pettersson 2011).

5.1.2 Krutetskiis nio förmågor

Utifrån sina studier definierade Krutetskii (1976) nio karaktärsdrag som karakteriserar en elev med fallenhet för matematik. Det första av hans nio karaktärsdrag är ability to formalize mathematical material, vilket innebär att eleven kan analysera strukturen av matematiska problem och därigenom se samband och relation när nya uppgifter ska lösas. Ability to generalize mathematical material innebär att en elev besitter förmågan att sålla bort information som inte är viktig för att komma vidare i en uppgift, att bara använda sig av de väsentliga delarna i uppgiften. Den tredje förmågan, ability to operate with numerals and symbols innebär att kunna göra beräkningar med hjälp av olika representationsformer. Den fjärde förmågan, ability to use sequential and logical reasoning innebär att elever med fallenhet har kunskapen att göra varje steg i en uträkning i rätt kronologisk ordning och att tänka logiskt genom hela metoddelen. Ability to curtail betyder att ha förmåga att kunna hitta den enklast möjliga metoden till att få fram ett svar på en uppgift. Den sjätte förmågan, ability to reverse mental processes är när en elev kan resonera hur denne har kommit fram till en lösning på ett matematiskt problem. Ability to think flexible innebär att eleven ska vara anpassningsbar i sina tillvägagångssätt. Ability to use mathematical memory är att en elev minns formler, siffror och annat viktigt matematiskt innehåll som krävs för att lösa uppgifter på deras nivå. Den sista förmågan, ability to work with spatial concepts innebär att kunna arbeta och förstå rumsliga begrepp, till exempel tredimensionella figurer (Krutetskii 1976; Vetenskapsrådet 2012; Pettersson 2011; Chamberlin 2010; Mellroth m.fl. 2016; Dahl 2012). Dessa förmågor är inget som går i arv utan han menar att de utvecklas genom träning, underhåll och erfarenhet. Däremot går det inte att förutspå hur mycket en förmåga kan utvecklas. För att en elev ska falla in under Krutetskiis benämning av fallenhet behöver eleven inte inneha samtliga nio förmågor. En stark förmåga kan kompensera en annan svag förmåga. Av de elever som deltog i Krutetskiis forskning var det ingen som hade samtliga förmågor (Chamberlin 2010; Pettersson 2008).

5.1.3 Ytterligare forskning

Sheffield (2003) är en forskare som haft Krutetskiis tankar som grund i sin forskning. Hon har i likhet med Krutetskii forskat om egenskaper som utmärker elever med fallenhet för matematik. Den största skillnaden mellan Sheffields och Krutetskiis resultat är antalet karakteristiska drag som en elev ska inneha för att betraktas som en elev med fallenhet för matematik skiljer sig åt. Sheffield (2003) beskriver att kunskap är något individen skapar själv genom underhåll. För att en elev med fallenhet ska upptäckas och utvecklas menar Sheffield att eleven måste vara motiverad och ha ett bra självförtroende. Eleven bör även finnas i en miljö där de blir stimulerade med uppmärksamhet och uppgifter som utvecklar dem på olika plan. De utmärkande dragen lärare bör leta efter hos en elev med fallenhet är först och främst att eleven ska ha ett

(14)

och kategorisera matematisk information. En elev med fallenhet ska även ha sinne för

matematisk formalisering och generalisering. Detta innebär att en elev ska tänka

logiskt, ha bra uppskattningsförmåga och dra slutsatser angående problemstrukturer. Ett annat kännetecken för en elev med fallenhet för matematik är att de är matematiskt

kreativa. Detta innebär att en elev är flexibel i sin tanke, att denne har en utvecklad

förståelse och kan använda sig av olika representationsformer. För att vara matematiskt kreativ ska eleven även använda sig av olika lösningsmetoder och försöka uppnå finess och tydlighet i sina uträkningar. Det sista av Sheffields karaktärsdrag är matematisk

nyfikenhet och uthållighet. Hon menar att en elev ska ha ett genuint intresse och

nyfikenhet angående matematiska samband och relationer. Eleven i fråga har även ambition och ork att lösa tidskrävande uppgifter. För att räknas som en elev med fallenhet för matematik behöver inte eleven ha samtliga fyra av Sheffields karakteristiska drag.

Winners (1999) forskning skiljer sig något från tidigare forskning om elever med fallenhet för matematik och beskriver elever med fallenhet med tre stereotypiska drag. Det första karakteristiska draget är brådmogenhet, vilket innebär att de lär sig fortare än normalbegåvade inom sitt område. De tar även till sig lärdom på ett mer kvalitativt sätt och Winner förklarar att detta synliggörs i det andra karakteristiska draget att de envisas

med att gå i sin egen takt. Enligt Mellroth m.fl. (2016) är detta karakteristiska drag ett

tydligt sätt att särskilja en elev med fallenhet för matematik från en högpresterande elev. Till skillnad mot högpresterande elever, som tenderar till att endast svara på frågorna, så utvecklar och diskuterar elever med fallenhet sin lösning, vilket leder till en envishet att få arbeta med uppgiften i sin egna takt. Detta menar författarna är ett resultat av att de elever med fallenhet upplever en tillfredsställelse av komplexitet. Det sista utmärkande draget är enligt Winner (1999) en rasande iver att behärska, vilket hon förklarar som motivation till att lära och förstå. I denna iver att behärska kan eleverna med fallenhet för matematik hamna i ett tillstånd där de är så inne i en aktivitet att de tappar kontakten med omgivningen.

Flera forskare har utgått från tidigare nämnd forskning i sina studier angående elever med fallenhet. En av dessa är Pettersson (2011) och hon förklarar att barn med fallenhet för matematik är särbegåvade i ämnet och ständigt hittar lämpliga lösningar på uppgifterna som ges till dem. Baltaci (2016) har ett liknande synsätt på elever med fallenhet och menar att dessa inte bara hittar lämpliga lösningar, utan de ser även lösningsprocessen av ett problem direkt vid första anblick. Deal och Wismer (2010) lägger till fler utmärkande drag för barn och menar att dessa är genuint nyfikna och lyhörda när det gäller tal och siffror, snabba att se matematiska mönster, flexibla, kreativa och analytiska vid problemlösningar, samt duktiga på att föra över tidigare använda resonemang i nya matematiska situationer. Chamberlin (2016) tillägger dessutom att elever med fallenhet bör besitta kunskaperna att kunna förkorta en matematisk uträkning, samt att arbeta med rumsliga begrepp. Samtliga ovanstående kvaliteér kan enligt Chamberlin ge lärare en tydligare bild om en elev har fallenhet för matematik eller inte, eftersom de skildrar om eleven kan analysera matematiska strukturer, tänka logiskt etc.

(15)

5.2 Vilka sociala faktorer som påverkar en elev med fallenhet för

matematik

Att det finns många faktorer som berör elever med fallenhet kan forskarna ena sig om. Enligt Pettersson (2011) finns det sociala aspekter som har inverkan på elever med fallenhet för matematik. Dessa är familj, skola samt vänner. Däremot påpekar hon att olika aspekter spelar olika stor roll hos elever med fallenhet för matematik. Detta beror på att det finns skillnader mellan varje individ med fallenhet för matematik och det går därför inte att generalisera några utmärkande sociala drag. Alla elever med fallenhet för matematik är olika och blir därför också utmanade på olika sätt. Bloom (1985) är en förgrundsperson som forskade inom sociala aspekter som påverkar elever med fallenhet för matematik. Han förklarar att han hittade flera karakteristiska drag genom sina studier och det första kännetecknet han kunde utläsa var en genuin nyfikenhet redan i tidig ålder.

5.2.1 Familjens påverkan

Enligt Winner (1999) spelar familjen stor roll om ett barn ska utvecklas till en elev med fallenhet för matematik. Hon menar att föräldrar ska ge sina barn med fallenhet frihet och inte pressa dem att prestera och studera. Samtidigt måste föräldrarna finnas där och stötta och utmana dem. Pettersson (2011) förklarar att en anmärkningsvärd inverkan på dessa individer är föräldrarnas förväntan på elever med fallenhet. Om föräldrar har låga förväntningar på sitt barn presterar de i flera fall efter deras förväntningar och vice versa. Bloom (1985) har även han lyft fram föräldrarnas påverkan på barn med fallenhet. I hans studie visade det sig att föräldrarna svarar på sina barns frågor på ett engagerat och allvarligt sätt och därför skapas en diskussion med fler frågor som leder till att nyfikenheten växer hos barnen. Dessa diskussioner bygger enligt Rotigel och Fello (2004) på barnens nyfikenhet, med frågor som uttrycks hur då? och varför då?.

5.2.2 Klassrummets påverkan

Dahl (2012) menar att elever med fallenhet för matematik inte utmärkt sig genom att de anpassat sig till det svenska skolsystemet. Han menar raka motsatsen och förklarar att de istället har farit illa och och att detta beror på att skolans begränsade resurser endast kunnat tillgodose de elever som befunnit sig i svårigheter inom skolverksamheten. Rotigel och Fello (2004) förklarar att elever med fallenhet för matematik under vissa stunder kan vara ouppmärksamma och inte lyssna på läraren. De beskriver att det är vanligt förekommande under genomgångar av diverse matematiska områden, som eleverna med fallenhet redan har förstått, att de undviker ögonkontakt med läraren och istället sitter och funderar på annat. Pettersson (2008) beskriver liknande förteelser och förklarar ytterligare att elever med fallenhet rent av kan vara besvärliga för lärare. Dessa elever uppfattas stundtals som stökiga, lata och ointresserade. Enligt Rotigel och Fello (2004) beror detta på att de inte blir tillräckligt utmanade. Vetenskapsrådet (2012) diskuterar olika strategier hur elever med fallenhet för matematik ska utmanas och menar att det i skolan i flera fall sker på fel sätt. Flera lärare väljer att eleverna antingen får räkna vidare i boken eller få nya liknande uppgifter som de räknat tidigare på

(16)

lektionen. Pettersson (2011) menar att elever med fallenhet för matematik som blir utmanade i skolan ses som aktiva, självständiga och välpresterande av lärare.

5.2.3 Vänners påverkan

Bloom (1985) menar att en annan gemensam egenskap är att eleverna med fallenhet för matematik gärna gör aktiviteter själva, vilket är vanligt förekommande hos individer med fallenhet. Flera av hans studieobjekt upplevde att de inte hade några gemensamma intressen med övriga klasskompisar i samma ålder och valde därför att vara ensamma. Pettersson (2011) lägger till ytterligare ett perspektiv och menar att elever med fallenhet för matematik i vissa fall håller tillbaka sina matematikkunskaper av sociala skäl. Hon förklarar att dessa elever står inför ett val att antingen visa att de är duktiga på matematik och att det då finns det en risk att få en dålig stämpel och tack vare den få svårt att skaffa vänner, eller att dölja sina kunskaper och framstå som en normalbegåvad elev. Pettersson beskriver att det framgår tydligt i hennes studier att det i flera fall inte är socialt accepterat att visa sina kunskaper i matematik och därför väljer många elever att dölja dem, eftersom de är rädda för att utstötta av sina klasskompisar.

5.3 Sammanfattning

I studien har Krutetskiis (1976), Winners (1999), Sheffield (2003) och Blooms (1985) forskning beskrivits och deras tankar om elever med fallenhet för matematik har legat till grund för senare forskning inom domänen. De tre förstnämnda fokuserar sin forskning på matematiska egenskaper hos elever med fallenhet för matematik medan Bloom har sitt fokus på sociala aspekter som påverkar elever med fallenhet för matematik.

Flera andra forskare har berikat studien angående utmärkande drag hos en elev med fallenhet. De har kommit fram till vad som utmärker elever med fallenhet för matematik med hjälp av tidigare nämnda forskares slutsatster. Vad majoriteten av forskarna är överens om är att elever med fallenhet för matematik är särbegåvade inom ämnet och att de behöver utmanas för att behålla sin motivation och få den utveckling de är kapabla att nå.

Elever med fallenhet för matematik är, såsom normalbegåvade och mindre begåvade elever, helt olika varandra. Det går inte att placera samtliga elever med fallenhet i ett fack och anta att dessa utmanas och stimuleras på samma sätt. Samtliga elever med fallenhet besitter en utvecklad matematisk förståelse men med utgånspunkt i de sociala förteelserna återfinns olikheter. Det som återfinns att generalisera är den nyfikenhet som är återkommande hos elever med fallenhet, samt deras vilja att lösa uppgifter på egen hand. Det finns andra utmärkande drag som är återkommande inom forskning hos elever med fallenhet för matematik, men dessa går inte generalisera på det sätt som deras vilja att arbeta själva och nyfikenhet gör.

(17)

6 Problemlösning

Under detta avsnitt kommer begreppet problemlösning belysas. De utmärkande som som finns i en problemlösningsuppgift exemplifieras under den första rubriken. Under den andra rubriken utgår innehållet ur ett perspektiv där problemlösningsuppgifters betydelse iscensätts. Rika problem beskrivs och det begrepp som Silver och Cai (1996) benämner som problem posing presenteras. Under den avslutande rubriken utgår innehållet från ett elevperspektiv där dennes förmågor sätts i relation till problemlösning. Positiva egenskaper lyfts fram, samtidigt som den avslutande rubriken berikas genom att den fokuserar på de egenskaper som har en negativ inverkan på elevens lösande av problemlösningsuppgifter.

6.1 Utmärkande drag för en problemlösningsuppgift

Taflin (2007) ger en sammanfattande beskrivning av begreppet problemlösning och menar att en granskning krävs för att få fram svaret på en matematisk fråga. Eleven som får uppgiften vet vid första anblick inte vilken metod som är lämplig för att få fram svaret. Hon menar att det enbart är en problemlösningsuppgift om problemlösaren behöver anstränga sig för att lösa uppgiften. Taflin ser rutinuppgifter och

standarduppgifter som motsatser till en problemlösningsuppgift och beskriver dessa

som uppgifter där metodvalet är givet.

Det finns enligt Taflin (2007) olika typer av problemlösningsuppgifter och ett begrepp som tidigare forskning hänvisar till är rika problem. Hon förklarar att det finns flera kriterier som en matematisk uppgift ska fylla för att få benämningen rik problemlösningsuppgift. I hennes beskrivning av rika problem går det att urskilja vissa riktlinjer som skiljer dessa rika problem gentemot andra uppgifter. Enligt henne ska problemet ses som en utmaning, vilket ska leda till en kraftansträngning hos problemlösaren. I detta avseende är det även viktigt att eleven tillåts att ta tid på sig för att sätta sig in i problemet. Ett annat kriterium som lyfts fram är att det ska finnas möjlighet att lösa problemet på flera olika sätt. Det ska inte finnas någon enskild, given metod utan problemet ska gå att lösa med hjälp av flera olika representationsformer och matematiska idéer (Taflin 2007). Dessa uppgifter, som går att lösa på flera olika sätt, kategoriseras och benämns som öppna problem. Fördelen med denna sortens problem är att de ger möjlighet till diskussioner där val av metod och tillvägagångssätt ligger i fokus (Häggblom 2013). Taflins (2007) sista krav för att uppgiften ska kunna betecknas som ett rikt problem är att uppgiften ska vara framställd på ett sätt som ger samtliga elever, oavsett nuvarande kunskapsnivå möjlighet att arbeta med den.

Sheffield (2003) rekommenderar rika problem eftersom denna sortens uppgifter ger eleven möjlighet till att se samband, välja lämpligt tillvägagångssätt för att få fram rätt svar och resonera kring tillämpningsområde. Hon tillägger även att det är av betydelse att välja uppgifter som motiverar eleverna till att lösa uppgiften. Peng och Sollervall (2014) utmanar den traditionella matematikundervisningen och menar att det både gynnar elevernas motivation och förståelse att undervisa utanför klassrummets fyra väggar. Författarna lyfter fram ytterligare fördelar med utomhusmatematik och menar

(18)

att problemen med fördel kan verklighetsanknytas i en utomhusmiljö. Det ska dock tilläggas att det finns forskning som menar att verklighetsanknytning av matematik kan ha en negativ effekt på eleven lärande. Wistedt (1992) lyfter fram en viss kritik mot vardagsanknytning av matematiska problem och menar att eleverna inte för med sig matematisk kunskap från vardagen och därmed får svårt att göra en verklighetsanknytning. Frågor angående vilken matematik de ska använda sig av för att lösa problemet kan uppkomma, samtidigt som icke matematiska reflektioner kan hamna i fokus om vardagsanknytningen blir överordnad det matematiska tänket.

Med hänsyn till ovan nämnd information om vad problemlösning innebär så är det nödvändigt att poängtera att det är elevens egna förkunskaper och matematisk erfarenhet som avgör om en uppgift kan ses som ett problem. Taflin (2007) förklarar detta faktum och menar att det är lärarens ansvar att hitta problemlösningsuppgifter som samtliga elever kan angripa. Det är även viktigt att som lärare ha vetskap om att elevernas utvecklande av problemlösningssituationer innebär att det som sågs som ett problem tidigare, inte nödvändigtvis behöver ses som ett problem senare.

6.2 Vilka förmågor tränar problemlösning?

Arbete med problemlösningsuppgifter tränar många egenskaper hos eleven, inte minst

deras förmåga att utveckla det logiska tänkandet. Genom att lösa

problemlösningsuppgifter tränas elevens analysförmåga, förmåga att upptäcka samband, kreativitet och inte minst tålamod (Ahlström 1996). Silver och Cai (1996) ser problemlösningsuppgifter som ett sätt att träna elevens förmåga till att kunna formulera egna problem, problem-posing. Han menar att det nyligen lösta problemet ska leda till ett annat problem. Associationen till verkligheten är av betydelse här och författarna menar att om skolmatematiken med fokus på problemlösning är relaterad till verkligheten så kan eleven lättare hitta egna problem som denne anser motiverande och betydelsefulla.

Pettersson (2011) tillägger att problemlösningsuppgifter tränar elevens förmåga att koppla ett tillvägagångssätt till ett annat och kombinera dessa för att få fram ett resultat. Pettersson (2008) lyfter fram ytterligare förmågor som tränas och instämmer i Ahlströms (1996) resonemang om att problemlösningsuppgifter tränar elevens logiska tänkande. Hon tillägger även att eleven tränar sin generaliseringsförmåga och förmågan att kunna se allmängiltiga samband och relationer utifrån tidigare lösta problemlösningsuppgifter.

Taflin (2007) lyfter problemlösning ur ett interaktionistiskt perspektiv och förklarar att elevers diskussioner och vilja till att interagera med varandra är en viktig faktor inom problemlösning. Diskussioner främjar samarbetsförmågan samtidigt som diskussioner kan leda till en utvidgad förståelse, vilket är ett resultat av ett utbyte av idéer och tolkningar.

(19)

Polya (1945) uttrycker sig på ett sätt om problemlösning som fortfarande har stark inverkan på dagens forskning om problemlösning. Han beskriver främst hur en elev bör ta sig an en problemlösningsuppgift, men belyser även betydelsen av att eleven ska kontrollera sitt resultat. Han lägger stort fokus på efterarbetet och menar att eleven, istället för att slå igen boken efter att en lösning har skrivits ner, bör granska sin lösning och resultatet. Vid denna återblick fördjupas elevens förståelse och förmåga att lösa problem, oavsett om uträkningen är korrekt eller om den kräver justeringar eller omprövningar.

6.3 Vad krävs av eleverna?

Arikan och Ünal (2015) presenterar de förmågor en elev bör besitta för att nå framgångsrika resultat inom problemlösning och menar att nyfikenhet och målmedvetenhet har en positiv inverkan på elevers förmåga att lösa matematiska problem. Utifrån deras studies resultat dras också slutsatsen att förmågan att lösa problem genom att använda sig av olika metoder och lösningsstrategier är en betydande faktor när det kommer till problemlösning. De menar även att förmågan att förstå problemet är avgörande för den motivation och nyfikenhet som beskrevs ovan och sammanfattar att utan den förförståelse som krävs så kommer eleverna bli oförmögna att förklara vad de gör och varför de gör det.

Taflin (2007) instämmer med ovan nämnda författare angående nyfikenhet och målmedvetenhet och tillägger att eleven måste vilja lösa uppgiften och våga ta sig an den utan att på förhand veta vilka metoder och tillvägagångssätt som kommer krävas. Förmågan att tolka problemet ser hon som en väsentlig egenskap som eleven bör besitta så att eleven kan filtrera onödig fakta och fokusera på vad uppgiften frågar efter.

Krutetskii (1976) plockar utifrån sin longitudinella studie fram en matematisk struktur som fokuserar på elevens matematiska förmåga. Han pekar på olika aspekter och angående problemlösning menar han att en framgångsrik problemlösare besitter en förmåga till systematiskt- och logiskt tänkande. Flexibilitet är en annan förmåga som tillsammans med förmågan att förenkla och förkorta både resonemanget och resultatet tyder på en god problemlösningsförmåga. Han avslutar med begreppet generalisera som, i detta sammanhang, innebär att eleven tar till sig kunskap som denne sedan kan använda i en annan kontext. Pettersson (2008) tillägger att förmågan att presentera sin lösningsprocess och argumentera matematiskt logiskt för dennes reliabilitet.

I motsats till de andra författarnas fokus, inriktar sig Björn, Aunola och Nurmi (2016) på faktorer som har en negativ inverkan på elevens förmåga att lösa ett matematiskt problem. De menar att elevens förmåga att förstå en text är direkt avgörande ifall en elev har möjlighet att lösa ett matematiskt problem eller inte. Läggs för stort fokus på att förstå ordens betydelse missgynnas den matematiska förståelsen eftersom elevens fokus flyttas från det matematiska innehållet till textförståelse. Häggblom (2013) menar att kopplingen mellan språk och matematik är tydlig och menar även att det finns en språklig barriär inom matematikens terminologi. Hon tillägger även att goda generella

(20)

språkkunskaper inte nödvändigtvis behöver innebära goda språkfärdigheter inom den matematiska terminologin, utan understryker att dessa ska ses som två separata förmågor och betraktas därefter.

(21)

7 Problemlösningsuppgifters inverkan på elever med

fallenhet

I detta avsnitt synliggörs relationen mellan problemlösningsuppgifter och elever med fallenhet. I den ena kolumnen återfinns vad som, utifrån den systematiska litteraturstudien, är specifikt för problemlösningsuppgifter och i den andra återfinns vad som är generellt för elever med fallenhet. Detta åskådliggörs genom en tabell där relationerna visas med kryss. Utifrån denna tabell utformades sedan en bild över dessa relationer följt av en analys av sambanden.

Fallenhet ↓ Problemlösning→ Väcker nyfikenhet och motivation Uppmuntrar samarbete Tränar keativitet Utvecklar matematiska förmågor Nyfikna och motiverade

X

Föredrar att arbeta ensamma

-

Kreativa

X

Besitter matematiska förmågor

X

Figur 2. Tabellen symboliserar de utmärkande drag som återfinns hos elever med fallenhet för matematik och de egenskaper som utmärker problemlösningsuppgifter.

Utifrån bilden ovan går det att utläsa att elever med fallenhet besitter flera egenskaper som anses betydelsefulla att inneha vid lösandet av problemlösningsuppgifter. Samtidigt visar tabellen att problemlösningsuppgifter ger möjlighet för eleverna att utveckla dessa förmågor ytterligare. Den enda tydliga avvikelsen, som påvisar att det finns aspekter där elever med fallenhet och problemlösningsuppgifter inte överensstämmer, är den att problemlösningsuppgifter uppmuntrar till interaktion mellan elever medan elever med fallenhet har en tendens att vilja arbeta och lösa uppgifter själva. Utöver denna aspekt sammanfaller elevers med fallenhet för matematik egenskaper väl med de förmågor som problemlösningsuppgifter tränar.

Med utgångspunkt i figur 2, som symboliserar de matchningar och icke-matchningar som går att urskilja då elevers med fallenhet förmågor och problemlösningsuppgifters egenskaper jämförs, har en triangel arbetats fram. Syftet med triangeln är att sammanställa de förmågor som utvecklas vid arbetandet med problemlösningsuppgifter. Varje hörn i triangeln symboliserar vitala förmågor som elever med fallenhet utvecklar

(22)

i arbetet med problemlösningsuppgifter. De tre hörnen innefattar motivation och nyfikenhet, matematiska förmågor, samt kreativitet.

Figur 3. Triangeln symboliserar de förmågor som utvecklas vid arbetandet med problemlösning.

7.1 Motivation & Nyfikenhet

I det vänstra hörnet återfinns aspekter som motivation och nyfikenhet. Rotigel och Fello (2004) förklarar att den motivation och nyfikenhet som elever med fallenhet för matematik besitter hämmas av uppgifter som inte utmanar dem på deras individuella kunskapsnivå. Utifrån Taflins (2007) beskrivning av problemlösningsuppgifter, där hon benämner dem som utmanande, dras därmed slutsatsen att problemlösningsuppgifter främjar elevens med fallenhet motivation och nyfikenhet, eftersom de har en förmåga att utmana dem på deras individuella kunskapsnivå.

Ett sätt att motivera eleverna är enligt Peng och Sollervall (2014) att verklighetsanknyta

undervisningen så eleverna kan generalisera det de lär sig utanför

matematikundervisningen. Wistedt (1992) lyfter en kritisk punkt angående att verklighetsanknyta undervisningen och menar att den matematiska förståelsen kan bli underordnad gentemot elevens förståelse av verkligheten. Detta kan yttra sig genom att eleven exempelvis vid beräkning av olika däggdjurs hastighet i kilometer i timmen tar med icke matematiska resonemang där fokus hamnar på att vissa djur blir tröttare än andra och ett fyrfotat däggdjur har bättre förutsättningar att springa snabbt än ett tvåfotat däggdjur.

7.2 Matematiska förmågor

I det högra hörnet återfinns begreppet matematiska förmågor som inkluderar de

matematiska förmågor som elever utvecklar när de arbetar med en

problemlösningsuppgift. Enligt Pettersson (2011) har elevers med fallenhet utvecklade matematiska förmågor en positiv inverkan på problemlösningsuppgifter eftersom deras utvecklade förkunskap leder till att de kan arbeta med en bredare repertoar av problemlösningsuppgifter än vad en normalt begåvad elev kan arbeta med. Ahlström (1996) förklarar att vissa förmågor utvecklas mer specifikt vid arbetandet med problemlösningsuppgifter och menar att det logiska tänkandet är en sådan förmåga, eftersom problemlösningsuppgifter tvingar eleven att reflektera över sin lösning och utifrån ett logiskt resonemang ifrågasätta dess rimlighet. Vilka andra matematiska

Matematiska förmågor Motivation &

nyfikenhet

(23)

förmågor som tränas vid arbete med problemlösning är beroende på problemlösningsuppgiftens syfte och upplägg. Olika problemlösningsuppgifter

utvecklar olika förmågor vilket leder till att en bred repertoar av

problemlösningsuppgifter, som fokuserar på olika förmågor och representationsformer, är nödvändig för att utveckla samtliga matematiska förmågor (Taflin 2007)

Silver och Cai (1996) belyser en annan aspekt inom utvecklandet av matematiska förmågor och menar att lösandet av olika problemlösningsuppgifter utvecklar elevens förmåga att formulera egna, liknande problem. Han menar att konstruerandet av egna matematiska problem främjar förståelsen för valda metoder, vilket leder till att eleverna utvecklar sin förmåga att lösa framtida problemlösningsuppgifter.

7.3 Kreativitet

Överst i triangeln återfinns begreppet kreativitet. Här inkluderas elevens förmåga att plocka fram och använda de metoder denne besitter och använda dessa i olika kontexter. Ahlström (1996) lyfter betydelsen av det kreativa tänket och belyser betydelsen av att eleven som tar sig an problemlösningsuppgiften är flexibel i sin lösningsprocess och utifrån sina reflektioner korrigerar och reviderar sin lösningsprocess. I detta avseende främjar problemlösningsuppgifter elever med fallenhet för matematik eftersom dessa elever, som redan besitter en utvecklad matematisk förståelse, tvingas använda och kombinera olika metoder på ett sätt som de inte själva anser är nödvändigt när de arbetar med rutin- och textuppgifter. Pettersson (2011) menar även att problemlösningsuppgifter utvecklar elevens kreativitet och förmåga att koppla en metod till en annan och kombinera dessa för att komma fram till en lösning. Förmågan att generalisera utvecklas också eftersom eleven tvingas koppla uppgiften till tidigare matematiska erfarenheter för att kunna lösa den. Utifrån ett perspektiv där elever med fallenhet ligger i fokus menar hon att problemlösningsuppgifter passar dessa elever väl eftersom problemlösningsuppgifter främjar elevernas kreativa förmåga. Detta har sin grund i att elever med fallenhet för matematik ges möjlighet att använda och utveckla sin kreativa förmåga på ett sätt som annars begränsas i andra sorters matematikuppgifter.

(24)

8 Diskussion

Uppsatsens avslutande avsnitt är uppdelat i en en resultat- och en metoddiskussion, vars syfte är att knyta ihop studiens olika delar. Under resultatdiskussionen diskuteras studiens resultat och resultatet sätts även i ett specialpedgogiskt perpsektiv där studiens relevans diskuteras. Denna del är indelad i två avsnitt eftersom studiens resultatdelar behandlar olika innehåll. Studiens tillvägagångssätt beskrivs under metoddiskussionen och utifrån ett kritiskt förhållningssätt diskuteras även dennes validitet och reliabilitet.

8.1 Resultatdiskussion

Syftet med denna studie var att ge en klar bild över ett begrepp vars beskrivning ansågs diffus och oklar. Begreppet ifråga var fallenhet och utifrån studiens frågeställningar belystes begreppet ur ett perspektiv där elever med fallenhet för matematik låg i fokus. Dessa elevers utmärkande drag har beskrivits utifrån olika studiers teorier, samtidigt som de sociala faktorer som påverkar dessa elever har belysts. För att besvara den tredje och sista frågeställningen behövdes först och främst begreppet problemlösning definieras innan det kunde sättas i ett sammanhang där dess möjliga inverkan på elever med fallenhet synliggjordes.

8.2 Elever med fallenhet för matematik

Elever med fallenhet för matematik beskrivs enligt studiens utvalda forskning som särbegåvade inom ämnet. Sett till matematiska förmågor är dessa elever mer utvecklade än normalbegåvade elever. Däremot kan dessa matematiska förmågor variera från elev till elev och de utmanas och stimuleras därför på olika sätt. I studiens utvalda forskning har elever med fallenhet och deras matematiska förmågor satts i fokus. Dessa elever är svåra att generalisera sett till matematiska förmågor. Det har i studien tagits fram flertalet förmågor som en elev bör besitta för att klassas som en elev med fallenhet, men samtidigt kan de ha fallenhet utan att besitta utvecklad förståelse inom samtliga förmågor. Därför har studiens slutsats blivit att elever med fallenhet för matematik är särbegåvade inom ämnet och att de löser tillgivna uppgifter på ett fungerande och utvecklat sätt.

Det går inte heller att urskilja en elev sett till sociala beteenden, eftersom det också är individuellt från person till person. En företeelse som är generaliserbar hos denna typ av elev är nyfikenheten, vilken går att upptäcka redan i ett tidigt stadie i livet. På grund av svårigheten att hitta generaliserbara sociala beteenden hos elever med fallenhet för matematik är det en utmaning för lärare att uppmärksamma denna typ av elever i klassrummet. I studien framkom det genom viss forskning att dessa elever kan upptäckas genom IQ-test och annan forskning påpekade motsatsen.

8.3 Problemlösningsuppgifters möjliga inverkan på elever med

fallenhet

Utifrån studiens forskning kategoriserades problemlösningsuppgifters möjliga inverkan på elever in i en triangel där varje hörn symboliserar viktiga aspekter som eleven utvecklar genom att arbeta med problemlösningsuppgifter. I det vänstra hörnet,

(25)

motivation och nyfikenhet, inkluderas de viljeinriktade aspekterna som utvecklas när eleven arbetar med olika problemlösningsuppgifter och i det högra hörnet inkluderas de matematiska förmågor som en elev utvecklar när denne löser problemlösningsuppgifter. Det översta hörnet fokuserar på elevens flexibilitet och kreativitet vilket innebär att eleven utvecklar sin förmåga att vara kreativ och flexibel i sin tanke, generalisera tidigare använda lösningsmetoder och omarbeta och bearbeta processen då resultatet anses orimligt.

Att problemlösningsuppgifter tränar flera matematiska förmågor samtidigt och tvingar eleven kombinera dessa, är främjande för samtliga elever oavsett om denne är särskilt begåvad eller befinner sig i svårigheter. Det som påvisar att problemlösningsuppgifter är ytterst lämpade för elever med fallenhet för matematik, i jämföresle med normalt begåvade elever, är att dessa elever besitter flertalet av dessa matematiska förmågor, vilket innebär att de kan angripa en bred variation av olika problemlösningsuppgifter. Detta, i kombination med att dessa elever har en förmåga att vara kreativa och flexibla i sina lösningsprocesser, bevisar att problemlösningsuppgifter främjar elever med fallenhets matematiska förmågor och förståelse.

En aspekt som påvisar att det finns avvikelser mellan elevers med fallenhet för matematik förmågor och problemlösningsuppgifters möjligheter till lärande är att elever med fallenhet för matematik visar en tendens att vilja arbeta ensamma, medan problemlösningsuppgifter uppmuntrar till interaktion mellan elever. Detta är en avvikelse som kan få negativa konsekvenser på elevers med fallenhet möjlighet till att lösa uppgifter eftersom par-, grupp- och helklassarbete ger eleverna möjlighet till att diskutera och argumentera för valda lösningsstrategier, samt resultatets rimlighet.

8.4 Metoddiskussion

Valet att genomföra en systematiskt litteraturundersökning grundade sig i att de två begreppens beskrivning utifrån olika studier ansågs oklar, vilket även upptäckts utifrån den del av utbildningen som varit verksamhetsförlagd. Valet att fokusera på elever med fallenhet har sin grund i att dessa elever underprioriters i relation till de elever som befinner sig i svårigheter för matematik (Pettersson 2008). Genomförandet av en

empirisk studie diskuterades, men förkastades eftersom en systematisk

litteraturundersökning ansågs ge en större och tydligare bild av begreppens innebörd och koppling.

För att finna relevanta och precisa sökord, samt finna en effektiv sökstrategi, utnyttjades alternativet att ta hjälp av en bibliotekarie från universitetet. Utifrån de sökord som hade plockats fram sedan tidigare lades ytterligare sökord fram i olika kombinationer för att få fram relevanta källor. Sökorden trunkerades för att få fram en källor som använt sig av andra böjningsformer hos de sökord som valts att användas i studien. Därefter genomfördes en granskning av de olika sökträffarna utifrån dess rubrik, inledning och abstrakt. De källor vars innehåll ansågs ändamålsenliga lästes med stor noggrannhet med syfte att hitta dess teori och karakteristiska drag för något av de ovanstående

(26)

begreppen. Utifrån litteratursökningen återfanns elva referentgranskade källor som ansågs relevanta. Ytterligare fem källor lades till utifrån ett nominerat urval och utifrån ett strategiskt urval valdes ytterligare fyra källor. Detta gav sammanlagt 20 noggrant utvalda källor vars syfte var att ge en utvidgad bild av de två begreppen och dess möjliga inverkan på varandra. Dessa källor ansågs tillräckliga för att uppfylla studiens syfte och frågeställningar. En mer utförlig beskrivning av tillvägagångssätt finns att studera under metoddelen.

Parallellt med Backmans (2016) förklaring, att en forskningsöversikt är nödvändig då

en överblick av problemområdet saknas, menar Denscombe (2016) att

forskningsöversikter fungerar bäst då forskningen redan är uppmärksammad och tydlig bland forskarna. Med detta i åtanke kan det finnas perspektiv och synvinklar som inte är uppmärksammade i studien. Denscombe (2016) menar även att det finns frågetecken kring en forskningsöversikts tillämpning och fortsätter att det finns en barriär mellan det teoretiska och praktiska. Utifrån hans forskning ställs därmed frågor kring studiens överförbarhet till praktiken. För att verifiera eller falsifiera den fakta som tagits fram, främst utifrån den sista frågeställningen, hade därmed studiens reliabilitet förstärkts om vidare forskning gjorts där kvalitativ- eller kvantitativ data med liknande frågeställning genomförts. Detta kan ses som en intressant infallsvinkel som hade gett ytterligare relevans kopplat till ett undervisningsperspektiv.

8.5 Vidare forskning

Detta arbete har belyst elever med fallenhet för matematik ur ett perspektiv där problemlösningsuppgifters möjliga inverkan på elever med fallenhet för matematik legat i fokus. En framtida empirisk studie med liknande frågeställningar, med fokus ur ett eleveperspektiv där elevens tillvägagångssätt och formuleringar varit centrala forskningsområden, hade gett ytterligare perspektiv på problemlösnings inverkan på elever med fallenhet. Genom att tilldela eleven ett fåtal problemlösningsuppgifter och låta denne arbeta med dessa under nogrann observation, samt inkludera en efterföljande intervju, hade angreppsområdet fått ett elevperspektiv där elevens reflektioner och slutsatser legat i fokus. En sådan kvalitativ undersökning hade med fördel kunnat genomföras för att få ett verklighetsperspektiv på det resultat som denna studien frambringade.

(27)

9 Populärvetenskaplig sammanfattning

I studien har begreppet fallenhet för matematik beskrivits, för att sedan sättas i ett perspektiv där problemlösning låg i fokus. En djupdykning i olika studier ledde till ett resultat där problemlösningsuppgifters inverkan på elever med fallenhet för matematik framställdes. Det som utvecklas genom problemlösningsuppgifter gestaltades i en triangel där varje hörn symboliserade en en viktig del som krävs för att vara en duktig problemlösare. Ur ett lärarperspektiv kan det resultat som framkommit användas för att ge en överskådlig blick över vilka förmågor som en elev utvecklar vid arbete med problemlösning. Genom att studera de olika begreppen som återfinns i triangelns olika hörn ges även en genomskådlig och tydlig bild över vilka förmågor som utvecklas vid arbete med problemlösning. Även om resultatet fokuserar på elever med fallenhet går det även att generalisera det resultat som tagits fram till samtliga elever eftersom triangeln lyfter fram förmågor som samtliga elever utvecklar när de arbetar med problemlösning. Detta gör studien relevant ur flera perspektiv, även då fokus inte ligger på elever med fallenhet för matematik.

För att få fram ett resultat samlades relevant forskning inom valt ämne för att granskas och utvärderas. De olika studierna jämfördes med utgångspunkt att hitta likheter och olikheter hos de två begreppen. All relevant forskning togs med i studien för att bevisa dess tillförlitlighet. När de båda begreppen anågs utredda genomfördes sedan en jämförelse med syfte att synliggöra problemlösningsuppgifters inverkan på elever med fallenhet för matematik. Resultatet visade att elever med fallenhet för matematik utvecklar motivation och nyfikenhet, matematiska förmågor och kreativitet vid arbete med problemlösningsuppgifter. Studien belyser även betydelsen av att stimulera de elever med fallenhet, på deras individuella kunskapsnivå, för att bibehålla den motivation som de karakteriseras vid.

References

Related documents

Denna tolkning skulle även kunna vara en förklaring till pedagogernas upplevda utmaningar i att stimulera alla elever med fallenhet för matematik fullt ut i undervisningen.. Ett

I enighet med Johansson och Svedner (2010) är närläsning något som har funnits i åtanke när det kommer till elever med fallenhetens för - och nackdelar i det sociala i skolan men

Vad gäller andelen trafik som kör mer än 5 km/tim över gällande hastighetsgräns visar resultaten sett över alla hastighetsgränser och mätpunkter att det var ca 17 procent som

percentage of gaps, mean number of leaf layers and percent interior/exterior leaves. The procedure is very time-consuming though, since it is proposed [2] that the number of

Något annat som nästan alla lärarna tryckte på som skolan gör (fråga 8) för att stödja elever i svårigheter var att ta hjälp av specialpedagoger, vilket inte förekom alls

Ahlberg (2001) anser att man måste sammankoppla den matematiska undervisningen med elevens intresse för att kunna skapa nyfikenhet hos eleven. Hon menar därför att det inte finns

Efter att forskningsområde, formgivningen av forskningsfrågor, val av teoretisk utgångspunkt färdigställts genomfördes ett val och en formgivning av kommande

This implies a need to develop school- based curricula and appropriate pedagogy in the area of ICT literacy, which can allow teachers to develop critical reflection vis-à-vis the