KONTROLLSKRIVNING 2 Version
A
Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic
Datum: 20 apr 2015 Skrivtid: 8:15-10:00
Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare av vilken typ som helst och bifogade formelblad.
Förbjudna hjälpmedel: Telefon, laptop och alla elektroniska medel som kan kopplas till internet.
Inga toabesök eller andra raster.
Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningar.
Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter. För godkänt krävs 4 av max 8 poäng.
Uppgift 1.(1p) En spelare kastar en tärning. Spelet (att kasta en tärning) kostar 20 kronor.
Vinst bestäms enligt följande regler: Om resultat blir 1,2 eller 3 får spelaren 0 kr. Om resultat blir 4 eller 5 får spelaren 25 kronor. Om resultat blir 6 får spelaren 50 kronor. Spelarens nettovinst är "vinst minus kostnaden". T. ex. om man får femman då är vinst 25 kronor och nettovinst blir 25– 20=5 kronor. Om man t. ex. får trean då är vinst 0 kronor och nettovinst blir 0– 20= – 20 kronor.
Bestäm väntevärdet för nettovinst.
Uppgift 2. (1p) Låt
< ≤
= för övrigt x x kx
f 0
1 0
) , (
10
vara täthetsfunktionen för en stokastisk variabel ξ. Bestäm konstanten k.
Uppgift 3. (1p) Låt X1,X2,X3 vara oberoende s.v. med följande standardavvikelser 3
) (X1 =σ1=
D , D(X2)=σ2 =2, D(X3)=σ3 =1. Beräkna variansen för Y där Y =10X1−2X2 − X3.
Uppgift 4. (1p) Vid beräkning av variansen för en kontinuerlig s. v. ξ kan vi använda en av följande två formler:
∫
∞∞
−
−
= x f x dx
V(ξ) ( µ)2 ( ) eller
∫
∞∞
−
−
= 2 ( ) 2
)
(ξ x f x dx µ
V .
Bevisa att formlerna är ekvivalenta (dvs att de ger samma V(ξ)).
Uppgift 5. (2p) Man har två reläer som är inställda för utlösning 2 respektive 2.5 sekunder efter en impuls. Deras utlösningstider är inte konstanter utan normalfördelade stokastiska variabler N(2, 0.2) respektive N(2.5, 0.3). Bestäm sannolikheten att det andra reläet utlöses före det första om de samtidigt utsätts för en impuls.
Uppgift 6. (2p) Vikten av en slumpmässigt vald tablett är en s.v. med väntevärdet 2.4 g och standardavvikelsen 0.5 g. Bestäm sannolikheten att 100 tabletter väger högst 250 g.
Lycka till.
FACIT
Uppgift 1.(1p) En spelare kastar en tärning. Spelet (att kasta en tärning) kostar 20 kronor.
Vinst bestäms enligt följande regler: Om resultat blir 1,2 eller 3 får spelaren 0 kr. Om resultat blir 4 eller 5 får spelaren 25 kronor. Om resultat blir 6 får spelaren 50 kronor. Spelarens nettovinst är "vinst minus kostnaden". T. ex. om man får femman då är vinst 25 kronor och nettovinst blir 25– 20=5 kronor. Om man t. ex. får trean då är vinst 0 kronor och nettovinst blir 0– 20= – 20 kronor.
Bestäm väntevärdet för nettovinst.
Lösning.
Låt X vara talet som vi får vid ett kast. Låt Y vara nettovinst.
Från tabellen
X 1 2 3 4 5 6
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Y –20 –20 –20 5 5 30
Väntevärdet för nettovinst är k
k
k p
y ⋅
∑
=33333 . 6 3
20 6
)1 30 5 5 20 20 20 6 (
30 1 6 5 1 6 5 1 6 20 1 6 20 1 6
20⋅1− ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = − − − + + + = − =−
−
Svar:
6
−20
Rättningsmall: Korrekt metod och svar =1p Uppgift 2. (1p) Låt
< ≤
= för övrigt x x kx
f 0
1 0
) , (
10
vara täthetsfunktionen för en stokastisk variabel ξ. Bestäm konstanten k.
Lösning.
2 av 4
11 11 1
11 1 1
1
0 1 11
0
10 = ⇒ = ⇒ =
⇒
∫
kx dx= k x k k .Svar: k=11
Rättningsmall: Korrekt k=1p
Uppgift 3. (1p) Låt X1,X2,X3 vara oberoende s.v. med följande standardavvikelser 3
) (X1 =σ1=
D , D(X2)=σ2 =2, D(X3)=σ3 =1. Beräkna variansen för Y där Y =10X1−2X2 − X3.
Lösning: V(Y)=102σ12 +(−2)2σ22 +(−1)2σ32 =100⋅9+4⋅4+1⋅1=917 Svar: V(Y)=917
Rättningsmall: Korrekt metod och svar =1p
Uppgift 4. (1p) Vid beräkning av variansen för en kontinuerlig s. v. ξ kan vi använda en av följande två formler:
∫
∞∞
−
−
= x f x dx
V(ξ) ( µ)2 ( ) eller
∫
∞∞
−
−
= 2 ( ) 2
)
(ξ x f x dx µ
V .
Bevisa att formlerna är ekvivalenta (dvs att de ger samma V(ξ)).
Lösning:
∫
∫
∞∞
−
∞
∞
−
= +
−
=
−
= x f x dx x x f x dx
V(ξ) ( µ)2 ( ) ( 2 2µ µ2) ( )
∫ ∫ ∫
∞
∞
−
∞
∞
−
∞
∞
−
= +
−
= x2f(x)dx 2µ xf(x)dx µ2 f(x)dx
[ Vi använder följande fakta:
∫
∞∞
−
= 1 ) (x dx
f och
∫
∞ µ∞
−
= dx x xf( )
∫
∫
∞∞
−
∞
∞
−
−
= +
⋅
−
= x2f(x)dx 2µ µ µ2 x2f(x)dx µ2 V. S. B.
Rättningsmall: Korrekt bevis =1p
Uppgift 5. (2p) Man har två reläer som är inställda för utlösning 2 respektive 2.5 sekunder efter en impuls. Deras utlösningstider är inte konstanter utan normalfördelade stokastiska
3 av 4
variabler N(2, 0.2) respektive N(2.5, 0.3). Bestäm sannolikheten att det andra reläet utlöses före det första om de samtidigt utsätts för en impuls.
Lösning:
Beteckningar: X betecknar tiden då relä 1 utlöses; alltså X ∈ N(2, 0.2) Y betecknar tiden då relä 2 utlöses, Y ∈ N(2.5, 0.3).
Då är Y<X om och endast om Y– X<0.
Låt Z= Y– X.
Vi beräknar väntevärdet och standardavvikelsen för Z:
E(Z)= E(Y)– E(X)= 0.5
V(Z) =12σ22+(−1)2σ12 =0.32 +0.22 =0.13 36
. 0 13 .
0 =
z = σ
0.0823 )
39 . 1 ( 36 )
. 0
5 . 0 (0 ) 0
( − =Φ − =
Φ
=
<
Z P
Svar: 0.0823
Rättningsmall: Korrekt både E(Z) och V(Z) ger 1p. Allt korrekt= 2p.
Uppgift 6. (2p) Vikten av en slumpmässigt vald tablett är en s.v. med väntevärdet 2.4 g och standardavvikelsen 0.5 g. Bestäm sannolikheten att 100 tabletter väger högst 250 g.
Lösning: Låt ξk beteckna vikten av tabletten nummer k.
5 . 0 ,
4 . 2 )
( = =
=E s
m ξk
Låt ξ =ξ1+ξ2+...+ξ100.
Då gäller ξ1+ξ2 +...+ξ100 är approximativt N(100⋅m, s 100) (formelblad) d v s ξ =ξ1+ξ2+...+ξ100 är approximativt N(240,5).
Härav ≤ =Φ − )=Φ(2)=
5 240 (250
) 250 (ξ
P 0.9772.
Svar: 0.9772
Rättningsmall: Korrekt delresultat ξ N∈ (240,5) ger 1p. Allt korrekt= 2p.
4 av 4
