KONTROLLSKRIVNING 1 Kurs: HF1012, Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: Onsdag 27 mars 2019 Skrivtid: 8:15-10:00
Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare av vilken typ som helst.
Förbjudna hjälpmedel: Telefon, laptop och alla elektroniska medel som kan kopplas till internet.
Inga toabesök eller andra raster.
Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningar.
Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter. För godkänt krävs 3 av max 5 poäng.
Uppgift 1. (1 p) Bestäm variansen (stickprov) för följande grupperade datamängd D:
Värden frekvens
14 6
12 4
Alltså D={14,14,14, 14,14,14,12,12,12,12}.
Uppgift 2. (1p) Bland 1000 produkter som finns på en lager har vi 500 av typ A, 400 av typ B och 100 av typ C. Vi tar ut på måfå 50 produkter, utan hänsyn till ordning och utan återläggning. Vad är sannolikheten att få 20 av typ A, 25 av typ B och 5 av typ C.
Du svarar med binomiska koefficienter.
Uppgift 3. (1p) En kortlek med 52 kort består av fyra färger ( hjärter, spader, klöver, ruter) och 13 valörer: ess, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, knekt, dam, kung. Vi väljer 4 kort på måfå. Vad är sannolikheten att få två olika par, dvs x,x,y,y ( t ex 5,5, 7,7 eller 3,3,8,8 och liknande.) Du svarar med binomiska koefficienter.
Uppgift 4. (1 p) För händelserna A , B och C gäller att P(A)=0.5 , P B( )=0.4, P(C)=0.3
( ) 0.3
P A∩B = . P A( ∩C)=0.2, P B( ∩C)=0.1 , P A( ∩ ∩B C)=0.1. Bestäm P A( ∪ ∪B C).
Uppgift 5. (1p) Vi placerar slumpvis 17 identiska bollar i 4 stora lådor A, B, C och D så att varje låda innehåller minst 3 bollar. Ett exempel på placering:
På hur många olika sätt kan man göra det?
Lycka till.
FACIT
Uppgift 1. (1 p) Bestäm variansen (stickprov) för följande grupperade datamängd D:
Värden frekvens
14 6
12 4
Alltså D={14,14,14, 14,14,14,12,12,12,12}
Lösning:
Medelvärdet m =( 14*6+12*4)/10=13.2
Variansen =[6*(14 – 13.2)^2 +4*(12 – 13.2)^2]/9=1.066667 Svar: 1.066667
Uppgift 2. (1p) Bland 1000 produkter som finns på en lager har vi 500 av typ A, 400 av typ B och 100 av typ C. Vi tar ut på måfå 50 produkter, utan hänsyn till ordning och utan
återläggning. Vad är sannolikheten att få 20 av typ A, 25 av typ B och 5 av typ C. Du svarar med binomiska koefficienter.
Svar:
500 400 100
20 25 5
1000 50
⋅ ⋅
Uppgift 3. (1p) En kortlek med 52 kort består av fyra färger ( hjärter, spader, klöver, ruter) och 13 valörer: ess, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, knekt, dam, kung. Vi väljer 4 kort på måfå. Vad är sannolikheten att få två olika par, dvs x,x,y,y ( t ex 5,5, 7,7 eller 3,3,8,8 och liknande.) Du svarar med binomiska koefficienter.
13 4 4
2 2 2
52 4
⋅ ⋅
Uppgift 4. (1 p) För händelserna A , B och C gäller att P(A)=0.5 , P B( )=0.4, P(C)=0.3
( ) 0.3
P A∩B = . P A( ∩C)=0.2, P B( ∩C)=0.1 , P A( ∩ ∩B C)=0.1. Bestäm P A( ∪ ∪B C).
Lösning:
Vi använder inklusion/exklusion principen:
) (
) (
) (
) ( ) ( ) ( ) ( )
(A B C P A P B P C P A B P A C P B C P A B C
P ∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
0.5 0.4 0.3 0.3 0.2 0.1 0.1 0.7
= + + − − − + =
Uppgift 5. (1p) Vi placerar slumpvis 17 identiska bollar i 4 stora lådor A, B, C och D så att varje låda innehåller minst 3 bollar. Ett exempel på placering:
På hur många olika sätt kan man göra det?
Lösning: Först placerar vi tre bollar i varje låda (vi ”klistrar” tre bollar i varje låda) och därefter permuterar vi resten dvs. 17 – 12= 5 bollar i 4 lådor (se bilden).
Vi betraktar ett ekvivalent problem: Permutationer av 5 bokstäver I och bokstäver O Varje permutation måste börja och sluta med I (annars hamnar inte bollen i någon låda) Därför ”permuterar” vi 3 bokstäver I och 5 bokstäver O.
Det finns 56
1 2 3
6 7 8
! 5
! 3
!
8 =
⋅
⋅
⋅
= ⋅
= ⋅
k sådana permutationer.
