Vi säger att funktionen

(1)

1 av 7 INVERSA FUNKTIONER

DEFINITION 1. (invers funktion) Låt 𝑓𝑓 vara en funktion av en reell variabel med definitionsmängden 𝐷𝐷_𝑓𝑓 och värdemängden 𝑉𝑉_𝑓𝑓.

Vi säger att funktionen 𝑓𝑓 är inverterbar om ekvationen 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑦𝑦,

med avseende på 𝑥𝑥, har precis en lösning 𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷𝑓𝑓 för varje givet 𝑦𝑦 ∈ 𝑉𝑉𝑓𝑓.

Genom tillordningen → 𝑥𝑥 definieras en funktion från 𝑉𝑉𝑓𝑓 till 𝐷𝐷𝑓𝑓. Denna funktion kallas inversen till 𝑓𝑓 och betecknas 𝑓𝑓⁻¹

Enligt definitionen:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑦𝑦 ⇔ 𝑓𝑓⁻¹(𝑦𝑦) = 𝑥𝑥 dessutom

𝐷𝐷𝑓𝑓= 𝑉𝑉_𝑓𝑓⁻¹ och 𝑉𝑉𝑓𝑓 = 𝐷𝐷_𝑓𝑓⁻¹

--- Den inversa funktionen 𝑓𝑓⁻¹ erhålles genom att man ur ekvationen 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) löser ut x och sedan ( om det finns exakt en lösning för varje 𝑦𝑦 ∈ 𝑉𝑉_𝑓𝑓) låta 𝑥𝑥 𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ 𝑦𝑦 byta plats, varvid man får

𝑦𝑦 = 𝑓𝑓⁻¹(𝑥𝑥).

--- Om vi ritar 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) och

𝑦𝑦 = 𝑓𝑓⁻¹(𝑥𝑥) i samma koordinatsystem då är graferna symmetriska i linjen 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥

som vi ser i figuren till höger, där 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒^𝑥𝑥 𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ 𝑓𝑓⁻¹(𝑥𝑥) = 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑥𝑥)

---

(2)

2 av 7

Anmärkning 1: Kravet att ekvationen 𝑠𝑠 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) har exakt en lösning för varje 𝑠𝑠 ∈ 𝑉𝑉𝑓𝑓 innebär att varje linje 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠 (parallell med x-axeln) skär funktionens graf 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) i precis en punkt.

DEFINITION 2. (injektiv funktion) Vi säger att en funktion y= f(x), är injektiv (one-to- one) om följande gäller för x₁,x₂∈D(f)

) ( )

( ₁ ₂

2

1 x f x f x

x ≠ ⇒ ≠ _{(*) .}

Anmärkning 2: Kravet x₁ ≠x₂ ⇒ f(x₁)≠ f(x₂) är ekvivalent med

2 1 2

1) ( )

(x f x x x

f = ⇒ = .

som betyder att ekvationen y= f(x) (med avseende på x) har exakt en lösning för varje )

( f V

y∈ .

Med andra ord en funktion är inverterbar om och endast om funktionen är injektiv.

Anmärkning 3: För att avgöra om y= f(x), x∈D( f) är inverterbar räcker det att kontrollera om högst en lösning till y= f(x) ligger i D(f) .

Detta eftersom om y∈V( f) då (enligt definitionen av värdemängden) finns det mins ett )

( f D

x∈ så att y= f(x). NÅGRA SPECIELLA FALL:

Fig 2. Funktionen är INTE inverterbar

Det finns s så att linjen y=s och kurvan y=f(x) har 2 skärningspunkter.

Fig1. En inverterbar funktion

För varje s ∈ 𝑉𝑉𝑓𝑓 har linjen y=s och kurvan y=f(x) precis en

skärningspunkt.

(3)

1. Om funktionen är växande på ett intervall I så har ekvationen y= f(x) (m.a.p. x) högst en lösning x∈I. Alltså har vi följande:

(Funktionen y= f(x) är växande på ett intervallet I ) ⇒ ( y= f(x) är inverterbar på ett I )

2. Samma gäller för avtagande funktioner:

(Funktionen y= f(x) är avtagande på ett intervallet I ) ⇒ ( y= f(x) är inverterbar på ett I ) 3. Om derivatan f′ x( )>0på ett öppet intervall I så är funktionen växande på I och därmed inverterbar.

Anmärkning: Om funktionen är dessutom kontinuerlig i en ändpunkt (eller båda

ändpunkterna ) så är funktionen växande (och därmed inverterbar) i intervallet J som vi får om vi utökar I med den ändpunkten (de ändpunkterna).

4. Om derivatan f′ x( )<0på ett öppet intervall I så är funktionen avtagande på I och därmed inverterbar.

Exempel 1. Visa att funktionen y= x( +1)² är inverterbar på intervallet (−1,∞).

Lösning: Funktionen y= x( +1)² har derivatan y′=2(x+1) som är positiv om x>−1. Alltså är funktionen växande ( och därmed inverterbar på det öppna intervallet (−1,∞). Anmärkning: Eftersom funktionen är kontinuerlig i ändpunkten x= – 1 kan vi inkludera även denna punkt. Alltså är funktionen växande och därmed inverterbar på det öppna intervallet

) , 1 [− ∞ .

5. Vi har förklarat att en funktion som är växande på ett intervall är inverterbar. Samma gäller om funktionen är avtagande på ett interval. Men det finns inverterbara funktioner som är varken växande eller avtagande.

Exempel 2 Funktionen





≤

<

−

≤

= ≤

2 x 1 om 4

1 x 0 ) om

( x

x x

f är varken avtagande eller växande i

definitionsintervallet [0,2].

3 av 7

(4)

Trotts detta är den inverterbar eftersom ekvationen y= f(x) med avseende på x har högst en lösning i D( f ) .

Uppgift 1.

Bestäm inversen till funktionen = 3𝑥𝑥 + 5

𝑑𝑑ä𝑟𝑟 − ∞ < 𝑥𝑥 < ∞ (𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ 𝑑𝑑ä𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑑𝑑 − ∞ < 𝑦𝑦 < ∞).

Lösning:

= 3𝑥𝑥 + 5 ⇔ 3𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 − 5 ⇔ 𝑥𝑥 = (𝑦𝑦 − 5)/3 ( 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑙𝑙 𝑙𝑙ö𝑠𝑠𝑙𝑙𝑠𝑠𝑙𝑙𝑠𝑠 𝑓𝑓ö𝑟𝑟 𝑣𝑣𝑒𝑒𝑟𝑟𝑣𝑣𝑒𝑒 𝑦𝑦 ∈ 𝑉𝑉𝑓𝑓) Vi kan skriva 𝑓𝑓⁻¹(𝑦𝑦) = (𝑦𝑦 − 5)/3

Om vi byter plats på x och y ( som man brukar göra i analysen) får vi 𝑦𝑦 = (𝑥𝑥 − 5)/3 eller 𝑓𝑓⁻¹(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 5)/3

Svar: 𝑓𝑓⁻¹(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 5)/3

Uppgift 2.

a) Bestäm inversen till funktionen (𝑥𝑥) = 1 + 10𝑒𝑒^3𝑥𝑥+5 . b) Bestäm också 𝐷𝐷_𝑓𝑓, 𝑉𝑉_𝑓𝑓, 𝐷𝐷_𝑓𝑓⁻¹ och 𝑉𝑉_𝑓𝑓⁻¹.

4 av 7

(5)

Lösning:

a) y = 1 + 10𝑒𝑒^3𝑥𝑥+5 ⇔ 10𝑒𝑒^3𝑥𝑥+5 = 𝑦𝑦 − 1 ⇔ 𝑒𝑒^3𝑥𝑥+5 = (𝑦𝑦 − 1)/10 ⇔

3𝑥𝑥 + 5 = 𝑙𝑙𝑙𝑙[(𝑦𝑦 − 1)/10] ⇔ 3𝑥𝑥 = −5 + 𝑙𝑙𝑙𝑙[(𝑦𝑦 − 1)/10] ⇔ 𝑥𝑥 =−5 + 𝑙𝑙𝑙𝑙[(𝑦𝑦 − 1)/10]

3 Vi byter plats på x och y och får

𝑦𝑦 =−5 + 𝑙𝑙𝑙𝑙[(𝑥𝑥 − 1)/10]

3

𝑒𝑒𝑙𝑙𝑙𝑙𝑒𝑒𝑟𝑟 𝑓𝑓⁻¹(𝑥𝑥) =−5 + 𝑙𝑙𝑙𝑙[(𝑥𝑥 − 1)/10]

3 𝑆𝑆𝑣𝑣𝑒𝑒𝑟𝑟 𝒂𝒂) 𝑓𝑓⁻¹(𝑥𝑥) =−5 + 𝑙𝑙𝑙𝑙[(𝑥𝑥 − 1)/10]

3

b) Funktionen 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1 + 10𝑒𝑒^3𝑥𝑥+5 är definierad för alla reella tal.

Därför 𝐷𝐷𝑓𝑓= (−∞, ∞) och därmed 𝑉𝑉_𝑓𝑓⁻¹ = 𝐷𝐷𝑓𝑓 = (−∞, ∞).

Funktionen 𝑓𝑓⁻¹(𝑥𝑥) =−5+𝑙𝑙𝑙𝑙[(𝑥𝑥−1)/10]

3 är definierad om 𝑥𝑥 > 1.

Därför 𝐷𝐷_𝑓𝑓⁻¹ = (1, ∞) och därmed 𝑉𝑉_𝑓𝑓= 𝐷𝐷_𝑓𝑓⁻¹ = (1, ∞) 𝑆𝑆𝑣𝑣𝑒𝑒𝑟𝑟 𝒃𝒃) 𝐷𝐷_𝑓𝑓 = 𝑉𝑉_𝑓𝑓⁻¹ = (−∞, ∞) och 𝑉𝑉_𝑓𝑓 = 𝐷𝐷_𝑓𝑓⁻¹ = (1, ∞) Uppgift 3.

Bestäm största intervall som innehåller punkten x = –5 i vilken funktionen

3 ) 1

( ₂

= +

= f x x

y

har invers.

Lösning: ₂ ₂

) 3 ( ) 2

( +

= −

′ x

x x

f .

0 ) ( >

′ x

f om x<0 funktionen är avtagande i det öppna intervallet . Eftersom funktionen är kontinuerlig i intervallets ändpunkt x=0 kan vi inkludera denna punkt också, dvs funktionen är växande i intervallet (−∞ . Därmed är funktionen inverterbar i intervallet ,0] (−∞ . Detta ,0] intervall innehåller punkten x = –5.

Funktionen är avtagande i intervallet [0,∞ och därmed inverterbar i detta intervall men ] punkten x = –5 ligger inte där.

Svar: (−∞ är det största intervall som innehåller punkten x = –5 i vilken funktionen har ,0] invers.

5 av 7

(6)

6 av 7 Uppgift 4.

Bestäm om följande funktioner är inverterbara. Bestäm inversfunktion om den finns samt motsvarande definitionsmängder och värdemängder.

a) 𝑓𝑓1(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥² , − 2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2 b) 𝑓𝑓₂(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥² , 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2 c) 𝑓𝑓₃(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥² , − 2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 0 Lösning a)

a)

Definitionsmängd: 𝐷𝐷𝑓𝑓 = [−2,2]

Värdemängd: 𝑉𝑉_𝑓𝑓 = [0,16]

Vi väljer ett godtyckligt y från funktionens värdemängd och kollar hur många lösningar till ekvationen 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥² ligger i definitionsmängden:

𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥² ⇒ 𝑥𝑥² = 𝑦𝑦/4 ⇒ 𝑥𝑥 = ±�𝑦𝑦/4

Alltså om 0 < 𝑦𝑦 ≤ 16, har vi två lösningar 𝑥𝑥 = −�𝑦𝑦/4 och = +�𝑦𝑦/4 som båda ligger i definitionsmängden −2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2 och därför är inte funktionen inverterbar.

b)

𝑓𝑓₂(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥² , 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2 Definitionsmängd: 𝐷𝐷_𝑓𝑓 = [0,2]

Värdemängd: 𝑉𝑉𝑓𝑓 = [0,16]

När vi formellt löser ut x ur ekvationen y = 4𝑥𝑥² har vi igen 𝑥𝑥 = ±�𝑦𝑦/4 men endast en lösning 𝑥𝑥 = +�𝑦𝑦/4 ligger i 𝐷𝐷𝑓𝑓. Alltså, för varje 𝑦𝑦 ∈ 𝑉𝑉_𝑓𝑓 har vi precis en lösning 𝑥𝑥 = +�𝑦𝑦/4 i definitionsmängden 𝐷𝐷𝑓𝑓. därmed är funktionen inverterbar och 𝑓𝑓⁻¹(𝑦𝑦) = �𝑦𝑦/4

eller, om vi använder x som oberoende variabel, har vi 𝑓𝑓⁻¹(𝑥𝑥) = �𝑥𝑥/4.

(7)

7 av 7 Vidare

𝐷𝐷_𝑓𝑓⁻¹ = 𝑉𝑉𝑓𝑓 = [0,16] och 𝑉𝑉_𝑓𝑓⁻¹ = 𝐷𝐷𝑓𝑓 = [0,2]

c)

𝑓𝑓2(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥² , − 2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 0 Definitionsmängd: 𝐷𝐷_𝑓𝑓 = [−2, 0]

Värdemängd: 𝑉𝑉_𝑓𝑓 = [0,16]

För varje 𝑦𝑦 ∈ 𝑉𝑉𝑓𝑓 har vi precis en lösning 𝑥𝑥 = −�𝑦𝑦/4 i definitionsmängden 𝐷𝐷𝑓𝑓. därmed är funktionen inverterbar och 𝑓𝑓⁻¹(𝑦𝑦) = −�𝑦𝑦/4

eller, om vi använder x som oberoende variabel, har vi 𝑓𝑓⁻¹(𝑥𝑥) = −�𝑥𝑥/4, Dessutom

𝐷𝐷_𝑓𝑓⁻¹ = 𝑉𝑉𝑓𝑓 = [0,16], 𝑉𝑉_𝑓𝑓⁻¹ = 𝐷𝐷𝑓𝑓= [−2,0]