Huvudmetod: Vi kan oftast välja

BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN MED HJÄLP AV RIEMANNSUMMOR

Några gränsvärden av typ

lim→

kan beräknas med hjälp av bestämda integraler.

Om uttrycket kan skrivas som en Riemannsumma

… där ∆ och

då är

lim→ lim

→

Huvudmetod: Vi kan oftast välja

a0

,

b1

, h n 1

 och n x

_k

 k

Då gör vi följande omskrivning och beräkning:

 



  





 

ⁿ



n k n

n k

f x dx

n f k n k n

g

1

1

1 0

) ( )

1 ( lim som) skriver 1 och

ut bryter (vi

) ( lim

Exempel 1a. Beräkna



 

 n

n k

n

k n

1

lim 1

.

1b. Beräkna



 

 n

n k

n

k

1

lim

3 .

Lösning: 1a. Uttrycket







ⁿ

k

n

n

k S n

1

1

 är en Riemansumma för funktionen 

f ( x )  x

 , med  

0

a , b1,

h  n 1

och

n

x

_k

 k

.

Därför

3 2 0 1 2 / 3 lim1

1

0

2 / 3

1

 



 

















dx x n x

k n

n

n k

Lösning: 1b.



 

 n

n k

n

k

1

lim

3 ( vi förenklar och bryter ut

n 1

)





  



 

 ⁿ

n k n

n k n

k n n

k

n 1

1

lim1

lim 1 = (fortsättning samma som i 1a)

3 2 0 1 2 / 3

1

0

2 /

3  



 









^{xdx x}

Svar: 1a)

3 2

    1b)

3 2

Exempel 2. Beräkna



 







 

  

n

n k

n

k n

1

3 1 cos

lim

Lösning:



 







 

  



ⁿ

n k

n

n

k S n

1

3 1 cos

lim

 är en Riemansumma för funktionen 

f ( x )  cos( 3  x )

 , med  

0

a , b1,

h  n 1

och

n x

_k

 k

.

Därför

 

^{sin4 sin3}

0 ) 1 3 sin(

) 3 cos(

3 1 cos

lim

1

1 0















 

 









 x dx x

n k n

n

n k

Svar: sin4sin3 ÖVNINGAR Uppgift 1.

Beräkna

lim→

1 1

1 2

1

3 ⋯ 1

.

Lösning:

Vi kan skriva om

1 1

1 2

1

3 ⋯ 1

Nu kan uppfattas som en Riemannsumma ∑ för integralen

med

0, 1,

/ 1/ , → 0 är ekvivalent med n → ∞.

/ ,

/ och f(x) =1/(x+1) Därför

lim→

1

1 1 |1

0 2 1 2

Svar. 2

Metod 2. Samma summa kan uppfattas som en Riemannsumma för integralen med

1, 2, / 1/ ,

1 / ,

och f(x)=1/x Därför

lim→

1 |2

1 2 1 2.

Uppgift 2.

Beräkna lim

→

1 2 3

⋯

lim

→

1 1 1

1 2

1 3

⋯ 1

lim

→ 1

1

1 2

1

3 ⋯ 1

lim

→

Lösning:

a) Summan

⋯

kan uppfattas som en Riemannsumma ∑ för integralen

med 0, 1, / 1/ ,

/ ,

/

och f(x)

Därför

lim→ 1

0 0 2

Svar a) b) Summan

1 1 1 ⋯ 1

kan uppfattas som en Riemannsumma ∑ för integralen

med

0, 1, / 1/ ,

/ , /

och f(x) √1 Därför

lim→ √1 1 ^/

3/2 1 0

2 ^/ 3/2 1

3/2 2

3 2 ^/ 1 Svar b) 2 ^/ 1

c) Vi kan skriva om

1 1 1

⋯ 1

1

1 1

1 1/

1

1 2/

1

1 3/ ⋯ 1

1 /

Nu kan uppfattas som en Riemannsumma ∑ för integralen

med 0, 1, / 1/ ,

/ , /

och f(x) Därför

lim→

1

1 |1

0 1 – 0

4 0

4 Svar c)

d) Summan

1 1

1

kan uppfattas som en Riemannsumma ∑ för integralen

med

0, 1, / 1/ ,

/ , /

och f(x) 1 . Därför

lim→ 1

2 1 0

1 2 Svar d)