# Let H be a Hilbert space and let F : H → C be a continuous linear functional

N/A
N/A
Protected

Share "Let H be a Hilbert space and let F : H → C be a continuous linear functional"

Copied!
1
0
0

Full text

(1)

ANALYSIS II, Homework 10

1. Let H be a Hilbert space and let F : H → C be a continuous linear functional. Show that the linear subspace {x ∈ H : F (x) = 0} is closed.

2. Compute the Fourier series of the function f(x) = x, x ∈ [−π, π]. Moreo- ver, use Bessel's equality to compute

(a)P n=1

1 n2, (a)P

k=1 1 (2k+1)2.

3. Use the iterative procedure on which the Banach xed point theorem is based to nd a power series solution of the dierential equation

y0(x) = y(x) + x, y(0) = 1.

Hint: First integrate this equation to get

y(x) = y(0) + Z x

0

y0(t) dt = 1 + Z x

o

[y(t) + t] dt, and then start to iterate this equation.

4. Let (X, d) be a metric space, and let f : X → X be a function satisfying (?) d(f (x), f (y)) < d(x, y) if x 6= y.

(a)Show that f is continuous.

(b) Can f have more than one xed point?

(c) Give an example of a function f on some metric space (X, d) which satises (?) but does not have a xed point.

1

References

Related documents

Exempel 040 Arbetsmiljöåtgärder - nämndsövergripande aktivitet som kan användas av alla.. I investeringsredovisning är koddelen E, projekt, obligatorisk och används för att

Kombinera olika rörelser och få ett jämnt flow, eller gör bara en specifik övning för att stärka en muskel eller varför inte öka intensiteten och antalet övningar och kör

Programmet f¨ oruts¨atter att man kan uppskatta det absoluta felet δ och andra derivatans ¨ ovre gr¨ans M 2 , men man kan anv¨anda konstanta v¨arden av dessa parametrar f¨ or

[r]

250 See, for example, Human Rights Watch interview with KWA staff member from northern Shan State (name withheld), by phone, January 2018; Human Rights Watch interview with

where, in the last step, we have used the Galerkin orthogonality to eliminate terms

Let A be an arbitrary subset of a vector space E and let [A] be the set of all finite linear combinations in

What is the probability that the Markov chain, defined by the transition probability matrix P , is irreducible?.

I denna kunskapsöversikt har vi författare haft som syfte att fördjupa oss inom filmundervisning i skolan för att undersöka hur film kan användas i undervisning Vi vill även

Hade Ingleharts index använts istället för den operationalisering som valdes i detta fall som tar hänsyn till båda dimensionerna (ökade självförverkligande värden och minskade

Är uppsvinget för återtag och direkt sälj till konsument uppsving för de

Detta betyder med andra ord att min hypotes om att personer som lyssnar på RnB skulle vara mer mottagliga för Digster inte stämmer?. Detta är aningen underligt med tanke på att

Using the simplied model, we showed that it is possible to make a data distribution yielding almost ideal geographical locality for PDE solvers using ordered local methods.. This

[r]

Since hypoxia and HIF-1 regulate many interaction molecules between niche cells and HSCs (e.g. CXCR4/SDF-1 signaling and BCRP-1/ABCG2), which have proved to be involved

In this thesis, entitled Live and Let Die critical regulation of survival in normal and malignant hematopoietic stem and progenitor cells, I highlight our recent findings of

“[..] to see how employees within a B2B organisation can tell and utilise stories externally in order to impact the company brand, by adopting a narrative analysis method”, the

Trettio svenska män och kvinnor berätta om sina fäder.. N ., Jesper Svedberg som