Hela tentan omfattar 7 fr˚ agor. Fr˚ agor 1 och 4 ger 5 po¨ang, de ¨ovriga 6 po¨ang (max 40 po¨ang).

FK2003 - Kvantfysikens principer, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning, onsdag 7e mars 2018, kl 17:00 - 22:00

L¨as noggrant genom hela tentan f¨orst. B¨orja med uppgifterna som du tror du klarar b¨ast!

F¨orklara tydligt ditt resonemang och ge r¨att enhet n¨ar det beh¨ovs.

Hela tentan omfattar 7 fr˚ agor. Fr˚ agor 1 och 4 ger 5 po¨ang, de ¨ovriga 6 po¨ang (max 40 po¨ang).

Betygsg¨anser: F  18, Fx: 18.5, E: 20, D: 24, C: 28, B: 32, A: 36.

Till˚ atna hj¨alpmedel: minir¨aknare (ej grafisk) och bifogat formelsamling.

Lycka till! Eddy Ardonne 1. Korta fr˚ agor.

a. (1p) Ge ett exempel p˚ a en partikel som ¨ar en boson samt ett exempel p˚ a en partikel som ¨ar en fermion.

b. (1p) Varf¨or kr¨aver man att en v˚ agfunktion ¨ar normerad?

c. (1p) Vad ¨ar ett sn¨arjt (eller sammanfl¨atat) tillst˚ and?

d. (2p) Vi har en o¨andlig potentialgrop, d.v.s. V (x) = 0 f¨or 0 < x < L och V (x) = 1 annars. Skissa kvalitativt v˚ agfunktionerna av de tv˚ a bundna tillst˚ anden med l¨agst och n¨ast l¨agst energi. Vad ¨ar kvoten av de h¨ar energierna?

2. Vi g¨or ett dubbelspaltexperiment med elektroner, som skickas fr˚ an en k¨alla s till en f¨orsta v¨agg med tv˚ a spalter 1 och 2. Det finns ytterligare en v¨agg med tv˚ a spalter a och b. Till sist detekteras elektronerna p˚ a en sk¨arm d¨ar x betecknar positionen d¨ar elektronen tr¨a↵ar sk¨armen.

s

1

2 a

b x

a. (2p) Vad ¨ar sannolikheten att en elektron som skickas fr˚ an k¨allan detekteras i x?

Anv¨and Diracnotation, d.v.s. amplituden att en elektron fr˚ an k¨allan ˚ aker genom spalt 1 ¨ar h1|si, osv.

b. (2p) Nu st¨anger vi h˚ al 2, och placerar en lampa samt detektorer vid spalterna a och b. Lampans ljus har en v˚ agl¨angd som ¨ar mycket l¨angre ¨an avst˚ andet mellan spalterna a och b. Vad blir sannolikheten att en elektron detekteras i x?

c. (2p) Nu ¨andrar vi successivt v˚ agl¨angden av ljuset i uppgift b. s˚ a att den blir kortare och kortare. Beskriv vad som h¨ander.

3. Vi skickar spinn s = 1 partiklar genom tre Stern-Gerlach apparater, som ¨ar orienterade i tre olika riktningar, S, T och R. Den f¨orsta apparaten sl¨apper genom partiklar i tillst˚ andet

| S i. Den andra apparaten sl¨apper genom partiklar i tillst˚ anden |0T i och | + T i. Den tredje apparaten sl¨apper genom partiklar i tillst˚ andet | R i.

a. (2p) Beskriv apparaterna i Feynmans notation, och ge amplituden f¨or h¨andelsen att en partikel som har kommit genom den f¨orsta apparaten kommer ut ur den tredje.

b. (2p) Besvara samma fr˚ aga som i a. med skillnaden att den andra apparaten sl¨apper genom alla partiklar. Motivera ditt svar!

c. (2p) Besvara samma fr˚ aga som i a., men nu med skillnaden att den andra apparaten

¨ar i samma riktning som den f¨orsta (s˚ a nu sl¨apper den genom partiklar i tillst˚ anden

|0Si och | + Si).

4. Tv˚ a partiklar som skickas fr˚ an k¨allor s 1 och s 2 sprids mot varandra.

Amplituden att spridningen sker med vinkel ✓ ¨ar f (✓). Vid vinkel

✓ finns en detektor, som registrerar partiklar (oberoende av vilken typ av partiklar det handlar om), se figuren.

s

s

θ detektor

a. (1p) Rita de m¨ojliga processerna d¨ar en partikel hamnar i detektorn vid vinkel ✓.

b. (1p) Vad ¨ar sannolikheten att en partikel detekteras i detektorn, om partiklarna fr˚ an s 1 och s 2 ¨ar identiska fermioner?

c. (1p) Vad ¨ar sannolikheten att en partikel detekteras i detektorn, om partiklarna fr˚ an s 1 och s 2 ¨ar samma typ av bosoner, men med olika s z v¨arden?

d. (1p) Vad ¨ar sannolikheten att en partikel detekteras i detektorn, om partiklarna fr˚ an s 1 och s 2 ¨ar icke kvantmekaniska partiklar?

e. (1p) Vad blir sannolikheterna i uppgifterna b, c och d om vinkeln ✓ = ⇡/2?

5. Vi har en stor upps¨attning s = ¹ ₂ partiklar, som alla ¨ar i tillst˚ andet som beskrivs (i s _z basen) av | i = A( ^{p 1} ₃ |+i ¹ ₂ | i). A ¨ar en positiv, reell konstant och en m¨atning av s ^z ger f¨or tillst˚ andet |+i v¨ardet s ^z = + ~/2, och f¨or | i v¨ardet s ^z = ~/2.

a. (2p) Best¨am A, s˚ a att tillst˚ andet | i ¨ar normerat.

b. (2p) Best¨am medelv¨ardet av s z (d.v.s. hs z i) f¨or de h¨ar partiklarna.

c. (2p) Ber¨akna sannolikheten att en partikel i tillst˚ and | i kommer genom en Stern- Gerlach apparat som sl¨apper genom | i = ^{p 1} ₃ |+i + i q

2 3 | i.

6. Vi betraktar en NH 3 molekyl, och g¨or tre stycken m¨atningar p˚ a den, direkt efter varandra (s˚ a det ¨ar ingen tidsutveckling mellan m¨atningarna). I den f¨orsta m¨atningen, m¨ater vi positionen av kv¨aveatomen, och f˚ ar att den ¨ar ’nere’, eller |2i. I den andra m¨atningen, m¨ater vi kv¨aveatomens energi, och f˚ ar resultatet E = E II = E 0 A. I den tredje m¨atningen m¨ater vi igen positionen av kv¨aveatomen.

a. (3p) Vad kan vi s¨aga om resultatet av den tredje m¨atningen?

b. (3p) F¨orklara om molekylen befinner sig i ett station¨art tillst˚ and eller ej efter den tredje m¨atningen.

7. Vi betraktar en partikel med massa m i en kvadratsik potential V (x) = ^m! ₂

x ² , med ! en konstant. Partikeln beskrivs av den tidsoberoende v˚ agfunktionen (x) = A 0 e ^m!x

^{/(2 ~)} , med A ₀ en normeringskonstant, som inte ska ber¨aknas.

a. (3p) Visa att (x) uppfyller den tidsoberoende Schr¨odingerekvationen och best¨am den motsvarande energin E.

b. (2p) F¨or den h¨ar potentialen ges de m¨ojliga energierna av E n = (n + ¹ ₂ ) ~!, med n = 0, 1, 2, . . .. De tidsoberoende v˚ agfunktionerna f¨or tillst˚ anden |ni skrivs som n (x).

Vad blir den tidsberoende v˚ agfunktionen (x, t) f¨or en partikel som vid t = 0 befinner sig i tillst˚ andet | i = ^{p 1} ₂ |1i ^{p 1} ₂ |3i? Ge ditt svar i termer av en eller flera n (x).

c. (1p). ¨ Ar tillst˚ andet i uppgift b ett station¨art tillst˚ and? F¨orklara ditt svar.

Liten Formelsamling

Partiklar – v˚ agor

E = ¯h! ! = 2⇡⌫

p = ¯hk k = 2⇡

x p x ¯h/2 Kvantformalism

hi|ji = ij

| i = ^X

i

|iihi| i = ^X

i

c i |ii

X

i

|c i | ² = 1 h | i = h | i ^⇤

X

i

|iihi| = 1 (eller |) h |A| i = ^X

i,j

h |iihi|A|jihj| i

Spinn 1/2

|+i z = 1

p 2 ( |+i x + | i x )

| i ^z = 1

p 2 ( |+i ^x + | i ^x )

d¨ ar |+i z betecknar spinn upp tillst˚ andet m a p z-axeln, etc.

Tidsutveckling i¯h dc i (t)

dt = ^X

j

H ij c j (t) Specialfall:

Tv˚ a bastillst˚ and, H ₁₁ = H ₂₂ = E ₀ och H ₁₂ = H ₂₁ = A

| i t = c 1 (t) |1i + c 2 (t) |2i c 1 (t) = a

2 e

^(E

^A)t + b

2 e

^(E

^+A)t c 2 (t) = a

2 e

^(E

^A)t b

2 e

^(E

^+A)t Energitillst˚ anden:

|Ii = 1

p 2 ( |1i |2i ) ^energi E 0 + A

|IIi = 1

p 2 ( |1i + |2i ) ^energi E ₀ A

V˚ agfunktionen och Schr¨ odingerekvationen

| i = ^{Z 1}

1 |xihx| idx (x, t) = hx| i

Z ₁

1 | (x, t)| ² dx = 1

"

¯h ² 2m

d ²

dx ² + V (x)

#

(x, t) = i¯h d (x, t) dt

E (x, t) = e

^Et (x)

"

¯h ² 2m

d ²

dx ² + V (x)

#

(x) = E (x)

O¨ andlig potentialgrop V (x) =

( 0 f¨or 0  x  L 1 annars

n (x) =

s 2 L sin

✓ n⇡x L

◆

E _n = ¯h ² ⇡ ² n ² 2mL ²

N˚ agra naturkonstanter

¯h = h

2⇡ = 1, 05 · 10 ³⁴ Js , e = 1, 60 · 10 ¹⁹ C m elektron = 9, 11 · 10 ³¹ kg

m proton = 1, 67 · 10 ²⁷ kg m neutron = 1, 67 · 10 ²⁷ kg Trigonometriska funktioner

sin(↵ + ) = sin↵ ·cos +cos↵·sin sin(↵ ) = sin↵ ·cos cos↵ ·sin cos(↵ + ) = cos↵ ·cos sin↵ ·sin cos(↵ ) = cos↵ ·cos +sin↵·sin

cos ² (↵) = ¹ ₂ (1+cos(2↵)) , sin ² (↵) = ¹ ₂ (1 cos(2↵))