Den andra problemtypen innebär att det både ligger öppet vad man ska komma fram till samt att det är öppet hur problemet ska behandlas

(1)

Kursintroduktion Betygskriterier

PROBLEMLÖSNING

Olika typer av problem:

Med problem menar vi mer eller mindre öppna frågeställningar – frågeställningar där lösningsväg och/eller svarskaraktär ligger öppet. Det finns därmed i princip följande två typer av problem:

A. Den ena typen är frågeställningar där det framgår vad man ska komma fram till för typ av resultat, men där det ligger öppet hur man ska komma fram till det.

B. Den andra problemtypen innebär att det både ligger öppet vad man ska komma fram till samt att det är öppet hur problemet ska behandlas.

(Man skulle kunna tänka sig en tredje typ av problem, C, problem där lösningsvägen är klar i sammanhanget men där svarskaraktären ligger öppet, vilka får betraktas som

ovanliga problemställningar då i regel en öppen svarskaraktär medför att lösningsvägen är mera oklar.) Många av de uppgifter som finns i läroböckerna i matematik är inte problem i ovan mening, utan mer uppgifter (slutna frågeställningar) för att träna på rutinfärdigheter.

Betrakta tex uppgiften: lös ekvationen2x 3 5. Svarskaraktären är givet, man ska komma fram till ett tal xnågot, även lösningsvägen är standardiserad, successivt addera och dividera vänster och högerled med olika tal (eller som det något omatematiskt bruka heta, ”flytta över termer/faktorer”). Detta kan jämföras med de mer öppna

frågeställningarna:

 Undersök för vilka tal a som ekvationen x²2xa har precis två lösningar (Typ B).

 Uttrycket 𝑥⁴+ 4𝑦⁴ är ett primtal för några heltal 𝑥 och 𝑦. Vilket primtal måste det vara? (Typ A)

I kursen kommer du få arbeta med olika typer av problem och problemtyper.

Komponenter vid problemlösning:

1. Definition och Sats: Det är väldigt viktigt att man kan skilja på begreppen definition och sats. (Det som är en sats i ett sammanhang, kan vara en definition i ett annat, det gäller att ha klart för sig vad som är vad i en given situation.) Definitioner är

utgångspunkter, för att tex formulera satser. En sats är inte ett påstående förrän alla delar/begrepp i satsen är väldefinierade. På samma sätt är det av vikt, vid

problemlösning, att man har förstått alla begrepp som problemet berör. Som exempel så är svaret på frågan; är en kvadrat rundare än en liksidig triangel varken ja eller nej, utan snarare – hur definieras rundhet. Det är lite av matematikens kärna att endast arbeta med väldefinierade/otvetydiga begrepp.

2. Hypotes och Sats: En hypotes är en preliminär gissning, välgrundad eller inte, medan en sats är ett bevisat faktum. En hypotes kan sägas vara förstadiet till en sats. Det kan handla om att man undersöker (prövar) ett fenomen, och upptäcker ett mönster, som utgör grunden för en hypotes. För att hypotesen ska övergå i en sats så måste den

(2)

bevisas allmänt (hypotesen kan också visa sig vara inkorrekt, och därmed omöjlig att bevisa).

3. Prövning och Bevis: En prövning av ett påstående/resultat/hypotes bevisar ingenting, men prövning är ändå viktigt, antingen för att förstå en problemställning eller för att hitta lösningsvägar (mönster) till ett problem (till att bevisa ett givet påstående). En prövning av en erhållen slutsats/hypotes tjänar även som en kontroll av om

slutsatsen/hypotesen verkar korrekt, eller om den behöver omarbetas. Men vad är då ett bevis? Ett bevis kan sägas vara en serie argument som bekräftar något, men en relvevant frågan är, för vem/vilka ska bevisen/argumenten vara giltiga.

4. Delproblem och Delresultat: Många gånger kan det vara svårt att se/överblicka hur ett givet problem ska lösas i sin helhet. Då är nyckeln många gånger att man börjar nysta i problemet och formulerar delresultat. I detta arbete upptäcker man många gånger ett mönster, och/eller så ser man hur man kan lösa problemet i sin helhet.

5. Beteckningar och Figurer: En viktig del vid problemlösning är att man inför beteckningar och ritar figurer. Allt det man ritar eller skriver ned behöver inte vara vare sig korrekt eller användbart i slutändan – utan att införa beteckningar och rita figurer ska ses som ett nystande i problemet, som många gånger fungerar som en katalysator för ideer och lösningsstrategier.

Detta centrala komponenter kommer du direkt och indirekt att arbeta med kursen.

Strategier vid problemlösning

Ett problem kan i regel angripas på följande sätt:

1. Förstår jag problemet, vad är det jag ska lösa eller komma fram till, är alla begrepp definierade och förstår jag dem.

2. Gör uppe en plan genom att: Undersök enklare fall - Pröva specialfall - Försök hitta mönster - Formulera delproblem och/eller en hypotes. (Här är det läge att rita figurer och införa beteckningar.)

3. Genomför planen: Lös delproblem/Bevisa din hypotes.

4. Återkoppling: Reflektera över a) konsekvenser över ditt resultat b) eventuella följdproblem, går ditt resultat (eller metod) att förbättra/generalisera.

Förutom ovan mer allmänna angreppssätt, så finns det för steg två och tre mer eller

mindre områdesspecifika problemlösningsstrategier, som vi kommer att behandla i kursen.

(3)

Betygskriterier

För betyget E

 Eleven visar på förmåga att lösa problem av olika karaktär och inom olika områden (algebra, geometri, kombinatorik, logik, talteori,).

 Eleven visar på viss kreativ förmåga i ansatsen inför olika problemställningar.

 Eleven kan lösa enklare problem eller delproblem vid problem som innebär flera steg.

 Eleven kan redovisa tankegångar i olika lösningsstadier.

 Eleven visar på förståelse av lösningsstrategier och lösningstekniker som behandlas.

 Eleven visar på förståelse kring begreppen: Sats, Definition, Bevis.

För betyget C

 Eleven visar på förmåga att lösa problem av olika karaktär och inom flera områden (algebra, geometri, kombinatorik, logik, talteori).

 Eleven visar på kreativ förmåga i ansatsen inför olika problemställningar.

 Eleven kan lösa problem som innebär flera steg.

 Eleven kan skriftligen på ett godtagbart sätt redovisa lösningar till problem.

 Eleven tillämpar med viss säkerhet lösningsstrategier och lösningstekniker som behandlas.

 Eleven visar på förståelse kring begreppen: Sats, Definition, Bevis.

För betyget A

 Eleven visar på förmågan att lösa problem av olika karaktär och inom flera områden (algebra, geometri, kombinatorik, logik, talteori).

 Eleven visar på god kreativ förmåga och orginalitet i ansatsen inför olika problemställningar.

 Eleven kan lösa problem som innebär flera steg, och visa på förmåga att analysera (reflektera över) olika lösningsstrategier eller formulera följdproblem.

 Eleven kan skriftligt, med god struktur och lämpligt matematiskt språk, redovisa lösningar till problem.

 Eleven kombinerar och tillämpar med säkerhet lösningsstrategier och lösningstekniker som behandlas.

 Eleven visar på god förståelse kring begreppen: Sats, Definition, Bevis.

Examination

Kursen, som är på 100 poäng, kommer att examineras med inlämningsuppgifter (problem).

Inlämningsuppgifterna/problemen kommer att omfatta följande:

1. Problem inom olika ämnesområden i matematiken (Algebra, Logik, Kombinatorik, Talteori, Geometri), där förmågan att tillämpa områdesspecifika verktyg prövas.

2. Problem, där förståelse kring begreppen Sats, Definition, Bevis, Hypotes, Prövning prövas.

3. Problem, där den allmänna förmågan att angripa och lösa problem prövas.

Totalt rör det sig om ca XX inlämningar.