Spinn, Pauliprincipen och periodiska systemet.

Rörelsemängdsmoment för elektron i en atom är kvantiserat enligt vilket ger upphov till ett magnetiskt moment

Föreläsning 15

Spinn, Pauliprincipen och periodiska systemet.

h l

l ( + 1 )

= L

Förra gången:

m L q

e e L

r r

− 2 μ =

Projektionen av rörelsemängdsmomentet längs en axel (z-axeln) är också kvantiserad vilket ger en kvantiserad projektion av det magnetiska momentet.

l l

h m m

m L q

m q

B e

e z

e e

z

μ

μ = − = − = − 2

2

μ

= 9 , 274 ⋅ 10

J/T

B m B

B

U = − μ r ⋅ r = − μ

= μ

I magnetfält B (längs z-axeln) fås olika energi beroende på m_ℓ

I magnetfältet kommer även L att precessera kring z-axeln med Larmorfrekvensen.

Experimentellt påvisades (Stern Gerlach)

spinn S = s ( s + 1 ) h

s är ett kvanttal som beror av partikelslag. Varje partikel har ett bestämt s och kan inte anta olika värden. För elektroner är s =1/2.

h h 2 ) 3

2 1 (1 2

1 + =

= S

På samma sätt som för banrörelsemängdsmomentet är z-komponenten kvantiserad:

h

s

z

m

S =

Magnetiska momentet:

m S g q

e e e s

r r

− 2

μ =

elektronen, g_e ≈ 2,00232 ≈ 2

Faktorn ges av relativistisk kvantmekanik (=2) med kvantfältteoretiska korrektioner ⇒ faktorn något större än 2.

Totala vågfunktionen för vätes elektron kan nu skrivas:

ψ

ℓ = rörelsemängsmomentskvanttalet m_ℓ = komponenten löngs z-axelm

m_s = spinnets komponent längs z-axeln

Vi talar oftast om om spinnet som: m_s = +1/2 spinn upp (↑) m ↓= -1/2 spinn ner (↓) Tillåtna värden: n = 1, 2, ...

ℓ = 0, 1, .... n -1

m_ℓ= -ℓ, -ℓ +1, .. 0,..., ℓ -1, ℓ m_s = -1/2, 1/2

Betrakta ett system av två kvantpartiklar, (t.ex. elektroner i en Heliumatom) med gemensam vågfunktion

Om partiklarna är av samma typ och rumsmässigt har visst överlapp går de inte att särskilja.

Sannolikhetstätheten måste då vara lika vid utbyte av de två partiklarna:

) , ( r r

r r

ψ

2 1 2 2

2

1

, ) | | ( , ) |

(

| ψ

r r r r = ψ

r r r r

) ( ) ( )

( ) ( )

,

( r

r

r

r

r

r

Sab

r r

r r

r

r ψ ψ ψ ψ

ψ = +

Låt partiklarna vara i två tillstånd, a och b, vardera med en kombination av kvantal n, ℓ, m_ℓ, m_s.

) ( r

a

ψ r

Variabelseparation ger lösning av typen ψ_ab= ψ_aψ_b men denna ger i sig inte symmetri vid partikelbyte.

Eftersom Schrödingerekvationen är en linjär diff-ekvation, är dock också lösningar av typen:

) ( ) ( )

( ) ( )

,

( r

r

r

r

r

r

Aab

r r

r r

r

r ψ ψ ψ ψ

ψ = −

och

(symmetrisk) (antisymmetrisk)

lösningar till S.E.

För båda dessa lösningar gäller att sannolikhetstätheten bevaras vid utbyte av de två partiklarna.

2 1 2 2

2

1

, ) | | ( , ) | (

| ψ r r r r = ψ r r r r

Om vi bara betraktar spinn-delen kan vi konstruera symmetriska och antisymmetriska tillstånd enligt:

Symmetriskt Antisymmetriskt

↑↓↑↑+ ↓↑ Triplett-tillstånd ↑↓ - ↓↑ Singlett-tillstånd

↓↓

Pauliprincipen:

Det har visat sig i naturen att partiklar med halv- (1/2, 3/2,...) och heltaligt (0,1,2,...) spinn uppträder på oilka sätt.

• Bosoner

Ett system med ej särskiljbara partiklar med heltaligt spinn har en symmetrisk vågfunktion m.a.p utbyte av partiklarna.

• Fermioner

Ej särskiljbara partiklar med halvtaligt spinn har en asymmetrisk vågfunktion m.a.p. partikelbyte.

Vågfunktionen för två fermioner i exakt samma tillstånd:

ψ

( r r

, r r

) = ψ

( r r

) ψ

( r r

) − ψ

( r r

) ψ

( r r

) = 0

partikel α-partikel Foton Pion, π⁰

spinn

½

½ 3/2 partikel

elektron proton Omega spinn

0 1 0

fermioner bosoner

Exempel:

) , ( )

,

( r

r

r

r

ab

r r r

r ψ

ψ =

) , ( )

,

( r

r

r

r

ab

r r r

r ψ

ψ = −

Pauliprincipen (the exclusion principle)

Två ej särskiljbara fermioner kan inte vara i samma individuella kvanttillstånd

Genom att utnyttja att elektroner är fermioner och måste uppfylla Pauliprincipen kan man förklara det periodiska systemet:

Nomenklatur: exempel: 1s²2s²2p⁵

huvudkvantal n = 1, 2

tillstånd med olika ℓ anges med bokstav: s=0, p=1, d=2, f=3 ...

Antal e^- för viss n,ℓ-kombination Varje kombination av n, ℓ och m_ℓkan enligt Pauliprincipen ha 2 elektroner om dessa har olika m_s (↑ respektive ↓).

s-skal (ℓ =0) hara bara m_ℓ=0 och därför max 2 e^- p-skal (ℓ =1) hara m_ℓ=-1,0,1 och därför max 6 e^- för visst ℓ finns 2ℓ+1 olika m_ℓ-värden, vilket tillåter 2(2ℓ +1) elektroner i n,ℓ-kombinationen

(När elektroner ”fylls på” i p-skal för högre atomtal, är det oftast (beroende på e^- i andra n,ℓ –skal) energimässigt fördelaktigt att fylla på i olika m_ℓ-värden med lika

riktade spinn (assymetrisk rumsdel, symmetrisk spinndel) därför att elektronerna, som har samma laddning hamnar längre ifrån

varandra. (Hunds regel). )

Relativa energinivåer för olika skal som funktion av atomnummer.

Med fler än en elektron i atomen, kommer elektronerna att skärma kärnladdningen för varandra.

Systemet kan inte lösas analytiskt utan beräknas med hjälp av dator i approximationer.

Notera dock: kärnladdningen ökar med atomnummer. 1s skalet är närmast kärnan och har minst skärmning.

Bindningsenergin för en jon med bara en elektron är proportionell mot Z². (Z²-beroendet fås genom att i alla härledningar för väte ersätta q_e² me Zq_e²)

(Mosley visade att spektrallinjer för övergångar mellan olika skal (n-värden) ändras proportionellt mot (Z-1)²)

Jonisationsenergin för först frigjorda elektronen som funktion av Z.

Ädelgaser är svårast att jonisera.

Notera: helium, 24,6 eV för första frigjorda elektronen. Kvar finns en e^- bunden till kärna med Z=2.

Bindningsenergin för denna enda