Institutionen för matematik och matematisk statistik Umeå universitet 28 oktober Laboration 2

Laboration 2

Orn Hjartarson (arhj0001@student.umu.se) ¨

Petter Lundberg (pelu0042@student.umu.se)

Mariam Shirdel (mash0007@student.umu.se)

Orn Hjartarson (arhj0001@student.umu.se)¨ Petter Lundberg (pelu0042@student.umu.se)

Mariam Shirdel (mash0007@student.umu.se) 28 oktober 2011

1 Introduktion

Hur bra kan man styra kvalitet genom enkla, sm˚a justeringar? I denna labora- tion har ett simpelt experiment genomf¨orts f¨or att sedan med hj¨alp av enkla justeringar, f¨or varje m¨atning, unders¨oka hur kvaliteten av processen f¨or¨andras.

Laborationen bestod av att sl¨appa ett gem genom en tratt f¨or att sedan m¨ata avst˚andet fr˚an spetsen av gemet till en specifik linje.

2 Syfte och m˚ al

Syftet ¨ar att utveckla v˚ar f¨orm˚aga att planera, genomf¨ora experiment samt analysera data. M˚alet ¨ar att ta reda p˚a om man kan ¨overjustera en process och vad som h¨ander med kvaliteten.

3 Metod

P˚a ett papper dras en r¨at linje tv¨ars ¨over papperet, varvid en positiv sida och negativ sida av papperet best¨amdes. Sedan sl¨apps ett gem genom en tratt och avst˚andet m¨ats fr˚an spetsen av gemet till linjen.

F¨orsta steget i laborationen var att skapa en provserie med lagom stor vari- ation σ ≈ 25 mm. Sedan genomf¨ordes fyra nya m¨atningar, varav den f¨orsta inte hade n˚agon justering. De tre f¨oljande justeringarna var:

Justering 1: F¨or observation x_k+1 kompensera f¨or felet i f¨oreg˚aende m¨atning genom att sikta p˚a en punkt p˚a avst˚andet x_k p˚a andra sidan linjen, dvs

−x_k, f¨or k = 1, 2, . . . , 49.

Justering 2: F¨or observation xk+1 sikta p˚a en punkt p˚a samma avst˚and fr˚an linjen som f¨oreg˚aende m¨atning, dvs sikta p˚a xk, f¨or k = 1, 2, . . . , 49.

Justering 3: F¨or observation x_k+1 kompensera f¨or felet i f¨oreg˚aende m¨atning genom att sikta p˚a en punkt p˚a halva avst˚andet x_k p˚a andra sidan linjen, dvs −^x₂^k, f¨or k = 1, 2, . . . , 49.

F¨or varje m¨atserier togs 50 m¨atv¨arden. F¨or att sedan analysera resultatet anv¨andes programvaran Minitab, d¨ar m¨atningarna ritades upp i l¨ampliga styrdiagram.

Genom att specifiera mean till m˚alv¨arde 0 och standard deviation till den skat- tade m˚al-standardavvikelsen, fr˚an provserien, erh¨olls styrgr¨anserna f¨or samtliga justeringar.

En kapabilitetsanalys skapades sedan f¨or samtliga fyra m¨atserier, med total- gr¨anserna ±100 mm.

4 Resultat och diskussion

R˚adatat fr˚an experimentet finns i Appendix A. Ber¨aknad m˚al-standardavvikelse fr˚an den slutliga provserien ber¨aknades med hj¨alp av Minitab till att vara 16.7354 mm, vilket syns i figur 1. Man kan ¨aven se I-MR plottarna f¨or provse- rien och att processen ¨ar under kontroll. Normalf¨ordelningsplotten i figur 1 har ett P-v¨arde = 0.423 som ligger ¨over α = 0.05, vilket medf¨or att processen ¨ar normalf¨ordelad.

1

Figur 1: Kapabilitetsplottar f¨or provserien.

4.1 Ingen justering

I figur 2 kan man se att punkt 10 ligger utanf¨or kontrollgr¨anserna f¨or I-charten och att punkterna 6, 10, 11, 42 och 48 ligger utanf¨or kontrollgr¨anserna f¨or MR- charten. Processen ¨ar inte under kontroll. Normalf¨ordelningsplotten i figur 2 har ett P-v¨arde = 0.029 som ligger under α = 0.05, vilket medf¨or att processen inte tillh¨or den givna normalf¨ordelningen, N(0, σ).

Orn Hjartarson (arhj0001@student.umu.se)¨ Petter Lundberg (pelu0042@student.umu.se)

Mariam Shirdel (mash0007@student.umu.se) 28 oktober 2011

Figur 2: Kapabilitetsplottar f¨or m¨atningarna d¨ar ingen justering gjordes.

4.2 Justering 1

I figur 3 kan man se att punkt 42 ligger utanf¨or kontrollgr¨anserna f¨or I-charten och att punkterna 6, 33, 39, 40 och 42 ligger utanf¨or kontrollgr¨anserna f¨or MR- charten. Processen ¨ar inte under kontroll. Normalf¨ordelningsplotten i figur 3 har ett P-v¨arde = 0.021 som ligger under α = 0.05, vilket medf¨or att processen inte tillh¨or den givna normalf¨ordelningen, N(0, σ).

3

Figur 3: Kapabilitetsplottar f¨or m¨atningarna d¨ar justering 1 gjordes.

4.3 Justering 2

I figur 4 kan man se att punkterna 1, 5, 8, 9, 11, 15, 20, 21, 22, 23, 26, 27, 29, 33, 42 och 45 ligger utanf¨or kontrollgr¨anserna f¨or I-charten och att punkterna 2, 12, 23, 24, 29, 30, 33, 34, 45 och 46 ligger utanf¨or kontrollgr¨anserna f¨or MR- charten. Processen ¨ar inte under kontroll. Normalf¨ordelningsplotten i figur 4 har ett P-v¨arde < 0.003 som ligger under α = 0.05, vilket medf¨or att processen inte tillh¨or den givna normalf¨ordelningen, N(0, σ).

Orn Hjartarson (arhj0001@student.umu.se)¨ Petter Lundberg (pelu0042@student.umu.se)

Mariam Shirdel (mash0007@student.umu.se) 28 oktober 2011

Figur 4: Kapabilitetsplottar f¨or m¨atningarna d¨ar justering 2 gjordes.

4.4 Justering 3

I figur 5 kan man se att punkterna 47 och 49 ligger utanf¨or kontrollgr¨anserna f¨or I-charten och att punkterna 46, 47, 48, 49 och 50 ligger utanf¨or kontrollgr¨anserna f¨or MR-charten. Processen ¨ar inte under kontroll. Normalf¨ordelningsplotten i figur 5 har ett P-v¨arde = 0.041 som ligger under α = 0.05, vilket medf¨or att processen inte tillh¨or den givna normalf¨ordelningen, N(0, σ).

5

Figur 5: Kapabilitetsplottar f¨or m¨atningarna d¨ar justering 3 gjordes.

5 Slutsats

En process d¨ar resultatet i stor del bygger p˚a slump ¨ar sv˚ar att f¨orb¨attra med hj¨alp av justeringsmetoder f¨or varje m¨atv¨arde. D¨arf¨or kan det l¨att slumpa sig att justeringar i detta fall leder till kvalitetsf¨orb¨attringar, men det kan lika l¨att h¨anda att processen blir ¨overjusterad. N¨ar man v¨aljer att sikta p˚a en specifik punkt p˚a en sida av linjen finns det i detta fall en lika stor chans att den slumpas

˚at fel h˚all. D¨arf¨or kan vi dra slutsatsen att sikta p˚a linjen ger b¨ast resultat.

Orn Hjartarson (arhj0001@student.umu.se)¨ Petter Lundberg (pelu0042@student.umu.se)

Mariam Shirdel (mash0007@student.umu.se) 28 oktober 2011

6 Appendix A

7

Tabell 1: 5 olika m¨atserier med 50 observationer vardera. M¨atningarna best˚ar av en provserie, ingen justering d¨ar ingen justering gjordes, justering 1 d¨ar man justerar genom att sikta in sig p˚a en punkt p˚a avst˚andet xk p˚a andra sidan linjen, justering 2 d¨ar man justerar genom att sikta in sig p˚a samma avst˚and fr˚an linjen som f¨oreg˚aende m¨atning och justering 3 d¨ar man justerar genom att sikta in sig p˚a en punkt p˚a avst˚andet xk/2 p˚a andra sidan linjen.

Provserie Ingen jusering Justering 1 Justering 2 Justering 3

-6 -6 4 71 38

0 -0.5 11 -40 -9

11 24 9 13 10

296 -1 -9 17 0

-10 46 41 73 2

37 -24 -34 20 -18

-20 30 2 13 20

-8 0 -11 51 -10

19 -26 10 94 26

-15 110 17 44 -9

21 12 6 80 9

17 10 11 -46 4

18 -11 17 12 18

-10 28 -26 36 26

11 2 33 53 22

14 -4 -12 3 -12

18 4 0 32 25

7 9 7 15 -36

15 2 6 38 20

12 4 15 62 -36

-20 16 11 82 4

-5 9 -12 73 24

27 -28 12 -60 3

32 2 -16 25 30

12 9 21 11 14

24 29 -4 54 -12

15 -17 20 53 20

-30 20 32 28 -18

5 4 30 109 31

19 11 12 25 -1

8 4 35 36 12

0 15 -22 40 -1

8 7 40 106 3

38 -3 -15 40 30

13 6 28 25 -11

0 6 -1 14 -16

31 -11 0 16 40

24 -5 -32 21 -12

-12 -4 45 37 5

2 2 -18 18 47

25 40 -16 48 0

-9 -27 62 64 35

-11 0 35 15 -23

2 15 -2 11 6

-5 8 32 123 47

18 30 -16 -5 -16

8 16 11 27 88

17 -48 -11 30 -27

-11 11 24 38 60

-15 -13 2 -4 -23