Dagens program. Linjer i planet och rummet (repetition) Plan i rummet. Parameterform Normalform Exempel

Dagens program

• Linjer i planet och rummet (repetition)

• Plan i rummet

• Parameterform

• Normalform

• Exempel

Exempel. Bestäm den punkt 𝑄 på linjen

𝐿: 𝐞 𝑥 𝑦

𝑧 = 𝐞 1 0 0

+ 𝑡 𝐞 −1 1

−1 som ligger närmast 𝑃 = (2,1,2) samt avståndet mellan 𝑃 och 𝑄.

Lösning.

𝑃₀𝑃 = 𝑂𝑃 − 𝑂𝑃₀ = 𝐞 2

12 − 𝐞 1

00 = 𝐞 1

12 och 𝐯 = 𝐞 −1

−11

𝑃₀𝑄 = 𝑃₀𝑃_∥𝐯 = 𝑃₀𝑃 ∙ 𝐯

𝐯 ² 𝐯 = 1 ⋅ −1 + 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ (−1) 1²+ 1² + 1² 𝐯

𝑃₀𝑄 = −2

3𝐞 −1 1

−1

𝑂𝑄 = 𝑂𝑃₀+ 𝑃₀𝑄 = 𝐞 1 00 −2

3𝐞 −1 1

−1

= 1

3𝐞 3 + 2 0 − 2

0 + 2 = 1

3𝐞 5

−2 2 𝑄𝑃 = 𝐞 2

1 2

−¹₃𝐞 5

−2 2

=¹₃𝐞 1 5 4

𝑄𝑃 = 1 3 𝐞 1

5 4

= 42 3

𝑃

𝑃₀

𝑂

𝑄 𝐯

2.6.9. Låt 𝒖 = 2𝐞₁ + 𝐞₂ och 𝒗 = 3𝐞₁ − 2𝐞₂.

a) Bestäm den ortogonala projektionen av u resp v på 𝐞₁och 𝐞₂. b) Bestäm den ortogonala projektionen av u på v.

Lösning.

a) T ex 𝐮_∥𝐞1 = ^𝐮∙𝐞_𝐞 ¹

1 2𝐞₁ = 2𝐞₁ b) 𝐮_∥𝐯 = ^𝐮∙𝐯_{𝐯 2}𝐯 = ^{2⋅3−1⋅2}₁₃ 𝐯 = ₁₃⁴ 𝐯

Plan i rummet

Vad behöver vi veta?

• För en linje räcker det med 2 punkter

𝑂𝑃 = 𝑂𝑃

+ 𝑡𝐯

obs! längden och riktningen av vektorn 𝐯 är ointressant

• För ett plan räcker det med 3 punkter (𝑃

, 𝑃

, 𝑃

nedan)

𝑃 𝑃₀

𝐯

𝐯 𝑃₀ 𝐮

𝑂

𝑃₁

𝑃₂

𝑂𝑃 = 𝑂𝑃₀ + 𝑠𝐮 + 𝑡𝐯 (parameterform) 𝑃

Exempel 1. Ange en ekvation på parameterform för planet som går genom punkter 𝑃(1,2,0), 𝑄(2,2,1) och 𝑅(−1,0,0).

Lösning. Vektorerna

𝐮 = 𝑃𝑄 = 𝐞 ¹0

1 och 𝐯 = 𝑃𝑅 = 𝐞 ⁻²−2 0

ligger i planet och icke-parallella, alltså planets ekvation är 𝑂𝑋 = 𝐞 𝑥

𝑦 𝑧

= 𝑂𝑃 + 𝑠𝐮 + 𝑡𝐯 =

= 𝐞 1 2 0

+ 𝑠𝐞 1 0 1

+ 𝑡𝐞 −2

−2 0

= 𝐞 1 + 𝑠 − 2𝑡 2 − 2𝑡

𝑠

𝐯 𝐮 𝑃

𝑂 𝑄

𝑅 𝑋

Exempel 2. Ange en ekvation på parameterform för planet som går genom punkten 𝑃(1, −1,2) och vinkelrät mot 𝐰 = 𝐞 ¹2

3 . Idé.

• Bestäm en vektor 𝐮 som ortogonal mot 𝐰. Då kryssprodukten 𝐯 = 𝐮 × 𝐰 är också ortogonal mot 𝐰!

• Parameterform Lösning.

• Låt 𝐮 = 𝐞 ^𝑎_𝑏

𝑐 och 𝐰 ∙ 𝐮 = 0, d v s

1 ⋅ 𝑎 + 2 ⋅ 𝑏 + 3 ⋅ 𝑐 = 0 En lösning är 𝐮 = 𝐞 ¹ 1

−1 (Verifiera! Kan du hitta ytterligare en lösning?) 𝐯 = 𝐮 × 𝐰 = 𝐞 1

1

−1

× 𝐞 1 23

= 𝐞 5

−4 1

• Följaktligen blir planets ekvation 𝐞 𝑦^𝑥

𝑧 = 𝑂𝑃 + 𝑠𝐮 + 𝑡𝐯 = 𝐞 −1¹

2 + 𝑠𝐞 ¹1

−1 + 𝑡𝐞 −4 ⁵ 1

𝐰

𝑃

Planets ekvation på normalform

Till varje plan i rummet hör flera parallella/motsatta normalriktningar, t.ex.:

𝐧

−2𝐧

normalvektorer

• 𝐧=𝐞 ^𝐴𝐵

𝐶 är en normalvektor

• 𝑃₀ = (𝑥₀, 𝑦₀, 𝑧₀) och 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) är godtyckliga punkter i planet

𝑃𝑃₀ ⊥ 𝐧 ⟺ 𝟎 = 𝑃𝑃₀ ∙ 𝐧 = 𝐞 𝐴 𝐵 𝐶

∙ 𝐞 𝑥 − 𝑥₀ 𝑦 − 𝑦₀ 𝑧 − 𝑧₀

= 𝐴 𝑥 −𝑥₀ + 𝐵 𝑦 −𝑦₀ + 𝐶 𝑧 − 𝑧₀ = = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 −𝐷

Ekvation för planet Π på normalform:

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 = 𝐷

𝑃₀

𝑃

𝑂

normal till Π

Π

Exempel 2’. Ange en ekvation på normalform för planet som går genom punkten 𝑃(1, −1,2) och vinkelrät mot 𝐰 = 𝐞 ¹2

3 . Lösning.

Planets ekvation

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 = 𝐷

⇓

𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 𝐷

Bestämmer 𝐷 genom att kräva att punkten 𝑃(1, −1,2) tillhör planet, d v s dess koordinater uppfyller ekvationen ovan:

1 + 2 ⋅ −1 + 3 ⋅ 2 = 𝐷 = 5

Ekvationen på narmalform blir alltså

𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 5

𝐰

𝑃

Exempel 3. Låt Π₁: 𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 0 och Π₂: 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 4. Bestäm och beskriv geometriskt den punktmängd som tillhör båda planen.

Lösning. De punkter som tillhör båda planen uppfyller systemet 𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 0

2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 4 ⇔

𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 0

5𝑦 + 𝑧 = 4 ⇔

𝑥 = 2𝑦 + 𝑧

𝑧 = 4 − 5𝑦 ⇔ 𝑥 = 4 − 3𝑡

𝑦 = 𝑡 𝑧 = 4 − 5𝑡

⇔ 𝐞 𝑥 𝑦

𝑧 = 4𝐞 1 0 1

+ 𝑠 𝐞 3

−1 5

Skärningsmängd är en linje.

−2

(𝑡 = −𝑠)

skärningslinje

Exempel 4. Låt Π: 2𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 = 6 och 𝑃(1,1,0). Bestäm avståndet mellan Π och 𝑃.

Bestäm även den punkt 𝑃_p i Π som ligger närmast 𝑃 samt 𝑃:s spegelpunkt 𝑃_s i Π.

Lösning.

• Välj en ’startpunkt’ 𝑃₀ (dess läge spelar ingen roll)

• Drag den normal 𝑁 till Π som går genom 𝑃

• Dess skärningspunkt med Π blir den sökta 𝑃_p

• Avståndet mellan Π och 𝑃 är 𝑃𝑃_p = 𝑃₀𝑃_∥𝐧

• Spegelpunkten 𝑃_s är då spegelbilden av 𝑃 i Π, d v s 𝑃𝑃_p = 𝑃_p𝑃_s Väljer 𝑃₀ = (1, −1, −1). Då fås

𝐧 = 𝐞 ₋₃²

−1 , 𝑃𝑃₀ = 𝐞 ⁰₂

1 ⟹ 𝑃_p𝑃 = 𝑃₀𝑃_∥𝐧 = ^𝑃𝑃_𝐧⁰₂^∙𝐧𝐧 = ⁻⁷₁₄ 𝐧 = −¹₂𝐞 ₋₃²

−1

• Avståndet: 𝑃𝑃_p = 𝑃₀𝑃_∥𝐧 = ₂¹⁴

• Ortogonal projektion: 𝑂𝑃_p = 𝑂𝑃 − 𝑃_p𝑃 = 𝐞 ¹1

0 + ¹₂𝐞 −3²

−1 = ¹₂𝐞 ²⁺²2−3

0−1 = ¹₂𝐞 −1⁴

−1

• Speglingen (’en 𝑃_p𝑃 ner’): 𝑂𝑃_s = 𝑂𝑃_𝑝 − 𝑃_p𝑃 = ¹₂𝐞 −1⁴

−1 + ¹₂𝐞 −3²

−1 = 𝐞 −2³

−1

Ortogonal projektion och spegling i plan

𝑃

𝑂

𝑃_s 𝑃_p 𝑃₀

𝐧

Exempel (tentamen 2009.05.20) En ljusstråle går genom punkten 𝑃₁ = (7, −1, 7), reflekteras i planet Π: 2𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 1 och går sedan genom punkten 𝑃₂ = (11, 11, 1). Var träffar ljusstrålen planet?

Lösningsidé: den sökta punkten 𝑀 är skärningspunkten av linjen som går genom 𝑃_1s och 𝑃₂ och planet Π.

• Söker 𝑃_1p :

𝑂𝑃_1p = 𝑂𝑃₁ + 𝑡 𝐧 = 𝐞 7

−17

+ 𝑡𝐞 2

−14

= 𝐞 7 + 2𝑡

−1 − 𝑡 7 + 4𝑡

• 𝑃_1𝑝 ligger i planet:

2 7 + 2𝑡 − −1 − 𝑡 + 4 7 + 4𝑡 = 1 ⟹ 𝑡 = −2 ⟹ 𝑂𝑃_1p = 𝐞 3 1

−1

⟹

⟹ 𝑃_1p𝑃₁ = 𝐞 7

−1 7

− 𝐞 3 1

−1

= 𝐞 4

−2 8

⟹ 𝑂𝑃_1s = 𝑂𝑃_1p − 𝑃_1p𝑃₁ = 𝐞 −1 3

−9

• Söker 𝑀 : 𝑂𝑀 = 𝑂𝑃_1s + 𝑠𝑃_1s𝑃₂ = 𝐞 ⁻¹3

−9 + 𝑡𝐞 ¹¹⁺¹11−3

1+9 = 𝐞 ^−1+6𝑠3+4𝑠

−9+5𝑠 , där 𝑠 = 2𝑡, 2 −1 + 6𝑠 − 3 + 4𝑠 + 4 −9 + 5𝑠 = 1 ⟹ 𝑠 = ³₂ ⟹ 𝑂𝑀 = 𝐞 ⁸⁹

−³₂

.

𝑃₂

𝑂 𝑃₁

𝑃_1p 𝐧

𝑃_1s

𝑀