Matematik – Gymnasieskola
Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg I
Del 8: Matematikundervisning och utveckling med digitala verktyg
Matematikundervisning och utveckling med digitala verktyg
Ola Helenius, NCM & Håkan Sollervall, Malmö universitet
Vad är det som lärare behöver kunna för att deras elever ska lära sig matematik? I en ofta citerad artikel från 1986 försökte Lee Shulman ge ett svar genom att definiera begreppet PCK, Pedagogical Content Knowledge (Shulman, 1986). På svenska skulle det bli ämnesdidaktik eller möjligen didaktisk ämneskunskap. Sedan dess har många forskargrupper över hela världen arbetat med detta och likartade begrepp. Till exempel har det undersökts vad som utmärker framgångsrika lärare, inte bara med avseende på hur de undervisar utan med avseende på vilken kunskap de har som gör att de undervisar på detta sätt. I storskalig forskning från Tyskland, det så kallade COACTIV-projektet (Baumert m.fl., 2010), har man visat att en faktor som spelar avgörande roll för elevernas kunskapsutveckling är att
undervisningen är kognitivt utmanande. Det räcker alltså inte i sig att läraren kan organisera klassrummet på ett effektivt sätt, följer läroplanen eller på ett flexibelt sätt anpassar
undervisningen till olika elever. Eleverna måste erbjudas uppgifter som är utmanande.
Sådana uppgifter kan till exempel innebära att det krävs översättning mellan olika matematiska områden eller representationer, att uppgifterna eller redovisningen av dem kräver en hög nivå av matematiska resonemang och att uppgifterna inte bara kräver beräkningar utan också att matematiska begrepp används på ett kreativt sätt. Forskarna kunde visa att lärarens PCK, som mättes på en speciell skala, hade betydligt större effekt på både graden av kognitivt utmanande uppgifter och på elevernas kunskapsutveckling än rena ämneskunskaper eller generella pedagogiska kunskaper (Baumert m.fl., 2010).
Dessa resultat är intressanta av två anledningar, när vi nu tittar tillbaka på modulen och funderar på vad den har erbjudit. Den första anledningen handlar om att förstå hur
undervisningen påverkas när vi introducerar digitala verktyg. Den andra anledningen har att göra med lärarens didaktiska kunskaper kopplat till digitala verktyg.
Undervisning och digitala verktyg
En risk när digitala verktyg introduceras i undervisningen är att man utgår från att själva verktyget ska skapa något intressant som medför att det också blir matematiskt intressant.
Det finns en parallell till när laborativt material används i matematikundervisningen och det fenomen som har kallats ”hands on – minds off”. Eleverna manipulerar materialet utan att det leder till specifika matematiska erfarenheter. Det har visat sig att lärare som är särskilt framgångsrika både väljer andra varianter av digitala verktyg i undervisningen och använder dessa verktyg på ett annat sätt. Hur lärarna gör dessa val visar sig hänga samman med att de redan från början har en annan syn på vad som är viktigt i undervisningen (Thorvaldsen, Vavik & Salomon, 2012). Undervisning är också en verksamhet som till sin natur är
beroende av rutiner. Det finns så många variabler att beakta och så många möjliga beslut att
ta, så läraren måste förlita sig på vissa rutiner för att hålla den mentala ansträngningen att genomföra lektionen på en rimlig nivå (Eraut, 1994). Det är fullt möjligt att även en tämligen oreflekterad undervisningsrutin kan vara framgångsrik. Men när nya element ska introduceras i undervisningen, som exempelvis digitala verktyg, så kan sådana rutiner bryta samman. För att hantera denna problematik har vi i modulen använt oss av
matematikdidaktisk teori, se nedan. Teorierna belyser olika didaktiska aspekter och gemensamt för alla är att de kan fungera som stöd för att skapa en kognitivt utmanande undervisning.
I Del 2 introducerades teorin för didaktiska situationer (Brousseau, 1997). Centralt i denna teori är att skapa förutsättningar för målinriktat elevarbete. En välplanerad matematisk aktivitet introduceras för eleverna, som sedan arbetar med den enskilt eller i mindre grupper. Läraren är inte passiv under det att eleverna arbetar med uppgiften utan
uppmuntrar elever som behöver stöttning att reda ut så mycket som möjligt på egen hand.
Läraren är också uppmärksam på olika lösningsförslag och metoder som eleverna använder och skapar sig en bild över lösningar som är representativa för den variation som återfinns i elevernas lösningsförslag. Den didaktiska situationen avslutas med en uppföljning, där elevernas slutsatser sammanfattas i en lärarledd diskussion där läraren också knyter an till de matematiska lärandemål som situationen var tänkt att synliggöra.
Att hinna med introduktion, elevarbete och uppföljning under en matematiklektion kräver en väl genomtänkt organisation och planering av undervisningen. Som stöd för att hantera detta infördes i Del 2 begreppet orkestrering. I idén om orkestrering (Trouche, 2004) betonas vikten av att på förhand designa en didaktisk organisation av klassrummet och även ha en genomtänkt plan för genomförande av undervisning utifrån denna organisation.
Organisationen innefattar att välja uppgifter, hjälpmedel och möblering av klassrummet, det vill säga både de verktyg som ska vara tillgängliga och hur de ska göras tillgängliga, men också att skapa förutsättningar för elevernas interaktion med varandra och med läraren.
Orkestreringen omfattar utöver organisation och plan även genomförande av undervisning.
När läraren arbetar med en undervisningstyp som denne är van vid är det möjligt att klara sig utan speciell teori, om man istället kan förlita sig på fungerande rutiner. En vanlig undervisningstyp är exempelvis att läraren har vissa genomgångar och att eleverna
tillbringar den mesta tiden med att arbeta med läroboken (Boesen m.fl., 2014). Både lärare och elever kan normalt hantera sådana lektioner på rutin. Men om digitala verktyg
introduceras i undervisningen och förväntas få en avgörande roll så behöver läraren både ha organiserat och planerat förutsättningar för att verktygen ska fungera i den didaktiska situationen. Det finns inte nödvändigtvis en färdig rutin att ta till.
Några av de verktyg vi har mött skapar en speciell relation mellan eleven och matematiken.
Verktyg kan användas som instrument för att uppnå specifika syften (Guin & Trouche, 1999;
Verillon & Rabardel, 1995). När nya digitala verktyg introduceras i
matematikundervisningen tar ofta den tekniska hanteringen tid från den matematiska verksamheten. I Del 3 poängterades vikten av att ha strategier för att introducera och successivt utveckla användningen av digitala verktyg i matematikundervisningen. Medan
eleverna fick arbeta med förberedda Geogebra-applets i Del 3 så fick de i Del 6 undersöka egna konstruktioner i Geogebra. På liknande sätt fick eleverna i Del 7 först arbeta med förberedda kalkylblad och sedan konstruera egna kalkylblad. I Del 8 kommer ni också att möta exempel på hur flera digitala verktyg kan användas tillsammans. Eleverna kan alltså börja med att manipulera förberedda digitala verktyg och därefter gå över till att göra egna konstruktioner. Genom regelbunden användning kan eleverna med tiden skapa alltmer flexibla instrument som de själva kan anpassa för att uppnå specifika matematiska syften.
Teorierna ovan ger en grundläggande struktur för att tänka kring matematikundervisning med digitala verktyg. De kan ses som ett stöd för att strukturera erfarenheter och som utgångspunkt för att förbereda och genomföra matematikundervisning. Genom att
undervisningen tolkas genom teorierna kan en specifik lektion betraktas som ett exempel på något mer generellt, vilket kan underlätta orkestrering av ”liknande” lektioner i andra sammanhang. Den specifika erfarenheten blir mindre bunden i tid och rum och kan då återanvändas och vidareutvecklas i nya didaktiska situationer. De olika teorierna kan även bidra till att skapa sammanhang mellan erfarenheter av att använda olika digitala verktyg.
Digitala verktyg och lärarkunskap
I inledningen beskrevs lärares ämnesdidaktiska kompetens (PCK) som avgörande för deras undervisning och i förlängningen för elevernas kunskapsutveckling. Men som vi kan förstå ur resonemanget om de olika teorierna ovan, så behöver läraren också specifik kunskap om de verktyg som ska användas om det ska vara möjligt att konstruera väl genomtänkta didaktiska situationer. För kalkylprogram och andra etablerade program som Geogebra går det ofta att hitta bra resurser på nätet, speciellt via det utvidgade kollegiet där råd och ibland hela lektionsuppslag kan vara samlade. Kravet på läraren att känna igen vad som är
användbart och att sedan implementera det i sin egen undervisning kvarstår dock. Även för digitala verktyg som responssystem (Del 4) och system för att samla elevlösningar (Del 2) går det att hitta resurser på nätet. Men oavsett vilka syften läraren har med den
undervisning som planeras, så behövs en form av teknisk kompetens som består i att ha en överblick över tillgängliga och tillämpliga digitala verktyg och även kompetensen att använda dem. I modulen har endast ett fåtal olika digitala verktyg redovisats och det har inte erbjudits möjligheter till fördjupade studier av enskilda verktygs användning.
Digitala verktyg och utveckling av undervisningen
I Del 1 nämndes ramverket, Ersätta – Förstärka – Transformera, som handlar om olika funktioner som digitala verktyg kan ha i lärares undervisning (Hughes, Thomas & Scharber, 2006). För att repetera, så handlar ersätta om att ett digitalt verktyg används i undervisningen utan att något i undervisningen förändras. Vi kan till exempel tänka oss att vi ersätter diag- nostiska tester på papper med tester som görs på datorn.
Kategorin förstärka handlar om att en viss komponent eller funktion i undervisningen ersätts med ett digitalt verktyg utan att undervisningens struktur förändras, men på ett sådant sätt att effekten av just den delen av undervisningen ändå kan antas bli bättre. I Del 5 beskrevs till exempel hur förståelse för och övning på rutiner för att läsa förstagradsekvationer kunde
göras med Geogebra och Wolframalpha. Här är det frågan om en undervisning som på många sätt liknar vad lärare kan göra utan de digitala verktygen. Elever övar på att lösa en serie ekvationer som de också kunde ha arbetat med på papper. Men med teknikens hjälp kan läraren placera fokus på rutinerna för att manipulera ekvationerna istället för på rent aritmetiska aspekter av ekvationslösandet som programvaran i detta fall hanterar.
Den sista kategorin är transformera. Ett typexempel på ett digitalt verktyg som har potential att transformera är Geogebra, speciellt den dynamiska aspekten av denna programvara. Det finns visserligen människor som naturligt tänker på geometri i termer av sådan dynamik, utan att ha fått explicit undervisning om det, men vanligare är att specifika figurer uppfattas just som olika fall av en viss klass av figurer. Med Geogebra kan eleven systematiskt få uppleva matematik på ett nytt sätt. För lärare (och elever) som inte har erfarenhet av detta tidigare är fördelen inte alltid uppenbar, men skillnaden mellan att bara kunna rita flera distinkta fall av till exempel trianglar och att kunna förändra trianglars form kontinuerligt är inte en gradskillnad utan den statiska bilden och den dynamiska kan ses som två olika representationer. I modulen har det också med just Geogebra illustrerats hur olika representationer av ett fenomen kan knytas till varandra. Detta kan vara en användning i kategorin transformera, men även förstärka. Det beror ju på vad läraren i fråga gjorde tidigare.
Och det är kanske just denna osäkerhet som är mest intressant med detta ramverk. Att fundera på om ett visst digitalt verktyg har potential att förstärka eller kanske rent av transformera undervisningen handlar dels om den undervisning som läraren vanligtvis bedriver. Men det handlar lika mycket om vilka möjligheter man ser med det nya verktyget och vilka av möjligheterna som faktiskt utnyttjas när verktyget används. Vi kan exemplifiera detta genom att återknyta till några av de digitala verktyg vi mött tidigare. Betrakta
exempelvis systemet för att synliggöra elevlösningar från Del 2. Vi kan tänka oss att för en lärare, A, som redan tidigare arbetade med problemlösning där eleverna fick beskriva och prata om sina lösningar så fungerar tekniken som förstärkning. Men för lärare B, som inte tidigare arbetat på det sättet kan systemet ha fungerat som en katalysator till transformering.
När systemet utnyttjas till fullo, och lösningar sparas för att användas senare eller skickas till läraren eller klasskamrater i förväg, kan det mycket väl innebära en transformering även i relation till lärare A:s tidigare arbete. På samma sätt kan man resonera om responssystem.
Använt på ett elementärt sätt kan systemet betraktas som en ersättning av vanlig
handuppräckning. Men när ett system för att hantera elevlösningar används fullt ut erbjuder det både ökad effektivitet (förstärkning) och introducerar möjligheten att låta elevsvaren vara anonyma (transformering). I Del 7 visas hur kalkylprogram kan användas för att studera effekterna av en teoretisk och för eleverna tämligen komplex formel innan de hade tränats i att hantera formeln för hand. Huruvida detta är en transformering eller ej, beror å ena sidan på lärarens tidigare undervisning och å andra sidan på i hur stor utsträckning det digitala verktygets potential realiseras i undervisningen. Men utan tvekan kan verktyget ha en transformerande karaktär genom att möjliggöra att samband eller data som är för
komplicerade eller för omfattande för att eleverna manuellt ska kunna hantera dem, kan bli en del av skolans undervisning.
Ett ytterligare användningsområde för ramverket är för att förstå undervisningsexperiment som kanske inte gick som man tänkte sig. Om till exempel orkestreringen av lektionen med system för att samla in elevlösningar (Del 2) inte fungerade som det var tänkt är det möjligt att den effekt som det digitala verktyget skapade var mer transformerande än läraren förutspådde. Det som i förväg kan ha uppfattats som en marginell skillnad kanske under lektionen visade sig skapa en mycket stor förändring. Stora förändringar i en
undervisningsrutin bryter ofta invanda normer och resultatet blir inte alltid vad man tänkt sig. När lärare i efterhand analyserar en sådan lektion, kan det vara bra att inte i första hand fundera på vad som gick fel, utan snarare fundera på vad i lärarens didaktiska organisation och orkestrering som var annorlunda – transformerande – i relation till den reguljära undervisningen. Detta kan kasta intressant ljus både på de lektioner som vanligtvis genomförs och på den analyserade lektionen.
Vad har inte tagits upp i modulen?
Det finns många fler sätt att arbeta med digitala verktyg än de som har beskrivits i denna modul. Ett exempel är mobilt lärande, som möjliggör orkestrering av undervisning utanför det vanliga klassrummet. Mobila enheter och webbteknik kan stödja att utomhusaktiviteter följs upp och kopplas till planerade lärandemål i det ordinarie klassrumsarbetet, enligt strukturen för en komplett didaktisk situation. Vissa aktiviteter med mobila enheter kan genomföras utan internetuppkoppling, men att vara uppkopplad öppnar upp för aktiviteter där elever kan tillåtas att kommunicera och söka information via nätet om sådant de möter eller gör i utomhusmiljön.
Just kommunikationsmöjligheterna via nätuppkoppling ger mycket goda förutsättningar för alla att ha kontakt med likasinnade i olika sociala nätverk. Intressegrupper skapar
förutsättningar för interaktion och lärande. Sådan interaktion behöver inte vara begränsad till den egna skolan, staden eller ens det egna landet. Lärare behöver ta hänsyn till att elevers kunskaper inte enbart utgörs av sådant de har lärt sig i skolan. I de olika intressegrupperna samspelar noviser och experter så att elever kan komma i kontakt med helt andra (även matematiska) idéer än de som behandlas i undervisningen. En svår fråga är i vilken mån (om alls) lärare ska påverka hur elever söker information och kunskap via nätet. Det gäller dock att vara beredd att resonera med elever om den matematik de har mött på nätet, inte minst för att motivera dem att fortsätta söka kunskap både i och utanför skolan.
Ett ytterligare område som vi inte alls har berört är programmering. Det finns en egen modul för detta område på Lärportalen och heter ”Matematikundervisning med digitala verktyg II”.
I inledningen av modulen nämnde vi det så kallade utvidgade kollegiet och möjligheter att ta del av material som andra lärare har konstruerat. Men vi har endast skrapat på ytan av detta fenomen. Det finns i dag etablerade intressegrupper både om konkreta digitala
verktyg som exempelvis Geogebra, grupper som diskuterar digitala verktyg i matematikundervisningen i allmänhet, grupper som fokuserar på andra specifika läraruppgifter som till exempel bedömning och grupper som diskuterar
matematikundervisning i allmänhet. Även om samarbete med matematiklärare på den egna skolan naturligtvis är ovärderlig finns det många skäl att också utnyttja den resurs som det utvidgade kollegiet kan utgöra.
Sammanfattning
Även om de digitala verktygen skapar nya möjligheter för undervisning och lärande, så har texterna i denna modul tagit avstamp i generella matematikdidaktiska teorier. Texterna har diskuterat olika sätt att organisera och genomföra matematikundervisning med stöd av digitala verktyg, i enlighet med dessa teorier. Det har alltså inte handlat om att presentera nya teorier om undervisning och lärande för matematikundervisning med stöd av digitala verktyg, utan om bättre förutsättningar att arbeta i enlighet med teorier som har visat sig resultera i goda lärandeeffekter.
Det tar tid att lära sig använda digitala verktyg på ett effektivt sätt och det tar tid att lära sig att se vilka möjligheter verktygen erbjuder för att berika och förbättra
matematikundervisningen. Varje matematiklärare bör ta sig an denna utmaning – att utnyttja möjligheterna med digitala verktyg och att kombinera dem med traditionella verktyg – för att kunna erbjuda sina elever bästa möjliga förutsättningar för ett meningsfullt och allsidigt matematiskt lärande. Förhoppningsvis kan denna modul bidra till att stödja en sådan utveckling.
Referenser
Baumert, J., Kunter, M., Blum, W., Brunner, M., Voss, T., Jordan, A., Klusmann, U., Krauss, S., Neubrand, M. & Tsai, Y.-M. (2010). Teachers’ Mathematical Knowledge, Cognitive Activation in the Classroom, and Student Progress. American Educational Research Journal 47, 133–180.
Boesen, J., Helenius O., Bergqvist, E., Bergqvist, T., Lithner, J., Palm, T. & Palmberg, B.
(2014). Developing mathematical competence: From the intended to the enacted curriculum. The Journal of Mathematical Behavior, 33, 72–87.
Brousseau, G. (1997). Theory of Didactical Situations in Mathematics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
Eraut, M. (1994). Developing professional knowledge and competence. London: Falmer Press.
Guin, D. & Trouche, L. (1999). The complex process of converting tools into mathematical instruments: The case of calculators. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 3(3), 195–227.
Hughes, J., Thomas, R. & Scharber, C. (2006). Assessing technology integration: The RAT- Replacement, Amplification and Transformation – framework. I C. Crawford (Red.), Society
for Information Technology and Teacher Education International (s. 1616–1620). Chesapeake, VA:AACE,.
Shulman, L.S. (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational Researcher 15(2), 4 –14.
Thorvaldsen, S., Vavik, L., & Salomon, G. (2012). The Use of ICT Tools in Mathematics: A Case-control Study of Best Practice in 9th Grade Classrooms. Scandinavian Journal of
Educational Research, 56(2), 213–228.
Trouche, L. (2004). Managing the complexity of human/machine interactions in computerized learning environments: Guiding students’ command process through instrumental orchestrations.International Journal of Computers for Mathematical Learning, 9(3), 281–307.
Verillon, P. & Rabardel P. (1995): Cognition and artifacts: A contribution to the study of thought in relation to instrument activity. European Journal of Psychology in Education, 10(1), 77–101.
