Del A Begrepp och grundläggande förståelse.

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM

Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 12 hp, f¨or kandidatprogrammet,

˚ar 1

Fredagen den 9 maj 2008 kl 9-15.

S.H./K.H./K.J.-A./B.S.

Inf¨orda beteckningar b¨or f¨orklaras och uppst¨allda ekvationer motiveras. Resonemang, ekvationsl¨os- ningar och utr¨akningar f˚ar inte vara s˚a knapph¨andiga att de blir sv˚ara att f¨olja. Figurer skall ritas stora och tydliga med linjal. Var noga med vektorbeteckningar. P˚a varje problem skall anges ett tydligt understruket eller inramat svar. N¨ar s˚a ¨ar m¨ojligt skall svaret best˚a av siffror med r¨att enheter. Antalet v¨ardesiffror skall st˚a i rimlig proportion till i texten angivna v¨ardesiffror.

F¨or godk¨anda betyg (A-E) kr¨avs minst 5 po¨ang p˚a del A. F¨or betyg E kr¨avs minst 15 po¨ang sammanlagt.

Hj¨alpmedel : PHYSICS HANDBOOK, R¨AKNEDOSA, TEFYMA

Del A Begrepp och grundl¨aggande f¨orst˚aelse.

1. CDF kollaborationen vid Tevatron-acceleratorn vid Fermilab, USA, presenterade nu i mars ett antal sinsemellan oberoende m¨atningar av massan hos den tyngsta k¨anda ele- mentarpartikeln - topp-kvarken. N˚agra av deras resultat redovisas i tabellen nedan.

Typ av m¨atning Massa (GeV/c² ) σMassa (GeV/c²)

Period 1: hadroniska s¨onderfall 186,0 10,0

Period 1: 2-lepton s¨onderfall 167,4 10,3

Period 1: lepton och jet s¨onderfall 176,1 5,1

Period 2: hadroniska s¨onderfall 177,0 3,3

Period 2: 2-lepton s¨onderfall 171,2 2,7

Period 2: lepton och jet s¨onderfall 172,7 1,2

Anv¨and dessa data f¨or att ber¨akna den b¨asta m¨ojliga uppskattningen av topp-kvarkens massa, ange ¨aven os¨akerheten i den uppskattningen. (2p) F¨orslag till l¨osning: Ber¨akna det viktade medelv¨ardet:

Typ av m¨atning Massa σ_Massa vikt vikt · massa

Period 1: hadroniska s¨onderfall 186,0 10,0 0,01 1,860 Period 1: 2-lepton s¨onderfall 167,4 10,3 0,0094 1,574 Period 1: lepton och jet s¨onderfall 176,1 5,1 0,0384 6,762 Period 2: hadroniska s¨onderfall 177,0 3,3 0,0918 16,249 Period 2: 2-lepton s¨onderfall 171,2 2,7 0,1372 23,489 Period 2: lepton och jet s¨onderfall 172,7 1,2 0,6944 119,923

Summa 0,9812 169,857

Vi f˚ar d˚a: ¯m = ^169,857_,9812 = 171, 3, med en os¨akerhet som ges av σ_M = √¹

,9812 = 1, 01. Den b¨asta uppskattningen av massan blir d˚a: Mtop = 171 ± 1 GeV/c².

2. Vid en m¨atning av radonhalten i en fastighet m¨attes antalet registrerade s¨onderfall per tio-sekundersperiod. Efter att ha m¨att under sammanlagt 15 s˚adana perioder hade man sammanlagt registrerat 24 s¨onderfall. Uppskatta sannolikheten att man vid en sextonde m¨atning skulle m¨ata exakt 3 s¨onderfall. Du kan anta att antalet registrerade s¨onderfall

under en tio-sekundersperiod ¨ar Poissonf¨ordelat. (2p)

F¨orslag till l¨osning: Medelv¨ardet f¨or hur m˚anga s¨onderfall som registreras under en tiosekundersperiod ges av 24/15 = 1,6. Sannolikeheten att erh¨alla tre s¨onderfall ges d˚a av P(3;1,6) = ^e−1.6_3!^·1.63 = 0, 138. Sannolikheten ¨ar allts˚a 14%.

3. Tyngdaccelerationen g kan best¨ammas genom att m¨ata hur l˚ang tid, T, det tar f¨or en kropp att falla str¨ackan L. Tyngdaccelerationen ges d˚a av

g = 2L T²

Vid ett f¨ors¨ok l¨at man en kula falla en str¨acka som m¨attes till 12, 2 ± 0, 2 m, falltiden m¨attes d˚a till 1,6 ± 0,1 s. Ber¨akna ett v¨arde, med os¨akerhet, p˚a tyngdaccelerationen.

(2p)

F¨orslag till l¨osning: V¨ardet p˚a g f˚as genom ins¨attning: g = ²_1,6^·12,22 = 9.5(3) ms⁻². Os¨akerheten f˚as genom felfortplantning: σ_g = ^!"_dT^dg#2σ²_T +^"_dL^dg#2σ²_L, d¨ar _dT^dg = ^−4L_T3

och _dL^dg = _T²2, vi har allts˚a: σg =^!"−4·12,2_1,63

#2

· 0, 1²+^"_1,6²2

#2

· 0, 2² = 1,2 ms⁻².

4. Skrivhastigheten hos personer som dagligen skriver text p˚a tangentbord f¨oljer en normal- f¨ordelning centrerad kring 60 ord per minut, med en standardavvikelse om 15 ord per minut. Hur stor ¨ar sannolikheten att skrivhastigheten f¨or en slumpvis vald person ur denna grupp ligger mellan 45 och 90 ord per minut?

Antag att man vill erbjuda speciell tr¨aning f¨or de personer som tillh¨or de mest l˚angsamma 20%, vid vilken hastighet g˚ar gr¨ansen f¨or vilka som skall erbjudas denna tr¨aning? (2p) F¨orslag till l¨osning: Intervallet 45 till 90 ord per minut svarar mot intervallet µ−1σ <

x < µ + 2σ. Enlig tabell B ¨ar sannolikhetsinneh˚allet f¨or intervallet µ − 1σ < x < µ

= 34,13% och f¨or intervallet µ < x < µ + 2σ = 47,72%. Sammantaget blir allts˚a sannolikheten att hitta en person med skrivhastighet i intervallet 45-90 ord per minut 81,85%. Fortfarande enligt tabell B s˚a svarar svansen som har 20% sannolikhetsinneh˚all mot intervallet µ − tσ < x < µ med t = 0,842 (man f˚ar sl˚a upp komplementet med 30%

sannolikhetsinneh˚all). Gr¨ansen f˚as allts˚a ur 60 - 15*0,842 = 47,4 ord per minut eller mindre

5. I en artikel publicerad i Inernational Review for Sociology of Sport (1992)77-88 un- ders¨oktes hur f¨odelsedatum f¨or de spelare som deltog i VM-slutspelet i manlig fotboll 1990 f¨ordelades. De redovisade f¨oljande tabell:

F¨odelsem˚anad Antal Augusti-Oktober 150 November-Januari 138 Februari-April 140

Maj-Juli 100

Kan man i data finna st¨od f¨or p˚ast˚aendet att f¨odelsetiden kan p˚averka chanserna att lyckas som fotbollsspelare?

(2p) F¨orslag till l¨osning: Vi testar om data ¨ar f¨orenliga med att alla ˚arets dagar ¨ar lika sannolika som f¨odelsedagar f¨or fotbollsspelarna. Sammanlagt har vi f¨odelsedata f¨or 528 spelare. Tar vi h¨ansyn till att kvartalet Februari-April har 89 dagar och de ¨ovriga 92 (vi kan ocks˚a bortse fr˚an detta och f¨orv¨anta oss 132 spelare i varje kvartal, r¨akningarna blir i ¨ovrig identiska) s˚a f˚ar vi f¨oljande tabell:

F¨odelsem˚anad Observerat F¨orv¨antat (O-F)² / F

Augusti-Oktober 150 133,1 2,15

November-Januari 138 133,1 0,18

Februari-April 140 128,7 0,99

Maj-Juli 100 133,1 8,23

Summa 11,55

Chikvadratsumman blir allts˚a 11,55. Vi har tre frihetsgrader, eftersom vi har best¨amt F¨orv¨antat fr˚an det totala antalet fotbollspelare som ju ¨ar input fr˚an data. Reducerad chi-kvadrat blir 3,85 f¨or 3 frihetsgrader. Tabell D ger oss d˚a en sannolikhet att erh˚alla s˚a h¨og reducerad chi-kvadrat om ca 0,9 %. Det ¨ar allts˚a inte speciellt troligt att f¨odelsetid p˚a ˚aret inte p˚averkar m¨ojligheten att bli fotbollsspelare p˚a elit-niv˚a.

Del B: F¨ordjupande uppgifter.

6. I tabellen nedan ges det kvinnliga rekordet i l¨opning f¨or distanserna mellan 400 och 10 000 meter. Antag att det r˚ader ett linj¨art samband mellan str¨ackan och v¨arldsrekordet och uppskatta utifr˚an detta vilken tid Junxia Wang fr˚an Kina hade n¨ar hon satte v¨arldsrekordet 1993. Uppskatta ¨aven os¨akerheten i f¨oruts¨agelsen (du kan bortse fr˚an korrelationen mellan os¨akerheten i de b¨agge anpassade parametrarna).

Distans (m) V¨arldsrekord (s) Innehavare Satt ˚ar

400 47,6 Marita Koch 1985

800 113,28 Jarmila Kratochv´ılov´a 1983

1000 149,38 Svetlana Masterkova 1996

1500 230,46 Yunxia Qu 1993

1609 252,56 Svetlana Masterkova 1996

2000 325,36 Sonia O’Sullivan 1994

3000 486,11 Junxia Wang 1993

5000 857,03 Meseret Defar 2007

10000 Junxia Wang 1993

Ledning: Eftersom alla tidsm¨atningar kan anses ha samma os¨akerhet kan alla rekord

ges samma vikt vid anpassningen. (5p)

F¨orslag till l¨osning: Vi g¨or en anpassning till en r¨at linje. Eftersom alla m¨atningar har samma os¨akerhet s˚a kan vi v¨alja en l¨amplig gemensam vikt. Det enklaste ¨ar att v¨alja vikten 1 f¨or alla m¨atningar, vi f˚ar d˚a tillbaks formeln f¨or en oviktad anpassning (^$_i1 = N).

Vi har d˚a f¨or y = A + Bx:

A = ^{(Σx2i)(Σyi)−(Σx}_∆ ^i)(Σxiyi) B = ^{N (Σxiyi)−(Σx}_∆ ^i)(Σyi) och ∆ = N(Σxi)²− (Σxi)² vi har

x y x² xy

400 47,6 160 000 19 040

800 113,28 640 000 90 624 1000 149,38 1 000 000 149 380 1500 230,46 2 250 000 345 690 1609 252,56 2 588 881 406 369 2000 325,36 4 000 000 650 720 3000 486,11 9 000 000 1 458 330 5000 857,03 25 000 000 4 285 150 15 309 2 461,78 44 638 881 7 405 303 Vilket ger

∆ =8 · 44638881 − 15309² = 122745567, A = ^44638881·246,78−15309·7405303

122745567 = −28.3 och

B = ⁸·7405303−15309·2461,78

122745567 = 0, 1756.

Vi kan nu f¨oruts¨aga v¨arldsrekordet p˚a 10 000 m: y(10000) = A + B · 10000 = −28, 3 + 0, 1756 ∗ 10000 = 1727, 7 sekunder.

Os¨akerheterna i parametrarna ges av σ_A=^%Σx_∆² =^%_122745567^44638881 = 0, 6 och σ_B =^%N_∆ =

% 8

122745567 = 0.00026. ¹

Os¨akerheten i v˚ar uppskattning av v¨arldsrekordet p˚a 10 000 meter ges d˚a av σ₁₀₀₀₀ =

!"

dy dA

#2

σ²_A+^"_dB^dy#2σ_B² =^%σ_A² + y²· σ_B² =^&0, 6²+ 10⁸· 2.6²∗ 10⁻⁸= 2, 6

V˚ar f¨oruts¨agelse blir allts˚a 1727,7± 2,6 sekunder. Detta kan vi j¨amf¨ora med Junxias Wangs rekord satt 1993 som lyder p˚a 29 min 31,8 sekunder, dvs 1771,8 sekunder. Vi ser att v˚ar f¨oruts¨agelse inte faller inom felmarginalen, vilket kanske inte ¨ar s˚a konstigt eftersom antagandet om ett linj¨art samband mellan tid och distans f¨oruts¨atter att man orkar springa i samma hastighet oberoende av hur l˚ang distansen ¨ar. Sett mot detta kan man tycka att v˚ar f¨oruts¨agelse ¨ar ov¨antad bra.

7. En variabel kan antas vara normalf¨ordelad med medelv¨arde ¯x och standardavvikelse σ.

Visa att medelv¨ardets standardavvikelse ges av σx¯ = ^√σ

N, d¨ar N ¨ar det antal v¨arden som

anv¨ands f¨or att ber¨akna medelv¨ardet. (5p)

F¨orslag till l¨osning: Vi har ¯x = _N^{1 $}_ix_i. Felfortplantningsformeln ger d˚a: σ_x¯ =

!$

i

"

d¯x dxi

#2

· σ². Eftersom _dx^d¯x

i = _N¹ f˚ar vi σ_¯x=^%_N¹2

$

i·σ² =^%σ_N² = √^σ

N v.s.v.

8. Flykthastigheten f¨or en raket fr˚an en himlakropps yta (den hastighet man beh¨over uppn˚a, vid ytan, f¨or att kunna l¨amna himlakroppen) beror (om vi bortser fr˚an p˚averkan p˚a him- lakroppen fr˚an raketen) av en dimensionsl¨os konstant, Newtons gravitationskonstant, himlakroppens radie och dess massa. H¨arled genom dimensionsanalys ett uttryck f¨or detta beroende. Anv¨and sedan data i tabellen f¨or att gissa v¨ardet p˚a den dimensionsl¨osa konstanten.

Himlakropp flykthastighet (m/s) radie (m) massa (kg) Merkurius 4 250 2, 48 · 10⁶ 3, 30 · 10²³ Venus 10 400 6, 10 · 10⁶ 4, 87 · 10²⁴ Jorden 11 200 6, 38 · 10⁶ 5, 98 · 10²⁴ Mars 5 000 3, 40 · 10⁶ 6, 50 · 10²³ Jupiter 59 500 7, 14 · 10⁷ 1, 90 · 10²⁷

Gravitationskonstantens numeriska v¨arde i SI-enheter ¨ar 6, 673 · 10⁻¹¹, dimensionen kan

du h¨arleda ur gravitationslagen. (5p)

F¨orslag till l¨osning: Ur gravitationslagen F = G^m_r¹2^·m2

12 f˚ar vi att dimensionen f¨or G

¨ar m³kg⁻¹s⁻².

Ur vf lykt= K · G^αr^βm^γ f˚ar vi d˚a (1) m: 1 = 3α + β

1H¨ar d¨oljer sig en oavsiktlig subtilitet: Om vi antar att alla m¨atningar har samma os¨akerhet s˚a s˚a kommer inte v¨ardet p˚a parametrarna A och B att bero av exakt vilken vikt vi antar. Felen d¨aremot kommer att bli proportionella mot det fel vi antar n¨ar vi ber¨aknar den gemensamma vikten, proportionalitetsfaktorn ges av uttrycken f¨or σAoch σB ovan. N¨ar jag r¨attat denna uppgift har jag inte beg¨art att ni skall ta h¨ansyn till det, eftersom vi inte har diskuterat det under kursen.

(2) kg: 0 = −α + γ (3) s: −1 = −2α

(3) ⇒ α = ¹₂ vilket insatt i (2) ger γ = ¹₂ och insatt i (1) ger β = −¹₂, allts˚a ¨ar v_{f lykt}= K^%Gm_r

F¨or att gissa v¨ardet p˚a K l¨oser vi ut den: K = vf lykt

% _r

GM ur de givna v¨ardena:

Himlakropp flykthastighet (m/s) radie (m) massa (kg) v_{f lykt}^%_GM^r Merkurius 4 250 2, 48 · 10⁶ 3, 30 · 10²³ 1,426

Venus 10 400 6, 10 · 10⁶ 4, 87 · 10²⁴ 1.425 Jorden 11 200 6, 38 · 10⁶ 5, 98 · 10²⁴ 1.416 Mars 5 000 3, 40 · 10⁶ 6, 50 · 10²³ 1,399 Jupiter 59 500 7, 14 · 10⁷ 1, 90 · 10²⁷ 1.412 Alla dessa v¨arden ligger n¨ara√

2 s˚a en gissning ¨ar att formeln lyder: vf lykt=^%2Gm_r . 9. En variabel ν ¨ar Poissonf¨ordelad med medelv¨arde µ. Visa att medelv¨ardet av (ν − 2)²

ges av µ²− 3µ + 4 (5p)

F¨orslag till l¨osning: Medelv¨ardet av en funktion f(ν) av en diskret variabel med sannolikhetsf¨ordelningsfunktion P(ν) f˚ar vi genom uttrycket ¯f = ^$∞₀ f (ν)P (ν). Vi f˚ar (ν − 2)² =^$∞₀ (ν²−4ν+4)P (ν) =^$∞0 ν²P (ν)+^$∞₀ (−4)νP (ν)+^$∞0 4P (ν) =^$∞₀ ν(ν− 1)P (ν) +^$∞₀ νP (ν)− 4^$∞0 νP (ν) + 4^$∞₀ P (ν) = (som i beviset f¨or att σν = √µ ) = µ²+ µ − 4µ + 4 = µ²− 3µ + 4 v.s.v.