Rörelsemängd och energi

Rörelsemängd och energi

Naturlagarna skall gälla i alla ”interial”system.

Bl.a. gäller att: Energi och rörelsemängd bevaras i all växelverkan

Relativistisk rörelsemängd: ^{p = 1 −m}

(

)

Med |u| = βc fås p = mβγc

Om vi utnyttjar att Newtons andra lag kan skrivas fås relativistiskt:

dt d p F =

( u)

F p m

dtd dt

d _{= γ}

= Ur vilket vi kan beräkna accelerationen då F || u:

( ) ( ) ( ( ) )

(

)

dt c du c u

u u c

u c m

u mu dtd

F ^{2 2 3/2} ₂ ^{2 2 2 2 3/2}

2

2 1 1

2 1 2

1

−

− ⎥ = −

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟+ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

− −

−

− =

=

(

)

m F dt

a ⁼ du ^{= −} Extremfall: u = 0 ger a =F/m (Newton), u =c ger a = 0.

Föreläsning 3:

Relativistisk energi

Om vi betraktar tillskott till kinetisk energi som utfört arbete för att accelerera från 0 till u kan vi integrera F dx, dvs från x₁ där u = 0 till x₂ där u = u, mha substitution dx = u dt

och att (du/dt ) u dt = u du

dt dx dp

( )

[ ] ⁽

⁾

2

0 1 2 2 3/2 1 mc

c u mc c

u m udu

E_kin ^{u −}

= −

−

=

∫

(

)

Einstein: viloenergi E ⁼ mc2

2

2 E mc

mc

E ^{= γ =} _kin ⁺

Total relativistisk energi:

Mha p = mβγc och lite räkning 4

2 2

2

2 p c m c

E ^{= +}

För foton med massan 0:

E = pc

Relativistisk energi (forts)

Invarianta massan M ändras inte under

Lorentz-transformationen (karakteriserar en partikel i form av vilomassa)

2

2 2 2

c

c M ⁼ E ^{− p}

I bevarad energi ingår summan av kinetisk energi och massenergi.

Exempel: π⁺ (partikel som består av upp-kvark och anti-ner-kvark) i vila sönderfaller:

π⁺ → μ⁺ + ν_μ I labbet har μ⁺ kinetiska energi mätts till 4,3 MeV, dess vilomassa är 105,66 MeV/c². Neutrinon kan betraktas som masslös.

μ⁺: rörelsemängd ges urp²c²= E² – m²c⁴ där E =E_kin + mc² = 4,3 + 105,66 MeV = 109,96 MeV ger p ≈ 30,37 MeV/c.

ν_μ: massan = 0. Rörelsemängden bevaras och då π⁺ var i vila, dvs p=0 måste neutrinen ha p ≈ 30,37 MeV/c motsatt riktat μ⁺ rörelsemängd. ⇒ E_ν=pc = 30,37 MeV.

Invarianta massan: M = 1/c² ((∑E)² –(∑pc)²)^½= 1/c² ((109,96+30,37)² – 0)^½ ≈ 140 MeV/c²

( ur tabell: 139,6 MeV/c²)

Rumstiden

Inför fyrdimensionell rumstid: (x, y, z, ct ) (Minkowski rummet)

Betrakta två händelser E₁ och E₂ med

koordinater (x₁,t₁) och (x₂,t₂) enligt figur.

Inför begreppet rumstidsintervall som (∆s)²= (c∆t )² - (∆x)²= (c(t₂-t₁))² – (x₂-x₁)² Pss har vi i S´ systemet:

(∆s´ )²= (c∆t´ )² - (∆x´ )²= (c(t´₂-t´₁))² – (x´₂-x´₁)² men x´=γ( x –vt ) och t´= γ(t - vx/c₂)

Efter insättning och omstuvning fås (∆s´ )²= (c∆t´ )² - (∆x´ )²= (∆s)²

∆s är invariant under Lorentz-transformationen

För att en händelse skall kunna orsaka en annan måste:

(∆s)² > 0 (“timelike”)

Med (∆s)² = 0 gäller att c∆t = |∆x| (“lightlike”)

Rumstiden (forts)

För att en händelse skall kunna orsaka en annan måste:

(∆s)² > 0 (“timelike”)

Med (∆s)² = 0 gäller att c∆t = |∆x| (“lightlike”)

För den intresserade (överkurs):

Mha fyrvektorer kan nu Lorentztransformastionen skrivas på matrisform:

För rörelsemängd och energi fås:

Allmänna relativitetsteorin

Gravitation (från Newtonsk mekanik): ₂´ r

m G m

F_g ^{= g g} massa attraherande egenskap i gravitation Samtidigt har vi massa som tröghetsegenskap mot förändring av hastighet:

G är vald så att m_g och m_iär lika.

∑

Einstein (1916) i allmänna relativitetsteorin.

• Samma naturlagar gäller för alla observatörer i vilket referenssystem som helst vare sig det är accelererande eller ej.

• I närheten av varje punkt är gravitationsfältet ekvivalent med ett accelererande referenssystem utan gravitationsfält.

Gravitationen ⇒ krökning av rumstiden.

(a) och (d), gravitation

(b) och (c), kraft, ingen gravitation

(a) = (b) (c) = (d)

Ur E =mc² och E = hf får vi att ljus har en effektiv tröghetsmassa m_eff =hf/c² (även om fotonen är masslös, dvs vilomassa=0)

Gravitationens påverkan på ljus

Ljus bör därför böjas av kring mobjekt med hög massa, t.ex. solen.

Detta har observerats!

Även gravitationella linser i form av utslocknade stjärnor i halon kring galaxer har observerats (MACHO = MAssive Compact Halo Object)

(men inte i den omfattning att mängden av massa i halon kan förklaras.

Kanske är WIMP =Weakly Interacting Massive Particle Förklaringen. Se sista föreläsningen)

Gravitationens påverkan på ljus (forts)

Studera ljus från massiv stjärna. Vid ytan är ljusets frekvens f. Vad är frekvensen f ´ på mycket stort avstånd?

Använd energibetraktelse. Potentiella energin pga gravitationen på stjärnans yta vid radie R_s (om =0 vid ∞) = -GMm/R_s men m

=hf /c².

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

−0 ₂

´ c

hf R

hf GM

hf s ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

= 1 ₂

´ R c

f GM

f s

⇒

Exempel:

Stjärna med solens massa = 1,99·10³⁰kg och jordens radie = 6,37·10⁶ m

( )( )

(

)(

)

2

10 31 , s 2

/ 10 00 , 3 m 10 6,37

kg 10 99 ,1 kg / Nm 10

67 , 6

∆

´

− −

⋅

−

⋅ ≈

⋅

⋅

⋅

− ⋅

=

=

−

=

− =

c R ff GM ff

f

s

Gör t.ex. att ljus med våglängd 300 nm skiftas till till 300,07 nm.

Gravitationellt rödskift

Om GM /R_sc² > 1: Inget ljus kan slippa ut.

Svart hål⇓

Gravitationsvågor

Allmänna relativitetsteorin tillåter en vågliknande till gravitationsfältet på motsvarande sätt som

elektromagnetismen.

Partikelekvivalent: gravitonen, masslös

Problem: mycket svagare än elektromagnetisk växelverkan. Extremt svår att detektera. Indirekt bevis från pulsarer. ”Katastrofisk händelse” t.ex.

supernova skulle kunna ge detekterbar signal på jorden.

Princip för detektion: stång expanderas i viss riktning och komprimeras i vinkelräta riktningen pga

gravitationsvåg. Mätes med interferometer. VIRGO utanför Pisa

Virgo