0
Det matematikdidaktiska skiftet
i svenska läroböcker
En studie av matematikböcker i gymnasiets årskurs 1 under två
läroplaner
Martin Wisell
Institutionen för matematikämnets och naturvetenskapsämnenas didaktik Självständigt arbete på avancerad nivå, UM9100, 15 hp
Matematikämnets didaktik
Kompletterande pedagogisk utbildning för forskarutbildade (KPUFU), 90 hp
Höstterminen 2020 Handledare: Paola Valero Examinator: Per Sund
Det matematikdidaktiska skiftet
i svenska läroböcker
En studie av matematikböcker i gymnasiets årskurs 1 under två läroplaner
Martin Wisell
Sammanfattning
Studiens syfte var att undersöka eventuella förändringar i svenska läroböcker i matematik till följd av det matematikdidaktiska skiftet. Det matematikdidaktiska skiftet förstås här som en bred internationell trend inom matematikdidaktiken, manifesterad bland annat genom Standards 2000 från NCTM och KOM-projektet i Danmark. Centralt i det matematikdidaktiska skiftet är övertygelsen att
matematikundervisning inte enbart kan beskrivas genom sitt matematiska innehåll utan att fokus också måste riktas mot vad man ofta kallar matematikens processer. Sex läroböcker, publicerade 1994-2011 och avsedda för årskurs 1 i gymnasiet, valdes ut för studien. I varje bok analyserades kapitlet om funktionslära. Övningsuppgifterna klassificerades utifrån ett antal kategorier som beskriver olika aspekter av det matematikdidaktiska skiftet, exempelvis modellering och hypotesprövning. Uppgifter som i böckerna markerats som särskilt svåra analyserades vidare och klassificerades antingen som en uppgift som innebar problemlösning eller inte innebar problemlösning. Böckernas förord och
textavsnitten i det undersökta bokkapitlet analyserades i ljuset av det matematikdidaktiska skiftet. Studiens resultat indikerar att det skett en ökning av andelen övningsuppgifter där eleven ombeds samarbeta med andra elever. Det verkar också ha skett en ökning av uppgifter där eleven ombeds undersöka en föreslagen hypotes, synbarligen på bekostnad av enkla frågor som främst prövar begreppsförståelse. En del nya typer av uppgifter förekommer i de nyare böckerna vilket innebär att eleverna inbjuds att delta i en bredare repertoar av aktiviteter. Andelen uppgifter som kan klassas som problemlösning är större i de nyare böckerna. Sammantaget tyder resultaten på att det
matematikdidaktiska skiftet haft en viss påverkan på de svenska läroböckerna i matematik. Det är troligt att läroboksförfattarna påverkats av de svenska läro-, ämnes- och kursplanerna, samtidigt antyder resultatet att en mer direkt påverkan även kan ha skett från den internationella
matematikdidaktiska diskursen.
Nyckelord
Innehållsförteckning
Inledning ... 1
Bakgrund ... 1
Internationella trender inom matematikundervisningen ... 1
Matematiken i den svenska gymnasieskolans styrdokument... 6
Den påbjudna läroplanen ... 7
Vad har hänt i klassrummen? ... 8
Läromedlens stora betydelse i Sverige ... 9
Syfte och frågeställning ... 9
Metod ... 10
Urval av läroböcker ...10
Innehållsanalys av övningsuppgifterna ...11
Problemlösning...19
Kvalitativ analys ...20
Närmare om studiet av varje bok ...20
1
Inledning
Matematikundervisningen i skolan har länge diskuterats bland forskare, lärare, läroboksförfattare samt beslutsfattare av olika slag. Det matematiska innehållet har i allmänhet varit ganska stabilt medan synen skiftat på hur detta innehåll ska läras ut. Frågan om hur matematiken lärs ut handlar dels om vilken typ av kunskaper i det utlärda innehållet som ska prioriteras, dels om hur dessa kunskapsmål uppnås på bästa sätt.
I denna studie undersöks i vilken utsträckning “det matematikdidaktiska skiftet” har påverkat svenska läroböcker för gymnasiet. Det matematikdidaktiska skiftet syftar här på internationella trender inom matematikdidaktiken, som tog fart under 1970- och 80-talen inom forskningslitteraturen för att få fullt genomslag i matematikundervisningens styrdokument på 2000-talet. Centralt i detta skifte är ett ökat fokus på matematiska processer och elevers matematiska uttrycksförmåga.
Har det matematikdidaktiska skiftet också inneburit en förändrad vardag i klassrummen? Att så har skett kan inte tas för givet; det finns skäl att anta både att genomslaget skulle vara påtagligt men också att anta motsatsen. Eftersom läroböckerna har en mycket starkt ställning i matematikundervisningen i Sverige kan en studie av läroböcker ge en bra bild av hur undervisningen ser ut i klassrummen.
Bakgrund
Internationella trender inom
matematikundervisningen
Vid slutet av 1800-talet hade läroböckerna i matematik antagit en form som till stor del bestod under 1900-talet (Lundin, 2008, s. 206). Böckerna utgjordes av många övningsuppgifter som eleverna skulle räkna på egen hand under tystnad. Det ursprungliga syftet med utformningen var just att eleverna skulle kunna använda böckerna på egen hand, vilket snart kom att ersättas av syftet att öva elevernas räknefärdigheter (Lundin, 2008, s. 351).
I början av 1900-talet fick Edward Thorndikes idéer stort inflytande i USA. Detta innebar att ett stort antal tester av olika slag kom att användas i skolorna i USA från 1920-talet och flera decennier framåt (Lundgren m.fl., 2017, s. 528). Undervisningen fick därigenom ett starkt fokus på färdighetsträning och mätning av elevernas prestationer (Lundin, 2008, s. 367). Utvecklingen i Sverige under perioden 1930-1960 liknade den som skett i USA under 1900-talets första decennier (Lundgren m.fl., 2017, s. 529). Från och med läsåret 43/44 infördes standardprov i Sverige efter influenser från Thorndike och USA (Lundgren m.fl., 2017, s. 534).
2
skolenheter och skev resursfördelning (Lundgren m.fl., 2017) vilket kan ha bidragit till att mängdläran närmast kom att bli en symbol för ”flumskolan”. Redan 1973 började ”nya matematiken” hamna i skymundan (Prytz, 2017). Även i USA ebbade ”New math” ut under 70-talet och följdes av en trend av att ta skolmatematiken ”back to basics” (Kilpatrick, 2013, s. 331).
Kritik mot traditionell matematikundervisning
Den ”Nya matematiken” innebar inte ett slut på försöken att reformera matematikundervisningen. Strävanden bort ifrån vad som uppfattats som ett allt för stort fokus på matematiska faktakunskaper och räknefärdigheter har gett upphov till olika försök att reformera skolmatematiken.
En av de mest kända matematikdidaktikerna, Hans Freudenthal, beskriver i sin bok Mathematics as an Educational Task hur han anser att matematikundervisningen i skolan bör, och inte bör, bedrivas. Freudenthal (1973, s. 110) hänvisar bl a till Comenius, som menade att det bästa sättet att lära en student hur en klocka fungerar är att plocka isär den och sätta ihop den igen. Freudenthal är kritisk till hur begreppet ”tillämpad” används inom matematikundervisningen. Han avfärdar uppfattningen att matematik tillämpas genom att ersätta variabler i ett teorem med numeriska värden. I stället skriver han att matematik “is applied by creating it anew each time” (Freudenthal, 1973, s. 118). Freudenthal menade att eleverna skulle delta i att skapa begrepp och uttrycksformer snarare än att lära sig dessa som färdiga produkter.
Richard Skemp pekade på förståelsens stora betydelse inom matematiken. Han menade att ”förståelse” egentligen är ett ord som betyder två olika saker: ”relationell förståelse” och ”instrumentell
förståelse”. Relationell förståelse är att förstå både vad man ska göra och varför. En elev kan utöva instrumentell förståelse genom att t.ex. ”låna” vid subtraktion utan att ha förståelsen för varför algoritmen fungerar. Skemp vände sig emot inriktningen på instrumentella förklaringar som då ofta fanns inom matematiken, t.ex. att algoritmer för beräkningar beskrevs utan att det samtidigt
förklarades varför de fungerade (Skemp, 1976).
Van Hieles bok Structure and Insight från 1986 (refererad av Pace, 1991) bör också nämnas. Van Hiele kritiserade att undervisningen i geometri ofta utgick från Euklides. Han menade i stället att det var viktigt för eleven att utforska geometriska objekt för att själv förstå behovet av olika geometriska begrepp. Van Hiele betonade vikten av utforskande; elever behöver utforska ett område eller fenomen innan de kan beskriva det och tänka kring det i abstrakta termer
Ny forskning gav stöd åt matematikdidaktiska reformer
Efterhand började också forskningsresultat presenteras som ansågs stödja en reformerad inriktning av matematikundervisningen. Några av de mest betydelsefulla resultaten ska här nämnas.
Utifrån studier av Carpenter m.fl. (1982) och nationella utvärderingar i USA (Montgomery m.fl., 1983) drog James Hiebert (1984) slutsatsen att många barn började skolan med hyfsad
problemlösningsförmåga men att de efterhand övergav sin analytiska problemlösningsstrategi till förmån för inlärda algoritmer. Hiebert menade att det ofta saknas samband mellan barnens matematiska begrepp och färdigheter och de formella symboler och regler som finns i skolans matematik. Han ansåg att barnen behöver mer undervisning som kopplar verbala
3
ökat fokus på att eleverna ska lära sig bedöma rimligheten i olika svar på matematiska frågeställningar.
Under perioden 1987-1990 publicerades flera studier (Resnick & Osmanson, Wearne & Hiebert, Mack, refererade i Hiebert, 1999) som ansågs stödja uppfattningen att överträning av en procedur innan eleven förstått den försvårade för eleven att senare förstå proceduren. Detta synes tala för en undervisning där eleverna redan från början ska förstå de procedurer som de ska använda.
Forskningen riktade stort intresse mot problemlösning. I slutet av 80-talet genomförde Cobb m.fl. ett projekt med tio deltagande skolklasser i årskurs 2 som under ett års tid undervisades i matematik enligt socialkonstruktivistiska teorier där lektionerna utgjordes av problemlösning i smågrupper och
diskussioner i helklass (Cobb, m.fl. 1991). Barnen skulle också lyssna på och försöka förstå andra barns resonemang. Om olika svarsalternativ fördes fram skulle barnen försöka resonera sig fram till enighet. Därefter jämfördes elevernas kunskaper med elever som inte deltagit i projektet. Resultatet visade att projektdeltagarna hade större begreppsförståelse, trodde mer på samarbete och var mindre angelägna om att använda samma lösningsmetoder som andra personer .
James Stigler och James Hiebert jämförde videofilmade matematiklektioner i USA, Tyskland och Japan. Deras slutsats blev att USA, där eleverna klarar minst inom matematiken, ska försöka efterlikna Japan, där eleverna lär sig mest (Stigler & Hiebert, 2000). De japanska lektionerna befanns vara mer inriktade på förståelse och de amerikanska på mekaniskt räknande.
Av avgörande betydelse för de nya didaktiska idéernas genomslag på policynivå har varit de standarder som publicerats av den amerikanska matematiklärarföreningen NCTM samt det danska KOM-projektet. Dessa beskrivs närmare i det följande.
Standarder för skolmatematiken i USA
I USA finns ingen federal läroplan. I stället har de riktlinjer (”standards”) som utarbetas av
matematiklärarföreningen National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) fått stor betydelse som styrdokument på nationell nivå för matematikundervisningen. Standards-dokumenten riktar sig till all matematikundervisning i årskurs ”K-12”, det vill säga från förskola till och med årskurs 12. Den första Standards publicerades 1989 och har titeln Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics (framöver betecknad Standards 1989).
Standards 1989 talar om att eleverna ska utveckla ”förmågor” (“abilities”) inom matematik. Man konstaterar att alla industrialiserade länder genomgått ett skifte från industri- till informationssamhälle och att detta förändrat vilka aspekter av matematiken som behöver förmedlas till studenterna samt de begrepp och procedurer som de behöver behärska för att vara ”self-fulfilled” och produktiva
medborgare (NCTM, 1989, s. 3). I förordet hänvisas till den industrielle matematikern Henry Pollak, som vid en konferens i Minneapolis 1987 i sju punkter sammanfattade de förväntningar som
arbetsgivarna hade på nyanställdas matematikkunskaper. Dessa innefattade bland annat att kunna samarbeta med andra för att lösa ett problem och att hantera öppna problemställningar (Pollak refererad i NCTM, 1989). Standards-författarna framhåller den tydliga skillnaden mellan vad som krävs för att möta dessa förväntningar och det som eleverna lär sig när de arbetar enskilt för att lösa övningsuppgifter. Författarnas huvudslutsats blir att problemlösning måste vara centralt i skolan. Man påtalar också vikten av livslångt lärande, möjligheter för alla samt matematikens roll för att skapa en välinformerad väljarkår (NCTM, 1989, s. 3). Fem mål fastslogs för elevernas lärande (NCTM, 1989, s. 5-6):
4 2. trygghet i den egna matematiska förmågan 3. att bli en matematisk problemlösare, 4. att kommunicera matematik, 5. att resonera matematiskt
Undervisningen bör, enligt dokumentets författare, fokusera på ”göra” (”doing”) snarare än ”veta att” (”knowing that”) (NCTM, 1989, s. 7). Att ”göra matematik” beskrivs som ”insamlande, upptäckande och skapande av kunskap” och särskiljs från ”att behärska begrepp och procedurer” (NCTM, 1989, s. 7). Det konstateras vidare att detta ”göra matematik” har förändrats under 1980-talet på grund av datoriseringen. Matematiska metoder har kommit att genomsyra allt fler verksamhetsområden. Därför behöver matematikundervisningen inkludera matematiska modeller, strukturer och simuleringar med tillämpningar inom många discipliner, inte bara naturvetenskapen.
År 2000 publicerade NCTM “Principles and Standards for School Mathematics” (NCTM, 2000), härefter “Standards 2000”. I detta dokument beskrivs fem ”innehållsstandarder” och fem
”processtandarder”. De fem innehållsstandarderna är följande: 1. Tal
2. Algebra 3. Geometri 4. Mätningar
5. Dataanalys och sannolikhet De fem processtandarderna är följande:
1. Problemlösning
2. Resonemang och bevisföring 3. Kommunikation
4. Samband (mellan matematikens olika delar, till andra ämnen, egna erfarenheter) 5. Representation (bilder, Tabeller, grafer, siffror, symboler, etc)
NCTM:s standarder har fått stor betydelse för matematikundervisningen i hela världen. I inledningen till boken ”Matematik för lärare” (Skott m.fl., 2010), som är kursbok på bl a den svenska
ämneslärarutbildningen, hävdas att matematiken som skolämne håller på att förändras. Boken sammanfattar denna förändring som att den ”kan beskrivas som en rörelse från ett ensidigt fokus på ämnets produkter (t.ex. de nämnda begreppen och färdigheterna) till en alltså större betoning av ämnets processer” (Skott m.fl., 2010, s. 23).
KOM-projektet i Danmark
År 2000 tillsatte det danska utbildningsdepartementet en kommitté med uppdraget att genomföra ett projekt om matematikutbildning och matematiklärande. Detta projekt, Kompetencer og
matematiklæring (KOM-projektet), presenterade sin rapport 2002 (Niss & Jenssen, 2002) och har fått stor internationell uppmärksamhet. Bland annat genom att KOM-projektets ordförande, Mogens Niss, också satt i PISA:s expertgrupp för matematik har tänkandet kring kompetenser som uttrycks i KOM-rapporten även kommit att påverka hur PISA definierar matematisk literacitet (Niss, 2003).
5
inte tillräckligt för att behärska ett språk, så är faktakunskaper och färdigheter inte tillräckligt för att behärska matematik.
KOM-projektet identifierar åtta matematiska kompetenser: • matematiskt tänkande,
• ställa upp och lösa matematiska problem, • matematisk modellering,
• resonera matematiskt, • representation,
• hantera symboler och formalism, • kommunikation,
• användning av matematiska hjälpmedel.
De fyra första kompetenserna anses handla om ”att fråga och svara inom, med och om matematik” medan de fyra sista handlar om ”att kunna hantera matematikens språk och redskap”. Varje kompetens kan tillämpas över varje kunskapsområde inom matematiken. Relationen mellan
kompetenserna och sakinnehållet beskrivs som ”ortogonal” och kan beskrivas med en matris där varje rad är ett sakområde och varje kolumn är en kompetens (Niss, 2003, s. 10).
Det matematikdidaktiska skiftet
När vi kommit en bit in på 2000-talet finner vi ett antal begrepp som dominerar den
matematikdidaktiska forskningen och matematikundervisningens styrdokument: matematikens
processer, matematiska kompetenser, problemlösning, kommunikation, kreativt matematiskt tänkande, ”göra matematik”. Jag väljer att kalla denna scenförändring för ”det matematikdidaktiska skiftet”. Detta ordval är inspirerat av Gustavsson (2016, s. 4), som beskriver “det didaktiska skiftet”. Det matematikdidaktiska skiftet bygger på en mångfald av tankar och begrepp och utgör ingen enhetlig lära. För en empirisk studie är det nödvändigt att sammanfatta dess huvudsakliga beståndsdelar. Detta görs i Tabell 1.
Tabell 1. Utmärkande inslag i det matematikdidaktiska skiftet.
Utmärkande inslag Exempel på litteratur
Analysera mönster och strukturer Standards 2000: resonemang o bevisföring
Modellering KOM-rapporten: modelleringskompetens
Ställa upp och lösa matematiska problem Standards 2000: problemlösning; KOM-rapporten: problemhantering
Ställa upp och pröva hypoteser KOM-rapporten: resonemangskompetens
Konstruera bevis Standards 2000: resonemang o bevisföring;
KOM-rapporten: resonemangskompetens Arbeta tillsammans med andra med matematik Standards 1989
Kommunicera matematiska resonemang i tal och skrift
KOM-rapporten: kommunikationskompetens
6
Simuleringar Standards 1989
Hantera representationer, formler och symboler Standards 2000: representation; KOM-rapporten: representationskompetens, symbol- o
formalismkompetens
Det vore naturligtvis möjligt att diskutera vilka kategorier som borde finnas med eller vad som väsentligen innebär samma sak. Exempelvis är resonemangsförmåga viktigt både för Standards 2000 och KOM-projektet. Resonemangsförmåga innehåller dock flera delar. En är, enligt Standards 2000, att analysera mönster och strukturer. KOM-projektets resonemangskompetens innebär bl.a. att kunna genomföra matematiska bevis och att kunna pröva hypoteser.
Oro kring provens styrning mot färdigheter och tänkande på låg nivå
Det matematikdidaktiska skiftet är inte den enda internationella trend av betydelse inom
matematikundervisningen. Palm m.fl. (2011) konstaterade att det kring millennieskiftet fanns kritik från forskare av olika nationalitet mot utformningen av de uppgifter som elever i alla årskurser ställdes inför. Lesh och Zawojewski (citerade i Palm m.fl., 2011, s. 223) menade att det fanns en växande oro bland matematiklärare i flera länder kring glappet mellan de ”lågnivåfärdigheter” som betonas i undervisning som syftar till att eleverna ska nå bra resultat på prov och den förståelse och de förmågor som behövs utanför skolan. Det hävdas att ett fokus på grundläggande färdigheter göds av nationella och internationella prov där elevens provresultat har stor betydelse för den enskilde (English & Sriraman, 2010). Exempelvis i USA har proven fått skulden för undervisningens påstådda fokus på ”lågnivåtänkande” (Senk m.fl., 1997, s. 188).
Matematiken i den svenska gymnasieskolans
styrdokument
I samband med en studie som rör matematikundervisningen i Sverige är det lämpligt att först säga något om de svenska nationella styrdokumenten i form av läroplaner, ämnesplaner och kursplaner. I den läroplan för gymnasiet som infördes 1994, Lpf 94, är begreppet förmåga centralt (Skolverket 1994a). Detta gäller både i matematiken och i andra ämnen. I samband med införandet av läroplanen för grundskolan (Lpo 94) och Lpf 94 ansågs de nya läroplanerna stå för en ny kunskapssyn och att de på ett nytt sätt satte kunskapsbegreppet i fokus snarare än ämnenas innehåll (Wahlström 2015; Lundgren, 1999). Det anses ofta att Lpf 94 och den läroplan som infördes 2011, Gy 11 (Skolverket, 2011a), bygger på samma kunskapssyn och att det främst är dispositionen som skiljer dessa läroplaner åt (Prop. 2008/09:87; Wahlström, 2015).
I kursplanerna från 1994 (Skolverket, 1994b) uttrycks kursmålen i form av elevens kunnande. Inom vart och ett av kursens delområden beskrivs stoffet genom att elevens önskvärda kunnande anges. Vissa förmågor anges i samband med flera innehållsmoment och vissa endast vid ett. Det kan framstå som att förmågorna duttats ut lite här och var i det matematiska stoffet.
7
I ämnesplanen för Gy 11 nämns sju förmågor under ”ämnets syfte” medan det centrala innehållet i respektive kursplan endast innehåller en uppräkning av matematiskt stoff utan referens till elevens förmågor. Gy 11 kan därmed ses som mer tydlig i sin struktur
På grund av den olika strukturen mellan ämnes- och kursplanerna 1994, 2000 och 2011 är det inte uppenbart i vilken mån planernas författare avsett att förskjuta planernas innebörd.
Den påbjudna läroplanen
I detta avsnitt beskrivs påverkan som det matematikdidaktiska skiftet haft på styrdokumenten i den svenska gymnasieskolan.
Inom läroplansteorin betecknar begreppet ”läroplan” (eng: curriculum) inte endast det officiella övergripande dokument som har titeln ”läroplan”. Forsberg (2012, s. 3) beskriver fyra nivåer av ”läroplaner” på följande vis:
Den påbjudna läroplanen svarar mot de intentioner som finns för skolan och som återfinns i styrdokument. Den tillgängliga läroplanen är den som kommuner/huvudmän och skolor i praktiken erbjuder elever. Den genomförda läroplanen är den som vi kan urskilja när vi observerar
undervisningen och den utvärderade läroplanen handlar om hur elever utvecklats och vad de lärt sig.
I andra sammanhang (bl a Wahlström & Sundberg, 2015) används uttrycket den ”avsedda läroplanen” som liktydigt med den ”påbjudna läroplanen”.
I ämnesplanen för matematik i Gy11 (Skolverket, 2011b) beskrivs syftet med matematikämnet som att eleverna ska utveckla sju olika förmågor. Dessa förmågor korresponderar inte direkt med förmågorna i strävansmålen från 2000 även om de är samma till antalet. Likheterna med de åtta kompetenserna i KOM-projektet är däremot tydlig. För grundskolan anges i kursplanen1 för Lgr 11 en liknande lista
med fem förmågor. Gustavsson (2016) menar att KOM-projektet haft stor betydelse för Lgr 11. I Skolverkets undervisningsmaterial inom ”matematiklyftet” beskrivs det danska KOM-projektet som förebild för de matematiska förmågorna i kursplanen 2011 (Juter, 2014).
Wahlström och Sundberg (2015) har studerat styrdokumenten för grundskolan. De menar att det skett en förskjutning i den svenska påbjudna läroplanen, från en kompetensbaserad kunskapssyn 1994 i riktning mot en resultatbaserad läroplan där det är lätt att mäta måluppfyllelse. Detta skulle kunna tala för att risken för en ”låg nivå” på den svenska genomförda läroplanen blir överhängande. Å andra sidan är innehållet i de kunskaper som testas på de nationella och internationella proven inspirerade av det matematikdidaktiska skiftet, vilket snarare skulle leda till förutsägelsen att genomslaget för dessa idéer ökat (Palm, m.fl., 2011).
Gustavsson (2016) har undersökt eventuellt samvariation mellan svenska elevers sjunkande
matematikresultat och vad han kallar ”det didaktiska skiftet”. Gustavsson frågar sig om det kan vara så att det relativt sett större kunskapstappet i matematikämnet gentemot andra ämnen kan bero på ett skifte inom matematikdidaktiken. Gustavssons syfte är att studera skiftets inverkan på resultaten snarare än skiftet i sig. Studien är inriktad på skolans styrdokument (läroplaner, kursplaner, föreskrifter), d v s den påbjudna läroplanen. Studien omfattar styrdokumenten för grundskolan och gymnasiet från 1980 till och med 2010. Gustavsson anser att ett verkligt globalt skifte inom
1 I grundskolan används inte begreppet ”ämnesplan”. I stället används ”kursplan” även för de
8
matematikdidaktiken har ägt rum mellan tillkomsten av Lpo 94 och Gy 11. Gustavsson (2016, s. 32) konstaterar:
Analysen av materialet har visat att räknefärdigheten, trots vissa inslag av verbala kvaliteter, konstant betraktades som en grundsten för skolmatematiken i styrdokumenten fram till 1994. Därefter skedde ett skifte mot en större prioritering av verbala förmågor; en prioritering som förstärktes ytterligare under åren fram till 2010.
Samir Katea (2012) har studerat kursplaner i matematik i gymnasiet från Lgy 65 till Gy 11. Kateas studie innefattar också en lärobok vardera från 60-, 70- och 80-talet. Katea når slutsatsen att
utvecklingen över tid i Sverige inneburit att ”[f]okuset flyttades från teori, bevisföring och användning av matematiska argument till mekanisk räkning och algoritminlärning” (Katea, 2012, s. 24). Eftersom ingen lärobok i denna studie var från senare datum ger den tyvärr ingen ledtråd om den genomförda läroplanen. Slutsatsen angående styrdokumenten tycks däremot motsäga Gustavssons (2016) slutsats. Nationella prov har en viktig roll i Svenska gymnasiseskolor. I samband med de nya ämnes- och kursplanerna år 2000 förändrades betygssystemet för gymnasieskolan och antalet nationella prov ökade (PRIM-gruppen, u.å.). De nationella proven skulle därför kunna ses som en del av den svenska påbjudna läroplanen, d v s de nationella proven definierar vad eleverna ska kunna. Palm m.fl. (2011) menar att utformningen av uppgifter på nationella prov kan ha betydelse för att få in uppgifter som kräver djupare förståelse även i läroböcker och i lärarnas undervisning. Enligt en studie av Palm m.fl. (2011) av nationella provuppgifter tyder på att det matematikdidaktiska skiftet fått genomslag i dessa redan 2003. De som utvecklade de nationella proven intryck av den internationella
forskningslitteraturen om matematikundervisning (Palm m.fl., 2011, s. 241):
The test developers /…/ could, and did, interpret the vague descriptions of the process goals and filled them with meaning and structure by relating them to the international mathematics education research literature.
Det tycks alltså finnas vissa belägg för att det matematikdidaktiska skiftet har fått ett genomslag i den påbjudna läroplanen även om bilden inte är entydig.
Vad har hänt i klassrummen?
Hur ser då matematikundervisningen ut i praktiken? Hur gestaltar sig matematiklektionerna? Gustavsson hävdar att det verkligen skett ett matematikdidaktiskt skifte i den påbjudna läroplanen. Mellan Lpf 94 och Gy 11 har Standards 2000 och KOM-rapporten publicerats. Under samma tid har de nationella proven fått ökad betydelse och ny utformning. Även internationella prov har fått ökad betydelse. Detta skulle kunna tala för att det matematikdidaktiska skiftet har sipprat ner till
klassrummets verklighet.
Å andra sidan ser Katea ser en utveckling över tid mot mekanisk räkning. Provens ökade betydelse skulle också kunna tyda på en risk för att undervisningen inriktas mot låga nivåer på färdigheter och tänkande. Wahlströms och Sundbergs rapport skapar ytterligare nyfikenhet.
9
Palm m.fl. (2011) observerade, utifrån studier av gymnasieskolans nationella prov 2003, att det process-tänkande som utmärkte de nationella proven inte fått motsvarande genomslag i lärarnas egenkonstruerade prov.
Det var alltså inte, åtminstone inte i millenniets början, självklart att den genomförda läroplanen var i överensstämmelse med den påbjudna. Det finns således ett behov av studier som syftar till att få kunskap om hur matematiklektionernas vardag ser ut i gymnasiet. I vilken riktning har
matematikundervisningen utvecklat sig?
Lärarens verkliga undervisning i klassrummet är svår att direkt studera på aggregerad nivå. Läroböckernas starka roll i undervisningen gör emellertid dessa till en hyfsad indikator eller ställföreträdare för den genomförda läroplanen.
Läromedlens stora betydelse i Sverige
Prytz (2017) konstaterar att under större delen av 1900-talet har läromedelsproducenterna varit den drivande kraften för skolmatematikens utformning i Sverige. Skolverket (2004a) har konstaterat att matematikundervisningen i Sverige är läromedelsstyrd. TIMSS-undersökningen 2007 visade att Sverige är ett av de länder där man är mest benägen att använda läroboken som grund för matematiklektionerna (Skolverket, 2008, s. 97).
Genom utformningen av läroböcker kan författarna hjälpa läraren att i sin undervisning implementera den påbjudna läroplanen. Det finns ett antal inslag som kännetecknar det matematikdidaktiska skiftet som författarna skulle kunna väva in i läroböckerna.
Att studera läroböcker i matematik blir därmed ett verktyg för att studera den genomförda läroplanen sådan den manifesterar sig i klassrummet.
Syfte och frågeställning
Syftet med denna studie är att undersöka eventuella förändringar i svenska läroböcker i matematik till följd av det matematikdidaktiska skiftet. Speciellt studeras hur idéer som kännetecknar skiftet
förekommer i läroböckernas övningsuppgifter och huruvida denna förekomst förändrats mellan de läroböcker som användes under Lpf 94 respektive under Gy 11.
Frågor:
1. Hur vanligt är det med övningsuppgifter som prövar förmågor eller innebär utövande av aktiviteter som kan sägas vara kännetecknande för det matematikdidaktiska skiftet?
2. Kan systematiska skillnader mellan läroböcker från olika perioder observeras i bokkapitlens brödtext eller i böckernas förord vad gäller läroböckernas förhållningssätt till det
10
Metod
Det matematikdidaktiska skiftets inverkan på undervisningen studerades genom att jämföra läroböcker för gymnasiets årskurs 1 som använts under de perioder då Lpf 94 respektive Gy 11 gällde.
Urval av läroböcker
För att få ett minimum av representativitet i det empiriska underlaget bedömdes att tre läroböcker från vardera tidsperioden skulle väljas. För att skapa största möjliga jämförbarhet var ambitionen att välja böcker som täckte samma kunskapsstoff. I Lpf94 läste alla gymnasieprogram samma kurser i
matematik. Skillnaden mellan olika program bestod i att olika program läste olika antal kurser (A-E). Vissa förlag valde att trycka olika läroböcker även för A-kursen baserat på program eller elevernas tänkta framtida matematikstudier. I Gy11 läser olika program olika kurser redan från början.
Naturvetar- och teknikprogrammen börjar med Ma 1c, Ekonom- och samhällsvetarprogrammen börjar med Ma 1b och yrkesförberedande program börjar med Ma 1a. Det vore alltså inte helt jämförbart om enbart böcker avsedda för Ma 1c i Gy 11 jämfördes med böcker avsedda för A-kursen i Lpf 94. Kursplanerna reviderades 2000, vilket skulle kunna tala för att Lpf94-perioden borde representeras antingen av böcker skrivna med kursplanen från 1994 eller 2000 i åtanke. Å andra sidan innebär böcker från fler kursplaner en möjlighet att se trender över tid.
För att få en bild av vilka läroböcker som eleverna möter i praktiken var det angeläget att välja vanligt förekommande böcker. Det finns emellertid ingen statistik över försäljningssiffror för olika
läroböcker, ett konstaterande som också gjorts i tidigare studier, bl a Flink & Krans (2011) Det skulle kunna hävdas att en jämförelse över tid skulle bli mest rättvisande om de böcker som studerades valdes från samma förlag från bägge tidsperioderna. Å andra sidan skulle detta riskera att underskatta en eventuell förändring eftersom förlagen ofta återanvänder sitt material när nya böcker trycks.
Slutligen utgjorde möjligheterna att få tillgång till olika böcker en praktisk begränsning.
Urvalet av läroböcker fick således bli en kompromiss mellan olika faktorer. De sex böcker som valdes ut framgår av Tabell 2.
Tabell 2. Läroböckerna som ingick i studien.
Titel Utgivningsår Förlag Författare
Matematik 2000 NV Kurs AB 1994 Natur &Kultur Lars-Eric Björk, Kenneth Borg, Hans Brolin
Matematik från A till E
Matematik A för gymnasieskolan
2000 Liber Martin Holmström, Eva
Smedhamre
Exponent A gul 2002 Gleerups Susanne Gennow,
Ing-Mari Gustafsson, Bengt A Johansson
11
Bråting, Patrik Erixon, Hans Heikne (även copyrigt Lars-Eric Björk, Hans Brolin)
Origo 1c 2011 Sanoma Utbildning Attila Szabo, Niclas
Larson, Gunilla Viklund, Daniel Dufåker, Mikael Marklund
M 1b 2011 Liber Martin Holmström, Eva
Smedhamre, Jonas Sjunnesson
Avgränsning till kapitlet om funktioner
För att studiens omfattning skulle bli hanterbar valdes ett kapitel i varje bok ut för analys. I varje bok finns ett kapitel om funktionslära. Detta valdes ut för närmare studier. Dels för att detta avsnitt bedömdes ha ett liknande omfång och innehåll i de olika böckerna, dels för att funktionsbegreppet på grund av sin natur antogs kunna inbjuda till olika försök att beskriva det.
Innehållsanalys av övningsuppgifterna
Övningsuppgifterna i kapitlet om funktioner studerades genom en innehållsanalys (Denscombe, 2017).
Ett antal kategorier definierades för att karakterisera varje uppgift. Kategorierna valdes med syftet att de ska beskriva sådana egenskaper hos uppgifterna som är i enlighet med det matematikdidaktiska skiftet. Tabell 1 utgjorde utgångspunkten för kategoriseringen. Detta var inledningsvis en iterativ process där ändamålsenliga kategorier skapades utifrån en begränsad undersökning av de faktiskt förekommande uppgifterna.
Några av punkterna i Tabell 1 kunde relativt direkt omvandlas till kategorier för innehållsanalysen. Detta gäller numeriska metoder (kategori nr 2), konstruktion av bevis (11), uppgifter där elever ska arbeta tillsammans med andra (12) och uppgifter där simuleringar ska genomföras (13).
Kommunikation kan ske både i tal och skrift. Därför infördes en kategori för uppgifter där eleven skulle ge en muntlig redogörelse (3) och en för verbala svar/redogörelser i skriftlig form (4). Alla ”lästal” kan i någon mening sägas innebära modellering. För att studera kravet på elevens modelleringsförmåga gäller det att skilja ut uppgifter där just modelleringsförmågan är avgörande för att lösa uppgiften. Sådana uppgifter klassas som kategori (5).
Uppgifter som handlar om att analysera mönster och strukturer kan vara av olika slag. Det kan handla om att eleverna ska analysera strukturer i syfte att finna ett svar på en specifik fråga, exempelvis vilket tal som saknas i en talserie. Det kan också uppfattas som ett mera fritt utforskande av ett föreliggande matematiskt mönster, matematiska relationer eller fenomen. För att fånga dessa båda aspekter infördes kategorin ”analysera mönster och strukturer” (6) där svaret söks på en specifik fråga och ”fritt
12
När det gäller frågeställningen att ställa upp och pröva hypoteser bedömdes att den behövde studeras med flera kategorier. Uppgifter som innebar att eleven både skulle ställa upp och pröva en egen hypotes blev en kategori (8). Uppgifter som innebar att eleven skulle pröva en hypotes (påstående) från boken blev en kategori (9). Det visade sig att många av böckernas uppgifter handlade om att ta ställning till påståenden, varav många var av enkelt slag och syftade till att kontrollera att eleven förstått ett visst begrepp eller samband. Det vore missvisande att kalla alla dessa frågor/påståenden för hypotesprövning. Därför infördes en särskild kategori för dessa enklare frågor (10).
Att skapa relevanta kategorier för att beskriva uppgifternas krav på hantering av representationer, symboler och formalism bedömdes inte vara funktionellt bl.a. eftersom de flesta uppgifter berörs och dessutom är behovet av att använda formalism minst lika stor i “traditionell” matematikundervisning vilket innebär att en sådan kategorisering skulle sakna relevans för studiens syfte.
Det stod snart klart att klassificering av uppgifternas problemkaraktär dels var tidskrävande och även krävde en metodik som var funktionell utifrån förutsättningarna. Därför genomfördes analysen av problemförekomsten i särskild ordning. Denna analys beskrivs under en särskild rubrik nedan. Flera uppgifter innebar att eleven skulle ange egna exempel på något eller lösa en öppen uppgift. Standards 2000 (NCTM 2000, s. 23) framhåller sådana uppgifter som viktiga och därför noteras de i en egen kategori (14). En annan kategori som dök upp under undersökningens gång var: eleven ska göra fysiska aktiviteter (15). Sådana uppgifter bedömdes som relevanta för studien eftersom de är i linje med en strävan bort från fokus på räknefärdigheter och utantillärning. Det visade sig också finnas uppgifter där eleven ska göra uppgifter åt en annan elev. Det är visserligen en delmängd av kategori 12 men de är speciella genom att eleven sa skapa egna matematiska problem, vilket är en del i
problemhanteringskompetensen. Därför klassades de som en egen kategori (16). Det visade sig också finnas uppgifter där en elev skulle visa vad en graf visar. Dessa bildade en egen kategori (17) eftersom de bedömdes kunna pröva elevens förmåga att se sådana samband som utgör en av NCTM:s
processtandarder (NCTM, 2000).
Kategorierna 1-13 numrerades innan den egentliga analysen av övningsuppgifterna inleddes. När varje lärobok analyserats en gång, och en slutlig lista på kategorier (1-17) fastställts, gjordes en ny analys med avseende på kategori 14-17 av de böcker där förekomsten av uppgifter i dessa kategorier inte hade aktivt eftersökts.
En och samma uppgift kan tillhöra flera kategorier. De flesta av övningsuppgifterna i läroböckerna ingår inte i någon av de valda kategorierna. Som en följd av detta ger en sammanräkning av antalet uppgifter i varje kategori en summa som är lägre än det totala antalet uppgifter.
De olika kategorierna beskrivs i det följande.
1 Totalt antal uppgifter
Det totala antalet uppgifter räknades i kapitlet om funktionslära i respektive bok. Som en uppgift räknas en uppmaning till eleven att utföra något. Oftast är uppgifterna numrerade men även
13
2 Numeriska metoder
Uppgifter som ska lösas numeriskt manuellt (med hjälp av miniräknare) eller med datorprogram. Att enbart använda miniräknaren för att få ett numeriskt svar på en logaritm räknas här inte som en numerisk metod. Ett exempel på numerisk uppgift är uppgift 5717 c i Matematik 2000:
Var skär kurvorna y = 1,5x och y = x2 varandra?
/…/
c) Använd ett verktygsprogram för att rita graferna och för att lösa ekvationen.
Ur Björk m.fl. (1994), s. 278.
3 Muntlig kommunikation
Uppgifter som innehåller explicita uppmaningar att redovisa eller förklara något muntligt för andra. Två exempel på detta finns i rutan i Figur 5.
4 Andra verbala uppgifter
Uppgifter där eleven ska ge ett svar i verbal form, exempelvis att med text göra en tolkning av en matematisk situation eller reflektera över ett samband. Ett exempel är uppgift 5028 d i Matematik från A till E:
Emma kan beräkna sina telefonkostnader i kr med funktionen K(x) = 250 + 0,2x där x = antal markeringar
/…/
d) Uttryck i ord vad K(0) = 250 betyder.
Ur Holmström & Smedhamre (2000), s. 220.
5 Modellering
Uppgifter där den huvudsakliga kognitiva utmaningen för eleven består i att transformera uppgiften till ett matematiskt problem eller en matematisk relation samt att eventuellt tolka en lösning. Ett exempel är uppgift 6234 i Matematik 5000:
Bea joggar i ett motionsspår som är 1 200 m långt. Hon räknar med att hålla farten 150 meter per minut ända tills hon är i mål.
Låt y m vara avståndet till mål och x min den tid hon joggat. Ställ upp den funktion som beskriver sambandet mellan y och x.
Ur Alfredsson m.fl. (2011), s. 295.
6 Analysera mönster och strukturer
Uppgifter där mönster och strukturer ska analyseras och där eleven ska svara på en specifik fråga och elevens svar kan utvärderas mot facit. Hit räknas inte uppgifter där ett förslag ges, t ex ”undersök om befolkningsökningen är linjär” eller ”avgör om grafen representerar en funktion”. Ett exempel är uppgift 6218 i Matematik 5000:
Finn en funktionsregel y = f(x) som ger värdetabellen: X 0 3 5 8
14
Ur Alfredsson m.fl. (2011), s. 291.
7 Fritt matematiskt arbete
Uppgifter där eleverna ska till att klassificera, ordna, upptäcka mönster, etc utan att något egentligt facit finns. Ett exempel är är uppgift 8 i ”blandade övningar” på sidan 304 i Exponent A gul:
Du har fått ett sommarjobb där du får en timlön på 50 kr första veckan. Därefter ökar timlönen för varje vecka. Du får då välja på att få en ökning med 3 kr i timmen varje vecka eller 5% ökning av timlönen varje vecka. Jämför timlönen för de båda alternativen för olika antal veckor.
Ur Gennow m.fl. (2002), s. 304.
8 Ställa upp och pröva hypoteser
Uppgifter där eleven uppmanas att ställa upp och pröva en hypotes. Ett exempel ur Origo 1c visas i Figur 1.
Fig. 1. Ur Szabo m.fl. (2011), s. 179.
9 Pröva en föreslagen hypotes
Uppgifter där eleven uppmanas att pröva en hypotes som boken föreslår. Det handlar ofta om frågor av typen ”Är det sant att …?”. Om sådana frågor kräver någon form av undersökning eller beräkning klassas uppgiften som ”pröva en föreslagen hypotes”. Ett exempel är uppgift 4204 i Origo 1c:
En påse äpplen som innehåller 2,5 kg kostar 24,85 kr. En stor påse med 4 kg kostar däremot 35,80 kr. Är äppelpriset proportionellt mot vikten? Motivera ditt svar.
15
10 Pröva ett lätt prövat påstående som ofta rör begreppsförståelse
Det finns också frågor av typen ”Är det sant att …?” som inte kräver någon beräkning eller
resonemang och som ofta prövar begreppsförståelse. Ett exempel på ”ett lätt prövat påstående som ofta rör begreppsförståelse” är uppgift 5023 c i Matematik från A till E:
Är det sant att linjen y = x + 4 skär y-axeln där y = 4?
Ur Holmström & Smedhamre (2000), s. 217.
Gränsdragningen mot föregående kategori är emellertid inte glasklar. I Figur 2 behöver samtliga frågor inordnas i någon av kategorierna. Jag har valt att klassa fråga 1, 7 och 8 som kategori 10 och övriga frågor som kategori 9, även om det vore möjligt att argumentera för att fråga 8 ska klassas till kategori 9.
11 Konstruera bevis
Uppgifter där eleven uppmanas att bevisa något matematiskt samband. Ett exempel är uppgift 5710 a i Matematik 2000:
Visa att
y = 0,5x kan skrivas y = 2 - x
Ur Björk m.fl. (1994), s. 277.
12 Arbeta tillsammans med andra med matematiska uppgifter
16
17
13 Simuleringar
Uppgifter där boken föreslår att en datasimulering av något slag genomförs. Den enda uppgift i studien som klassas i den kategorin är 4054 c i M 1b. Uppgiften är markerad med en grafsymbol vilket innebär att grafritare ska användas.
Vid ett bromstest påverkades bromssträckan y meter av bilens hastighet x km/h så att y = 0,015 ∙ x2 /…/
y = 0,015x2 för x > 0 är exempel på en potensfunktion. Potensfunktionens allmänna form är y = axb där x > 0.
Välj själv några värden på a och b. Rita sedan graferna i intervallet 0 < x < 10.
Ur Holmström m.fl. (2011), s. 205.
14 Eleven ska ange egna exempel
Uppgifter där eleven ska lösa uppgifter med många möjliga lösningar, skapa egna exempel på matematiska samband eller ställa egna matematiska frågor. Ett exempel på detta är uppgift 4107 i Origo 1c:
Ange en punkt i andra kvadranten och en punkt i fjärde kvadranten, så att kortaste vägen mellan dem går genom origo.
Ur Szabo m.fl. (2011), s. 143.
15 Eleven ska göra fysiska aktiviteter
18
Fig. 3. Utdrag ur Alfredsson m.fl. (2011), s. 280.
16 Eleven ska konstruera en uppgift åt en annan elev
19
Gör en värdetabell efter en egen formel. Skriv tabellen på framsidan av ett papper och formeln på baksidan. Byt sedan papper med någon i klassen och försök att komma på vilken formel som gäller för tabellen du får.
Ur Gennow m.fl. (2002), s. 272.
17 Eleven ska ge förslag på vad en graf visar
Uppgifter där det i boken finns en graf och eleven uppmanas att ge förslag på vad grafen illustrerar. Ett exempel är uppgift 4 på sidan 181 i Origo 1 c, vilken avbildas i Figur 4.
Fig. 4. Ur Szabo m.fl. (2011), s. 181. Bokstaven Ö mot gul bakgrund indikerar att det är en öppen uppgift utan givet svar.
Problemlösning
Metoden för klassificering av uppgifter är inspirerad av de metoder som används av Palm m.fl. (2011) respektive av Jäder m.fl. (2019). Palm m.fl. har studerat provfrågor på nationella prov. De
klassificerade då frågorna med avseende på om de kunde lösas genom användning av algoritmiskt resonemang (AR), memoriserat resonemang (MR) eller kreativt matematiskt resonemang (CMR). För att lösa CMR-uppgifter räcker det inte att använda lösningar eller algoritmer som förekommer i läroboken. För att kategorisera uppgifterna studerade artikelförfattarna därför vid den tiden använda läroböcker för att avgöra vilken kategori provfrågorna tillhörde. Jäder m.fl. har studerat
problemlösning i läroböcker från tolv olika länder. De klassar övningsuppgifter i tre grupper. High relatedness tasks (HR) kan lösas genom att använda en mall (template) ur boken. Detta utmärks bl a av att ”mallen” finns i samma avsnitt i boken. Local low relatedness tasks (LLR) är uppgifter som kan lösas genom tillgänglig mall med vissa modifieringar. Global low relatedness (GLR) är uppgifter där ingen mall i boken kan användas för att finna en lösning.
I denna undersökning användes en klassificering med endast två kategorier: problem och icke-problem. En uppgift klassades som problem om lösningen inte gick att få:
i) genom lösta exempel i det studerade kapitlet,
ii) genom samband som på annat sätt framhävts i texten i det studerade kapitlet iii) genom underrubrik eller sammanhang som i övrigt skapar en förväntan om att lösa
uppgiften på ett visst sätt
iv) genom lösningen på tidigare uppgifter inom det studerade kapitlet.
20
På grund av tidsåtgången för att klassificera varje uppgift studerades i denna del endast de uppgifter som i boken klassats som tillhörande den svåraste kategorin. För Matematik 2000 studerades även uppgifter som markerats som tillhörande den halvsvåra kategorin (en fyrkant) eftersom mycket få uppgifter markerats som den svåraste (två fyrkanter). Fem av böckerna har en indelning i tre svårighetsgrader. Matematik från A till E har ingen markering av uppgifternas svårighetsgrad.
Däremot anges att alla uppgifter i fördjupningsavsnitten, som samlas i ett eget kapitel, ska vara svårare och lämpade för ”snabba/duktiga elever att arbeta på egen hand”. Det var dessa fördjupningsuppgifter som analyserades i Matematik från A till E. Totalt analyserades 193 uppgifter med avseende på deras problemlösningskaraktär.
Kvalitativ analys
FörordetFörordet i varje bok studerades med avseende på vad författarna lyfte fram som viktigt eller andra ledtrådar om hur de ser på hur matematik bör läras ut.
Kapitlet om funktionslära
Texten (inklusive bilder, Tabeller, etc) i kapitlen om funktionslära studerades genom diskursanalys (Denscombe, 2017). Syftet var att fastställa i vilken grad texten bäst kan förstås som grundad i det matematikdidaktiska skiftet eller ej.
Uppmärksamhet lades vid hur exempel användes med avseende på huruvida de illustrerar hur procedurer och regler tillämpas eller hur sådana upptäcks och skapas.
Uppmärksamhet lades vid hur nya begrepp introduceras. Är det en övervägande deduktiv eller induktiv konstruktion av begreppen?
Beskrivningarna av funktionsbegreppet och de olika typer av funktioner som introducerades studerades i förhållande till begreppen matematisk produkt respektive process.
Det reflekterades kring vilken typ av metafor för funktionsbegreppet som texten inspirerar till. Kapitlets framställning studerades generellt i ljuset av det matematikdidaktiska skiftet.
Närmare om studiet av varje bok
I detta avsnitt beskrivs översiktligt de olika böckernas karaktär och, där det finns behov, beskrivs hur de ovan angivna analysmetoderna tillämpats på respektive bok.
Matematik 2000, NV kurs AB
Boken är avsedd både för kurs A och B. I innehållsregistret finns bokstäver som anger vad som hör till vilken kurs. I texten och övningarna syns ingen skillnad. I analyserna har endast de delar som
markerats som tillhöriga A-kursen studerats.
Uppgifterna är uppdelade i svårighetsgrad på så sätt att svårare uppgifter är markerade med en fyrkant och extra svåra uppgifter med två fyrkanter. De som är markerade med någon fyrkant utgör en liten del av samtliga uppgifter och de som har två fyrkanter är mycket sällsynta. I analysen av
21
Avsnittet om problemlösning, som är markerat som tillhörande B-kursen, innehåller ett underavsnitt "Uppgifter för dig som har tillgång till grafritande hjälpmedel". Dessa uppgifter har tagits med i studiet av förekomst av numeriska uppgifter men inte studerats med avseende på andra kodningar. Dessa uppgifter är inte inräknade i totalantalet uppgifter, förutom i beräkningen av andelen numeriska uppgifter.
I tre av de fyra uppgifter som kodats som tillhörande ”modellering” uppmanas läsaren endast att ställa upp ekvationer, inte tolka lösningen. Dessa uppgifter har ändå räknats med i kategorin "modellering".
Matematik från A till E, kurs A
Första upplagan är från 1997. Den bok som studerats är andra upplagan som är från 2000. I förordet framgår att boken är avsedd för gymnasieskolans kurs Matematik A. Det framgår inte att den skulle vara riktad mot något särskilt program eller ambitionsnivå.
Till varje kapitel finns fördjupningsavsnitt med svårare övningar. ”Här kan t ex snabba/duktiga elever arbeta på egen hand”. Fördjupningsuppgifterna är samlade i ett eget kapitel i slutet av boken.
Fördjupningskapitlet innehåller bland annat ett avsnitt med uppgifter från nationella prov och ett avsnitt med rubriken ”Svåra uppgifter”. Det finns också ett eget kapitel med repetitionsuppgifter. I slutet av varje kapitel står det en rad om på vilken sida i fördjupningskapitlet respektive
repetitionskapitlet som det finns uppgifter till det aktuella kapitlet.
Det finns också ett kapitel med ”laborationer” i slutet av boken. Endast en del av uppgifterna i kapitlet kräver dock att rekvisita (förutom linjal, gradskiva) används. Kapitlet ”Laborationer” innehåller bl a ett avsnitt om ”Grafritande hjälpmedel” och ett avsnitt med titeln ”Vattnet svalnar”.
I denna studie studerades, förutom kapitel 5: Funktioner, även avsnittet om funktioner i fördjupningskapitlet, samt avsnitten ”Grafritande hjälpmedel” och ”Vattnet svalnar” i laborationskapitlet. Däremot studerades inte avsnittet om funktioner under rubriken
”Repetitionsuppgifter” eftersom inte heller repetitionsavsnitt i slutet av de andra böckerna studerades. Lite varstans i boken finns s k "tankenötter". Detta är frågor som inte har någon koppling till aktuellt kapitel. De har därför utelämnats i analysen. NOG-uppgifterna bedöms inte heller ha någon koppling till kapitlet och har därför utelämnats i analysen.
Exponent A gul
Av baksidestexten framgår att boken är avsedd främst för elever som senare ska läsa Matematik B och kanske Matematik C.
Matematik 5000 1c
Denna lärobok riktar sig till elever som studerar på teknikprogrammet eller
naturvetenskapsprogrammet. Det framgår också att det i boken finns ”aktiviteter”, teman med uppgifter anpassade efter N- och T-programmen, samlade speciella avsnitt med ”problemlösning”, sammanfattning av varje kapitel, ”kan du det här?” och ”diagnos”, ”repetitionsuppgifter” och ”blandade övningar”.
22
Inget facit finns till aktiviteterna "Upptäck". Ändå kan vissa svar bedömas som rätt eller fel. Därför kan vissa sådana uppgifter klassas som "analysera mönster och strukturer". De andra klassas som ”fritt matematiskt arbete”.
Origo 1c
I förordet står det att frågorna under rubriken "Resonemang och begrepp" ska diskuteras tillsammans med kamrater och lärare. Därför räknas alla dessa uppgifter som samarbetsuppgifter.
M 1b
I slutet av boken finns ett avsnitt med repetitionsuppgifter. Dessa är blandade utifrån bokens olika teman. Dessa repetitionsuppgifter ingår inte i analysen.
Genomförande
Böckerna studerades först vad gäller innehållsanalysen och den kvalitativa textanalysen. Böckerna studerades en i taget i följande ordning:
M1b
Matematik 2000 NV kurs AB Matematik 5000 1c
Exponent A gul Origo 1c
Matematik från A till E, kurs A
Utifrån studiens syfte var det angeläget att varannan bok var från Lpf94 och varannan från Gy11. Därigenom minimeras effekter av glidning i bedömarens bedömning under analysprocessens gång. Vid analysen av problemförekomst studerades böckerna i följande ordning:
Matematik från A till E, kurs A Matematik 5000 1c
Exponent A gul Origo 1c
Matematik 2000 NV kurs AB M 1b
Glidning i bedömning av uppgifter?
23
därför en viss risk för att en glidning i bedömningarna skett under undersökningens gång. Resultaten för en enskild lärobok bör därför tolkas med stor försiktighet.
Etiska aspekter
Matematik 2000, M 1b och Origo 1c lånade jag av Kajsa Borg. Exponent A gul lånade jag från Katedralskolan med tillåtelse av Niklas Zetterling. Matematik 5000 1c lånade jag på Uppsala stadsbibliotek. Matematik från A till E köpte jag på nätet.
De fyra berörda förlagen tillfrågades om det gick bra att använda inskannade uppgifter ur respektive böcker. Sanoma och Gleerups svarade att det gick bra medan Liber och Natur & Kultur svarade att endast hela sidor fick återges. Dessa besked har efterlevts. Ett antal övningsuppgifter ur olika böcker har återgivits i text med stöd av citaträtten.
Citat har, efter bästa förmåga, återgetts på ett sätt som ger en rättvisande och illustrativ bild av vad de avser att förmedla.
Vetenskapsrådets riktlinjer God Forskningssed (Vetenskpsrådet, 2017) har följts efter bästa förmåga. Jag har inga egna intressen att redovisa.
Resultat
Innehållsanalys
Resultatet av innehållsanalysen framgår av Tabell 3.
Tabell 3. Förekomst av olika kategorier av uppgifter i innehållsanalysen.
Matematik
2000 NV
Kurs AB
(1994)
Matematik
från A till
E, kurs A
(2000)
Exponent
A gul
(2002)
Matematik
5000 1c
(2011)
Origo
1c
(2011)
M 1b
(2011)
1 Totalt antal uppgifter 170 266 248 323 281 383
2 Numeriska metoder
(inkl rita grafer) 12 13 7 7 8 24
24 7 Fritt matematiskt
arbete 0 1 2 3 0 0
8 Ställa upp och pröva hypoteser
0 0 0 1 2 0
9 Pröva en föreslagen hypotes
1 7 12 27 15 14
10 Pröva ett lätt prövat påstående som ofta rör begreppsförståelse 16 11 20 10 1 8 11 Konstruera bevis 4 0 0 2 2 0 12 Arbeta tillsammans med andra 0 1 2 12 11 0 13 Simuleringar 0 0 0 0 0 1
14 Eleven ska ange
egna exempel 0 0 9 4 15 5
15 Eleven ska göra
fysiska aktiviteter 0 0 0 2 0 0
16 Eleven ska
konstruera en uppgift åt en annan elev
0 0 2 0 0 0
17 Eleven ska ge förslag
på vad en graf visar 0 0 8 0 1 0
Resultatet av innehållsanalysen uppdelat på de två läroplanerna Lpf 94 och Gy 11 visas i Tabell 4.
Tabell 4. Förekomst av olika kategorier i läroböcker avsedda för Lpf94 respektive Gy11.
Lpf 94
Gy 11
Lpf 94
Gy 11
Andel av alla uppgifter
1 Totalt antal uppgifter 684 987 100,00% 100,00%
2 Numeriska metoder (inkl rita grafer)
32 39 4,62% 3,95%
3 Muntlig kommunikation 0 2 0,00% 0,20%
4 Andra verbala uppgifter 50 85 7,31% 8,61%
5 Modellering 36 57 5,26% 5,78%
6 Analysera mönster och
25
7 Fritt matematiskt arbete 3 3 0,44% 0,30%
8 Ställa upp och pröva
hypoteser 0 3 0,00% 0,30%
9 Pröva en föreslagen hypotes 20 66 2,92% 6,69%
10 Pröva ett lätt prövat påstående som ofta rör
begreppsförståelse
47 20 6,87% 2,03%
11 Konstruera bevis 4 4 0,58% 0,41%
12 Arbeta tillsammans med andra
3 23 0,44% 2,33%
13 Simuleringar 0 1 0,00% 0,10%
14 Eleven ska ange egna exempel
9 24 1,32% 2,43%
15 Eleven ska göra fysiska aktiviteter
0 2 0,00% 0,20%
16 Eleven ska konstruera en
uppgift åt en annan elev 2 0 0,29% 0,00%
17 Eleven ska ge förslag på vad
en graf visar 8 1 1,17% 0,10%
Betydande skillnader mellan olika författare
Den kanske mest framträdande slutsatsen av Tabell 3 är skillnaderna mellan olika förlag och författare. Modellering (5) tycks vara betydligt vanligare i de böcker som getts ut av specialiserade förlag
(Gleerups, Sanoma) än i de andra böckerna.
Muntlig kommunikation (3)
26
27
Andra verbala uppgifter (4)
Vi ser en betydande ökning av andra verbala uppgifter (4) i böckerna publicerade av Natur & kultur. I Liber-böckerna syns endast en marginell ökning sett till andelen sådana uppgifter. Genomsnittet för Lpf94-böckerna dras upp av Gleerups i och med att Exponent A gul innehåller 37 sådana uppgifter. Origo 1c innehåller 35 sådana uppgifter. Ökningen från Matematik 2000 till Matematik 5000 1c är noterbar och kan hänga samman med att det är andra författare i den sistnämnda än i den förstnämnda medan endast en ny medförfattare (Sjunnesson) tillkommit i Liber-böckerna.
Analysera mönster och strukturer (6)
Vi ser också att antalet uppgifter som klassats som ”analysera mönster och strukturer” ökat från 0 till 9 i böckerna från Natur & Kultur. Motsvarande ökning har inte skett i böckerna från Liber, där antalet sjunkit från 1 till 0. Totalt har andelen sådana uppgifter fördubblats från Lpf 94 till Gy 11.
Pröva föreslagna hypoteser (9) och lätt prövade påståenden (10)
Ett fenomen, som blir tydligt i Tabell 4, är ökningen av andelen uppgifter som innebär att pröva en föreslagen hypotes (9). Samtidigt minskar andelen lätt prövade påståenden som rör bl a
begreppsförståelse (10). Detta kan tolkas som att författarna höjt ambitionsnivån när det gäller elevernas förmåga att bekräfta eller motbevisa matematiska påståenden.
Konstruera bevis (11)
Antalet uppgifter där eleven ska konstruera ett bevis (11) är låg i båda grupperna. Antalet böcker som har någon sådan uppgift har ökat från 1 till 2. Samtidigt har antalet sådana uppgifter i Matematik X000-böckerna minskat från 4 till 2. Bevisföring kan därför sägas vara fortsatt lågt prioriterat av läroboksförfattarna.
Arbeta tillsammans med andra (12)
Det finns mellan de två tidsperioderna en mycket stor ökning av andelen uppgifter som innebär att eleverna ska samarbeta tillsammans med andra (12). Det är emellertid endast två av de tre Gy11-böckerna som står för denna ökning. I M 1b finns inte en enda sådan uppgift.
Eleven ska ange egna exempel (14)
När det gäller variabeln eleven ska ange egna exempel (14) finns en tydlig förändring mellan de två perioderna. Andelen sådana uppgifter ökade från 1,3 till 2,4 procent och det är noterbart att sådana uppgifter finns med i alla tre Gy11-böckerna men endast i en av Lpf94-böckerna (Exponent A gul).
Eleven ska konstruera en uppgift åt en annan elev (16)
Exponent är den enda av de studerade böckerna där en elev ska konstruera en uppgift åt en annan elev (16). Två sådana uppgifter finns i det studerade kapitlet.
Eleven ska ge förslag på vad en graf visar (17)
28
Ökat antal kategorier
Det kan noteras att Matematik 2000 från 1994 skiljer ut sig från de andra böckerna genom att den har minst antal olika kategorier representerade (6). De andra böckerna, publicerade 2000-2011 har 8-12 kategorier representerade.
Problemlösning
Förekomsten av problemlösningsuppgifter i de olika böckerna framgår av Tabell 5. I Tabell 6 är resultatet sammanslaget för böckerna som användes under Lpf 94 respektive Gy 11.
Tabell 5. Förekomsten av problemlösning i olika läroböcker.
Matematik
2000 NV
Kurs AB
(1994)
Matematik
från A till
E, kurs A
(2000)
Exponent
A gul
(2002)
Matematik
5000 1c
(2011)
Origo
1c
(2011)
M 1b
(2011)
Finns en markering av uppgifternas svårighetsgrad?Ja: 3 nivåer Nej, men enligt förordet utgörs fördjupnings uppgifterna av svårare övningar.
Ja: 3 nivåer Ja: 3 nivåer Ja: 3
nivåer Ja: 3 nivåer
Totalt antal uppgifter 170 266 248 323 281 383 Antal uppgifter undersökta med avseende på problemkaraktär 12 38 26 24 34 59
Antal uppgifter som klassats som problem 8 4 8 10 19 23 Andel problem bland undersökta uppgifter 67 % 11 % 31 % 42 % 56 % 39 %
Tabell 6. Andelen problem i läroböcker som användes under Lpf 94 respektive Gy 11.
Lpf 94
Gy 11
Lpf 94
Gy 11
Andel av totala antalet uppgifter
29 med avseende på
problemkaraktär Antal uppgifter som klassats som problem
20 52 2,92% 5,27%
Andel problem bland undersökta uppgifter
26 % 44 %
Kvalitativ analys
Inga större skillnader mellan böckerna kunde fastställas när det gäller framställningen av det
matematiska stoffet. Någon systematisk skillnad mellan böcker från de olika tidsperioderna kunde inte urskiljas.
Två böcker (Matematik 2000, Origo 1c) från olika tider lyfter i sina förord båda fram just förståelse och problemlösning som det viktigaste. I Matematik 2000 skriver författarna: ”Matematiken i ett högteknologiskt samhälle måste inriktas på förståelse och problemlösning. Drill och färdigheter utan insikt är av underordnad betydelse” (Björk, m.fl., 1994, s. 5). I förordet till Origo 1c skriver författarna att de vill ”lyfta fram problemlösning, förståelse och det matematiska samtalet” (Szabo m.fl., 2011, s. 3).
Ett algebraiskt funktionsbegrepp (se exempelvis Bazzoni, 2015) tycks vara utgångspunkten för alla de sex böckerna. Flera av böckerna (Exponent A gul, Matematik 5000, Origo 1c) beskriver en funktion som en maskin. I några av böckerna (Matematik från A till E, M 1b) påpekas att funktion betyder samband.
I samtliga böcker härleds exponentialfunktionen utifrån en situation med en konstant ökningstakt i flera steg, exempelvis pengar på ett bankkonto som växer med fast ränta. Exponentialfunktionen i sig tycks dock vara något som redan finns. Exempelvis beskrivs i Origo 1c hur en pingvinpopulation ökar med 6,5 % per år. En värdetabell presenteras följd av konstaterandet att ”[ö]kningen kan beskrivas med exponentialfunktionen N(t) = 8000 ∙ 1,065t ” (Szabo m.fl. 2011, s. 168).
30
31
Diskussion
Resultatet visar att det har skett en observerbar förändring i matematikböckerna mellan de studerade tidsperioderna. Förändringen är inte drastisk, men innebär ändå en ökad förekomst av
övningsuppgifter som kan tolkas som inspirerade av det matematikdidaktiska skiftet. Resultatet skulle därmed kunna tyda på att den förändring som Gustavsson (2016) sett i styrdokumenten i vissa delar även nått läroböckerna. Samtidigt kan resultatet i sin helhet också ses som en illustration av en betydande kontinuitet i hur läroböcker utformas. Det kan i varje fall konstateras att studien inte ger något stöd för farhågan att undervisningen i de svenska klassrummen har rört sig i riktning mot mekaniska färdigheter som följd av ökad användning av kunskapsmätningar.
Några nya typer av uppgifter har tillkommit i den senare tidsperioden. Även om antalet i varje kategori är litet så har dessa uppgifter tillsammans ökat från 0 till 8. Å andra sidan finns bland de nya böckerna ingen uppgift där eleven ska konstruera en uppgift åt en annan elev; detta kan dock förklaras av att dessa uppgifter endast fanns i boken från ett förlag (Gleerups) som inte är representerat bland de nyare böckerna.
I stora drag kan vi säga att det i de nyare böckerna finns en större bredd i vad elever inbjuds att göra under en matematiklektion. Detta kan tolkas som att läroboksförfattarna har fått en vidgad uppfattning om vad som elevernas kan uppmanas att göra under en matematiklektion. En alternativ tolkning skulle kunna vara att det skett en glidning i synen på lärobokens roll; att läroboken nu tar på sig ett större helhetsansvar för lektionen. Från att det tidigare varit lärarens ansvar att komplettera boken med andra aktiviteter ses boken nu i stället mer som en komplett organisatör av lektionen. En orsak till detta skulle i så fall kunna vara den offentliga diskussion som varit i Sverige kring påstått låg kvalitet på svenska lärare och lärarutbildningen. Att göra läroböckerna till mer kompletta ledare för lektionerna skulle då kunna vara en metod för att säkerställa att eleverna får tillräcklig stimulans. Givet de inledningsvis angivna skälen för att anta att det matematikdidaktiska skiftet påverkat läroböckerna, förefaller den mest troliga förklaringen till resultatet vara att läroboksförfattarna faktiskt tagit intryck av den internationella matematikdidaktiska utvecklingen.
