Uttryck och ekvationer

(1)

Algebra

(2)

Matteord

– uttryck – variabel – ekvation – obekant – vänsterled – högerled – prövning

– teckna ekvation – balans

4 Uttryck och ekvationer

CENTRALA INNEHÅLL

Centralt innehåll – Kopplingar till läroplan

* Innebörden av variabelbegreppet och dess användning i algebraiska uttryck, formler och ekvationer.

* Algebraiska uttryck, formler och ekvationer i situationer som är relevanta för eleven.

* Metoder för ekvationslösning.

* Strategier för problemlösning i vardagliga situationer och inom olika ämnesområden samt värdering av valda strategier och metoder.

* Matematisk formulering av frågeställningar utifrån vardagliga situationer och olika ämnesområden.

* Enkla matematiska modeller och hur de kan användas i olika situationer.

(3)

MÅL

När du har arbetat det här kapitlet ska du kunna:

> skriva ett uttryck

> beräkna värdet av ett uttryck

> tolka uttryck

> förenkla uttryck skrivna med parenteser

> lösa olika typer av ekvationer

> lösa problem med hjälp av ekvationer

> skriva uttryck för geometriska mönster

1- Förenkla så långt som möjligt.

6x + 4x - 2x

2- Beräkna värden av uttrycken om x = 3 och y = 2

3x + y

3- Lös ekvatinen.

2x + 5 = 13

4- Förenkla uttrycken.

2( x + 5 ) + 7x

UPPVÄRMNING

Uttryck och ekvationer

(4)

Algebra

Exempel : En hästhage har formen av en rektangel. Skriv ett uttryck för hagens omkrets och förenkla så långt som möjligt.

Ett matematiskt uttryckt innehåller siﬀror, bokstäver ( som x och y) men inget likhetstecken.

4x + 9 är ett exempel på ett uttryck. Uttrycket utläses “Fyra x minus 9“.

4x är detsamma som 4·x, normal sätt behöver man inte skriva ut multiplikationstecknet.

x kallas för variabel i uttrycket och kan vara vilket tal som helst, och 9 kallas konstant i uttrycket.

Vad kan du göra med ett uttryck?

Du kan tolka uttrycket.

Mehmet är 7 år äldre än Zeynep.

Du kan teckna uttrycket för hur gammal de tillsammans är.

x + ( x + 7)

Du kan förenkla uttrycket.

x + x + 7 = 2x + 7

Du kan räkna ut uttrycket.

Räkna ut hur gammal Mehmet är om Zeynep är 3 år gammal.

x (Zeynep) = 3

Salih är x +7, alltså 3 + 7 = 10 år gammal.

Omkrets = 7x + 4x + 7x +4x = 22x

Variabler och uttryck

1 2 3 4

Teori

Mattebegrepp

· uttryck

· variabel

· konstant

· produkt

· summa

· potens

· obekant

I det här avsnittet ska du lära dig hur du kan teckna uttryck utifrån de fyra räknesätten och lära dig beräkna värdet av sådana uttryck.

Du ska även lära dig vad en variabel och konstant är och vad det innebär att förenkla ett uttryck.

Du lär dig!

Algebra är med andra ord

”konsten att räkna med bokstäver”.

Zeynep : x

Mehmet : x + 7

1

(5)

Du kommer väl ihåg?

Variabler och uttryck

x

Kvadratens omkrets : x + x + x + x = 4 · x = 4x

Kvadratens area : x · x = x²

summa produkt

produkt potens

} }

}

En potens är ett sätt att skriva en upprepad multiplikation.

Multiplikation är upprepad addition.

1- Skriv ett uttryck för pappas ålder om pappan är 24 år

äldre än sin son. ^Hamitx år

Maria Pappa

2- Skriv ett uttryck för Marias ålder om hon är 2 år yngre än sin bror.

3- Välj rätt uttryck för: 2 mer än a a) 2a b) a - 2 c) a + 2

4- Välj rätt uttryck för: 5 mindre än k a) k - 5 b) 5k c) k + 5

5- Skriv ett uttryck för kvadratens omkrets.

2a 3x

6y

Förenkla så långt som möjligt.

6- a) 3x + 4x b) 8b - 3b c) 3a + 5a - 7a

7- a) 5a + 3 - 2a b) 4x + 5y + x - 2y c) 4x + 5x - 3 - 3x

8- Skriv ett uttryck för rektangelns omkrets.

a) b) c)

9- Daniel är x år gammal. Hans bror Alex är dubbel så gammal som Daniel. Skriv ett uttryck för hur gammal Alex är.

10- Räkna ut värdet av uttrycket, om x = 2 och y = 3.

a) x + y b) 3x - y c) 4x + 5y

a) b) c)

x + 4 x

a + b 2b 4

5a +2

Testa dig

Regel

Att förenkla ett matematiskt uttryck betyder att man lägger ihop termer som innehåller samma variabler för sig och de konstanta

termerna för sig.

3x - 2y + 2 + 4x + 5y - 7

= 3x + 4x - 2y + 5y + 2 - 7

= 7x + 3y - 5

Exempel: 3x - 2y + 2 + 4x + 5y - 7

konstanter x- termer

y- termer

2

(6)

3

Variabler och uttryck

1- Skriv ett uttryck för ﬁgurens omkrets och förenkla det så långt som möjligt.

x

y 2y 3y

5x 4x + 5

a) b) c)

2- Skriv ett uttryck för ﬁgurernas omkrets och förenkla så långt som möjligt.

3b - 5

2a + 4

4x

x

x - 3

y

Förenkla uttrycken.

3- a) 3a + 4a b) 8y – 3y c) 7x + 6 + x

4- a) 4ab – 3ab + ba b) 4a + 3b – a + 2b c) a + 5b – 3b + 5 + 4a

5- Beräkna värden av uttrycken om x = 3 och y = 2

a) x + 2y b) 4x – 5y c) 3x + 4y – 8

Uppgifter

Alla termer

”av samma sort” läggs ihop med varandra till en term av varje sort.

(7)

4

Variabler och uttryck

6- Beräkna omkretsen om x = 2 cm.

x + 4 x

7- Elias är x år gammal. Jacob är 2 år äldre än Elias.

Adam är dubbelt så gammal som Elias.

a) Skriv ett uttryck för hur gamla de är tillsammans.

b) Förenkla uttrycket.

8- Omkretsen av triangeln är 10b + 5. Skriv ett uttryck för längden av sidan AC.

4b - 2

3b + 5

B C

A

9- Uttrycket för en liksidig triangels omkrets är 9x – 12. Hur lång är sidorna?

10-Uttrycket i varje ruta är summan av uttrycken i de två rutorna det står på. Skriv av och fyll i alla rutor.

12-Uttrycket för omkretsen av en rektangel är 6x + 8. Ge minst två förslag på sidornas längder.

11-Summan av två uttryck är 5x – 2y – 7. Vad är andra uttrycket om första uttrycket är 3x + 5y – 4?

Nivå 2

^a) ^b)

Uppgifter

(8)

5

Uttryck – Multiplikation

Exempel 1: Skriv ett uttryck för rektangelns area.

Arean = Basen · höjden Arean = 5x · 2y

Arean = 5 · 2 · x · y Arean = 10xy

(Variablerna skrivs i bokstavsordning)

Exempel 2: Skriv ett uttryck för rektangelns area.

Arean = Basen · höjden Arean = 3x · 5x

Arean = 3 · 5 · x · x Arean = 15x² 2y

5x

3x

* Variablerna skrivs i bokstavsordning.

* 5x är detsamma som 5·x, normal sätt skriver man inte ut multiplikationstecknet.

Testa dig

höjd bas

A = b · h 2

bas höjd

Rektangels area:

A = b · h

Triangelns area : 1- Skriv ett uttryck för ﬁgurernas area.

y

4

2x 2- Förenkla uttrycken.

a) a · a b) 5 · a · a

c) 2a · 2a d) 4a · 5a

e) 3x · 4x f) 6a · 4a

a) a · 2b b) 6 · k · m

c) 4x · 2y d) 7a · 4b

e) 25x · 2y f) 7c · 8d

a) b)

Du kommer väl ihåg?

Viktig!!!

4- Skriv ett uttryck för rektangelns höjd.

a) b)

Arean = 12x

4x

?

Arean = 10x²

5x

?

Teori

(9)

6

Uttryck – Multiplikation

1- Skriv ett uttryck för ﬁgurernas area.

4y

3x 4k

5 5k 3a

5- a) Skriv ett uttryck för rektangelns area.

b) Beräkna rektangelns area om a = 3 cm.

a) 2x · 4 b) 4 · x · x c) 3a · 4 + 5a

3- Skriv ett uttryck för arean av en kvadrat som har 5x cm långa sidor.

4- Skriv ett uttryck för arean av en rektangel där korta sida är 2x och långa sida är 7x.

5a

2a

6- Skriv ett så enkelt uttryck som möjligt för triangelns omkrets och area.

3x

4x 5x

7- a) Idag kostar en biobiljett x kr per styck. Skriv ett uttryck för hur mycket 8 biljetter kostar.

b) Skriv ett uttryck för hur mycket du får tillbaka på 500 kr.

a) b) c)

a) 3 · 8x – 2 · 7x b) 17a – 3 · 4a c) 3a · 4 + 2 · 5a

Uppgifter

När du ska beräkna värdet av ett uttryck gör du det i den här ordningen:

1- Parenteser och potenser 2- Multiplikation och division 3- Addition och subtraktion

Räkneordning Regel

(10)

7 Liam köper en skjorta och

ett par jeans. Skjortan kostar 350 kr och jeansen 400 kr.

Hur mycket får Liam tillbaka på sin tusenlapp?

Uttryck med paranteser

Här kan man svara på frågan på två olika sätt.

1 000 – 350 – 400 = 250 kr Eller;

1 000 – ( 350 + 400 ) = 1 000 – 750 = 250 kr Då kan man skriva så här:

1 000 – ( 350 + 400 ) = 1 000 – 350 – 400

Om ett minustecken står framför en parentes måste alla termer inuti parentesen ändra tecken när parentesen tas bort.

Plustecken framför parentes Om det ﬁnns plustecken framför en parentes, kan parentesen tas bort utan annan åtgärd.

x + ( y + z ) = x + y + z x + ( y – z ) = x + y – z

Minustecken framför parentes Om ett minustecken står framför en parentes måste alla termer inuti parentesen byta tecken när parentesen tas bort.

x – ( y + z ) = x – y – z x – ( y – z ) = x – y + z

Exempel 1: Förenkla uttrycket. 3a + ( 5a – 2 ) Lösning:

1- Plustecken framför parentesen.

Ta bort parentesen utan att göra någon ändring.

3a + 5a – 2

2- Förenkla uttrycket.

8a – 2

Exempel 2: Förenkla uttrycket. 7x – ( 3x – 2 ) Lösning:

1- Minustecken framför parentesen.

Ta bort parentesen och byt tecken inuti parentesen.

7x – 3x + 2

2- Förenkla uttrycket.

4x + 2

Teori

Om ett minustecken står framför en parentes måste alla termer inuti parentesen ändra tecken när parentesen tas bort.

Tva olika tecken efter varandra ger minus.

Två lika tecken efter varandra ger plus.

Olika tecken ger negativ produkt.

Lika tecken ger positiv produkt.

- - + ^· ⁼ + + + ^· ⁼ - ^· ⁼ - + - - ^· + ⁼

Regler Regler Viktig!!!

(11)

8

Uttryck med paranteser

1- Förenkla uttrycken så långt som möjligt.

a) 3a + ( 4a + 5 ) b) 5x + ( 2x – 4 ) c) 4a + ( a – 2 )

2- Ringa in rätt svar. Uttrycket 8a – (5a – 3) kan förenklas till

a) 8a – 5a – 3 = 3a – 3 b) 8a + 5a + 3 = 13a + 3 c) 8a – 5a + 3 = 3a + 3 3- Förenkla uttrycken så långt som möjligt.

a) 5a – ( 2a + 4 ) b) 6y – ( 2y – 4 ) c) 8x – ( 5x – 2 )

4- Vilket är medelvärdet av de tre talen?

4a – 4 2a + 3 3a – 2

5- Skriv ett så enkelt uttryck som möjligt för diﬀerensen mellan triangelns längsta och kortaste sida.

a - 1 a - 2 a

6- Vilket uttryck ska stå i rutan?

a) (4x + 5) + (3x – 2) b) (5x – 7) + ( x + 5) c) (4a – 5) – (3a – 7)

8- Skriv ett uttryck för längden på den röda sträckan.

a) b)

( a + 4 ) - ( 4x - 54 ) = ?

a b - 1

10

x y + 3

9- Ett äpple kostar a kronor och en banan kostar b kronor. Tolka uttrycken.

a) a + b b) 3a + 2b c) 100 – (a + b)

Uppgifter

om det står minus framför parentesen måste räknetecknet inuti parentesen ändras till motsatt tecken i samband med att parentesen tas bort!

(12)

9

Multiplicera med parentes

Noora ska köpa penna och sudd till sig själv och tre kamrater.

Penna kostar x kr styck och sudd kostar y kr styck.

Uttrycket 4(x + y) är ett förkortat skrivsätt för 4 · (x + y).

När ett tal eller variabel ska multipliceras in i en parentes så ska det multipliceras med alla termer inom parentesen.

Därefter tar man bort parentesen enligt reglerna.

Exempel 1: Multiplicera uttrycket 7 (x – 2).

Lösning:

Multiplicera in 7 till båda termerna inom parentesen 7 · x – 7 · 2 Förenkla 7x – 14

Svar: 7x – 14

Vad är fel i förenklingen?

Rätta till felet.

2(4x + 6) - 3 8x + 6 - 3 8x + 3 Exempel 2: Utveckla uttrycket – 3(4a – 2)

Lösning:

1- Multiplicera in 3 med alla termer inuti parentes.

– ( 3 · 4a – 3 · 2) 2- Förenkla

– ( 12a – 6)

3- Minustecken framför parentes så vi byter tecknet.

– 12a + 6 Svar: – 12a + 6

x kr

y kr

Priset för en penna och en sudd kan skrivas: x + y

Kostnaden för fyra pennor och fyra suddar kan då skrivas:

( x + y ) + ( x + y ) + ( x + y ) + ( x + y ) = 4x + 4y Vi kan i stället skriva : 4 ( x + y ) = 4x + 4y

Talet som står framför parentesen multipliceras med alla termer i parentesen.

Teori

3(a - b) = 3·a - 3·b Regel

Diskutera Viktig!!!

x + x = 2x

x · x = x²

(13)

10

Multiplicera med parentes

1- Utveckla uttrycket.

a) 3(a + 5 ) b) 8(4x – 2) c) 4(1,5 x + y)

2- Utför multiplikationerna.

a) x(x + 4 ) b) 3a(5a – 4) c) 4y(2y – x )

a + 4 5

3- Skriv ett uttryck för rektangelns area och utför multiplikationen.

x + 4 x

4- Vad ska stå i rutan för att likheten ska gälla?

a) ( x – 5 ) = 3x – 15 b) 3( + 4) = 15x + 12 c) 3(4a – ) = 12a – 9

5- En rektangels korta sida är 4 cm kortare än den långa. Kalla långa sidan för x och skriv ett uttryck för rektangelns area.

7- Bilden visar att 4(3 + 5) = 4 · 3 + 4 · 5 = 12 + 20 = 32

Rita en liknande bild som visar hur man kan förenkla uttrycket 5(x + 2).

4 4 · 3 4 · 5

5 3

8- Vilket värde har 4x + 6, om 2x + 3 = 10?

a) 4(x + 5 ) + 7x b) 2(3x – 2) + 4(x + 3) c) 5(x – 4) – 2(3x – 3)

10- Beräkna arean av kvadraten om kvadraten och den rätvinkliga triangeln har samma omkrets.

11- Förenkla uttrycken.

a) 2x( x – 3 )

b) 5x (3y – 2) + 4y(x + 3) c) 3x(x – 2) – 2x(2x + 5)

3x

4x 5x

6- Rozin har förenklat uttrycket 7a – 2(2a -3) till 3a + 3 i matteprov och fått inget poäng för den frågan.

Vad har Rozin gjort för fel?

Uppgifter

a) b)

Nivå 2

(14)

11 1- Skriv ett uttryck för omkretsen av rektangel och

förenkla så långt som möjligt.

9- En kvadrats omkrets är 8a. Skriv ett uttryck för

kvadratens area. Äp9Ma09

10-Bestäm värdet av 17 – 2x då x = 5. Äp9Ma04

11- Gustav har dubbelt så många böcker som Bertil.

Carl har sex böcker ﬂer än Bertil. Om Bertil har x böcker, vilket av svarsalternativen motsvarar det totala antalet böcker som de tre pojkarna har?

A 3x + 6 B 3x + 8 C 4x + 6 D 5x + 6 E 8x + 2

TIMMS 2003

2x - 4

y

2- Skriv ett så enkelt uttryck som möjligt för arean av ﬁguren.

2x + 3 x

5 2

3- Räkna ut värdet av uttrycket om x = 3 och y = 5 2x + y – 4

4- Förenkla uttrycket så långt som möjligt.

4a + 5b – 3a + 2b

5- Skriv uttrycken utan parentes och förenkla.

a) 6x + (2x – 4) b) – 7 – (3 x – 5)

6- x · x = 2x

7- x·y = y·x

8- Skriv uttrycken utan parentes.

a) 8(3x – 2) b) 2x(4x + 3y)

Uttryck - Variabler

Räkna mer

Sant Falskt Sant Falskt

12-a) 6x b)

2

8a 4

13-a) 3x b)

6

6 3x

14-a) 12a b)

6a

6a 12a

15-a) xy b)

x

y xy

16-a) 9ab b)

3a

3a 9ab

17-a) 4x + 2x b) 2

4x + 2x 3x

18-a) a + a + a b) a

5b + 3b 5b - 3b

20-a) 12x - 3 b) 3

24a + 12 6 19-a) 798 +798 + 798 b)

798

2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 2,7 + 2,7

(15)

a)

b) x + x + x

x + x

12ab+ 3ab 8ab - 3ab 1- Räkna ut värdet av uttrycket, om x = 8 och y = 5.

a) x – y + 2

b) 2x + y

c) 5xy

2- Skriv uttrycken utan parenteser och förenkla så långt som möjligt.

a) 3x + (4x – 5)

b) 3y – (y – 7)

c) 8(b - 3)

d) 4a(2a + b)

3- Du vet att 3(x + 2) = 18. Vad är då a) 3x + 6

b) (x + 2) · 4

c) (x + 2)

d) x

4a

2a - 4

8a

8m

6m 2a

4- Skriv ett uttryck för arean av ﬁgurerna.

a)

b)

c)

5- En kvadrats omkrets är 12x. Skriv ett uttryck för kvadratens area.

6- Förenkla så långt som möjligt.

inlämningsuppgift 1

Uttryck och ekvationer

(16)

Namn: ________________________ Klass: __________ Datum: ______________

Säker Jag kan

Ganska säker Jag behöver öva lite mer Osäker Jag behöver lära mig

Bedöm dina kunskaper om algebra

Uttryck - Algebra

Säker Ganska säker Osäker

Självbedömning

ÅRSKURS 8

Fråga 1

Fråga 2

Fråga 3

Fråga 4 Fråga 5

Fråga 8

Fråga 9

Fråga 10

(17)

12

12- Omvandla mellan längdenheter.

Läxa 1

1- Beräkna med huvudräkning.

a) 106 – 9 b) 100 · 100 c) 1 200 / 6 d) 998 + 15 e) 10 – 0,1 f) 8,7 + 3,3

2- Klockan 18.45 började Lucas titta på en ﬁlm.

Filmen var 1 h 57 min lång. När var ﬁlmen slut?

3- En cirkel har radien 4 cm. Beräkna cirkelns omkrets och area. (π ≈ 3)

4- Skriv talen i storleksordning med det största talet först.

0,11 0,109 0,19 0,119 0,1

5- Vilket är kilopriset om a) 4 kg lök kostar 120 kr b) 6 hg äpple kostar 18 kr c) 10 g krydda kostar 13 kr

6- En karta är ritad i skala 1:2 500 000. På denna karta är avståndet mellan två städer 6 cm.

Hur långt är det i verkligheten? Svara i kilometer.

7- Hur mycket är

a) 8 % av 300 kr b) 25 % av 800 kr c) av 1 200 kr 1 d) av 200 m

4 2

5

8- Beräkna.

a) 8 + (–5) b) (–8) + (–5)

c) (–8) – (–5) d) (–5) – ( –8)

9- Hur mycket är

a) 5² b) 4 · 3²

c) 10³ - 10² d)25⁰ + 7¹ - 1⁹

10- Hur mycket är

a) 20 % av 80 st b) 10 % av 825 kr

11- Skriv i grundpotensform.

a) 50 000 b) 0,000 025

4 dm är cm

75 cm är m

12 dm är cm

15 dm är m

a) 200 dm² = _____ m² b) 10 000 dm² = _____ m² c) 7 m² = _____ dm² d) 1 m² = __________ cm² 13- Omvandla enheter.

14- Bestäm värdet av - b då a = 9 och b = -3.a b

(18)

13

Teori Ekvationlösning

En ekvation innehåller en likhet och minst en obekant. I ett uttryck kan värdet på variabeln variera men obekant har bara ett värde i en ekvation.

Med ”obekant” menar vi att ett tal man inte känner till, vi kallar variabeln för den obekanta i ekvationer. Detta tal betecknas med en bokstav som x, y, a, b , osv.

Målet är att ta reda på vilket värde den obekanta har i en ekvation.

Därför tar vi bort allt annat från det ledet genom att addera, subtrahera, multiplicera eller dividera med vilket tal som helst.

Men det är viktig att vi gör likadant i båda leden.

Ekvationen x + 2 = 6 betyder att x och 2 tillsammans är 6.

Du kan tänka på det som en balansvåg där de två vågskålarna väger jämnt vilket innebär att de två sidorna i ekvationen är lika mycket.

vänster led = höger led

På ett matematisk sätt kan man skriva så här:

x + 2 = 6 x + 2 – 2 = 6 – 2

x = 4

Du har tidigare lärt dig lösa ekvationer. Ordet ekvation kommer från latinets æquatio, vilket betyder ”göra lika”.

* För att kunna lösa vissa problem behövs ekvationer.

Ekvation

Viktig!

Jag vill ha x ensamt på det vänstra ledet så jag måste ta bort “+2”.

För att kunna ta bort +2 tar jag motsatsen till addition som är subtraktion. Jag tar bort “+2” från båda leden

När jag tar bort “+2” från båda sidor då får jag x ensamt i vänster sida.

Enkla ekvationer löser du med pekﬁngermetoden.

Svårare ekvationer kan du lösa med balansmetoden.

Mattebegrepp

· ekvation

· prövning

· balansmetod

I det här avsnittet ska du lära dig mer om ekvationer.

* lösa olika typer av ekvationer.

* lösa problem med hjälp av ekvationer.

Du lär dig!

(19)

14

vad är skillnaden mellan ett uttryck och en ekvation?

Diskutera

Teori

Ekvationlösning

Balansmetoden Om man ska lösa en ekvation för att ta reda på vilket värde x

har då får man få variabeln x ensam i vänsterledet.

För att bli av med allt annat som ﬁnns där använder man motsatt räknesätt.

x – 3 = 7

Addera 3 till båda leden x – 3 + 3 = 7 + 3

x = 10

x + 4 = 11

Subtrahera 4 från båda leden x + 4 – 4 = 11 – 4

x = 7

Multiplicera båda leden med 5

I en ekvation är alltid vänster led = höger led

VL = HL

Addition Subtraktion

4x = 20

Dividera båda leden med 4 4x/4 = 20/4

x= 5

Division Multiplikation

x

5 = 3 · 5 x

5 = 3 5 ·

x = 15

Balansering innebär att man gör likadana ändringar i ekvationens vänster- och högerled tills man får variabeln fritt. Vi till exempel adderar, subtraherar,

multiplicerar eller dividerar den ena sidan av en ekvation, då måste vi också göra precis samma sak på andra sidan.

Regel!

4x - 5 = 7

4x - 5 + 5 = 7 + 5 4x = 12

Addera med 5 i båda leden för att få x-termen ensam.

Dividera med 4 i båda leden för att få x ensamt.

4x = 4

12 4 x = 3

Exempel 1: Lös ekvationen 4x - 5 = 7.

(20)

15

Ekvationer

6- Ett tal adderas med 3 och svaret är 17. Teckna ekvationen.

Lös ekvationerna

7- a) 3x – 4 = 17 b) 3x + 5 = 11 c) x/3 + 4 = 7

a +2 a + 4 a

5

3a

NIVÅ 1

Lös ekvationerna

1- a) x + 22 = 45 b) x + 17 = 35 c) 40 = x + 12

2- a) x – 4 = 12 b) x – 6 = 15 c) 20 = x – 7

3- a) 2x = 8 b) 5x = 15 c) 22,5 = 3x

4- a) x/4 = 6 b) x/2,5 = 8 c) x/1,4 = 3

5- Vilken ekvation visar ” 3 mer än a lika med 13?

a) a – 3 = 13 b) a + 3 = 13 c) 3a = 13

11- Hur lång är sidorna om omkretsen av triangeln är 24 cm.

8- a) 2x – 4 = 12 b) 3x – 6 = 15 c) 20 = 4x – 8

9- a) 4x + 15 = 43 b) 6x – 4 = 20 c) 30 = 2x + 5

10- Vilket värde har a om omkretsen av rektangel är 34 cm?

Uppgifter

Lös ekvationerna

med balansmetoden

(21)

16

Ekvationer

Lös ekvationerna

12- a) 2x + 2 = 18 b) 3x + 7 = 19

13- a) 8x - 12 = 20 b) 5a - 4 = 26

14- a) 4x - 2x + 6 = 16 b) 3x - 3,5 = 14,5

15- a) 7x - 9 = 33 b) 4k + 2 - 5 = 9

16- a) 0,5x - 4= 2 b) 0,2a + 2 = 5

17- a) x - 4= - 2 b) 2x + 21 = 3

18- a) 3x + 4= -11 b) 0,2a + 5 = 2

19- a) + 2 = 5 x b) - 1 = 14 4

x 5

20- a) - 12 = 0 y b) + 7 = 11 2

b 3

21- a) - 5 = 1 3x b) + 4= 8 2

2a 3

22- a) - 5 = 4 3y b) + 7 = 13 4

x + x 5

23- a) = 2 x + 4 b) = 5 3

x - 2 4

24- a) = 6 m - 5 b) = 7 2

x + 9 4

25- a) + 4 = 6 x - 3 b) - 3 = 7 2

x + 5 3

26- a) + 4 = 6 2x - 6 b) - 3 = 4 2

4a + 1 3

27- a) = 0,5 6 b) = 0,2 x + 3

4 2x - 6

Nivå 2

Uppgifter

(22)

17 Om ett minustecken står framför en parentes måste alla termer inuti parentesen ändra tecken när parentesen tas bort.

Tva olika tecken efter varandra ger minus.

Två lika tecken efter varandra ger plus.

Regler Viktig!!!

Ekvationer med parenteser

1 2 3 4

Exempel 1: Lös ekvationen 4x + (3x + 5) = 33.

Skriv av ekvationen.

4x + (3x + 5) = 33

Plustecken framför parentesen. Ta bort parentesen utan att göra någon ändring.

4x + 3x + 5 = 33

Förenkla uttrycket.

7x + 5 = 33

För att få x ensamt använder man motsatt räknesätt så du måste bli av med allt annat som ﬁnns där.

7x + 5 – 5 = 33 – 5

7x = 28 (Dividera båda leden med 7) 7x/7 = 28/7

x = 4

1 2 3 4

Exempel 2: Lös ekvationen 7x – (2x – 4) = 39

Skriv av ekvationen.

7x – (2x – 4) = 39

2- Minustecken framför parentesen. Ta bort parentesen och byta tecken inuti parentesen.

7x – 2x + 4 = 39

3- Förenkla uttrycket.

5x + 4 = 33

4- För att få x ensamt använder man motsatt räknesätt så du måste bli av med allt annat som ﬁnns där.

5x + 4 – 4 = 39 – 4

5x = 35 (Dividera båda leden med 5) 5x/5 = 35/5

x = 7

4(a - b) = 4·a - 4·b Regel

Teori

(23)

18

Att lösa en ekvation innebär i allmänhet att först förenkla de uttrycken.

Viktig!

Ekvationer med parenteser

Förenkla och lös ekvationerna.

1- a) 4x + (5x + 3) = 21 b) 3x + (7x – 5) = 25 c) 45 = 3x + (2x + 5)

5- a) 2(4x – 2) + 7 = 27 b) 3(2x – 5) – 11 = 16 c) 5(3x + 2) – 8 = 62 Förenkla och lös ekvationerna.

4- a) (6x + 3) + (5x + 4) = 62 b) (4x + 7) + (2x – 5) = 44 c) (5x – 8) – (2x + 5) = 17 3- a) 3(3x + 7) = 39 b) 7(4x – 5) = 77 c) 85 = 5(6x + 5)

2- a) 8x – (3x + 3) = 17 b) 6x – (4x – 5) = 25 c) 20 = 3x – (2x + 5)

Nivå 2

Uppgifter

(24)

19

Teori

I det här avsnittet ska du lära dig att teckna en ekvation när du löser problemen och sedan lösa ekvationerna med hjälp av balansering.

Du lär dig!

1 2 3 4

5 6

Exempel:

Dania har 125 kr mer än Emilie. Tillsammans har de 475 kr.

Hur många kronor har Emilie?

Lös med hjälp av ekvationer

Det är ofta eﬀektivt att använda ekvationer när man löser problem.

Det kan vara bra att använda en strategi som sammanfattas nedan.

1- Vad är det som efterfrågas? Tolka uppgiften.

2- Vad vet du? Skriv ner det du vet. Skriv uttrycken.

3- Ställ upp en ekvation.

4- Lös ekvationen.

5- Kontrollera lösningen. Har vi svarat på rätt sak? Är svaret rimligt?

6- Kolla om du behöver använda t.ex. enheter.

Vad är det som efterfrågas?

Hur många kronor har Emilie? “x”

Vad vet du? Skriv ner det du vet. Skriv uttrycken.

Dania har 125 kr mer än Emilie.

Dania har: x + 125 kr

Dania och Emilie har tillsammans 475 kr.

Ställ upp en ekvation.

x + (x + 125) = 475

Lös ekvationen.

x + x + 125 = 475 2x + 125 = 475

2x + 125 -125 = 475 -125 2x= 350

2x/2 = 350/2 x= 175 kr

Kontrollera lösningen.

Emilie har: 175

Dania har 125 kr mer: 175 + 125 = 300 kr Tillsammans: 175 + 300 = 475 kr

Det betyder att vi har beräknat rätt.

Kolla om du behöver använda t.ex. enheter.

Svar : 475 kr.

* Vad menar vi med två på varandra följande tal? Ge ett exempel.

* Diﬀerensen av två tal är 6.

Vilka uttryck skriver du för talen?

* Summan av två på varandra följande jämna tal är 46.

Vilka är talen?

Diskutera

(25)

20

Lös med hjälp av ekvationer _Uppgifter

1- Amir och Simon tjänar tillsammans 45 000 kr. Amir tjänar x kr och Simon tjänar 2 500 kr mer än Amir.

a) Skriv ett uttryck för Simons lön.

b) Skriv ett uttryck och förenkla för hur mycket de tillsammans tjänar.

c) Bestäm hur mycket var och en tjänar.

2- I en rektangel är den korta sidan 5 cm kortare än den långa sidan.

a) Skriv ett uttryck för rektangelns omkrets.

b) Räkna ut hur långa sidorna är om omkretsen är 38 cm. Använd ekvationer.

x

x - 5

3- En träbit var 40 cm lång. Den sågades i 3 delar.

Längderna i cm är:

2x – 5 x + 7 x + 6

Hur lång är den längsta delen? (TIMMS 2011)

4- Maria tänker på ett tal. Talet multipliceras med 4 och sedan subtraheras 5 från produkten.

Då får Maria 27. Vilket tal tänkte Maria på?

5- I en rätvinklig triangel är vinkel B 20° större än v inkel C. Skriv en ekvation och räkna ut hur stor vinkel B och C är.

?

? ?

A C

B

6- Omkretsen av en rektangel är 150 cm. Den långa sidan är 4 gånger så lång som den korta. Räkna ut hur långa sidorna är med hjälp av en ekvation.

7- Två tal har summan 40 och diﬀerensen 4.

Vilka är talen.

8- Summan av två på varandra följande är 51.

Vilka är talen.

9- Summan av tre på varandra följande tal är 48.

Vilka är talen.

10- Mr. Noels mamma är 3 gånger så gammal som Mr. Noel och pappan är 2 år äldre än mamman.

Tillsammans är de tre 100 år.

Hur gammal är Mr. Noel?

11- Om man tar en tredjedel av ett tal och sedan minskar med 4, får man 11. Vad är talet?

Var noga med enheterna!

(26)

21

Lös med hjälp av ekvationer

12- Yousef är 5 år äldre än Tayyab och 3 år yngre än Hampus. Tillsammans är de 43 år gamla.

a) Kalla Yousefs ålder för x och skriv ett uttryck för Tayyabs och Hampus ålder.

b) Skriv en ekvation för deras sammanlagda ålder.

c) Hur gammal är Hampus?

13- Jennifer simmade 1300 m på 4 dagar. Varje dag simmade Jennifer 20 meter längre än dagen innan.

Hur lång simmade Jennifer tredje dagen?

14- Ett tal adderas med 3 och sedan multipliceras summan med 5, då får man 40. Vilket är talet?

15- Taxiföretaget har en grundavgift på 25 € och en avgift på 0,2 € för varje kilometer som taxin körs.

Vilket av dessa svarsalternativ motsvarar kostnaden i € för att anlita en taxi för en resa på n kilometer?

(TIMMS – 2011) a) 25 + 0,2n b) 25·0,2n c) 0,2·(25 + n) d) 0,2 ·25 + n

16- Medlemsavgiften i Ashojdens IF är 80 kr för barn och 150 kr för vuxna. I familjen Kvist är båda föräldrarna och de tre barnen medlemmar.

Hur mycket betalar familjen sammanlagt i medlemsavgifter till foreningen? Np-2004

17- Kassören i Ashojdens IF har fått in totalt 51 000 kr pä medlemsavgifter. Hon ställer upp följande ekvation: 80 · x + 150 · (480 – x) = 51 000.

a) Vad står x för i denna ekvation? Endast svar kravs.

b) Vad står 480 för? Endast svar kravs.

c) Hjälp kassören att lösa ekvationen. Np-2004

18- När man skall ta körkort i Roy och Rogers bilskola i Trollhättan kostar teorin och de obligatoriska körlektionerna tillsammans 2300 kr. De extra körlektionerna kostar 220 kr per lektion.

a) Vad får Lars betala sammanlagt till bilskolan om han tar 12 extra körlektioner?

b) Sara som just är klar med körkortet har betalat 4060 kr till bilskolan. Hur många extra körlektioner tog hon?

c) Skriv en formel som beskriver hur mycket man skall betala sammanlagt till bilskolan om man genomgår en körkortsutbildning och tar x extra körlektioner.

NIVÅ 2

(27)

1- Lös ekvationerna.

a) 4x – 6 = 18

b) 5x - 4 = 11

c) 3x - 12 = 18

2- Förenkla och lös ekvationerna.

a) 3(x + 5) = 27

b) 2(3x + 2) = 28

c) 3(2a - 3) = 15

d) 3(2a - 3) - 6 = 9

3-

a) + 2 = 11

b) - 3 = 2

c) + 4 = 5

inlämningsuppgift 2 Uttryck och ekvationer

x 3

x 5

x 7

2a + 1 3a - 2 a

4- Hur lång är sidorna om omkretsen av triangeln är 23 cm.

a) 5x – (2x + 4) = 5

b) 6x + (4x + 5) = 45

c) 20 = 5x – (4x - 5)

Vilka är talen?

7- Summan av två på varandra följande jämna tal är 34. Vilka är talen?

(28)

Namn: ________________________ Klass: __________ Datum: ______________

Säker Jag kan

Ganska säker Jag behöver öva lite mer Osäker Jag behöver lära mig

Bedöm dina kunskaper om algebra

Uttryck - Algebra

Säker Ganska säker Osäker

Självbedömning

ÅRSKURS 8

Fråga 1

Fråga 2

Fråga 3

Fråga 8

Fråga 9

Fråga 10

(29)

22

Läxa 2

1) En motorcykel kör 16 km på 15 min.

Beräkna motorcykelns medelfart i km/h.

2) Ett paket nötter som väger 300 g kostar 24 kr.

Vilket är kilopriset?

3) En låda med 30 kg päron ska packas i påsar.

Hur många påsar behöver vi om en påse innehåller 1,5kg?

4) Olivia springer 0,4 mil om dagen. Hur långt springer Olivia under en vecka?

10) En ﬁlm på TV börjar kl 17.55.

Filmen är 1 h 25 min lång. När slutar ﬁlmen?

9) Beräkna a) 25 · 0,2 b) 2,5 · 10 c) 0,04 · 1000 d) 2,5 /10

5) Saga springer 4 kilometer på 24 minuter.

Vilken är hennes medelfart?

6) Daniel har skrivit temperaturen under en vecka och beräknat medeltemperaturen till 3 °C.

Vad är temperaturen på onsdag?

7) En bil kör med medelfarten 90 km/h.

Hur långt hinner bilen på 20 min?

8) Beräkna.

a) 4 - (-3)·(-5) b) 15 - ( - 4 ) + ( -3 )

11) En morgon var temperaturen -15°C.

Till kvällen steg temperaturen med 11 grader. Vilken var temperaturen då?

12) 400g morot kostar 6 kr. Vilket är kilopriset?

mån tis ons tor fre lör sön 5 2 ? 1 3 4 1

13) Beräkna arean och omkrets ( π≈3)

4 cm

a) b)

3 cm

(30)

1- a) 3x + 4x b) 5x – 3x c) 7a + 4a – a 2- a) 7x + 3 + 4x

b) 5x + 4 + 2x – 5 c) 6y + 3y – 5 – 4y

4- Skriv ett så enkelt uttryck som möjligt för hur lång hela fordonet är.

3x + 4

x + 3 x

6- Ibado svarade på x antal frågor i sista matteprov.

Skriv ett uttryck för hur många frågor

a) Evelyn svarade på 2 gånger så många frågor som Ibado.

b) Zandra svarade på 3 frågor ﬂer än Ibado c) Jasmine svarade på 4 frågor färre än Ibado

a) Skriv ett så enkelt uttryck som möjligt för rektangelns omkrets.

b) Skriv ett så enkelt uttryck som möjligt för rektangelns area.

4y x

8- a) Skriv ett så enkelt uttryck som möjligt för rektangelns omkrets.

b) Skriv ett så enkelt uttryck som möjligt för rektangelns area.

c) Beräkna omkretsen och arean av rektangeln om x = 3 cm och y = 2 cm.

5y 3x

3- a) 4x · 2y b) x · x c) 5x · 4x

5- En rektangel har arean 10x² och omkretsen 14x.

Skriv ett uttryck för rektangelns höjd och bas.

10- Skriv ett uttryck för rektangelns höjd.

a)

b)

Arean = 15a²

3a

?

Arean = 8xy

4x

? 9- Förenkla uttrycket.

a) 5a² + 3a² – a² b) x² – 5x² + 4x² c) 2y² – 4y² + 3y² 7-

23

Förenkla uttryck

Spår 1

(31)

Skriv först uttrycket utan parentes och sedan förenkla det.

1- a) 5x + (4x – 5) b) 7x + (4x + 6) c) (7a – 8) + ( a + 5)

2- a) 6y – (4y + 5) b) 4p – (2p – 5) c) 8a – (4a – 5) + 3

3- a) 14x – ( 5x – 8) + 4 b) (6x + 4) – (7x – 4) c) (5a + 3b) – (4a – 2b)

4- Förenkla uttrycket 4a – ( 4 – 2a) och beräkna värdet om a = 4.

Skriv uttrycken utan parentes.

5- a) 3(4a + 5) b) 2(5x – 3) c) 6(7y – 4)

6- a) x(x + 3) b) a(2a – 4) c) y(2y – 5)

7- a) 5x(3x – 7) b) 9a(4a + 4) c) 4x(7x + 5)

8- a) 4(3x - 5) - 3x b) 9(2a + 3) + 12 c) 7 - 4(2x - 2)

3x

2x + 3 x + 7

4x

a) b)

10- Du vet att 4(x - 2) = 16. Vad är då a) (x - 2) · 4

b) 2(x - 2) c) (x - 2) d) x

9- Du vet att 3(x + 4) = 27. Vad är då a) 3x + 12

b) (x + 4) · 6 c) (x + 4) d) x

12- En rektangel har arean 16x² och omkretsen 20x.

Skriv ett uttryck för rektangelns bas respektive höjd.

11- Du vet att 5x + 3y = 24. Hur mycket är då 10x + 6y?

13- Skriv ett uttryck för ﬁgurernas area.

Uttryck med parenteser

24

Spår 1

(32)

7- a) + 1 = 6 x b) - 2 = 9 3

x 4

8- a) - 1 = 0 y b) + 7 = 10 12

3b 2

9- a) - 3 = 5 4x b) + 3 = 9 3

2a 5

10-a) = 5 x - 3 b) = 4 2

x + 5 3

11-a) = 6 x - 4 b) = 5 2

y + 3 4 Lös ekvationerna.

1- a) x + 5 = 13 b) a – 8 = 4 c) 4a = 20

2- a) 15 = x – 4 b) 4 = x + 7 c) 32 = 8x

3- a) x/4 = 12 b) x/7 = 5 c) 2x + 1 = 11

4- Vika av ekvationerna har lösningen x = 3?

a) x – 1 = 2 b) 3x – 5 = 4 c) 2x + 5 = 15

Lös ekvationerna.

5- a) 5x – 9 = 11 b) 7a + 6 = 27 c) 24 = 4x + 4

6- a) 0,5x + 4 = 7 b) 0,25x – 2 = 4 c) x + 4 = 1

12- Hur många grader är vinkeln 2x?

13- Beräkna x om omkretsen av rektangeln är 38 cm?

2x

3x +20 _{x +10}

3x 5x + 3

14- Ett tal multipliceras först med 4 varefter 19 tas bort från produkten. Resultatet blir 7 mindre än det ursprungliga talet. Vad är talet?

15- Ett tal divideras med 2 varefter 7 adderas till kvoten.

Resultatet blir 5 mer än det ursprungliga talet.

Bestäm det ursprungliga talet.

25

Ekvationer

Spår 1

(33)

A B

1) Lös ekvationerna a) x + 5 = 9 b) x - 4 = 3 c) 4x = 12 d) x/2 = 5

2) Lös ekvationen 4x + 5 = 17

3) Lös ekvationen x+ 5 = –4

4) Vilket eller vilka av talen 3, 4, 5 och 6 är lösningar till olikheten 2x + 4 < 13 ?

10) 3(2x + 5) = 33, lös ekvationen

9) Lena och Alida tjänar tillsammans 50 000 kr.

Lena tjänar x kr och Alida tjänar 2 000 kr mer än Alida.

a) Skriv ett uttryck för Alidas lön.

b) Skriv ett uttryck och förenkla för hur mycket de tillsammans tjänar.

c) Bestäm hur mycket var och en tjänar.

5) Förenkla och lös ekvationen. 20 = 3x – (2x + 5)

6) Summan av två på varandra följande är 51.

Vilka är talen.

7) Anton tänker på ett tal. Han dubblar det och lägger sedan till 4 resultatet blir 18.

Vilket tal tänker han på? Lös med en ekvation.

8) Om man tar en tredjedel av ett tal och sedan minskar med 2, får man 3. Vad är talet?

11) Basvinklarna i en likbent triangel är fyra gånger så stora som toppvinkeln. Hur stor är toppvinkeln?

12) Lös ekvationen =1 x - 0,3 0,1

26

Spår 1

Repetera - Ekvationer

(34)

27

Förenkla uttryck

Förenkla uttrycken

1- a) (4x + 5) – (7x – 5) + (3x + 5)

b) 2(3x + 5) + 4(3x -2)

c) 12x – 2(3x – 4) + 15

d) 5x – 3(4x – 6) + 2(3x + 5)

2- a) a – (a – b) – (b – a) – (a + b)

b) -(x – y) + (x + y) – (y – x) + (x + y)

c) (12x + 5) – (7x – 4) + (x + y)

d) (14 – 5x) + (7x – 12) – (3x + 4)

3- a) 5(2x – 4) – 4(2x + 7)

b) 7(3 – 5x) – 6(4x – 6)

x

6- Figuren består av lika stora kvadrater med sidan x.

Skriv ett så enkelt uttryck som möjligt för ﬁgurens a) omkrets

b) area

4- a) 2x(3x + 4y) – 2y( 4x – 2y) + 5(x + y)

b) 4a(2a – b) – b(4a + 3b) – a(5 + 2a)

c) 4x(2x + 2) – 5x(3x – 4) – 6(4 – x)

d) 3x(5x – 5) – 5x(3x + 3) – 4(x+ 4)

5- Vilket värde har uttrycket 7x + 7y om x + y = 4

Spår 2

(35)

28

Förenkla uttryck

7- Skriv ett så enkelt uttryck som möjligt för ﬁgurernas area.

3a

5a 2b

2b x

y y

x

- - - -

3x

6x

x x x x

2x x

x x 3x

3x

x x

8- Skriv ett uttryck för arean av:

a) den lilla rektangeln b) det färgade området

9- Skriv ett så enkelt uttryck som möjligt för arean av det färgade området.

4x 2x x

2x

x + y

x y

x - y

x x

y y

a)

x

b)

c)

d)

e)

f)

Spår 2

(36)

a) 3x – 5 = 2x + 6 b) 5x – 3 = 3x + 11

c) 3x + 5 = 5x – 8 d) 4x + 4 = 7x – 5

2- a) 3(4x + 5) = 8x + 39

b) 6(x – 4) = 4(x + 9)

c) 21 – 2(3x + 5) = 4(x – 5)

d) 6(1,5x – 2) – 4x = 3(x + 5) – 7

3- Lös ekvationerna och kontrollera lösningarna.

a) 15 – 2(6x – 8) = 14 – 3(5x – 8) + 2x

b) 8 – 6(4 – 1,5x) = 3(5x – 8) + 2(3x + 1)

Ekvationer

1- Är x = 2 en lösning till ekvationen x² – 5x + 6 = 0 ?

2- Är x = 5 en lösning till ekvationen x² – 4x – 6= 0 ?

3- Ett tal multipliceras först med 4 varefter 19 ta bort från produkten. Resultatet blir 7 mindre än det ursprungliga talet. Vad är talet?

4- Ett tal divideras med 2 varefter 7 adderas till kvoten.

5- Andrea, Astrid och Edvin tjänar tillsammans

63 200 kr per månad. Andrea tjänar 700 kr mindre än Astrid och Edvin tjänar 2 500 kr mer än Andrea per månad.

Hur mycket tjänar var och en?

6- Anton har bara hundralappar och femtiolappar.

Totalt är sedlarna värda 750 kronor. Hur många femtiolappar ﬁnns det i plånboken om det ﬁnns dubbelt så många hundralappar som femtiolappar?

Ekvationer med x i båda leden

Spår 2

Lös med hjälp av ekvationer

29

(37)

7- Storleken på pjäxor anges oftast i EUR-mått: … 36, 37, 38, 39 osv. För att beräkna vilken storlek man behöver på sina pjäxor kan man använda följande formel, där s är storleken och x är fotens längd i centimeter: s =

a) Annas fot är 23 cm lång. Vilken storlek på pjäxor behöver hon?

b) Erik har köpt ett par pjäxor i storlek 42.

Hur långa är hans fötter?

8- En vägfärja kan lasta personbilar, lastbilar och bussar.

Färjans lastkapacitet kan beskrivas med en formel a + 4b = 25, där a är antalet personbilar och b är antalet lastbilar eller bussar.

a) Två bussar kör ombord på färjan. Hur många personbilar ﬁnns det sedan plats för?

b) Vilket är det största antalet personbilar som färjan kan ta?

c) Hur många personbilar får, enligt formeln, plats på färjan i stället för en buss?

Motivera ditt svar.

9- Ett år deltog 500 barn och ungdomar i ”Lilla OS”.

Startavgiften är 30 kr för junior (11–17 år) och 20 kr för minior (3–10 år). Inkomsten från start-avgifterna blev totalt 13 110 kr.

Hur många miniorer deltog i tävlingen det året?

Ekvationer

1- Arean hos en triangel kan beräknas med formeln A = (b = basen och h = höjden) a) Lös ut ”b” ur formeln.

b) Beräkna basen hos en triangel med arean 495,6 dm² och höjden 240 cm.

Svara i meter.

2- Omkretsen hos en cirkel kan beräknas med formeln O = 2πr

a) Lös ut ”r” ur formeln.

b) Beräkna hur lång radien är om omkretsen är 225 cm.

4- Följande samband gäller för hastigheten:

s = v·t (s = sträckan, t = tiden, v= medelhastigheten) a) Lös ut ”v” ur formeln.

b) Använd formeln för att beräkna vilken hastighet bilen haft om den på två timmar kört 240 km.

3- Arean hos en cirkel kan beräknas med formeln A = πr² a) Lös ut ”r” ur formeln.

b) Hur lång är radien om arean är 35 cm²

Spår 2

Lös med hjälp av ekvationer - Np Att lösa ut variabler

3x + 5 2

b · h 2

30

(38)

Förenkla uttrycken.

1- 5 – (2 – 3x) + 4x

2- 6x –(3+3x) – (2 – 4x)

3- 9 + 4x – (6x – 5) – 2x

4- 18a – 13 – (4a + 5) – 9a – 7a + (3a + 5)

5- (a + b) – (4a – 5b) – (6a + 7b) – (2a + 2b)

6- Förenkla först och beräkna därefter värdet av uttrycket om x = 2

7x – 7 + 3x – (2x + 4)

7- Förenkla först och beräkna därefter värdet av uttrycket om x = 5

5x – 7 – (2x -1)

Multiplicera in i parenteserna och förenkla:

8- 6x – 4 + 2(3x – 5)

9- 3(x – 4) – 4(x + 1) – 4(x – 1)

10- 6(3- 2x) + 4(2x – 5) – 3(x – 1) ÖSNING 5 – (2 – 3x) + 4x VAR OCH L 1- S 1- Minus teck

en fram för par entesen. T

a bort

paren tesen och b yta t

ecken inuti par entesen.

5 – 2 + 3x + 4x

2- för enkla uttryck

et 7x + 3

2- S VAR OCH L ÖSNING 6x – (3 + 3x) – (2 – 4x)

1- Minusteck en fram

för båda par enteserna. T

a

bort paren teser och b yta t

ecken inuti par enteser

. 6x – 3 – 3x – 2 + 4x

et 7x – 5

3- SVAR OCH L ÖSNING 9 + 4x – (6x – 5) – 2x

1- Minusteck en fram

för par entesen. T

a bort entesen. ecken inuti par yta t tesen och b paren

9 + 4x – 6x + 5 – 2x

et -4x + 14 eller 14 – 4x

4- a – 13

5- -11a – 3b

6- 8x – 11

7- 3x – 6

8- SVAR OCH L ÖSNING

6x – 4 + 2(3x – 5) 1- Multiplicera in 2 med alla t

ermer inuti paren tes.

6x – 4 + 2·3x – 2·5 6x – 4 + 6x – 10

et 12x – 14

9- -5x – 12

10- -7x + 1

11- x² + 5x 12- 9a²

11- 2x(4- x) + 3x(x -1)

12- 4a(a – 1) – 5a(1- a) + 9a

31

Högre nivå Förenkla uttryck

(39)

32

Mycket högre nivå

Förenkla uttryck

Förenkla uttrycken 1- (x + 2)(x – 1)

2- (x +4)(x-5) – (x – 3)(x + 2)

3- 4(2y – 3) – (3 – y)(y + 1)

4- (x + 2)² + (x – 3)²

5- (3x + 2)² – (2x – 2)²

6- Jasmin, Momal och Erika jämför hur mycket pengar de har. Jasmine har x kronor. Momal har 50 kr mer än Jasmin och Erika har dubbelt så mycket som Momal.

Skriv ett uttryck för hur mycket de har tillsammans och förenkla uttrycket

7- Förenkla uttrycken

a) +

b) -

c) -

Fråg

a 1 1- Multiplicer

a den för sta t ermen i den för

sta

paren tesen med alla t ermer i den andra par

entesen: x·x – x·1 = x² – x

2- Multiplicer a den andra t

ermen i den för

sta ermer i den andra par tesen med alla t paren

entesen:

2·x – 2·1 = 2x – 2

3- Skriv alla x² – x + 2x – 2

4- F örenkla uttr yck

et x² + x – 2

2x - 1 2x

3x +1 3x - 1 x - 1

x +1

x +1 x - 1 x + 1

x

x - 3 x + 2

(40)

33 1- Förenkla uttrycken.

a) 7a + 5a b) 8y – 3y + 5 c) 7x + 6 – 5x – 8

a) x · x b) 4x · 5x c) 5a · 4 + 2a

3- En kvadrat har sidan 4a. Skriv ett uttryck för kvadratens.

a) omkrets b) area

4- Beräkna värdet på uttrycken om a = 3 och b = 5.

a) a + 3b b) 2ab b) 5a – 4b

5- Förenkla så långt som möjligt 4b − (2a + 3b)

6- a = 3 och b = –2 Bestäm värdet av a(a + 2) + b

7- En kvadrats omkrets är 8a. Skriv ett uttryck för kvadratens area.

8- Hur mycket är 4x + 6y om2x + 3y =12?

9- a) Skriv ett uttryck för rektangelns area.

b) Beräkna rektangelns area om x = 3 cm.

3x 5x

10- Förenkla uttrycken a) (7x + 3) + (4x – 5)

b) (6x – 12) + ( 2x + 9)

c) (8a – 3) – (9a – 5)

11- Utför multiplikationerna.

a) x( x + 4 ) b) 3a (5a – 4) c) 4y (2y – x )

12- Förenkla så långt som möjligt

13- Förenkla så långt som möjligt

14- Vilket eller vilka av talen 2, 3, 4 och 5 är lösningar till olikheten 3x – 1 < 10 ? Ringa in ditt svar.

A. endast 5 B. 4 och 5 C. endast 4 D. 2 och 3 E. alla

15- Förenkla så långt som möjligt 5a – 3 + 7 – 8a

16- Du vet att 3x + 4y = 27 Hur mycket är då 6x + 8y?

17- Adrian tänker på ett tal. Han dubblar det och och lägger sedan till 5. Resultatet blir 17.

Vilket tal tänker han på? Lös med en ekvation.

Övningsprov

Del 1

a + 2a + 3a a

a + a + a + a + a a + a

(41)

34

Del 1

18- Lös ekvationen 1 7 = 3x + 5

19- Lös ekvationen + 1 = 5

20- Hur många grader är vinkeln a?

21- Basvinklarna i en likbent triangel är fyra gånger så stora som toppvinkeln.

Hur stor är toppvinkeln?

22- Lös ekvationerna

a) x + 5 = 8 b) 5x = 30 c) = 7

23- Lös ekvationerna a) 3x – 7 = 11

b) 4x + 1 = 13

c) + 4 = 6

Övningsprov

24- Lös ekvationen x+ 6=–2

25- Lös ekvationen 13 – 3x = 7

a) 4(2x + 1) = 28

b) 5(2x – 5) + 3x = 14

c) 21 = 3(4x – 1)

27- Jag multiplicerar ett tal med 7 och drar ifrån 3.

Svaret blir 53. Vilket tal hade jag från början?

Lös uppgiften med hjälp av en ekvation.

Kalla talet för x.

Vilka är talen.

29- Danai är x år gammal och har en bror som är 8 år äldre och en bror som är tre gånger så gammal som Danai. De tre är tillsammans 28 år.

Teckna ett uttryck för syskonens sammanlagda ålder och beräkna sedan Danais ålder.

30- Linda, Erika och Jessie ska dela på 56 godisar. Linda ska ha dubbelt så mycket som Erika och Jessie ska få hälften så mycket som Erika.

Hur mycket får var och en?

x 2

x 4

x 3

(42)

35

Övningsprov

15- Lös ekvationen = 1 1- Förenkla uttrycken

a) 2x( x – 3 )

b) 5x (3y – 2) + 4y(x + 3) c) 3x(x – 2) – 2x(2x + 5)

2- a) 2x(3x + 4y) – 2y( 4x – 2y) + 5(x + y) b) 4a(2a – b) – b(4a + 3b) – a(5 + 2a) c) 4x(2x + 2) – 5x(3x – 4) – 6(4 – x) d) 3x(5x – 5) – 5x(3x + 3) – 4(x+ 4)

a) 3(4x + 5) = 8x + 39 b) 6(x – 4) = 4(x + 9)

4- Ett tal multipliceras först med 4 varefter 19 ta bort från produkten. Resultatet blir 7 mindre än det ursprungliga talet. Vad är talet?

5- Ett tal divideras med 2 varefter 7 adderas till kvoten.

6- Ange en formel som beskriver sambandet mellan a och b.

7- Tabellen visar ett samband mellan x och y. Vilket tal ska stå i den tomma rutan?

8- Ange en formel som beskriver sambandet mellan x och y.

9- För vilken av ekvationerna är x = – 3 en lösning?

Ringa in ditt svar.

10- Bestäm värdet av – b då a =12 och b = -4

11- Sara ska ringa hem till Sverige med sin mobiltelefon.

Hennes kostnad för samtalet kan bestämmas med formeln: K = 9,95 + 1,6x där K är kostnaden i kr och x är samtalstiden i minuter.

Hur länge kan hon prata för 20 kr?

12- a = 3 och b = –2

Bestäm värdet av a(a + 2) + b

13- Vilket av talen är en lösning till följande ekvation?

x² + x –12 = 0 Ringa in ditt svar.

–4 –2 0 2 4

14- I en tablettask ﬁnns n stycken tabletter varav r stycken är röda och s stycken är svarta.

a) Förklara med egna ord vad följande matematiska uttryck betyder: r + 5 = s b) Vad beräknar man med uttrycket: r

n

x - 0,2 0,1 a b

Del 2

(43)

36

Övningsprov

16- Storleken på pjäxor anges oftast i EUR-mått: … 36, 37, 38, 39 osv. För att beräkna vilken storlek man behöver på sina pjäxor kan man använda följande formel, där s är storleken och x är fotens längd i centimeter:

a) Annas fot är 23 cm lång. Vilken storlek på pjäxor behöver hon?

b) Erik har köpt ett par pjäxor i storlek 42.

Hur långa är hans fötter?

17- I Kina har man vid arkeologiska utgrävningar funnit många skelettdelar. Med hjälp av lårbenets längd (x cm) kan man bestämma hur lång en människa troligen var när den levde.

Kroppslängden (K cm) kan beräknas med formeln:

K = 2,6x + 65

a) Beräkna med hjälp av formeln kroppslängden för en person med ett lårben som är 35 cm långt.

b) Hur långt lårben har basketspelaren Yao Ming enligt formeln? Han är 229 cm lång.

c) Undersök om formeln kan gälla för små barn.

18- En vägfärja kan lasta personbilar, lastbilar och bussar.

Färjans lastkapacitet kan beskrivas med en formel a + 4b = 25, där a är antalet personbilar och b är antalet lastbilar eller bussar.

a) Två bussar kör ombord på färjan. Hur många personbilar ﬁnns det sedan plats för?

b) Vilket är det största antalet personbilar som färjan kan ta?

c) Hur många personbilar får, enligt formeln, plats på färjan i stället för en buss? Motivera ditt svar.

20- I en fruktodling har man planterat mangoträd ( ) omgivna av apelsinträd ( O ) på det sätt som ﬁgurerna visar.

a) Hur många mangoträd och hur många apelsinträd ﬁnns det i ﬁgur 5?

b) Hur många mangoträd och hur många apelsinträd ﬁnns det i ﬁgur n? Motivera ditt svar.

c) I figur 2 finns det dubbelt så många apelsinträd som mangoträd. Undersöki vilken figur som det finns dubbelt så många mangoträd som apelsinträd.

21- Ett år deltog 500 barn och ungdomar i ”Lilla OS”.

Startavgiften är 30 kr för junior (11–17 år) och 20 kr för minior (3–10 år). Inkomsten från start-avgifterna blev totalt 13 110 kr.

Hur många miniorer deltog i tävlingen det året?

22- Skriv ett så enkelt uttryck som möjligt för ﬁgurernas area.

a)

b)

x x x x

2x x

x x 4x

2x x

2x

Del 1

(44)

37 Äp9Ma07 B2/V1

Att hitta ett mönster med tre tal i följd

• Gör motsvarande beräkningar för några olika talföljder med tre andra tal som kommer direkt efter varandra. Beskriv resultatet av din undersökning. Vilken slutsats kan du dra?

• Undersök på samma sätt några andra talföjder med tre tal. Differensen ska vara densamma mellan två tal som följer på varandra, t ex två som i talföljderna 1, 3, 5 och 6, 8, 10 eller tre som i talföljderna 1, 4, 7 och 6, 9, 12. Beskriv resultatet av denna undersökning. Vilka samband hittar du?

• Visa att sambanden gäller för alla talföljder som är uppbyggda på detta sätt.

Välj tre heltal som kommer direkt efter varandra, t ex 6, 7, 8

Multiplicera det största och det minsta talet med varandra: 6 · 8 = 48 Multiplicera det mellersta talet med sig själv: 7 · 7 = 49

Vid bedömningen av ditt arbete kommer läraren att ta hänsyn till

• vilka metoder du väljer och hur väl du behärskar dessa

• hur väl du har redovisat ditt arbete och genomfört dina beräkningar

• hur väl du har motiverat dina slutsatser.

(45)

38

Äp9Ma09

Hur gammal blir en katt?

En katt lever inte lika länge som en människa. Därför kan man säga att katten åldras snabbare. För att jämföra en katts ålder (antal kattår) med en människas ålder (antal år) kan man använda olika modeller.

Modell A: Varje år motsvarar 7 kattår.

Modell B: Första året motsvarar 15 kattår.

Andra året motsvarar 10 kattår.

Varje ytterligare år motsvarar 4 kattår.

a) För tre år sedan fick Maria en nyfödd kattunge. Hur många kattår är hennes katt idag enligt Modell A respektive Modell B?

b) Skriv av och fyll i tabellen.

Rita sedan ett koordinatsystem med antal år på x-axeln och kattens ålder på y-axeln.

Rita två grafer i ditt koordinatsystem, en för Modell A och en för Modell B.

c) Efter hur lång tid ger de båda modellerna samma ålder på en katt? Bestäm detta så exakt du kan.

d) Katter kan bli gamla. Det är inte ovanligt att de lever minst 20 år. Jämför de båda modellerna när det gäller kattens livslängd (antal kattår). Vilken av modellerna är mest rimlig? Motivera dina slutsatser.

Vid bedömningen av ditt arbete kommer läraren att ta hänsyn till

• vilka matematiska kunskaper du har visat

• hur väl du har motiverat dina slutsatser

• hur väl du har redovisat ditt arbete och genomfört dina beräkningar.

Kattens ålder År Modell A

kattår Modell B kattår

1 7 15

2 14 25

3 4 5 6

(46)

(47)

(48)

Facit

Variabler och uttryck - Testa dig

1- x +24 2- x -2 3- c 4- a

5- a) 8a b) 24y

c) 12x

6- a) 7x b) 5b c) a

7- a) 3a + 3 b) 5x + 3y c) 6x -3

8- a) 10a + 4b + 4 b) 4x + 8 c) 2a + 2b + 8

9- 2x

10- a) 5 b) 3

c) 23

Uttryck - Multiplikation - Testa dig

1- a) y² b) 8x

2- a) a² b) 5a²

c) 4a² d) 20a²

e) 12x² f) 24a²

3- a) 2ab b) 6km

c) 8xy d) 28ab

e) 50xy f) 56cd

4- a) 3 b) 2x

Variabler och uttryck - Uppgifter 1- a) 2x + 2y b) 10x + 4y

c) 8x + 6y + 10

2- a) 4a + 6b – 2 b) 10x c) 2x + 2y – 6

3- a) 7a b) 5y c) 8x + 6

4- a) 2b – 5 b) 3a + 5b c) 5a + 2b + 5

5- a) 7 b) 2

c) 9 6- 16 cm

7- a) x + ( x + 2 ) + ( 2x) eller x + x + 2 + 2x b) 4x + 2

8- 3b + 2 9- 3x – 4 10- a)

b)

11- 2x – 7y – 3

12- t.ex 3x och 4, 3x +1 och 3, x och 2x +4, …

Uttryck med paranteser - Uppgifter 1- a) 7a + 5 b) 7x – 4

c) 5a – 2 2- Rätt svar : C

3- a) 3a – 4 b) 4y + 4 c) 3x + 2

4- 3a -1 5- 2 eller +2 6- a – 4x + 58

7- a) 7x + 3 b) 6x – 2 c) a + 2

8- a) x + y + 3

b) 10 – (a + b – 1)

eller 10 – a – b + 1 = 11 – a – b 9- a) Kostnaden för ett äpple och

en banan i kronor.

b) Kostnaden för 3 äpple och 2 bananer

c) Hur mycket du får tillbaka på 100 kr när du köper ett äpple och en banan.

Uttryck - Multiplikation - Uppgifter 1- a) 12xy b) 15a

c) 20k²

2- a) 8x b) 4x²

c) 17a 3- 25x² 4- 14x²

5- a)10a² b) 90 cm² 6- a) 12x b) 6x² 7- a) 8x b) 500 – 8x

8- a) 10x b) 5a

c) 22a

(49)

Facit

Multiplicera med paranteser - 1- a) 3a + 15 b) 32x – 16

c) 6x + 4y

2- a) x² + 4x b) 15a² – 12a c) 8y² – 4xy

3- a) 5a + 20 b) x² + 4x

4- a) 3 b) 5

c) 3 5- x² – 4x

6- Rozin har glömt att multiplicera 2 med 3. Svaret är 3a + 6 7- —

8- 20

9- a) 11x + 20 b) 10x + 8 c) -x – 14

11- 9x²

12- a) 2x² – 6x

b) 19xy – 10x + 12y c) -x² – 16x

Uttryck - Variabler - Räkna mer 1- 4x + 2y - 8

2- 15km 3- 7 4- a +7b

5- a) 8x - 4 b) 4x +5 6- Falskt

7- Sant

8- a) 24x - 16 b) 8x² + 6xy 9- 4a²

10- 7 11- C

12- a) 3x b) 2a

13- a) 0,5x b) 14- a) 2 b) 0,5

15- a) y b)

16- a) 3b b) 17- a) 3x b) 2

18- a) 3 b) 4

19- a) 3 b) 2 20- a) 4x -1 b) 4a + 2

12- a) 8 b) 4

13- a) 4 b) 6

14- a) 5 b) 6

15- a) 6 b) 3

16- a) 12 b) 15

17- a) 2 b) -9

18- a) -5 b) -15

19- a) 12 b) 75

20- a) 24 b) 12

21- a) 4 b) 6

22- a) 12 b) 15

23- a) 2 b) 22

24- a) 17 b) 19

25- a) 7 b) 25

26- a) 5 b) 5

27- a) 9 b) 133

2 x

1 1x 3b

Ekvationer- Uppgifter

1- a) 23 b) 18 c) 28 2- a) 16 b) 21 c) 27

3- a) 4 b) 3 c) 7,5

4- a) 24 b) 20 c) 4,2 5- b

6- x + 3 = 17 x = 14

7- a) 7 b) 2 c) 9

8- a) 8 b) 7 c) 7

9- a) 7 b) 4 c) 12,5

10- 4 cm

11- 6 cm, 8cm ,10 cm

Ekvationer med paranteser Uppgifter

1- a) 2 b) 3 c) 8

2- a) 4 b) 10 c) 25

3- a) 2 b) 4 c) 2

Nivå 2

4- a) 5 b) 7 c) 10

5- a) 3 b) 7 c) 4

Uttryck och ekvationer

Algebra

Matteord

4 Uttryck och ekvationer

CENTRALA INNEHÅLL

MÅL

UPPVÄRMNING

Uttryck och ekvationer

Vad kan du göra med ett uttryck?

Variabler och uttryck

1 2 3 4

Teori

Variabler och uttryck

} }

}

Testa dig

Variabler och uttryck

Uppgifter

Variabler och uttryck

Nivå 2

Uppgifter

Uttryck – Multiplikation

Testa dig

Arean = 12x

Arean = 10x²

Teori

Uttryck – Multiplikation

5a

2a

Uppgifter

Uttryck med paranteser

Teori

- - + · = + + + · = - · = - + - - · + =

Uttryck med paranteser

a - 1 a - 2 a

( a + 4 ) - ( 4x - 54 ) = ?

Uppgifter

Multiplicera med parentes

x kr

y kr

Teori

x + x = 2x

x · x = x²

Multiplicera med parentes

Uppgifter

Nivå 2

Uttryck - Variabler

Räkna mer

inlämningsuppgift 1

Uttryck och ekvationer

Självbedömning

Läxa 1

Teori Ekvationlösning

vänster led = höger led

Teori

Ekvationlösning

I en ekvation är alltid vänster led = höger led

VL = HL

Addition Subtraktion

Division Multiplikation

Ekvationer

a +2 a + 4 a

Uppgifter

Lös ekvationerna

med balansmetoden

Ekvationer

Nivå 2

Uppgifter

Ekvationer med parenteser

1 2 3 4

1 2 3 4

Teori

Ekvationer med parenteser

Nivå 2

Uppgifter

Teori

1 2 3 4

5 6

Lös med hjälp av ekvationer

Lös med hjälp av ekvationer Uppgifter

- - + ^· ⁼ + + + ^· ⁼ - ^· ⁼ - + - - ^· + ⁼

Lös med hjälp av ekvationer _Uppgifter