Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Ytor på parameterform
YTOR
En yta kan anges på
EXPLICIT FORM
z= f(x,y)IMPLICIT FORM
F(x,y,z)=0och
PARAMETERFORM med tre skalära ekvationer
) ,
1
( s t f
x =
,y = f
2( s , t )
,z = f
3( s , t )
eller ekvivalent en vektorekvation
)) , ( ), , ( ), , ( ( ) ,
( s t x s t y s t z s t r =
.
N
P
tangentplan normalvektor
Ytan
TANGENTPLANETS EKVATION
Om N= (A,B,C)är ytans normalvektor i punkten
P
0= ( x
0, y
0, z
0)
då ärA ( x − x
0) + B ( y − y
0) + C ( z − z
0) = 0
tangentplanets ekvation i P0.1 av 4
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Ytor på parameterform
YTANS NORMALVEKTOR ( eller normalriktning) N
i en punkt på ytan beräknas enligt följande:
1. Om ytan anges på explicit form
z = f ( x , y )
då är) 1 , ,
( f
xf
yN = − ′ − ′
2. Om ytan anges på implicit form
F ( x , y , z ) = 0
då är) ' , ' , '
( F
xF
yF
zN =
3. Om ytan anges på parameterform form
r ( s , t ) = ( x ( s , t ), y ( s , t ), z ( s , t ))
då är
t r s
N r
∂
× ∂
∂
= ∂
Uppgift 1. Bestäm en normal vektor och tangentplanets ekvation a) till ytan z = x
2+ y
4i punktenP
0( 1 , 1 , 2 )
b)
till ytan (
ellipsoid) x2 +2y2 +3z2 =6 i punktenP
0( 2 , 1 , 0 )
.c) till ytan r ( s , t ) = ( s + 2 t , 1 − 3 t , s + t2))
i punkten P0som svarar mot s= 1, t=0.
Lösning:
a) Ytan är given på explicit form och därför beräknar en normalvektor i en punkt enligt formeln
).
1 , 4 , 2 ( ) 1 , ,
( f f x y
3N = −
x′ −
y′ = − −
2 av 4
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Ytor på parameterform
I punkten P
0( 1 , 1 , 2 )
får vi därmed en normalvektorN ( P
0) = ( − 2 , − 4 , 1 ).
Tangentplanets ekvation blir då − 2 ( x − 1 ) − 4 ( y − 1 ) + 1 ( z − 2 ) = 0
Svar a) En normalvektor
N ( P
0) = ( − 2 , − 4 , 1 )
Tangentplanets ekvation − 2 ( x − 1 ) − 4 ( y − 1 ) + 1 ( z − 2 ) = 0
b) Ytan är given på implicit form och därför beräknar en normalvektor i en punkt enligt formeln
) 6 , 4 , 2 ( ) ' , ' , '
( F F F x y z
N =
x y z=
I punkten P
0( 2 , 1 , 0 )
har vi en normalvektorN ( P
0) = ( 4 , 4 , 0 ).
Tangentplanets ekvation blir då 4 ( x − 2 ) + 4 ( y − 1 ) = 0
som kan förenklas till0
3 =
− + y x
Svar b:
N ( P
0) = ( 4 , 4 , 0 ).
Tangentplanets ekv: x + y − 3 = 0
c) Ytan är given på parameterform
r ( s , t ) = ( s + 2 t , 1 − 3 t , s + t
2)
och en normalvektor kan bestämmas med hjälp av formeln
t r s N r
∂
×∂
∂
=∂
.
Först bestämmer vi
) 1 , 0 , 1
=(
∂
∂ s r
och
) 2 , 3 , 2
( t
t
r = −
∂
∂
Vi substituerar värden s= 1, t=0 ( som gäller för punkten
P
0) och får) 0 , 3 , 2 ( ) ( 0 = −
∂
∂ P t r
Nu är
( 3 , 2 , 3 )
0 3 2
1 0
1 = −
−
∂ =
× ∂
∂
= ∂
k j i t r s N r
Genom insättning s= 1, t=0 får vi punkten
P
0(1, 1,1).Tangentplanets ekvation är
3 ( x − 1 ) + 2 ( y − 1 ) − 3 ( z − 1 ) = 0
eller 3x+2y−3z−2=03 av 4
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Ytor på parameterform
Svar c)
N = ( 3 , 2 , − 3 )
. Tangentplanets ekvation är
3 x + 2 y − 3 z − 2 = 0
Uppgift 2. Låt K beteckna skärningskurvan mellan ytorna 10
2
2+
2=
+ y z
x
ochx
2+ y
2+ 3 z
2= 8
. Bestäm ekvationen för tangenten i punkten P0( 1,2,1) . Lösning:Låt
N
1och
N
2vara ytornas normalvektorer i punkten P0.
Då är vektorn
T N
1N
2×
=
parallell med tangentlinje i punkten P0.En normal vektor till ytan
x + 2 y
2+ z
2= 10
är) 2 , 4 , 1 ( ) ' , ' , '
( F
xF
yF
z= y z
och därför I punkten P0 har viN
1= ( 1 , 8 , 2 )
En normal vektor till ytan x2 +y2 +3z2 =8 är
N
2= ( 2 , 4 , 6 )
Därför
T = N
1× N
2= ( 40 , − 2 , − 12 )
som vi kan ersätta med en parallell vektor (20,-1,-6)
Tangentlinjens ekvation är (x,y,z)=(1,2,1)+t(20,-1,-6).
Svar: (x,y,z)=(1,2,1)+t(20,-1,-6).
Uppgift 3. Bestäm konstanten A så att kurvan r(t)=(1+tcost, 2+tsint, t+5)
ligger på ytan
0
) ( ) 2 ( ) 1
( x −
2+ y −
2− z − A
2=
Lösning:Kurvan ligger på ytan om punkten (1+tcost, 2+tsint, t+5) ligger på ytan för varje t.
Vi substituerar x=1+tcost, y=2+tsint, z =t+5 i ytans ekvation och får
t.
alla för gälla måste som , 0 ) 5 ( ) 5 ( 2
0 ) 5 ( 0
) 5 ( sin cos
2
2 2
2 2
2 2 2
=
−
−
−
−
⇒
=
− +
−
⇒
=
− +
− +
A t
A
A t
t A
t t t t t
Härav A=5.
Svar: A=5
4 av 4
