(1p) Lösningsförslag: Vi har direkt med Euler 1 cos 1 sin 1 , så arg

(1)

MA2003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp, 2021-01-04

Hjälpmedel: Penna, radergummi och rak linjal. Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet!

Tentamen består av 30 frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag!

Svarsalternativ i Bold Courier New ska tolkas som text i en Input Cell. Övrig text som i en Text Cell.

Beteckningar enligt konventionen i kompendieserien "Något om...".

För bedömning och betygsgränser se kursens hemsida. Lösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen.

Lycka till! Bertil Del A

15 poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica.

1. Beräkna arg , där är naturliga basen, och imaginära enheten. (1p)

Lösningsförslag: Vi har direkt med Euler ¹ cos 1 sin 1 , så arg  1.

Arg  1

Rätt svarsalternativ: e a 0 b ^Π₂ c Π d ^Π₂ e Inget av a till d.

2. Lös ekvationen z 2 z 2 1, där z betyder komplexkonjugat. (1p)

Lösningsförslag: Ansätt z a b. Utnyttja sedan likhet mellan komplexa tal, med andra ord identifiera real- och imaginärdelar.

z 2 z 2 1 a b 2 a b 2 1 a b 2a 2b 2 1 Re : a 2b 1

Im : b 2a 2

a 1

b 0 .

Solve z 2 z 2 1

z 1

Rätt svarsalternativ: b

a 1 b 1 c d 1 e Inget av a till d.

3.I en cirkel är en mindre cirkel inskriven så att de tangerar varann i punkten T. Den mindre cirkelns centrum ligger på den störres diameter TQ. Bestäm kvoten mellan cirklarnas radier, om den mindre cirkeln är synlig från Q under vinkelnΘ ₃^Π. Obs, i figuren ärΘ ^Π₃. 1p

T Θ Q

Lösningsförslag: Låt r vara radien i den mindre cirkeln, och R i den större. Eftersom radien i den mindre är vinkelrät mot siktlinjen i kontaktpunkten med denna kommer en enkel trigonometrisk betraktelse att göra jobbet.

r R

. SolveSin1 2

Π 3

 r

2 R r

, r First 2

3 Rätt svarsalternativ: a

a ²₃ b ⁵₇ c ³₅ d ₁₀⁷ e Inget av a till d.

4. Låt f x x x 2 , Df . Sök Vf. (1p)

Lösningsförslag: Definition av ger f x x x 2 x 2

x x 2 x 2

2x 2 x 2

2 x 2. Vi inser att f x är strängt växande för x 2, och konstant f x 2 för x 2. I brytpunkten är f 2 2, så Vf 2, .

Plot x Abs x 2 , x, 1, 3 , PlotRange 0, 4 , PlotLabels f x f x

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 1

2 3 4

Rätt svarsalternativ: e

(2)

a Vf 2, b Vf c Vf 0, d Vf 2, e Inget av a till d.

5. Lös ekvationen 8 16^{x 2} 3 2^{2x 3} 2. (1p)

Lösningsförslag: Ta hjälp av potenslagarna, 8 16^{x 2} 3 2^{2x 3} 2 816^{1 4}^2x 3 2^2x 2³ 2 8 2^2x 3 2^2x 8 2 8 24 2^2x 2 2^2x ₃₂² 2^2x 2 ⁴ 2x 4 x 2.

Solve8 16^{x 2} 3 2^{2 x 3} 2, x, Reals

x 2

Rätt svarsalternativ: c a 1 b 2 c 2 d 1 e Inget av a till d.

6. Lös ekvationen ln 1 2x 1 ln x . (1p)

Lösningsförslag: ln 1 2x 1 ln x ln 1 2x ln ln x ^{x 0}ln 1 2x ln x 1 2x x x ¹₂ 0, så ok!

Solve Log 1 2 x 1 Log x , x, Reals

x 1 2^

Rätt svarsalternativ: e a 1 b ₁¹ c ₂¹ d ² e Inget av a till d.

7. Låt f x ln2sin²x x². Bestäm f '^Π₂. (1p)

Lösningsförslag: Jobba på med kedjeregeln _xln2sin²x x² u 2sin²x x² _u ln u _x2sin² x x²

u ln u 2 _xsin²x _xx² v sin x _u ln u 2 _vv² _x sin x _xx² SD ¹_u 2 2v cos x 2x Byt tillbaka 4sin x cos x 2x

2sin²x x² x ^Π₂ ⁰ ^Π

2 Π2² 4Π 8 Π². DLog2 Sin x ² x², x

. x Π 2

Simplify 2 x 4 sin x cos x

x² 2 sin²x 4Π

8 Π²

Rätt svarsalternativ: e a ₄⁴^Π

Π² b ₄²^Π

Π² c ₄^Π

Π² d ₄⁴

Π² e Inget av a till d.

8. Låt f x sin 2x cos 2x . Bestäm ²_x^f₂ i punkten x ^Π₈. (1p)

Lösningsförslag: Enklast att gå över till dubbla vinkeln, sin 2x 2sin x cos x , så f x ¹₂sin 4x . Nu är det odramatiskt att derivera, f ' x ¹₂ 4cos 4x , och en gång till f '' x ¹₂ 4 4sin 4x . Till slut f ''^Π₈ ¹₂ 4 4sin^Π₂ 8.

D Sin 2 x Cos 2 x , x, 2 Simplify . x Π

8 8 sin 4 x 8

Rätt svarsalternativ: d a 2 b 2 c 4 d 8 e Inget av a till d.

9. Sök ekvationen för normalen till kurvan y x i den punkt på kurvan som har x 1. (1p)

Lösningsförslag: Först funktionen och dess derivata, sedan kollar vi in lite vad som händer i punkten x0 1.

f x : x ; x₀ 1; f ' x , f x₀ , f ' x₀

 1 2 x , 1,1

2^

(3)

Normalens riktningskoefficient kN får vi ur kTkN 1 med kT f ' x0, så med omlastning av enpunktsformeln till y kx m normal Solve y f x0 1 f ' x0 x x0 , y

y 3 2 x

Å så här ser tavlan ut.

Plot Evaluate f x , y . normal , x, 0, 2 , AxesLabel x, y , PlotLabels "Expressions", AspectRatio Automatic, PlotRange 0, 2

x

3 2 x 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x 0.5

1.0 1.5 2.0 y

Rätt svarsalternativ: c

a y x 2 b y 3x 4 c y 2x 3 d y ¹₂ 3 x e Inget av a till d.

10. Givet kurvan Πy² ln x x cos₂^Πx y. Sök ^y_t i punkten x 1, y 1 då ^x_t 2. (1p) Lösningsförslag: Derivera implicit, sätt in numeriska värden. Lös slutligen ut ^y_t.

DΠ y t ² Log x t x t  CosΠ 2

x t y t , t

. x t 1, y t 1, x ' t 2 Solve

Π x t

x t x t 2 y t y t 1

2^Πy t x t 1

2^Πx t y t sin 1 2^Πx t y t Π 2 y t 4 1

2^Πy t Π

y t 6 5^

Rätt svarsalternativ: a a ⁶₅ b ¹⁰₃ c ¹₅ d ⁴₃ e Inget av a till d.

11. Beräkna ₁^{2 x}_{x 1} x. (1p)

Lösningsförslag: Vi får ₁^{2 x}_{x 1} x ₁^{2 x 1 1}_{x 1} x ₁²1 _{x 1}¹ x x ln x 1 ₁² 2 ln 3 1 ln 2 1 ln 2 ln 3 . Annars går det lika bra med variabelssubstitution. Välj substitutionen u x 1, sedan måttet _x u _x x 1 u x, följt av gränser, xu 1 uu 1 1 2 och xö 2 uö 2 1 3. Så ₂^{3 u 1}_u x ₂³1 ¹_u u u ln u ₂³ 3 ln 3 2 ln 2 1 ln³₂.



1

2 x

x 1 x 1 log 2 log 3

Rätt svarsalternativ: a a 1 ln³₂ b ln 2 ln 3 c ln²₃ d 1 ln 6 e Inget av a till d.

12. Bestäm ₁²_2x^x₂ ₁ x. (1p)

Lösningsförslag: Variabelsubstitution. Sätt u 2x² 1, så har vi u 4x x, med gränserna xu 1 uu 2 1² 1 3 och xö 2 uö 2 2² 1 9. Nu är det bara att meka ihop det hela ₁²_2x^x₂ ₁ x ₃^{9 x}_u_4x¹ u ¹₄ ln u ₃⁹ ¹₄ ln 9 ln 3 ¹₄ln 3 .



1

2 x

2 x² 1 x log 3

4 Rätt svarsalternativ: c

a ln 10 b ¹₂ln 10 c ¹₄ln 3 d ln⁵₂ e Inget av a till d.

(4)

13. Bestäm ₀^Π²cos³3x x. (1p)

Lösningsförslag: Först ₀^Π²cos³3x x ₀^Π²cos²3x cos 3x x ₀^Π²1 sin²3xcos 3x x. Sedan dax för variabelsubstitution, u sin 3x , med u 3cos 3x x, och gränserna xu 0 uu sin 3 0 0 och xö 2^Π uö sin3 ^Π₂ 1. Nu är det bara att meka ihop det hela ₀¹1 u² ¹₃ u ¹₃u ¹₃u³₀¹ ¹₃ 1 ₃¹ 1³ 0 ²₉.



0 Π 2

Cos 3 x ³ x 2

9 Rätt svarsalternativ: b

a ¹₃ b ²₉ c ²₃ d ⁴₉ e Inget av a till d.

14. Beräkna ₀^Π²xsin x x. (1p)

Lösningsförslag: Partiell integration för att “bli av” med x-et, ₀^Π²xsin x x x cos x ₀^Π² ₀^Π²1 cos x x xcos x sin x ₀^Π²  ^Π₂ 0 1 0 1 0 1.



0 Π 2

x Sin x x 1

Rätt svarsalternativ: d a Π b ^Π₂ c ^Π₃ d 1 e Inget av a till d.

15.Bestäm volymen av den kropp som uppkommer då det område i första kvadranten som innesluts av x–axeln och grafen till y 2x 1 x roterar ett varv kring linjen x 1. 1p

Lösningsförslag: Vi har direkt med tunnväggiga rör V _a^b2Πry x. Integrationsgränserna ges av 2x 1 x 0 x 0 eller x 1.

Så ₀¹2Πx 1 2x 1 x x 4Π₀²x x³ x 4Π¹₂x² ¹₄x⁴₀¹ 4Π¹₂ ¹₄ 0 Π.



0 1

2 Π x 1 2 x 1 x x

Π

Rätt svarsalternativ: d a 2Π b ³₂^Π c ⁴₃^Π d Π e Inget av a till d.

Del B

15 poäng med fokus på modellering och Mathematica.

16̅20.Ett tryckeri har 5 pressar. En press klarar 40 000 kopior i timman och kostar 625 kr att starta. Timkostnaden att övervaka pressar i drift består av en fast kostnad 100 kr samt 200 kr per press. Hur många pressar ska man starta för att hantera en beställning på 1 miljon kopior så billigt som möjligt?

16. Antag att vi startar n st pressar. Då blir trycktiden T timmar och kostnaden K kr för att hantera beställningen. Formulera de ekvationer som bestämmer T och K. Spara dem i ekv. (1p)

Lösningsförslag: Efter en stund funderande får vi ekv T 1 000 000

40 000 n

, K 625 n 100 200 n T

T 25

n , K 200 n 100 T 625 n

Rätt svarsalternativ: d

(5)

a ekv T ^{1 000 000}

40 000 n, K 625 n 100 200 ^T

n

b ekv T ^{1 000 000}

40 000 n, K 625 n 100 200 T n

c ekv T ^{1 000 000}

40 000 n, K 625 n 100 200 T n

d ekv T ^{1 000 000}

40 000 n, K 625 n 100 200 n T

e Inget av a till d.

17. Lös ekvationssystemet med avseende på T och K. Spara som regler i TÅK. (1p) Lösningsförslag: Typisk övning med Solve.

TÅK Solve ekv, T, K

T 25

n, K 625n² 8 n 4

n ^

Rätt svarsalternativ: e a TÅK . Solve ekv, T, K b TÅK Solve ekv, T, K

c TÅK Solve ekv, T, K d TÅK Solve ekv, T, K e Inget av a till d.

18. Rita K, n 1, 5 , i rött. Pynta axlarna! (1p) Lösningsförslag: Rita på med Plot.

PlotK . TÅK, n, 1, 5 , PlotStyle Red, AxesLabel n, K kr 

2 3 4 5 n

7600 7800 8000 8200 8400 8600 K kr

Rätt svarsalternativ: a

a PlotK . TÅK, n, 1, 5 , PlotStyle Red, AxesLabel n, K kr 

b PlotTÅK K, n, 1, 5 , PlotStyle Red, AxesLabel n, K kr 

c PlotTÅK . K, n, 1, 5 , PlotStyle Red, AxesLabel n, K kr 

d PlotK TÅK, n, 1, 5 , PlotStyle Red, AxesLabel n, K kr 

19. Sök extrempunkter till K. Spara som regler i nOpt. (1p) Lösningsförslag: Ges av nollställe till derivatan.

nOpt SolveDK . TÅK, n 0, n

n 2 , n 2

a nOpt SolveDTÅK, n 0, n b nOpt SolveDK . TÅK, n 0, n

c nOpt SolveDTÅK . K, n 0, n d nOpt SolveDK . TÅK 0, n, n

20. Bestäm optimal trycktid och kostnad. Välj den andra lösningen i nOpt. (1p)

Lösningsförslag: Sätt in optimalt antal i regeln från Solve så får vi ett snyggt själdokumenterande svar.

TÅK . nOpt 2

T 25

2, K 7500

Rätt svarsalternativ: b a TÅK . nOpt 2 b TÅK . nOpt 2

c nOpt 2 . TÅK d TÅK . Take nOpt, 2 e Inget av a till d.

(6)

21.Bestäm arean för en cirkel med radien R. 1p

Lösningsförslag: Arean med lökringar A 2Πr r.



0 R

2 Π r r

ΠR²

Rätt svarsalternativ: d a

R

R R² x² x b

0

RΠ r² r c

R

R2 R R x x d

0

R2 Π r r e Inget av a till d.

22.Bestäm omkretsen för en cirkel med radien R. 1p

Lösningsförslag: Omkretsen, där en liten bit s R Θ om Θ är bågvinkeln, så



0 2 Π

R Θ 2ΠR

Rätt svarsalternativ: c a

R

RR² x² x b

0

RΠ r r c

0

2 ΠR Θ d

0

ΠΠ R Θ e Inget av a till d.

23.Bestäm volymen för ett klot med radien R. 1p

Lösningsförslag: Välj små cylindrar. Vid x har den lilla cylindern en radie y som ges av x² y² R². Så med formel V Πy² x



R R

Π R² x² x 4ΠR³

a

R

RΠ R² x² x b

0

RΠ R² x² x

c 0

R2 Π x² R x x d

R

RΠ R R x x e Inget av a till d.

24.Bestäm volymen av "guldringen" som uppkommer då det område i första kvadranten som innesluts av x–axeln och grafen till y x 1 x roterar ett varv

kring linjen y 1. 1p

Lösningsförslag: Kör på med tunna annanasskivor V Πr_y² r_i² x. Integrationsgränserna ges av x 1 x 0 x 0 eller x 1.

Sedan är det bara att lägga samman alla små guldkorn.

(7)



0 V

V 

0 1

Π  x 1 x 1 ² 1² x

V 11Π

a

0

1Π  x 1 x 1 ² 1² x b

0

1Π x 1 x 1 ² x

c 0

12 Π x x 1 x 1 x d

0

1Π  x 1 x 1 ² 1² x e Inget av a till d.

25.Ett reningsverk har en bassäng med höjden 4 m och cirkulärt tvärsnitt med radien r 2 h 1 m, 0 h 4, där h räknas från botten. Den är helt fylld med smutsigt vatten som beroende på partiklar har densitetenΡy 10001 ₈^y²kg m³, där y är djupet under ytan. Sök vattnets massa M . 1p

Lösningsförslag: Skiva upp bassängen i små cylindrar med höjden h och varierande radie r. Den lilla cylinderns massa ges sedan av m Ρ V ΡΠr² h 10001 ^{4 h}₈ ²Π 2 h 1 h. Nu är det bara att lägga samman alla de små smutsiga bidragen



0 M

m 

0 4

1000 1

4 h 8

2

Π 2 h 1 h

M 76 000Π

3 Rätt svarsalternativ: d

a 0

M m

0

41000 1 ^h

8² Π 2 h 1 h b

0 M m

0

41000 1 ^{4 h}

8 ² Π 2 h 1 h

c 0

M m

0

41000 1 ^h

8² Π 2 h 1 h d

0 M m

0

41000 1 ^{4 h}

8 ² Π 2 h 1 h e Inget av a till d.

26.En tunn pappskiva i form av en rektangel med massan m är uppriggad enligt figur. Sök masströghetsmomentet _mr² m då den roterar kring axeln x ¹₄a. 1p

a b

x y

Lösningsförslag: Först har vi ytdensiteten Ρ _ab^m. Klipp sedan upp triangeln i smala rektangulära strimlor b x. Bidraget till masströghetsmomentet från en sådan är J r² m x ¹₄a²Ρb x. Nu är det bara att lägga samman.



0 J

J 

0 a

x 1 4a

2 m

a b b x

J 7 a²m

48 Rätt svarsalternativ: c

a

0 J J

0 ax ¹

4a x ^m

a b b x b

0 J J

0

ax² ¹

4a² ^m

a b b x

c 0

J J

0 ax ¹

4a² ^m

a b b x d

0 J J

a 4 3a 4x ¹

4a² ^m

a b b x e Inget av a till d.

27̅30. En triangulär dammlucka enligt figur ska bära trycket från vattnet som varierar enligt p y Ρg y N m², där y är djupet under vattenytan.

27. Strimla luckan i y–led, b y. Bestäm strimlans bredd b vid y med lämpligt geometrisamband. Spara b som regel. (1p)

Lösningsförslag:: Låt luckans bredd vara b vid djupet y. Likformiga trianglar ger då _{y 1}^b ⁴₂ varav b 2 y 1 . Test: y 1 b 0 och y 1 2 b 4, Ok!

(8)

bAvy Solve b y 1

4 2

, b First

b 2 y 1

a bAvy Solve^b

y 4

3, y First b bAvy Solve^b

4 2 y

5 , y First c bAvy Solve ^b

y 1 4

2, y First d bAvy Solve^b

3 1 y

5 , y First e Inget av a till d.

28. Bestäm tryckkraften dF på den lilla strimlan vid djupet y. (1p)

Lösningsförslag: På djupet y har vi den lilla rektangelarean A b y på vilken den lilla tryckkraften F p y A verkar.

dF p y dA . dA b dy, p y Ρ g y . bAvy 2 dy gΡ y 1 y

Rätt svarsalternativ: c

a dF p y dA . dA b dy, p y Ρ g y . bAvy b dF p y dA . bAvy . dA b dy; p y Ρ g y c dF p y dA . dA b dy, p y Ρ g y . bAvy d dF p y dA . dA b dy, p y Ρ g y . bAvy e Inget av a till d.

29. Bestäm tryckkraften F på luckan. (1p)

Lösningsförslag: Det är bara att lägga samman alla små bidrag över dammluckan.



0 F

F 

1 1 2dF

dy y

F 28 gΡ

a 0

F F

1 1 2 dF

dy y b

0 F F

1

1 2dF y

c 0

F F

0 3 1 dF

dy y d

0 F F

1 2 dF

dy y e Inget av a till d.

30. Bestäm vridmomentet M kring en axel i luckans plan vid vattenytan som orsakas av vattentrycket. (1p)

Lösningsförslag: Det är bara att lägga samman alla små bidrag M y F över dammluckan. Sedan har vi äntligen söndrat&härskat färdigt!



0 M

M 

1 1 2

y dF dy y M 68 gΡ

3 Rätt svarsalternativ: b

a 0

Fy F

1 1 2 dF

dy y b

0 M M

1 1 2y ^dF

dy y

c 0

M M

1

1 2y dF y d

0 My M

0 2 dF

dy y e Inget av a till d.