Tentamen TEN1, HF1012, 16 aug 2016
Matematisk statistik Kurskod HF1012
Skrivtid: 8:15-12:15
Lärare och examinator : Armin Halilovic
Hjälpmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statistik ") och miniräknare av vilken typ som helst.
Förbjudna hjälpmedel: Telefon, laptop och alla elektroniska medel som kan kopplas till internet.
Skriv namn och personnummer på varje blad.
Poängfördelning och betygsgränser: Tentamen ger maximalt 32 poäng.
Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 30, 24, 20, 16 respektive 12 poäng.
Komplettering: 11 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) .
Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar.
=======================================================
Uppgift 1. (3p) Bara för dem som inte klarat ks1.
För händelserna A och B gäller att P(A∪ B)=0.5 , P(A∩ B)=0.1 och P(A)=0.3 a) Bestäm sannolikheten P(Bc)
b) Bestäm sannolikheten P(Ac∩Bc) . c) Bestäm P(A|B).
Uppgift 2. (3p) Bara för dem som inte klarat ks2.
Låt
vara täthetsfunktionen för en stokastisk variabel X.
a) Bestäm konstanten k.
b) Beräkna medianen till X.
Var god vänd.
− ≤ ≤
= för övrigt
x x
x k
f 0
2 0
), 2 ) (
(
Sida 1 av 14
Uppgift 3. (3p) Bara för dem som inte klarat ks3.
En Markov kedja i diskret tid med två tillstånd E1 och E2. har övergångsmatrisen
P=
7 . 0 3 . 0
6 .
0 x
.
a) Systemet startar i E1. Bestäm sannolikheten att systemet är i E2 efter 2 steg.
b) Bestäm den stationära sannolikhetsvektorn.
Uppgift 4. (3p)Till en telefonväxel ankommer i genomsnitt 3.25 anrop per minut. Vi antar att ankomster är Poissonfördelade. Bestäm sannolikheten att minst 5 anrop kommer under ett tidsintervall som är 2 minuter långt.
Uppgift 5. (3p)
Ett företag behöver 8 motstånd. Man köper för ändamålet in 9 motstånd av en viss typ. Dessa motstånd har en resistans som är N(50,5). Man använder sedan enbart de motstånd som har resistansen mellan 45 och 55 ohm . Vad är sannolikheten att man får minst 8 användbara motstånd av de 9 som man har köpt?
Uppgift 6. (3p) I ett kontorshus finns en hiss med anslaget ”max 5 personer eller 400 kg”. Vi vill därför veta hur stor sannolikheten är att hissen överlastas. Anta att vikten av en anställd är normalfördelad med väntevärde 78 kg och standardavvikelse 10 kg. Olika personers vikt är oberoende. Beräkna sannolikheten att vikten av 5 personer överskrider 400 kg.
Uppgift 7. (3p) Man har gjort 5 mätningar av en s.v. X och fått följande observationer:
X 123 129 124 125 120
Bestäm ett konfidensintervall med 95% konfidensgrad för medelvärdet av X
Uppgift 8. (3p) En s.v. X har täthetsfunktionen . övrigt för 0
1 ) 0
(
2
< <
= kx x
x f
a) Bestäm k
b) Bestäm väntevärdet för Y=3X+5.
Var god vänd.
Sida 2 av 14
Uppgift 9. (2p) En kortlek med 52 kort består av fyra färger (hjärter, spader, klöver, ruter) och 13 valörer: ess, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, knekt, dam, kung.
Ur en kortlek på 52 kort väljer man slumpvis 5 kort. Vad är sannolikheten för a) ett par och en triss x,x,y,y,y (t ex 4,4, 2,2,2) så kallade "kåk".
b) Två olika par x,x,y,y,z (t ex 2,2, 5,5,8) men inte "kåk"
Uppgift 10. (3p) Ett betjäningssystem kan modelleras som M/M/2/2 . Ankomstintensiteten är λ =15 kunder/minut och betjäningsintensiteten för en betjänare är µ =10 kunder/minut.
a) Bestäm sannolikheterna p0, p1, p2, p3 och p4 .
b) Beräkna N = medelantal kunder i systemet
c) Beräkna hur många kunder i genomsnitt avvisas under 5 timmar.
Uppgift 11.(3p) Ett system har i genomsnitt 3 fel per år. Tidsavståndet mellan fel är exponentialfördelad. Om ett fel uppstår då börjar reparationen. Reparationstiden är exponentialfördelad och systemets reparationstid är i genomsnitt 2 månad.
Vid t=0 är systemet i funktion. Bestäm sannolikheten att systemet är i funktion vid tidsmoment t= 2.1 år.
Tips. Felintensitet λ =3 fel per år. Betjäningsintensitet är µ 6 reparationer per år. =
Lycka till.
Sida 3 av 14
FACIT
Uppgift 1. (3p) Bara för dem som inte klarat ks1.
För händelserna A och B gäller att P(A∪ B)=0.5 , P(A∩ B)=0.1 och P(A)=0.3 a) Bestäm sannolikheten P(Bc)
b) Bestäm sannolikheten P(Ac∩Bc) . c) Bestäm P(A|B).
a)
Från P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) får vi 3
. 0 ) ( 1 . 0 ) ( 3 . 0 5 .
0 = +P B − ⇒P B =
Därmed P(Bc)=1−P(B)=0.7.
b) P(Ac∩Bc)=1−P(Ac∩Bc)c =(DeMorgan)=1−P(A∪B)=0.5
c) 3
1 3 . 0
1 . 0 ) (
) ) (
|
( = ∩ = =
B P
B A B P
A P
Svar: a) P(Bc)=0.7 b) P(Ac∩Bc)== 0.5 c)
3 ) 1
| (A B = P
Rättningsmall: 1p för varje del
Uppgift 2. (3p) Bara för dem som inte klarat ks2.
Låt
vara täthetsfunktionen för en stokastisk variabel X.
a) Bestäm konstanten k.
b) Beräkna medianen till X.
Lösning:
− ≤ ≤
= för övrigt
x x
x k
f 0
2 0
), 2 ) (
(
Sida 4 av 14
a)
x k x k dx x k dx x f
Arean ) 2
2 2 ( )
2 ( )
(
2
0
2
0 2 2
0
∫
∫
⇒ − = − ==
2 1 1
2
1⇒ = ⇒ =
= k k
Arean
b) Medianen
Låt m beteckna medianen. Vi får m genom att lösa ekvationen
2 ) 1 2 2
2 ( 1 2 ) 1 2 2( 1 2
) 1 (
0 2
0 0
=
−
⇒
=
−
⇒
=
∫
∫
m m
m x
x dx
x dx
x f
0 2 4 2 1
2 2
2
= +
−
⇒
=
−
⇒ m m m
m (*)
Ekvationen (*) har två lösningar: =2− 2≈0.5858 och m2 =2+ 2 ≈ 3.4142 Endast m1 =2− 2 ≈0.5858 ligger i intervallet [0,2].
Svar: a) 9
=2
k , b) medianen==2− 2 ≈0.5858 Rättningsmall: 1p för a, 2p för b)
Uppgift 3. (3p) Bara för dem som inte klarat ks3.
En Markov kedja i diskret tid med två tillstånd E1 och E2. har övergångsmatrisen
P=
7 . 0 3 . 0
6 .
0 x
.
a) Systemet startar i E1. Bestäm sannolikheten att systemet är i E2 efter 2 steg.
b) Bestäm den stationära sannolikhetsvektorn.
Lösning:
P=
7 . 0 3 . 0
4 . 0 6 .
0 (eftersom summan av element i en rad =1).
a) Start sannolikhetsvektor är p(0)=(1,0) (eftersom systemet startar i tillståndet E1.) Vi beräknar
Sida 5 av 14
) 4 . 0 , 6 . 0 7 ( . 0 3 . 0
4 . 0 6 . ) 0 0 , 1 ( ) 0 ( ) 1
( =
=
= p P
p ,
) 52 . 0 , 48 . 0 7 ( . 0 3 . 0
4 . 0 6 . ) 0 4 . 0 , 6 . 0 ( ) 1 ( ) 2
( =
=
= p P
p ,
Sannolikheten för tillståndet E2 efter 2 steg är 0.52 (andra koordinaten i vektorn p(2) ).
b) Låt q=(x,y) vara en stationär sannolikhetsvektor.
Då gäller
q =P q och x+ y=1
Vi skriver q =P q på komponent form:
y y x
x y y x
x y
x + =
=
⇒ +
=
7 . 0 4 . 0
3 . 0 6 . ) 0 , 7 ( . 0 3 . 0
4 . 0 6 . ) 0 , (
och lägger till ekvationen
x+ y=1 (q är en sannolikhetsvektor) Därmed har vi systemet:
= +
=
−
= +
−
⇒
= +
= +
= +
1
0 3 . 0 4 . 0
0 3 . 0 4 . 0 1
7 . 0 4 . 0
3 . 0 6 . 0
y x
y x
y x
y x
y y x
x y x
(Andra ekvationen är ekvivalent med första.) Från första ekvationen har vi
3
y= 4xsom vi substituerar i tredje ekvationen och får
7 1 3
3 1 7 3
4 = ⇒ = ⇒ =
+ x x x
x . Därmed
7 1− = 4
= x
y
Svar: a) Sannolikheten för tillståndet E2 efter 2 steg är 0.42 b) q=(3/7, 4/7)=(0.4286, 0.5714)
Rättningsmall: 1p för korrekt p(2)=(0.58,0.42). Totalt 2 poäng för korrekt a delen.
1p för b delen
Uppgift 4. (3p)Till en telefonväxel ankommer i genomsnitt 3.25 anrop per minut. Vi antar att ankomster är Poissonfördelade. Bestäm sannolikheten att minst 5 anrop kommer under ett
Sida 6 av 14
tidsintervall som är 2 minuter långt.
Lösning:
a) Under 2 min. intervallet ankommer i genomsnitt λ =3.25⋅2=6.5 anrop per min.
Låt X vara antalet anrop under ett 3min.-intervall.
P(minst 5 anrop kommer under ett tidsintervall som är 3 minuter långt)=
{
( 0) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4)}
1 ) 5 ( 1 ) 5
(X ≥ = −P X < = − P X = +P X = +P X = +P X = +P X =
P
=
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
− λ −λ λ −λ λ −λ λ −λ λ −λ
e e
e e
e 1! 2! 3! 4!
! 1 0
4 3
2 1
0
(där λ =6.5)
=0 .7763 Svar: 0 .7763
Rättningsmall: 1p för korrekt metod men fel beräkning. 2p om allt är korrekt.
Uppgift 5. (3p)
Ett företag behöver 8 motstånd. Man köper för ändamålet in 9 motstånd av en viss typ. Dessa motstånd har en resistans som är N(50,5). Man använder sedan enbart de motstånd som har resistansen mellan 45 och 55 ohm . Vad är sannolikheten att man får minst 8 användbara motstånd av de 9 som man har köpt?
Lösning:
Steg 1.
Låt ξ beteckna resistansen hos ett motstånd. Då gäller ξ∈ N(50,5).
) 55 45
( <ξ <
P = ) (1) ( 1) 0.6827
5 50 (45 5 )
50 (55 ) 45 ( ) 55
( − F =Φ − −Φ − =Φ −Φ − =
F
Vi betecknar p = 0.6827 och q= 1−p
Steg 2.
Låt η beteckna antalet användbara motstånd bland 9 köpta. Då gäller η∈Bin(9,p) Sannolikheten att man får minst 8 användbara motstånd av de 9 är lika med
Sida 7 av 14
=
+
8 9 0
9 9 8
9 p q p q 0.16697
Svar: 0.16697
Rättningsmall: 1p för korrekt steg 1. 2p för steg 2.
Uppgift 6. (3p) I ett kontorshus finns en hiss med anslaget ”max 5 personer eller 400 kg”. Vi vill därför veta hur stor sannolikheten är att hissen överlastas. Anta att vikten av en anställd är normalfördelad med väntevärde 78 kg och standardavvikelse 10 kg. Olika personers vikt är oberoende. Beräkna sannolikheten att vikten av 5 personer överskrider 400 kg.
Lösning:
Låt 𝜉𝜉 beteckna total vikt av 5 personer, då
𝜉𝜉 = 𝜉𝜉1+ 𝜉𝜉2+ 𝜉𝜉3+ 𝜉𝜉4+ 𝜉𝜉5
där 𝜉𝜉𝑘𝑘 ∈ 𝑁𝑁(78, 10) .
Därför 𝜉𝜉 ∈ 𝑁𝑁(5 ∙ 78, 10√5) = 𝑁𝑁(390, 22.36)
𝑃𝑃(𝜉𝜉 > 400) = 1 − 𝑃𝑃(𝜉𝜉 ≤ 400) = 1 − 𝐹𝐹(400) = 1 − 𝛷𝛷(400 − 390
22.36 ) = 1 − 𝛷𝛷(0.45)
≈ 1 − 0.6736 = 0.3264 Svar: Sannolikheten är ≈ 0.33
Rättningsmall: 1p för 𝜉𝜉 ∈ 𝑁𝑁(5 ∙ 78, 10√5) . 2p för korrekt 𝐹𝐹(400)= 0.6736.
3 p om allt är korrekt.
Uppgift 7. (3p) Man har gjort 5 mätningar av en s.v. X och fått följande observationer:
X 123 129 124 125 120
Bestäm ett konfidensintervall med 95% konfidensgrad för medelvärdet av X Lösning:
Sida 8 av 14
n x x
x = x1+ 2 ++ n = 124.2
∑
=− −
=
= n
i
i x
n 1 x
2
2 ( )
1
variansen s 1
(
(123 124.2)2 (129 124.2)2 (124 124.2)2 (125 124.2)2 (120 124.2)2)
4
1 − + − + − + − + −
= =10.7
Variansen
s = =3.27.
Från formelsamling (sidan 16 rad n-1= 5-1 =4 har vi
=
= 0.025
2
/ t
tα 2.7764
Konfidensintervall:
) ,
( /2 /2
t n n x
t
x
s s
α
α +
− =
=(120.1, 128.3)
Svar: (120.1, 128.3)
Rättningsmall: 1 poäng för korrekt x == 124.2 , 1 poäng för korrekt s ==3.27. 3p om allt är korrekt.
Sida 9 av 14
Uppgift 8. (3p) En s.v. X har täthetsfunktionen . övrigt för 0
1 ) 0
(
2
< <
= kx x
x f
a) Bestäm k
b) Bestäm väntevärdet för Y=3X+5.
Lösning:
a) ( ) 3 3
1
0
1
0 3 2
1
0
k k x
dx kx dx
x f
Arean=
∫
⇒∫
= =3 3 1
1 2
1⇒ = ⇒ = ⇒ =
= k k
k
Arean .
b) Först beräknar vi väntevärdet för X:
4 3 3 4
3 3
) ( )
(
1
0 1 4
0 3 1
0 2 1
0
=
=
=
⋅
⇒
=
∫
xf x dx∫
x x dx∫
x dx xX
E .
Slutligen 7.25
4 5 29 4 3 3 5 ) ( 3 ) 5 3 ( )
(Y =E X + = E X + = ⋅ + = = E
Rättningsmall: 1 poäng för korrekt a-delen , b) delen +1p för korrekt E(X)=3/4.
Allt korrekt=3p.
Uppgift 9. (2p) En kortlek med 52 kort består av fyra färger (hjärter, spader, klöver, ruter) och 13 valörer: ess, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, knekt, dam, kung.
Ur en kortlek på 52 kort väljer man slumpvis 5 kort. Vad är sannolikheten för a) ett par och en triss x,x,y,y,y (t ex 4,4, 2,2,2) så kallade "kåk".
b) Två olika par x,x,y,y,z (t ex 2,2, 5,5,8) men inte "kåk"
Lösning:
Svar c): 0.00144057623
2598960 3744 5
52 3 12 4 2 13 4
≈
=
= P
Sida 10 av 14
b) Vi kan välja två olika valörer som bildar två olika par på �132� sätt. Två kort som bildar ett par väljer vi på �42� sätt. Samma gäller för andra paret. Femte kort kan vi välja bland
återstående 11 valörer.
�132�∙�42�∙�42� 11∙�41�
�525� ( = 2598960123552 ≈ 0.0475390156) Rättningsmall a=1p, b=2p
Uppgift 10. (3p) Ett betjäningssystem kan modelleras som M/M/2/2 . Ankomstintensiteten är λ =15 kunder/minut och betjäningsintensiteten för en betjänare är µ =10 kunder/minut.
a) Bestäm sannolikheterna p0, p1, p2, p3 och p4 . b) Beräkna N = medelantal kunder i systemet
c) Beräkna hur många kunder i genomsnitt avvisas under 5 timmar.
Lösning:
Först
0 0
1 1.5
10
15 p p
p = = , p2 =1015⋅⋅1520 p0 , p3 =1015⋅⋅2015⋅⋅1520 p0 p4 =1015⋅⋅2015⋅⋅1520⋅⋅1520 p0. Substitutionen i p0+p1+p2+p3+p4 =1
ger p0=128/653= 0.1960183767 och därefter p1= 192/653 = 0.2940275651
p2= 144/653 = 0.2205206738 p3= 108/653 = 0.1653905054 p4= 81/653 = 0.1240428790
Sida 11 av 14
b) N=
∑
⋅k
pk
k =0p0+1p1+2p2 +3p3+4p4 =1.727411945
c) λspärr=
kmax
⋅p
λ =15 p⋅ 4= 1.8606 kunder per minut.
Under 5timmar avvisas i genomsnitt 5*60*1.8606 ≈ 558 kunder.
Svar a) se ovan b) N=1.727411945 c) 558 kunder Rättningsmall. a=1p b=1p, c=1p
Uppgift 11.(3p) Ett system har i genomsnitt 3 fel per år. Tidsavståndet mellan fel är exponentialfördelad. Om ett fel uppstår då börjar reparationen. Reparationstiden är exponentialfördelad och systemets reparationstid är i genomsnitt 2 månad.
Vid t=0 är systemet i funktion. Bestäm sannolikheten att systemet är i funktion vid tidsmoment t= 2.1 år.
Tips. Felintensitet λ =3 fel per år. Betjäningsintensitet är µ 6 reparationer per år. = Lösning:
a)
Från grafen har vi
−
= −
6 6
3 Q 3
Låt p(t)=(p1(t),p2(t)) beteckna den sökta sannolikhetsvektorn.
Vi substituerar p(t)=(p1(t),p2(t))
i ekvationen p′(t)= p(t)Qoch får
⇒
−
= −
′
′ 6 6
3 )) 3
( ), ( ( )) ( ), (
(p1 t p2 t p1 t p2 t
) ( 6 ) ( 3 )
( 1 2
1 t p t p t
p′ =− + (ekv a) )
( 6 ) ( 3 )
( 1 2
2 t p t p t
p′ = − (ekv b)
6 1
3
1 2
Sida 12 av 14
samt
1 ) ( )
( 2
1 t + p t =
p ( ekv c)
(ekv c gäller eftersom (p1(t),p2(t) är en sannolikhetsvektor.) Från ekv c får vi
) ( 1 )
( 1
2 t p t
p = −
som vi substituerar i (ekv a) för att få en differential ekvation med 1 obekant funktion p1(t):
)) ( 1 ( 6 ) ( 3 )
( 1 1
1 t p t p t
p′ =− + −
Efter förenkling har vi följande ekvation med konstanta koefficienter:
6 ) ( 9 )
( 1
1′ t + p t =
p (*)
Motsvarande karakteristiska ekvation till homogena delen är 9
0
9= ⇒ =−
+ r
r
och därmed är
t
h Ce
Y = −9 den allmänna lösningen till den homogena delen.
En partikulär lösning får vi med hjälp av ansatsen A
yp = ( eftersom högerledet i (*) är 6, dvs en konstant) Substitutionen av yp = i (*) gör A
3 / 2 9 / 6 6
9
0+ A= ⇐ A= =
Alltså yp =2/3 Därför
3 / 2 )
( 9
1 t =Yh+yp =Ce− t + p
Begynnelsevillkoret: Enligt antagande är systemet i funktion vid t=0. Därför .
1 ) 0
1( =
p
Alltså Ce0t+2/3=1⇒C =1/3 och
Sida 13 av 14
3 2 3
) 1
( 9
1 t = e− t +
p (visar sannolikheten att systemet är i funktion vid tiden t)
Slutligen
0.66666666 88
3 2 3
) 1 1 . 2
(
9*2.11
= e
−+ =
p
Svar: 0.6666666688
Rättningsmall. 1p för korrekt matris. Korrekt ekvationssystem +1 p. Allt korrekt=3p
Sida 14 av 14
