• No results found

Cramers regel KVADRATISKA LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Cramers regel KVADRATISKA LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM"

Copied!
4
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

1

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Kvadratiska system. Cramers regel

KVADRATISKA LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM.

CRAMERS REGEL

KVADRATISKA LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM.

Ett system med lika många ekvationer som obekanta kallas kvadratiskt.

n n nn n

n

n n

n n

b x a x

a x a

b x a x

a x a

b x a x

a x a

= +

+ +

= +

+ +

= +

+ +

2 2 1 1

2 2

2 22 1 21

1 1

2 12 1 11

...

(1)

Vi kan skriva systemet på matrisformen AX=B där









=

nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a A

...

...

...

...

...

...

...

2 1

2 22

21

1 12

11

,









= xn

x x

X

2 1

och









= bn

b b

B

2 1

Systemet har precis en lösning om och endast om systemets determinant är skild från 0, dvs

0 ...

...

...

...

...

...

...

) det(

2 1

2 22

21

1 12

11

=

nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a

A .

(2) Om det(A) = 0 då har systemet antingen ingen lösning eller oändligt många lösningar, som vi kan undersöka med Gaussmetoden.

det(A)≠0 Precis en lösning

det(A)=0 Två möjliga fall: oändligt många lösningar eller ingen lösning

Förklaring:

det(A)≠0 ⇔ (matrisen A är inverterbar)

⇔ (systemet AX =B har exakt en lösning X =A1B)

Med andra ord, bestämmer (=determinerar) determinanten om systemet AX =Bhar exakt en lösning.

Exempel 1.

För vilka värden på a har ekvationssystemet (med avseende på x, y och z)





= +

= +

= + +

4 3

1 3

7 z x

z y a x

z y a ax

Sida 1 av 4

(2)

2

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Kvadratiska system. Cramers regel

A) en entydig lösning B) oändligt många lösningar C) ingen lösning

Lösning:

Systemets determinant är det(A)=3aa2. 3aa2 =0⇒ a =0 eller a=3 Vi undersöker systemet för a=0 och a=3 För a=0 får vi systemet





= +

= +

=

4 3

1 3

7 z x

z x

z

⇒ (t ex Gaussmetoden )





=

=

=

3 0

6 3

7 x

z

. Systemet saknar lösning

För a=3 får vi systemet





= +

= +

= + +

4 3

1 3

3

7 3

3

z x

z y x

z y x

~





=

=

= + +

3 3

6 6

7 3

3

y y

z y x

~





=

=

= + +

0 0

1 7 3

3 y

z y x

Vi har två ledande variabler x och y. Variabeln z varierar fritt och därför har systemet oändligt många lösningar. Vi kan införa beteckning, z=t och skriva lösningen på följande form:

x = (4-t)/3, y =1, z=t Svar a)

A) En entydig lösning om a ≠0 och a ≠3 B) Oändligt många lösningar om a=3 C) Ingen lösning om a=0

Exempel 2.

För vilka värden på a har ekvationssystemet (med avseende på x, y och z)





= + +

= +

= + +

4 2 3

1 3

3 z y x

z y a x

z y ax

A) en entydig lösning B) oändligt många lösningar C) ingen lösning

Lösning:

Systemets determinant är D=2a−2a2.

=

−2 0

2a a2 a=0 eller a=1 Vi undersöker systemet för a=0 och a=1 För a=0 får vi systemet

Sida 2 av 4

(3)

3

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Kvadratiska system. Cramers regel





= + +

= +

= +

4 2 3

1 3

3 z y x

z x

z y

⇒ (t ex Gaussmetoden med y som ledande variabel )





= +

= +

= +

1 3

1 3

3 z x

z x

z y

.

⇒ 



=

= +

= +

0 0

1 3

3 x z

z y

Systemet har oändligt många lösningar om a=0.

För a=1 får vi systemet





= + +

= +

= + +

4 2 3

1 3

3 z y x

z y x

z y x

~





=

=

= + +

5 2

8 2

4

3 z y

z y

z y x

~





=

=

= + +

5 2

4 2

3 z y

z y

z y x

~ 



=

=

= + +

1 0

4 2

3 z

y z y x

( ingen lösning) Alltså saknar systemet lösning om a=1 A) En entydig lösning om a ≠0 och a ≠1 B) Oändligt många lösningar om a=0 C) Ingen lösning om a=1

Exempel 3.

För vilka värden på a har ekvationssystemet





= +

=

− +

=

− +

1 1 3

1 z

y x

z a y x

z a y a x

A) Precis en lösning

B) Oändligt många lösningar C) Inga lösningar

Svar :

. 3 4 1

1 1

3 1

1 )

( =− 2 + −

= a a a

a a

A Det

Sida 3 av 4

(4)

4

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Kvadratiska system. Cramers regel

lösningar många

oändligt ellera

a B

ning entydiglös a

a A

=

=

3 1

)

, 3

, 1 )

(Fallet C kan inte förekomma.)

CRAMERS REGEL

Cramers regel kan användas för att lösa ett kvadratiskt system endast om systemets determinant är skild från 0.

Betrakta systemet

n n nn n

n

n n

n n

b x a x

a x a

b x a x

a x a

b x a x

a x a

= +

+ +

= +

+ +

= +

+ +

2 2 1 1

2 2

2 22 1 21

1 1

2 12 1 11

...

Om D≠0 då gäller

 , ,

, 2 2 3 3

1

1 D

x D D x D D

x = D = =

där

nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a D

...

...

...

...

...

...

...

2 1

2 22

21

1 12

11

= ,

nn n

n

n n

a a

b

a a

b

a a

b D

...

...

...

...

...

...

...

2

2 22

2

1 12

1

1= ,

nn n

n

n n

a b

a

a b

a

a b

a D

...

...

...

...

...

...

...

1

2 2

21

1 1

11

2 = ,

nn n

n n

n n

a b

a a

a b

a a

a b

a a D

...

...

...

...

...

...

...

2 1

2 2

22 21

1 1

12 11

3 = , …

Exempel 4.

2. Lös med Cramers regel följande systemet a) 

= +

= +

7 2 3

4 2

y x

y

x b)



= +

= +

7 2

11 2

y x

y

x c)





= + +

= + +

= + +

7 2

9 2 2

6 z y x

z y x

z y x

Lösning:

a) 1 0

2 3

1

2 = ≠

=

D ( OK med Cramers regel), 2 1

7 1 4

1 = =

D , 2 0

7 3

4 2

2 = = ≠

D

1 2 , 2

1 1

1 2

1 = = = = =

= D

y D D

x D

Svar: a) x=1, y=2, b) x=5, y=1, c) x=3, y=2, z=1 Sida 4 av 4

References

Related documents

Kap 2 Linjära

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Linjära kombinationer av s... Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Linjära kombinationer

Ett homogent linjärt ekvationssystem med fler obekanta än ekvationer har alltid en icke- trivial lösning.. Från

[r]

Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningar.. Fullständiga lösningar skall presenteras till

Bestäm den största möjliga omkretsen för en rektangel som är inskriven i en halvcirkel (3p) med radien R.. Rektangelns ena sida ska placeras längs

För ett linjärt homogent ekvationssystem gäller precis en av följande alternativ:.. Systemet har precis en lösning (den triviala lösningen)

För att få bort x-termerna vid additionen, multiplicerar vi den första ekvationen med 2 och den andra med –3.. För att få bort y-termerna vid additionen, multiplicerar vi