School of Mathematics and Systems Engineering Reports from MSI - Rapporter från MSI
Likhet och inte likhet
Lärares undervisningsmetoder och elevers kunskaper om begreppen lika med och inte lika med i år 1.
Författare Rosita Sand Kia Tengelin
Jun MSI Report 06063
Examensarbete 10 poäng i Lärarutbildningen
Vårterminen 2006
ABSTRAKT
Rosita Sand & Kia Tengelin Likhet och inte likhet
Lärares undervisningsmetoder och elevers kunskaper om begreppen lika med och inte lika med i år 1.
Equal and non-equal
Teachers methodology and pupils knowledge regarding the conception of equal and non-equal in the first grade.
Antal sidor: 42
Syftet är att undersöka hur två lärare på två olika skolor introducerar och arbetar med begreppen ”lika med” och
”inte lika med” i år 1 och vilka kunskaper och vilken förståelse elva elever har om begreppen. Vi använde en kvalitativ undersökningsmetod bestående av intervjuer och en matematikdiagnos.
Lärarnas undervisningsmetoder överensstämmer vid introduktionen av begreppet ”lika med”, men ingen av dem arbetar med begreppet ”inte lika med”. Den ena klassen består uteslutande av elever med svenska som förstaspråk medan den andra bara har en elev med svenska som förstaspråk. En skola arbetar mer med gruppövningar, problemlösningar, vardagsanknutna uppgifter och talar mer matematik medan den andra fokuserar mer på språket, använder Montessorimaterial och färdiga läromedel.
Eleverna lyckas bättre med uppgifter där de kan använda sig av laborativt, konkret material eller där det finns både bild och symbolspråk i kombination, än med uppgifter som enbart innehåller abstrakt symbolspråk.
De har inte arbetat med symbolen ”inte lika med” men majoriteten löser ändå de uppgifter som innehåller symbolen. Slutsatsen är att samtliga elever fortfarande har ett mer konkret än abstrakt sätt att tänka och behöver mer tid att laborera med konkret material för att befästa begreppen.
Sökord: likhetstecknet och olikhetstecknet, matematikens språk och symboler, undervisningsmetoder
Postadress Växjö universitet 351 95 Växjö
Gatuadress
Universitetsplatsen Telefon
0470-70 80 00
Innehållsförteckning
Abstrakt
1 Inledning 5
1.1 Syfte och problemformulering 5
2 Bakgrund 6
2.1 Vad säger styrdokumenten? 6
2.2 Sambandet mellan matematik och språk 7
2.2.1 Matematik – ett sätt att kommunicera 7
2.3 Att upptäcka matematikens språk 8
2.4 Matematikens språk och symboler 9
2.4.1 Likhetstecknets historia 9
2.4.2 Likhet och inte likhet 10
2.5 Olika undervisningsmetoder och pedagogiska inriktningar 10 2.5.1 Utveckla förståelse genom ett laborativt och konkret arbetssätt 12
2.5.2 Förslag på undervisningsmetoder 12
3 Metod 15
3.1 Urval 15
3.2 Procedur och datainsamlingsmetoder 16
3.3 Metoddiskussion 17
4 Resultat och analys 19
4.1 Resultat av lärarintervjuer 19
4.1.1 Sammanfattning av lärarintervjuer 24
4.2 Analys av lärarintervjuer 24
4.3 Elevintervjuer 26
4.3.1 Sammanfattning av elevintervjufrågor 28
4.4 Resultat av matematikdiagnos 28
4.4.1 Sammanfattning av matematikdiagnos 31
4.5 Analys av elevernas intervjufrågor och matematikdiagnos 31
5 Diskussion 33
Litteraturförteckning 36
Bilaga 1 38
Bilaga 2 39
Bilaga 3 40
1 Inledning
Vi är två förskollärare som arbetar på två olika skolor. Vi har båda ett förflutet inom förskolan och känner att eleverna i de yngre årskurserna ligger oss närmast.
Under åren vi arbetade i förskolan var leken en självklar och viktig del i arbetet med barnens inlärning. I förskolans tradition och metodik arbetar man mycket konkret och utnyttjar situationer i vardagen för att skapa intressanta, begripliga och verklighetsbaserade inlärningssituationer.
De senaste åren har det fokuserats på att göra matematiken mer synlig och att lyfta fram den i förskolan. Det talas mycket om hur viktigt det är att tala matematik och ”matematisera”
aktiviteter även med de yngre barnen; att ta på sig ”matematikglasögonen” och försöka hitta matematik i vardagen.
När vi började arbeta i skolan blev vi förvånade över att så många lärare i så liten utsträckning arbetar med praktisk matematik, med att tala matematik och att en relativt liten del av det barnet arbetar med på matematiklektionerna har någon direkt vardagsanknytning.
Vi upplever att när sexåringarna flyttade från förskolan och in i skolan, försvann mycket av den positiva ”förskolemetodiken”. Det vi menar med ”förskolemetodiken” är: att utnyttja leken i inlärningssituationer, att arbeta konkret, att utnyttja vardagssituationer och att använda så många sinnen som möjligt. Istället för att utveckla och föra in förskolans arbetssätt i skolan, tog många förskollärare över skolans sätt att undervisa, vilket enligt oss ofta är mer teoretiskt.
Vi blev nyfikna på hur lärare undervisar i matematikämnet i skolan och valde därför att undersöka hur lärare i år 1 arbetar med de mest grundläggande kunskaperna i matematiken.
1.1 Syfte och problemformuleringar
Vårt syfte är att ta reda på hur två lärare på två olika skolor, introducerar och arbetar med symbolerna och begreppen ”lika med” och ”inte lika med” i år 1, och vilka kunskaper och vilken begreppsförståelse eleverna har.
Utifrån syftet har följande frågeställningar formulerats:
• Hur introducerar och arbetar lärarna med begreppen och symbolerna ”lika med” och
”inte lika med”?
• Vilken förståelse och vilka kunskaper har eleverna om begreppen och symbolerna
”lika med” och ”inte lika med”?
2 Bakgrund
Litteraturgenomgången innehåller delar av vad styrdokumenten säger om matematikämnet i skolan, sambandet mellan matematik och språk, att upptäcka matematikens språk och symboler och kort om olika pedagogiska inriktningar och undervisningsmetoder.
2.1 Vad säger styrdokumenten?
Enligt Skolverket (2000) är grundskolans uppgift att ge eleverna möjlighet att utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för att kunna ta välgrundade beslut i vardagslivet, för att kunna tolka och använda det ökande informationsflöde vi utsätts för och för att kunna följa med i och delta i beslutprocesser i samhället. Utbildningen ska ge god grund för studier i andra ämnen, för fortsatt utbildning och ett livslångt lärande.
I Lpo 94 och Kursplan 2000 kan man läsa under ”Mål att sträva mot”:
Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven
• får tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och använda matematik i olika situationer,
• förstår och kan använda grundläggande matematiska begrepp och metoder,
• inser värdet av och kan använda matematikens språk, symboler och yttrycksformer,
• förstår och kan använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara sitt tänkande.
(Malmer, 2002, s.22-23)
Under ”Mål att uppnå” i grundskolan står bland annat att det är skolans ansvar att se till att alla elever efter genomgången grundskola ska behärska ”grundläggande matematiskt tänkande och kan tillämpa det i vardagslivet” (Lpo 94, 1999, s.12).
I ”Kursplaner och betygskriterier 2000” för matematikämnet i grundskolan står det under Ämnets syfte och roll i utbildningen:
[…] Utbildningen syftar till att utveckla elevens intresse för matematik och möjligheter att kommunicera med matematikens språk och uttrycksformer. Den skall också ge eleven möjlighet att upptäcka estetiska värden i matematikens mönster, former och samband samt uppleva den tillfredställelse och glädje som ligger i att kunna förstå och lösa problem. Utbildningen i matematik skall ge eleven möjlighet att utöva och kommunicera matematik i meningsfulla och relevanta situationer i ett aktivt och öppet sökande efter förståelse, nya insikter och lösningar på olika problem. (Skolverket, 2000, s. 26)
2.2 Sambandet mellan matematik och språk
Rapporten Lusten att lära - med fokus på matematik (Skolverket, 2003) visar att det finns ett klart samband mellan språk och matematik. Med hjälp av språket utvecklas de matematiska begreppen hos eleverna och de får insikt i sitt eget kunnande och hur de lär in.
Undervisningen i skolan bör därför ge eleverna utrymme till att reflektera över sin inlärningssituation, för att på så sätt utveckla det matematiska tänkandet, språket och förståelsen för matematiken.
”I matematiken lurar många språkliga fällor. Matematik är ju mycket mer än räkning. En elev kan vara en matematisk begåvning men stupa på ett tal för att han inte vet vad ordet antal står för” (Ladberg, 2000, s.172).
Det mest effektiva sättet att förebygga att elever får matematiksvårigheter är att ge dem tillräckligt med tid att bygga upp och befästa de verkligt grundläggande begreppen. Orden bör övas i sammanhang där de behövs och efterfrågas för att få verklighetsanknytning. Hon menar att övning av språket och utveckling av matematiska begrepp skall gå hand i hand (Malmer, 2000).
2.2.1 Matematik – ett sätt att kommunicera
Genom det matematiska språket kan man diskutera, upptäcka, och förstå matematik och matematikens plats i verkligheten. Det är inte de matematiska fackuttrycken så mycket som de matematiska vardagsuttrycken som är grunden till matematisk kommunikation.
(Berggren & Lindroth, 1997, s.26)
Författarna anser att en av anledningarna till att elever har svårt att uttrycka sina tankar kring matematik beror på att de är osäkra på vad begreppen betyder och att muntlig och skriftlig matematisk kommunikation inte tränas så mycket som det skulle behövas.
Det är viktigt att träna på matematikord av flera anledningar. En anledning är att det är lätt att överskatta elevernas förmåga att förstå innebörden av ord. Ett annat motiv är att när eleverna kan matematikorden blir det lättare att förstå matematikuppgifter som de läser eller hör. Många av felen eleverna gör när de ska lösa benämnda uppgifter beror troligen på att de är osäkra på vad matematikorden betyder. Slutligen underlättar det för eleverna när läraren ger instruktioner som innehåller många matematikord eller när de läser en instruktion inför t.ex. en laboration (Berggren & Lindroth, 1997).
Forskaren Vygotskij betonar att språket är ett kommunikationsmedel och att sambandet mellan språk och tanke är en levande process. Förseningar i den språkliga utvecklingen kan ge eleverna svårigheter att utveckla det logiska tänkandet och i förlängningen också begreppsbildningen (Malmer, 2002).
2.3 Att upptäcka matematikens språk
Ahlberg (Wallby m.fl., 2001) talar om barnens möte med matematiken i förskolan, som en start på deras väg att erövra ett nytt språk. Ett språk som ofta har ansetts svårtillgängligt. För att de matematiska symbolerna ska få någon innebörd måste de kopplas till elevens eget språk. Lärarna bör därför vara försiktiga när de inför symbolerna i undervisningen och utgå från elevernas erfarenheter. Om läraren i undervisningen utgår från elevernas erfarenhetsvärld kan de koppla matematiken till sitt eget sätt att tänka vilket ger dem ökade möjligheter att skapa en förståelse för matematikens begrepp och symboler.
Att lämna plockandet med konkret material och istället övergå till att använda sig av symboler, dvs. att gå från det konkreta till det abstrakta, är en utveckling som tar lång tid och kan vara avgörande för elevernas matematikinlärning. Här gäller det för läraren att skapa ett klassrumsklimat där eleverna känner sig trygga och vågar prova sig fram även om det kan innebära att man gör felsteg för att komma fram till svaret. Om eleverna möter för stora formella krav tidigt i matematikundervisningen och genom det får uppfattningen att matematik bara handlar om att skriva siffror och ställa upp beräkningar för att kunna ge rätt svar, så snabbt som möjligt, kan de få fel föreställningar om vad matematik egentligen innebär. Lärarens inställning till eleverna och till sitt arbete och om inställningen till förändringar är också viktig. Den kan locka fram elevernas innersta förmåga till inlärning (Malmer, 2000, 2002).
Elever får svårigheter i matematiken om de inte förstår vad de sysslar med. Redan i nybörjarsituationen kan svårigheter uppstå om inte barnet i tankarna kan laborera med tal och delar av tal på ett flexibelt sätt och förstå meningen bakom räknandet.
Rutinmässiga lösningar av uppgifter med hjälp av symboler som eleverna saknar förståelse för har en blockerande effekt på förståelsen.
(Sahlin, 1997, citerad i Wallby m.fl., 2001, s.197)
2.4 Matematikens språk och symboler
Traditionen i skolan har länge varit att tidigt låta eleverna börja använda det matematiska symbolspråket. Detta är också något som eleverna förväntar sig när de börjar skolan. Att räkna och skriva med symbolspråket är den bild många elever har av vad matematik i skolan innebär. Alla skolbarn har däremot inte nått den abstraktionsnivå som krävs för att kunna tolka och använda symbolerna och för man in symbolspråket alltför tidigt kan en del elever få problem.
För att det matematiska symbolspråket ska få en innebörd för eleverna måste det utgå från och länkas ihop med deras eget språk. Först måste de bli medvetna om att de på ett informellt sätt löser matematiska problem i vardagen. Därefter kan de lära sig hur man kan uttrycka problemen med hjälp av det matematiska symbolspråket. Elever som får berätta, rita och skriva räknehändelser får stora möjligheter att koppla det egna språket till matematikens språk.
Skillnaden mellan vardagsspråket och det matematiska språket är matematikens symbolspråk och graden av precision. För att kunna kommunicera med hjälp av symboler är det en förutsättning att man förstår relationen mellan matematiska begrepp, idéer och symboler (Lorentzson, 2003, Sterner & Lundberg 2002, Wallby m.fl., 2001).
Malmer (2000) drar paralleller mellan läsprocessen och förmågan att förstå de matematiska abstrakta symbolerna. Hon menar att de matematiska symbolerna egentligen är mer fantastiska än bokstäverna och hon liknar den matematiska symbolskriften vid stenografi. Den matematiska symbolskriften liknar de olika symbolerna i stenografin, eftersom de ofta är en sammanfattning av ett antal ord, som i sin tur skildrar olika händelser.
Det finns anledning att vänta med att introducera de matematiska symbolerna tills det finns verkliga begrepp bakom dem. Oftast införs de onödigt tidigt. Orsaken till det är bland annat att eleverna på det sättet får redskap att bokföra sina uppgifter (Malmer, 2000).
2.4.1 Likhetstecknets historia
Likhetstecknet har inte alltid sett ut som det gör idag. Det har ofta beskrivits i ord, som t.ex.
gleich i Tyskland och esgale i Frankrike. När man började använda ett speciellt tecken för att visa likhet blev det ”[”, ”~” eller ”||”. Första gången likhetstecknet skrivs ”=” är 1557, men det är inte förrän 1618 det dyker upp igen och det dröjer ända till 1700-talet innan det kommer i allmänt bruk. En av anledningarna till att det dröjer så länge är, att tecknet användes till mycket mer än att påvisa ”likhet”. Francis Vieta använde det som minustecken och Descartes
använde tecknet som vårt ”±”. Ytterligare användes det som decimalpunkt och som allmänt tecken för att separera tal (Nystedt, 1993).
2.4.2 Likhet och inte likhet
Momentet likhet är ett av det viktigaste i matematiken och bör på grund av det få en särställning. Symbolen för begreppet ”inte lika med” införs oftast i samband med att man introducerar addition och får då inte den ”huvudroll” som den matematiskt egentligen borde ha. Tecknet uppfattas lätt som ett ”resultattecken” och översätts ofta med ordet ”blir”. Även läroböckerna i matematik bidrar ofta till ett sådant sätt att tänka genom att ha bildmaterial där uppgifterna kan bestå av att två barn leker, så kommer ett till och så ”blir” de tre.
Likhetstecknet är den mest missbrukade matematiska symbolen och därför finns det anledning att tidigt låta barnen laborera med konkret material, där de kan göra jämförelser.
Ibland är det lika och ibland olika
För att tydliggöra en likhet kan motsatsen behöva visas, dvs. olikheten. Därför valde man att i GUMA-projektet (GUllviksskolans MAtematikkunskaper i Malmö) använda tecknet för inte lika med (≠) i stället för större än (>) och mindre än (<), eftersom dessa symboler lätt kan leda tankarna till egenskapen storlek. För eleverna kan det vara svårt att uppfatta skillnaden mellan storlek, när det gäller föremål, och storlek, när det handlar om tal.
GUMA-projektet startade hösten 1981. I projektet valde lärarna att arbeta utan läroböcker, för att på så sätt öppna möjligheten att ta tillvara varje elevs inlärningsförmåga.
Inlärningsstrategin under projektet var att tillämpa en processkedja som såg ut så här; tanke – handling – språk – symboler – algoritmer. I tanken skulle elevernas erfarenheter användas, i handling skulle de arbeta med material och skrivande, i språket skulle ordförrådet hos eleverna utökas och sakta infördes de matematiska uttrycken. Symbolerna skulle komma in först när eleverna lärt sig begreppen ordentligt och slutligen algoritmerna som innebar ett lämpligt sätt att redovisa på (Malmer, 1992, 2000, 2002).
2.5 Olika undervisningsmetoder och pedagogiska inriktningar
Det finns en mängd olika pedagogiska inriktningar och synsätt som leder till olika typer av undervisningsmetoder. Ett exempel är ”Reggio Emilia”. Inspiratören till denna pedagogiska inriktning är Loris Malaguzzi. Han menar att eleverna kommer till skolan med erfarenheter och kunskaper som man som lärare ska vara lyhörd inför. Lärarens uppgift är att skapa förutsättningar för eleverna att upptäcka och utforska. Lärarna utgår ifrån deras
upptäckarglädje, fantasi och forskariver, vilket gör att man ger det talade språket och bilden stor plats i undervisningen (Wallby m.fl., 2001).
Ett exempel är Maria Montessoris metod som i korthet ut på att man ska ”följa barnet”. Den vuxne ska bygga upp en miljö där barnen kan arbeta fritt, självständigt och individuellt.
Montessori menar att det är viktigt att man har en planerad verksamhet och en strukturerad miljö där barnen får laborera och använda olika typer av sinnestränande, konkret materiel.
Materialet är upplagt i en viss ordning där varje övning bygger vidare på övningen innan och alltid innehåller någon form av självrättning. Barnen kan, beroende på material, välja att arbeta ensamma eller i grupp (Wallby m.fl., 2001).
I arbetshäftet Matematik från början (Palmér, 2004) finns en artikel av Maria Thunholm och Annika Bergehed, som beskriver hur lärarna på Folkparksskolan i Norrköping arbetar med matematik. De märkte att många elever hade stora brister i matematik när de kom upp i år 4, där det ställdes högre krav på abstrakt tänkande. Lärarna byggde upp undervisningen kring de erfarenheter eleverna hade med sig när de kom till skolan och ville inte föra in det matematiska symbolspråket för tidigt. De började med att döpa om matematikundervisningen till ”tankeverkstäder” för att komma ifrån förväntningarna hos elever och föräldrar på sifferskrivning och uppgifter i böcker med svar, som ska vara rätt eller fel. Förhållningssättet innebar att det inte fanns något rätt eller fel och lärarna mötte elevernas frågor på deras nivå med öppna frågor om hur de tänkt. Eleverna fick t.ex. prova olika strategier och hitta egna lösningar genom diskussioner och ett experimenterande arbetssätt. Matematiken fick finnas med i undervisningen när man var ute i naturen, på idrotten, i leken med konstruktionsmateriel och vid arbete med problemlösningar på olika sätt. Lärarna behovsgrupperade eleverna då deras kunskaper skiljde sig mycket åt.
I boken Bra matematik för alla beskriver Malmer (2002) LTG och MTG som två parallella arbetssätt. (LTG står för Läsning på Talets Grund och MTG står för Matematik på Talets Grund). LTG-metoden utvecklades av Ulrika Leimar på 1970-talet och innebär att eleverna utgår från helheten till delarna. Det är en förutsättning att kunna känna igen orden och veta vad de betyder, för att innehållet i texten ska bli meningsfullt. Malmer (2002) vill med hjälp av MTG-metoden att eleverna ska kunna tyda de matematiska symbolerna och få känslan av att de kan förankras i ett verkligt innehåll.
LTG och MTG är analytiska arbetssätt och betonar helhetens betydelse vid inlärning vare sig det gäller läsning eller matematik. Författaren menar att för att eleverna ska kunna förstå vad de håller på med, måste man utgå från deras egen verklighet och låta den bli en grund för enkla räknehändelser. Om lärarna arbetar med ett analytiskt arbetssätt tar de till viss del tar
bort de gränser som finns mellan de olika räknesätten. Innehållet prioriteras före formen och helheten framför delarna (Malmer, 2002).
2.5.1 Utveckla förståelse genom ett laborativt och konkret arbetssätt
För att kunna utveckla förståelse måste matematiken först upplevas konkret. Därför bör lärarna se till att eleverna får prova så många sätt som möjligt att uttrycka samma matematiska begrepp (Rönnberg & Rönnberg, 2001).
Genom att använda ett laborativt och undersökande arbetssätt, utan att styras av ett gemensamt läromedel, kan man ta större hänsyn till elevernas varierande språkliga och begreppsmässiga utveckling. Det är omöjligt att förutsätta att alla elever samtidigt ska kunna tillägna sig begrepp som de senare även ska kunna översätta till det matematiska symbolspråket. Det är därför viktigt att eleverna får tillägna sig de grundläggande begreppen i den takt de har förutsättningar för. Processen, som leder fram till begreppsförståelse, kan lätt störas genom att t.ex. läraren, med goda avsikter, försöker förklara momentet för eleven, men gör det med hjälp av ord som eleven inte förstår innebörden av än. Då blir förklaringarna inte till hjälp utan snarare ett hinder. Kortsiktiga tidsvinster kan i förlängningen istället leda till tidkrävande reparationsarbeten, vilket oftast även påverkar elevernas självkänsla negativt (Malmer, 2000).
2.5.2 Förslag på undervisningsmetoder
Det är viktigt att ta upp likhetstecknets olika betydelse beroende på vilket sammanhang det står i. Kunskapen och förståelsen blir troligen bättre om eleven först får reflektera och därefter diskutera (Trygg m.fl., 2002).
I GUMA-projektet introducerade lärarna likhetstecknet och senare även tecknet för inte lika med i samband med att eleverna jämförde längden på Cuisenairestavarna, istället för att presentera tecknet i samband med addition som är ett vanligt tillvägagångssätt (Fig.1).
brun Blå
b = g l.g B ≠ g g Fig.1
gul l.g gul gul
Eleverna lägger färgstavarna först, skriver sedan b = g l och berättar slutligen med ord: brun är lika med gul och grön. Ofta upptäcker eleverna själva att man kan använda sig av plustecknet och när de senare går över till att beteckna antal med hjälp av siffersymboler, utgår de från helheten och delar upp den i delar. I det sammanhanget blir det självklart att säga ”är lika med”. Om eleverna vänjer sig vid att likhetstecknet kan ha olika placering får de ett mer flexibelt sätt att tänka, vilket ger dem en bra start inför arbetet med ekvationer. Det är även viktigt för eleverna att se och förstå sambandet mellan helheten och delarna. T.ex. att 5 = 2 + 3 ger samma resultat som 5 = 3 + 2 (Fig. 2), den så kallade kommutativa lagen, som
innebär att resultatet är detsamma även om talen byter ordning (Malmer, 2000, 2002).
5 = 2 + 3 5 = 3 + 2 Fig. 2
Cuisenairestavarna är ett material som består av tio olikfärgade stavar i olika längder, där den minsta är en kub med kantlängd 1 cm och den längsta en 10 gånger så lång stav. Stavarna är inte indelade i enheter, eftersom varje stav ska kunna representera vilket tal som helst. Det är ett relationsmaterial och inte ett strukturellt material för antalsuppfattning. Med hjälp av stavarna är det möjligt att göra många jämförelser och mätningar, där eleverna får tillfälle att använda och tillämpa ord för att beskriva det de gör, ser och upptäcker (Malmer, 2000, 2002).
Furness (1998) rekommenderar att barnen ska kunna räkneramsan upp till 20, helst längre och med säkerhet kunna knyta ramsan till antal och även kunna skriva siffrorna, innan man introducerar likhets- och plustecknet.
Han föreslår att man använder ett additionsunderlag, ritat så att det fyller ett A4-papper och kopierar det till varje elev. Detta kan med fördel användas tillsammans med kuber eller knappar. Välj ett tal, t.ex. åtta och räkna åtta stycken på vänster ruta. Därefter räknar man fram åtta stycken som delas i två grupper, på höger sida om likhetstecknet. Sedan läses
”meningen” tillsammans med eleven t.ex. åtta är lika med två plus sex, 8 = 2 + 6. Fortsätt att visa fler exempel som börjar med åtta och läraren betonar att det är lika många på båda sidor av likhetstecknet. Det är en fördel att sätta det stora talet på vänster sida (8 = _ + _) eftersom det ger fler möjliga svarsalternativ. Gör eleverna tvärtom (2 + 6 = _) får de bara ett svar. Efter
genomgången får eleven fortsätta själv och försöka hitta alla kombinationer som är åtta. När de är klara med talet åtta kan eleverna fortsätta med andra tal under tio och slutligen talområdet 11-20.
Ett annat sätt att introducera likhetstecknet för de yngre eleverna kan vara att jämföra mängder. Det kan man på ett konkret och effektivt sätt göra genom att använda en våg. Om vågskålarna väger olika mycket måste man antingen ta bort eller lägga till något för att det ska bli jämt och det gäller ju även när man använder likhetstecknet (Wallby m.fl., 2001).
Utsagor som t.ex. 3 + _ = 5, 3 + 2 = _ och _ + 3 = 5 kan illustreras genom att eleverna lägger föremål av samma sort på en våg. När eleverna laborerar och diskuterar kan de få förståelse för likhetstecknet. Eftersom övergången från deras eget språk till symbolspråket är ett stort steg kan det vara en god idé att införa symbolerna successivt. Genom att använda konkret material kan eleverna arbeta med likhetstecknet och senare föra in både plus- och minustecken och på så sätt vänja sig vid att arbeta på båda sidor av likhetstecknet (Wallby m.fl., 2001).
3 Metod
För att få svar på vårt syfte och våra frågeställningar valde vi att göra en kvalitativ undersökning. Vi ville ta reda på hur våra informanter tänker och resonerar, och om vi skulle kunna särskilja eller urskilja några mönster. Då är det enligt Trost (2005), lämpligt att göra en kvalitativ studie. Vi ansåg att intervjuer; en diagnostisk intervju och en matematikdiagnos, skulle vara ett bra sätt att få svar på frågeställningarna.
3.1 Urval
Vi valde att genomföra undersökningen i två skolor som vi varit i kontakt med tidigare, då vi gjort VFU (Verksamhetsförlagd undervisning). Den ena skolan, som vi kallar ”Byskolan”, ligger i ett mindre brukssamhälle och har 64 elever från förskoleklass upp till år 6. År 1 är integrerad med år 2 och har totalt 17 elever. Av dessa går sex elever i år 1. På Byskolan arbetar, sedan många år tillbaka, lärarna i år 1 – 3 med matematik utan läromedel. Lärarna på skolan tillverkar eget matematikmaterial och eleverna arbetar mycket praktiskt och laborativt.
Den andra skolan kallar vi ”Cityskolan” och den ligger i en medelstor stad och har ca 500 elever från förskola till år 9. Det finns 22 elever i år 1 fördelat på två klasser. Den klass som är med i undersökningen består av elva elever varav tio har svenska som andraspråk. Av dessa elva är sex med i undersökningen. Mer än hälften av skolans elever är andraspråkselever. De kommer från 19 olika nationaliteter. Vår definition av andraspråkselever är elever som kan vara födda i Sverige, men inte har svenska som förstaspråk. Eleverna från Cityskolan arbetar ganska mycket i färdiga läromedel. Läraren är Montessoriutbildad och har i sitt klassrum tillgång till Montessorimaterial.
Vi har intervjuat en lärare från varje skola. Läraren från ”Cityskolan” har vi valt att kalla Kerstin. Hon är 53 år och är född i Finland, men kom till Sverige som fyraåring. Hon arbetade som barnskötare mellan 1974-1981, utbildade sig därefter till förskollärare och blev klar 1983. Kerstin har arbetat i flera olika kommuner i Sverige. Inom förskolan har hon arbetat på en finsk syskonavdelning, småbarnsavdelning, förskoleklass och ”vanlig” syskonavdelning.
Kerstin är även utbildad Montessorilärare (0-9 år) och har varit med och startat ett
”Montessoriföräldrakooperativ”, där hon arbetade som föreståndare i 5 år. Hon har arbetat på andra föräldrakooperativ, i en annan kommun, under två år. För sju år sedan gick hon en ettårig påbyggnadsutbildning till lärare och har idag behörighet att undervisa upp till år 3.
Kerstin har arbetat på Cityskolan i sex år.
Petra, 44 år, blev klar med sin utbildning till lågstadielärare1986. Hon har arbetade som pool i kommunen mellan 1987-1990 och har sedan dess arbetat på Byskolan.
Vi valde i samråd med lärarna ut tolv elever. Från Cityskolan kommer tre pojkar och tre flickor och från Byskolan två pojkar och fyra flickor. Lärarnas namn är fingerade för att de inte ska kunna identifieras. På grund av sjukdom deltog inte en av flickorna från Byskolan i undersökningen och eftersom det bara går sex elever i klassen fanns det ingen möjlighet ersätta henne med en annan elev.
3.2 Procedur och datainsamlingsmetoder
Vi informerade om innehållet i och syftet med vår studie då vi kontaktade lärarna. Vi berättade att allt material behandlas konfidentiellt, dvs. att alla personer avidentifieras och att vi har tystnadsplikt. Vi bad Kerstin om hjälp att välja ut sex elever i sin klass som hon ansåg lämpliga. I Petras klass finns endast sex elever vilket gjorde att samtliga blev tillfrågade.
Vi kontaktade samtliga föräldrar muntligt för att informera om syftet och innehållet i vår undersökning och be om deras samtycke att låta sina barn delta. Vi berättade att barnen skulle avidentifieras och att allt material behandlas konfidentiellt. Anledningen till att vi valde att ta kontakten muntligt och inte skriftligt, beror på att några av andraspråkselevernas föräldrar är analfabeter. Fem av de sex eleverna på Cityskolan är andraspråkselever och deras föräldrar talar begränsad eller ingen svenska alls. I kontakten med andraspråkselevernas föräldrar fick vi hjälp av elevernas modersmålslärare som tolkade.
Samtliga föräldrar fick i samband med den personliga kontakten tillfälle att ställa frågor om det var något som var oklart, eller något de funderade över. Vi fick positiva reaktioner från alla föräldrar och de gav sitt samtycke. När föräldrarna gett sitt samtycke fick eleverna samma information och tillfrågades om de vill delta. Eleverna var entusiastiska och ville gärna
”hjälpa till”.
Lärarna fick intervjufrågorna (Bilaga 1) en vecka innan intervjun, för att ha möjlighet att fundera igenom dem ordentligt. Frågorna handlade om hur begreppen och symbolerna ”lika med” och ”inte lika med” introduceras, hur man arbetar med dem i klassen och vilka tankar som ligger till grund för hur de lägger upp sin undervisning (Bilaga 1). Intervjuerna genomfördes på deras arbetsplatser under eller efter deras ordinarie arbetstid.
För att få veta vilken förståelse och kunskap eleverna har om begreppen lika med och inte lika med ställde vi ett antal frågor (Bilaga 2). Eftersom vi valde att göra en kvalitativ undersökning begränsade vi antalet elever till 12, dvs. sex elever var. Trost (2005)
rekommenderar att man begränsar sig till mellan fyra och åtta intervjuer, eftersom materialet lätt blir ohanterligt om det blir för stort. Det kan vara svårt att få överblick och samtidigt se vad som förenar eller skiljer sig åt.
Vi valde att göra en muntlig intervju enskilt med varje barn för att vi ville höra vilken förmåga barnen har att uttrycka sig då de ska tala matematik. Vi hade även tillverkat konkret plockmaterial i form av 20 fiskar i olika färg och form, två akvarier, och symbolkort med tecknen är lika med och är inte lika med. Att vi valde olika färg och form på fiskarna berodde på att vi ville se om eleverna skulle lägga någon vikt vid hur de såg ut, eller om de skulle tänka på hur många de var, dvs. antal.
För att få ett djupare underlag och även se vilken förmåga eleverna hade att lösa uppgifter med symbolerna på en abstrakt nivå, kompletterade vi dessutom intervjuerna med att göra en skriftlig matematikdiagnos (Bilaga 3). När vi utformade diagnosen tänkte vi på att det skulle finnas olika typer av uppgifter och svårighetsnivåer. Vi ville se hur eleverna klarade att ”läsa av” bilder och tal, att översätta dem till det skrivna matematikspråket, samt att helt på egen hand skriva och/eller rita en räknesaga.
Den skriftliga matematikdiagnosen genomfördes även den enskilt för att eleverna inte skulle titta på, störas eller påverkas av varandra, och för att vi skulle ha möjlighet att be dem förklara hur de tänkt om något var oklart för oss. Vi genomförde intervjuerna och matematikdiagnosen med en dags mellanrum, för att det inte skulle bli för jobbigt för eleverna. Vi beräknade tidsåtgången till ca 20 minuter per delmoment.
För att få så god reliabilitet som möjligt försökte vi skapa samma förutsättningar inför varje intervju. Vi använde samma rum, där vi kunde sitta ostört, för att på så sätt skapa en trygg och avslappnad stämning och ställde samma frågor vid varje intervju. Vi spelade in intervjuerna på band för att kunna fokusera helt på informanten och för att efter intervjuerna kunna gå tillbaka för att lyssna på det som vi eventuellt inte uppfattade under intervjutillfället. Vi är dock medvetna om att reliabiliteten påverkats av att vi har varit två personer som har genomfört intervjuerna. Det är en omöjlighet för två olika personer, att genomföra intervjuerna på exakt samma sätt.
3.3 Metoddiskussion
Vi valde att göra en kvalitativ undersökning eftersom vi ville ta reda på hur våra informanter tänker och resonerar, och om vi skulle kunna särskilja eller urskilja några mönster. För att få svar på våra frågeställningar använde vi oss av intervjuer och en matematikdiagnos.
För att få så god reliabilitet som möjligt försökte vi skapa samma förutsättningar inför varje intervju. Vi använde samma rum, ställde samma frågor, hade tillgång till samma konkreta material och spelade in intervjuerna på band. Vi är dock medvetna om att reliabiliteten påverkats av att vi har varit två personer som har genomfört intervjuerna. Det är en omöjlighet för två olika individer att genomföra intervjuerna på exakt samma sätt. Även informanterna är individer med olika personligheter vilket givetvis påverkar resultatet. Trots att vi hade färdiga intervjufrågor som skulle ställas i en viss ordningsföljd, blev det inte alltid som vi planerat.
När det gäller elevintervjuerna var det särskilt svårt att hålla sig till den exakta formuleringen på frågorna och att följa ordningsföljden exakt. Vissa elever svarade på flera frågor på en gång, vilket gjorde det överflödigt att ställa fler frågor eller följdfrågor, medan andra bara svarade på exakt det som efterfrågades i varje fråga. Med facit i hand ser vi att vi hade kunnat ställa färre frågor och på så vis haft större frihet att prata kring våra frågeställningar. Det var svårt att sammanställa svaren från elevintervjuerna eftersom vi hade så många frågor och att svaren ofta gick i varandra. Vi upptäckte, då vi transkriberade de inspelade intervjuerna, att vi trots våra ansträngningar inte lyckats hålla oss helt neutrala, formulerat frågorna på exakt samma sätt varje gång och inte heller i samma ordningsföljd.
På matematikdiagnosens sista uppgift (Bilaga 3, uppgift nio) gällde det för eleverna att få vågarna att väga jämnt. Här kunde uppgiften feltolkas eftersom alla vågar var symmetriska, vilket de kanske inte borde ha varit. I det första exemplet väger vågen jämnt trots att de inte har samma antal hjärtan på varje sida av vågen. Detta kunde ha undvikits genom att ta bort de figurer som var placerade i de två första uppgifterna eller genom att vågarna gjorts osymmetriska. Ett tredje alternativ kunde ha varit att sätta dit ett likhetstecken i mitten av vågen. Dessa alternativ kunde ha gett eleverna större chans att besvara uppgiften korrekt.
Orsaken till att vi hade så många frågor var att vi ville undvika att ställa för många spontana följdfrågor. Vi är båda ovana intervjuare och vi ville försöka minimera risken att ställa olika eller ledande frågor, och på grund av det inte få likvärdiga och jämförbara resultat.
Ingen av lärarna använde sig av tecknet för ”inte lika med” (≠) i undervisningen, vilket gjorde att vi valde att inte ställa frågorna som berörde den symbolen till eleverna. Eftersom flera barn frågade vad det var för tecken, berättade vi under intervjuerna vad det betydde.
Detta gjorde givetvis att eleverna inte hade någon djupare kunskap om symbolen och begreppet ”inte lika med” när de gjorde matematikdiagnosen.
4 Resultat och analys
Syftet med vår undersökning var att ta reda på hur två lärare på två olika skolor arbetar med och introducerar symbolerna och begreppen ”lika med” och ”inte lika med” i år 1, och vilka kunskaper och vilken begreppsförståelse eleverna har.
4.1 Resultat av lärarintervjuer
Vi ställde åtta frågor till de två lärare som deltog i undersökningen. Vi bad dem att beskriva den klass de arbetar med, hur de introducerar och arbetar med begreppen och symbolerna lika med och inte lika med och hur de tar reda på vilka kunskaper och vilken förståelse barnen har.
1. Kan du beskriva den klass du arbetar med just nu?
Cityskolans klass består av elva barn; sex flickor och fem pojkar. Endast ett av barnen har svenska som förstaspråk. Bland andraspråkseleverna finns fem olika språk representerade. I klassen finns en individintegrerad förståndshandikappad elev, som har elevassistent på halvtid. Läraren tycker att arbetsklimatet är väldigt bra. Barnen är positiva, arbetsvilliga, vill lära sig nya saker och är mycket trevliga mot varandra.
Den allmänna kunskapen är väldigt skiftande, vilket kan bero på föräldrarnas varierande bakgrund. Flera av föräldrarna har ingen eller väldigt begränsad skolgång bakom sig och några är analfabeter. En del föräldrar tycker inte att skolan är så viktig, eftersom de kommer från en kultur där de kunskaper man får i skolan inte är de som värderas högst i livet. En del av barnen är understimulerade hemifrån och har t.ex. aldrig spelat spel eller ritat. Ofta är det många barn i familjen, vilket gör att föräldrarna inte har möjlighet att ägna särskilt mycket tid åt varje barn. Tre av andraspråkseleverna kommer från en kultur där barn inte får ifrågasätta det vuxna säger och där barn inte heller får delta så mycket i samtalen med vuxna, innan de uppnått en viss ålder. Eleverna ställs inför en kulturkrock när de kommer till skolan, där läraren förväntar sig att de ska reflektera och uttrycka sig vilket de inte är vana att göra.
Flera av eleverna på Cityskolan har svårt med matematiska begrepp vilket sannolikt mest beror på bristande kunskaper i svenska.
I Byskolan ingår år 1 i en så kallad B-form, som består av en klass med elever från år 1 och 2. Det är 17 elever totalt, varav sex går i år 1, två pojkar och fyra flickor. Samtliga elever har svenska som första språk Klassen har ett gott arbetsklimat och eleverna är pigga, glada, arbetsvilliga och vill lära sig mycket. De har en positiv syn på skolan och är hjälpsamma mot
varandra och andra kamrater på skolan. När det gäller den allmänna kunskapen i klassen så är den ganska jämn.
2. På vilka sätt arbetar ni med matematik i din klass?
På Cityskolan använder läraren sig av olika arbetssätt. Kerstin är Montessoriutbildad och har tillgång till ”Montessorimaterial” i klassrummet. Hon introducerar Montessorimaterialet enskilt eller i mindre grupper på 3-6 elever. Detta gäller även då hon introducerar nya begrepp. Tre gånger i veckan delas klassen så att hälften går till fritids ca en timme och den andra halvan är kvar i klassrummet.
Kerstin deltar i ett matematikprojekt som kommunen startat och är utbildad ”mattepilot”, vilket innebär att hon gått utbildningar i praktisk, konkret matematik och även utbildar kollegor under temadagar i matematik. Genom ”mattepilotprojektet” har hon tillverkat olika matematikspel, material till olika övningar och även fått medel till att köpa in olika färdigtillverkade matematikspel. Dessa finns framme i öppna hyllor i klassrummet. Det finns även tillgång till plockmaterial som t.ex. glasmosaik, kastanjer, knappar och kottar.
På grund av att nästan alla elever är andraspråkselever måste hon fokusera mycket på språket och har hittills arbetat mer med svenska än matematik. För de här eleverna är nästan alla begrepp nya och hon måste alltid göra flera genomgångar för att barnen ska förstå vad det handlar om. Hon använder alltid någon form av konkret material för att göra genomgångarna och begreppen tydligare för barnen. Kerstin samarbetar mycket med modersmålslärarna för att barnen ska få genomgångar även på sitt förstaspråk.
På skolan arbetar man varje termin med något gemensamt tema. Förra terminen var det lek och spel. Barnen blir då indelade i åldersblandade grupper med elever från förskoleklass upp till år 2. Oavsett vilket tema de arbetar med försöker de att väva in någon typ av praktisk matematikaktivitet. I lek och speltemat fick barnen spela olika matematikspel och göra lekar som på något sätt innehöll matematik. Spelen finns sedan i klassrummen så att barnen kan använda dem under lektionerna. En gång i veckan får två barn baka med en vuxen. Detta för att på ett praktiskt och konkret sätt befästa matematiska begrepp.
Kerstin använder en matematikbok som heter ”Vi räknar”. Den får barnen arbeta i när det är helklass och när de har enskild färdighetsträning. Det är ganska svårt att ”prata matematik”
eller ha problemlösning i grupp på grund av att det är svårt för barnen att uttrycka sig på svenska.
I Byskolan arbetar år 1 – 3 utan lärobok i matematik, det är först i år 4 som böckerna
färdighetsträning, problemlösning i grupper, ämnesintegrerat och temaarbeten som t.ex. påsk, jul, skolgårdsmatematik (natur), slöjd, ”basarmatematik” och mycket vardagsmatematik.
Basarmatematiken är aktuell just nu då skolan ska ha en basar i maj. Matematik som eleverna har mött i detta arbete är bl.a. mätning, längd, antal, priser, vikt och enheter. När eleverna har matematik i grupper får de tillsammans försöka lösa ett problem, som de sedan redovisar inför klassen. Detta ger, enligt Petra, eleverna tillfälle att reflektera över sitt eget och andras sätt att lösa matematiska problem. Vid den individuella färdighetsträningen finns det t.ex. pärmar med arbetsuppgifter, lådor med problemuppgifter, laborativa inslag och kortlekar med olika matematiska svårigheter. Mycket av det material som finns har personalen tillverkat under åren.
Petra har på senare år börjat använda sig av matematikböcker vid elevernas färdighetsträning. Hon plockar uppgifter ur olika böcker och anpassar till varje elev. Eleverna får inga egna böcker utan skriver i sina arbetshäften de uppgifter de gör i matematikböckerna.
Petra delar klassen så mycket som möjligt när de arbetar med matematik och hon löser det bl.a. genom att låta den andra halvan av klassen (år 2) göra något helt annat, ett ämne som är mer självgående än matematiken. Matematikundervisningen är planerad så att eleverna har så mycket undervisning i sin åldershomogena grupp som möjligt. De elever som behöver mer tid till sin färdighetsträning får det genom att t.ex. slippa att göra sådana arbeten som för tillfället kan läggas åt sidan och genom matematikstöd.
3. På vilka sätt introducerar du begreppet och symbolen ”lika med” (=) för eleverna?
På Cityskolan introduceras begreppet och symbolen ”lika med” genom att Kerstin ritar ett likhetstecken på tavlan och sätter upp ett antal magneter bredvid. Hon ber eleverna hjälpa henne att dela upp magneterna så att det blir lika många på båda sidor. Kerstin använder sig även av barnen och ber dem dela upp sig så att de blir lika många. De diskuterar vad ”lika med” betyder och hur man skriver ”lika med”, dvs. symbolen. Detta görs både i helklass och enskilt. Barnen får även rita egna räknesagor och arbeta enskilt med färdighetsträning i sin matematikbok.
Andraspråkseleverna har extra genomgångar på sitt modersmål. Efter att barnen fått den första introduktionen av vad begreppet ”lika med” betyder, kommer även plustecknet och addition in. Kerstin har genomgångar med jämna mellanrum för att barnen inte ska glömma bort vad begreppet står för. Detta görs t.ex. vid den gemensamma morgonsamlingen, eller i halvklass.
Petra, som arbetar på Byskolan, börjar med att visa eleverna likhetstecknet och frågar vad de vet eller kan om likhetstecknet. Då får hon veta vilka kunskaper barnen har och planerar innehållet i undervisningen efter det. Hon använder sig av tavlan och overheadapparat för att visa eleverna tecknet och i samband med detta får eleverna aktivt delta i undervisningen.
Eleverna arbetar mycket med att laborera t.ex. med sig själva, med saker och pengar. De får lägga egna utsagor på sina bänkar och tillverkar även egna likhetstecken som de kan arbeta med. Klassen jobbar med tecknet under lång tid, men kan lämna det ett tag för att återkomma med jämna mellanrum.
Efter att eleverna har börjat utveckla förståelse för likhetstecknet börjar Petra successivt införa symbolen plus (+) och senare minus (-) men påpekar att det är mycket viktigt att arbeta så att inte likhetstecknet tolkas som ett resultattecken, dvs. bara står i slutet av en uträkning.
Petra arbetar med utsagor som t.ex. _+ 5 = 10, 10 = _ + _ eller kedjor där talet tio kan vara 10 = _ + _ = _ + _. Eleverna får rita/skriva i sitt matematikhäfte och lägga talet med olika material på bänken framför sig. Hon anser att det är betydelsefullt att eleverna lär in med så många sinnen som möjligt för att befästa sina kunskaper.
4. Hur introducerar du begreppet och symbolen ”inte lika med” (≠) för eleverna?
Ingen av lärarna arbetar med ”inte lika med” i klasserna.
Petra använder sig däremot av symbolerna större än (>) och mindre än (<), men tycker att det är svårt för eleverna att ta till sig och utveckla förståelse för symbolerna. Hon vill därför tänka om till hösten och istället använda tecknet för ”inte lika med” (≠) i samband med att hon introducerar begreppet ”lika med”.
5. När introducerar du begreppen?
På Cityskolan är likhetstecknet den första symbolen som introduceras. Det kommer när de börjar använda symboler i matematiken i samband med att man introducerar addition och subtraktion. Läraren återkommer till det med jämna mellanrum för att barnen riktigt ska förstå innebörden av vad de håller på med när de räknar tal i matematikboken.
I Byskolan är likhetstecknet det första eleverna lär sig. Petra börjar introducera tecknet i augusti/september.
6. Varför valde du just den/de metoderna?
Cityskolans lärare svarar att det är för att ge likhetstecknet ett innehåll så att det ”betyder”
något för eleverna. Kerstin vill att eleverna ska förstå att alla symboler står för händelser så att de inte ska vara ett hinder i deras fortsatta matematikutveckling utan ett hjälpmedel.
Petra från Byskolan vill försöka få eleverna att tänka ett steg längre när det gäller matematik och låter därför eleverna delta aktivt under lektionerna Hon vill inte att de ska bli ”robotar som mekaniskt räknar” för att någon har sagt att de ska räkna ett visst antal uppgifter. Hon vill få bort känslan av att eleverna ska tillfredsställa läraren och istället få dem att vilja lära för sin egen skull. Hon vill uppmuntra eleverna till att tala matematik med varandra, plocka med material, rita och skriva och att träna hjärnan på olika sätt. Genom att arbeta laborativt hoppas hon att de får förståelse för att matematiska lösningar med likhetstecknet kan se olika ut och att det är vägen fram till svaret som är det viktiga.
Anledningen till att Byskolan inte använder sig av matematikböcker är att lärarna ansåg att det var så många elever som misslyckades och kände sig misslyckade med sin matematik. Att de inte hann med i arbetstakten som många andra elever och att deras förståelse inte var så god, då de hela tiden gjorde samma saker, sida upp och sida ner.
7. Hur arbetar eleverna vidare med begreppen och symbolerna för att befästa dem?
Cityskolans lärare diskuterar begreppen med eleverna enskilt och i mindre grupper och de ritar räknesagor med jämna mellanrum. Hon pratar även med modersmålslärarna för att andraspråkseleverna ska få undervisning om symbolerna och begreppen på sitt förstaspråk.
Alla elever får även färdighetsträna enskilt i sina matematikböcker.
Petra på Byskolan försöker få eleverna att gå från det konkreta till det abstrakta genom fortsatt arbete med färdighetsträning, laborationer både ute i naturen och inne i klassrummet, genom att använda sig av vardagen och ta tillvara de möjligheter som spontant dyker upp och försöka förankra likhetstecknet i det. Med jämna mellanrum lägger hon in gruppövningar för att repetera och befästa symbolen.
8. Hur gör du för att ta reda på om barnen fått förståelse för begreppen?
På Cityskolan diskuterar läraren olika tal med eleverna och låter dem förklara talen och räknehändelserna, detta görs både i grupp och enskilt. Det blir en form av en muntlig diagnos.
Dessutom kommer det fram när barnen svarar på frågor, diskuterar och när de arbetar med uppgifter i sina böcker.
Byskolan använder sig av enskilda diskussioner med eleverna, läraren ser i elevens vardagliga arbete hur det går med inlärningen och de gör även en del diagnoser för att se hur eleverna har befäst de kunskaper som är nödvändiga.
9. På vilket sätt märker du att barnet fått förståelse för begreppen lika med och inte lika med?
Båda lärarna märker det när de gör sina diagnoser, i diskussionerna med barnen, när de gör laborationer och på Cityskolan när de löser uppgifterna i matematikboken.
4.1.1 Sammanfattning av lärarintervjuer
Klassernas sammansättning ser väldigt olika ut. På Byskolan är klassen åldersblandad och har uteslutande förstaspråkselever, medan man på Cityskolan har en åldershomogen klass där alla elever utom en är andraspråkselever. Båda lärarna beskriver att klassen har en positiv stämning och att eleverna är arbetsvilliga och vetgiriga.
Båda skolorna arbetar med konkret, laborativt material och varierar mellan att undervisa i hel- eller halvklass och individuellt. Det som skiljer arbetssätten åt är att Cityskolan använder sig av färdiga läromedel vilket inte Byskolan gör. På Cityskolan arbetar läraren mer med språkträning i matematiken, eftersom så många av eleverna är andraspråkselever, och hon använder sig även av modersmålslärarna i matematikundervisningen. Byskolan arbetar mer med att verklighetsanknyta matematikundervisningen och använda närmiljön, att prata matematik och de har mer gruppövningar och problemlösningsuppgifter än Cityskolan.
Lärarna introducerar likhetstecknet tidigt under första terminen i år 1 och använder sig av olika konkreta material. Ingen av lärarna använder sig av symbolen ”inte lika med” (≠), men Byskolans lärare använder symbolerna större än (>) och mindre än (<) när hon ska förklara och belysa begreppet ”inte lika med”.
De metoder Kerstin och Petra använder för att ta reda på vilka kunskaper barnen har, skiljer sig inte så mycket åt. Lärarna är uppmärksamma på det eleverna gör i sitt dagliga arbete då de svarar på frågor och diskuterar i klassen, genom enskilda samtal, dvs. muntliga diagnoser och tittar på hur de löser olika matematikuppgifter.
4.2 Analys av lärarintervjuer
Det finns både skillnader och likheter mellan skolorna, klasserna och arbetssätten.
Trots att klasserna ser olika ut, och i och med det har olika förutsättningar, skiljer sig deras arbetssätt inte så mycket åt. Det som är lika är att båda lärarna varierar mellan att undervisa i helklass, smågrupper och med enskilda elever, båda arbetar temainriktat (även om det sker i olika omfattning) och att eleverna har tillgång till laborativt material. Resultatet visar att lärarna arbetar mot att uppfylla Skolverkets krav (Skolverket, 1999, 2000). De arbetar bland annat mot att eleverna ska få tilltro till det egna tänkandet och att använda matematik i olika situationer. Att de varierar sin undervisning tyder på att de försöker utveckla elevernas intresse för matematik.
När det gäller introduktionen av begreppet och symbolen ”lika med” (=) gör de på ungefär samma sätt. Båda skolorna försöker variera undervisningsmetoder när de arbetar med likhetstecknet, vilket ligger helt i linje med det Rönnberg & Rönnberg (2001) skriver, dvs. att matematiken måste varieras och upplevas konkret för att eleverna ska utveckla en god förståelse för tecknet. Författarna nämner även att eleverna behöver tillägna sig kunskapen i den takt de är mogna för. Detta gör Kerstin genom att arbeta utifrån Montessoripedagogiken, genom individuella genomgångar och med hjälp av modersmållärare i mindre grupper eller enskilt. Petra gör det genom att individanpassa arbetsuppgifter för eleverna och ge de som behöver enskild undervisning eller matematikstöd. Det kan innebära att elever som behöver mer tid till inlärning får det genom att t.ex. slippa något annat arbetsmoment.
Det som skiljer sig åt i arbetssätten är att Petras klass arbetar mer med gruppövningar, problemlösningsuppgifter, vardagsanknutna uppgifter, använder sig av närmiljön, de talar mer matematik och att man i Cityskolan använder färdiga läromedel i matematik, vilket inte förekommer i samma utsträckning på Byskolan.
Kerstins andraspråkselever får matematikundervisning både med Kerstin och på sitt modersmål.
Matematikinlärningen kan bli svårare för andraspråkseleverna eftersom de måste lära sig begreppen på flera språk. Barnens förkunskaper och språkkunskaper påverkar naturligtvis undervisningsmetoderna. Kerstin måste i sin matematikundervisning arbeta mycket mer med språket och på ett annat sätt än Petra. I Skolverkets rapport ”Lusten att lära – med fokus på matematiken” (2003), betonas sambandet mellan matematik och språk och att det är genom språket som de matematiska begreppen utvecklas hos eleverna. Ladberg (2000) säger att det lurar många språkliga fällor i matematiken, eftersom matematik är så mycket mer än bara räkning. En elev kan vara matematiskt begåvad men ända stupa på ett tal för att han/hon inte vet vad t.ex. ordet antal står för.
Byskolan ägnar mer tid till gruppövningar där de arbetar med problemlösning än Cityskolan.
Detta ökar elevernas förmåga att förstå och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt förklara sitt tänkande, som är ett av målen att sträva mot i skolan kursplan (Lpo 94, 1999).
Byskolan använder sig mycket av vardagsanknuten matematik och använder sig då av närmiljön. Cityskolan vardagsanknyter inte i samma utsträckning, men har däremot tillgång till Montessorimaterial vilket inte Byskolan har. Cityskolans lärare utgår i sin undervisning från Maria Montessoris idéer om att följa barnet och bygga upp miljön runt eleverna så att de kan laborera och använda sig av olika typer av konkret material och arbeta fritt och självständigt utifrån sin egen nivå (Wallby m.fl., 2001).
Resultatet visar att ingen av lärarna arbetade med begreppet och tecknet ”inte lika med” (≠).
Petra använder sig däremot av symbolerna större än (>) och mindre än (<), men säger att hon tycker att de är svåra att förstå för eleverna och att hon i höst därför ska använda tecknet ”inte lika med” när hon introducerar likhetstecknet. Malmer (2002) rekommenderar att använda tecknet för ”inte lika med” (≠) istället för större än (>) och mindre än (<), eftersom dessa symboler lätt kan leda till att eleverna tänker på egenskapen storlek.
4.3 Elevintervjuer
För att få svar på vilken förståelse och kunskap barnen har om begreppen och symbolerna lika med (=) och inte lika med (≠) och vilka likheter och skillnader som ev. finns, genomförde vi en diagnostisk intervju i två delar (Bilaga 1 och 2) med 11 barn.
1. Vad tror du att det här är? (Lägger fram ett kort med likhetstecknet (=) på) 2. Berätta för mig vad du tror att denna symbol/detta tecken (=) kan betyda.
På de här frågorna får vi samma svar: Nio av elva elever känner igen likhetstecknet och svarar att det betyder ”lika med”. Sju visste direkt och två kom på det efter en stund.
De två som inte vet gissar att det är en siffersymbol och föreslår siffran 2 eller 11.
3. Berätta för mig var du har sett det här tecknet?
Tio av elva kopplar på något sätt ihop tecknet med matematik. En elev känner inte igen tecknet alls och säger sig aldrig ha sett det.
Fem svarar att de sett det då de räknat; fyra då de räknat i matematikboken och en då han använder siffror.
4. Vad tror du man kan använda det till?
Nio av elva elever sätter det i samband med att de räknar.
Några exempel är: Två svarar att de använder det när de ska dela lika, tre när de räknar plus och minus och en att det ska vara på slutet när man skriver svaret. En annan elev svarar att det är något som används till bokstäver och föreslår bokstaven H. För H kan man ju rita av två streck till. Fast det är ju inget rakt streck i mitten… Det ser alla fall ut som 1, men jag vet att det inte är det ordet …
5. Vad tror du det här är? (Lägger fram ett kort med ”inte lika med” (≠) tecknet på) Ingen av eleverna känner igen tecknet. Vi förklarar för dem vad symbolen heter och hur man använder den. Eftersom ingen av eleverna kände igen tecknet valde vi att inte ställa frågorna sex till åtta (Bilaga 2).
9. Lägger fram två A4-papper som föreställer två akvarier, 20 orange och vita fiskar i tre olika storlekar, ett kort med ett likhetstecken (=) på, ett kort med tecknet för inte lika med (≠) och papper och penna. Lägg akvarierna bredvid varandra med likhetstecknet (=) emellan och be barnet att lägga ”ett tal” med hjälp av fiskarna.
De flesta, nio av elva, lägger ingen vikt vid att fiskarna har olika färg och storlek utan väljer slumpvis ut fiskar efter antal och fördelar i akvarierna. Samtliga elever fördelar fiskarna i båda akvarierna.
Nio av elva lägger korrekta utsagor dvs. lika många fiskar i båda akvarierna. En elev lägger olika antal en gång och lika antal i nästa försök. En annan elev gör bara ett försök och lägger då olika antal fiskar i akvarierna.
10. Kan du berätta vad du lagt med fiskarna?
Alla elever berättar något. Sex av elva lägger en sann utsaga och läser den korrekt.
De fem elever som inte lägger en sann utsaga löser uppgiften på följande sätt: Två elever placerar olika antal fiskar i akvarierna, två fiskar i det vänstra och fyra i det högra, och läser:
två plus två är lika med fyra. En elev läser av talet rätt dvs. läser det hon lagt med fiskarna, 2 = 3, men utsagan är inte sann. En annan lägger en fisk i varje akvarium men avslöjar när han berättar vad han lagt, att han inte har begreppet och symbolen klart för sig. Han säger: en där och en där, så det blev två, två streck. Den sista eleven lägger lika antal på båda sidor men säger sex och sex istället för sex är lika med sex.
11. Hur skulle du kunna skriva det på matematikspråket?
Tio av elva elever skriver något på matematikspråket. Endast en elev är övertygad om att det inte går att skriva det han sagt eller lagt med fiskarna.
Fem av de tio som skrivit något har gjort det korrekt, dvs. med en likadan siffra på varje sida av likhetstecknet. Av de fem som skrivit, men inte gjort det rätt, har fyra skrivit ett tal med ett plustecken inblandat t.ex. 2 + 2 = 4, och då lagt två fiskar i ett akvarium och fyra i det andra. En var väldigt nära en sann utsaga men skrev 6│6 och använder inte likhetstecknet.
Eleven sade att det är var lika på båda sidor strecket.
Fråga tolv till fjorton (Bilaga 2) ställde vi inte eftersom ingen av barnen kände igen tecknet för ”inte lika med”.
4.3.1 Sammanfattning av elevintervjufrågor
De nio som känner igen likhetstecknet kopplar ihop det med matematik och att man räknar.
Eleverna svarar att det används till att räkna, dela lika, till plus och minus och på slutet när man skriver svaret. Två elever känner inte igen likhetstecknet. De tittar på symbolens utseende och gissar att det betyder siffran 2 eller bokstaven H. Ingen av eleverna känner igen tecknet ”inte lika med”.
I uppgiften med fiskarna, akvarierna och likhetstecknet visar resultatet att alla elever placerar ut fiskarna och berättar något om vad de lagt. Fem av tio klarar att lägga, läsa och skriva utsagan korrekt. En elev är övertygad om att det inte går att skriva utsagan med matematikspråket.
Elevintervjuerna tog 10-20 minuter/elev.
4.4 Resultat av matematikdiagnos
Diagnosen börjar med att eleverna får sätta ut rätt tecken (= eller ≠) mellan två figurer och sedan skriva talet på ”matematikspråket” dvs. med siffror och symboler.
1) ☼ ☼ ☼ ☼ ☼ ☼ ☼ ☼ ☼ ☼ ☼ ☼
Åtta av elva elever skriver rätt tecken mellan solarna.
Sex av elva skriver det korrekt på matematikspråket. Två elever skriver rätt med tveksamhet men blandar in addition. De skriver 1+1=2 men ändrar därefter till 6 = 6, och 6 + 6 = 12 på
raden under figuren. Två elever tittar på figurernas utseende och tänker inte på antal utan tror att de är olika, de sista två säger att det inte går att skriva.
2) □ □ □ ▪ ▪ □ □
Åtta av elva elever fyller i rätt tecken (≠) mellan kvadraterna. Sex av elva skriver även korrekt på matematikspråket.
En elev använder båda symbolerna och skriver 5 ≠ = 2. En annan elev skriver ≠ under den högra figuren och ║ under den vänstra, men skriver inget på matematikspråket. Ytterligare en annan fyller i = mellan figurerna och 5 = 2 på matematikspråket och en elev skriver 5 + 2 ≠ 8, vilket i och för sig är en sann utsaga men inte det figurerna visar.
På uppgift tre till fem gäller det att fylla i rätt siffra så att tecknet, = och ≠ stämmer och talet är sant.
3) 5 + = 10
Nio av elva elever klarar att lösa uppgift tre korrekt. De två som skriver fel svar fyller båda i siffran två.
4) - 3 ≠ 5
Uppgift fyra kan ha flera olika svar. Tio av elva elever fyller i en siffra som gör att utsagan är korrekt.
En säger: Det ska vara sex för sex är alltid ihop med tre! En annan fyller i siffran fyra i den tomma rutan och säger: Tre plus fem är åtta och fyra… Två andra elever fyller i siffran två.
5) 3 + 4 = + 5
Den femte uppgiften löser fem av elva korrekt.
Tre elever skriver siffran sju, två svarar siffran fem och en fyller i siffran tre.
Uppgift sex och sju innebär att eleverna ska fylla i rätt tecken i en tom ruta dvs. = eller ≠.
6) 2 + 6 8
Här skriver sju av elva elever i rätt tecken.
En elev skriver siffran sju och tre väljer fel tecken.
7) 5 – 3 2
Här fyller tre av elva elever i rätt tecken. Av dem som svarat fel skriver en siffran två och resten ≠.
8) Skriv och/eller rita en räknesaga och använd tecknet = eller ≠.
Fyra av elva elever lyckas hitta på en räknesaga och använda sig av något tecken.
Tre använder sig av likhetstecknet och en av tecknet för ”inte lika med” (≠) och siffran sex.
De elever som inte fick ihop någon räknesaga förstod inte uppgiften riktigt. En elev hittade på en lång saga, men den innehöll inte någon matematik.
9) Rita och skriv så att vågen väger jämnt.
a) b)
6 = 2 + _____ 3 + ____ = 8
c) d)
7 = 4 + ____ 9 = 6 + ____
Här gäller det att få vågen att väga jämnt genom att skriva och rita. De två första uppgifterna ger lite hjälp på vägen. Där finns en del ritat på vågen för att få eleverna att förstå hur uppgifterna ska lösas.
Fem av elva elever besvarar alla uppgifterna korrekt. Två elever lyckas inte fylla i någon av uppgifterna rätt. Den ene ger följande svar: a) 6, b) 8, c) 14 och d) 16 och den andra svarar: a) 2, b) 8, c) 4 och d) 6. En av flickorna har en egen teori och säger att tre alltid står ihop med sex och skriver b) 6 och d) 3. Hon säger även att två alltid står ihop med tre och att fyra alltid står ihop med två, så hon räknar inte utan utgår bara från sin teori. En annan elev ritar och skriver korrekt på uppgift a) och b), men när han sedan kommer till uppgift c) och d) adderar han de siffror som finns angivna från början och får på så sätt fel svar. Ytterligare två elever lyckas att besvara de två första deluppgifterna rätt, men besvarar uppgift c) och d) fel.
4.4.1 Sammanfattning av matematikdiagnos
De uppgifter som vållade störst bekymmer för eleverna var: uppgift 5, där det finns en addition på båda sidor om likhetstecknet och det saknas en siffra, uppgift 7 där de ska välja rätt tecken, uppgift 8 där eleverna ska skriva en räknesaga och uppgift 9 där det gäller att få vågarna att väga lika. På uppgifterna 5 och 9 svarar knappt 50 % av eleverna rätt, och på uppgifterna 7 och 8 svarar ca 25 % respektive ca 33 % rätt.
Trots att ingen av eleverna arbetat med tecknet för ”inte lika med” (≠) innan, utan bara fått det förklarat av oss under intervjun, klarar de flesta att lösa även de uppgifter som innehåller den symbolen.
Diagnoserna tog 15-30 minuter/elev.
4.5 Analys av elevernas intervjufrågor och matematikdiagnos
När vi lade fram symbolkortet med likhetstecknet på, kopplade tre av de elva eleverna ihop det med addition eller subtraktion. En annan sade att det ska stå på slutet när man skriver svaret.
I uppgiften då eleverna med hjälp av symbolspråket skulle skriva vad de lagt med fiskarna blandade fyra stycken in addition. Malmer (2002) menar att när likhetstecknet införs i kombination med addition upplever eleverna symbolen som ett resultattecken, som att det
”blir” något. Hon nämner också att läroböckerna kan bidra till detta sätt att tänka, om uppgifterna utformas så att de uppfattas som ett resultattecken. Tre av elva elever visade genomgående att de inte har befäst förståelsen för begreppet ”lika med” ännu. Vår undersökning visade att majoriteten av eleverna hade en god förståelse av begreppet och symbolen ”lika med” då de fick använda sig av konkret material.
