Differentialekvationer
En typ av differentialekvationer ¨ar s.k. begynnelsev¨ardesproblem. Ett f¨orsta ordningens begynnelsev¨ardesproblem kan skrivas
dy
dt = f (y, t) , t > 0 y(0) = y0
Om differentialekvationen ¨ar av f¨orsta ordningen och linj¨ar med konstanta koefficienter kan begynnelsev¨ardesproblemet uttryckas
dy
dt + ay = g(t) , t > 0 y(0) = y0
d¨ar g ¨ar n˚agon funktion av tiden t. Om differentialekvationen ¨ar av h¨ogre ordning n blir det lika m˚anga begynnelsev¨arden som ordningstalet (n). D˚a
¨ar det derivatorna upp till ordning n − 1 f¨or vilka begynnelsev¨arden anges.
Dessa problem kan l¨osas med hj¨alp av separation i partikul¨ar l¨osning och homogen l¨osning. Ett annat s¨att ¨ar att anv¨anda s.k. laplacetransformation.
Laplacetransformation
Ett mycket anv¨andbart hj¨alpmedel f¨or att l¨osa linj¨ara differentialekvationer med konstanta koefficienter ¨ar laplacetransformation. F¨or en funktion av tiden f (t), t ≥ 0 definieras laplacetransformationen Lf (s) av f (t) enligt
(Lf )(s) =
∞
Z
0−
e−stf (t)dt
Det lilla minustecknet ovanf¨or nollan i integralens undre gr¨ans betyder bara att man egentligen integrerar fr˚an −ε (med ε > 0) och sen l˚ater ε → 0.
F¨or de flesta funktioner f (t) kan man bortse fr˚an denna teknikalitet. Efter- som integralen ¨over tid har en parameter s kommer integralens v¨arde bli beroende av detta s. D¨armed kan resultatet betraktas som en funktion av s, dvs fungerar som en variabel. Variabeln s kan anta vissa v¨arden i det kom- plexa planet, n¨armare best¨amt s˚adana v¨arden som garanterar att integralen
¨ar konvergent. Detta definierar ett omr˚ade i det komplexa s-planet som
beror p˚a funktionen f (t). Funktionen L{(s) ben¨amns laplacetransform. Av bekv¨amlighetssk¨al inf¨ors ofta konventionen att laplacetransformen f¨or f (t) betecknas med motsvarande versal (”stor bokstav”) dvs (Lf )(s) = F (s).
Deriveringsregeln
Det som framf¨orallt g¨or laplacetransformen s˚a anv¨andbar ¨ar hur derivering av en funktion av tiden p˚averkar laplacetransformen. Derivatan av en funktion f (t) har en laplacetransform som kan uttryckas med hj¨alp av laplacetrans- formen f¨or f (t) sj¨alv.
L df dt(t)
= Z ∞
0−
e−stdf dt(t)dt
=e−stf (t)∞
0 − Z ∞
0−
d
dt(e−st)f (t)dt
= lim
t→∞e−stf (t) − f (0) − Z ∞
0−
−se−stf (t)dt
= −f (0) + s Z ∞
0−
e−stf (t)dt
= −f (0) + sL(f (t))
Gr¨ans¨overg˚angen f¨oruts¨atter att f (t) inte v¨axer f¨or snabbt d˚a t → ∞. Om t.ex. |f (t)| < M (f¨or n˚agot M > 0) f¨or alla t, s˚a visar det sig att det fungerar precis d˚a Re s > 0 dvs f¨or hela h¨ogra halvplanet utom imagin¨araxeln.
Linj¨aritet
En annan viktig egenskap hos laplacetransformationen ¨ar att den ¨ar linj¨ar.
Detta kan l¨att visas:
(L[c1f1(t) + c2f2(t])(s) =
∞
Z
0−
e−st(c1f1(t) + c2f2(t))dt =
= c1
∞
Z
0−
e−stf1(t)dt + c2
∞
Z
0−
e−stf2(t)dt = c1(Lf1)(s) + c2(Lf2)(s)
Med konventionen (Lf )(s) = F (s) kan resultatet skrivas c1f1(t) + c2f2(t) −→L c1F1(s) + c2F2(s)
D¨ampningsregeln
Ytterligare en anv¨andbar regel som anger hur laplacetransformen p˚averkas av att tidsfunktionen multipliceras med en exponentialfunktion.
L(e−atf (t))(s) =
∞
Z
0−
e−ate−stf (t)dt =
∞
Z
0−
e−(a+s)tf (t)dt = (Lf (t))(s + a) vilket mer kompakt kan skrivas
e−atf (t) −→L F (s + a) En speciell laplacetransform
Ett enhetssteg (enhetsstegfunktionen θ(t)) definieras som θ(t) =
(0 om t < 0 1 om t ≥ 0 Laplacetransformationen av denna funktion blir
(Lθ)(s) =
∞
Z
0−
e−stθ(t)dt =
∞
Z
0−
e−st· 1 · dt =
1
−se−st
∞
0
= lim
t→∞e−st 1
−s −
−1 s e−s·0
= 1 s
d¨ar gr¨ansv¨ardet ¨ar 0 under f¨oruts¨attning att Re s > 0.
Liten tabell med laplacetransformer
Dessa tre r¨akneregler kan tillsammans med enhetsstegfunktionens laplace- transform sammanst¨allas till en liten laplacetransformstabell:
f (t) L(f ) = F (s) Kommentarer
1, θ(t) 1
s Enhetssteg (0 om t < 0 och 1 om t ≥ 0) c1f1(t) + c2f2(t) c1F(s) + c2F2(s) Linj¨aritet
df
dt sF (s) − f (0−) Derivering e−atf (t) F (s + a) D¨ampning
Observera att θ(t) har samma laplacetransform som den konstanta funktio-
nen 1. Detta beror p˚a att den undre gr¨ansen ¨ar 0 s˚a det m¨arks ingen skillnad mellan 1 och θ(t) eftersom θ(t) = 1 f¨or t ≥ 0.
L¨osning av begynnelsev¨ardesproblem med laplacetransformer Exempel 1. Ett begynnelsev¨ardesproblem av typen
dy
dt + ay = b , t > 0 y(0) = y0
kan l¨osas i ett svep med hj¨alp av laplacetransformation. Laplacetransforma- tion av b˚ada leden i differentialekvationen ger med hj¨alp av den minimalis- tiska tabellen i f¨oreg˚aende avsnitt
sY (s) − y(0) + aY (s) = b1 s Detta ger direkt
(s + a)Y (s) = b
s + y(0) Nu kan Y (s) l¨osas ut:
Y (s) = 1 s + a
b
s + y(0)
= b
s(s + a) + y(0) s + a
Det enda som ˚aterst˚ar ¨ar nu att ta reda p˚a y(t). F¨or att g¨ora detta m˚aste vi ”g˚a bakl¨anges” i laplacetransformationen. Det finns en formel f¨or invers laplacetransformation men den ¨ar betydligt kr˚angligare ¨an laplacetransfor- men sj¨alv. D¨arf¨or v¨aljer man ist¨allet att hoppas p˚a att laplacetransformerna finns med i tabellen. Tyv¨arr g¨aller detta inte i det h¨ar fallet, eftersom det inte finns n˚agot i tabellen som liknar den f¨orsta termen. Detta avhj¨alps genom att partialbr˚aksuppdela den f¨orsta termen:
Y (s) = b a
1 s − 1
s + a
+ y(0) s + a
Det ¨ar fortfarande s˚a att en av termerna inte finns med bland laplacetrans- formerna i den lilla tabellen. Vi beh¨over ta reda p˚a inversa laplacetransfor- mationen av s+a1 . Detta g¨ors l¨att genom att anv¨anda d¨ampningsregeln p˚a enhetssteget. D˚a blir det uppenbart att
L(e−atθ(t)) = 1 s + a
Nu kan y(t) r¨aknas ut:
y(t) = b
a(1 − e−at)θ(t) + y(0)e−atθ(t) Eftersom θ(t) = 1 f¨or t > 0 kan d¨arf¨or l¨osningen skrivas
y(t) = b
a(1 − e−at) + y(0)e−at, t > 0
F¨or att l¨osa en andra ordningens differentialekvation beh¨ovs en regel f¨or laplacetransformation av andraderivatan av en funktion. Det g˚ar att visa (se
¨ovningarna) att
L d2f dt2(t)
= s2L(f (t)) − sf (0) − df dt(0)
F¨or att kunna hantera andra funktioner g(t) i h¨ogerledet till differentialek- vationen ¨an bara konstanter (som g(t) = b i exemplet) m˚aste tabellen ut¨okas med fler laplacetransformer. En hel del s˚adana finns med i formelsamlingens tabeller. D¨ar finns ocks˚a n˚agra ytterligare r¨akneregler som kan vara bra att ha.
Overf¨ ¨ oringsfunktion
Ett dynamiskt system med en insignal och en utsignal kan ofta beskrivas med en differentialekvation. Om denna differentialekvation ¨ar linj¨ar och har kon- stanta koefficienter s˚a beskriver den ett linj¨art och tidsinvariant system. Om s˚a ¨ar fallet kan laplacetransformation utnyttjas f¨or att f¨orenkla den matema- tiska beskrivningen. Kvoten mellan utsignalens och insignalens laplacetrans- form kallas f¨or systemets ¨overf¨oringsfunktion (se Fig. 1)
Exempel 2. Ett system med insignal u(t) och utsignal y(t) beskrivs av sambandet
dy
dt(t) + 5y(t) = 10u(t)
L¨agg m¨arke till att inget begynnelsev¨arde ¨ar angivet eftersom vi bara ¨ar in- tresserade av att unders¨oka hur insignalen p˚averkar systemet. Detta betyder att alla begynnelsev¨arden ¨ar satta till noll, vilket medf¨or att deriveringsregeln f¨orenklas till
L df dt
(s) = sL(f (t)) − f (0) = sL(f (t))
u(t) G(s) y(t)
Figur 1: Blockschema f¨or enkelt system.
eftersom f (0) = 0. F¨or att ber¨akna ¨overf¨oringsfunktionen anv¨ands laplace- transformation p˚a b˚ada leden:
L dy
dt(t) + 5y(t)
= L (10u(t)) ⇐⇒ L dy dt
+ 5L(y(t)) = 10L(u(t))
⇐⇒ sY (s) + 5Y (s) = 10U(s) ⇐⇒ Y (s) = 10
s + 5U(s) Funktionen
G(s) = 10 s + 5
¨ar allts˚a systemets ¨overf¨oringsfunktion.
Om ¨overf¨oringsfunktionen G(s) ¨ar k¨and s˚a kan utsignalen y(t) ber¨aknas for varje val av insignal u(t).
Poler och nollst¨ allen
Vi utg˚ar i det h¨ar avsnittet fr˚an att ¨overf¨oringsfunktionen G(s) ¨ar rationell, dvs G(s) kan skrivas som ett polynom dividerat med ett annat polynom.
Nollst¨allena till n¨amnaren i ¨overf¨oringsfunktionen kallas poler och de har en stor betydelse f¨or systemets egenskaper. Framf¨orallt avg¨or polerna om sys- temet ¨ar stabilt eller inte. Stabilitet betyder h¨ar insignal-utsignal-stabilitet.
Om ett system ¨ar stabilt i denna mening s˚a inneb¨ar det att varje begr¨ansad insignal till systemet alltid ger upphov till en begr¨ansad utsignal. F¨or att systemet ska vara stabilt s˚a m˚aste alla poler ha strikt negativ realdel, dvs samtliga poler m˚aste befinna sig i det ¨oppna v¨anstra halvplanet Re s <
0. Nollst¨allena till t¨aljaren i ¨overf¨oringsfunktionen kallas helt enkelt f¨or nollst¨allen eftersom hela ¨overf¨oringsfunktionen blir 0 om t¨aljaren ¨ar 0 f¨or n˚agot v¨arde p˚a s.
Exempel 3. Best¨am poler och nollst¨allen till G(s) = 2 − s
s2+ 10s + 24
Eftersom s2+ 10s + 24 = (s + 4)(s + 6) s˚a ¨ar polerna −4 och −6. Nollst¨allet
¨ar s = 2.
Stegsvar
En speciell insignal ¨ar enhetsstegfunktionen θ(t) (ett enhetssteg). Systemets svar p˚a ett enhetssteg (dvs utsignalen y(t) d˚a insignalen ¨ar θ(t)) kallas f¨or stegsvaret f¨or systemet.
Exempel 4. Ber¨akna stegsvaret f¨or ett system med ¨overf¨oringsfunktionen G(s) = 10
s + 5
Eftersom U(s) = 1/s s˚a blir utsignalens laplacetransform Y (s) = G(s)U(s) = 10
s + 5 1
s = 10
s(s + 5) = 2 s − 2
s + 5
d¨ar partialbr˚aksuppdelning gjordes i sista ledet. Med hj¨alp av laplacetrans- formstabellen kan utsignalen d¨arefter direkt ber¨aknas till
y(t) = 2(1 − e−5t)θ(t)
Impulssvar
En annan signal som brukar anv¨andas som testsignal ¨ar diracfunktionen δ(t) (ocks˚a kallad impuls). Detta ¨ar inte n˚agon egentlig funktion utan ett exem- pel p˚a en s.k. distribution, vilket ¨ar ett slags generalisering av funktions- begreppet. Praktiskt kan man se det som en gr¨ans¨overg˚ang f¨or en vanlig rektangelpuls δε(t) som ¨ar 1/ε f¨or 0 ≤ t < ε och 0 f¨or ¨ovriga tider t. I distributionsmening kan man d˚a skriva ”diracfunktionen” som
δ(t) = lim
ε→0δε(t)
Observera att rektangelpulsens area hela tiden ¨ar 1. Man kan ocks˚a formulera det som att δ(t) ¨ar derivatan (i distributionsmening) av enhetsstegfunktionen
θ(t). Man kan visa att laplacetransformationen av diracfunktionen blir 1 dvs L(δ(t))(s) ≡ 1 (konstanta funktionen 1). Om insignalen till ett system ¨ar en impuls δ(t) s˚a kallas utsignalen fr˚an systemet f¨or impulssvaret (beteckn- ing: h(t)). Om systemet har ¨overf¨oringsfunktionen G(s) s˚a blir utsignalens (impulssvarets) laplacetransform G(s)·1 = G(s) eftersom insignalens laplace- transform ¨ar 1. Impulssvaret kan d¨arf¨or skrivas som inversa laplacetransfor- men av ¨overf¨oringsfunktionen, dvs h(t) = L−1(G(s)).
Exempel 5. Ber¨akna impulssvaret f¨or ett system med ¨overf¨oringsfunktionen G(s) = 10
s + 5 Impulssvaret blir
h(t) = L−1(G(s)) = L−1
10 s + 5
= 10 e−5t
Rampsvar
Funktionen t θ(t) kallas enhetsramp. Om insignalen till ett system ¨ar en enhetsramp s˚a kallas utsignalen fr˚an systemet f¨or rampsvaret f¨or systemet.
Laplacetransformen f¨or en enhetsramp ¨ar L(t θ(t))(s) = 1
s2
F¨or ett system med ¨overf¨oringsfunktionen G)s blir d¨arf¨or rampsvaret L−1(G(s)/s2).
Exempel 6. Ber¨akna rampsvaret f¨or ett system med ¨overf¨oringsfunktionen G(s) = 10
s + 5 Rampsvarets laplacetransform blir
Y (s) = G(s) 1
s2 = 10
s2(s + 5) = A s + B
s2 + C
s + 5 = (As + B)(s + 5) + Cs2 s2(s + 5)
Observera ansatsen med en term med s i n¨amnaren och en med s2i n¨amnaren.
Detta ger ekvationssystemet
A + C = 0 5A + B = 0 5B = 10
L¨osningen till detta ¨ar
A = −2/5 B = 2 C = 2/5
Detta resulterar i att
Y (s) = −2/5
s + 2
s2 + 2/5 s + 5 Invers laplacetransformation ger nu
y(t) = −2
5θ + 2t θ(t) + 2
5e−5tθ(t) =
2t − 2
5(1 − e−5t)
θ(t)