• No results found

Poler och nollst¨ allen

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Poler och nollst¨ allen"

Copied!
9
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Differentialekvationer

En typ av differentialekvationer ¨ar s.k. begynnelsev¨ardesproblem. Ett f¨orsta ordningens begynnelsev¨ardesproblem kan skrivas

dy

dt = f (y, t) , t > 0 y(0) = y0

Om differentialekvationen ¨ar av f¨orsta ordningen och linj¨ar med konstanta koefficienter kan begynnelsev¨ardesproblemet uttryckas

dy

dt + ay = g(t) , t > 0 y(0) = y0

d¨ar g ¨ar n˚agon funktion av tiden t. Om differentialekvationen ¨ar av h¨ogre ordning n blir det lika m˚anga begynnelsev¨arden som ordningstalet (n). D˚a

¨ar det derivatorna upp till ordning n − 1 f¨or vilka begynnelsev¨arden anges.

Dessa problem kan l¨osas med hj¨alp av separation i partikul¨ar l¨osning och homogen l¨osning. Ett annat s¨att ¨ar att anv¨anda s.k. laplacetransformation.

Laplacetransformation

Ett mycket anv¨andbart hj¨alpmedel f¨or att l¨osa linj¨ara differentialekvationer med konstanta koefficienter ¨ar laplacetransformation. F¨or en funktion av tiden f (t), t ≥ 0 definieras laplacetransformationen Lf (s) av f (t) enligt

(Lf )(s) =

Z

0

e−stf (t)dt

Det lilla minustecknet ovanf¨or nollan i integralens undre gr¨ans betyder bara att man egentligen integrerar fr˚an −ε (med ε > 0) och sen l˚ater ε → 0.

F¨or de flesta funktioner f (t) kan man bortse fr˚an denna teknikalitet. Efter- som integralen ¨over tid har en parameter s kommer integralens v¨arde bli beroende av detta s. D¨armed kan resultatet betraktas som en funktion av s, dvs fungerar som en variabel. Variabeln s kan anta vissa v¨arden i det kom- plexa planet, n¨armare best¨amt s˚adana v¨arden som garanterar att integralen

¨ar konvergent. Detta definierar ett omr˚ade i det komplexa s-planet som

(2)

beror p˚a funktionen f (t). Funktionen L{(s) ben¨amns laplacetransform. Av bekv¨amlighetssk¨al inf¨ors ofta konventionen att laplacetransformen f¨or f (t) betecknas med motsvarande versal (”stor bokstav”) dvs (Lf )(s) = F (s).

Deriveringsregeln

Det som framf¨orallt g¨or laplacetransformen s˚a anv¨andbar ¨ar hur derivering av en funktion av tiden p˚averkar laplacetransformen. Derivatan av en funktion f (t) har en laplacetransform som kan uttryckas med hj¨alp av laplacetrans- formen f¨or f (t) sj¨alv.

L df dt(t)



= Z

0−

e−stdf dt(t)dt

=e−stf (t)

0 − Z

0−

d

dt(e−st)f (t)dt

= lim

t→∞e−stf (t) − f (0) − Z

0−

−se−stf (t)dt

= −f (0) + s Z

0−

e−stf (t)dt

= −f (0) + sL(f (t))

Gr¨ans¨overg˚angen f¨oruts¨atter att f (t) inte v¨axer f¨or snabbt d˚a t → ∞. Om t.ex. |f (t)| < M (f¨or n˚agot M > 0) f¨or alla t, s˚a visar det sig att det fungerar precis d˚a Re s > 0 dvs f¨or hela h¨ogra halvplanet utom imagin¨araxeln.

Linj¨aritet

En annan viktig egenskap hos laplacetransformationen ¨ar att den ¨ar linj¨ar.

Detta kan l¨att visas:

(L[c1f1(t) + c2f2(t])(s) =

Z

0

e−st(c1f1(t) + c2f2(t))dt =

= c1

Z

0

e−stf1(t)dt + c2

Z

0

e−stf2(t)dt = c1(Lf1)(s) + c2(Lf2)(s)

Med konventionen (Lf )(s) = F (s) kan resultatet skrivas c1f1(t) + c2f2(t) −→L c1F1(s) + c2F2(s)

(3)

D¨ampningsregeln

Ytterligare en anv¨andbar regel som anger hur laplacetransformen p˚averkas av att tidsfunktionen multipliceras med en exponentialfunktion.

L(e−atf (t))(s) =

Z

0

e−ate−stf (t)dt =

Z

0

e(a+s)tf (t)dt = (Lf (t))(s + a) vilket mer kompakt kan skrivas

e−atf (t) −→L F (s + a) En speciell laplacetransform

Ett enhetssteg (enhetsstegfunktionen θ(t)) definieras som θ(t) =

(0 om t < 0 1 om t ≥ 0 Laplacetransformationen av denna funktion blir

(Lθ)(s) =

Z

0

e−stθ(t)dt =

Z

0

e−st· 1 · dt =

 1

−se−st



0

= lim

t→∞e−st 1

−s −



−1 s e−s·0



= 1 s

d¨ar gr¨ansv¨ardet ¨ar 0 under f¨oruts¨attning att Re s > 0.

Liten tabell med laplacetransformer

Dessa tre r¨akneregler kan tillsammans med enhetsstegfunktionens laplace- transform sammanst¨allas till en liten laplacetransformstabell:

f (t) L(f ) = F (s) Kommentarer

1, θ(t) 1

s Enhetssteg (0 om t < 0 och 1 om t ≥ 0) c1f1(t) + c2f2(t) c1F(s) + c2F2(s) Linj¨aritet

df

dt sF (s) − f (0) Derivering e−atf (t) F (s + a) D¨ampning

Observera att θ(t) har samma laplacetransform som den konstanta funktio-

(4)

nen 1. Detta beror p˚a att den undre gr¨ansen ¨ar 0 s˚a det m¨arks ingen skillnad mellan 1 och θ(t) eftersom θ(t) = 1 f¨or t ≥ 0.

L¨osning av begynnelsev¨ardesproblem med laplacetransformer Exempel 1. Ett begynnelsev¨ardesproblem av typen

dy

dt + ay = b , t > 0 y(0) = y0

kan l¨osas i ett svep med hj¨alp av laplacetransformation. Laplacetransforma- tion av b˚ada leden i differentialekvationen ger med hj¨alp av den minimalis- tiska tabellen i f¨oreg˚aende avsnitt

sY (s) − y(0) + aY (s) = b1 s Detta ger direkt

(s + a)Y (s) = b

s + y(0) Nu kan Y (s) l¨osas ut:

Y (s) = 1 s + a

 b

s + y(0)



= b

s(s + a) + y(0) s + a

Det enda som ˚aterst˚ar ¨ar nu att ta reda p˚a y(t). F¨or att g¨ora detta m˚aste vi ”g˚a bakl¨anges” i laplacetransformationen. Det finns en formel f¨or invers laplacetransformation men den ¨ar betydligt kr˚angligare ¨an laplacetransfor- men sj¨alv. D¨arf¨or v¨aljer man ist¨allet att hoppas p˚a att laplacetransformerna finns med i tabellen. Tyv¨arr g¨aller detta inte i det h¨ar fallet, eftersom det inte finns n˚agot i tabellen som liknar den f¨orsta termen. Detta avhj¨alps genom att partialbr˚aksuppdela den f¨orsta termen:

Y (s) = b a

 1 s − 1

s + a



+ y(0) s + a

Det ¨ar fortfarande s˚a att en av termerna inte finns med bland laplacetrans- formerna i den lilla tabellen. Vi beh¨over ta reda p˚a inversa laplacetransfor- mationen av s+a1 . Detta g¨ors l¨att genom att anv¨anda d¨ampningsregeln p˚a enhetssteget. D˚a blir det uppenbart att

L(e−atθ(t)) = 1 s + a

(5)

Nu kan y(t) r¨aknas ut:

y(t) = b

a(1 − e−at)θ(t) + y(0)e−atθ(t) Eftersom θ(t) = 1 f¨or t > 0 kan d¨arf¨or l¨osningen skrivas

y(t) = b

a(1 − e−at) + y(0)e−at, t > 0

 F¨or att l¨osa en andra ordningens differentialekvation beh¨ovs en regel f¨or laplacetransformation av andraderivatan av en funktion. Det g˚ar att visa (se

¨ovningarna) att

L d2f dt2(t)



= s2L(f (t)) − sf (0) − df dt(0)

F¨or att kunna hantera andra funktioner g(t) i h¨ogerledet till differentialek- vationen ¨an bara konstanter (som g(t) = b i exemplet) m˚aste tabellen ut¨okas med fler laplacetransformer. En hel del s˚adana finns med i formelsamlingens tabeller. D¨ar finns ocks˚a n˚agra ytterligare r¨akneregler som kan vara bra att ha.

Overf¨ ¨ oringsfunktion

Ett dynamiskt system med en insignal och en utsignal kan ofta beskrivas med en differentialekvation. Om denna differentialekvation ¨ar linj¨ar och har kon- stanta koefficienter s˚a beskriver den ett linj¨art och tidsinvariant system. Om s˚a ¨ar fallet kan laplacetransformation utnyttjas f¨or att f¨orenkla den matema- tiska beskrivningen. Kvoten mellan utsignalens och insignalens laplacetrans- form kallas f¨or systemets ¨overf¨oringsfunktion (se Fig. 1)

Exempel 2. Ett system med insignal u(t) och utsignal y(t) beskrivs av sambandet

dy

dt(t) + 5y(t) = 10u(t)

L¨agg m¨arke till att inget begynnelsev¨arde ¨ar angivet eftersom vi bara ¨ar in- tresserade av att unders¨oka hur insignalen p˚averkar systemet. Detta betyder att alla begynnelsev¨arden ¨ar satta till noll, vilket medf¨or att deriveringsregeln f¨orenklas till

L df dt



(s) = sL(f (t)) − f (0) = sL(f (t))

(6)

u(t) G(s) y(t)

Figur 1: Blockschema f¨or enkelt system.

eftersom f (0) = 0. F¨or att ber¨akna ¨overf¨oringsfunktionen anv¨ands laplace- transformation p˚a b˚ada leden:

L dy

dt(t) + 5y(t)



= L (10u(t)) ⇐⇒ L dy dt



+ 5L(y(t)) = 10L(u(t))

⇐⇒ sY (s) + 5Y (s) = 10U(s) ⇐⇒ Y (s) = 10

s + 5U(s) Funktionen

G(s) = 10 s + 5

¨ar allts˚a systemets ¨overf¨oringsfunktion. 

Om ¨overf¨oringsfunktionen G(s) ¨ar k¨and s˚a kan utsignalen y(t) ber¨aknas for varje val av insignal u(t).

Poler och nollst¨ allen

Vi utg˚ar i det h¨ar avsnittet fr˚an att ¨overf¨oringsfunktionen G(s) ¨ar rationell, dvs G(s) kan skrivas som ett polynom dividerat med ett annat polynom.

Nollst¨allena till n¨amnaren i ¨overf¨oringsfunktionen kallas poler och de har en stor betydelse f¨or systemets egenskaper. Framf¨orallt avg¨or polerna om sys- temet ¨ar stabilt eller inte. Stabilitet betyder h¨ar insignal-utsignal-stabilitet.

Om ett system ¨ar stabilt i denna mening s˚a inneb¨ar det att varje begr¨ansad insignal till systemet alltid ger upphov till en begr¨ansad utsignal. F¨or att systemet ska vara stabilt s˚a m˚aste alla poler ha strikt negativ realdel, dvs samtliga poler m˚aste befinna sig i det ¨oppna v¨anstra halvplanet Re s <

0. Nollst¨allena till t¨aljaren i ¨overf¨oringsfunktionen kallas helt enkelt f¨or nollst¨allen eftersom hela ¨overf¨oringsfunktionen blir 0 om t¨aljaren ¨ar 0 f¨or n˚agot v¨arde p˚a s.

(7)

Exempel 3. Best¨am poler och nollst¨allen till G(s) = 2 − s

s2+ 10s + 24

Eftersom s2+ 10s + 24 = (s + 4)(s + 6) s˚a ¨ar polerna −4 och −6. Nollst¨allet

¨ar s = 2. 

Stegsvar

En speciell insignal ¨ar enhetsstegfunktionen θ(t) (ett enhetssteg). Systemets svar p˚a ett enhetssteg (dvs utsignalen y(t) d˚a insignalen ¨ar θ(t)) kallas f¨or stegsvaret f¨or systemet.

Exempel 4. Ber¨akna stegsvaret f¨or ett system med ¨overf¨oringsfunktionen G(s) = 10

s + 5

Eftersom U(s) = 1/s s˚a blir utsignalens laplacetransform Y (s) = G(s)U(s) = 10

s + 5 1

s = 10

s(s + 5) = 2 s − 2

s + 5

d¨ar partialbr˚aksuppdelning gjordes i sista ledet. Med hj¨alp av laplacetrans- formstabellen kan utsignalen d¨arefter direkt ber¨aknas till

y(t) = 2(1 − e5t)θ(t)



Impulssvar

En annan signal som brukar anv¨andas som testsignal ¨ar diracfunktionen δ(t) (ocks˚a kallad impuls). Detta ¨ar inte n˚agon egentlig funktion utan ett exem- pel p˚a en s.k. distribution, vilket ¨ar ett slags generalisering av funktions- begreppet. Praktiskt kan man se det som en gr¨ans¨overg˚ang f¨or en vanlig rektangelpuls δε(t) som ¨ar 1/ε f¨or 0 ≤ t < ε och 0 f¨or ¨ovriga tider t. I distributionsmening kan man d˚a skriva ”diracfunktionen” som

δ(t) = lim

ε→0δε(t)

Observera att rektangelpulsens area hela tiden ¨ar 1. Man kan ocks˚a formulera det som att δ(t) ¨ar derivatan (i distributionsmening) av enhetsstegfunktionen

(8)

θ(t). Man kan visa att laplacetransformationen av diracfunktionen blir 1 dvs L(δ(t))(s) ≡ 1 (konstanta funktionen 1). Om insignalen till ett system ¨ar en impuls δ(t) s˚a kallas utsignalen fr˚an systemet f¨or impulssvaret (beteckn- ing: h(t)). Om systemet har ¨overf¨oringsfunktionen G(s) s˚a blir utsignalens (impulssvarets) laplacetransform G(s)·1 = G(s) eftersom insignalens laplace- transform ¨ar 1. Impulssvaret kan d¨arf¨or skrivas som inversa laplacetransfor- men av ¨overf¨oringsfunktionen, dvs h(t) = L1(G(s)).

Exempel 5. Ber¨akna impulssvaret f¨or ett system med ¨overf¨oringsfunktionen G(s) = 10

s + 5 Impulssvaret blir

h(t) = L1(G(s)) = L1

 10 s + 5



= 10 e5t



Rampsvar

Funktionen t θ(t) kallas enhetsramp. Om insignalen till ett system ¨ar en enhetsramp s˚a kallas utsignalen fr˚an systemet f¨or rampsvaret f¨or systemet.

Laplacetransformen f¨or en enhetsramp ¨ar L(t θ(t))(s) = 1

s2

F¨or ett system med ¨overf¨oringsfunktionen G)s blir d¨arf¨or rampsvaret L1(G(s)/s2).

Exempel 6. Ber¨akna rampsvaret f¨or ett system med ¨overf¨oringsfunktionen G(s) = 10

s + 5 Rampsvarets laplacetransform blir

Y (s) = G(s) 1

s2 = 10

s2(s + 5) = A s + B

s2 + C

s + 5 = (As + B)(s + 5) + Cs2 s2(s + 5)

Observera ansatsen med en term med s i n¨amnaren och en med s2i n¨amnaren.

Detta ger ekvationssystemet

A + C = 0 5A + B = 0 5B = 10

(9)

L¨osningen till detta ¨ar

A = −2/5 B = 2 C = 2/5

Detta resulterar i att

Y (s) = −2/5

s + 2

s2 + 2/5 s + 5 Invers laplacetransformation ger nu

y(t) = −2

5θ + 2t θ(t) + 2

5e5tθ(t) =

 2t − 2

5(1 − e5t)

 θ(t)



References

Related documents

L˚ at y(t) vara andelen av populationen som ¨ar smittad efter tiden t dygn, r¨aknad fr˚ an uppt¨ack- ten... Observera att ¨amnets koncentration ¨ar samma som m¨angden av

Visa att det finns en och samma vektor (olika nollvektorn) som ligger i alla

[r]

L¨ osningen till uppgift 2(b)(ii) fr˚ an provduggan Vi m˚ aste visa tv˚ a

Po¨ angen p˚ a godk¨ anda duggor summeras och avg¨ or slutbetyget.. L¨ osningarna skall vara v¨ almotiverade och

[Tips: Faktorisera polyno-

Endast definitioner och trigonometriska r¨ aknelagar f˚ ar anv¨ andas utan att de f¨ orst bevisas. Sida 2

Po¨ angen p˚ a godk¨ anda duggor summeras och avg¨ or slutbetyget.. L¨ osningarna skall vara v¨ almotiverade och