Författare: Simon Wennerhag, Cajsa Konradsson & Benjamin Svahn Handledare: Jeppe Skott Examinator: Hanna Palmer Termin: HT20
Ämne: Matematikdidaktik
Självständigt arbete 1
Det laborativa materialets
användning inom tal i bråkform
En systematisk litteraturstudie om åk f-3 elevers kunskaper
inom tal i bråkform samt det laborativa materialets och
eventuella påverkningar på dessa kunskaper
Abstrakt
Detta är en systematisk litteraturstudie som riktar sig mot matematik i årskurs f-3. Det har visat sig att elevers kunskaper gällande tal i bråkform är bristfälliga. I TIMSS resultaten från 2015 presenteras det att de svenska eleverna i årskurs fyra presterar sämre i området
taluppfattning och aritmetik än genomsnittet av EU och OECD länderna som medverkade i studien (Skolverket, 2016). Det har även visat sig att elever bemöter ett flertal svårigheter gällande tal i bråkform. Utifrån detta är studiens ändamål att kartlägga hur elevers kunskaper i området tal i bråkform ser ut, samt hur laborativt material kan påverka elevers kunskaper.
Studiens svar gällande syfte och frågeställningar baseras på vetenskapliga publikationer.
Utifrån studiens resultat förtydligas hur olika typer av laborativt material kan användas i undervisningen med tal i bråkform, samt hur det i sin tur kan påverka elevers kunskaper. I resultatet tas även forskning upp som är emot det laborativa lärandet och istället talar för det abstrakta. Utifrån den granskade litteraturen går det att se att majoriteten av skribenterna är enade om att undervisning där laborativt material används gynnar elevernas förståelse för tal i bråkform. Däremot bör inte det abstrakta arbetet med tal i bråkform tas bort helt utan att undervisningen berör båda delarna för en utvecklad kunskap hos eleverna.
Nyckelord
Laborativt material, abstrakt, bråk, undervisning
Innehållsförteckning
1 Inledning 4
2 Syfte och frågeställningar 5
3 Begrepp 6 3.1 Laborativt material 6 3.2 Abstrakt 6
3.3 Konkret 6
4 Metod 7 4.1 Insamlingsmetod 7 4.1.1 ERIC 7
4.1.2 SwePub 9 4.1.3 Manuellt urval 9 4.1.4 Kvalitativt urval 10
4.2 Innehållsanalys 10 4.3 Etiska övervägande 10 5 Resultat 11 5.1 Teoretiska ramverk 11 5.1.1 Kognitivism 11
5.1.2 Sociokulturellt perspektiv 11
5.1.3 Variationsteorin 12
5.1.4 Litteratur utan teoretiska ramverk 12
5.2 Svårigheter elever möter inom tal i bråkfrom 13
5.3 Hur kan laborativt material påverka elevers kunskaper i matematik 14
5.3.1 Hur kan laborativt material påverka elevers kunskaper inom tal i bråkform 16
5.4 Sammanfattning 18
6 Diskussion 19
6.1 Resultatdiskussion 19
6.2 Metoddiskussion 21
6.3 Vidare forskning 21 7 Referenslista 23
Bilaga A: Sökschema 25
Bilaga B: Manuellt urval 27
Bilaga C: Kvalitativt urval 27
Bilaga D: Tredjedelar på en tallinje 27
Bilaga E: Bråkvägg 28
1.
Inledning
I dagens skola är det en alltför stor grupp elever som inte har utvecklat tillräckliga kunskaper inom taluppfattning och aritmetik (Skolverket, 2016). Detta framgår i resultaten av TIMSS studien från 2015, det framförs att svenska elever presterar sämre än genomsnittet av EU och OECD länderna som medverkade i studien. Studien för årskurs 4 i matematik fokuserar på taluppfattning och aritmetik, geometriska former och mått samt datapresentation. I resultaten visar det sig att eleverna har presterat sämre i området taluppfattning och aritmetik än i de genomsnittliga resultaten i de andra områdena (Skolverket, 2016). Det finns en rad olika skäl till dessa problem, till exempel att eleverna inte har erbjudits rätt verktyg för att utveckla de kunskaper som förväntas (Sterner, 2015). Bråk är ett område som många elever har svårt med i skolan då det kan uppfattas som något alltför abstrakt. Detta kan ofta bero på att eleverna inte besitter tillräckliga förkunskaper inom taluppfattning och aritmetik (Simon, Placa, Avitzur &
Kara, 2018). Därmed kommer studien fokusera på hur laborativt material kan påverka elevers kunskaper och färdigheter inom bråkräkning. Genom att arbeta med laborativt material i en laborativ undervisning ges eleven chansen att stimulera sina taktila och kinetiska erfarenheter genom att röra vid och ta på olika föremål. Det laborativa materialet kan användas som en inkörsport för att eleverna slutligen ska ges möjligheten nå ett abstrakt tänkande inom matematik (Sterner, 2015). Sterner (2015) menar inlärningen av nya begrepp bör inledas genom att arbeta med laborativa material för att utveckla en konkret förståelse för begreppen.
Vidare ges eleverna möjlighet till att arbeta med begreppen genom exempelvis egenskapade bilder, diagram och cirklar. Detta för att utveckla de konkreta kunskaperna kring begreppen till mer abstrakta kunskaper. När eleverna har god förståelse för begreppen kan dem gå över till att arbeta med uppgifter som inkluderar begreppen utifrån matematikens symbolsprå k, detta för att utveckla och utvidga de abstrakta kunskaperna. När eleverna löser denna typ av uppgifter använder de sig av huvudräkning, läraren behöver då hjälpa eleverna att se sambandet mellan det konkreta och det abstrakta.
Simon, m.fl (2018) menar att bråk skapar en rad olika utmaningar för eleverna. Detta kan bero på att eleverna har bristande förkunskaper inom aritmetik och taluppfattning, vidare kan det handla om att eleverna har bristande kunskaper inom bråktal. Eleverna är alltså endast vana vid att räkna med heltal och har otillräckliga kunskaper att räkna med tal som innefattar en relation mellan två tal. En annan utmaning för eleverna är att de enbart ser bråket som ett förhållande mellan två tal och inte som en enda enhet. Med andra ord har eleverna förståelse att ½ kan uttryckas som 1 dividerat med 2 däremot brister deras kunskaper kring att ½ dessutom kan uttryckas med begreppet en halv. Därav blir bråk abstrakt för eleverna och det blir svårt för dem att förstå att bråk till exempel kan förekomma i en mängd eller i ett mått (Simon, m.fl, 2018).
Caswell (2007) skriver i sin forskningsartikel att räkneuppgifter inom bråk förekommer allt som oftast genom symboler, siffror och bilder. I dessa typer av uppgifter är ett flertal elever i behov av det laborativa materialet för att skapa sig en djupare förståelse i räknesättet bråk.
Caswell (2007) påpekar även att elevernas engagemang höjs genom användningen av det laborativa materialet och därigenom skapar en djupare förståelse för de matematiska begreppen.
2.
Syfte och frågeställningar
Syftet med denna systematiska litteraturstudie är att kartlägga hur elevers kunskaper i området tal i bråkform ser ut. Studien kommer även att beskriva hur laborativt material kan påverka elevers lärande i området tal i bråkform. Studien kommer utgå ifrån följande frågeställningar:
- Hur ser elevers kunskaper kring området tal i bråkform ut?
- På vilket sätt kan laborativt material i ett laborativt arbetssätt påverka elevernas lärande i matematik inom området tal i bråkform?
3. Begrepp
3.1 Laborativt material
I ett Laborativt arbetssätt får eleverna arbetar praktiskt med laborativt material i olika aktiviteter och uppgifter. I ett laborativt arbetssätt ligger fokus på att använda fler sinnen än de som synliggörs i det enskilda arbetet i matematikboken samt att det finns förbindelse mellan det konkreta och det abstrakta (Rystedt & Trygg, 2010). Den laborativa
undervisningen är induktiv, vilket betyder att den grundar sig i specifika erfarenheter där syftet är att ge eleverna insikter i allmängiltiga och generella samband (Kilhamn, 2018).
3.2 Abstrakt
Enligt Nationalencyklopedin (2020) är abstrakt när något “föreställs åtskild från det ting eller den företeelse som har den’’. Något abstrakt saknar även individuella drag eller påtaglighet.
Motsatsordet till abstrakt är laborativt.
3.3 Konkret
Något konkret är ett föremål som befinner sig i tid och rum från skillnad från något abstrakt.
Enligt Rystedt & Trygg (2010) så strävar vi i matematiken efter att skapa en slags bro mellan det konkreta och det abstrakta för att kunna stödja elevernas kunskaper för att tillämpa abstrakt matematik i konkreta situationer.
4. Metod
Eriksson Barajas, Forsberg & Wengström (2013) framför att en systematisk litteraturstudie handlar om att nå en syntes utifrån data från tidigare vetenskapliga studier. Detta görs genom att systematiskt söka efter relevant litteratur och därefter kritiskt granska för att sedan kunna sammanställa litteraturen inom det valda området.
I följande kapitel presenteras hur litteratur till studien har sökts och valts ut. Metoden för insamling av data för studien presenteras under kapitel 4.1. Insamlingsmetod.
Slutligen motiveras analys och etiska aspekter under kapitlen 4.2 och 4.3.
4.1. Insamlingsmetod
I studien har databaserna ERIC och SwePub använts för att samla in artiklar och avhandlingar inom forskningsområdet. För att hitta relevanta artiklar och avhandlingar kopplade till studiens syfte och frågeställning har specifika sökord nyttjats. Vid majoriteten av sökningarna användes avgränsningar för att få ett tydligare resultat av artiklar och avhandlingar. Vidare i kapitlen 4.1.1 och 4.1.2 förklaras hur sökningarna i databaserna gått till. Utöver dessa urval har även manuellt urval och kvalitativt urval används, det förklaras under kapitel 4.1.3 och 4.1.4
4.1.1 ERIC
Majoriteten av artiklarna och avhandlingarna som ansågs relevanta kom från databasen ERIC. Ett par artiklar har även valts ut från databasen SwePub. Anledningen till att majoriteten av artiklarna och avhandlingarna hämtades från ERIC beror på att databasen ERIC har ett större urval av litteratur. Under sökningen i ERIC användes avgränsningen peer reviewed för att utesluta litteratur som inte är vetenskapligt granskad. Eftersom ERIC är en databas med artiklar och avhandlingar skrivna på engelska så ger den upphov till ett större urval av texter. I början var det svårt att hitta en bra översättningen till begreppet laborativt material.
Vid den första sökningen i databasen ERIC användes sökorden ‘’manipulative’’ AND
‘’fraction’’ samt avgränsningarna ‘’peer reviewed’’ och ‘’elementary education’’.
Detta gav 111 träffar. Majoriteten av alla artiklarnas rubriker och abstrakt lästes. Av dessa 111 artiklar ansågs en vara relevanta för studien.
● Pearn, C (2007). Using Paper Folding, Fraction Walls, and Number Lines to Develop Understanding of Fractions for Students from Years 5-8. Australian Mathematics Teacher, Vol. 63, Issue 4, ss. 31-36.
Vid en annan sökning i databasen ERIC användes sökorden ‘’manipulatives’’ AND
‘’mathematics’’ samt avgränsningarna ‘’peer reviewed’’ och ‘’elementary education’’. Detta gav 150 träffar. Majoriteten av alla artiklarnas rubriker och abstrakt lästes. Av dessa 150 artiklar ansågs en vara relevant för studien.
● Boggan, M., Harper S., Whitmire, A. (2010). Using manipulatives to teach elementary mathematics. Journal Of Instructional Pedagogies. Vol. 3, ss. 1-6.
Vid en annan sökning i databasen ERIC användes sökorden ‘’manipulatives’’ OR ‘’concrete material’’ AND ‘’fractions’’ samt avgränsningarna ‘’peer reviewed’’ och ‘’elementary education’’. Detta gav 126 träffar. Majoriteten av alla artiklarnas rubriker och abstrakt lästes.
Av dessa 126 artiklar ansågs två vara relevant för studien.
● Caswell, R. (2007). Fractions from Concrete to Abstract Using "Playdough Mathematics". Australian Primary Mathematics Classroom (AAMT). Vol. 12, Issue 2, ss. 14-17.
● Sowell, E (1989). Effects of Manipulative Materials in Mathematics Instruction.
National Council of Teachers of Mathematics. Vol. 20, Issue 5, ss. 498-505.
Vid en annan sökningen i databasen ERIC användes sökorden ‘’manipulative material’’ OR
‘’concrete material’’ samt avgränsningarna ‘’peer reviewed’’ och ‘’elementary education’’.
Detta gav 314 träffar. Majoriteten av alla artiklarnas rubriker och abstrakt lästes. Av dessa 314 artiklar ansågs en vara relevant för studien.
● Swan, P & Marshall, L (2010). Revisiting Mathematics Manipulative Materials.
Australian Primary Mathematics Classroom Vol 15, Issue 2, ss. 13-19.
Vid en annan sökning i databasen ERIC användes sökorden ‘’fractions’’ AND ‘’mathematics’’
samt avgränsningarna ‘’peer reviewed’’, ‘’primary education’’ och ‘’elementary education’’.
Detta gav 187 träffar. Majoriteten av alla artiklarnas rubriker och abstrakt lästes. Av dessa 187 artiklar ansågs en vara relevant för studien.
● Cavey and Kinzel (2014). From Whole Numbers to Invert and Multiply. Teaching Children Mathematics, Vol. 20, Issue 6, ss. 374-383.
Vid en annan sökning i databasen ERIC användes sökorden ‘’fractions’’ AND ‘’mathmatics’’
AND ‘’difficulty’’ samt avgränsningarna ‘’peer reviewed’’ och ‘’elementary education’’.
Detta gav 77 träffar. Majoriteten av alla artiklarnas rubriker och abstrakt lästes. Av dessa 77 artiklar ansågs en vara relevant för studien.
● Gersten, R , Schumacher, R & Jordan, N (2016). Life on the Number Line: Routes to Understanding Fraction Magnitude for Students With Difficulties Learning Mathematics. Journal Of Learning Disabilities Vol. 50, Issue 2. ss. 655-657
● Namkung, J & Fuchs, L (2019). Remediating Difficulty with Fractions for Students with Mathematics Learning Difficulties. Learning Disabilities: A Multidisciplinary Journal Vol. 24, Issue 2, ss. 36-48.
Vid en annan sökning i databasen ERIC användes sökorden ‘’disadvantage’’ AND ‘’concrete material’’ samt avgränsningarna ‘’peer reviewed’’ och ‘’elementary education’’. Detta gav 5
träffar. Alla artiklarnas rubriker och abstrakt lästes. Av dessa 5 artiklar ansågs en vara relevant för studien.
● Fyfe, E & McNeil, N & Son, J & Goldstone, R (2014). Concreteness Fading in Mathematics and Science Instruction: a Systematic Review. Educational Psychology Review. Vol. 26, Issue 1, ss. 9-25.
Vid en annan sökning i databasen ERIC användes sökorden ‘’fraction’’ AND ‘’mathematics’’
AND ‘’difficulty’’ samt avgränsningarna ‘’peer reviewed’’ och ‘’elementary education’’.
Detta gav 174 träffar. Majoriteten av artiklarnas rubriker och abstrakt lästes. Av dessa 174 artiklar ansågs en vara relevant för studien.
● Fuchs, L , Malone, A, Schumacher , R Namkung, J, & Wang, A (2017). Fraction Intervention for Students With Mathematics Difficulties: Lessons Learned From Five Randomized Controlled Trials. Journal of Learning Disabilities Vol. 50, Issue 6, ss.
631-639.
Vid en annan sökning i databasen ERIC användes sökorden ‘’fraction mathematics’’ AND
‘’manipulatives’’ samt avgränsningarna “peer reviewed” och “elementary education”. Detta gav 14 träffar. Utifrån att granska artiklarnas titel samt abstrakt ansågs en vara relevant för studien.
● Pitsolantis, N & Osana, H (2013) Fractions Instruction: Linking Concepts and Procedures. Teaching Children Mathematics, Vol. 20, Issue 1, ss18-26.
4.1.2 SwePub
I den svenska databasen SwePub genomfördes en sökning med sökorden “Laborativ matematikundervisning” vilket gav 4 träffar varav en valdes ut. Däremot är inte denna litteratur refereegranskad, men vid en sökning på Google Scholar presenteras det att den används som en referens till andra forskningspublikationer. Det presenteras att det finns 122 referenser (sökning i Google Scholar den 14/01-2021). Utifrån det som framförs i Google Scholar och övervägande med handledare ansågs litteraturen trots saknad av refereegranskad som användbar i denna studie.
● Rystedt, E. & Trygg, L. (2010) Laborativ matematikundervisning – Vad vet vi?
Göteborg: Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM. Göteborgs Universitet.
4.1.3 Manuellt urval
För att hitta fler relevanta artiklar till denna studie användes även manuellt urval.
Manuellt urval innebär att artiklar hämtats genom att granska vilken litteratur som de tidigare lästa referens granskade artiklarna använt sig av eller redogör för. Den litteraturen granskas sedan för att finna sådant som kan vara av intresse för studien.
(Eriksson Barajas, Forsberg & Wengström, 2013). Granskningen innebar att söka efter centrala begrepp för denna studie. Dessa begrepp var följande; konkret material,
bråkräkning, abstrakt, konkret samt laborativt arbetssätt. Artikeln som hittades genom manuellt urval finns att se i bilaga. B.
I en genomsökning av referenslistan i artikeln; Fyfe, E & McNeil, N & Son, J & Goldstone, R (2014). Concreteness Fading in Mathematics and Science Instruction: a Systematic Review.
Educational Psychology Review. Vol. 26, Issue 1, ss. 9-25. Hittades en artikel som var relevant att använda.
● Goldstone, R. L., & Son, J. Y. (2005). The transfer of scientific principles using concrete and idealized simulations. The Journal of the Learning Sciences Vol. 14, Issue 1, ss 69-110.
4.1.4 Kvalitativt urval
Även kvalitativt urval har använts i studien genom att hämta litteratur från informanter som har bred kunskap om området (Eriksson Barajas, Forsberg & Wengström, 2013).
Handledaren tipsade om att Martin Simon är en professor inom matematikundervisning som skriver bra och relevanta artiklar till denna studies syfte. Handledaren menade även att artiklar som var publicerade i exempelvis Journal of Mathematical behavior skulle vara av bra kvalité och därmed användbara till denna studie. Tipset togs till beaktning och via sökningar valdes en artikel ut. Artikeln går även att se i Bilaga. C
● Simon, M. A., Placa, N., Avitzur, A., & Kara, M. (2018). Promoting a Concept of Fraction-As-Measure: A Study of Learning Through Activity. Journal of Mathematical Behavior, Vol. 52, ss. 122-133.
4.2 Innehållsanalys
När artiklarna som valts ut skulle läsas igenom genomfördes detta genom en innehållsanalys. Då fokus låg på att klassificera artiklarna utifrån dess innehåll. Dessa klassifikationer var följande; problem i undervisningen kring, bidragande faktorer till ökad förståelse hos eleverna, laborativt material.
4.3 Etiska överväganden
Vid genomförande av en vetenskaplig forskning är det viktigt att den innehåller en god och korrekt moralisk grund. I denna systematiska litteraturstudie har enbart artiklar som har genomgått en vetenskapligt granskad använts förutom vid ett undantagsfall.
Undantagsfallet handlade om den litteraturen som inte var refereegranskad men i samråd med handledare trots detta ansågs som användbar. I en systematisk litteraturstudie ska alla resultat presenteras oavsett om det är en artikel som stödjer antagandet eller inte. Även att studien är objektiv är ett etiskt övervägande då den inte
har påverkats av tidiga hypoteser kring hur resultatet ska bli Eriksson Barajas m.fl., 2013).
5. Resultat
5.1 Teoretiska ramverk
En granskning av de teoretiska ramverken i litteraturen har genomförts. Detta genom att först leta efter teoriavsnitt i litteraturen. Eftersom teoriavsnittet inte fanns i samtliga artiklar behövdes även sökning av begrepp som är väsentliga inom teorier genomföras. Dessa begrepp var exempelvis cognitive, Vygotskij, ackommodation, sociocultural theory och pragmatism. Trots detta gick det inte att finna några teoretiska ramverk i tio av artiklarna, dessa kommer att redogöras i kapitel 5.1.4. I följande kapitel presenteras litteraturens teoretiska ramverk.
5.1.1 Kognitivism
Kognitivismen är en teori utvecklad av Piaget. Teorin fokuserar på hur människors tänkande och mentala processer. Vilket innebär hur människor tar in information, hur den kodas för att vidare processa den inför lagring i minnet.
Kognitiva processer är ett begrepp inom kognitivismen som beskriver hur information hämtas, bearbetas och används. Detta kan ske både medvetet och omedvetet exempelvis kan användningen av information tas fram ur minnet medvetet eller omedvetet. Ett exempel på när det sker omedvetet är när någon som kan cykla ska cykla, då sker det utan någon tanke på hur det utförs (Nationalencyklopedin, 2020). Kognitivismen är den mest förekommande teorin i de utvalda artiklarna. Kognitivismen förekommer i Rystedt & Trygg (2010),
Namkung & Fuchs (2019), Goldstone & Son (2005), Gersten, Schumacher & Jordan (2017).
Begreppet kognitiva processer tas upp i artiklarna av Goldstone & Son (2005), Namkung, &
Fuchs (2019). Namkung & Fuchs (2019) förklarar att svagheter i de kognitiva processerna kan handla om bristande kunskaper i språk och bristande resonemangsförmåga. Detta i sin tur kan bidra med bristande kunskaper i matematiken. Goldstone & Son (2005) menar att
kognitiva processer kan gynnas av laborativt material i samband med en lärare med hög kunskap kring materialet.
Rystedt & Trygg (2010) lyfter begreppet kognitiv karaktär. Detta innebär att elever arbetar med uppgifter som innefattar hög kognitiv karaktär, alltså uppgifter som gynnar och tränar eleverna på att förklara, beskriva, motivera, jämföra och bedöma.
5.1.2 Sociokulturellt perspektiv
Det sociokulturella perspektivet är en teori som är utvecklad av Lev Semenovich Vygotskijs.
Teorin har sitt ursprung från Vygotskijs arbeten om utveckling. I Vygotskijs arbeten om utveckling är begreppet proximal utvecklingszon det mest bekanta. Begreppet proximal
utvecklingszon menas med att när väl människor bemästrar ett begrepp eller en färdighet, så är personen nära att bemästra något nytt. Men för att kunna ta nästa steg i utvecklingen och bemästra det nya begreppet eller färdigheten behövs hjälp från en mer kompetent person (Säljö, 2017). När personen får den hjälpen den behöver för att bemästra det nya begreppet eller färdigheten kommer begreppet scaffolding in som betyder stöttning. Med hjälp av scaffolding som är inom ramen för den proximala utvecklingszonen kan man tillägna sig de kunskaper som personen som ger stöttningen har (Säljö, 2017).
Namkung, J & Fuchs, L (2019) nämner begreppet scaffolding. I artikeln ger läraren direkt feedback på elevernas tankar och svar så de kan uppnå en bredare förståelse kring ämnet.
Detta motiverar valet av att arbeta genom scaffolding, vilket innebär att läraren ger eleverna feedback och stöttning i deras lärande.
5.1.3 Variationsteorin
I artikeln av Rystedt & Trygg (2010) framförs teorin Variationsteorin. Rystedt & Trygg (2010) motiverar sitt val av variationsteorin genom att teorin är en central utgångspunkt i många forskares utvecklingsarbete inom pedagogik. I undervisningen utgår läraren från vad eleven måste uppmärksamma för att förstå innehållet. Genom att läraren skapar en variation av hur innehållet i lärandet behandlas kan varje elev få den hjälp de behöver för att utvecklas.
Det laborativa materialet kan vara ett bra alternativ för att skapa variation i undervisningen.
5.1.4 Litteratur utan teoretiska ramverk
I tio av artiklarna kunde inga tydliga teoretiska ramverk identifieras (se tabell. 1).
Tabell. 1 Litteratur utan teoretiska ramverk.
Artikelnamn Referens
Fractions Instruction: Linking Concepts and Procedures.
Pitsolantis, N & Osana, H (2013) Fractions Instruction: Linking Concepts and Procedures. Teaching Children Mathematics, Vol. 20, Issue 1, ss. 18-26.
Using manipulatives to teach
elementary mathematics Boggan, M., Harper S., Whitmire, A. (2010). Using manipulatives to teach elementary mathematics. Journal Of Instructional Pedagogies.
Vol. 3, ss. 6.
Fractions from Concrete to Abstract
Using "Playdough Mathematics" Caswell, R. (2007). Fractions from Concrete to Abstract Using
"Playdough Mathematics". Australian Primary Mathematics Classroom. Vol. 12, Issue 2, ss. 14-17.
Revisiting Mathematics
Manipulative Materials Swan, P & Marshall, L (2010). Revisiting Mathematics Manipulative Materials. Australian Primary Mathematics Classroom Vol. 15, Issue 2, ss. 13-19.
From Whole Numbers to Invert and
Multiply. Cavey and Kinzel (2014). From Whole Numbers to Invert and Multiply. Teaching Children Mathematics, Vol. 20, Issue 6, ss. 374- 383.
Effects of Manipulative Materials in Mathematics
Sowell, E (1989). Effects of Manipulative Materials in Mathematics Instruction. National Council of Teachers of Mathematics. Vol. 20, Issue 5, ss. 498-505.
Concreteness Fading in Mathematics and Science Instruction: a Systematic Review.
Fyfe, E & McNeil, N & Son, J & Goldstone, R (2014). Concreteness Fading in Mathematics and Science Instruction: a Systematic Review.
Educational Psychology Review. Vol. 26, Issue 1, ss. 9-25.
Using Paper Folding, Fraction Walls, and Number Lines to Develop Understanding of Fractions for Students from Years
Pearn, C (2007). Using Paper Folding, Fraction Walls, and Number Lines to Develop Understanding of Fractions for Students from Years 5-8. Australian Mathematics Teacher, Vol. 63, Issue 4, ss. 31-36.
Promoting a Concept of Fraction- As-Measure: A Study of Learning Through Activity.
Simon, M. A., Placa, N., Avitzur, A., & Kara, M. (2018). Promoting a Concept of Fraction-As-Measure: A Study of Learning Through Activity. Journal of Mathematical Behavior, Vol. 52, ss. 122-133.
Fraction Intervention for Students With Mathematics Difficulties:
Lessons Learned From Five Randomized Controlled Trials.
Fuchs, L , Malone, A, Schumacher , R Namkung, J, & Wang, A (2017). Fraction Intervention for Students With Mathematics Difficulties: Lessons Learned From Five Randomized Controlled Trials. Journal of Learning Disabilities Vol. 50, Issue 6, ss. 631-639.
5.2 Svårigheter som eleverna möter inom tal i bråkform
Den första frågeställning i denna litteraturstudie är hur elevers kunskaper kring området tal i bråkform ser ut. I majoriteten av artiklarna som valts där bråk var huvudfokuset berörs det hur elever uppfattar bråk. Författarna var eniga om att bråk är ett område där flera elever upplever svårigheter. Vidare i detta kapitel skrivs det mer specifikt om vad eleverna har svårt med när de möter tal i bråkform.
En svårighet med bråk är att den kan ses från flera perspektiv, bråktalet kan både ses som en division och som en enhet menar Simon, m.fl (2018). Författarna anser att ett problem som elever ofta upplever när de ska börja med bråkräkningen är att de har svårt att förstå att bråk
kan ses som en del av en helhet och ser endast bråktalet som en division. Namkung & Fuchs (2019) tar upp svårigheter som eleverna ofta stöter på inom tal i bråkform. Det första problemet elever kan uppleva när de ska börja arbeta med bråk är att de utgår från sina kunskaper om heltal och försöker applicera dessa kunskaper på tal i bråkform. Detta kan leda till missuppfattningar eftersom ett heltal representeras med en siffra medan ett bråk representeras med två siffror och ett bråkstreck. Elever ser ofta täljaren och nämnaren i ett bråk som två enheter som är oberoende av varandra istället för att tolka det som ett tal. De gör även misstaget att de använder sin förkunskap om heltal och försöker applicera den på bråktalen. Eleverna kan därmed få svårt att sätta bråktalen i rätt storleksordning då eleverna till exempel tror att ⅛ är större än ¼ eftersom talet 8 är ett större än talet 4.
Att inneha en kompetens inom bråk anser Fuchs m.fl (2017) är viktigt när eleverna ska arbeta med mer avancerad matematik. Bråk är något många elever har svårt för, speciellt de elever som har svårt att förstå heltalskoncept och de fyra räknesätten. För att elever ska förstå bråktal behöver de enligt Pearn (2007) ha kunskaper i att räkna med heltal utifrån de fyra räknesätten addition, subtraktion, multiplikation och division. Författaren lyfter även ett australiensiskt forskningsprojekt från 1996. Forskningsprojektet skulle undersöka hur elevers tankeprocesser var förknippade med mätbara skillnader i deras kunskaper om heltal när de löser uppgifter med bråktal. Det visade sig att elever som är för inriktade på att de ska använda sig av specifika strategier och regler för att lösa uppgifter med bråktal presterade sämre än elever som använde sig av ett flertal olika strategier. De flesta eleverna som deltog i projektet hade svårt att förstå bråk. Däremot klarade de majoriteten av eleverna uppgifter som innefattade hälften, dock var det få som klarade uppgifter som innefattade andra bråkenheter.
Rystedt & Trygg (2010) skriver att ett flertal yngre elever har svårigheter med bråk. En anledning till detta är att elever har få konkreta erfarenheter med bråk när de börjar arbeta med det. Författarna anser att om eleverna först får spendera tid med att befästa de grundläggande begreppen om bråk skulle det underlätta när de sedan går i de högre årskurserna. Genom att eleverna har djupare förkunskaper inom bråkräkningen kommer missuppfattningar och svårigheter med bråk att minska när uppgifterna blir mer avancerade.
Elever har ofta lätt för att förstå att det finns oändligt med heltal. Däremot har de svårt för att förstå att det även finns oändligt med bråktal. Vidare har de även svårt att förstå att bråktal kan skrivas på flera olika sätt. Detta beror på att bråktal är abstrakta för eleverna medan heltal är konkreta i och med att de kan räkna på fingrarna när det gäller heltal men inte med bråktal (Gersten, Schumacher & Jordan, 2016).
5.3 Hur kan laborativtmaterial påverka elevers kunskaper i matematik
I ett flertal av de artiklar som ligger till grund för denna litteraturstudie har det laborativa materialet visat sig vara centralt på olika sätt. Vidare i detta kapitel redogörs för hur det laborativa materialet kan påverka elevers kunskaper i ämnet matematik.
Sowell (1989) skriver att ett flertal studier fokuserar på hur laborativt material påverkar elevers
lärande. Dessa studier visar på att användning av laborativt material i matematikundervisningen ökar elevers lärande i ämnet. Somliga studier påvisar även att elever blir mer aktiva, deras motivation för inlärningen ökar samt att de får en mer positiv syn på ämnet när laborativt material används. Sowell menar även att elevers attityd till ämnet förbättras genom användningen av laborativt material i matematikundervisning.
Swan & Marshall (2010) anser att laborativt material skapar fördelar för inlärning och undervisningen i matematiken. Elever behöver få möjlighet att använda sig av det laborativa materialet, men även att det finns en stor variation av laborativt material att tillgå när de möter nya matematiska begrepp. Detta är för att kunna fortsätta sätta samman matematiska betydelser och få en djupare förståelse för matematik. Även Boggan, Harper & Whitmire (2010) hävdar att användningen av laborativt material ger elever möjligheter att sätta samman sina idéer och integrera dessa kunskaper för att få en djupare förståelse för matematiska begrepp.
Boggan, Harper & Whitmire (2010) lyfter att användning av laborativt material låter elever röra sig från det konkreta till det abstrakta. Då kan eleverna förstå matematiska processer och metoder. Användningen av de laborativa materialen kan göra det tydligt vad begreppen innebär, vilket bidrar med en djupare förståelse för begreppen. Goldstone & Son (2005) framför att multibasmaterial är ett bra material som ofta används. Detta material är uppdelat i enskilda kuber, rader om tio kuber och block om hundra kuber. Goldstone & Son (2005) menar att detta material inte bara är bra för att främja elevernas möjligheter att lösa uppgifter utan att användandet av materialet även bidrar med en djupare förståelse för begrepp, exempelvis addition och subtraktion. Genom att översätta matematiska begrepp till konkreta situationer utifrån ett laborativt arbetssätt kan även elevers rädsla för matematiken minska. När eleverna får arbeta med laborativt material blir undervisningen mer underhållande och därmed får eleverna ett större engagemang. Även Boggan m.fl (2010) skriver att ett flertal studier visar på att laborativt material påverkar elevers intresse för matematiken både kortsiktigt och långsiktigt. Dessa studier tyder även på att användning av laborativt material förbättrar elevers prestationer och kunskaper i matematiken.
Rystedt & Trygg (2010) skriver att en nackdel med laborativt material kan vara att det laborativa materialet bjuder in till lek för eleverna. Eleverna kan då bli allt för emotionellt engagerade i det laborativa materialet att de distraheras från det matematiska syftet i aktiviteten.
Fyfe, m.fl (2014) skriver även i deras studie att det finns ett flertal anledningar att vara försiktig med användning av laborativt material vid kunskapsinlärning. Författarna menar att flera forskare rekommenderar att undvika användningen av laborativt material vid inlärning. Dessa forskare anser att det laborativa materialet kan skapa ett överflöd av sinnesintryck, som i sin tur kan orsaka att elever missar viktig och relevant information. Forskarna förespråkar för det abstrakta eftersom det avlägsnar överflödet av sinnesintryck (Fyfe, m.fl 2014).
Enligt Rystedt & Trygg (2010) är flera forskare eniga om att det laborativa materialets effekt på elevernas inlärning beror mer på lärarens kompetens än på det laborativa materialet. I Sowells (1989) artikel sammanfattas resultat från 60 olika studier där syftet var att undersöka
hur laborativt material påverkar eleverna i skolan. Från resultaten av dessa studier kunde Sowell dra slutsatsen att arbete med laborativt material blir som bäst när eleverna får arbeta med det under en längre tid samt kombinera det laborativa materialet med symboliska representationer. Dessutom blev elevernas inställning till det laborativa materialet mer positiv om undervisningen skedde av en lärare som var kunnig och insatt i det laborativa materialet.
5.3.1 Hur kan laborativt material påverka elevers kunskaper inom tal i bråkform Den andra frågeställningen i denna litteraturstudie är hur laborativt material kan påverka elevers kunskaper i området tal i bråkform. I ett flertal av de artiklar som valts ut nämns det olika typer av laborativt material och hur dessa material kan påverka elevers kunskaper i tal i bråkform.
Pitsolantis & Osana (2013) skriver att många elever har svårt att förstå bråk, detta eftersom det anses som ett av de svåraste områdena inom matematiken. De framför vikten av att undervisning bör koppla samman det abstrakta symbolerna med det konkreta. Detta menar författarna kan göras genom bland annat laborativa material. Genom att använda laborativt material som en länk mellan det abstrakta symbolerna och det konkreta kan eleverna få en djupare förståelse för innebörden av de abstrakta symbolerna. De menar att användandet av de laborativa materialen även kan bidra med att eleverna kan sätta in problemen till konkreta sammanhang och därmed resonera över hur uppgifterna ska lösas. Författarna skriver att elever lär sig som bäst när de får reflektera kring hur de gjorde med de laborativa materialen.
Pearn (2007) tar upp ett exempel i sin artikel om hur användningen av laborativt material såsom pappersremsor är gynnande för elevers kunskaper i området tal i bråkform. En aktivitet som författaren framför är att eleverna ska få varsin pappersremsa på 20 cm som de ska vika till två delar. Vidare under aktiviteten ställer läraren frågor och uppmaningar som exempelvis; hur många delar är de? hur många vikningar är det? Visa en halv pappersremsa, visa den andra halvan, hur många halvor är det i en hel? När de har arbetat med halvor går de vidare till att vika dessa halvor till ytterligare halvor för att få ut fjärdedelar. Då frågar läraren samma frågor och uppmaningar men lägger till frågorna och uppmaningarna; visa två fjärdedelar. Finns det något annat namn för två fjärdedelar? Vad är störst, en halv eller en fjärdedel? Sedan uppmanas eleverna att vika varje fjärdedel på mitten för att få ut åttondelar och läraren ställer återigen samma frågor. För att eleverna ska kunna vika tredjedelar, sjättedelar och niondelar behöver de en annan pappersremsa. De behöver ytterligare en pappersremsa för att kunna vika femtedelar och tiondelar. Författaren menar även att det kan vara bra att utmana eleverna att dela en remsa till sjundedelar. När eleverna har arbetat med alla bråkdelar tar Pearn upp en annan aktivitet där de tillsammans ska bygga ihop en bråkvägg (se bilaga. E) med hjälp av de vikta pappersremsorna. Väggen konstrueras genom att sätta remsorna under varandra så att man ser alla, från en hel till tiondelar. Eleverna ska skriva vad varje del heter med bråktal. Då lyfter Pearn vikten av att varje del ska benämnas som en del av det hela. Exempelvis ska varje tredjedel benämnas som ⅓, många matematikböcker benämner den första delen som ⅓ den andra som ⅔ och så vidare, men detta bidrar med felaktig kunskap. Det är enligt författaren viktigt att eleverna förstår att varje del är ⅓. Under konstruktionen frågar läraren eleverna
frågor såsom vilken del som är störst och vilken del som är mindre än en specifik del. När eleverna får arbeta med exempelvis pappersremsor menar Pearn att eleverna får en förståelse för bråk istället för att de använder sig av specifika regler och räknelagar som anses abstrakta.
När eleverna använder sig av laborativt material menar författaren att det är betydelsefullt att utveckla elevernas begreppsförståelse. Att eleverna ges möjligheten att arbeta parallellt mellan vardagsspråk och matematiska symboler (Pearn, 2007).
Caswell (2007) förespråkar om metoden att använda lera i undervisningen för bråk. I undervisningen får eleverna varsin lerklump som de ska skapa varsin pizza utav, sedan får eleverna testa sig fram och dela upp pizzan i olika bråkdelar. Caswell menar att många elever drar fördel av laborativt material då sensoriska och motoriska upplevelser kan öka förståelsen för bråk. Men enligt Pearn (2007) är det problematiskt att använda sig utav cir klar i och med att eleverna oftast inte använder sig av exempelvis en gradskiva, på så sätt blir det svårt för eleverna att dela upp cirklar såsom pizzor och pajer. Delningen kan även bli felaktig då delarna kan bli olika stora. Det är även problematiskt att använda sig av uppgifter som handlar om att dela upp pizzor. Pearn menar då att flera elever inte förstår varför de ska dela upp pizzor eftersom de oftast kommer uppdelade när man köper dem.
Simon, m.fl (2018) skriver i sin studie om hur viktigt det är för eleverna att få möjligheten att arbeta med bråk på olika sätt. Författarna menar att bråk ofta introduceras för lågstadieelever genom cirkulära eller rektangulära figurer och i matteboken förekommer det ofta uppgifter där eleverna exempelvis ska färglägga ⅓ av en rektangel. Denna så kallade del av en hel metod säger författarna är grundläggande för att förstå bråk. Men om endast denna metod används begränsas elevernas kunskaper, istället kan man då även arbeta med bråk som en måttenhet. I Japan räknar man ofta med måttenheter som längd och volym när man arbetar med bråk. En uppgift kan till exempel vara att eleverna ska räkna ut hur mycket en ¼ är av en meter istället för att då till exempel måla en ¼ av en cirkel. När eleverna får arbeta med måttenheter blir bråktalen inte lika abstrakta och svaren eleverna får blir mer konkreta och enklare att förstå (Simon, m.fl, 2018). Fuchs, Malone, Schumacher, Namkung & Wang, (2017) anser att del av hel metoden kan uppmana eleverna att endast se bråktal som två separata heltal och inte som en enhet. Pearn (2007) framför att eleverna behöver även ha god förståelse för mätning.
Gersten, m.fl, (2017) hävdar att elevernas förståelse för storlek är en avgörande faktor för att de ska utveckla en djupare förståelse för bråk. De lyfter även att tallinjen är ett bra laborativt material att använda vid inlärning av bråk. Detta beror bland annat på att användningen av tallinjen utvecklar begreppet bråk bättre än användningen av del av en hel metod. De visar även på att elever kan bli för beroende av del av hel metoden när de ska räkna med bråk. Ett exempel som tas upp är när en fjärdeklassare ska svara på vad en bråkdel är och svarar “den skuggade delen”. Detta visar att eleverna inte har någon utvecklad förståelse av vad bråk innebär.
Författarna framför att man inte ska utesluta del av hel metoden eftersom den kan vara bra att använda sig av vid en introduktion av bråk i och med att den innefattar elevernas vardagsspråk och erfarenheter. Författarna menar att tallinjen kan vara bra att använda sig av för att vidareutveckla deras kunskaper och förståelse för bråk. Detta för att eleverna inte ska få en
felaktig förståelse av bråk såsom exemplet med fjärdeklassaren hade. Tallinjen anses även som ett framgångsrikt material i och med att det representerar siffrorna matematiskt korrekt (Gersten, m.fl, 2017).
Tallinjen nämns även i en studie skriven av Cavey & Kenzel (2014). När eleverna kommer upp i de högre åldrarna förväntas de att kunna räkna tal i bråkform som innefattar multiplikation och division. Ekvationen 1÷ ⅓ kan sättas upp på tallinjen där varje tredjedel representerar varsitt steg på tallinjen (se bilaga. D). Genom att kolla på tallinjen går det att uppmärksamma att 3 stycken ⅓-steg behöver tas för att komma fram till nästa heltal eftersom ⅓ + ⅓ + ⅓ = 1.
Kvoten i divisionen 1÷ ⅓ blir då 3. Tallinjen fungerar då som ett bra hjälpmedel för eleverna för att få en djupare förståelse för hur man tar sig an bråkräkning. Man kan också se ekvationer med bråk som en uppdelning av ett band. Samma division som innan 1÷ ⅓, kan då ses som en uppgift där man ska undersöka hur många tredjedelar det får plats på ett band som är en meter långt (Cavey & Kenzel, 2014).
5.4 Sammanfattning
Utifrån en analys av artiklarna gick det att identifiera teoretiska ramverk i 4 av 14 artiklar. I dessa 4 artiklarna var kognitivismen den mest förekommande teorin, den identifierades i samtliga artiklar. Det gick även att urskilja att det sociokulturella perspektive t och variationsteorin fanns med i dessa 4 artiklarna. I de resterande 10 artiklarna identifierades inga tydliga teoretiska ramverk, dessa presenteras i tabell 1.
Det framgår att elever ofta har bristande kunskaper kring tal i bråkform. Detta kan bero på att eleverna försöker sätta in sina förkunskaper gällande heltal till bråktalen. En annan anledning kan vara att bråktal kan ses ur olika perspektiv dels som en division och dels som en del av en helhet vilket Simon m.fl (2018) lyfter. Fuchs m.fl (2017) och Pearn (2007) lyfter vikten av att elevernas kunskaper kring att kunna räkna med heltal utifrån de fyra räknesätten för att förstå bråktal. Rystedt & Trygg (2010) menar att en anledning till elevernas bristande kunskaper kan bero på att de har för få konkreta erfarenheter av tal i bråkform. De framför att det är av vikt att eleverna ges tid att arbeta med de grundläggande begreppen inom bråk, detta för att underlätta för svårare beräkningar med bråk. Gersten m.fl, (2017) menar att elevers kunskaper kring att det finns oändligt med bråktal brister i och med att de är abstrakta för eleverna.
I artiklarna tas det upp olika exempel på hur man kan arbeta med bråk samt hur det laborativa materialet kan användas som ett hjälpmedel vid inlärning. Boggan, m.fl (2010) skriver att laborativt material bidrar med att eleverna kan röra sig enklare från det konkreta till det abstrakta. Simon m.fl (2018) menar att bråkundervisningen förlitar sig alltför mycket på del av hel metoden. Även om denna metod är en bra inkörsport för bråkinlärning så kan elevernas kunskaper inom bråk påverkas negativt om metoden används i allt för stor utsträckning.
Fyfe m.fl (2014) framför att forskarna i deras studie är skeptiska kring användningen av laborativt material. De menar att det laborativa materialet kan göra att eleverna missar viktig och relevant information kring matematiken i och med att det laborativa materialet innefattar
ett överflöd av sinnesintryck. Forskarna menar att man istället kan arbeta med abstrakta uppgifter som inte innefattar överflöd av sinnesintryck. Även Rystedt & Trygg (2010) menar att matematiken kan försvinna i användningen av laborativt material eftersom det kan bjuda in till lek och att eleverna då tappar fokus.
6. Diskussion
I detta kapitel kommer studiens resultat diskuteras med anknytning från inledningen, syftet och frågeställningarna. Det kommer också ske en övergripande diskussion om den använda metoden i studien. I kapitlet kommer även resultatet sättas in i ett större perspektiv och det kommer undersökas om studiens resultat är generaliserbart. Valet av metod kommer även att diskuteras samt att det framförs generella slutsatser och förslag till vidare forskning.
6.1 Resultatdiskussion
Utifrån resultatet går det att urskilja att flertalet studier var eniga om att elever ofta möter svårigheter gällande tal i bråkform. I de granskade artiklarna redovisas olika anledningar att dessa svårigheter uppstår. Simon m.fl (2018) framför att en svårighet som elever kan möta är att elever endast ser bråk som en division och inte kan se bråk ur olika perspektiv. I och med att eleverna endast ser bråk som en division så förstår de inte att bråk även kan ses som en del av en hel. Detta kan då bidra med att eleverna endast räknar division när de får uppgifter som berör bråk. Därmed kan deras prestationer gällande bråk tänkas bli sämre än om de hade haft förståelsen för de olika perspektiven. Även Namkung & Fuchs (2019) tar upp att eleverna försöker sätta in sina kunskaper gällande heltal i bråktal. Vilket i sin tur kan l eda till missuppfattningar gällande bråktalen. Eleverna ser då inte bråktalet som en enhet utan som två separata tal. Vilket kan tänkas betyda att de ser bråktalet som en division istället för som en del av en hel, precis såsom Simon m.fl (2018) framför. En slutsats som kan göras är att undervisningen bör använda sig av laborativt material som har ett primärt matematiskt syfte för området bråk. Detta för att minska risken att eleverna endast ser bråk som en division. När eleverna får arbeta med denna typ av laborativt material ges de istället chansen att förstå bråk ur olika perspektiv. Det laborativa materialet som kan användas är bland annat; bråkvägg och pappersremsor.
En annan svårighet som elever kan möta i beräkningar med bråk är att de inte förstår hur bråktalen är storleksordnade. Detta menar Namkung & Fuchs (2019) också beror på att eleverna sätter in sina förkunskaper gällande heltal i bråktal. De misstolkar då ta len som att exempelvis ⅙ är större än ⅓ eftersom 6 är större än 3. Swan & Marshall (2010) framför att inlärningen av nya begrepp genom laborativt material kan bidra med att eleverna får en ökad förståelse kring matematik och kan sätta samman matematiska betydelser. Även Boggan, Harper & Whitmire (2010), Goldstone & Son (2005) samt Swan & Marshall (2010) tar upp att användningen av laborativt material kan gynna elevernas förståelse för begrepp inom matematiken. Goldstone & Son (2005) menar att när elever översätter matematiska begrepp till konkreta situationer kan minska deras rädsla för matematiken. De menar även att användningen
av det laborativa materialet gör att undervisningen blir mer underhållande vilket ökar elevernas engagemang. Även Boggan m.fl (2010) skriver att användningen av det laborativa materialet påverkar elevernas intresse. Med utgångspunkt i detta går det att dra slutsatsen att elever har bristande grundkunskaper kring vad bråk är och vad det innebär. På grund av denna bristande kunskap gällande tal i bråkform kan det behövas mer grundlig undervisning inom området med hjälp av laborativt material. Detta för att eleverna ska utveckla förståelse och därmed inte tillämpa sina förkunskaper gällande heltal när de arbetar med bråk. Hade elever na haft förståelse för vad bråk innebär hade dessa missuppfattningar kunnat minskas.
Både Fuchs m.fl (2017) och Pearn (2007) framför att en bidragande faktor till att eleverna har svårt för bråk kan vara att de har bristande kunskaper kring att räkna med heltal utifrån de fyra räknesätten. Utöver de fyra räknesätten lyfter Pearn även att eleverna behöver ha en god kunskap gällande mätning för att ha möjligheten att förstå bråk. Även Simon m.fl (2018) framför vikten av mätning i samband med inlärningen av tal i bråkform. Simon m.fl menar att måttenheter såsom längd och volym kan bidra med att elevernas uträkningar blir enklare att förstå och blir mer konkreta för eleverna. Utifrån detta kan slutsatsen kring att eleverna bör ha arbetat mycket kring de fyra räknesätten samt mätning och att de har goda kunskaper gällande de olika måttenheterna. Annars kan matematiken tänkas försvinna och vinningen av att använda mätning och måttenheter i samband med bråk bli en förvirring hos eleverna som missgynnar inlärningen av tal i bråkform.
Arbete med pappersvikning och bråkvägg kan tänkas motverka abstraktionen som annars finns i bråktal som Gersten m.fl, (2016) tar upp. De skriver att elever ofta har svårt att förstå att det finns oändligt med bråktal eftersom det är så abstrakt eftersom de inte kan räkna med fingrarna när det gäller bråktal. Utifrån detta går det att dra slutsatsen att ifall eleverna får ta på bråkdelarna och exempelvis vika ett papper så blir det väldigt konkret, det synliggörs även att pappret kan vikas oändligt många gånger.
Utifrån resultatet i denna studie ser majoriteten av litteraturen positivt på laborativt material vid inlärning av tal i bråkform. Det som kan ses i resultatet är att användning av laborativt material vid tal i bråkform behövs användas på rätt sätt. Detta genom att lärarna som använder det laborativa materialet i undervisningen behöver förkunskaper om på vilket sätt materialet kan hjälpa eleverna att förstå grunderna men även hur materialet kan användas för att fördjupa elevernas kunskaper. Genom detta kan slutsatsen dras att lärarnas kunskaper om och hur materialet används är grundläggande för att påverka elevers kunskaper vid tal i bråkform. Fyfe, m.fl (2014) hävdar dock att vissa forskare menar att laborativa material skapar et t överflöd av sinnesintryck. Rystedt & Trygg (2010) skriver att laborativt material kan bjuda in elever till lek och kan därmed göra elever allt för emotionellt engagerade. Det laborativa materialet kan därav distrahera elever från det matematiska syftet i aktiviteten. En slutsats som kan dras utifrån detta är att laborativt material inte ska användas bara för att, utan att de behöver ha en tydlighet och struktur som är genomtänk för att skapa en undervisning som inte framkallar det överflöd av sinnesintryck för eleverna eller bjuder in till lek.
Pearn (2007), Caswell (2007) och Gersten m.fl (2017) tar upp exempel hur man kan arbeta med laborativt material utifrån del av hel metoden. Pearn (2007) lyfter att ett arbete med pappersremsor och en konstruktion av en bråkvägg kan öka elevernas förståelse för bråk. En slutsats utifrån Pearns exempel med pappersremsor och bråkväggen kan vara att det hjälper eleverna att se varje del för sig, samt hur många delar det får plats i en annan del som är större.
Caswell (2007) anser att ett arbete med lera där eleverna får skapa bråkpizzor är något som stärker eleverna förståelse för bråk. Gersten, m.fl (2017) som förespråkar ett arbete med tallinjen, lyfter i sin text som även att bråk kan få fel uppfattning om eleverna endast arbetar med del av en hel metoden och kan leda till att eleverna tolkar en bråkdel som ‘’den skuggade delen’’. Utifrån det kan slutsatsen dras att laborativt material som berör del av hel metoden kan skapa en felaktig förståelse för tal i bråkform. Det kan då vara viktigt att eleverna får möjlighet arbeta med flera olika material som har ett primärt matematiskt syfte för området.
Detta skapar i sin tur möjligheter för eleverna att röra sig mellan det abstrakta och konkreta.
Precis som Sowell (1989) lyfter så har det laborativa materialet som mest positiv inverkan på eleverna när det genomförs av en lärare som är väl insatt och kunnig i materialet.
Sammanfattningsvis kan slutssatsen dras att en lyckad undervisning om bråk inte enbart kan skapas av laborativt material, utan att det även behövs en erfaren lärare med goda kunskaper.
Det laborativa materialet behöver även beröra de begrepp som ingår i det valda ämnet. Det vill säga att kulor och tändstickor inte har ett primärt matematiskt syfte som exempel vis pappersremsor och bråkväggar i ämnet bråk. Dock ska inte det abstrakta med tal i bråkform tas bort helt, undervisningen bör beröra båda delarna för att utveckla elevernas kunskaper inom tal i bråkform. De behövs ges möjlighet att förflytta sig mellan det konkreta och abstrakta lärandet.
6.2 Metoddiskussion
Metoden som hör till en systematisk litteraturstudie har fungerat väl. Utifrån de valda artiklarna har forskningsfrågorna kunnat besvarats. Det har även givit objektiva svar och svar ur olika synvinklar, det vill säga både artiklar som varit för laborativt material och artiklar som har varit emot det. Detta har givit studien en bredare syn på forskningsfrågan. Däremot kan inga större slutsatser dras eftersom studien endast grundas på 14 artiklar. För en mer generell och större bild på forskningsfrågan hade det behövts fler artiklar. Däremot stödjer artiklarna som har använts forskningsfrågan och kan därmed ge perspektiv på laborativt material i undervisning om tal i bråkform. En svårighet som uppkom under sökning av artiklar var att finna bra sökord som genererade i relevanta artiklar. Men efter granskning av artiklar hittades bättre begrepp att använda som sökord, detta resulterade i bättre sökträffar och relevanta artiklar till forskningsfrågan.
6.3 Vidare forskning
En slutsats som växte fram under litteraturstudien var att ett flertal laborativa material nämns i den utvalda litteraturen, dock nämns inte samma laborativa material i någon av studierna.
Därmed kan frågan om något material är mer fördelaktigt vid inlärning av bråk än något annat som tas upp i litteraturen ställas. För att få en djupare förståelse för vilket eller vilka material
som är bäst lämpade gällande inlärning av tal i bråkform, hade det varit bra med en sammanställning av olika material. Sammanställningen hade kunnat innehålla en förklaring på hur materialen kan användas, på vilket sätt som de utvecklar elevernas kunskaper och hur det engagerar dem i undervisningen. Utifrån en sådan studie hade det kunnat dras slutsatser kring vilka material som lärare bör var försiktiga med att använda i undervisningen. Det hade även kunnat framföra vilka material som är mest gynnande att använda för en majoritet av elever.
Om en fördjupad forskning skulle ske hade man också kunnat försöka använda sig av elevintervjuer. I den lästa litteraturen fanns det väldigt få arbeten som använde sig av några direkta elevintervjuer och det hade varit intressant att få veta vad eleverna faktiskt tyckte om det laborativa materialet. Det hade även varit intressant att läsa en studie om elever med fallenhet för matematik och deras syn på laborativt material. Elever med matematisk fallenhet kanske understimuleras när undervisningen blir alltför konkret och det hade varit givande att se det laborativa materialet från deras synvinkel.
7. Referenslista
Boggan, M., Harper S., Whitmire, A. (2010). Using manipulatives to teach elementary mathematics. Journal Of Instructional Pedagogies. Vol. 3, ss. 6.
Caswell, R. (2007). Fractions from Concrete to Abstract Using "Playdough Mathematics".
Australian Primary Mathematics Classroom . Vol. 12, Issue 2, ss. 14-17.
Cavey and Kinzel (2014). From Whole Numbers to Invert and Multiply. Teaching Children Mathematics, Vol. 20, Issue 6, ss. 374-383.
Eriksson Barajas, Forsberg & Wengström (2013). Systematiska litteraturstudier i utbildningsvetenskap. Vägledning vid examensarbeten och vetenskapliga artiklar. Stockholm:
Natur & Kultur.
Fuchs, L, Malone, A, Schumacher, R Namkung, J, & Wang, A (2017). Fraction Intervention for Students With Mathematics Difficulties: Lessons Learned From Five Randomized Controlled Trials. Journal of Learning DisabilitiesVol. 50, Issue 6, ss. 631-639.
Fyfe, E & McNeil, N & Son, J & Goldstone, R (2014). Concreteness Fading in Mathematics and Science Instruction: a Systematic Review. Educational Psychology Review. Vol. 26, Issue 1, ss. 9-25.
Gersten, R, Schumacher, R & Jordan, N (2016). Life on the Number Line: Routes to Understanding Fraction Magnitude for Students With Difficulties Learning Mathematics.
Journal Of Learning Disabilities Vol. 50, Issue 2. ss. 655-657
Goldstone, R. L., & Son, J. Y. (2005). The transfer of scientific principles using concrete and idealized simulations. The Journal of the Learning Sciences, Vol.14, Issue 1. ss. 69–110.
Helenius, O & Johansson, M (red) (2018). Att bli lärare i matematik. Stockholm: Liber AB.
Kilhamn, C (2018) Laborativ matematikundervisning. I Helenius, O & Johansson, M (red) (2018). Att bli lärare i matematik. Stockholm: Liber AB.
Namkung, J & Fuchs, L (2019). Remediating Difficulty with Fractions for Students with Mathematics Learning Difficulties. Learning Disabilities: A Multidisciplinary Journal Vol.
24, Issue 2, ss. 36-48.
Nationalencyklopedin, abstrakt. http://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/lång/abstrakt (hämtad 2020-10-02).
Nationalencyklopedin, Kognitiv psykologi
http://www.ne.se.proxy.lnu.se/uppslagsverk/encyklopedi/lång/kognitiv-psykologi
(hämtad 2020-11-30).
Pearn, C (2007). Using Paper Folding, Fraction Walls, and Number Lines to Develop Understanding of Fractions for Students from Years 5-8. Australian Mathematics Teacher, Vol. 63, Issue 4, ss. 31-36.
Pitsolantis, N & Osana, H (2013) Fractions Instruction: Linking Concepts and Procedures.
Teaching Children Mathematics, Vol. 20, Issue 1, ss. 18-26.
Rystedt, E. & Trygg, L. (2010) Laborativ matematikundervisning – Vad vet vi? Göteborg:
Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM. Göteborgs Universitet.
Simon, M. A., Placa, N., Avitzur, A., & Kara, M. (2018). Promoting a Concept of Fraction- As-Measure: A Study of Learning Through Activity. Journal of Mathematical Behavior, Vol.
52, ss. 122-133.
Sowell, E (1989). Effects of Manipulative Materials in Mathematics Instruction. Journal For Research In Mathematics Education. Vol. 20, Issue 5, ss. 498-505.
Sterner, G (2015) Elevers olikheter. Skolverket.
Swan, P & Marshall, L (2010). Revisiting Mathematics Manipulative Materials. Australian Primary Mathematics Classroom Vol. 15, Issue 2, ss. 13-19.
Säljö, R (2017). Den lärande människan — teoretiska traditioner i Lundgren, Ulf, P, Säljö, R
& Liberg, C (red.) Lärande, skola, bildning. (kap. 3). Stockholm: Natur & kultur.
Bilaga. A - Sökschema
Datum Databas Sökord/sökfråga/avgränsningar Sökträffar Utvalda referenser
20200925 Eric noft(manipulative AND fraction) Peer reviewed, Elementary education.
111 Pearn, C (2007). Using Paper Folding, Fraction Walls, and Number Lines to Develop Understanding of Fractions for Students from Years 5-8. Australian Mathematics Teacher, Vol. 63, Issue 4, ss. 31-36.
20200925
Eric noft(manipulatives mathematics) Peer reviewed, Elementary education.
150 Boggan, M., Harper S., Whitmire, A. (2010).
Using manipulatives to teach elementary mathematics. Journal Of Instructional Pedagogies. Vol. 3, ss. 1-6.
20200925 Eric
noft(manipulatives) OR noft(concrete material) AND noft(fractions) Peer reviewed, Elementary education.
126 Caswell, R. (2007). Fractions from Concrete to Abstract Using "Playdough Mathematics".
Australian Primary Mathematics Classroom Vol. 12, Issue 2, ss. 14-17.
20200925 Swepub ’’Laborativ matematikundervisning’’ 4 Rystedt, E. & Trygg, L. (2010) Laborativ matematikundervisning – Vad vet vi?
Göteborg: Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM. Göteborgs Universitet.
20201117 ERIC noft(manipulative material or concrete material) Peer reviewed, Elementary education.
314 Swan, P & Marshall, L (2010).Revisiting Mathematics Manipulative Materials.
Australian Primary Mathematics Classroom Vol. 15, Issue 2, ss. 13-19.
20201117 ERIC noft(manipulative material AND mathematics,)
Peer reviewed, Elementary education &
Primary education.
187 Cavey and Kinzel (2014). From Whole Numbers to Invert and Multiply. Teaching Children Mathematics, Vol. 20, Issue 6, ss.
374-383.
20201117 ERIC noft(fractions AND mathematics AND difficulties)
Peer reviewed, Elementary education.
77 Namkung, J & Fuchs, L (2019). Remediating Difficulty with Fractions for Students with Mathematics Learning Difficulties. Learning Disabilities: A Multidisciplinary Journal Vol. 24, Issue 2, ss. 36-48.
20201117 ERIC
noft(manipulatives) OR noft(concrete material) AND noft(fractions) Peer reviewed, Elementary education.
126 Sowell, E (1989). Effects of Manipulative Materials in Mathematics Instruction. Journal For Research In Mathematics Education. Vol.
20, Issue 5, ss. 498-505.
20201123
ERIC noft(fraction mathematics difficulty)
Peer reviewed, Elementary education. 77 Gersten, R , Schumacher, R & Jordan, N (2016). Life on the Number Line: Routes to Understanding Fraction Magnitude for Students With Difficulties Learning Mathematics. Journal Of Learning Disabilities Vol. 50, Issue 2. ss. 655-657
20201123
ERIC noft(disadvantage and concrete material) 5 Fyfe, E & McNeil, N & Son, J & Goldstone,
R (2014). Concreteness Fading in Mathematics and Science Instruction: a Systematic Review. Educational Psychology Review. Vol. 26, Issue 1, ss. 9-25.
20201125
ERIC noft(fraction mathematics difficulty) Peer reviewed, Elementary education.
174 Fuchs, L , Malone, A, Schumacher , R Namkung, J, & Wang, A (2017). Fraction Intervention for Students With Mathematics Difficulties: Lessons Learned From Five Randomized Controlled Trials. Journal of Learning Disabilities Vol. 50, Issue 6, ss.
631-639.
20210114
ERIC noft(fraction mathematics) And
noft(manipulatives)
Peer reviewed, Elementary education
14 Pitsolantis, N & Osana, H (2013) Fractions Instruction: Linking Concepts and
Procedures. Teaching Children Mathematics, Vol. 20, Issue 1, ss18-26.
Bilaga. B - Manuellt urval
Datum Utvald referens
20201124
Goldstone, R. L., & Son, J. Y. (2005). The transfer of scientific principles using concrete and idealized simulations. The Journal of the Learning Sciences Vol. 14, Issue 1, ss 69-110.
Bilaga. C - Kvalitativt urval
Datum
Utvald referens
20201001
Simon, M. A., Placa, N., Avitzur, A., & Kara, M. (2018). Promoting a Concept of Fraction- As-Measure: A Study of Learning Through Activity. Journal of Mathematical Behavior, Vol. 52, ss. 122-133.
Bilaga. D - Tredjedelar på en tallinje
0 1
⅓ ⅓ ⅓
