Kap 3 - Geometri

(1)

Kap 3 - Geometri

1

(2)

GENOMGÅNG 3.1

• Vinklar

(3)

Vinklar

BAC CAB

      

(4)

Vinklar

(5)

Sidovinklar

1 2 180

v   v 

(6)

Vertikalvinklar

,

z v u w  

(7)

Alternatvinklar

w v 

Linjerna

k

^och

l

är parallella

(8)

Likbelägna vinklar

u v 

Linjerna

k

^och

l

är parallella

(9)

Vinklar

En bisektris är en stråle som delar en vinkel mitt itu.

Konstruktion av bisektris

(10)

Trianglar

(11)

TRIANGEL

(12)

Yttervinkelsatsen (Sidan 167)

(13)

Randvinklar och

medelpunktsvinklar (Sidan 170)

(14)

Randvinkelsatsen (Sidan 170)

(15)

Följdsatser till

randvinkelsatsen

(16)

Kan du de här?

Vilka förhållanden visas med dessa bilder?

(17)

GENOMGÅNG 3.2

LIKFORMIGHE T

Skugga

So llj us

(18)

Det gyllene snittet

1,618...

a b a

a b

  

(19)

TV

16 9 B 16

H  9  1,78

(20)

TV

Lik for mi gh et

(21)

Likformighet

5 , 4

0 , 6 7

, 2

6 3  ,

3,6/2,7 = 1,33333333333 6,0/4,5 = 1,33333333333

Kontroll med räknare:

(22)

Likformighet

5 , 4

5 , 7 7

, 2

5 4  ,

4,5/2,7 = 1,66666666667 7,5/4,5 = 1,66666666667

(23)

Likformighet

0 , 6

5 , 7 6

, 3

5 4  ,

4,5/3,6 = 1,25 7,5/6,0 = 1,25

(24)

Likformighet

(25)

Likformighet

(26)

Likformighet

x y

Hur vet vi att trianglarna är likformiga?

Hur långa är sidorna x och y?

(27)

Likformighet

x

y

Hur långa är sidorna x och y?

(28)

Likformighet

(29)

Likformighet

Skugga

So llj us

Hur kan man använda likformighet för att ta reda på hur hög flaggstången är?

(Ingen stege finns i närheten.)

(30)

Likformighet

ABC

Δ Δ DEF

Beräkna sidan DF och vinkeln F om

~ .

är likformig med

33 19

27

²



²





AC

(27^2+19^2)^(1/2) = 33,0151480384

19 45 33 26

26 19

33  





 DF DF

(26 × 33)/19 = 45,1578947368

33 45

(31)

Likformighet

ABC

Δ Δ DEF

Beräkna sidan DF och vinkeln F om

~ .

är likformig med

35 35

A  D

     

















 F 180 90 35 55

















 F 180 ( 90 35 ) 55

180-90-35 = 55

180-(90+35) = 55

(32)

Likformighet

~ .

Beräkna sträckan x om linjen inuti triangeln är en parallelltransversal.

5 , 4

8 , 2 5

,

15 x 

5 , 4

5 , 15 8

, 2  x 

6 ,

 9

(2,8 × 15,5)/4,5 = 9,64444444444

x

Vi lk et fe l t ro r d u at t ä r v an lig t p å de nn a ty p av u pp gi ft?

(33)

Likformighet

~ .

(34)

Likformighet

~ .

1 2

2  1 2 2 2 2

2 2

 



(35)

Likformighet

~ .

(36)

~

Likformighet

.

A1 = 594 x 841 mm A2 = 420 x 594 mm A3 = 297 x 420 mm A4 = 210 x 297 mm A5 = 148 x 210 mm A6 = 105 x 148 mm

Vilka mått har formatet A0?

(37)

Topptriangelsatsen

Topptriangelsatsen talar om för oss att den topptriangel (ADE) som bildas av en parallelltransversal är likformig med hela triangel (ABC).

(38)

Transversalsatsen

En parallelltransversal (DE) delar två sidor i en triangel i samma förhållande.

AD AE

CD  BE

(39)

KONGRUENS

(40)

KONGRUENS

(41)

GENOMGÅNG 3.3

Koordinatgeometri

(42)

PYTHAGORAS SATS

(43)

PYTHAGORAS SATS

3

4 5

Area = 25 ae

Area = 9 ae

Area = 16 ae

2 2

2 4 5

3   25

16 9  

(44)

PYTHAGORAS SATS

3 – 4 – 5 = PYTHAGOREISK TALTRIPPEL

(45)

PYTHAGORAS SATS

2 2 2

21  42  a

a 441 1764 a   2

2205 a ² 2205  2

a 

2205 a  

(2205)^(1/2) = 46,9574275275

47 a 

441 1764 2205

47 441 1764 2205  

(46)

PYTHAGORAS SATS

2 2 2

9  a  23

2 23 2 9 2

a  

2 448

a 

448 a  

21, 2

a 

(448)^(1/2) = 21,1660104885

(47)

FÅGELVÄGEN?

Hur långt är det ”fågelvägen” från A till C ?

(48)

AVSTÅNDSFORMELN

 

2 2 2

2

600 400 520000

520000 720

AC AC AC AC

 





2 2

600 400 720

AC AC

 



Vilket sätt tycker Du

är bäst?

(49)

AVSTÅNDSFORMELN

Har du sett denna formel förut?

Jo, det är ju Pythagoras sats i lite ny skepnad

(50)

HUR LÅNGA ÄR TRIANGELNS

SIDOR?

(51)

AVSTÅNDSFORMELN

(52)

AVSTÅNDSFORMELN, ÖVN. 1

(53)

AVSTÅNDSFORMELN, ÖVN. 2

(54)

AVSTÅNDSFORMELN, ÖVN. 3

(55)

MITTPUNKTEN

(56)

MITTPUNKTEN

(57)

MITTPUNKTEN

(58)

MITTPUNKTEN

(2,6)

(10,2) M

(59)

MITTPUNKTFORMELN

(2,6)

(10,2) M

2 10 12 2 2 6

x 

  

6 2 8 2 2 4

y 

  

(6,4)

(60)

MITTPUNKTFORMELN

(2,6)

(10,2) M

2 10 12 2 2 6

x    

6 2 8 2 2 4 y    

(6,4)

(61)

MITTPUNKTSFORMELN

2 2 4 2

1 3   

 x

2 0 0 2

) 3 (

3    

 y

Mittpunkten är vid (2,0)

(62)

f(x)=(3/2)x-2

-1 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

x y

MITTPUNKTSFORMELN

2 2 4 2

0 4   

 x

2 1 2 2

) 2 (

4    

 y

Mittpunkten är vid (2,1)

(63)

Hjulets radie?

http://www.vaksalaskolan.uppsala.se

(64)

Hjulets radie?

(65)

Hjulets radie?

(66)

Hjulets radie?

(67)

Hjulets radie?

(68)

Hjulets radie?

Likformighet!

(69)

Hjulets radie?

Vilka matematikkunskaper måste man ha för att kunna lösa denna uppgift?

• Pythagoras sats

• Cirkelns symmetri

• Vinklar – alternatvinklar

• Likformighet

• Något mer?