Ex.
En triangel har sina hörn i punkterna
( ) ( )( )1;4
1
; 2
2
; 1
=
=
−
=
C B A
A)Beräkna omkretsen av triangeln ABC
( ) ( )( )12;;41
2
; 1
=
=
−
= C
B A
A
C
B
( ) ( 2 1)2
2 1
2 x y y
x
d = − + −
(1−(−1)) (2 + 4−2)2 = 22 +22 = 4+4 = 8
AC = d
(2−1) (2 + 1−4)2 = 10
CB = d
(2−(−1)) (2 + 1−2)2 = 10
AB = d
( 8 2 10)
10 10
8+ + = +
= + +
=dAC dCB dAB O
B)Bestäm en ekvation för den räta linje som går genom A och C.
2 1 2 ) 1 ( 1
2 4
1 2
1
2 = =
−
−
= −
−
= − Δ
= Δ
x x
y y x k y
Insättning i enpunktformeln ger:
3 4
1 )
1 ( 1
4= − ⇔ = − + ⇔ = +
−
⇒ y x y x y x
C) Beräkna avståndet från punkten B till den räta linje som går genom AC Sökt linje är L2
3
1:y= x+ L
Vi vet enligt sats att: 1 1 1 1
1
−
=
−
=
= k k
Vi vet också en punkt på L2, nämligen (2,1) Insättning i enpunktsformeln ger:
3 )
2 ( 1
1=− − ⇔ =− +
−
⇒ y x y x
Bestäm skärningspunkten mellan L1 och L2 genom att lösa följande ekvationssystem:
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
=
⇔ =
=
⇔ +
−
= +
⎭⇒
⎬⎫
⎩⎨
⎧
+
−
= +
=
3 0 0
2 3 3 3
3
y x x
x x x
y x y
D) Beräkna arean av triangeln ABC 2 4 8 2
8
* 8 2
* = = =
= AC BD A
Ex.
Lös ekvationen:
x x2 +3−4=2
Lösning:
( )
3 13 3 5 3 8
3 1 5 3 8
3 5 3 8 9
39 9 64 3 8
3 13 3
8 3 8 3
13 6
16 6
0 16 3 13 3
16
0 13 16 3
16 16 4
3
4 2 3
* 4 2 3 2
4 3
2 1
2 2
2
2 2
2 2
2 2
−
=
−
−
=
−
= +
−
=
±
−
=
⇔
−
±
−
=
⇔
⎟ −
⎠
⎜ ⎞
⎝
± ⎛
−
=
⇔
⎟ −
⎠
⎜ ⎞
⎝
± ⎛
−
=
⇔
= + +
⇔
= + +
⇔ + +
= +
⇔ +
= +
⇒ +
= +
⇔
=
− +
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x
x x
Prövning:
( )( )
!
2 4 1 2
2 4 3 12
OK HL VL
HL VL
=
= +
−
=
=
= +
−
=
3 14 3
12 3 4 26 3
* 13 2
* ⎟+ =− + =−
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛−
= HL
Kvadratroten ur ett reellt tal är alltid positivt, d.v.s. i vart fall är då:
HL VL VL
≠
⇒
> 0
Ex.
( ) ( )
* i prövning efter
Sann!
2
* i prövning efter
Falsk!
0
0 2 3 0 6 3 12
4 9 6 3
2 9 6
2 2 9 6
* 2 7 3
2 1
2 2
2 2 2
2 2
−
=
=
⇒
=
−
⇔
=
−
⇔ +
−
= +
−
⇔
−
= +
−
⇒
−
= +
−
⇔
= +
− +
x x
x x x
x a x x
x x x
x x
x x
x
x bx
x
Obs, felaktig lösning!
( 3) 2 3 3 2 3 0
3 2 9 6
...⇔ x2 − x+ = x− ⇔ x− 2 = x− ⇔ x− = x− ⇔x= Def.
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
<
−
= ≥
0 då x
0
2 då
x x x x
