• No results found

Blir det sannolikt en snöfylld jul?

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Blir det sannolikt en snöfylld jul?"

Copied!
32
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Niklas Tyni

Blir det sannolikt en snöfylld jul?

En statistisk prognos med hjälp av Markovkedjor

Is it likely to be a snowy Christmas?

A statistical forecast using Markov chains

Statistik

Kandidatuppsats

Termin: VT 2020

(2)

Sammanfattning

Syftet med denna uppsats var att med hjälp av Markovkedjor göra en statistisk prognos för en snöfylld jul för tre svenska väderstationer. Datamängderna som ligger till grund för

skattningarna av övergångssanolikheterna sorterades så endast perioden 17 december – 31 december för varje år användes. Fundamentet för prognosen bygger på den underliggande teorin, framförallt av den så kallade Markovegenskapen och Chapman-Kolmogorovs

ekvation. Prognosen har två utgångspunkter: antingen är det snö den 17 december eller inte. Uppsatsen undersöker också kedjornas ergodicitet och kedjornas stationära fördelningar - experimentellt, och med en teoretisk lösning. Sannolikheten för snö på julafton ansågs som goda, förutsatt att det är snö den 17 dec. Att tillämpa Markovkedjor för denna sortens problem fungerade bra, vilket beror på det beroende som finns mellan dagens väder och vädret

(3)

Abstract

The purpose of this paper was to make a statistical forecast for a snow-filled Christmas for three Swedish weather stations with the help of Markov chains. The data on which the

transition probabilities estimates were based on, were sorted so that only the period December 17 – December 31 for each year was used. The basis for the forecast is based on the

underlying theory, the so-called Markov property and the Chapman-Kolmogorov equation. The forecast has two starting points: whether it is snow on December 17 or not. The thesis also examined the ergodicity and the stationary distributions of the Markov chains –

(4)

Innehållsförteckning

1. Introduktion ... 1 2. Datainsamling ... 5 2.1 Geografisk indelning ... 5 2.2 Databearbetning ... 5 3. Metod ... 6

3.1 Maximum likelihood-metoden (estimation) ... 6

(5)

1

1. Introduktion

Konceptet Markovkedjor föddes i och med Andrej Markovs artikel från 1907, där han introducerade Markovkedjor med två tillstånd, 0 och 1. Markov definierade denna simpla kedja av första ordningen som en oändlig sekvens, vilken är homogen om de betingade fördelningarna för någon variabel är oberoende av tid [14]. En Markovkedja av första ordningen är en kedja som bara tar ett steg i tid, det finns alltså Markovkedjor av högre ordning, där 2, 3, 4, … , steg i tid tas i beräkning. En Markovkedja av första ordningen beskrivs av dess initiala tillstånd och övergångssannolikheterna, nämligen, den betingade sannolikheten att befinna sig i ett tillstånd, givet det omedelbart föregående tillståndet, vilket är känt som Markovegenskapen [2, 15]. Som [11] beskriver det, ”givet nuet är det

förgångna och det framtida oberoende”. Markov kom att ägna sig mest åt dessa simpla

kedjor, men kom även i artikeln från 1907 att avhandla de stora talens lag i svag form för homogena kedjor med positiva övergångsmatriser [2, 14].

Anta ett försök att modellera data för diskret tid, där förväntas varje värde dras oberoende från en känd statistisk fördelning. Detta skiljer sig från väderförhållanden, då

väderförhållanden tenderar att uppvisa ett visst dag till dag-förhållande, är det soligt idag, är det sannolikt soligt imorgon också [14]. I denna uppsats avser begreppet diskret tid dagar. För var steg i tid, från en dag till nästkommande, antar variabeln ett nytt värde. En stokastisk process i diskret tid innebär att ett system är i ett visst tillstånd vid varje steg, där tillstånden ändras slumpmässigt mellan stegen. Eftersom systemet ändras slumpmässigt, är det svårt att förutse systemets nästa tillstånd i framtiden. Däremot, kan de statistiska egenskaperna förutses [15]. Utfallsrummet för en stokastisk process utgörs av alla möjliga värden som variabeln kan anta [5].

En ändlig homogen Markovkedja är definierad i och med den initiala fördelningen,

(6)

2

ett exempel på ett optimeringsproblem under restriktion, vilket [13] utvecklar och med hjälp av MLE härleder den estimator som använts för studien.

Övergångsmatriser representeras ofta av övergångsdiagram. Övergångsdiagrammet för övergångsmatrisen har två noder där varje nod representerar ett tillstånd av Markovkedjan [12]. Enligt [12] har studier visat att övergångsdiagrammen kan hjälpa till att få en

förståelse för ändliga kedjor, för att sedan lättare kunna göra övergången från ändliga kedjor till oändliga kedjor och andra stokastiska processer. Vidare utvecklar [12] att övergångsdiagrammen gör det intuitivt, vilket kanske inte alltid är fallet när det kommer till stokastiska processer och sannolikhet.

Med matrismultiplikation fås sannolikheterna för ett visst tillstånd, efter ett visst antal steg i tid [19]. Som en effekt av de stora talens lag, konvergerar sannolikheterna mot en

stationär fördelning över tid [5]. Om övergångsmatrisen uppfyller grundläggande egenskaper, ges förutsättningar att räkna ut dess stationära fördelning [8-9]. En

Markovkedja vars alla olika tillstånd kan kommunicera med varandra kallas irreducibel [9, 18], och inte innehåller något absorberande tillstånd, ett tillstånd kedjan ej kan lämna. En sådan övergångssannolikhet är alltid lika med 1. Alla tillstånd i en irreducibel kedja är av samma karaktär, varför alla tillstånd i en Markovkedja med stationär fördelning är positivt rekurrenta [9]. En Markovprocess som är reguljär är aperiodisk och just

irreducibel [9]. Vidare är kedjan ergodisk om en stationär fördelning existerar och om den är oberoende av startfördelningen [5, 11]. Således, bör den stationära fördelningen för en ergodisk kedja bli densamma oavsett startfördelning [5], och om en sådan stationär fördelning existerar, så är kedjan ergodisk, ett sammanhang som [9] beskriver. En

stationär fördelning kan erhållas på bland annat två sätt – experimentellt och med hjälp av att lösa det ekvationssystem som återfås. Detta ekvationssystem kan lösas med hjälp av vanlig algebra eller med Gauss-Jordan-elimination, vilket [27] påvisar.

Det finns många studier som använder Markovkedjor för att förespå väder. Markov själv använde Markovkedjor för att studera sekvensen av 20 000 bokstäver i Pushkins dikt

Eugeny Onegin [12]. Markov klassificerade bokstäverna som antingen en vokal eller en

konsonant, varpå en Markovkedja med två tillstånd uppstod [28]. Detta kom sedermera att bli det första kända exemplet av en Markovkedja [12].

(7)

3

sammanföll med banan för månatliga tidsserien för regnfall. Det högsta medelvärdet för daglig nederbörd för tidsserien, motsvarar den beräknade maximala sannolikheten från studiens Markovkedjeanalys.

I [20] presenteras en Markovkedjeanalys för perioder med torka och regn för södra Sudan. En slutsats som kan dras utifrån studien är att Markovkedjor fungerar bra för den här typen av problem. Detta får stöd av [24] som undersöker regnfall i Nigeria med hjälp av Markovkedjor. I deras studie jämför de Markovkedjor av tre olika ordningar. Slutsatsen var att en Markovkedja av första- och andra ordningen, ansågs prestera bäst. I studien [20] menar man vidare att väderstationen har ett gynnsamt geografiskt läge i landet, men påpekar också studiens begränsning i att inte använt fler väderstationer. En Markovkedja av högre ordning kan erhållas genom att tillföra mer ”minne” till den slumpmässiga processen. Ofta har en sådan modell större träffsäkerhet vad gäller prognos [10].

I en annan studie [21] används Markovkedjor för att modellera nederbörd i Sverige, där 20 olika väderstationer har använts. Förutom att studien använder sammansatta modeller, används också Markovkedjor av högre ordning, då en Markovkedja av första ordningen inte anses vara adekvat för situationen, någonting som verkar förenligt med nyss nämnda [10].

Enligt [1] har antalet dagar med snö minskat för hela landet, från 1991–2014 jämfört med 1961–1990. Minskningen har varit störst för Svea- och Götaland, där det rör sig om en minskning med minst 20 dagar. Detta kan låta motsägelse fullt då [23] menar att effekten av den globala uppvärmningen ger minskat snötäcke i stora delar av Europa. Däremot i de kallaste delarna av kontinenten som Sverige, ökar snötäcket eftersom den globala

uppvärmningen leder till mer nederbörd, och i norra delarna av landet visar sig detta i form av snö. Däremot bekräftar faktiskt [1] att de kraftigaste snöfallen på 400mm eller mer, sker längs Norrlandskusten. Enligt [6] finns inga statistiska bevis för att en snöfylld jul skulle bli allt ovanligare i södra delarna av Sverige. Enligt [1] var den snörikaste vintern 2009/10 för Götaland sedan starten av snödjupsmätningarna 1904/5, något som också bekräftas av [30] som beskriver det som den ”vitaste” julen någonsin med minst 100mm snö i hela landet. I Lund mättes snötäcket till 320mm, Lund som annars bara har snö på julafton ungefär vart tionde år.

(8)

4

felkällor samt bortfall. I metod beskrivs de statistiska metoder och grundläggande egenskaper som använts för resultat. Resultatet som består av de skattade

övergångsmatriserna samt prognosen, diskuteras vidare i analysen, liksom hela uppsatsen. Vidare dras slutsatser för arbetet.

Syftet med denna uppsats blir att påvisa hur man med Markovkedjor kan skatta

(9)

5

2. Datainsamling

Datamängderna kommer från SMHI där varje väderstation fick representera följande geografiska område – Götaland, Svealand och Norrland [1]. Väderstationen i Örebro fick utgöra referenspunkt då det är ca 50 mil (bilväg) till var station.

Variablerna av intresse var X, snödjup där 𝑋0 = snödjup idag och 𝑋1 = snödjup imorgon, vilka antog värdena 0 eller 1 beroende på huruvida snödjupet var insignifikant respektive signifikant. Varför variablerna antas vara Bernoullifördelade. Ett signifikant snödjup bestämdes till 10mm enligt [30], där allting mindre än ett snötäcke på 10mm räknas som antingen snöfläckar eller barmark. 10mm var dessutom det minsta snödjupet som fanns i den data som använts.

I denna uppsats är mängden ackumulation av snö av intresse. Det vill säga, det spelar ingen roll huruvida det snöar en viss dag, utan hur mycket snö som faktiskt ligger på marken en viss dag.

2.1 Geografisk indelning

Väderstationerna delades grovt in i tre olika geografiska områden, där Lund fick representera Götaland, Örebro fick representera Svealand och Östersund (Frösön) fick representera Norrland [1]. I Bilaga finns tre tabeller som sammanfattar datamängden för varje station, Tabell A1-3.

2.2 Databearbetning

Datamängderna filtrerades så endast perioden 17 dec – 31 dec för varje år, för given väderstation har använts för skattningarna. Snödjupet noterades och tilldelades 1 om signifikant snödjup; 0 annars. Därefter räknades alla övergångar.

Aggregerade värden inkluderades då värdena ändå bedömdes som tillförlitliga, och behövdes för att få en adekvat parameterestimation av övergångsmatriserna.

(10)

6

3. Metod

Sannolikheterna skattades med hjälp av maximum likelihood-metoden från respektive tre väderstationer. Markovkedjorna användes sedan för prognos, där sannolikheterna för given period räknats ut med matrismultiplikation. Med de stora talens lag gick att påvisa att 𝑃𝑖 når sin gräns i vektorn 𝜋̅, matrisen når alltså en gräns efter n steg.

3.1 Maximum likelihood-metoden (estimation)

Anta att summan av de tidigare nämnda Bernoullifördelade variablerna är binomialt fördelade. Anta också att en diskret Markovkedja har ett ändligt antal tillstånd, och låt tillståndsrummet vara {1, 2, … , m}. Om en kedja observerats för totalt n stycken övergångar så att 𝑁𝑖𝑗 är antal övergångar från tillstånd i till j (i, j = 1, 2, …, m), och 𝑁𝑖 = ∑𝑚𝑗=1𝑁𝑖𝑗 är antal övergångar från tillstånd i, då är MLE-estimatorn [4]

𝑝̂𝑖𝑗 = 𝑁𝑖𝑗 𝑁𝑖

(1)

Enligt [4] erhålls ett 95%-igt approximativt konfidensintervall som

[𝑁𝑖𝑗 𝑛𝑖 ± 𝑧𝛼/2 √𝑁𝑖𝑗(1 − 𝑁𝑖𝑗/𝑛𝑖) 𝑛𝑖 ] (2)

där 𝑧𝛼/2 är 𝛼/2 – kvantilen från standardnormalfördelningen, vilket för ett 95%-igt konfidensintervall motsvarar värdet 1.96 [31]. Skattningen är konsistent för en irreducibel Markovkedja med ändligt tillståndsrum [31].

(11)

7

3.2 Markovmodell

3.2.1 Markovegenskapen

Markovegenskapen innebär att sannolikheten för tillståndet 𝑠𝑡+1, för tid t + 1, är endast

beroende av nuvarande tillstånd 𝑠𝑡. Enligt [3] följer då att

𝑃(𝑋(𝑡 + 1) = 𝑠𝑡+1|𝑋(𝑡) = 𝑠𝑡, 𝑋(𝑡 − 1) = 𝑠𝑡−1, … , 𝑋(1) = 𝑠1, 𝑋(0) = 𝑠0) = 𝑃(𝑋(𝑡 + 1) = 𝑠𝑡+1|𝑋(𝑡) = 𝑠𝑡)

(3)

Markovegenskapen kommer i den här uppsatsen antas tillgodosedd. Den minnesfria Markovegenskapen är vad som möjliggör att modellen kan beskrivas i endast termer av en övergångsmatris [17]. Enligt [19] gäller det att endast vetskap om dagens väder, gör att det går att ignorera informationen om igår.

3.2.1.1 Definition av Markovkedja

Markovkedjan av första ordningen med två tillstånd för station i har utfallsrum

Ω = {0, 1} = {𝑖, 𝑗} (4)

En diskret Markovkedja är en stokastisk process. En stokastisk variabel 𝑋(𝑡) beskriver ett slumpmässigt skeende i tidpunkten t. Oftast är inte bara en specifik tidpunkt av intresse, utan snarare uppträdandet under en hel tidsperiod. Uppträdandet beskrivs då av en familj av stokastiska variabler, vilket är mer känt som en stokastisk process. Parametern t behöver inte nödvändigtvis svara mot tid, vilket den däremot gör i denna uppsats, där ett steg i tid motsvaras av nästkommande dag. Generellt för stokastisk process gäller att {𝑋(𝑡); 𝑡 ∈ 𝑇}, där mängden T kallas parameterrum; 𝑇 = {0, 1, 2, … }. Således är 𝑇 = ℕ för diskret tid.

För en Markovkedja av första ordningen, gäller att den minnesfria Markovegenskapen (3) uppfylls, så kallat Markovantagande. Markovkedjorna kommer att antas vara

tidshomogena, sannolikheterna ändras inte som en funktion av tiden [13]. En

(12)

8

Enligt [28] finns det fyra frågeställningar som bör ställas innan Markovkedjor används: i. Är valet av tillstånd i Ω lämpligt för tillämpningen?

ii. Kan Markovegenskapen (2) anses vara uppfylld? iii. Är övergångssannolikheterna oberoende av t, tid?

iv. Kan övergångssannolikheterna beräknas, eller åtminstone uppskattas, på ett rimligt vis?

3.2.2 Övergångsmatris

Resultatet av ML-skattningarna för varje station redovisades i form av övergångsmatriser, vilka utgör Markovkedjorna som sedan multipliceras med startvektorn för att få

prognosen.

𝑃𝑖 = [𝑝̂𝑖𝑖 𝑝̂𝑖𝑗

𝑝̂𝑗𝑖 𝑝̂𝑗𝑗] (5)

där 𝑝̂𝑖𝑖 är övergången i → i, 𝑝̂𝑖𝑗 är övergången i → j, vilket beskrivs nedan

𝑝̂𝑖𝑖 = 𝑃(𝑋(𝑡) = 0 | 𝑋(𝑡 − 1) = 0) = 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑖 | 𝑋(𝑡 − 1) = 𝑖) (6)

𝑝̂𝑖𝑗 = 𝑃(𝑋(𝑡) = 0 | 𝑋(𝑡 − 1) = 1) = 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑖 | 𝑋(𝑡 − 1) = 𝑗) (7)

𝑝̂𝑗𝑖 = 𝑃(𝑋(𝑡) = 1 | 𝑋(𝑡 − 1) = 0) = 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑗 | 𝑋(𝑡 − 1) = 𝑖) (8)

𝑝̂𝑗𝑗 = 𝑃(𝑋(𝑡) = 1 | 𝑋(𝑡 − 1) = 1) = 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑗 | 𝑋(𝑡 − 1) = 𝑗) (9)

Övergångssannolikheterna i matrisen 𝑃𝑖 måste uppfylla följande två egenskaper [4]

0 ≤ 𝑝𝑖𝑗 ≤ 1 och ∑ 𝑝𝑗 𝑖𝑗 = 1 (10)

3.2.3 Riktad graf

(13)

9

sannolikhet som representerar 𝑖 → 𝑖 respektive 𝑗 → 𝑗. Från varje nod går en pil (notera pilens riktning) med tillhörande sannolikhet som representerar övergången 𝑖 → 𝑗 respektive 𝑗 → 𝑖 [10].

Figur 3.1: Markovkedja med två tillstånd illustrerad som ett övergångsdiagram med två noder.

3.3 Prognos

3.4.1 Matrismultiplikation

Genom att (godtyckligt) bestämma utgångssannolikheterna för dag 0, 𝜋0𝑡, kan startvektorn multipliceras med matrisen 𝑃𝑖 för att på så sätt få dag 1, 𝜋1𝑡. Då startvektorn representerar en sannolikhetsfördelning, ska den alltid summeras till 1.

Låt

𝜋1𝑡 = 𝜋0𝑡× 𝑃𝑖 (11)

Vidare för dag 2, 𝜋2𝑡, gäller att

𝜋2𝑡 = (𝜋0𝑡𝑃𝑖) × 𝑃𝑖 = 𝜋0𝑡× 𝑃𝑖2 (12)

(14)

10 Dag n 0 𝜋0𝑡 1 𝜋1𝑡 = 𝜋0𝑡× 𝑃𝑖 2 𝜋2𝑡 = 𝜋 0𝑡× 𝑃𝑖2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 14 𝜋14𝑡 = 𝜋0𝑡× 𝑃𝑖14 ⋮ ⋮ n 𝜋𝑛𝑡 = 𝜋0𝑡× 𝑃𝑖𝑛

Tabell 3.1: tabell som illustrerar matrismultiplikationen för prognosen.

3.4.1.1 Chapman-Kolmogorovs ekvation

Låt 𝑃𝑖𝑗𝑛 vara sannolikheten att en process i tillstånd i kommer vara i tillstånd j efter n stycken steg [5], så att

𝑃𝑖𝑗𝑛 = 𝑃(𝑋𝑛+𝑘 = 𝑗 | 𝑋𝑘= 𝑖), 𝑛 ≥ 0, 𝑖, 𝑗 ≥ 0 (13)

Chapman-Kolmogorovs ekvation möjliggör en metod för att beräkna n-stegs övergångssannolikheterna [5] 𝑃𝑖𝑗𝑛+𝑚 = ∑ 𝑃𝑖𝑘𝑛 ∞ 𝑘=0 𝑃𝑘𝑗𝑚 (14)

𝑃𝑖𝑘𝑛𝑃𝑘𝑗𝑚 representerar sannolikheten att gå från tillståndet i till tillståndet j över n + m övergångar, som landar i tillstånd k vid den n:te övergången. Summeras alla

mellanliggande tillstånd k, fås sannolikheten att processen kommer vara i tillstånd j efter n

+ m övergångar [5].

3.4.1.2 Stationär fördelning (konvergens)

Med de stora talens lag går det att visa hur 𝑃𝑖𝑗𝑛 [10] når sin gräns i vektorn 𝜋𝑗 då n → ∞:

𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞𝑃𝑖𝑗

𝑛 = 𝜋̅

(15)

11

Vektorn 𝜋̅𝑗 kan erhållas experimentellt genom att öka exponenten för 𝑃𝑖 gradvis (se Tabell

4) eller mer generellt

𝑃𝑖𝜋̅ = 𝜋̅ (16)

där 𝜋̅ är en stationär fördelning till given Markovkedja med övergångsmatris 𝑃𝑖. 𝑋𝑛 har fördelning 𝜋̅ för alla n, och är på så sätt stationär [10]. Om en stationär fördelning existerar så att (13) uppfylls, är kedjan ergodisk. Notera att (16) också kan skrivas som [22, 25]

𝜋̅(𝐼 − 𝑃𝑖) = 0 (17)

Låt sedermera 𝜋̅ = [𝑥 𝑦] och multiplicera detta med (16), erhålles

[𝑥 𝑦](𝐼 − 𝑃𝑖) = 0 (18)

där I är identitetsmatrisen, 𝐼 = [1 0

(16)

12

4. Resultat

Initialt definierades Markovkedjorna enligt (4) som

𝑆 = {0, 1} = {𝐵 = 𝐵𝑎𝑟𝑚𝑎𝑟𝑘, 𝑆 = 𝑆𝑛ö}

vilket är ett resultat av frågeställningarna under avsnitt 3.2.1.1, som utgör fundamentet för resterande resultat.

4.1 Övergångsmatriser

Antal övergångar har räknats och sedan har sannolikheterna skattats med (1) och ordnats i övergångsmatrisen (5). Övergångssannolikheterna för (5) har skattats med (6-9).

Enligt (6-9) definierades övergångssannolikheterna som

𝑝̂𝐵𝐵 = 𝑃(𝑋(𝑡) = 0 | 𝑋(𝑡 − 1) = 0) = 𝑃(𝑆𝑛ö𝑑𝑗𝑢𝑝 < 10𝑚𝑚 𝑖𝑚𝑜𝑟𝑔𝑜𝑛 | 𝑆𝑛ö𝑑𝑗𝑢𝑝 < 10𝑚𝑚 𝑖𝑑𝑎𝑔) = 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝐵 | 𝑋(𝑡 − 1) = 𝐵) 𝑝̂𝐵𝑆= 𝑃(𝑋(𝑡) = 0 | 𝑋(𝑡 − 1) = 1) = 𝑃(𝑆𝑛ö𝑑𝑗𝑢𝑝 < 10𝑚𝑚 𝑖𝑚𝑜𝑟𝑔𝑜𝑛 | 𝑆𝑛ö𝑑𝑗𝑢𝑝 ≥ 10𝑚𝑚 𝑖𝑑𝑎𝑔) = 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝐵 | 𝑋(𝑡 − 1) = 𝑆) 𝑝̂𝑆𝐵= 𝑃(𝑋(𝑡) = 1 | 𝑋(𝑡 − 1) = 0) = 𝑃(𝑆𝑛ö𝑑𝑗𝑢𝑝 ≥ 10𝑚𝑚 𝑖𝑚𝑜𝑟𝑔𝑜𝑛 | 𝑆𝑛ö𝑑𝑗𝑢𝑝 < 10𝑚𝑚 𝑖𝑑𝑎𝑔) = 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑆 | 𝑋(𝑡 − 1) = 𝐵) 𝑝̂𝑆𝑆= 𝑃(𝑋(𝑡) = 1 | 𝑋(𝑡 − 1) = 1) = 𝑃(𝑆𝑛ö𝑑𝑗𝑢𝑝 ≥ 10𝑚𝑚 𝑖𝑚𝑜𝑟𝑔𝑜𝑛 | 𝑆𝑛ö𝑑𝑗𝑢𝑝 ≥ 10𝑚𝑚 𝑖𝑑𝑎𝑔) = 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑆 | 𝑋(𝑡 − 1) = 𝑆)

och sorterades sedermera i övergångsmatriser i enlighet med (5) 𝑃𝑖 = [𝑝̂𝐵𝐵 𝑝̂𝐵𝑆

𝑝̂𝑆𝐵 𝑝̂𝑆𝑆]

där B är tillståndet barmark och S är tillståndet snö. Övergångsdiagram (se Figur 3.1) har använts som ett komplement till övergångsmatriserna och går att se i Bilaga som Figur

(17)

13

Konfidensintervallen har skattats med (2) och har för enkelhetens skull också sorterats i matriser, där värdet för ij i övergångsmatrisen motsvarar ij i matriserna för nedre- respektive övre gräns. Frekvensmatriserna representerar antal övergångar.

Station Frekvensmatris 𝑃̂𝑖 𝑁𝑒𝑑𝑟𝑒𝐺𝑟ä𝑛𝑠𝑖𝑗 Ö𝑣𝑟𝑒𝐺𝑟ä𝑛𝑠𝑖𝑗 Lund [121 8 10 231] [ 0.9380 0.0620 0.0415 0.9585] 0.8964 0.0204 0.0163 0.9333 0.9796 0.1036 0.0667 0.9837 Örebro [314 26 31 786] [ 0.9235 0.0765 0.0379 0.9621] 0.8953 0.0483 0.0248 0.9490 0.9517 0.1047 0.0510 0.9752 Östersund [37 8 5 753] [ 0.8222 0.1778 0.0066 0.9934] 0.7105∗ 0.0660∗ 0.0008∗∗ 0.9876∗∗ 0.9339 ∗ 0.2895∗ 0.0124∗∗ 0.9991∗∗

Tabell 4.1: tabell med frekvensmatris, övergångsmatris och 95%-igt konfidensintervall för övergångsmatrisen.

Notera att konfidensintervallet för Östersund bestrider två antaganden för konfidensintervallet (2) och bör därför i sammanhanget ses som en parentes: * 𝑛𝑖 är här förhållandevis liten, varför variansen blir något högre, samt

** 𝑝𝑖𝑗 får här anses vara för nära 0 respektive 1, varför 𝑛𝑖𝑝̂𝑖𝑗(1 − 𝑝̂𝑖𝑗) = 4.97, vilket är mindre än 5.

(18)

14

4.2 Prognos

För prognoserna har (10) och (11) använts och vidare Tabell 3.1. Två olika startvektorer användes som utgångspunkt, där det antas att det antingen är barmark eller snö med sannolikheten 1, och presenteras i form av tabeller. Förutsättningarna för prognosen ges av (14). Dag n Datum 𝑃(𝑋𝑛 = 𝐵) 𝑃(𝑋𝑛 = 𝑆) 0 17 december 1 0 1 18 december 0.9380 0.0620 2 19 december 0.8824 0.1176 3 20 december 0.8325 0.1675 4 21 december 0.7879 0.2121 5 22 december 0.7478 0.2522 6 23 december 0.7119 0.2881 7 24 december 0.6797 0.3203 8 25 december 0.6508 0.3492 9 26 december 0.6250 0.3750 10 27 december 0.6018 0.3982 11 28 december 0.5810 0.4190 12 29 december 0.5623 0.4377 13 30 december 0.5456 0.4544 14 31 december 0.5306 0.4694

Tabell 4.2: prognos för Lund, där startfördelningen för dag 0 har sannolikheten 1 för barmark; 0 för snö.

Dag n Datum 𝑃(𝑋𝑛 = 𝐵) 𝑃(𝑋𝑛 = 𝑆) 0 17 december 0 1 1 18 december 0.0415 0.9585 2 19 december 0.0787 0.9213 3 20 december 0.1121 0.8879 4 21 december 0.1420 0.8580 5 22 december 0.1688 0.8312 6 23 december 0.1928 0.8072 7 24 december 0.2143 0.7857 8 25 december 0.2337 0.7663 9 26 december 0.2510 0.7490 10 27 december 0.2665 0.7335 11 28 december 0.2804 0.7196 12 29 december 0.2929 0.7071 13 30 december 0.3041 0.6959 14 31 december 0.3141 0.6859

(19)

15 Dag n Datum 𝑃(𝑋𝑛 = 𝐵) 𝑃(𝑋𝑛 = 𝑆) 0 17 december 1 0 1 18 december 0.9235 0.0765 2 19 december 0.8558 0.1442 3 20 december 0.7958 0.2042 4 21 december 0.7426 0.2574 5 22 december 0.6956 0.3044 6 23 december 0.6539 0.3461 7 24 december 0.6170 0.3830 8 25 december 0.5843 0.4156 9 26 december 0.5554 0.4446 10 27 december 0.5297 0.4703 11 28 december 0.5070 0.4930 12 29 december 0.4869 0.5131 13 30 december 0.4691 0.5309 14 31 december 0.4534 0.5466

Tabell 4.4: prognos för Örebro, där startfördelningen för dag 0 har sannolikheten 1 för barmark; 0 för snö.

Dag n Datum 𝑃(𝑋𝑛 = 𝐵) 𝑃(𝑋𝑛 = 𝑆) 0 17 december 0 1 1 18 december 0.0379 0.9621 2 19 december 0.0715 0.9285 3 20 december 0.1012 0.8988 4 21 december 0.1275 0.8725 5 22 december 0.1508 0.8492 6 23 december 0.1715 0.8285 7 24 december 0.1898 0.8102 8 25 december 0.2059 0.7941 9 26 december 0.2203 0.7797 10 27 december 0.2330 0.7670 11 28 december 0.2442 0.7558 12 29 december 0.2542 0.7458 13 30 december 0.2630 0.7370 14 31 december 0.2708 0.7292

(20)

16 Dag n Datum 𝑃(𝑋𝑛 = 𝐵) 𝑃(𝑋𝑛 = 𝑆) 0 17 december 1 0 1 18 december 0.8222 0.1778 2 19 december 0.6772 0.3228 3 20 december 0.5589 0.4411 4 21 december 0.4624 0.5376 5 22 december 0.3838 0.6162 6 23 december 0.3196 0.6804 7 24 december 0.2673 0.7327 8 25 december 0.2246 0.7754 9 26 december 0.1898 0.8102 10 27 december 0.1614 0.8386 11 28 december 0.1382 0.8618 12 29 december 0.1193 0.8807 13 30 december 0.1039 0.8961 14 31 december 0.0914 0.9086

Tabell 4.6: prognos för Östersund, där startfördelningen för dag 0 har sannolikheten 1 för barmark; 0 för snö. Dag n Datum 𝑃(𝑋𝑛 = 𝐵) 𝑃(𝑋𝑛 = 𝑆) 0 17 december 0 1 1 18 december 0.0066 0.9934 2 19 december 0.0120 0.9880 3 20 december 0.0164 0.9836 4 21 december 0.0200 0.9800 5 22 december 0.0229 0.9771 6 23 december 0.0253 0.9747 7 24 december 0.0272 0.9728 8 25 december 0.0288 0.9712 9 26 december 0.0301 0.9699 10 27 december 0.0311 0.9689 11 28 december 0.0320 0.9680 12 29 december 0.0327 0.9673 13 30 december 0.0333 0.9667 14 31 december 0.0337 0.9663

(21)

17

4.3 Stationär fördelning

Den stationära fördelningen erhölls dels experimentellt (se Tabell 3.1) med startvektor 𝜋0𝑡 = [0.5, 0.5], dels teoretiskt genom (18). Här bör noteras att det experimentella och det direkta, teoretiska resultatet sammanfaller.

Figur 2: fördelning för prognoserna med startvektor [0.5, 0.5]

Figur 2 representerar också en prognos men med utgångspunkten [0.5, 0.5]. Det noterades

att fördelningen för en viss station verkade vara på väg åt ett visst håll, liksom prognoserna i Tabell 4.2 – 4.7, varför en misstanke om existensen av stationära fördelningar uppkom.

4.3.1 Experimentellt

Den stationära fördelningen har för varje station tagits fram experimentellt med hjälp av

Tabell 3.1, med startvektor [0.5, 0.5]. Det noterades att efter ett visst antal steg verkade

(22)

18

Lund-stationen landade i en stationär fördelning [0.4010, 0.5990], efter 50 dagar någon gång. Dag n 𝑃(𝑋𝑛 = 𝐵) 𝑃(𝑋𝑛 = 𝑆) 14 0.4224 0.5776 ⋮ 50 0.4014 0.5986 ⋮ 75 0.4010 0.5990 ⋮ 100 0.4010 0.5990

Tabell 4.8: tabell för Lund-stationen som visar hur den stationära fördelningen infaller mellan dag 50 och 75.

Detsamma gäller för Örebro, vars stationära fördelning också inföll inom nämnda tidsintervall, 50 – 75 dagar. Dag n 𝑃(𝑋𝑛 = 𝐵) 𝑃(𝑋𝑛 = 𝑆) 14 0.3621 0.6379 ⋮ 50 0.3317 0.6683 ⋮ 75 0.3313 0.6687 ⋮ 100 0.3313 0.6687

Tabell 4.9: tabell för Örebro-stationen som visar hur den stationära fördelningen infaller mellan dag 75 och 100.

Snabbare gick det för Östersund, som nådde sin gräns i vektorn [0.0358, 0.9642] mellan 14 och 50 dagar. Dag n 𝑃(𝑋𝑛 = 𝐵) 𝑃(𝑋𝑛 = 𝑆) 14 0.0625 0.9375 ⋮ 50 0.0358 0.9642 ⋮ 75 0.0358 0.9642 ⋮ 100 0.0358 0.9642

(23)

19

4.3.2 Teoretiskt

Resultatet av den stationära fördelningen bekräftades också teoretisk med hjälp av (18), vilket kan verifieras ytterligare med (16).

[𝐵 𝑆] [ 0.0620 −0.0620 −0.0415 0.0415 ] 𝑑å 𝐵+𝑆=1 → [0.0620 −0.0415 1 1 ] [ 𝐵 𝑆] = [ 0 1] ↔ [0.0620 −0.0415 0 1 1 1] ~ ⋯ ~ [ 1 0 0.4010 0 1 0.5990] ∴ 𝜋̅𝑙𝑢= [0.4010 0.5990]

För Lund överensstämde det experimentella och det teoretiska resultatet. Som lösningen till ekvationssystemet visar, når fördelningen sin gräns i [0.4010, 0.5990].

[𝐵 𝑆] [ 0.0765 −0.0765 −0.0379 0.0379 ] 𝑑å 𝐵+𝑆=1 → [0.0765 −0.0379 1 1 ] [ 𝐵 𝑆] = [ 0 1] ↔ [0.0765 −0.0379 0 1 1 1] ~ ⋯ ~ [ 1 0 0.3313 0 1 0.6687] ∴ 𝜋̅𝑜𝑟𝑏 = [0.3313 0.6687]

På samma sätt gäller för Örebro, det experimentella och teoretiska överensstämde,

[𝐵 𝑆] [ 0.1778 −0.1778 −0.0066 0.0066 ] 𝑑å 𝐵+𝑆=1 → [0.1778 −0.0066 1 1 ] [ 𝐵 𝑆] = [ 0 1] ↔ [0.1778 −0.0066 0 1 1 1] ~ ⋯ ~ [ 1 0 0.0358 0 1 0.9642] ∴ 𝜋̅𝑜𝑒𝑟 = [0.0358 0.9642]

(24)

20

5. Diskussion

Resultatet av prognosen visar att det är förhållandevis god chans att det är snö på julafton om det är snö den 17 dec, för samtliga stationer. För samtliga stationer gäller även

motsatsen, är det inte snö den 17 dec, minskar chansen för snö på julafton. Dock sticker Östersund som förväntat ut. Sett över de totalt 14 dagarna, är det nästan ingen skillnad med hänsyn till starvektorerna. Faktum är att sannolikheterna verkar konvergera mot den stationära fördelningen ganska fort. För (se Tabell 4.7) dag 14 är sannolikheten 0.0337 för barmark, vilket kan jämföras med (se Tabell 4.10) 0.0358. Det går också att konstatera att dag med snö, väldigt sannolikt följs av en dag med snö och vice versa. Förmodligen har det att göra med den definition av signifikant snödjup enligt [30] som görs i avsnitt

Datainsamling. Vad som redan nämnts i nyss nämnda avsnitt är att allting under 10mm

räknas som snöfläckar eller barmark, det vill säga att ihållande snötäcke är över 10mm. Denna definition blir såklart väldigt avgörande för övergångssannolikheterna och följaktligen prognoserna.

Det är viktigt att poängtera hur prognostabellerna ska tolkas. Tabell 4.2 används för att illustrera ett exempel. Från 17 dec – 24 dec noterar vi följande sekvens: 1, 0.9380, 0.8824,

… , 0.6797. Hur ska detta tolkas? Det är inte sannolikheten att ha 7 snöfria dagar i rad,

utan sannolikheten att åter vara i tillståndet barmark efter 7 dagar.

Sett till övergångsmatriserna (se Tabell 4.1) så är det generellt väldigt sannolikt att en att en dag utan snö följs av en till dag utan snö, och vice versa. Här är återigen Östersund intressant, då sannolikheten att en dag med snö följs av en till dag med snö är 0.9934, det vill säga väldigt nära 1. Hade sannolikheten varit 1, hade uppsatsen innehållit mer teori, teori som förklarar absorption. Det hade varit ett intressant resultat, om än ganska otroligt. En slutsats som kan dras gällande övergångsmatriserna är alltså att det inte existerar några absorberande tillstånd, kedjorna är således irreducibla enligt [9, 18], vilket illustreras av

Figur A1-3 i Bilaga. Däremot ställer övergångsmatrisen för Östersund till det när det

gäller konfidensintervallet. Problemet blir att radsumman i den översta raden blir ganska liten, varför variansen blir så hög [4]. Det andra problemet är att i den nedre raden blir sannolikheterna för nära 0 respektive 1 [4]. Dessutom, går det att argumentera för

(25)

21

presenteras en simpel metod för en MLE-skattning av standardfelet men också nämnda bootstrap-metoder för konfidensintervall.

En stationär fördelning för varje station erhölls dels experimentellt, dels teoretiskt. Tanken var att med hjälp av en ny startvektor, 50/50 för barmark respektive snö, påvisa hur

fördelningen når sin gräns efter n steg, som förväntades sammanfalla med det teoretiska värdet, vilket det också gjorde. Det bevisar vad som tidigare nämnts enligt [5, 9, 11], att en stationär fördelning finns endast om kedjan är ergodisk, den stationära fördelningen är också oberoende av den initiala fördelningen, startvektorn. Kedjorna får därför anses vara ergodiska. Hade kedjorna inte varit ergodiska, finns vägar runt det, något som [7] visar, även om teorin är mer avancerad. Dessutom uppmuntras läsaren att verifiera (16).

Notera att för Tabell 4.8-10 bör antal dagar tolkas som antal dagar över tid för perioden 17 dec – 31 dec, och alltså inte kronologiskt i den meningen att 100 dagar från och med den 31 dec, då skulle motsvara datumet 4 april. Då övergångsmatriserna är skattade för den nämnda perioden, kommer antagligen den prognosen i så fall vara väldigt missvisande. Det skall alltså mest ses som ett exempel på hur prognosen till sist hamnar i en stationär fördelning.

Det experimentella tillvägagångsättet kan verka lite primitivt, och istället kan enligt [26]

power method användas som också bygger på iterationer.

Datamängderna som hämtades från SMHI får anses vara tillräcklig för ändamålet.

Däremot var ett problem bortfall och så kallade gula värden. Ett glapp i dagarna, resulterar i att övergångarna måste räknas om på nytt, istället för en lång sekvens på 14 dagar. Gula värden inkluderades i datamängderna och bortfallet ignorerades. Ett sätt att minska bortfallet, kunde ha varit att använda närliggande väderstationer som komplement. Ett annat sätt hade varit att använda medelvärdet för att ersätta saknade värden, liksom [15] menar i sin studie. Dessutom hade Östersund-datamängden kunnat kompletterats med senare år, då mätningarna för Frösön slutar 2005 (se Tabell A3).

För vidare forskning inom samma tillämpningsområde kan en förfinad metod och modell användas. Även om metod och modell kan anses vara adekvata i denna uppsats,

(26)

22

nämnts [20] bekräftar, detta på grund av det beroende som finns mellan vädret idag och vädret imorgon.

• Kedjorna är irreducibla, de innehåller inga absorberande tillstånd.

• Det är får för samtliga stationer anses väldigt sannolikt att en dag med snö, följs av en dag med snö och vice versa.

• Prognosen visar att det är goda chanser för snö på julafton om det är snö den 17 dec för samtliga stationer.

• Det är mindre sannolikt att det är snö på julafton om det inte är snö den 17 dec, framförallt för Lund och Örebro.

• Samtliga kedjor är ergodiska, det finns alltså en stationär fördelning.

• För att lättare kunna generalisera och tackla problemet med bortfall, bör fler stationer inkluderas, något som får ses som en begränsning i denna uppsats.

• Det uppmuntras att använda bootstrap-metoder för osäkerhetsmått för vidare studier.

(27)

23

Referenser

[1] Wern L. Snödjup i Sverige 1904/05 – 2013/14 [Internet]. SMHI; 2015. Meteorologi nr 158. [ref. 2020-05-05]. Hämtad från:

https://www.smhi.se/polopoly_fs/1.84651!/Menu/general/extGroup/attachmentColHold/m ainCol1/file/meteorologi_158.pdf

[2] Anderson TW, Goodman LA. Statistical inference about Markov chains. The annals of mathematical statistics. 1957; 28(1): 89-110.

[3] Yang H, Nair VN, Chen J, Sudjianto A. Assessing Markov property in multistate transition models with applications to credit risk modeling. Applied stochastic models in business and industry. 2018; 35(3): 552-70.

[4] Trivedi KS. Probability and statistics with reliability, queuing, and computer science applications. 1 rev. uppl. Englewood Cliffs, N.J: Prentice-Hall, Inc; 1982.

[5] Ross SM. Introduction to probability models. 10 rev. uppl. Cambridge, MA: Academic Press; 2010.

[6] Rydén J. Is a white Christmas becoming rarer in southern parts of Sweden? Theoretical and applied climatology. 2014; 121: 53-9.

[7] Grimshaw SD, Alexander WP. Markov chain models for delinquency: Transition matrix estimation and forecasting. Applied stochastic models in business and industry. 2011; 27(3): 267-79.

[8] Kemeny JG, Snell JL. Finite Markov chains. 3 rev. uppl. Princeton, NJ: Springer; 1983.

[9] Enger J, Grandell J. Markovprocesser och köteori. KTH. 2006.

[10] Wu SJ, Chu MT. Markov chains with memory, tensor formulation and the dynamics of power iteration. Applied mathematics and computation. 2017; 303: 226-39.

[11] Gács P. A constructive law of large numbers with application to countable Markov chains. Boston university. 2010.

[12] Kachapova F. Representing Markov chains with transition diagrams. Journal of mathematics and statistics. 2013; 9(3): 149-154.

[13] Singer P, Helic D, Taraghi B, Strohmaier M. Detecting memory and structure in human navigation patterns using Markov chain models of varying order. PLoS ONE. 2014; 9(7).

[14] Basharin GP, Langville AN, Naumov VA. The life and work of A.A Markov. Linear algebra and its applications. 2004; 386: 3-26.

[15] Tettey M, Oduro FT, Adedia D, Abaye DA. Markov chain analysis of the rainfall patterns of five geographical locations in the south eastern coast of Ghana. Earth perspectives. 2017; 4(6).

(28)

24

[17] Craig BA, Sendi PP. Estimation of the transition matrix of a discrete-time Markov chain. Health economics. 2002; 11: 33-42.

[18] Rhodes J, Shilling A. Unified theory for finite Markov chains. Advances in mathematics. 2019; 347: 739-79.

[19] Haigh J. Introduction to Markov chains – the finite case. Significance. 2010; 7(2): 88-9.

[20] El-Seed AMG. An application of Markov Chain model for wet and dry spell probabilities at Juba in southern Sudan. GeoJournal. 1987; 15(4): 420-4.

[21] Lennartsson J, Baxevani A, Chen D. Modeling precipitation in Sweden using multiple step Markov chains and a composite model. Preprints. 2008; 28.

[22] Trevezas S, Limnios N. Variance estimation in the central limit theorem for Markov chains. Journal of statistical planning and inference. 2009; 139. 2242-53.

[23] Fontrodona Bach A, van der Schrier G, Melsen LA, Klein Tank AMG, Teuling AJ. Widespread and accelerated decrease of observed mean and extreme snow depth over Europe. Geophysical research letters. 2018; 45(22).

[24] Jimoh OD, Webster P. The optimum order of a Markov chain model for daily rainfall in Nigeria. Journal of hydrology. 1996; 185: 45-69.

[25] Seneta E. Computing the stationary distribution for infinite Markov chains. Linear algebra and its applications. 1980; 34: 259-67.

[26] Philippe B, Saad Y, Stewart WJ. Numerical methods in Markov chain modeling. Operations Research. 1992; 40(6): 1156-79.

[27] Anton H, Rorres C. Elementary Linear Algebra with supplemental applications. 11 rev. uppl. Hoboken, NJ: John Wiley & sons, Inc; 2015.

[28] Chan KC, Mills TM, Lenard CT. An introduction to Markov chains. The mathematical association of Victoria. 2012.

[29] Skuriat-Olechnowska M. Statistical inference and hypothesis testing for Markov chains with interval censoring [doktorsavhandling på Internet]. Delft: Delft University of Technology; 2005 [ref. 2020-05-27]. Hämtad från: https://www.tudelft.nl/ewi/over-de- faculteit/afdelingen/applied-mathematics/applied-probability/risk/downloads/theses-by-year/msc-theses-2005/

[30] SMHI. Julväder [Internet]. 2013 [uppdaterad 2019-10-30; ref. 2020-05-28]. Hämtad från: https://www.smhi.se/kunskapsbanken/meteorologi/julvader-1.4274

(29)

25

Bilaga

Övergångsdiagram

Figur A1: övergångsdiagram som representerar övergångsmatrisen för Lund.

Figur A2: övergångsdiagram som representerar övergångsmatrisen för Örebro.

(30)

26

R-kod för Figur 3.1

library(diagram)

# skapar en 2x2 matris

abcd <- matrix(c("a", "b", "c", "d"), nrow = 2, byrow = TRUE) abcd

(31)

27

Datatabeller

Tabeller som beskriver datamängderna för varje station.

Götaland

Stationsnamn Klimatnummer Mäthöjd (meter över marken)

Lund 53430 0.0

Parameternamn Beskrivning Enhet

Snödjup momentanvärde, 1 gång/dygn, kl 06 metre

Antal observationer Antal observationer efter bearbetning

6810 453

Tidsperiod (fr.o.m) Tidsperiod (t.o.m)

Höjd (meter över havet) Latitud (decimalgrader) Longitud (decimalgrader) 1885-01-01 00:00:00 1974-01-31 23:59 73.0 55.7089 13.2026 1975-03-01 00:00 1992-03-31 23:59 50.0 55.7089 13.2026 1993-01-01 00:00 1997-02-28 23:59 25.0 55.6930 13.2290 1997-10-01 00:00 2020-02-29 23:59 26.451 55.6932 13.2251

Tabell A1: tabell som beskriver Lund-data.

Svealand

Stationsnamn Klimatnummer Mäthöjd (meter över marken)

Örebro D 95160 0.0

Parameternamn Beskrivning Enhet

Snödjup momentanvärde, 1 gång/dygn, kl 06 metre

Antal observationer Antal observationer efter bearbetning

20625 1284

Tidsperiod (fr.o.m) Tidsperiod (t.o.m)

Höjd (meter över havet) Latitud (decimalgrader) Longitud (decimalgrader) 1904-12-01 00:00 1964-03-31 23:59 36.0 59.2448 15.2854 1964-11-01 00:00 1971-04-30 23:59 36.0 59.2448 15.2854 1971-11-01 00:00 1988-03-31 23:59 31.0 59.2448 15.2854 1988-10-01 00:00 2005-04-30 23:59 35.0 59.2782 15.1574 2007-11-01 00:00 2020-04-02 03:00 31.0 59.2584 15.2586

(32)

28

Norrland

Stationsnamn Klimatnummer Mäthöjd (meter över marken)

Frösön 134110 0.0

Parameternamn Beskrivning Enhet

Snödjup momentanvärde, 1 gång/dygn, kl 06 metre

Antal

observationer Antal observationer efter bearbetning

19 352 863

Tidsperiod (fr.o.m) Tidsperiod (t.o.m) Höjd (meter över havet) Latitud (decimalgrader)

Longitud (decimalgrader)

1944-01-01 00:00 1970-01-18 23:59 360.0 63.1974 14.4863

1970-01-19 00:00 2005-06-30 23:59 376.0 63.1974 14.4863

References

Related documents

Vörå Apotek tackar sina kunder för det gångna året samt önskar alla.. zzFör provisionen som influ- insjuknat

Audionova tillhör hörapparatkoncernen Sonova, som även äger hörapparatmärkena Phonak

Valje, Sölvesborg, Mjällby, Nogersund, Hällevik, Hörvik, Pukavik, Olofström, Jämshög, Vilshult, Mörrum, Svängsta, Asarum, Karlshamn, Bräkne-Hoby, Kallinge, Ronneby,

Tillväxtcertifikatet har en preliminär deltagan- degrad om 155 procent vilket innebär att en uppgång i EURO STOXX 50 ® index på slutda- gen multipliceras med deltagandegraden för

HJÄLP MED LÄXOR för barn från 10 år och äldre.

Rörelseresultatet har belastats med engångsposter på 81 MSEK bestående av 70 MSEK hänförliga till nedskrivning av immateriella tillgångar kopplade till utvecklingen av

De noder i Samgods vi är intresserade av är nod för lastning, omlastning eller lossning av gods (terminaler), det vill säga där gods lastas av eller lastas på ett visst fordon, med

[r]